6231:
8175:
2657:
Because Kähler differentials are compatible with localization, they may be constructed on a general scheme by performing either of the two definitions above on affine open subschemes and gluing. However, the second definition has a geometric interpretation that globalizes immediately. In this
6040:
4386:
4582:
5959:
1170:
5020:
4158:
131:). Kähler differentials formalize the observation that the derivatives of polynomials are again polynomial. In this sense, differentiation is a notion which can be expressed in purely algebraic terms. This observation can be turned into a definition of the module
3981:
5520:
896:
568:
6361:
2330:
1410:
6528:
3439:
3737:
2647:
4689:
8399:
5173:
2123:
8055:
4233:
1868:
8427:
become isomorphic. Choosing bases of these rational subspaces (also called lattices), the determinant of the base-change matrix is a complex number, well defined up to multiplication by a rational number. Such numbers are
6226:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}
4249:
8601:
3220:
4430:
5841:
8614:
is a homology theory for associative rings that turns out to be closely related to Kähler differentials. This is because of the
Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem which states that the Hochschild homology
7907:
1709:
1043:
7250:
5756:
4840:
2863:
4903:
1979:
6591:
6032:
1237:
5629:
3806:
3853:
3992:
2921:
2449:. Briefly, these are generated by the differentials of the variables and have relations coming from the differentials of the equations. For example, for a single polynomial in a single variable,
8013:
6717:
7395:
6045:
5846:
4895:
3626:
8324:
8265:
6871:
6820:
4422:
3861:
1294:
5414:
1778:
788:
2447:
1026:
8692:
2965:
5833:
5406:
5265:
967:
470:
6268:
5306:
414:
3526:
2209:
7782:
7165:
4763:
2996:
5563:
310:
8652:
7696:
6959:
3314:
9317:
7426:
3273:
2761:
776:
8208:
8047:
7852:
7748:
7596:
7505:
7130:
6632:
6395:
5654:
2794:
2201:
1308:
367:
167:
8425:
6436:
6769:
5055:
2014:
3249:
7055:
7017:
8742:
7557:
3105:
3073:
2737:
237:
7946:
7645:
6448:
4728:
2160:
3341:
3582:
3554:
3480:
1545:
8732:
8712:
6979:
3855:, its cotangent sheaf can be computed from the sheafification of the cotangent module on the underlying graded algebra. For example, consider the complex curve
3334:
3125:
3634:
2455:
4593:
8333:
8170:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}
5077:
2032:
4169:
4381:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} }{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )=Y}
9315:
Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011), "Some remarks on Kähler differentials and ordinary differentials in nonlinear control systems",
8738:
enhancement of this theorem states that the
Hochschild homology of a differential graded algebra is isomorphic to the derived de-Rham complex.
