3947:
199:
2989:
2460:
1329:
2034:
3708:
2816:
963:
2977:
1658:
3692:
463:
200:
2455:{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f_{1}}}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{2}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}
2016:
945:
2471:
1324:{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{1}}}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{3}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}
156:
97:
1340:
165:
142:
27497:
21878:
1689:
632:
2811:{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{3}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}
23293:
1653:{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f_{2}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}
22013:
2966:
21712:
22540:
4389:
25027:
12698:
9515:
23477:
19878:
22396:
21718:
2011:{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{1}}}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f_{2}}}(2\pi \xi )={\widehat {f_{3}}}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{1}}}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}}
4534:
22266:
4229:
940:{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{1}}}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f_{2}}}(2\pi \xi )={\widehat {f_{3}}}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{1}}}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}}
12843:
9660:
23553:
20039:
12538:
9355:
23128:
23160:
19704:
18636:
23372:
18067:
23891:
20432:
19259:
16823:
16103:
21884:
21577:
20571:
24031:
20994:
12041:
8857:
18267:
8419:
19353:
20874:
18743:
12277:
18971:
22402:
19447:
4235:
20760:
17833:
13820:
24883:
13434:
20286:
15162:
11747:
16703:
12544:
9361:
5943:
10744:
18520:
16928:
23378:
17927:
15251:
12154:
23744:
16311:
10146:
9846:
5842:
14638:
10460:
18337:
14218:
15067:
5747:
22903:
21873:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f_{2}}}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&{\frac {1}{{(2\pi )}^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}
14811:
19710:
14383:
14727:
22272:
14302:
6804:
17739:
10824:
17508:
22802:
7432:
4395:
19036:
18895:
10219:
9919:
26924:
24125:
22999:
11809:
11673:
10533:
6429:
22132:
10661:
4084:
18188:
12704:
11159:
10070:
9521:
7512:
22706:
16407:
11288:
9770:
23483:
19884:
16205:
13902:
10384:
22126:
13511:
12393:
11225:
9210:
23011:
8504:
6506:
9035:
8946:
8033:
7954:
7150:
5504:
5433:
23288:{\displaystyle {\frac {1}{\left|{\boldsymbol {\sigma }}\right|\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}
8588:
7762:
7686:
17435:
145:
The
Fourier transform relates the time domain, in red, with a function in the domain of the frequency, in blue. The component frequencies, extended for the whole frequency spectrum, are shown as peaks in the domain of the
5362:
19543:
18526:
13982:
5598:
17572:
16549:
7875:
6348:
7610:
23299:
17939:
11493:
6964:
6884:
21270:
23750:
20638:
15856:
4812:
4740:
15381:
13581:
21205:
20292:
14928:
5157:
14495:
540:
is negated because a negative sign exponent has been used in the
Fourier transform, which is the default as derived from the Fourier series, but the sign does not matter for a transform that is not going to be
22008:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f_{3}}}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}
7352:
21707:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f_{1}}}({\boldsymbol {\xi }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}
19156:
16709:
4668:
15956:
7211:
24693:
3950:
Some problems, such as certain differential equations, become easier to solve when the
Fourier transform is applied. In that case the solution to the original problem is recovered using the inverse Fourier
21145:
17289:
20438:
23897:
20159:
13203:
20880:
17167:
15444:
11906:
8742:
7076:
21491:
18194:
17658:
8309:
19265:
14078:
10979:
9135:
6657:
15675:
13676:
11900:
8683:
6208:
6149:
5040:
4981:
8244:
8193:
6090:
4922:
21433:
20766:
18642:
11430:
3639:
355:
278:
22535:{\displaystyle {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }}}\left|{\frac {\boldsymbol {\omega }}{2\pi }}\right|^{-{\frac {n}{2}}-\delta }J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(\!|{\boldsymbol {\omega }}|\!)}
21889:
21723:
21582:
19889:
19715:
19548:
17944:
15961:
13250:
12709:
12549:
12398:
12160:
9526:
9366:
9215:
8142:
4400:
4384:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f_{2}}}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}
4240:
4089:
3338:
3176:
2476:
2039:
1694:
1345:
968:
637:
15898:
6270:
27276:
26963:
24760:
18901:
12943:
21085:
19359:
15503:
3484:
23642:
21380:
15805:
11548:
25022:{\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}
24519:
20644:
19150:
17122:
10319:
6025:
17745:
13723:
13088:
17082:
13342:
12693:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}
11609:
10004:
9705:
9510:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}
5249:
5203:
3259:
24877:
24593:
20165:
15073:
11679:
10924:
24465:
17042:
16598:
14981:
14547:
14130:
10588:
5848:
3563:
3417:
23472:{\displaystyle (2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}}
13292:
11018:
10667:
5652:
18406:
17244:
17208:
16829:
2895:
17322:
12979:
3097:
17839:
15168:
12047:
455:
405:
23648:
18826:
16211:
11090:
10076:
9776:
5753:
14553:
10390:
8091:
25057:
21571:
21327:
18273:
14136:
4596:
312:
235:
19873:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&{\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}
15624:
15581:
14987:
5658:
16978:
is a holomorphic function from the right half-plane to the space of tempered distributions. It admits a unique meromorphic extension to a tempered distribution, also denoted
22808:
22391:{\displaystyle 2^{\delta }\,{\frac {\Gamma (\delta +1)}{\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(|{\boldsymbol {\omega }}|)}
15763:
15712:
14733:
2849:
430:
380:
16592:
14308:
12902:
10879:
5095:
14644:
13033:
8736:
8303:
14224:
11362:
6703:
7287:
7015:
6709:
4529:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f_{3}}}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}
2988:
24620:
18400:
18111:
17664:
13717:
13336:
10750:
4857:
17441:
15308:
15273:
13151:
6528:
5291:
24545:
22712:
19537:
12387:
9204:
7358:
4078:
26590:, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups,
24796:
22261:{\displaystyle {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }\,|{\boldsymbol {\xi }}|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(2\pi |{\boldsymbol {\xi }}|)}
4224:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f_{1}}}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}
18977:
18832:
17364:
10152:
9852:
6585:
2928:
24039:
22909:
11753:
11615:
10466:
6354:
10594:
24713:
13109:
13054:
12872:
12838:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}
9655:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}
6552:
18117:
23548:{\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}}
20034:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}
11096:
10010:
7438:
12533:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\triangleq {\hat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}
9350:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\triangleq {\hat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}
23123:{\displaystyle c_{n,\alpha }=\pi ^{\frac {n}{2}}2^{\alpha }{\frac {\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-\alpha }{2}}\right)}}.}
22641:
16317:
11231:
9711:
26385:
16109:
13826:
10325:
22026:
13440:
11165:
2976:
8425:
6435:
8952:
8863:
7960:
7881:
7082:
5439:
5368:
26712:
26406:
25796:
Correia, L. B.; Justo, J. F.; Angélico, B. A. (2024). "Polynomial
Adaptive Synchrosqueezing Fourier Transform: A method to optimize multiresolution".
19699:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i2\pi (\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}
18631:{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
12309:
8510:
7692:
7616:
3776:
23146:
by analytic continuation, but then the function and its
Fourier transforms need to be understood as suitably regularized tempered distributions. See
17370:
15530:
th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from rules 107 and 301. Combining this rule with 101, we can transform all
5297:
3888:
27221:
13908:
5533:
23367:{\displaystyle e^{-2\pi ^{2}{\boldsymbol {\xi }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\xi }}}}
18062:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}\\={}&2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)\end{aligned}}}
17514:
16438:
7802:
6276:
525:(i.e. delay) in the time domain is interpreted as complex phase shifts in the frequency domain. The Fourier transform decomposes a function into
23886:{\displaystyle {\frac {c_{n}(2\pi )^{\frac {n+2}{2}}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}
7540:
27034:
26703:
11436:
6890:
6810:
21211:
26633:
20585:
20427:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \,|ab|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}
15811:
4746:
4674:
15314:
13517:
2969:
Original function, which has a strong 3 Hz component. Real and imaginary parts of the integrand of its
Fourier transform at +3 Hz.
25886:
21151:
19254:{\displaystyle {\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1}}
16818:{\displaystyle {\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}}
14819:
5101:
16098:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{x^{n}}}\\&:={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|\end{aligned}}}
14391:
7293:
4602:
20566:{\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}
7156:
24638:
24319:
24026:{\displaystyle {\frac {c_{n}(2\pi )^{n+1}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}
21091:
17250:
20989:{\displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}
12036:{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)}
8852:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}
27170:
Simonen, P.; Olkkonen, H. (1985), "Fast method for computing the
Fourier integral transform via Simpson's numerical integration",
18262:{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
8414:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}
27501:
20081:
19348:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}}
13157:
25977:
17128:
15387:
7021:
26173:
Clozel, Laurent; Delorme, Patrice (1985), "Sur le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs réels",
21439:
17601:
25153:
20869:{\displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}
18738:{\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
13990:
10930:
9047:
6590:
27479:
27454:
27422:
27339:
27313:
27266:
27235:
27161:
27143:
27080:
27044:
26949:
26858:
26810:
26784:
26762:
26744:
26676:
26622:
26537:
26469:
26451:
26309:
26289:
26264:
26083:
26046:
23561:
normalized to 1 with a mean of 0. Bold variables are vectors or matrices. Following the notation of the aforementioned page,
15630:
13593:
11826:
8600:
6155:
6096:
4987:
4928:
3946:
12272:{\displaystyle {\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}
8199:
8148:
6031:
4863:
26793:
Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023), "Chapter 2.3 Fourier
Transform as a Limiting Case of Fourier Series",
25985:
21386:
11368:
70:
18966:{\displaystyle -{\frac {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\left|\omega \right|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right)}
3568:
320:
243:
24623:
19442:{\displaystyle {\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}}
13209:
8097:
3270:
3108:
2945:
15862:
6222:
3491:
3345:
3263:
3101:
27288:
24718:
24254:
20755:{\displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}
12908:
85:
75:
21041:
15450:
3422:
27122:
27005:
26164:
25967:
23596:
21333:
17828:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}
15769:
13815:{\displaystyle {\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}
11499:
3715:, which is the Fourier transform of the rectangular function, is bounded and continuous, but not Lebesgue integrable.
17:
24470:
24389:, operator-valued Fourier transforms of operator-valued functions of spacetime are in frequent use, see for example
19109:
17088:
13429:{\displaystyle {\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}
27214:
We may think of a real sinusoid as being the sum of a positive-frequency and a negative-frequency complex sinusoid.
26895:
23558:
10282:
5969:
20281:{\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left({\frac {\xi _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\xi _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}
15157:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}}
13060:
11742:{\displaystyle {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)}
24244:
17048:
16698:{\displaystyle -{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|2\pi \xi |^{\alpha +1}}}}
11578:
9973:
9674:
5938:{\displaystyle {\widehat {f_{3}}}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{3}}{\longleftrightarrow }}\ 2\pi f(-\omega )\,}
5209:
5163:
3188:
60:
10739:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
26417:
26154:
25725:
24843:
24550:
24382:
18515:{\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}
16923:{\displaystyle -{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}}
10885:
3966:
24409:
17008:
14939:
14506:
14089:
10558:
3498:
3352:
27566:
27327:
27252:
27026:
26256:
24202:
19044:
17922:{\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}
15246:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}}
13256:
12149:{\displaystyle {\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}
10985:
5611:
23739:{\displaystyle {\frac {c_{n}\alpha }{\left(\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\xi }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}
17214:
17181:
16306:{\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}
10141:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
9841:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
5837:{\displaystyle {\widehat {f_{2}}}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{2}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\omega )\,}
2855:
27551:
26425:
24297:
24212:
17295:
14633:{\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
12949:
10455:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
3670:
3038:
18332:{\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
14213:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
438:
388:
27356:
27199:
26101:
Celeghini, Enrico; Gadella, Manuel; del Olmo, Mariano A. (2021), "Hermite
Functions and Fourier Series",
24307:
24292:
24207:
18797:
15062:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\pi \xi ^{2}}{\alpha }}}}
11054:
5742:{\displaystyle {\widehat {f_{1}}}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{1}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\xi )\,}
3761:
470:
24806:
Up to an imaginary constant factor whose magnitude depends on what
Fourier transform convention is used.
8058:
27556:
27362:
27258:
27227:
27094:
26850:
26668:
26429:
26374:
26362:
26146:
26067:
25033:
24369:
24349:
24264:
24249:
24217:
24161:
22898:{\displaystyle {\frac {(2\pi )^{\frac {n}{2}}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )}}
21544:
21294:
14806:{\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
4548:
3829:
3797:
286:
209:
141:
65:
31:
15587:
15544:
14378:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
27546:
27297:
24287:
24182:
24177:
14722:{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
3730:
3666:
134:
112:
26007:
15741:
15681:
14297:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
413:
363:
27402:
Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series With Engineering Applications
24151:
24146:
23147:
16996:
16560:
16431:
12878:
10838:
6799:{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,}
5054:
26189:(1937), "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations",
13008:
8694:
8261:
27561:
27507:
27200:"Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition"
26421:
24324:
17734:{\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)}
17588:
11323:
11034:
10819:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
6668:
25878:
17503:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}
7250:
6978:
3941:
27531:
26002:
24197:
24172:
22797:{\displaystyle {\frac {(2\pi )^{\alpha }}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\xi }}|^{-(n-\alpha )}}
17327:
15935:
7427:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,}
3920:
522:
26891:"Numerical Fourier transforms in one, two, and three dimensions for liquid state calculations"
24598:
18369:
18080:
13687:
13306:
4826:
27133:
26437:
26059:
19031:{\displaystyle -{\frac {\pi }{\left|\omega \right|}}-2\pi \gamma \delta \left(\omega \right)}
18890:{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left|\xi \right|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)}
18784:
15285:
15258:
13123:
10214:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
9914:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
6513:
5263:
126:
24524:
24120:{\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\pi ^{\frac {n+1}{2}}}},}
22994:{\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )}}
19507:
15731:
th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from 106 and 302.
12362:
11804:{\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)}
11668:{\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)}
10528:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}
9179:
6424:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+{\sqrt {2\pi }}C\delta (\omega )}
4053:
100:
An example application of the Fourier transform is determining the constituent pitches in a
27414:
27110:
26904:
26724:
26656:
26599:
26350:
26342:
26200:
26120:
25994:
24769:
24386:
24314:
24156:
12995:
11561:
10656:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}
10224:
9924:
6531:
3696:
2839:
108:
27089:
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992),
17340:
6561:
2904:
8:
25978:"A fast method for the numerical evaluation of continuous Fourier and Laplace transforms"
24365:
18183:{\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}
11813:
11565:
10546:
7238:
3746:
3700:
3681:
137:
could use the relative intensity of these peaks to infer which notes the pianist pressed.
27114:
26908:
26728:
26692:, vol. II, Calcul Intégral: Intégrales définies et indéfinies (2nd ed.), Paris
26204:
26124:
25998:
26955:
26881:
26827:
26816:
26776:
26522:
26509:
26491:
26244:
26223:
26110:
24698:
24364:
provides solid justification for these formal procedures without going too deeply into
24222:
24187:
22553:
19096:
15939:
13586:
13094:
13039:
12857:
12294:
11154:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}}
10065:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}
9040:
8593:
7507:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,}
6537:
3909:
3777:
Hermite polynomials § Hermite functions as eigenfunctions of the Fourier transform
2843:
27517:
24385:
one encounters vector-valued Fourier transforms of multi-component wave functions. In
27514:
27475:
27450:
27418:
27404:, Cambridge, Mass.: Technology Press and John Wiley & Sons and Chapman & Hall
27335:
27309:
27284:
27262:
27231:
27187:
27183:
27157:
27139:
27118:
27103:
27076:
27040:
27001:
26994:
26989:
26985:
26945:
26916:
26875:
26867:
26854:
26820:
26806:
26780:
26758:
26740:
26697:
26672:
26618:
26570:
26550:
26533:
26465:
26447:
26391:
26305:
26285:
26260:
26228:
26160:
26079:
26042:
26020:
25963:
25683:
More generally, one can take a sequence of functions that are in the intersection of
24345:
24282:
24239:
24232:
22701:{\displaystyle |\mathbf {x} |^{-\alpha },\quad 0<\operatorname {Re} \alpha <n.}
16947:
some singular terms arise at the origin that can be found by differentiating 320. If
16402:{\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}
15943:
11293:
11283:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}
10236:
9765:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}
8248:
8045:
7775:
3757:
27390:
27053:
26647:
26606:
16200:{\displaystyle -i\pi {\frac {(-i2\pi \xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )}
13897:{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}
10379:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}
27442:
27386:
27179:
27025:, American Mathematical Society Colloquium Publications, Providence, Rhode Island:
26959:
26937:
26912:
26798:
26732:
26642:
26513:
26501:
26433:
26218:
26208:
26128:
26012:
25805:
24302:
24259:
24227:
22121:{\displaystyle \chi _{}(|\mathbf {x} |)\left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right)^{\delta }}
21275:
13506:{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}
11220:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}
178:
80:
27:
Mathematical transform that expresses a function of time as a function of frequency
27463:
27432:
27374:
17935:
function. This result can be derived from 302 and 102, together with the fact that
17326:
The dual of rule 311. This time the Fourier transforms need to be considered as a
8499:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}\,}
6501:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+2\pi C\delta (\omega )}
2982:
Real and imaginary parts of the integrand for its Fourier transform at +5 Hz.
27471:
27438:
27348:
27331:
27305:
27057:
26933:
26844:
26835:
26652:
26614:
26595:
26591:
26529:
26346:
26299:
26055:
23004:
21028:
18766:
18356:
10228:
9030:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}}
8941:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}}
8028:{\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}
7949:{\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}
7145:{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,}
5499:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}
5428:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}
26631:
Howe, Roger (1980), "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis",
24840:, p. 363, with the non-unitary conventions of this table, the transform of
24823:) must be changed away from the default option, which is actually equivalent to
24819:
would also work for Wolfram Alpha, although the options for the convention (see
8583:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}}
7757:{\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}
7681:{\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}
27397:
27370:
27018:
26890:
26685:
26578:
26566:
26558:
26546:
26443:
26402:
26381:
26334:
26281:
26159:, Texts in Statistical Science (6th ed.), London: Chapman & Hall/CRC,
24192:
17430:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)}
16965:
is a locally integrable function, and so a tempered distribution. The function
15512:
2898:
55:
27446:
26941:
26802:
26505:
25809:
24825:
integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf
5357:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}
3889:
Distribution (mathematics) § Tempered distributions and Fourier transform
27540:
27014:
26479:
26186:
25726:"Applied Fourier Analysis and Elements of Modern Signal Processing Lecture 3"
24763:
15911:
13977:{\displaystyle -i\pi {\bigl (}\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a){\bigr )}}
12305:
10240:
10232:
9931:
5593:{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}
3772:
3712:
3707:
526:
122:
4001:
27352:
26871:
26395:
26232:
17567:{\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}
16544:{\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|}
7870:{\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,}
6555:
6343:{\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\xi )}{i2\pi \xi }}+C\,\delta (\xi )}
600:
27191:
26213:
19099:. The details of this might change the coefficient of the delta function.
7605:{\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,}
3991:
27248:
27244:
26846:
Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples
11488:{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}
7226:
6959:{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}
6879:{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}
3818:
129:
of the chord (C, E, G). The remaining smaller peaks are higher-frequency
125:. The first three peaks on the left correspond to the frequencies of the
26133:
26039:
Time–Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference
21265:{\displaystyle {\frac {2\pi }{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}
27091:
Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, Second Edition
26482:(2013), "On Fourier transforms of radial functions and distributions",
24167:
20633:{\displaystyle \operatorname {circ} \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
17932:
15851:{\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}
15531:
15275:
is real. For the case that alpha is complex see table entry 206 above.
4807:{\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,}
4735:{\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,}
3691:
474:
182:
27411:
Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics
26736:
21014:, and is 0 otherwise. The result is the amplitude distribution of the
15376:{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )}
13576:{\displaystyle \pi \left(\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right)}
27522:
27375:"Remarks on the Classical Inversion Formula for the Laplace Integral"
27072:
26273:
21015:
4006:
462:
174:
26016:
21200:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}
14923:{\displaystyle \sin(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}.}
5152:{\displaystyle {\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)\,}
3686:
499:). The bottom row shows a delayed unit pulse as a function of time (
26115:
24269:
14490:{\displaystyle \cos(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}.}
2994:
Magnitude of its Fourier transform, with +3 and +5 Hz labeled.
615:
Summary of popular forms of the Fourier transform, one-dimensional
130:
104:
27105:
Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications
26496:
7347:{\displaystyle \left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\xi )\,}
96:
26978:
26416:
25822:
20071:
are real numbers. The integrals are taken over the entire plane.
4663:{\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\xi )+b\,{\widehat {g}}(\xi )\,}
116:
27088:
25833:
7206:{\displaystyle {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,}
3996:
27496:
24688:{\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}
21500:
9142:
595:
155:
34:, which may be a simpler introduction to the Fourier transform.
27283:, vol. 2, New Delhi, India: I. K. International Pvt Ltd,
21140:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}
20575:
Both functions are Gaussians, which may not have unit volume.
19459:. Use differentiation to derive formula for higher exponents.
17284:{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}}
164:
19047:. It is necessary to use a finite part integral when testing
119:
101:
4016:
3719:
27135:
Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions
26877:
Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis
26191:
20154:{\displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}}
13198:{\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}
2950:
2897:
is depicted in the complex plane, the vector formed by its
185:(4). The red and blue sinusoids have a phase difference of
27512:
26339:
An Introduction to Probability Theory and Its Applications
17162:{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\omega |}}}}
15439:{\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}
7071:{\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ){\widehat {g}}(\xi )\,}
2848:
177:
can be described by peak amplitude (1), peak-to-peak (2),
27000:(2nd ed.), Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall,
21486:{\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{x}+i\omega _{y}}}}
17653:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}
12308:
of the Fourier transform operator. For a derivation, see
11292:
This shows that, for the unitary Fourier transforms, the
4011:
4002:
Numerical integration of closed-form continuous functions
2965:
26100:
25528:
25526:
25524:
25358:
14073:{\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}
10974:{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}}
9130:{\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}
6652:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(f(x)-C)\,dx=0}
601:
Unitarity and definition for square integrable functions
510:) and its Fourier transform as a function of frequency (
488:) and its Fourier transform as a function of frequency (
27109:(3 ed.). New Jersey: Prentice-Hall International.
26442:, translated by Scripta Technica, Inc. (8th ed.),
26411:, translated by Alexander Freeman, The University Press
15670:{\displaystyle {\frac {(i\omega )^{n}}{\sqrt {2\pi }}}}
13671:{\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}
11895:{\displaystyle e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)\,}
8678:{\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}
6203:{\displaystyle (i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,}
6144:{\displaystyle (i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,}
5035:{\displaystyle e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,}
4976:{\displaystyle e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,}
3992:
Discrete Fourier transforms and fast Fourier transforms
3844:
3807:
3781:
27277:"Chapter 18: Fourier integrals and Fourier transforms"
26054:
25368:
25366:
24909:
8239:{\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}}
8188:{\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}}
6085:{\displaystyle (i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi )\,}
4917:{\displaystyle e^{-i2\pi \xi a}{\widehat {f}}(\xi )\,}
2999:
2946:
Negative frequency § Simplifying the Fourier transform
442:
417:
392:
367:
324:
290:
247:
213:
25521:
25036:
24886:
24846:
24772:
24721:
24701:
24641:
24601:
24553:
24527:
24473:
24412:
24042:
23900:
23753:
23651:
23599:
23486:
23381:
23302:
23163:
23014:
22912:
22811:
22715:
22644:
22405:
22275:
22135:
22029:
21887:
21721:
21580:
21547:
21442:
21428:{\displaystyle {\frac {1}{\omega _{x}+i\omega _{y}}}}
21389:
21336:
21297:
21214:
21154:
21094:
21044:
20883:
20769:
20647:
20588:
20441:
20295:
20168:
20084:
19887:
19713:
19546:
19510:
19362:
19268:
19159:
19112:
18980:
18904:
18835:
18800:
18645:
18529:
18409:
18372:
18276:
18197:
18120:
18083:
17942:
17842:
17748:
17667:
17604:
17517:
17444:
17373:
17343:
17298:
17253:
17217:
17184:
17131:
17091:
17051:
17011:
16832:
16712:
16601:
16563:
16441:
16320:
16214:
16112:
15959:
15865:
15814:
15772:
15744:
15684:
15633:
15590:
15547:
15453:
15390:
15317:
15288:
15261:
15171:
15076:
14990:
14942:
14822:
14736:
14647:
14556:
14509:
14394:
14311:
14227:
14139:
14092:
13993:
13911:
13829:
13726:
13690:
13596:
13520:
13443:
13345:
13309:
13259:
13212:
13160:
13126:
13097:
13063:
13042:
13011:
12952:
12911:
12881:
12860:
12707:
12547:
12396:
12365:
12163:
12050:
11909:
11829:
11756:
11682:
11618:
11581:
11502:
11439:
11425:{\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}
11371:
11326:
11234:
11168:
11099:
11057:
10988:
10933:
10888:
10841:
10753:
10670:
10597:
10561:
10469:
10393:
10328:
10285:
10155:
10079:
10013:
9976:
9855:
9779:
9714:
9677:
9524:
9364:
9213:
9182:
9050:
8955:
8866:
8745:
8697:
8603:
8513:
8428:
8312:
8264:
8202:
8151:
8100:
8061:
7963:
7884:
7805:
7695:
7619:
7543:
7441:
7361:
7296:
7253:
7159:
7085:
7024:
6981:
6893:
6813:
6712:
6671:
6593:
6564:
6540:
6516:
6438:
6357:
6279:
6225:
6158:
6099:
6034:
5972:
5851:
5756:
5661:
5614:
5536:
5442:
5371:
5300:
5266:
5212:
5166:
5104:
5057:
4990:
4931:
4866:
4829:
4749:
4677:
4605:
4551:
4398:
4238:
4087:
4056:
3955:
3571:
3501:
3425:
3355:
3273:
3191:
3111:
3041:
2907:
2858:
2474:
2037:
1692:
1343:
966:
635:
529:
for the group of translations. The imaginary part of
441:
416:
391:
366:
323:
289:
246:
212:
27254:
Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
26984:
25795:
25715:-limit of the Fourier transforms of these functions.
25584:
25189:
3634:{\displaystyle i\ {\hat {f}}_{IE}+i{\hat {f}}_{IO},}
350:{\displaystyle \scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )}
273:{\displaystyle \scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )}
25879:"The Integration Property of the Fourier Transform"
25363:
25210:
25208:
25206:
25204:
25202:
25200:
25198:
22593:is a Bessel function of the first kind, with order
13245:{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega -a)}
8137:{\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\xi )}}}
3333:{\displaystyle {\hat {f}}_{RO}+i\ {\hat {f}}_{IE},}
3171:{\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+i\ {\hat {f}}_{IO}.}
27102:
27059:Théorie analytique de la propagation de la chaleur
26993:
26521:
26175:Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I
25975:
25844:
25283:
25281:
25279:
25277:
25275:
25051:
25021:
24871:
24790:
24754:
24707:
24687:
24614:
24587:
24539:
24513:
24459:
24272:, especially the image NGC 4622 Fourier transform
24119:
24025:
23885:
23738:
23636:
23547:
23471:
23366:
23287:
23122:
22993:
22897:
22796:
22700:
22534:
22390:
22260:
22120:
22007:
21872:
21706:
21565:
21485:
21427:
21374:
21321:
21264:
21199:
21139:
21079:
20988:
20868:
20754:
20632:
20565:
20426:
20280:
20153:
20033:
19872:
19698:
19531:
19441:
19347:
19253:
19144:
19030:
18965:
18889:
18820:
18737:
18630:
18514:
18394:
18331:
18261:
18182:
18105:
18061:
17921:
17827:
17733:
17652:
17566:
17502:
17429:
17358:
17316:
17283:
17238:
17202:
17161:
17116:
17076:
17036:
16922:
16817:
16697:
16586:
16543:
16401:
16305:
16199:
16097:
15934:is not a distribution. It is necessary to use the
15893:{\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\omega )}
15892:
15850:
15799:
15757:
15706:
15669:
15618:
15575:
15497:
15438:
15375:
15302:
15267:
15245:
15156:
15061:
14975:
14922:
14805:
14721:
14632:
14541:
14489:
14377:
14296:
14212:
14124:
14072:
13976:
13896:
13814:
13711:
13670:
13575:
13505:
13428:
13330:
13286:
13244:
13197:
13145:
13103:
13082:
13048:
13027:
12973:
12937:
12896:
12866:
12837:
12692:
12532:
12381:
12271:
12148:
12035:
11894:
11803:
11741:
11667:
11603:
11542:
11487:
11424:
11356:
11282:
11219:
11153:
11084:
11012:
10973:
10918:
10873:
10818:
10738:
10655:
10582:
10527:
10454:
10378:
10313:
10213:
10140:
10064:
9998:
9913:
9840:
9764:
9699:
9654:
9509:
9349:
9198:
9129:
9029:
8940:
8851:
8730:
8677:
8582:
8498:
8413:
8297:
8238:
8187:
8136:
8085:
8027:
7948:
7869:
7756:
7680:
7604:
7506:
7426:
7346:
7281:
7205:
7144:
7070:
7009:
6958:
6878:
6798:
6697:
6651:
6579:
6546:
6522:
6500:
6423:
6342:
6265:{\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(\tau )d\tau }
6264:
6202:
6143:
6084:
6019:
5937:
5836:
5741:
5646:
5592:
5498:
5427:
5356:
5285:
5243:
5197:
5151:
5089:
5034:
4975:
4916:
4851:
4806:
4734:
4662:
4590:
4528:
4383:
4223:
4072:
4007:Numerical integration of a series of ordered pairs
3650:
3633:
3557:
3478:
3411:
3332:
3253:
3170:
3091:
2922:
2889:
2810:
2454:
2010:
1652:
1323:
939:
449:
424:
399:
374:
349:
306:
272:
229:
27066:
26826:
26792:
25480:
25078:
24755:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}
22528:
22512:
12938:{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega )}
12325:
3960:
3903:
3687:Uniform continuity and the Riemann–Lebesgue lemma
2955:
2231:
1130:
27538:
27101:Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996).
27100:
26519:
26390:(in French), Paris: Firmin Didot, père et fils,
25976:Bailey, David H.; Swarztrauber, Paul N. (1994),
25382:
25380:
25195:
24390:
21080:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}
15498:{\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\omega )}
11301:is its own Fourier transform for some choice of
3660:
3479:{\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+{\hat {f}}_{RO},}
27347:
27302:Introduction to the theory of Fourier integrals
27169:
26866:
26565:
25866:
25816:
25649:
25532:
25469:
25272:
23637:{\displaystyle e^{-2\pi \alpha |\mathbf {x} |}}
21375:{\displaystyle {\frac {1}{\xi _{x}+i\xi _{y}}}}
15800:{\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )}
11543:{\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}
27434:Integral Transforms in Science and Engineering
27219:
26477:
26250:
26091:
25672:
25601:
25590:
25372:
25252:
25250:
25248:
25246:
25244:
24514:{\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}
19145:{\displaystyle \left(\mp ix\right)^{-\alpha }}
18747:This is a generalization of 317. The function
17117:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}}
3898:
3185:The transform of an imaginary-valued function
2823:
27379:Bulletin of the American Mathematical Society
27036:Introduction to Fourier Analysis and Wavelets
26634:Bulletin of the American Mathematical Society
26545:
26238:
26172:
25503:
25491:
25377:
24837:
24817:fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)
17591:; this follows from rules 101, 301, and 314.
13969:
13923:
10314:{\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(ax)}
6020:{\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,}
3997:Analytic integration of closed-form functions
3925:
3823:
27368:
26832:Theorems and Problems in Functional Analysis
26432:; Jeffrey, Alan (2015), Zwillinger, Daniel;
26156:The Analysis of Time Series: An Introduction
26094:Fourier Integrals for Practical Applications
25566:
24352:, or other approach may be most appropriate.
19469:
13083:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}
9143:Square-integrable functions, one-dimensional
3751:
3724:
3182:transform implies a real-valued time-domain.
596:Definition for Lebesgue integrable functions
27013:
25705:-norm, and define the Fourier transform of
25458:
25241:
24521: The value of this function at
17077:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}}
11604:{\displaystyle \operatorname {sech} (ax)\,}
9999:{\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)\,}
9700:{\displaystyle \operatorname {rect} (ax)\,}
5244:{\displaystyle {\widehat {f}}(\omega -a)\,}
5198:{\displaystyle {\widehat {f}}(\omega -a)\,}
3655:
3254:{\displaystyle (i\ f_{_{IE}}+i\ f_{_{IO}})}
30:Not to be confused with Fourier's original
27296:
27243:
27067:Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998),
26770:
26702:: CS1 maint: location missing publisher (
26585:
26239:de Groot, Sybren R.; Mazur, Peter (1984),
26076:The Fourier Transform and Its Applications
25941:
25929:
25906:
25772:
25748:
25287:
25214:
25165:
24821:Fourier transform § Other conventions
13585:This follows from rules 101 and 303 using
8592:This follows from rules 101 and 103 using
3798:Laplace transform § Fourier transform
461:
26646:
26605:
26495:
26341:, vol. II (2nd ed.), New York:
26272:
26222:
26212:
26152:
26140:
26132:
26114:
26096:, New York: D. Van Nostrand Company, Inc.