8517:
3132:
2342:
The latter sequence and the above computation for the polynomial ring allows the computation of the Kähler differentials of finitely generated
4577:{\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0}
9044:
5954:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}
1165:{\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}
9343:
1786:
7860:
5015:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }
1563:
8854:
7512:
7183:
5662:
4771:
2804:
3028:
which is similarly universal. It is therefore the sheaf associated to the module of Kähler differentials for the rings underlying
1899:
8447:
5967:
1181:
6540:
5571:
4153:{\displaystyle \Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}}
3745:
9251:
9200:
8807:
5964:
and all other algebraic de Rham cohomology groups are zero. By way of comparison, the algebraic de Rham cohomology groups of
3819:
7922:
are, broadly speaking, integrals of certain arithmetically defined differential forms. The simplest example of a period is
2868:
7954:
6648:
7323:
4848:
3043:
Similar to the commutative algebra case, there exist exact sequences associated to morphisms of schemes. Given morphisms
3587:
8278:
8219:
6825:
6774:
4394:
3976:{\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} }{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)}
5515:{\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }
188:
9243:
7436:. There is a rather sharp trichotomy of geometric and arithmetic properties depending on the genus of a curve, for
5656:
Because this is an affine scheme, hypercohomology reduces to ordinary cohomology. The algebraic de Rham complex is
1245:
891:{\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}
9285:
2351:
984:
8964:
8657:
2926:
563:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}
9376:
9192:
8327:
6594:
6356:{\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}
5770:
5362:
5221:
2325:{\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}
913:
9386:
9371:
8928:
8822:
7260:
5270:
372:
9381:
8910:
5179:
3485:
7756:
7139:
6634:, then the inclusion of the subcomplex of algebraic differential forms into that of all smooth forms on
4737:
2970:
2704:
1734:
9222:
8735:
5528:
257:
8618:
1405:{\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}
9187:
7660:
6895:
6438:
denotes the complex analytification functor. This map is far from being an isomorphism. Nonetheless,
6259:
3278:
9346:
on p-adic algebraic de-Rham cohomology - gives many computations over characteristic 0 as motivation
9096:
7403:
3254:
2742:
1052:
797:
748:
8186:
8027:
7787:
7718:
7566:
7508:
7475:
7100:
6602:
6373:
5634:
5321:
2766:
2672:
2171:
337:
137:
9114:
8408:
6608:
9132:, Advanced studies in pure mathematics, vol. 3, Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358,
9001:
8451:
8443:
7057:. Other counterexamples can be found in algebraic plane curves with isolated singularities whose
6408:
5028:
1987:
430:
derivation in the sense that any other derivation may be obtained from it by composition with an
6726:
3228:
9121:
9110:
9035:
8018:
Algebraic de Rham cohomology is used to construct periods as follows: For an algebraic variety
7065:
7022:
6984:
6723:
then as shown above, the computation of algebraic de Rham cohomology gives explicit generators
6523:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}
6241:
6237:
5329:
1874:
8180:
On the other hand, the right hand cohomology group is isomorphic to de Rham cohomology of the
7530:
3078:
3046:
2710:
210:
9146:
6889:
3434:{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0}
7925:
7607:
4707:
9261:
9210:
9137:
9073:
8881:
8268:
2695:. This construction therefore has a more geometric flavor, in the sense that the notion of
2131:
2017:
1715:
437:
417:
325:
36:
9308:
9269:
9175:
8893:
5339:
of other quasi-coherent sheaves, the computation of de Rham cohomology is simplified when
8:
8611:
8272:
7751:
7648:
7560:
7451:
7400:
For curves, this purely algebraic definition agrees with the topological definition (for
6878:
5336:
3559:
3531:
3457:
1489:
205:
114:
104:
44:
3732:{\displaystyle \pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0}
2642:{\displaystyle \Omega _{(R/(f))/R}\cong (R\,dt\otimes R/(f))/(df)\cong R/(f,df/dt)\,dt.}
9163:
9077:
9010:
8885:
8717:
8697:
7527:
The sheaf of differentials is related to various algebro-geometric notions. A morphism
6964:
6534:
4684:{\displaystyle \Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}
3319:
3110:
1884:
48:
9229:
9039:
9247:
9196:
9081:
9061:
8922:
8816:
8803:
8394:{\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}
7294:
7270:
7265:
6639:
2336:
94:
28:
9277:
8889:
5359:
are affine schemes. In this case, because affine schemes have no higher cohomology,
9330:
9326:
9304:
9294:
9265:
9182:
9171:
9155:
9053:
9020:
8869:
8181:
6398:
5187:
779:
32:
7273:
and therefore appears in various important theorems in algebraic geometry such as
5168:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}
2118:{\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}
9257:
9206:
9133:
9069:
8877:
8477:
7918:
7708:
7429:
7290:
7278:
5199:
5058:
2798:
2700:
1484:
124:
8049:
the above-mentioned compatibility with base-change yields a natural isomorphism
4228:{\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}}
40:
9125:
9086:
8745:
is, in very rough terms, an enhancement of the de Rham complex for the ring of
8430:
7463:
7447:
7443:
4731:
743:
128:
56:
9025:
8999:
Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), "Mixed Weil cohomologies",
8873:
9365:
9065:
8797:
7712:
7274:
7133:
7058:
6236:
Since the Betti numbers of these cohomology groups are not what is expected,
5069:
4694:
2707:
for related notions). Moreover, it extends to a general morphism of schemes
9299:
8766:
9356:
7855:
6370:
de Rham complex defined in terms of (complex-valued) differential forms on
252:
722:. The relations imply that the universal derivation is a homomorphism of
8746:
8596:{\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}
7256:
3215:{\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}
20:
9144:
Johnson, James (1969), "Kähler differentials and differential algebra",
9167:
9057:
8654:
of an algebra of a smooth variety is isomorphic to the de-Rham complex
7516:
6367:
5068:
The de Rham complex enjoys an additional multiplicative structure, the
2335:
A generalization of these two short exact sequences is provided by the
1873:
As a particular case of this, Kähler differentials are compatible with
3628:
is a smooth variety (or scheme), then the relative cotangent sequence
7303:
7168:
5183:
9353:
devoted to the relation on algebraic and analytic differential forms
9159:
8836:
5701:
5502:
5467:
5432:
5002:
4967:
4932:
2236:
522:
5408:
can be computed as the cohomology of the complex of abelian groups
2667:
2203:
vanishes and the sequence can be continued at the left as follows:
52:
9350:
9015:
8492:, which encodes the ramification data, is the annihilator of the
5835:
The kernel and cokernel compute algebraic de Rham cohomology, so
1863:{\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}
312:(it automatically follows from this definition that the image of
7902:{\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}
6873:, respectively, while all other cohomology groups vanish. Since
1704:{\displaystyle \Omega _{R/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R\,dt_{i}.}
7245:{\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}
7064:
A proof of
Grothendieck's theorem using the concept of a mixed
6882:
5751:{\displaystyle \mathbb {Q} {\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} \,dx.}
4835:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}
2858:{\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}
7598:
is zero. A special case of this assertion is that for a field
7450:), and greater than 1 (hyperbolic Riemann surfaces, including
8271:, asserts an isomorphism of the latter cohomology group with
2699:
of the diagonal is thereby captured, via functions vanishing
1974:{\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}
51:
somewhat later, once the need was felt to adapt methods from
8939:
is supposed to be locally of finite type for this statement.
6888:
Counter-examples in the singular case can be found with non-
6586:{\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}
6262:, there is a natural comparison map of complexes of sheaves
6027:{\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left}
3811:
1232:{\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}
1031:
This construction is equivalent to the previous one because
1158:
884:
8798:
Laurent-Gengoux, C.; Pichereau, A.; Vanhaecke, P. (2013),
7457:
4695:
Higher differential forms and algebraic de Rham cohomology
731:
4730:. Differential forms of higher degree are defined as the
5624:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left}
3801:{\displaystyle \Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}}
5525:
which is, termwise, the global sections of the sheaves
6729:
6611:
6543:
6442:
showed that the comparison map induces an isomorphism
6411:
5324:
zero.) Algebraic de Rham cohomology was introduced by
3848:{\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k} }
8720:
8700:
8660:
8621:
8520:
8411:
8336:
8281:
8222:
8189:
8058:
8030:
7957:
7928:
7863:
7790:
7759:
7721:
7663:
7610:
7569:
7533:
7478:
7406:
7326:
7284:
7186:
7142:
7103:
7025:
6987:
6967:
6898:
6828:
6777:
6651:
6451:
6376:
6271:
6043:
5970:
5844:
5773:
5665:
5637:
5574:
5531:
5417:
5365:
5273:
5224:
5080:
5031:
4906:
4851:
4774:
4740:
4710:
4596:
4433:
4397:
4252:
4172:
3995:
3864:
3822:
3748:
3637:
3590:
3562:
3534:
3488:
3460:
3344:
3322:
3281:
3257:
3231:
3135:
3113:
3081:
3049:
2973:
2929:
2916:{\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}
2871:
2807:
2769:
2763:
to be the ideal of the diagonal in the fiber product
2745:
2713:
2458:
2354:
2212:
2174:
2134:
2035:
1990:
1902:
1789:
1737:
1566:
1492:
1311:
1248:
1184:
1046:
987:
916:
791:
751:
473:
375:
340:
260:
213:
140:
8837:"algebraic de Rham cohomology of singular varieties"
8008:{\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}
7698:, which can also be read off the above computation.