26092:Campbell, George; Foster, Ronald (1948),
26073:
26006:
25613:
25554:
25515:
25114:
24872:{\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}
24588:{\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}
24320:Time stretch dispersive Fourier transform
22286:
22169:
21992:
21940:
21857:
21805:
21691:
21633:
21562:
20308:
20020:
20013:
19859:
19852:
19685:
19678:
18283:
18210:
18127:
16733:
16233:
15299:
15184:
15095:
15003:
14972:
13840:
13454:
13223:
13079:
13024:
12922:
12824:
12679:
12519:
12378:
11891:
11600:
11452:
11353:
11305:. For this to be integrable we must have
11247:
11184:
11112:
11081:
10919:{\displaystyle {\frac {1}{a+i2\pi \xi }}}
10870:
10776:
10696:
10652:
10620:
10492:
10419:
10351:
10178:
10105:
10061:
10036:
9995:
9878:
9805:
9737:
9696:
9641:
9496:
9336:
9195:
8495:
8024:
7945:
7866:
7753:
7677:
7601:
7503:
7423:
7343:
7278:
7202:
7141:
7067:
7006:
6795:
6694:
6636:
6327:
6199:
6140:
6081:
6016:
5947:The same transform is applied twice, but
5934:
5833:
5738:
5643:
5589:
5495:
5424:
5353:
5282:
5240:
5194:
5148:
5086:
5031:
4972:
4913:
4848:
4803:
4781:
4753:
4731:
4709:
4681:
4659:
4637:
4609:
4587:
4574:
4555:
4515:
4370:
4210:
4069:
4017:Functional relationships, one-dimensional
3882:
3720:Plancherel theorem and Parseval's theorem
2901:rotates around the origin. Its real part
2797:
2738:
2573:
2527:
2441:
2382:
2169:
2123:
1997:
1932:
1797:
1745:
1639:
1622:
1439:
1419:
1310:
1293:
1080:
1060:
926:
903:
737:
711:
107:. This image is the result of applying a
27321:
27156:(3rd ed.), Singapore: McGraw Hill,
27052:
27023:Fourier Transforms in the Complex Domain
26795:Fourier Optics and Computational Imaging
26690:Cours d'Analyse de l'École Polytechnique
26586:Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970),
26459:
26439:Table of Integrals, Series, and Products
26036:
25661:
25637:
25386:
24460:{\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}
24361:
17037:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}}
16434:defined by the distributional derivative
14976:{\displaystyle e^{-\pi i\alpha x^{2}}\,}
14542:{\displaystyle \sin \left(ax^{2}\right)}
14125:{\displaystyle \cos \left(ax^{2}\right)}
10583:{\displaystyle \operatorname {tri} (ax)}
3945:
3812:
3706:
3690:
3558:{\displaystyle (f_{_{RO}}+i\ f_{_{IE}})}
3412:{\displaystyle (f_{_{RE}}+i\ f_{_{IO}})}
3035:The transform of a real-valued function
2964:
2951:Fourier transform for periodic functions
2847:
605:
140:
95:
26752:
26665:A Student's Guide to Fourier Transforms
26401:
26380:
26368:
26356:
26324:
25625:
25435:
25419:
25417:
25346:
25322:
25236:
25225:
25137:
25125:
24994:
24403:
23981:
23841:
23694:
23539:
23526:
23520:
23507:
23463:
23450:
23444:
23431:
23358:
23345:
23339:
23326:
23265:
23248:
23175:
22960:
22864:
22763:
22519:
22447:
22376:
22315:
22246:
22176:
21978:
21916:
21843:
21750:
21677:
21609:
13287:{\displaystyle 2\pi \delta (\omega -a)}
11562:two-sided decaying exponential function
11013:{\displaystyle {\frac {1}{a+i\omega }}}
10239:impulse response of such a filter. The
5647:{\displaystyle {\widehat {f_{n}}}(x)\,}
5253:Shift in frequency domain, dual of 102
3839:
14:
27539:
27462:
27408:
27396:
27274:
27220:Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003),
27131:
27032:
26922:
26710:
26684:
26333:
26297:
26185:
25957:
25918:
25760:
25578:
25543:
25397:
25359:Celeghini, Gadella & del Olmo 2021
25267:
25256:
25177:
25149:
25102:
25090:
24820:
24402:A possible source of confusion is the
18785:Chebyshev polynomial of the first kind
17239:{\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}}
17203:{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
15942:. This rule is useful in studying the
11560:. That is, the Fourier transform of a
4012:Tables of important Fourier transforms
3986:
3834:
3740:
2890:{\displaystyle A\cdot e^{i2\pi \xi t}}
434:
409:
316:
71:Discrete Fourier transform over a ring
27513:
27324:Fourier Analysis and its Applications
27151:
26842:
26662:
26611:Linear Partial Differential Operators
26462:Classical and Modern Fourier Analysis
26371:Fourier analysis and its applications
26078:(3rd ed.), Boston: McGraw-Hill,
25784:
25310:
25298:
17317:{\displaystyle {\frac {2}{i\omega }}}
12974:{\displaystyle 2\pi \delta (\omega )}
12304:then the Gauss–Hermite functions are
3092:{\displaystyle (f_{_{RE}}+f_{_{RO}})}
3019:
2939:
384:
359:
282:
239:
27532:Fourier Transform in Crystallography
27430:
26926:The Fourier Transform in a Nutshell.
26888:
26773:An Introduction to Harmonic Analysis
26630:
25986:SIAM Journal on Scientific Computing
25855:
25447:
25423:
25414:
25408:
25334:
22564:is the gamma function. The function
9039:This follows from 101 and 103 using
3976:
3971:
3942:Spectral density § Applications
3914:
3845:Fourier transform on function spaces
3808:Fourier transform on Euclidean space
3791:
3782:Connection with the Heisenberg group
2934:
574:
552:
450:{\displaystyle \scriptstyle \omega }
400:{\displaystyle \scriptstyle \omega }
205:
27304:(2nd ed.), Oxford University:
26520:Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996),
25960:Mathematical Methods for Physicists
24622:has been shifted to zero (also see
18821:{\displaystyle \log \left|x\right|}
14815:This follows from 101 and 207 using
14387:This follows from 101 and 207 using
13986:This follows from 101 and 303 using
11085:{\displaystyle e^{-\alpha x^{2}}\,}
3004:
3000:Properties of the Fourier transform
24:
26755:A First Course in Fourier Analysis
25190:Oppenheim, Schafer & Buck 1999
24959:
24928:
24255:List of Fourier-related transforms
24059:
23532:
23513:
23456:
23437:
23351:
23332:
23257:
23240:
23085:
23062:
22409:
22290:
22139:
21284:, a 2-D Fourier "self-transform".
19374:
19280:
19186:
18026:
18021:
17969:
17964:
17877:
17872:
17783:
17778:
17697:
17692:
17624:
17619:
16871:
16766:
16640:
12788:
12783:
12643:
12638:
12477:
12472:
9605:
9600:
9460:
9455:
9294:
9289:
8086:{\displaystyle {\overline {f(x)}}}
6607:
6602:
6234:
5895:
5800:
5705:
4479:
4474:
4334:
4329:
4168:
4163:
3981:
3956:Analysis of differential equations
3893:
3735:
1589:
1584:
1402:
1397:
1260:
1255:
1043:
1038:
870:
865:
694:
689:
76:Fourier transform on finite groups
25:
27578:
27489:
27223:Fourier Analysis: An introduction
27197:
27172:Journal of Biomedical Engineering
25052:{\displaystyle \lambda =-\alpha }
24406:; i.e. the transform of function
21566:{\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}
21322:{\displaystyle {\frac {i}{x+iy}}}
12312:. The formula reduces to 206 for
5951:replaces the frequency variable (
4591:{\displaystyle a\,f(x)+b\,g(x)\,}
3786:
3766:
3565:is the imaginary-valued function
307:{\displaystyle \scriptstyle g(t)}
230:{\displaystyle \scriptstyle f(t)}
27495:
27281:Advanced Engineering Mathematics
26979:Fundamentals of Music Processing
26896:Journal of Computational Physics
26830:; Gvishiani, Alexei D. (1982) ,
26387:Théorie analytique de la chaleur
26359:Harmonic analysis in phase space
25962:(3rd ed.), Academic Press,
24853:
23623:
23559:multivariate normal distribution
23279:
23234:
22651:
22091:
22061:
21997:
21986:
21959:
21862:
21851:
21824:
21696:
21685:
21652:
21555:
15619:{\displaystyle (i2\pi \xi )^{n}}
15576:{\displaystyle \delta ^{(n)}(x)}
8251:, generalization of 110 and 113
3014:
2987:
2975:
198:
163:
154:
27391:10.1090/s0002-9904-1938-06812-7
26996:Discrete-time signal processing
26648:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9
26418:Gradshteyn, Izrail Solomonovich
26251:Duoandikoetxea, Javier (2001),
25935:
25923:
25912:
25900:
25889:from the original on 2022-01-26
25871:
25860:
25849:
25838:
25827:
25789:
25778:
25766:
25754:
25742:
25718:
25677:
25666:
25655:
25643:
25631:
25619:
25607:
25595:
25572:
25560:
25548:
25537:
25509:
25497:
25485:
25474:
25463:
25452:
25441:
25429:
25402:
25391:
25352:
25340:
25328:
25316:
25304:
25292:
25261:
25230:
25219:
25183:
25171:
25159:
25156:before studying Fourier series.
25152:proves on pp. 216–226 the
25143:
25131:
25079:Khare, Butola & Rajora 2023
24830:
24824:
24816:
24809:
24800:
24629:
24344:Depending on the application a
24245:Least-squares spectral analysis
23131:The formula also holds for all
22673:
22556:of the interval . The function
13296:This follows from 103 and 301.
5508:Scaling in the time domain. If
3935:
3930:
3849:
3651:Real and imaginary part in time
3024:
2840:Fourier analysis § History
61:Discrete-time Fourier transform
27069:Handbook of Integral Equations
26868:Kolmogorov, Andrey Nikolaevich
26713:"A Friendly Guide to Wavelets"
26241:Non-Equilibrium Thermodynamics
26143:A Handbook of Fourier Theorems
25845:Bailey & Swarztrauber 1994
25119:
25108:
25096:
25084:
25072:
25030:from which this follows, with
25000:
24989:
24859:
24848:
24782:
24776:
24579:
24566:
24505:
24486:
24422:
24416:
24396:
24391:Greiner & Reinhardt (1996)
24383:relativistic quantum mechanics
24375:
24355:
24338:
23987:
23976:
23924:
23914:
23847:
23836:
23777:
23767:
23700:
23689:
23628:
23618:
23392:
23382:
23007:where the constant is given by
22986:
22974:
22966:
22955:
22926:
22916:
22890:
22878:
22870:
22859:
22825:
22815:
22789:
22777:
22769:
22758:
22729:
22719:
22657:
22646:
22529:
22524:
22514:
22509:
22424:
22412:
22385:
22381:
22371:
22367:
22305:
22293:
22255:
22251:
22241:
22231:
22182:
22171:
22154:
22142:
22097:
22086:
22070:
22066:
22056:
22052:
22047:
22035:
21963:
21955:
21920:
21912:
21906:
21828:
21820:
21781:
21772:
21754:
21746:
21740:
21656:
21648:
21613:
21605:
21599:
21559:
21551:
21531:non-unitary, angular frequency
20460:
20449:
20321:
20310:
20187:
20176:
20008:
19976:
19962:
19950:
19931:
19905:
19899:
19847:
19815:
19801:
19789:
19757:
19731:
19725:
19673:
19641:
19621:
19609:
19590:
19564:
19558:
19526:
19514:
19494:non-unitary, angular frequency
18687:
18681:
18662:
18652:
18580:
18574:
18555:
18545:
18475:
18466:
18457:
18445:
18426:
18416:
18389:
18383:
18143:
18134:
18100:
18094:
18052:
18034:
17931:This function is known as the
17647:
17632:
17556:
17550:
17492:
17486:
17419:
17413:
17353:
17347:
17197:
17191:
17152:
17144:
17107:
17099:
17067:
17059:
17027:
17019:
16901:
16892:
16886:
16874:
16796:
16787:
16781:
16769:
16676:
16661:
16655:
16643:
16574:
16565:
16537:
16529:
16484:
16472:
16455:
16445:
16396:
16390:
16375:
16363:
16346:
16333:
16300:
16294:
16279:
16267:
16250:
16237:
16194:
16188:
16173:
16161:
16144:
16125:
16087:
16079:
16034:
16022:
16005:
15995:
15887:
15881:
15845:
15839:
15794:
15788:
15758:{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
15707:{\displaystyle (i\omega )^{n}}
15695:
15685:
15647:
15637:
15607:
15591:
15570:
15564:
15559:
15553:
15492:
15486:
15481:
15475:
15433:
15427:
15422:
15416:
15370:
15364:
15359:
15353:
14845:
14829:
14417:
14401:
14009:
14000:
13964:
13952:
13943:
13931:
13880:
13868:
13859:
13847:
13706:
13697:
13612:
13603:
13565:
13553:
13544:
13532:
13494:
13482:
13473:
13461:
13325:
13316:
13281:
13269:
13239:
13227:
13021:
13015:
12968:
12962:
12932:
12926:
12891:
12885:
12802:
12796:
12762:
12756:
12744:
12731:
12725:
12719:
12657:
12651:
12602:
12596:
12584:
12571:
12565:
12559:
12491:
12485:
12451:
12445:
12433:
12420:
12414:
12408:
12375:
12369:
12350:non-unitary, angular frequency
12326:Distributions, one-dimensional
12177:
12167:
12064:
12054:
11933:
11923:
11888:
11879:
11597:
11588:
11347:
11339:
11134:
11124:
10965:
10950:
10867:
10861:
10769:
10761:
10613:
10605:
10577:
10568:
10485:
10477:
10344:
10336:
10308:
10299:
10171:
10163:
10029:
10021:
9992:
9983:
9871:
9863:
9730:
9722:
9693:
9684:
9619:
9613:
9579:
9573:
9561:
9548:
9542:
9536:
9474:
9468:
9419:
9413:
9401:
9388:
9382:
9376:
9308:
9302:
9268:
9262:
9250:
9237:
9231:
9225:
9192:
9186:
9167:non-unitary, angular frequency
9066:
9057:
9013:
9001:
8983:
8971:
8924:
8912:
8894:
8882:
8725:
8716:
8707:
8701:
8619:
8610:
8571:
8559:
8541:
8529:
8486:
8474:
8456:
8444:
8292:
8283:
8274:
8268:
8227:
8218:
8176:
8167:
8125:
8116:
8074:
8068:
8015:
8009:
7985:
7976:
7936:
7930:
7906:
7897:
7857:
7851:
7827:
7818:
7744:
7738:
7717:
7708:
7668:
7662:
7641:
7632:
7592:
7586:
7565:
7556:
7500:
7494:
7420:
7414:
7340:
7334:
7275:
7269:
7263:
7257:
7199:
7193:
7178:
7172:
7138:
7132:
7117:
7111:
7064:
7058:
7043:
7037:
7003:
6997:
6994:
6982:
6935:
6929:
6855:
6849:
6774:
6768:
6691:
6685:
6633:
6624:
6618:
6612:
6574:
6568:
6495:
6489:
6460:
6454:
6418:
6412:
6379:
6373:
6337:
6331:
6301:
6295:
6253:
6247:
6196:
6190:
6169:
6159:
6137:
6131:
6110:
6100:
6078:
6072:
6051:
6035:
5995:
5989:
5931:
5922:
5887:
5877:
5871:
5830:
5821:
5792:
5782:
5776:
5735:
5726:
5697:
5687:
5681:
5640:
5634:
5565:
5552:
5544:
5458:
5450:
5387:
5379:
5316:
5308:
5279:
5270:
5237:
5225:
5191:
5179:
5067:
5061:
5028:
5022:
4969:
4963:
4910:
4904:
4845:
4833:
4800:
4794:
4772:
4766:
4728:
4722:
4700:
4694:
4656:
4650:
4628:
4622:
4584:
4578:
4565:
4559:
4493:
4487:
4453:
4447:
4422:
4416:
4348:
4342:
4293:
4287:
4262:
4256:
4182:
4176:
4142:
4136:
4111:
4105:
4066:
4060:
4041:non-unitary, angular frequency
3967:Fourier-transform spectroscopy
3961:Fourier-transform spectroscopy
3904:Locally compact abelian groups
3874:
3645:
3613:
3585:
3552:
3502:
3458:
3433:
3406:
3356:
3312:
3281:
3248:
3192:
3150:
3119:
3086:
3042:
2956:Sampling the Fourier transform
2917:
2911:
2775:
2769:
2719:
2709:
2693:
2687:
2677:
2671:
2638:
2628:
2548:
2542:
2504:
2498:
2419:
2413:
2358:
2348:
2332:
2326:
2316:
2310:
2274:
2264:
2195:
2185:
2144:
2138:
2099:
2089:
2067:
2061:
1969:
1963:
1915:
1909:
1899:
1887:
1862:
1850:
1817:
1807:
1766:
1760:
1722:
1716:
1619:
1613:
1551:
1545:
1535:
1529:
1416:
1410:
1373:
1367:
1290:
1284:
1219:
1213:
1203:
1197:
1057:
1051:
996:
990:
900:
894:
847:
841:
831:
819:
794:
782:
708:
702:
665:
659:
584:
562:
425:{\displaystyle \scriptstyle t}
375:{\displaystyle \scriptstyle t}
343:
337:
300:
294:
266:
260:
223:
217:
133:of the fundamental pitches. A
13:
1:
27328:Graduate Texts in Mathematics
27027:American Mathematical Society
26426:Geronimus, Yuri Veniaminovich
26408:The Analytical Theory of Heat
26327:Tables of Integral Transforms
26325:Erdélyi, Arthur, ed. (1954),
26298:Easton, Roger L. Jr. (2010),
26257:American Mathematical Society
25950:
25481:Kirillov & Gvishiani 1982
16587:{\displaystyle |x|^{\alpha }}
12897:{\displaystyle \delta (\xi )}
11816:is its own Fourier transform
10874:{\displaystyle e^{-ax}u(x)\,}
5959:) after the first transform.
5090:{\displaystyle f(x)e^{iax}\,}
3682:Spectral density § Units
3661:Invertibility and periodicity
2844:Fourier series § History
2828:
546:
27184:10.1016/0141-5425(85)90067-6
26917:10.1016/0021-9991(71)90021-0
26771:Katznelson, Yitzhak (1976),
26278:Fourier Series and Integrals
26041:, Oxford: Elsevier Science,
25066:
24298:Short-time Fourier transform
24213:Fractional Fourier transform
18769:of first kind. The function
13028:{\displaystyle \delta (x)\,}
11035:Heaviside unit step function
8731:{\displaystyle f(x)\sin(ax)}
8298:{\displaystyle f(x)\cos(ax)}
8231:
8180:
8129:
8078:
8019:
7940:
7861:
7748:
7672:
7596:
5529:is concentrated around 0 and
3802:
3671:Fractional Fourier transform
3419:is the real-valued function
3009:
7:
27508:Encyclopedia of Mathematics
27358:A Course of Modern Analysis
27330:, vol. 223, New York:
26430:Tseytlin, Michail Yulyevich
26375:Wadsworth & Brooks/Cole
25867:Simonen & Olkkonen 1985
25650:Whittaker & Watson 1927
25533:Kolmogorov & Fomin 1999
25470:Gelfand & Vilenkin 1964
24404:frequency-shifting property
24308:Spectral density estimation
24293:Quadratic Fourier transform
24139:
21521:unitary, ordinary frequency
20998:The function is defined by
19484:unitary, ordinary frequency
19463:is the Heaviside function.
12340:unitary, ordinary frequency
11357:{\displaystyle e^{-a|x|}\,}
9157:unitary, ordinary frequency
6698:{\displaystyle x^{n}f(x)\,}
4031:unitary, ordinary frequency
3899:Fourier–Stieltjes transform
3029:
2824:Extension of the definition
10:
27583:
27363:Cambridge University Press
27259:Princeton University Press
27228:Princeton University Press
27095:Cambridge University Press
26981:, Section 2.1, pages 40–56
26851:Princeton University Press
26843:Knapp, Anthony W. (2001),
26797:(2nd ed.), Springer,
26669:Cambridge University Press
26588:Abstract harmonic analysis
26363:Princeton University Press
26329:, vol. 1, McGraw-Hill
26301:Fourier Methods in Imaging
26243:(2nd ed.), New York:
26147:Cambridge University Press
26068:Princeton University Press
26037:Boashash, B., ed. (2003),
25883:The Fourier Transform .com
25673:Grafakos & Teschl 2013
25602:Stein & Shakarchi 2003
25591:Stein & Shakarchi 2003
24265:Multidimensional transform
24250:Linear canonical transform
24218:Indirect Fourier transform
24162:Discrete Fourier transform
23557:This is the formula for a
21526:unitary, angular frequency
19489:unitary, angular frequency
19451:This formula is valid for
16932:This formula is valid for
12345:unitary, angular frequency
9162:unitary, angular frequency
7282:{\displaystyle f(x)g(x)\,}
7010:{\displaystyle (f*g)(x)\,}
5601:spreads out and flattens.
4036:unitary, angular frequency
3964:
3939:
3926:Compact non-abelian groups
3918:
3907:
3886:
3830:Sine and cosine transforms
3827:
3824:Sine and cosine transforms
3816:
3795:
3770:
3755:
3744:
3728:
3679:
3664:
2960:
2943:
2837:
2833:
66:Discrete Fourier transform
32:sine and cosine transforms
29:
27447:10.1007/978-1-4757-0872-1
27322:Vretblad, Anders (2000),
27154:Real and Complex Analysis
26942:10.1007/978-3-319-21945-5
26885:(translated from Russian)
26872:Fomin, Sergei Vasilyevich
26839:(translated from Russian)
26803:10.1007/978-3-031-18353-9
26582:(translated from Russian)
26577:, vol. 4, New York:
26562:(translated from Russian)
26557:, vol. 1, New York:
26506:10.1007/s00041-012-9242-5
26460:Grafakos, Loukas (2004),
26304:, John Wiley & Sons,
26153:Chatfield, Chris (2004),
26074:Bracewell, R. N. (2000),
25810:10.1016/j.dsp.2024.104526
25798:Digital Signal Processing
25504:de Groot & Mazur 1984
25492:Clozel & Delorme 1985
24838:Gelfand & Shilov 1964
24595:meaning that a frequency
24288:Quantum Fourier transform
24203:Fourier–Deligne transform
24183:Fourier inversion theorem
24178:Fourier integral operator
21018:, and is expressed using
19470:Two-dimensional functions
19045:Euler–Mascheroni constant
3752:Cross-correlation theorem
3731:Poisson summation formula
3725:Poisson summation formula
3667:Fourier inversion theorem
3641:and the converse is true.
3486:and the converse is true.
3340:and the converse is true.
2021:
950:
135:pitch detection algorithm
113:Fourier-related transform
26992:; Buck, John R. (1999),
26923:Müller, Meinard (2015),
26422:Ryzhik, Iosif Moiseevich
26413:(translated from French)
26369:Folland, Gerald (1992),
26357:Folland, Gerald (1989),
26141:Champeney, D.C. (1987),
25567:Widder & Wiener 1938
25154:Fourier integral theorem
24695:is defined by replacing
24615:{\displaystyle \xi _{0}}
24331:
24147:Analog signal processing
23148:homogeneous distribution
18395:{\displaystyle J_{n}(x)}
18106:{\displaystyle J_{0}(x)}
16997:homogeneous distribution
16432:homogeneous distribution
13712:{\displaystyle \sin(ax)}
13331:{\displaystyle \cos(ax)}
7516:This is the dual of 108
6968:This is the dual of 106
4852:{\displaystyle f(x-a)\,}
3866:
3858:
3675:
3656:Zero frequency component
2899:imaginary and real parts
27132:Rahman, Matiur (2011),
26753:Kammler, David (2000),
26711:Kaiser, Gerald (1994),
25958:Arfken, George (1985),
25459:Paley & Wiener 1934
24370:theory of distributions
24325:Transform (mathematics)
24208:Fourier–Mukai transform
15303:{\displaystyle x^{n}\,}
15268:{\displaystyle \alpha }
13146:{\displaystyle e^{iax}}
6523:{\displaystyle \delta }
5286:{\displaystyle f(ax)\,}
3762:Wiener–Khinchin_theorem
3492:conjugate antisymmetric
3264:conjugate antisymmetric
1672:-dimensional functions
477:as a function of time (
115:) to the waveform of a
27502:Fourier transformation
27431:Wolf, Kurt B. (1979),
27409:Wilson, R. G. (1995),
27369:Widder, David Vernon;
27152:Rudin, Walter (1987),
26484:J. Fourier Anal. Appl.
26192:Proc. Natl. Acad. Sci.
25942:Stein & Weiss 1971
25930:Stein & Weiss 1971
25907:Stein & Weiss 1971
25823:Gradshteyn et al. 2015
25773:Hewitt & Ross 1970
25749:Stein & Weiss 1971
25695:and that converges to
25215:Stein & Weiss 1971
25053:
25023:
24873:
24792:
24756:
24709:
24689:
24616:
24589:
24541:
24540:{\displaystyle \xi =0}
24515:
24461:
24198:Fourier sine transform
24173:Fast Fourier transform
24121:
24027:
23887:
23740:
23638:
23549:
23473:
23368:
23289:
23124:
22995:
22899:
22798:
22702:
22536:
22392:
22262:
22122:
22009:
21874:
21708:
21567:
21507:-dimensional functions
21487:
21429:
21376:
21323:
21266:
21201:
21141:
21081:
20990:
20870:
20756:
20634:
20567:
20428:
20282:
20155:
20035:
19874:
19700:
19533:
19532:{\displaystyle f(x,y)}
19443:
19349:
19255:
19146:
19032:
18967:
18891:
18822:
18739:
18632:
18516:
18396:
18333:
18263:
18184:
18107:
18063:
18030:
17973:
17923:
17881:
17829:
17787:
17735:
17701:
17654:
17628:
17568:
17504:
17431:
17360:
17328:Cauchy principal value
17318:
17285:
17240:
17204:
17163:
17118:
17078:
17038:
16924:
16819:
16699:
16588:
16545:
16403:
16307:
16201:
16099:
15936:Cauchy principal value
15894:
15852:
15801:
15759:
15708:
15671:
15620:
15577:
15499:
15440:
15377:
15304:
15269:
15247:
15158:
15063:
14977:
14924:
14807:
14723:
14634:
14543:
14491:
14379:
14298:
14214:
14126:
14074:
13978:
13898:
13816:
13713:
13672:
13577:
13507:
13430:
13332:
13288:
13246:
13199:
13147:
13105:
13084:
13050:
13029:
12975:
12939:
12898:
12868:
12839:
12694:
12534:
12383:
12382:{\displaystyle f(x)\,}
12273:
12150:
12037:
11896:
11805:
11743:
11669:
11605:
11544:
11489:
11426:
11358:
11284:
11221:
11155:
11086:
11014:
10975:
10920:
10875:
10820:
10740:
10657:
10584:
10529:
10456:
10380:
10315:
10223:Dual of rule 201. The
10215:
10142:
10066:
10000:
9915:
9842:
9766:
9701:
9656:
9511:
9351:
9200:
9199:{\displaystyle f(x)\,}
9131:
9031:
8942:
8853:
8732:
8679:
8584:
8500:
8415:
8299:
8240:
8189:
8138:
8087:
8029:
7950:
7871:
7758:
7682:
7606:
7508:
7428:
7348:
7283:
7207:
7146:
7072:
7011:
6960:
6880:
6800:
6699:
6653:
6581:
6548:
6524:
6502:
6425:
6344:
6266:
6204:
6145:
6086:
6021:
5939:
5838:
5743:
5648:
5594:
5500:
5429:
5358:
5287:
5245:
5199:
5153:
5091:
5036:
4977:
4918:
4853:
4808:
4736:
4664:
4592:
4530:
4385:
4225:
4074:
4073:{\displaystyle f(x)\,}
3952:
3921:Gelfand representation
3883:Tempered distributions
3716:
3704:
3635:
3559:
3480:
3413:
3334:
3255:
3172:
3093:
2970:
2931:
2924:
2891:
2812:
2456:
2012:
1654:
1325:
941:
451:
426:
401:
376:
351:
308:
274:
231:
147:
138:
27275:Taneja, H.C. (2008),
27033:Pinsky, Mark (2002),
26575:Generalized Functions
26555:Generalized Functions
26276:; McKean, H. (1985),
26214:10.1073/pnas.23.3.158
25115:Dym & McKean 1985
25054:
25024:
24874:
24793:
24791:{\displaystyle U(x).}
24757:
24710:
24690:
24617:
24590:
24542:
24516:
24462:
24122:
24028:
23888:
23741:
23639:
23550:
23474:
23369:
23290:
23125:
22996:
22900:
22799:
22703:
22537:
22393:
22263:
22123:
22010:
21875:
21709:
21568:
21501:Formulas for general
21488:
21430:
21377:
21324:
21267:
21202:
21142:
21082:
20991:
20871:
20757:
20635:
20568:
20429:
20283:
20156:
20036:
19875:
19701:
19534:
19444:
19350:
19256:
19147:
19033:
18968:
18892:
18823:
18740:
18633:
18517:
18397:
18334:
18264:
18185:
18108:
18064:
18007:
17950:
17924:
17858:
17830:
17764:
17736:
17678:
17655:
17605:
17569:
17505:
17432:
17361:
17319:
17286:
17241:
17205:
17171:Special case of 313.
17164:
17119:
17079:
17039:
16925:
16820:
16700:
16589:
16546:
16404:
16308:
16202:
16100:
15938:when testing against
15895:
15853:
15802:
15760:
15709:
15672:
15621:
15578:
15500:
15441:
15378:
15305:
15270:
15248:
15159:
15064:
14978:
14925:
14808:
14724:
14635:
14544:
14492:
14380:
14299:
14215:
14127:
14075:
13979:
13899:
13817:
13714:
13673:
13578:
13508:
13431:
13333:
13289:
13247:
13200:
13148:
13106:
13085:
13051:
13030:
12976:
12940:
12899:
12869:
12840:
12695:
12535:
12384:
12274:
12151:
12038:
11897:
11806:
11744:
11670:
11606:
11545:
11490:
11427:
11359:
11285:
11222:
11156:
11087:
11015:
10976:
10921:
10876:
10821:
10741:
10658:
10585:
10530:
10457:
10381:
10316:
10216:
10143:
10067:
10001:
9916:
9843:
9767:
9702:
9657:
9512:
9352:
9201:
9132:
9032:
8943:
8854:
8733:
8680:
8585:
8501:
8416:
8300:
8241:
8190:
8139:
8088:
8030:
7951:
7872:
7759:
7683:
7607:
7509:
7429:
7349:
7284:
7208:
7147:
7073:
7012:
6961:
6881:
6801:
6700:
6654:
6582:
6549:
6525:
6503:
6426:
6345:
6267:
6205:
6146:
6087:
6022:
5940:
5839:
5744:
5649:
5595:
5501:
5430:
5359:
5288:
5246:
5200:
5154:
5092:
5044:Shift in time domain
5037:
4978:
4919:
4854:
4809:
4737:
4665:
4593:
4531:
4386:
4226:
4075:
3949:
3817:Further information:
3813:Uncertainty principle
3710:
3694:
3665:Further information:
3636:
3560:
3481:
3414:
3335:
3256:
3173:
3094:
2968:
2925:
2892:
2852:Fig.1 When function
2851:
2813:
2457:
2013:
1655:
1326:
942:
452:
427:
402:
377:
352:
309:
275:
232:
144:
127:fundamental frequency
99:
27567:Mathematical physics
27504:at Wikimedia Commons
26977:; also available at
26663:James, J.F. (2011),
26403:Fourier, J.B. Joseph
26382:Fourier, J.B. Joseph
25034:
24884:
24844:
24770:
24719:
24699:
24639:
24599:
24551:
24525:
24471:
24410:
24387:quantum field theory
24315:Symbolic integration
24157:Constant-Q transform
24152:Beevers–Lipson strip
24040:
23898:
23751:
23649:
23597:
23484:
23379:
23300:
23161:
23012:
22910:
22809:
22713:
22642:
22403:
22273:
22133:
22027:
21885:
21719:
21578:
21545:
21440:
21387:
21334:
21295:
21212:
21152:
21092:
21042:
21031:of the first kind).