6712:{\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}
6247:
3449:
3107:
of schemes there is an exact sequence of sheaves on
172:
of differentials in different, but equivalent ways.
7472:is, by definition, the dual of the cotangent sheaf
7390:{\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}
6885:, this is as predicted by Grothendieck's theorem.
4890:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}
3022:, then the cotangent sheaf restricts to a sheaf on
2652:
1302:by the map induced by the complementary projection
9040:"On the de Rham cohomology of algebraic varieties"
8726:
8706:
8686:
8646:
8595:
8419:
8393:
8318:
8259:
8202:
8169:
8041:
8007:
7940:
7901:
7846:
7776:
7742:
7690:
7639:
7590:
7551:
7522:
7499:
7420:
7389:
7244:
7159:
7124:
7049:
7011:
6973:
6953:
6865:
6814:
6763:
6711:
6626:
6585:
6522:
6430:
6389:
6355:
6225:
6026:
5953:
5827:
5750:
5648:
5623:
5557:
5514:
5400:
5300:
5259:
5178:This turns the de Rham complex into a commutative
5167:
5049:
5014:
4889:
4834:
4757:
4722:
4683:
4576:
4416:
4380:
4227:
4152:
3975:
3847:
3800:
3731:
3621:{\displaystyle \pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)}
3620:
3576:
3548:
3520:
3474:
3433:
3328:
3308:
3267:
3243:
3214:
3119:
3099:
3067:
2990:
2959:
2923:defined analogously to before, is universal among
2915:
2857:
2788:
2755:
2731:
2703:functions vanishing at least to second order (see
2641:
2441:
2324:
2195:
2154:
2117:
2008:
1973:
1862:
1772:
1703:
1539:
1404:
1288:
1231:
1164:
1020:
961:
890:
770:
562:
408:
361:
304:
231:
161:
59:to contexts where such methods are not available.
8319:{\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}
8275:(or sheaf cohomology) with complex coefficients,
8260:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}
6866:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}
6815:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}
6240:was developed to remedy this issue; it defines a
4417:{\displaystyle \operatorname {Sch} /\mathbb {C} }
1557:generated by the differentials of the variables:
972:and the universal derivation is the homomorphism
9363:
9115:"Crystals and the de Rham cohomology of schemes"
8446:, Kähler differentials may be used to study the
7784:-module of appropriate rank. The computation of
5568:To take a very particular example, suppose that
5314:is clear from the context. (In many situations,
5202:of the de Rham complex of sheaves is called the
9278:"On Liouville's theory of elementary functions"
8998:
7269:. The canonical divisor is, as it turns out, a
7069:
4897:extends in a natural way to a sequence of maps
3251:is a closed subscheme given by the ideal sheaf
175:
6366:between the algebraic de Rham complex and the
9239:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
9094:
9034:
8855:"Kähler-de Rham cohomology and Chern classes"
8464:is a finite extension with rings of integers
6439:
5325:
4424:. Then, using the first sequence we see that
3316:and there is an exact sequence of sheaves on
1289:{\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}
9237:
9109:
8953:, Partie III: Société Mathématique de France
8587:
8542:
6758:
6730:
6706:
6658:
3986:then we can compute the cotangent module as
43:in the 1930s. It was adopted as standard in
9195:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
8948:
8852:
5767:obeys the usual rules of calculus, meaning
1472:
1427:-module generated by the formal generators
901:Then the module of Kähler differentials of
9275:
9181:
9130:Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas
8785:
8437:
8405:vector spaces which, after tensoring with
3584:is a finite separable field extension and
436:-module homomorphism. In other words, the
369:for which there is a universal derivation
328:of Kähler differentials is defined as the
9314:
9298:
9216:
9024:
9014:
8560:
8413:
8384:
8377:
8364:
8309:
8157:
8147:
8140:
8106:
8099:
8086:
8032:
7866:
7511:and its far-reaching generalization, the
7414:
6856:
6805:
6681:
6614:
6576:
6479:
6286:
6212:
6180:
6172:
6099:
6091:
5985:
5921:
5881:
5815:
5738:
5709:
5667:
5639:
5588:
4410:
4356:
4273:
4213:
4187:
4010:
3879:
3841:
3812:Cotangent modules of a projective variety
3016:is contained in an open affine subscheme
2629:
2524:
2442:{\displaystyle T=R/(f_{1},\ldots ,f_{m})}
1714:Kähler differentials are compatible with
1684:
1021:{\displaystyle ds=1\otimes s-s\otimes 1.}
736:Another construction proceeds by letting
295:
282:
9228:
8982:
8687:{\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}
8401:Composing these isomorphisms yields two
5186:structure inherited from the one on the
2960:{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}
16:Differential form in commutative algebra
9143:
7458:Tangent bundle and Riemann–Roch theorem
4238:
732:Definition using the augmentation ideal
9364:
8853:Arapura, Donu; Kang, Su-Jeong (2011),
7515:, contain as a crucial ingredient the
5828:{\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}
5401:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}
5260:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}
962:{\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}
7854:above shows that the projection from
5193:
1457:-modules which sends each element of
9045:Publications Mathématiques de l'IHÉS
7428:) as the "number of handles" of the
7177:. This implies, in particular, that
7080:
5301:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}
1469:precisely imposes the Leibniz rule.
409:{\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}
8976:
7061:and Tjurina numbers are non-equal.
3521:{\displaystyle \Omega _{K/k}^{1}=0}
13:
8779:
8662:
8606:
7792:
7777:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
7763:
7723:
7665:
7571:
7480:
7359:
7285:Classification of algebraic curves
7225:
7160:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
7146:
7105:
6310:
6273:
5533:
5475:
5440:
5134:
5108:
5082:
4975:
4940:
4916:
4870:
4855:
4812:
4776:
4758:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
4744:
4699:
4598:
4551:
4200:
4174:
3997:
3776:
3750:
3701:
3675:
3649:
3490:
3482:is a finite field extension, then
3408:
3375:
3360:
3347:
3283:
3260:
3189:
3168:
3147:
2991:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2977:
2946:
2896:
2881:
2844:
2831:
2809:
2748:
2460:
2299:
2265:
2176:
2092:
2071:
2037:
1938:
1917:
1830:
1791:
1773:{\displaystyle S'=R'\otimes _{R}S}
1568:
1483:, the Kähler differentials of the
918:
710:. The universal derivation sends
598:-module with one formal generator
491:
389:
342:
142:
14:
9398:
9337:
9095:Grothendieck, Alexander (1966b),
8909:
8835:
7513:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
7091:is a smooth variety over a field
6537:(and thus to singular cohomology
6248:Grothendieck's comparison theorem