20881:
20767:
20645:
20586:
20439:
20293:
20166:
20082:
19885:
19711:
19544:
19508:
19360:
19266:
19157:
19110:
18978:
18902:
18833:
18798:
18643:
18527:
18407:
18370:
18355:is the zeroth order
18274:
18195:
18118:
18081:
17940:
17840:
17746:
17665:
17602:
17515:
17442:
17371:
17359:{\displaystyle u(x)}
17341:
17296:
17251:
17215:
17182:
17129:
17089:
17049:
17009:
16830:
16710:
16599:
16561:
16439:
16318:
16212:
16110:
15957:
15863:
15812:
15770:
15742:
15682:
15631:
15588:
15545:
15451:
15388:
15315:
15286:
15259:
15169:
15074:
14988:
14940:
14820:
14734:
14645:
14554:
14507:
14392:
14309:
14225:
14137:
14090:
13991:
13909:
13827:
13724:
13688:
13594:
13518:
13441:
13343:
13307:
13257:
13210:
13158:
13124:
13095:
13061:
13040:
13009:
12996:Dirac delta function
12950:
12909:
12879:
12858:
12705:
12545:
12394:
12363:
12161:
12048:
11907:
11827:
11754:
11680:
11616:
11579:
11500:
11437:
11369:
11324:
11232:
11166:
11097:
11055:
10986:
10931:
10886:
10839:
10751:
10668:
10595:
10559:
10467:
10391:
10326:
10283:
10225:rectangular function
10153:
10077:
10011:
9974:
9853:
9777:
9712:
9675:
9522:
9362:
9211:
9180:
9048:
8953:
8864:
8743:
8695:
8601:
8511:
8426:
8310:
8262:
8200:
8149:
8098:
8059:
7961:
7882:
7803:
7766:Hermitian symmetry.
7693:
7617:
7541:
7439:
7359:
7294:
7251:
7157:
7083:
7022:
6979:
6891:
6811:
6710:
6669:
6591:
6580:{\displaystyle f(x)}
6562:
6538:
6532:Dirac delta function
6514:
6436:
6355:
6277:
6223:
6212:n-order derivative.
6156:
6097:
6032:
5970:
5849:
5754:
5659:
5612:
5534:
5440:
5369:
5298:
5264:
5210:
5164:
5102:
5055:
4988:
4929:
4864:
4827:
4747:
4675:
4603:
4549:
4396:
4236:
4085:
4054:
3840:Restriction problems
3697:rectangular function
3569:
3499:
3489:The transform of an
3423:
3353:
3343:The transform of an
3271:
3189:
3109:
3039:
2923:{\displaystyle y(t)}
2905:
2856:
2472:
2035:
1690:
1341:
964:
633:
473:The top row shows a
439:
414:
389:
364:
321:
287:
244:
210:
109:constant-Q transform
27552:Integral transforms
27518:"Fourier Transform"
27468:Functional Analysis
27257:, Princeton, N.J.:
27115:1996dspp.book.....P
26909:1971JCoPh...8..417L
26828:Kirillov, Alexandre
26729:1995PhT....48g..57K
26205:1937PNAS...23..158C
26134:10.3390/sym13050853
26125:2021Symm...13..853C
26060:Chandrasekharan, K.
25999:1994SJSC...15.1105B
25373:Duoandikoetxea 2001
24815:The direct command
24366:functional analysis
21258:
21240:
21193:
21175:
21133:
21115:
20982:
20964:
20941:
20923:
20862:
20844:
20821:
20803:
20748:
20730:
20706:
20688:
20543:
20511:
20404:
20372:
20258:
20226:
15255:Here it is assumed
12792:
12647:
12481:
11566:Lorentzian function
10547:triangular function
10243:is defined here as
9609:
9464:
9298:
8249:Complex conjugation
7239:convolution theorem
7237:— this rule is the
6611:
6510:Integration. Note:
6243:
4483:
4338:
4172:
3987:Computation methods
3835:Spherical harmonics
3747:Convolution theorem
3741:Convolution theorem
3701:Lebesgue integrable
3346:conjugate symmetric
3180:conjugate symmetric
3102:conjugate symmetric
1677:ordinary frequency
1673:
1666:Generalization for
1593:
1406:
1264:
1047:
874:
698:
620:ordinary frequency
616:
606:Angular frequency (
27515:Weisstein, Eric W.
27204:ccrma.stanford.edu
26990:Schafer, Ronald W.
26986:Oppenheim, Alan V.
26524:Field Quantization
26478:Grafakos, Loukas;
26064:Fourier Transforms
25731:. January 12, 2016
25494:, pp. 331–333
25049:
25019:
24918:
24869:
24788:
24752:
24705:
24685:
24624:Negative frequency
24612:
24585:
24537:
24511:
24457:
24223:Integral transform
24188:Fourier multiplier
24117:
24023:
23883:
23736:
23634:
23545:
23469:
23364:
23285:
23120:
22991:
22895:
22794:
22698:
22554:indicator function
22532:
22388:
22258:
22118:
22005:
22003:
21870:
21868:
21704:
21702:
21563:
21529:Fourier transform
21524:Fourier transform
21519:Fourier transform
21483:
21425:
21372:
21319:
21262:
21244:
21226:
21197:
21179:
21161:
21137:
21119:
21101:
21077:
20986:
20968:
20950:
20927:
20909:
20866:
20848:
20830:
20807:
20789:
20752:
20734:
20716:
20692:
20674:
20630:
20563:
20529:
20497:
20424:
20390:
20358:
20278:
20244:
20212:
20151:
20031:
20029:
19870:
19868:
19696:
19694:
19529:
19492:Fourier transform
19487:Fourier transform
19482:Fourier transform
19439:
19345:
19251:
19142:
19097:Schwartz functions
19028:
18963:
18887:
18818:
18735:
18628:
18512:
18392:
18329:
18259:
18180:
18103:
18070:as distributions.
18059:
18057:
17919:
17825:
17731:
17650:
17589:unit step function
17564:
17500:
17427:
17356:
17314:
17281:
17236:
17200:
17159:
17114:
17074:
17034:
16920:
16815:
16695:
16584:
16541:
16399:
16303:
16197:
16095:
16093:
15940:Schwartz functions
15890:
15848:
15797:
15755:
15716:Dual of rule 309.
15704:
15667:
15616:
15573:
15495:
15436:
15373:
15300:
15265:
15243:
15154:
15059:
14973:
14920:
14803:
14719:
14630:
14539:
14487:
14375:
14294:
14210:
14122:
14070:
13974:
13894:
13812:
13709:
13668:
13573:
13503:
13426:
13328:
13284:
13242:
13195:
13143:
13113:Dual of rule 301.
13101:
13080:
13046:
13025:
12971:
12935:
12894:
12864:
12835:
12833:
12775:
12690:
12688:
12630:
12530:
12528:
12464:
12379:
12348:Fourier transform
12343:Fourier transform
12338:Fourier transform
12310:Hermite polynomial
12295:Hermite polynomial
12269:
12146:
12033:
11892:
11801:
11739:
11665:
11601:
11540:
11485:
11422:
11354:
11280:
11217:
11151:
11082:
11010:
10971:
10916:
10871:
10828:Dual of rule 203.
10816:
10736:
10653:
10580:
10525:
10452:
10376:
10311:
10211:
10138:
10062:
9996:
9934:, here defined as
9911:
9838:
9762:
9697:
9652:
9650:
9592:
9507:
9505:
9447:
9347:
9345:
9281:
9196:
9165:Fourier transform
9160:Fourier transform
9155:Fourier transform
9127:
9027:
8938:
8849:
8728:
8675:
8580:
8496:
8411:
8295:
8236:
8185:
8134:
8083:
8025:
7946:
7867:
7754:
7678:
7602:
7504:
7424:
7344:
7279:
7203:
7142:
7068:
7007:
6956:
6876:
6796:
6695:
6649:
6594:
6577:
6544:
6520:
6498:
6421:
6340:
6262:
6226:
6200:
6141:
6082:
6017:
5935:
5834:
5739:
5644:
5590:
5496:
5425:
5354:
5283:
5241:
5195:
5149:
5087:
5032:
4973:
4914:
4849:
4804:
4732:
4660:
4588:
4526:
4524:
4466:
4381:
4379:
4321:
4221:
4219:
4155:
4070:
4039:Fourier transform
4034:Fourier transform
4029:Fourier transform
3953:
3910:Pontryagin duality
3717:
3705:
3631:
3555:
3476:
3409:
3330:
3251:
3168:
3089:
3020:Frequency shifting
2971:
2940:Negative frequency
2932:
2920:
2887:
2808:
2806:
2452:
2450:
2022:angular frequency
2008:
2006:
1665:
1650:
1648:
1576:
1389:
1321:
1319:
1247:
1030:
951:angular frequency
937:
935:
857:
681:
614:
573:Inverse transform
551:Fourier transform
447:
446:
422:
421:
397:
396:
372:
371:
347:
346:
304:
303:
270:
269:
227:
226:
148:
139:
86:Related transforms
41:Fourier transforms
27557:Unitary operators
27500:Media related to
27481:978-3-540-58654-8
27456:978-1-4757-0874-5
27424:978-0-471-30357-2
27341:978-0-387-00836-3
27315:978-0-8284-0324-5
27268:978-0-691-08078-9
27237:978-0-691-11384-5
27198:Smith, Julius O.
27163:978-0-07-100276-9
27145:978-1-84564-564-9
27082:978-0-8493-2876-3
27046:978-0-534-37660-4
26951:978-3-319-21944-8
26889:Lado, F. (1971),
26860:978-0-691-09089-4
26812:978-3-031-18353-9
26786:978-0-486-63331-2
26764:978-0-13-578782-3
26757:, Prentice Hall,
26746:978-0-8176-3711-8
26737:10.1063/1.2808105
26678:978-0-521-17683-5
26624:978-3-540-00662-6
26539:978-3-540-59179-5
26471:978-0-13-035399-3
26464:, Prentice-Hall,
26453:978-0-12-384933-5
26434:Moll, Victor Hugo
26311:978-0-470-68983-7
26291:978-0-12-226451-1
26266:978-0-8218-2172-5
26085:978-0-07-116043-8
26048:978-0-08-044335-5
25834:Press et al. 1992
24986:
24978:
24951:
24917:
24750:
24735:
24708:{\displaystyle x}
24678:
24663:
24563:
24483:
24346:Lebesgue integral
24283:Nonlocal operator
24240:Laplace transform
24233:Hartley transform
24137:
24136:
24112:
24109:
24082:
24021:
24018:
23881:
23878:
23796:
23734:
23731:
23503:
23427:
23407:
23230:
23212:
23208:
23115:
23108:
23077:
23046:
22952:
22856:
22836:
22755:
22499:
22476:
22458:
22438:
22357:
22342:
22332:
22221:
22206:
22195:
21909:
21796:
21793:
21743:
21602:
21498:
21497:
21481:
21423:
21370:
21317:
21260:
21259:
21195:
21194:
21135:
21134:
21075:
21074:
20984:
20983:
20942:
20864:
20863:
20822:
20750:
20749:
20707:
20624:
20554:
20522:
20488:
20465:
20415:
20383:
20349:
20326:
20269:
20237:
20192:
19902:
19781:
19728:
19561:
19467:
19466:
19389:
19295:
19278:
19201:
19000:
18944:
18931:
18919:
18918:
18865:
18847:
18733:
18732:
18708:
18626:
18625:
18601:
18540:
18539:
18510:
18509:
18327:
18326:
18302:
18257:
18256:
18232:
18208:
18207:
18178:
18177:
17912:
17856:
17818:
17762:
17758:
17724:
17676:
17587:is the Heaviside
17542:
17478:
17455:
17454:
17405:
17382:
17312:
17279:
17264:
17263:
17234:
17157:
17156:
17141:
17112:
17111:
17072:
17071:
17032:
17031:
16918:
16865:
16813:
16760:
16731:
16730:
16693:
16634:
16520:
16491:
16382:
16286:
16231:
16230:
16180:
16070:
16041:
15980:
15944:Hilbert transform
15831:
15830:
15753:
15665:
15664:
15409:
15336:
15239:
15204:
15182:
15181:
15150:
15115:
15093:
15092:
15055:
15023:
15001:
15000:
14915:
14796:
14783:
14750:
14749:
14712:
14699:
14666:
14665:
14623:
14610:
14570:
14569:
14482:
14368:
14355:
14322:
14321:
14287:
14274:
14241:
14240:
14203:
14190:
14150:
14149:
14065:
13892:
13838:
13810:
13794:
13757:
13663:
13501:
13452:
13424:
13413:
13376:
13221:
13188:
13104:{\displaystyle 1}
13077:
13076:
13049:{\displaystyle 1}
12983:The distribution
12920:
12867:{\displaystyle 1}
12747:
12722:
12628:
12627:
12587:
12562:
12436:
12411:
12323:
12322:
12263:
12237:
12200:
12194:
12140:
12114:
12077:
12027:
11993:
11946:
11921:
11865:
11814:Hyperbolic secant
11791:
11765:
11729:
11703:
11702:
11691:
11655:
11627:
11538:
11483:
11450:
11449:
11420:
11294:Gaussian function
11276:
11245:
11244:
11213:
11182:
11181:
11147:
11110:
11109:
11008:
10969:
10948:
10914:
10810:
10774:
10730:
10694:
10693:
10646:
10618:
10519:
10490:
10446:
10417:
10416:
10370:
10349:
10205:
10176:
10132:
10103:
10102:
10055:
10034:
9925:rectangular pulse
9905:
9876:
9832:
9803:
9802:
9756:
9735:
9564:
9539:
9445:
9444:
9404:
9379:
9253:
9228:
9140:
9139:
9122:
9025:
8998:
8968:
8936:
8909:
8879:
8847:
8831:
8804:
8785:
8758:
8670:
8578:
8556:
8526:
8493:
8471:
8441:
8409:
8398:
8371:
8352:
8325:
8234:
8215:
8183:
8164:
8132:
8113:
8081:
8046:complex conjugate
8022:
8006:
7973:
7943:
7927:
7894:
7864:
7848:
7815:
7797:purely imaginary
7776:complex conjugate
7751:
7735:
7705:
7675:
7659:
7629:
7599:
7583:
7553:
7486:
7471:
7455:
7406:
7391:
7375:
7374:
7326:
7311:
7190:
7169:
7129:
7108:
7098:
7094:
7055:
7034:
6954:
6926:
6874:
6846:
6793:
6765:
6731:
6547:{\displaystyle C}
6472:
6451:
6404:
6391:
6370:
6319:
6292:
6187:
6128:
6069:
6014:
5912:
5907:
5882:
5868:
5817:
5812:
5787:
5773:
5722:
5717:
5692:
5678:
5631:
5583:
5568:
5557:
5489:
5474:
5463:
5418:
5403:
5392:
5347:
5332:
5321:
5222:
5176:
5141:
5114:
5019:
4960:
4901:
4791:
4763:
4719:
4691:
4647:
4619:
4444:
4413:
4319:
4318:
4284:
4253:
4133:
4102:
3977:Signal processing
3972:Quantum mechanics
3915:Gelfand transform
3792:Laplace transform
3758:Cross-correlation
3616:
3588:
3577:
3532:
3461:
3436:
3386:
3315:
3304:
3284:
3228:
3200:
3153:
3142:
3122:
2935:Complex sinusoids
2930:is a cosine wave.
2821:
2820:
2766:
2729:
2668:
2649:
2619:
2599:
2519:
2509:
2495:
2410:
2373:
2369:
2307:
2289:
2285:
2249:
2228:
2210:
2206:
2114:
2110:
2082:
2072:
2058:
1960:
1884:
1847:
1828:
1737:
1727:
1713:
1663:
1662:
1610:
1574:
1526:
1509:
1506:
1502:
1485:
1465:
1388:
1378:
1364:
1281:
1246:
1242:
1241:
1194:
1177:
1174:
1170:
1169:
1148:
1127:
1110:
1107:
1103:
1102:
1029:
1025:
1024:
1011:
1001:
987:
891:
816:
779:
762:
759:
755:
680:
670:
656:
592:
591:
570:
569:
334:
257:
94:
93:
51:Fourier transform
18:Fourier Transform
16:(Redirected from
27574:
27547:Fourier analysis
27528:
27527:
27499:
27484:
27459:
27427:
27405:
27393:
27365:
27361:(4th ed.),
27349:Whittaker, E. T.