5631:is the multiplicative group over
5558:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}
3450:Finite separable field extensions
2697:first infinitesimal neighbourhood
1718:, in the sense that for a second
1463:to zero. Taking the quotient by
305:{\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}
8647:{\displaystyle HH_{\bullet }(R)}
2653:Kähler differentials for schemes
1037:is the kernel of the projection
592:proceeds by constructing a free
7691:{\displaystyle \Omega _{K/k}=0}
7523:Unramified and smooth morphisms
7075:
6954:{\displaystyle k/(y^{2}-x^{3})}
3556:is separable. Consequently, if
3309:{\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}
3004:is an open affine subscheme of
2865:, together with the derivation
1893:, then there is an isomorphism
907:can be equivalently defined by
39:. The notion was introduced by
9357:Differentials (Stacks project)
9331:10.1016/j.sysconle.2011.05.006
9286:Pacific Journal of Mathematics
8957:
8942:
8903:
8846:
8829:
8791:
8759:
8641:
8635:
8368:
8347:
8313:
8292:
8267:Yet another classical result,
8251:
8238:
8161:
8128:
8090:
8074:
7896:
7890:
7881:
7831:
7799:
7626:
7620:
7543:
7421:{\displaystyle k=\mathbb {C} }
7381:
7349:
7167:-module) of rank equal to the
7038:
7032:
7000:
6994:
6948:
6922:
6914:
6902:
6860:
6844:
6809:
6793:
6673:
6661:
6580:
6559:
6517:
6504:
6483:
6467:
6419:
6412:
6350:
6341:
6334:
6331:
6306:
6303:
6297:
6150:
6144:
6069:
6063:
5910:
5904:
5870:
5864:
5790:
5777:
5735:
5713:
5693:
5671:
5421:
5395:
5381:
5320:is the spectrum of a field of
5295:
5289:
5254:
5240:
5130:
4910:
4866:
4714:
4568:
4547:
4457:
4369:
4366:
4360:
4352:
4343:
4340:
4334:
4315:
4300:
4295:
4277:
3970:
3964:
3945:
3906:
3901:
3883:
3723:
3697:
3671:
3615:
3609:
3600:
3425:
3404:
3394:
3371:
3268:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
3206:
3185:
3164:
3091:
3059:
2892:
2756:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
2723:
2626:
2600:
2592:
2586:
2577:
2568:
2560:
2557:
2551:
2543:
2537:
2521:
2515:
2509:
2493:
2490:
2484:
2476:
2470:
2464:
2436:
2404:
2396:
2364:
2316:
2295:
2246:
2243:
2237:
2109:
2088:
2067:
2000:
1994:
1681:
1652:
1607:
1575:
1534:
1502:
1338:
1120:
1071:
852:
816:
771:{\displaystyle S\otimes _{R}S}
616:, and imposing the relations
554:
542:
514:
487:
385:
273:
264:
223:
97:. An important example is for
1:
9193:Graduate Texts in Mathematics
8992:
8330:is in its turn isomorphic to
8328:universal coefficient theorem
8203:{\displaystyle X^{\text{an}}}
8042:{\displaystyle \mathbb {Q} ,}
7847:{\displaystyle \Omega _{R/R}}
7743:{\displaystyle \Omega _{X/Y}}
7591:{\displaystyle \Omega _{X/Y}}
7500:{\displaystyle \Omega _{X/k}}
7125:{\displaystyle \Omega _{X/k}}
7070:Cisinski & Déglise (2013)
6627:{\textstyle \mathbb {C} ^{n}}
6390:{\displaystyle X^{\text{an}}}
5649:{\displaystyle \mathbb {Q} .}
2789:{\displaystyle X\times _{Y}X}
2196:{\displaystyle \Omega _{T/S}}
1984:Given two ring homomorphisms
362:{\displaystyle \Omega _{S/R}}
162:{\displaystyle \Omega _{S/R}}
62:
9217:Matsumura, Hideyuki (1986),
8420:{\displaystyle \mathbb {C} }
7317:is defined as the dimension
6431:{\textstyle (-)^{\text{an}}}
5204:algebraic de Rham cohomology
176:Definition using derivations
7:
9318:Systems and Control Letters
8951:Une introduction aux motifs
7263:. It is referred to as the
6764:{\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}
5328:. It is closely related to
5180:differential graded algebra
5050:{\displaystyle d\circ d=0.}
3444:
2009:{\displaystyle R\to S\to T}
10:
9403:
9234:Algebraische Zahlentheorie
9223:Cambridge University Press
8714:a field of characteristic
7912:
3816:Given a projective scheme
3244:{\displaystyle X\subset Y}
1780:, there is an isomorphism
782:of the multiplication map
9242:, vol. 322, Berlin:
9026:10.1016/j.aim.2011.10.021
8874:10.1080/00927871003610320
8862:Communications in Algebra
7050:{\displaystyle \deg(x)=2}
7012:{\displaystyle \deg(y)=3}
6533:from algebraic to smooth
6260:complex algebraic variety
6034:are much larger, namely,
1477:For any commutative ring
79:be commutative rings and
27:provide an adaptation of
8966:Periods and Nori Motives
8927:: CS1 maint: location (
8821:: CS1 maint: location (
8752:
7552:{\displaystyle f:X\to Y}
6892:such as the graded ring
6603:affine algebraic variety
3100:{\displaystyle g:Y\to Z}
3068:{\displaystyle f:X\to Y}
2732:{\displaystyle f:X\to Y}
1473:Examples and basic facts
1451:being a homomorphism of
232:{\displaystyle d:S\to M}
9300:10.2140/pjm.1976.65.485
9276:Rosenlicht, M. (1976),
9219:Commutative ring theory
9122:Grothendieck, Alexander
9111:Grothendieck, Alexander
9036:Grothendieck, Alexander
9002:Advances in Mathematics
8452:algebraic number fields
8444:algebraic number theory
8438:Algebraic number theory
7519:of the tangent bundle.
2967:-linear derivations of
1296:may be identified with
9238:
9128:; et al. (eds.),
8728:
8708:
8688:
8648:
8597:
8476:respectively then the
8421:
8395:
8320:
8261:
8204:
8171:
8043:
8009:
7942:
7941:{\displaystyle 2\pi i}
7903:
7848:
7778:
7744:
7692:
7641:
7640:{\displaystyle K:=k/f}
7592:
7553:
7501:
7422:
7391:
7246:
7161:
7136:(i.e., a locally free
7126:
7066:Weil cohomology theory
7051:
7013:
6975:
6955:
6867:
6816:
6765:
6713:
6628:
6587:
6524:
6432:
6391:
6357:
6242:Weil cohomology theory
6238:crystalline cohomology
6227:
6028:
5955:
5829:
5752:
5650:
5625:
5559:
5516:
5402:
5330:crystalline cohomology
5302:
5261:
5169:
5051:
5016:
4891:
4836:
4759:
4724:
4723:{\displaystyle X\to Y}
4685:
4578:
4418:
4382:
4243:Consider the morphism
4229:
4154:
3977:
3849:
3802:
3733:
3622:
3578:
3550:
3522:
3476:
3435:
3330:
3310:
3269:
3245:
3216:
3121:
3101:
3069:
2992:
2961:
2917:
2859:
2790:
2757:
2733:
2643:
2443:
2326:
2197:
2156:
2119:
2010:
1975:
1864:
1774:
1705:
1648:
1541:
1406:
1290:
1233:
1166:
1022:
963:
892:
772:
564:
410:
363:
306:
233:
163:
55:and geometry over the
9147:Annals of Mathematics
8972:, Elementary examples
8729:
8709:
8689:
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9377:Differential algebra
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749:
742:be the ideal in the
573:One construction of
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464:-module isomorphism
446:provides, for every
418:universal properties
373:
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318:is in the kernel of
258:
211:
138:
25:Kähler differentials
9387:Cohomology theories
9372:Commutative algebra
9120:, in Giraud, Jean;
9098:Letter to John Tate
9089:, October 14, 1963)
8917:, Proposition I.3.5
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8575: for all
8450:in an extension of
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9382:Algebraic geometry
9188:Algebraic Geometry
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