27344:
27318:
27293:
27271:
27240:
27216:
27211:
27210:
27194:
27166:
27148:
27128:
27108:
27097:
27093:(2nd ed.),
27085:
27063:
27049:
27029:
27010:
26999:
26976:
26975:
26974:
26968:
26962:, archived from
26931:
26919:
26884:
26863:
26838:
26823:
26789:
26767:
26749:
26707:
26701:
26693:
26681:
26667:(3rd ed.),
26659:
26650:
26627:
26602:
26581:
26561:
26542:
26527:
26516:
26499:
26474:
26456:
26412:
26398:
26377:
26365:
26353:
26330:
26321:
26320:
26318:
26294:
26269:
26253:Fourier Analysis
26247:
26235:
26226:
26216:
26182:
26169:
26149:
26137:
26136:
26118:
26097:
26088:
26070:
26051:
26033:
26032:
26031:
26025:
26019:, archived from
26010:
25993:(5): 1105–1110,
25982:
25972:
25945:
25939:
25933:
25927:
25921:
25916:
25910:
25904:
25898:
25897:
25895:
25894:
25875:
25869:
25864:
25858:
25853:
25847:
25842:
25836:
25831:
25825:
25820:
25814:
25813:
25793:
25787:
25782:
25776:
25770:
25764:
25758:
25752:
25746:
25740:
25739:
25737:
25736:
25730:
25722:
25716:
25714:
25708:
25704:
25698:
25694:
25688:
25681:
25675:
25670:
25664:
25659:
25653:
25647:
25641:
25635:
25629:
25623:
25617:
25611:
25605:
25599:
25593:
25588:
25582:
25576:
25570:
25564:
25558:
25552:
25546:
25541:
25535:
25530:
25519:
25513:
25507:
25501:
25495:
25489:
25483:
25478:
25472:
25467:
25461:
25456:
25450:
25445:
25439:
25433:
25427:
25421:
25412:
25406:
25400:
25395:
25389:
25384:
25375:
25370:
25361:
25356:
25350:
25344:
25338:
25332:
25326:
25320:
25314:
25308:
25302:
25296:
25290:
25285:
25270:
25265:
25259:
25254:
25239:
25234:
25228:
25223:
25217:
25212:
25193:
25187:
25181:
25175:
25169:
25163:
25157:
25147:
25141:
25135:
25129:
25123:
25117:
25112:
25106:
25100:
25094:
25088:
25082:
25081:, pp. 13–14
25076:
25060:
25058:
25056:
25055:
25050:
25028:
25026:
25025:
25020:
25018:
25017:
25003:
24997:
24992:
24987:
24985:
24984:
24980:
24979:
24971:
24957:
24956:
24952:
24947:
24936:
24926:
24924:
24923:
24919:
24910:
24902:
24901:
24878:
24876:
24875:
24870:
24868:
24867:
24862:
24856:
24851:
24834:
24828:
24826:
24818:
24813:
24807:
24804:
24798:
24797:
24795:
24794:
24789:
24764:Taylor expansion
24761:
24759:
24758:
24753:
24751:
24749:
24738:
24736:
24734:
24723:
24714:
24712:
24711:
24706:
24694:
24692:
24691:
24686:
24684:
24680:
24679:
24677:
24666:
24664:
24662:
24651:
24633:
24627:
24621:
24619:
24618:
24613:
24611:
24610:
24594:
24592:
24591:
24586:
24578:
24577:
24565:
24564:
24556:
24546:
24544:
24543:
24538:
24520:
24518:
24517:
24512:
24504:
24503:
24485:
24484:
24476:
24466:
24464:
24463:
24458:
24456:
24455:
24451:
24450:
24400:
24394:
24379:
24373:
24359:
24353:
24342:
24303:Spectral density
24278:
24260:Mellin transform
24228:Hankel transform
24133:
24126:
24124:
24123:
24118:
24113:
24111:
24110:
24105:
24094:
24088:
24087:
24083:
24078:
24067:
24057:
24052:
24051:
24032:
24030:
24029:
24024:
24022:
24020:
24019:
24014:
24003:
24001:
23997:
23996:
23995:
23990:
23984:
23979:
23971:
23970:
23961:
23960:
23942:
23938:
23937:
23913:
23912:
23902:
23892:
23890:
23889:
23884:
23882:
23880:
23879:
23874:
23863:
23861:
23857:
23856:
23855:
23850:
23844:
23839:
23831:
23830:
23821:
23820:
23802:
23798:
23797:
23792:
23781:
23766:
23765:
23755:
23745:
23743:
23742:
23737:
23735:
23733:
23732:
23727:
23716:
23714:
23710:
23709:
23708:
23703:
23697:
23692:
23684:
23683:
23668:
23664:
23663:
23653:
23643:
23641:
23640:
23635:
23633:
23632:
23631:
23626:
23621:
23586:
23573:
23554:
23552:
23551:
23546:
23544:
23543:
23542:
23537:
23536:
23535:
23529:
23523:
23518:
23517:
23516:
23510:
23504:
23496:
23478:
23476:
23475:
23470:
23468:
23467:
23466:
23461:
23460:
23459:
23453:
23447:
23442:
23441:
23440:
23434:
23428:
23420:
23410:
23409:
23408:
23400:
23373:
23371:
23370:
23365:
23363:
23362:
23361:
23356:
23355:
23354:
23348:
23342:
23337:
23336:
23335:
23329:
23323:
23322:
23294:
23292:
23291:
23286:
23284:
23283:
23282:
23277:
23276:
23268:
23262:
23261:
23260:
23251:
23245:
23244:
23243:
23237:
23231:
23223:
23213:
23211:
23210:
23209:
23201:
23199:
23195:
23182:
23178:
23165:
23145:
23129:
23127:
23126:
23121:
23116:
23114:
23113:
23109:
23104:
23093:
23083:
23082:
23078:
23070:
23060:
23058:
23057:
23048:
23047:
23039:
23030:
23029:
23000:
22998:
22997:
22992:
22990:
22989:
22969:
22963:
22958:
22953:
22951:
22950:
22935:
22934:
22933:
22914:
22904:
22902:
22901:
22896:
22894:
22893:
22873:
22867:
22862:
22857:
22855:
22854:
22839:
22838:
22837:
22829:
22813:
22803:
22801:
22800:
22795:
22793:
22792:
22772:
22766:
22761:
22756:
22754:
22753:
22738:
22737:
22736:
22717:
22707:
22705:
22704:
22699:
22669:
22668:
22660:
22654:
22649:
22630:
22623:
22616:
22611:
22609:
22608:
22605:
22602:
22592:
22586:
22584:
22583:
22580:
22577:
22563:
22551:
22541:
22539:
22538:
22533:
22527:
22522:
22517:
22508:
22507:
22500:
22492:
22485:
22484:
22477:
22469:
22463:
22459:
22457:
22446:
22439:
22437:
22436:
22427:
22407:
22397:
22395:
22394:
22389:
22384:
22379:
22374:
22366:
22365:
22358:
22350:
22343:
22341:
22340:
22333:
22325:
22322:
22318:
22308:
22288:
22285:
22284:
22267:
22265:
22264:
22259:
22254:
22249:
22244:
22230:
22229:
22222:
22214:
22207:
22205:
22204:
22203:
22196:
22188:
22185:
22179:
22174:
22168:
22167:
22157:
22137:
22127:
22125:
22124:
22119:
22117:
22116:
22111:
22107:
22106:
22105:
22100:
22094:
22089:
22069:
22064:
22059:
22051:
22050:
22014:
22012:
22011:
22006:
22004:
22000:
21991:
21990:
21989:
21981:
21962:
21951:
21950:
21949:
21948:
21943:
21929:
21919:
21911:
21910:
21905:
21904:
21895:
21891:
21879:
21877:
21876:
21871:
21869:
21865:
21856:
21855:
21854:
21846:
21827:
21816:
21815:
21814:
21813:
21808:
21797:
21795:
21794:
21786:
21784:
21766:
21763:
21753:
21745:
21744:
21739:
21738:
21729:
21725:
21713:
21711:
21710:
21705:
21703:
21699:
21690:
21689:
21688:
21680:
21655:
21644:
21643:
21642:
21641:
21636:
21622:
21612:
21604:
21603:
21598:
21597:
21588:
21584:
21572:
21570:
21569:
21564:
21558:
21511:
21510:
21506:
21492:
21490:
21489:
21484:
21482:
21480:
21479:
21478:
21463:
21462:
21452:
21444:
21434:
21432:
21431:
21426:
21424:
21422:
21421:
21420:
21405:
21404:
21391:
21381:
21379:
21378:
21373:
21371:
21369:
21368:
21367:
21352:
21351:
21338:
21328:
21326:
21325:
21320:
21318:
21316:
21299:
21283:
21276:Hankel transform
21271:
21269:
21268:
21263:
21261:
21257:
21252:
21239:
21234:
21225:
21224:
21216:
21206:
21204:
21203:
21198:
21196:
21192:
21187:
21174:
21169:
21160:
21156:
21146:
21144:
21143:
21138:
21136:
21132:
21127:
21114:
21109:
21100:
21096:
21086:
21084:
21083:
21078:
21076:
21073:
21072:
21060:
21059:
21050:
21046:
21026:
21013:
21005:
20995:
20993:
20992:
20987:
20985:
20981:
20976:
20963:
20958:
20949:
20948:
20947:
20943:
20940:
20935:
20922:
20917:
20908:
20902:
20901:
20885:
20875:
20873:
20872:
20867:
20865:
20861:
20856:
20843:
20838:
20829:
20828:
20827:
20823:
20820:
20815:
20802:
20797:
20788:
20782:
20781:
20771:
20761:
20759:
20758:
20753:
20751:
20747:
20742:
20729:
20724:
20715:
20714:
20713:
20709:
20708:
20705:
20700:
20687:
20682:
20673:
20660:
20659:
20649:
20639:
20637:
20636:
20631:
20629:
20625:
20623:
20622:
20610:
20609:
20600:
20572:
20570:
20569:
20564:
20562:
20561:
20560:
20556:
20555:
20553:
20552:
20542:
20537:
20528:
20523:
20521:
20520:
20510:
20505:
20496:
20489:
20487:
20476:
20466:
20464:
20463:
20452:
20443:
20433:
20431:
20430:
20425:
20423:
20422:
20421:
20417:
20416:
20414:
20413:
20403:
20398:
20389:
20384:
20382:
20381:
20371:
20366:
20357:
20350:
20348:
20337:
20327:
20325:
20324:
20313:
20297:
20287:
20285:
20284:
20279:
20277:
20276:
20275:
20271:
20270:
20268:
20267:
20257:
20252:
20243:
20238:
20236:
20235:
20225:
20220:
20211:
20193:
20191:
20190:
20179:
20170:
20160:
20158:
20157:
20152:
20150:
20149:
20148:
20144:
20143:
20142:
20133:
20132:
20120:
20119:
20110:
20109:
20070:
20063:
20056:
20049:
20040:
20038:
20037:
20032:
20030:
20012:
20011:
20004:
20003:
19988:
19987:
19940:
19930:
19929:
19917:
19916:
19904:
19903:
19895:
19891:
19879:
19877:
19876:
19871:
19869:
19851:
19850:
19843:
19842:
19827:
19826:
19782:
19780:
19769:
19766:
19756:
19755:
19743:
19742:
19730:
19729:
19721:
19717:
19705:
19703:
19702:
19697:
19695:
19677:
19676:
19669:
19668:
19653:
19652:
19599:
19589:
19588:
19576:
19575:
19563:
19562:
19554:
19550:
19538:
19536:
19535:
19530:
19474:
19473:
19462:
19458:
19448:
19446:
19445:
19440:
19438:
19437:
19426:
19422:
19409:
19405:
19390:
19388:
19387:
19372:
19364:
19354:
19352:
19351:
19346:
19344:
19343:
19332:
19328:
19315:
19311:
19296:
19294:
19293:
19271:
19270:
19260:
19258:
19257:
19252:
19250:
19249:
19238:
19234:
19221:
19217:
19202:
19200:
19199:
19184:
19183:
19178:
19174:
19161:
19151:
19149:
19148:
19143:
19141:
19140:
19132:
19128:
19094:
19093:
19091:
19090:
19088:
19081:
19078:
19070:
19069:
19067:
19066:
19064:
19057:
19054:
19042:
19037:
19035:
19034:
19029:
19027:
19001:
18999:
18985:
18972:
18970:
18969:
18964:
18962:
18945:
18937:
18932:
18930:
18911:
18910:
18909:
18896:
18894:
18893:
18888:
18886:
18866:
18864:
18850:
18848:
18840:
18827:
18825:
18824:
18819:
18817:
18782:
18764:
18760:
18744:
18742:
18741:
18736:
18734:
18731:
18730:
18715:
18714:
18713:
18709:
18701:
18680:
18679:
18670:
18669:
18647:
18637:
18635:
18634:
18629:
18627:
18624:
18623:
18608:
18607:
18606:
18602:
18594:
18573:
18572:
18563:
18562:
18543:
18541:
18532:
18531:
18521:
18519:
18518:
18513:
18511:
18508:
18507:
18498:
18497:
18479:
18478:
18444:
18443:
18434:
18433:
18411:
18401:
18399:
18398:
18393:
18382:
18381:
18354:
18338:
18336:
18335:
18330:
18328:
18325:
18324:
18309:
18308:
18307:
18303:
18295:
18278:
18268:
18266:
18265:
18260:
18258:
18255:
18254:
18239:
18238:
18237:
18233:
18225:
18212:
18209:
18200:
18199:
18189:
18187:
18186:
18181:
18179:
18176:
18175:
18166:
18165:
18147:
18146:
18122:
18112:
18110:
18109:
18104:
18093:
18092:
18068:
18066:
18065:
18060:
18058:
18029:
18024:
17998:
17989:
17988:
17972:
17967:
17946:
17928:
17926:
17925:
17920:
17918:
17914:
17913:
17908:
17897:
17880:
17875:
17857:
17852:
17844:
17834:
17832:
17831:
17826:
17824:
17820:
17819:
17814:
17803:
17786:
17781:
17763:
17751:
17750:
17740:
17738:
17737:
17732:
17730:
17726:
17725:
17717:
17700:
17695:
17677:
17669:
17659:
17657:
17656:
17651:
17627:
17622:
17586:
17573:
17571:
17570:
17565:
17563:
17559:
17543:
17541:
17527:
17509:
17507:
17506:
17501:
17499:
17495:
17479:
17477:
17463:
17456:
17447:
17446:
17436:
17434:
17433:
17428:
17426:
17422:
17406:
17404:
17390:
17383:
17375:
17365:
17363:
17362:
17357:
17323:
17321:
17320:
17315:
17313:
17311:
17300:
17290:
17288:
17287:
17282:
17280:
17278:
17267:
17265:
17256:
17255:
17245:
17243:
17242:
17237:
17235:
17233:
17219:
17209:
17207:
17206:
17201:
17168:
17166:
17165:
17160:
17158:
17155:
17147:
17142:
17134:
17133:
17123:
17121:
17120:
17115:
17113:
17110:
17102:
17097:
17093:
17083:
17081:
17080:
17075:
17073:
17070:
17062:
17057:
17053:
17043:
17041:
17040:
17035:
17033:
17030:
17022:
17017:
17013:
16994:
16987:
16985:
16977:
16975:
16964:
16962:
16954:
16946:
16939:
16929:
16927:
16926:
16921:
16919:
16917:
16916:
16915:
16904:
16895:
16889:
16870:
16866:
16861:
16853:
16837:
16824:
16822:
16821:
16816:
16814:
16812:
16811:
16810:
16799:
16790:
16784:
16765:
16761:
16756:
16748:
16735:
16732:
16723:
16722:
16714:
16704:
16702:
16701:
16696:
16694:
16692:
16691:
16690:
16679:
16664:
16658:
16639:
16635:
16630:
16622:
16606:
16593:
16591:
16590:
16585:
16583:
16582:
16577:
16568:
16550:
16548:
16547:
16542:
16540:
16532:
16521:
16519:
16518:
16517:
16504:
16503:
16494:
16492:
16490:
16470:
16469:
16468:
16443:
16429:
16428:
16426:
16425:
16420:
16417:
16408:
16406:
16405:
16400:
16383:
16381:
16361:
16360:
16359:
16331:
16312:
16310:
16309:
16304:
16287:
16285:
16265:
16264:
16263:
16235:
16232:
16223:
16222:
16206:
16204:
16203:
16198:
16181:
16179:
16159:
16158:
16157:
16123:
16104:
16102:
16101:
16096:
16094:
16090:
16082:
16071:
16069:
16068:
16067:
16054:
16053:
16044:
16042:
16040:
16020:
16019:
16018:
15993:
15985:
15981:
15979:
15978:
15966:
15963:
15933:
15932:
15930:
15929:
15924:
15921:
15909:
15899:
15897:
15896:
15891:
15857:
15855:
15854:
15849:
15832:
15823:
15822:
15806:
15804:
15803:
15798:
15764:
15762:
15761:
15756:
15754:
15746:
15730:
15726:
15713:
15711:
15710:
15705:
15703:
15702:
15676:
15674:
15673:
15668:
15666:
15657:
15656:
15655:
15654:
15635:
15625:
15623:
15622:
15617:
15615:
15614:
15582:
15580:
15579:
15574:
15563:
15562:
15529:
15525:
15510:
15504:
15502:
15501:
15496:
15485:
15484:
15469:
15468:
15445:
15443:
15442:
15437:
15426:
15425:
15410:
15402:
15400:
15399:
15382:
15380:
15379:
15374:
15363:
15362:
15347:
15346:
15341:
15337:
15335:
15324:
15309:
15307:
15306:
15301:
15298:
15297:
15274:
15272:
15271:
15266:
15252:
15250:
15249:
15244:
15242:
15241:
15240:
15238:
15227:
15226:
15217:
15207:
15206:
15205:
15197:
15183:
15177:
15173:
15163:
15161:
15160:
15155:
15153:
15152:
15151:
15149:
15138:
15137:
15128:
15118:
15117:
15116:
15108:
15094:
15082:
15078:
15068:
15066:
15065:
15060:
15058:
15057:
15056:
15051:
15050:
15049:
15036:
15026:
15025:
15024:
15016:
15002:
14996:
14992:
14982:
14980:
14979:
14974:
14971:
14970:
14969:
14968:
14929:
14927:
14926:
14921:
14916:
14914:
14906:
14905:
14904:
14903:
14902:
14876:
14875:
14874:
14873:
14852:
14844:
14843:
14812:
14810:
14809:
14804:
14802:
14798:
14797:
14789:
14784:
14782:
14774:
14773:
14764:
14751:
14742:
14741:
14728:
14726:
14725:
14720:
14718:
14714:
14713:
14705:
14700:
14698:
14690:
14689:
14680:
14667:
14658:
14657:
14649:
14639:
14637:
14636:
14631:
14629:
14625:
14624:
14616:
14611:
14606:
14605:
14604:
14595:
14594:
14584:
14571:
14562:
14561:
14548:
14546:
14545:
14540:
14538:
14534:
14533:
14532:
14496:
14494:
14493:
14488:
14483:
14478:
14477:
14476:
14475:
14474:
14448:
14447:
14446:
14445:
14424:
14416:
14415:
14384:
14382:
14381:
14376:
14374:
14370:
14369:
14361:
14356:
14354:
14346:
14345:
14336:
14323:
14314:
14313:
14303:
14301:
14300:
14295:
14293:
14289:
14288:
14280:
14275:
14273:
14265:
14264:
14255:
14242:
14233:
14229:
14219:
14217:
14216:
14211:
14209:
14205:
14204:
14196:
14191:
14186:
14185:
14184:
14175:
14174:
14164:
14151:
14142:
14141:
14131:
14129:
14128:
14123:
14121:
14117:
14116:
14115:
14079:
14077:
14076:
14071:
14066:
14064:
14056:
14055:
14054:
14033:
14032:
14016:
13983:
13981:
13980:
13975:
13973:
13972:
13927:
13926:
13903:
13901:
13900:
13895:
13893:
13891:
13883:
13842:
13839:
13831:
13821:
13819:
13818:
13813:
13811:
13809:
13801:
13800:
13796:
13795:
13793:
13782:
13763:
13759:
13758:
13756:
13745:
13728:
13718:
13716:
13715:
13710:
13677:
13675:
13674:
13669:
13664:
13659:
13658:
13657:
13636:
13635:
13619:
13582:
13580:
13579:
13574:
13572:
13568:
13512:
13510:
13509:
13504:
13502:
13497:
13456:
13453:
13445:
13435:
13433:
13432:
13427:
13425:
13420:
13419:
13415:
13414:
13412:
13401:
13382:
13378:
13377:
13375:
13364:
13347:
13337:
13335:
13334:
13329:
13293:
13291:
13290:
13285:
13251:
13249:
13248:
13243:
13222:
13214:
13204:
13202:
13201:
13196:
13194:
13190:
13189:
13187:
13176:
13152:
13150:
13149:
13144:
13142:
13141:
13110:
13108:
13107:
13102:
13089:
13087:
13086:
13081:
13078:
13069:
13065:
13055:
13053:
13052:
13047:
13034:
13032:
13031:
13026:
12993:
12980:
12978:
12977:
12972:
12944:
12942:
12941:
12936:
12921:
12913:
12903:
12901:
12900:
12895:
12873:
12871:
12870:
12865:
12844:
12842:
12841:
12836:
12834:
12823:
12822:
12791:
12786:
12768:
12755:
12754:
12749:
12748:
12740:
12724:
12723:
12715:
12711:
12699:
12697:
12696:
12691:
12689:
12678:
12677:
12646:
12641:
12629:
12620:
12616:
12608:
12595:
12594:
12589:
12588:
12580:
12564:
12563:
12555:
12551:
12539:
12537:
12536:
12531:
12529:
12518:
12517:
12480:
12475:
12457:
12444:
12443:
12438:
12437:
12429:
12413:
12412:
12404:
12400:
12388:
12386:
12385:
12380:
12330:
12329:
12318:
12303:
12292:
12288:
12278:
12276:
12275:
12270:
12268:
12264:
12256:
12250:
12249:
12240:
12239:
12238:
12236:
12235:
12234:
12221:
12220:
12211:
12201:
12196:
12195:
12187:
12185:
12184:
12165:
12155:
12153:
12152:
12147:
12145:
12141:
12133:
12127:
12126:
12117:
12116:
12115:
12113:
12112:
12111:
12098:
12097:
12088:
12078:
12073:
12072:
12071:
12052:
12042:
12040:
12039:
12034:
12032:
12028:
12023:
12012:
12006:
12005:
11996:
11995:
11994:
11992:
11991:
11982:
11981:
11980:
11971:
11970:
11957:
11947:
11942:
11941:
11940:
11922:
11914:
11911:
11901:
11899:
11898:
11893:
11878:
11877:
11868:
11867:
11866:
11861:
11860:
11859:
11850:
11849:
11839:
11810:
11808:
11807:
11802:
11800:
11796:
11792:
11790:
11779:
11766:
11758:
11748:
11746:
11745:
11740:
11738:
11734:
11730:
11728:
11717:
11704:
11695:
11694:
11692:
11684:
11674:
11672:
11671:
11666:
11664:
11660:
11656:
11651:
11650:
11641:
11628:
11620:
11610:
11608:
11607:
11602:
11559:
11549:
11547:
11546:
11541:
11539:
11537:
11536:
11535:
11523:
11522:
11512:
11504:
11494:
11492:
11491:
11486:
11484:
11482:
11481:
11480:
11468:
11467:
11454:
11451:
11442:
11441:
11431:
11429:
11428:
11423:
11421:
11419:
11418:
11417:
11408:
11407:
11392:
11391:
11381:
11373:
11363:
11361:
11360:
11355:
11352:
11351:
11350:
11342:
11312:
11304:
11300:
11289:
11287:
11286:
11281:
11279:
11278:
11277:
11275:
11267:
11266:
11257:
11246:
11237:
11236:
11226:
11224:
11223:
11218:
11216:
11215:
11214:
11212:
11204:
11203:
11194:
11183:
11174:
11170:
11160:
11158:
11157:
11152:
11150:
11149:
11148:
11143:
11142:
11141:
11122:
11111:
11102:
11101:
11091:
11089:
11088:
11083:
11080:
11079:
11078:
11077:
11043:
11032:
11019:
11017:
11016:
11011:
11009:
11007:
10990:
10980:
10978:
10977:
10972:
10970:
10968:
10949:
10941:
10935:
10925:
10923:
10922:
10917:
10915:
10913:
10890:
10880:
10878:
10877:
10872:
10857:
10856:
10825:
10823:
10822:
10817:
10815:
10811:
10809:
10795:
10786:
10785:
10775:
10773:
10772:
10764:
10755:
10745:
10743:
10742:
10737:
10735:
10731:
10729:
10715:
10706:
10705:
10695:
10692:
10691:
10676:
10672:
10662:
10660:
10659:
10654:
10651:
10647:
10639:
10630:
10629:
10619:
10617:
10616:
10608:
10599:
10589:
10587:
10586:
10581:
10544:
10534:
10532:
10531:
10526:
10524:
10520:
10518:
10504:
10491:
10489:
10488:
10480:
10471:
10461:
10459:
10458:
10453:
10451:
10447:
10445:
10431:
10418:
10415:
10414:
10399:
10395:
10385:
10383:
10382:
10377:
10375:
10371:
10363:
10350:
10348:
10347:
10339:
10330:
10320:
10318:
10317:
10312:
10295:
10294:
10272:
10271:
10269:
10268:
10262:
10259:
10220:
10218:
10217:
10212:
10210:
10206:
10204:
10190:
10177:
10175:
10174:
10166:
10157:
10147:
10145:
10144:
10139:
10137:
10133:
10131:
10117:
10104:
10101:
10100:
10085:
10081:
10071:
10069:
10068:
10063:
10060:
10056:
10048:
10035:
10033:
10032:
10024:
10015:
10005:
10003:
10002:
9997:
9963:
9962:
9960:
9959:
9953:
9950:
9920:
9918:
9917:
9912:
9910:
9906:
9904:
9890:
9877:
9875:
9874:
9866:
9857:
9847:
9845:
9844:
9839:
9837:
9833:
9831:
9817:
9804:
9801:
9800:
9785:
9781:
9771:
9769:
9768:
9763:
9761:
9757:
9749:
9736:
9734:
9733:
9725:
9716:
9706:
9704:
9703:
9698:
9661:
9659:
9658:
9653:
9651:
9640:
9639:
9608:
9603:
9585:
9572:
9571:
9566:
9565:
9557:
9541:
9540:
9532:
9528:
9516:
9514:
9513:
9508:
9506:
9495:
9494:
9463:
9458:
9446:
9437:
9433:
9425:
9412:
9411:
9406:
9405:
9397:
9381:
9380:
9372:
9368:
9356:
9354:
9353:
9348:
9346:
9335:
9334:
9297:
9292:
9274:
9261:
9260:
9255:
9254:
9246:
9230:
9229:
9221:
9217:
9205:
9203:
9202:
9197:
9147:
9146:
9136:
9134:
9133:
9128:
9123:
9121:
9113:
9112:
9111:
9090:
9089:
9073:
9036:
9034:
9033:
9028:
9026:
9024:
9016:
9000:
8999:
8991:
8970:
8969:
8961:
8957:
8947:
8945:
8944:
8939:
8937:
8935:
8927:
8911:
8910:
8902:
8881:
8880:
8872:
8868:
8858:
8856:
8855:
8850:
8848:
8846:
8838:
8837:
8833:
8832:
8830:
8819:
8806:
8805:
8797:
8791:
8787:
8786:
8784:
8773:
8760:
8759:
8751:
8747:
8737:
8735:
8734:
8729:
8684:
8682:
8681:
8676:
8671:
8666:
8665:
8664:
8643:
8642:
8626:
8589:
8587:
8586:
8581:
8579:
8574:
8558:
8557:
8549:
8528:
8527:
8519:
8515:
8505:
8503:
8502:
8497:
8494:
8489:
8473:
8472:
8464:
8443:
8442:
8434:
8430:
8420:
8418:
8417:
8412:
8410:
8405:
8404:
8400:
8399:
8397:
8386:
8373:
8372:
8364:
8358:
8354:
8353:
8351:
8340:
8327:
8326:
8318:
8314:
8304:
8302:
8301:
8296:
8245:
8243:
8242:
8237:
8235:
8230:
8217:
8216:
8208:
8204:
8194:
8192:
8191:
8186:
8184:
8179:
8166:
8165:
8157:
8153:
8143:
8141:
8140:
8135:
8133:
8128:
8115:
8114:
8106:
8102:
8092:
8090:
8089:
8084:
8082:
8077:
8063:
8043:
8042:
8034:
8032:
8031:
8026:
8023:
8018:
8008:
8007:
7999:
7995:
7975:
7974:
7966:
7955:
7953:
7952:
7947:
7944:
7939:
7929:
7928:
7920:
7916:
7896:
7895:
7887:
7876:
7874:
7873:
7868:
7865:
7860:
7850:
7849:
7841:
7837:
7817:
7816:
7808:
7796:
7773:
7772:
7763:
7761:
7760:
7755:
7752:
7747:
7737:
7736:
7728:
7724:
7707:
7706:
7698:
7687:
7685:
7684:
7679:
7676:
7671:
7661:
7660:
7652:
7648:
7631:
7630:
7622:
7611:
7609:
7608:
7603:
7600:
7595:
7585:
7584:
7576:
7572:
7555:
7554:
7546:
7534:
7513:
7511:
7510:
7505:
7493:
7489:
7488:
7487:
7479:
7473:
7472:
7464:
7456:
7454:
7443:
7433:
7431:
7430:
7425:
7413:
7409:
7408:
7407:
7399:
7393:
7392:
7384:
7376:
7367:
7363:
7353:
7351:
7350:
7345:
7333:
7329:
7328:
7327:
7319:
7313:
7312:
7304:
7288:
7286:
7285:
7280:
7236:
7232:
7224:
7212:
7210:
7209:
7204:
7192:
7191:
7183:
7171:
7170:
7162:
7151:
7149:
7148:
7143:
7131:
7130:
7122:
7110:
7109:
7101:
7096:
7095:
7087:
7077:
7075:
7074:
7069:
7057:
7056:
7048:
7036:
7035:
7027:
7016:
7014:
7013:
7008:
6965:
6963:
6962:
6957:
6955:
6953:
6952:
6951:
6938:
6928:
6927:
6919:
6916:
6915:
6905:
6903:
6902:
6885:
6883:
6882:
6877:
6875:
6873:
6872:
6871:
6858:
6848:
6847:
6839:
6836:
6835:
6825:
6823:
6822:
6805:
6803:
6802:
6797:
6794:
6792:
6791:
6790:
6777:
6767:
6766:
6758:
6755:
6754:
6744:
6742:
6741:
6736:
6732:
6730:
6719:
6704:
6702:
6701:
6696:
6681:
6680:
6658:
6656:
6655:
6650:
6610:
6605:
6586:
6584:
6583:
6578:
6554:is the average (
6553:
6551:
6550:
6545:
6529:
6527:
6526:
6521:
6507:
6505:
6504:
6499:
6473:
6471:
6463:
6453:
6452:
6444:
6440:
6430:
6428:
6427:
6422:
6405:
6397:
6392:
6390:
6382:
6372:
6371:
6363:
6359:
6349:
6347:
6346:
6341:
6320:
6318:
6304:
6294:
6293:
6285:
6281:
6271:
6269:
6268:
6263:
6242:
6237:
6209:
6207:
6206:
6201:
6189:
6188:
6180:
6177:
6176:
6150:
6148:
6147:
6142:
6130:
6129:
6121:
6118:
6117:
6091:
6089:
6088:
6083:
6071:
6070:
6062:
6059:
6058:
6026:
6024:
6023:
6018:
6015:
6013:
6012:
6011:
5998:
5985:
5984:
5974:
5944:
5942:
5941:
5936:
5910:
5909:
5908:
5906:
5905:
5904:
5899:
5898:
5890:
5885:
5880:
5870:
5869:
5864:
5863:
5854:
5843:
5841:
5840:
5835:
5815:
5814:
5813:
5811:
5810:
5809:
5804:
5803:
5795:
5790:
5785:
5775:
5774:
5769:
5768:
5759:
5748:
5746:
5745:
5740:
5720:
5719:
5718:
5716:
5715:
5714:
5709:
5708:
5700:
5695:
5690:
5680:
5679:
5674:
5673:
5664:
5653:
5651:
5650:
5645:
5633:
5632:
5627:
5626:
5617:
5599:
5597:
5596:
5591:
5588:
5584:
5576:
5570:
5569:
5561:
5558:
5556:
5555:
5547:
5538:
5528:
5517:
5515:
5505:
5503:
5502:
5497:
5494:
5490:
5482:
5476:
5475:
5467:
5464:
5462:
5461:
5453:
5444:
5434:
5432:
5431:
5426:
5423:
5419:
5411:
5405:
5404:
5396:
5393:
5391:
5390:
5382:
5373:
5363:
5361:
5360:
5355:
5352:
5348:
5340:
5334:
5333:
5325:
5322:
5320:
5319:
5311:
5302:
5292:
5290:
5289:
5284:
5250:
5248:
5247:
5242:
5224:
5223:
5215:
5204:
5202:
5201:
5196:
5178:
5177:
5169:
5158:
5156:
5155:
5150:
5147:
5143:
5142:
5140:
5129:
5116:
5115:
5107:
5096:
5094:
5093:
5088:
5085:
5084:
5041:
5039:
5038:
5033:
5021:
5020:
5012:
5009:
5008:
4982:
4980:
4979:
4974:
4962:
4961:
4953:
4950:
4949:
4923:
4921:
4920:
4915:
4903:
4902:
4894:
4891:
4890:
4858:
4856:
4855:
4850:
4813:
4811:
4810:
4805:
4793:
4792:
4784:
4765:
4764:
4756:
4741:
4739:
4738:
4733:
4721:
4720:
4712:
4693:
4692:
4684:
4669:
4667:
4666:
4661:
4649:
4648:
4640:
4621:
4620:
4612:
4597:
4595:
4594:
4589:
4535:
4533:
4532:
4527:
4525:
4514:
4513:
4482:
4477:
4459:
4446:
4445:
4440:
4439:
4430:
4415:
4414:
4406:
4402:
4390:
4388:
4387:
4382:
4380:
4369:
4368:
4337:
4332:
4320:
4311:
4307:
4299:
4286:
4285:
4280:
4279:
4270:
4255:
4254:
4246:
4242:
4230:
4228:
4227:
4222:
4220:
4209:
4208:
4171:
4166:
4148:
4135:
4134:
4129:
4128:
4119:
4104:
4103:
4095:
4091:
4079:
4077:
4076:
4071:
4021:
4020:
3640:
3638:
3637:
3632:
3627:
3626:
3618:
3617:
3609:
3599:
3598:
3590:
3589:
3581:
3575:
3564:
3562:
3561:
3556:
3551:
3550:
3549:
3548:
3530:
3523:
3522:
3521:
3520:
3485:
3483:
3482:
3477:
3472:
3471:
3463:
3462:
3454:
3447:
3446:
3438:
3437:
3429:
3418:
3416:
3415:
3410:
3405:
3404:
3403:
3402:
3384:
3377:
3376:
3375:
3374:
3339:
3337:
3336:
3331:
3326:
3325:
3317:
3316:
3308:
3302:
3295:
3294:
3286:
3285:
3277:
3260:
3258:
3257:
3252:
3247:
3246:
3245:
3244:
3226:
3219:
3218:
3217:
3216:
3198:
3177:
3175:
3174:
3169:
3164:
3163:
3155:
3154:
3146:
3140:
3133:
3132:
3124:
3123:
3115:
3098:
3096:
3095:
3090:
3085:
3084:
3083:
3082:
3063:
3062:
3061:
3060:
3005:Basic properties
2991:
2979:
2929:
2927:
2926:
2921:
2896:
2894:
2893:
2888:
2886:
2885:
2817:
2815:
2814:
2809:
2807:
2796:
2795:
2768:
2767:
2762:
2761:
2752:
2749:
2748:
2747:
2746:
2741:
2730:
2728:
2727:
2726:
2704:
2670:
2669:
2664:
2663:
2654:
2651:
2650:
2642:
2624:
2620:
2618:
2607:
2601:
2600:
2595:
2594:
2585:
2572:
2571:
2538:
2537:
2536:
2535:
2530:
2517:
2507:
2497:
2496:
2491:
2490:
2481:
2461:
2459:
2458:
2453:
2451:
2440:
2439:
2412:
2411:
2406:
2405:
2396:
2393:
2392:
2391:
2390:
2385:
2374:
2372:
2371:
2370:
2362:
2343:
2309:
2308:
2303:
2302:
2293:
2290:
2288:
2287:
2286:
2278:
2259:
2254:
2250:
2248:
2237:
2230:
2229:
2224:
2223:
2214:
2211:
2209:
2208:
2207:
2199:
2180:
2168:
2167:
2134:
2133:
2132:
2131:
2126:
2115:
2113:
2112:
2111:
2103:
2084:
2080:
2070:
2060:
2059:
2054:
2053:
2044:
2025:
2017:
2015:
2014:
2009:
2007:
1996:
1995:
1962:
1961:
1956:
1955:
1946:
1943:
1942:
1941:
1940:
1935:
1886:
1885:
1880:
1879:
1870:
1849:
1848:
1843:
1842:
1833:
1830:
1829:
1821:
1796:
1795:
1756:
1755:
1754:
1753:
1748:
1735:
1725:
1715:
1714:
1709:
1708:
1699:
1680:
1674:
1671:
1664:
1659:
1657:
1656:
1651:
1649:
1638:
1637:
1612:
1611:
1606:
1605:
1596:
1592:
1587:
1575:
1573:
1562:
1528:
1527:
1522:
1521:
1512:
1507:
1504:
1503:
1495:
1490:
1486:
1484:
1473:
1467:
1466:
1461:
1460:
1451:
1438:
1437:
1405:
1400:
1386:
1376:
1366:
1365:
1360:
1359:
1350:
1330:
1328:
1327:
1322:
1320:
1309:
1308:
1283:
1282:
1277:
1276:
1267:
1263:
1258:
1244:
1243:
1234:
1230:
1196:
1195:
1190:
1189:
1180:
1175:
1172:
1171:
1162:
1158:
1153:
1149:
1147:
1136:
1129:
1128:
1123:
1122:
1113:
1108:
1105:
1104:
1095:
1091:
1079:
1078:
1046:
1041:
1027:
1026:
1017:
1013:
1009:
999:
989:
988:
983:
982:
973:
954:
946:
944:
943:
938:
936:
925:
924:
893:
892:
887:
886:
877:
873:
868:
818:
817:
812:
811:
802:
781:
780:
775:
774:
765:
760:
757:
756:
748:
736:
735:
697:
692:
678:
668:
658:
657:
652:
651:
642:
623:
617:
613:
586:
575:
564:
553:
539:
520:
509:
498:
487:
465:
457:
456:
454:
453:
448:
432:
431:
429:
428:
423:
407:
406:
404:
403:
398:
382:
381:
379:
378:
373:
357:
356:
354:
353:
348:
336:
335:
327:
314:
313:
311:
310:
305:
280:
279:
277:
276:
271:
259:
258:
250:
237:
236:
234:
233:
228:
202:
188:
167:
158:
81:Fourier analysis
37:
36:
21:
27582:
27581:
27577:
27576:
27575:
27573:
27572:
27571:
27537:
27536:
27492:
27487:
27482:
27457:
27425:
27398:Wiener, Norbert
27373:(August 1938),
27371:Wiener, Norbert
27342:
27316:
27306:Clarendon Press
27291:
27269:
27238:
27208:
27206:
27164:
27146:
27127:. sAcfAQAAIAAJ.
27125:
27083:
27054:Poincaré, Henri
27047:
27039:, Brooks/Cole,
27019:Wiener, Norbert
27015:Paley, R.E.A.C.
27008:
26972:
26970:
26966:
26952:
26929:
26861:
26813:
26787:
26765:
26747:
26695:
26694:
26686:Jordan, Camille
26679:
26625:
26613:, vol. 1,
26540:
26472:
26454:
26335:Feller, William
26316:
26314:
26312:
26292:
26267:
26167:
26086:
26049:
26029:
26027:
26023:
26017:10.1137/0915067
26008:10.1.1.127.1534
25980:
25970:
25953:
25948:
25940:
25936:
25928:
25924:
25917:
25913:
25905:
25901:
25892:
25890:
25877:
25876:
25872:
25865:
25861:
25854:
25850:
25843:
25839:
25832:
25828:
25821:
25817:
25794:
25790:
25783:
25779:
25771:
25767:
25759:
25755:
25747:
25743:
25734:
25732:
25728:
25724:
25723:
25719:
25710:
25706:
25700:
25696:
25690:
25684:
25682:
25678:
25671:
25667:
25660:
25656:
25648:
25644:
25636:
25632:
25624:
25620:
25612:
25608:
25600:
25596:
25589:
25585:
25577:
25573:
25565:
25561:
25553:
25549:
25542:
25538:
25531:
25522:
25514:
25510:
25502:
25498:
25490:
25486:
25479:
25475:
25468:
25464:
25457:
25453:
25446:
25442:
25434:
25430:
25422:
25415:
25407:
25403:
25396:
25392:
25385:
25378:
25371:
25364:
25357:
25353:
25345:
25341:
25337:, p. 307ff
25333:
25329:
25321:
25317:
25309:
25305:
25297:
25293:
25288:Katznelson 1976
25286:
25273:
25266:
25262:
25255:
25242:
25235:
25231:
25224:
25220:
25213:
25196:
25188:
25184:
25176:
25172:
25166:Titchmarsh 1986
25164:
25160:
25148:
25144:
25136:
25132:
25124:
25120:
25113:
25109:
25101:
25097:
25089:
25085:
25077:
25073:
25069:
25064:
25063:
25035:
25032:
25031:
25029:
25004:
24999:
24998:
24993:
24988:
24970:
24966:
24962:
24958:
24937:
24935:
24931:
24927:
24925:
24908:
24907:
24903:
24891:
24887:
24885:
24882:
24881:
24880:
24863:
24858:
24857:
24852:
24847:
24845:
24842:
24841:
24835:
24831:
24814:
24810:
24805:
24801:
24771:
24768:
24767:
24742:
24737:
24727:
24722:
24720:
24717:
24716:
24700:
24697:
24696:
24670:
24665:
24655:
24650:
24649:
24645:
24640:
24637:
24636:
24634:
24630:
24606:
24602:
24600:
24597:
24596:
24573:
24569:
24555:
24554:
24552:
24549:
24548:
24526:
24523:
24522:
24499:
24495:
24475:
24474:
24472:
24469:
24468:
24446:
24442:
24429:
24425:
24411:
24408:
24407:
24401:
24397:
24380:
24376:
24362:Vretblad (2000)
24360:
24356:
24343:
24339:
24334:
24329:
24273:
24142:
24127:
24095:
24093:
24089:
24068:
24066:
24062:
24058:
24056:
24047:
24043:
24041:
24038:
24037:
24036:
24004:
24002:
23991:
23986:
23985:
23980:
23975:
23966:
23962:
23956:
23952:
23948:
23944:
23943:
23927:
23923:
23908:
23904:
23903:
23901:
23899:
23896:
23895:
23864:
23862:
23851:
23846:
23845:
23840:
23835:
23826:
23822:
23816:
23812:
23808:
23804:
23803:
23782:
23780:
23776:
23761:
23757:
23756:
23754:
23752:
23749:
23748:
23717:
23715:
23704:
23699:
23698:
23693:
23688:
23679:
23675:
23674:
23670:
23669:
23659:
23655:
23654:
23652:
23650:
23647:
23646:
23627:
23622:
23617:
23604:
23600:
23598:
23595:
23594:
23575:
23562:
23538:
23531:
23530:
23525:
23524:
23519:
23512:
23511:
23506:
23505:
23495:
23491:
23487:
23485:
23482:
23481:
23462:
23455:
23454:
23449:
23448:
23443:
23436:
23435:
23430:
23429:
23419:
23415:
23411:
23399:
23395:
23391:
23380:
23377:
23376:
23357:
23350:
23349:
23344:
23343:
23338:
23331:
23330:
23325:
23324:
23318:
23314:
23307:
23303:
23301:
23298:
23297:
23278:
23269:
23264:
23263:
23256:
23252:
23247:
23246:
23239:
23238:
23233:
23232:
23222:
23218:
23214:
23200:
23188:
23184:
23183:
23174:
23170:
23169:
23164:
23162:
23159:
23158:
23132:
23130:
23094:
23092:
23088:
23084:
23069:
23065:
23061:
23059:
23053:
23049:
23038:
23034:
23019:
23015:
23013:
23010:
23009:
23008:
23005:Riesz potential
22970:
22965:
22964:
22959:
22954:
22940:
22936:
22929:
22925:
22915:
22913:
22911:
22908:
22907:
22874:
22869:
22868:
22863:
22858:
22844:
22840:
22828:
22824:
22814:
22812:
22810:
22807:
22806:
22773:
22768:
22767:
22762:
22757:
22743:
22739:
22732:
22728:
22718:
22716:
22714:
22711:
22710:
22661:
22656:
22655:
22650:
22645:
22643:
22640:
22639:
22625:
22618:
22606:
22603:
22598:
22597:
22595:
22594:
22591:
22581:
22578:
22573:
22572:
22570:
22565:
22557:
22550:
22545:
22523:
22518:
22513:
22491:
22490:
22486:
22468:
22464:
22450:
22445:
22441:
22440:
22432:
22428:
22408:
22406:
22404:
22401:
22400:
22380:
22375:
22370:
22349:
22348:
22344:
22324:
22323:
22314:
22310:
22309:
22289:
22287:
22280:
22276:
22274:
22271:
22270:
22250:
22245:
22240:
22213:
22212:
22208:
22187:
22186:
22181:
22180:
22175:
22170:
22163:
22159:
22158:
22138:
22136:
22134:
22131:
22130:
22112:
22101:
22096:
22095:
22090:
22085:
22078:
22074:
22073:
22065:
22060:
22055:
22034:
22030:
22028:
22025:
22024:
22002:
22001:
21996:
21985:
21977:
21970:
21966:
21958:
21944:
21939:
21938:
21937:
21933:
21927:
21926:
21915:
21900:
21896:
21894:
21893:
21888:
21886:
21883:
21882:
21867:
21866:
21861:
21850:
21842:
21835:
21831:
21823:
21809:
21804:
21803:
21802:
21798:
21785:
21771:
21770:
21765:
21761:
21760:
21749:
21734:
21730:
21728:
21727:
21722:
21720:
21717:
21716:
21701:
21700:
21695:
21684:
21676:
21663:
21659:
21651:
21637:
21632:
21631:
21630:
21626:
21620:
21619:
21608:
21593:
21589:
21587:
21586:
21581:
21579:
21576:
21575:
21554:
21546:
21543:
21542:
21530:
21525:
21520:
21509:
21502:
21474:
21470:
21458:
21454:
21453:
21445:
21443:
21441:
21438:
21437:
21416:
21412:
21400:
21396:
21395:
21390:
21388:
21385:
21384:
21363:
21359:
21347:
21343:
21342:
21337:
21335:
21332:
21331:
21303:
21298:
21296:
21293:
21292:
21279:
21253:
21248:
21235:
21230:
21217:
21215:
21213:
21210:
21209:
21188:
21183:
21170:
21165:
21155:
21153:
21150:
21149:
21128:
21123:
21110:
21105:
21095:
21093:
21090:
21089:
21068:
21064:
21055:
21051:
21045:
21043:
21040:
21039:
21029:Bessel function
21025:
21019:
21007:
20999:
20977:
20972:
20959:
20954:
20936:
20931:
20918:
20913:
20907:
20903:
20897:
20893:
20886:
20884:
20882:
20879:
20878:
20857:
20852:
20839:
20834:
20816:
20811:
20798:
20793:
20787:
20783:
20777:
20773:
20772:
20770:
20768:
20765:
20764:
20743:
20738:
20725:
20720:
20701:
20696:
20683:
20678:
20672:
20665:
20661:
20655:
20651:
20650:
20648:
20646:
20643:
20642:
20618:
20614:
20605:
20601:
20599:
20595:
20587:
20584:
20583:
20548:
20544:
20538:
20533:
20527:
20516:
20512:
20506:
20501:
20495:
20494:
20490:
20480:
20475:
20471:
20467:
20459:
20448:
20447:
20442:
20440:
20437:
20436:
20409:
20405:
20399:
20394:
20388:
20377:
20373:
20367:
20362:
20356:
20355:
20351:
20341:
20336:
20332:
20328:
20320:
20309:
20301:
20296:
20294:
20291:
20290:
20263:
20259:
20253:
20248:
20242:
20231:
20227:
20221:
20216:
20210:
20209:
20205:
20198:
20194:
20186:
20175:
20174:
20169:
20167:
20164:
20163:
20138:
20134:
20128:
20124:
20115:
20111:
20105:
20101:
20100:
20096:
20089:
20085:
20083:
20080:
20079:
20069:
20065:
20062:
20058:
20055:
20051:
20048:
20044:
20028:
20027:
19999:
19995:
19983:
19979:
19969:
19965:
19938:
19937:
19925:
19921:
19912:
19908:
19894:
19893:
19888:
19886:
19883:
19882:
19867:
19866:
19838:
19834:
19822:
19818:
19808:
19804:
19773:
19768:
19764:
19763:
19751:
19747:
19738:
19734:
19720:
19719:
19714:
19712:
19709:
19708:
19693:
19692:
19664:
19660:
19648:
19644:
19628:
19624:
19597:
19596:
19584:
19580:
19571:
19567:
19553:
19552:
19547:
19545:
19542:
19541:
19509:
19506:
19505:
19493:
19488:
19483:
19472:
19460:
19452:
19427:
19415:
19411:
19410:
19398:
19394:
19377:
19373:
19365:
19363:
19361:
19358:
19357:
19333:
19321:
19317:
19316:
19304:
19300:
19283:
19279:
19269:
19267:
19264:
19263:
19239:
19227:
19223:
19222:
19210:
19206:
19189:
19185:
19179:
19167:
19163:
19162:
19160:
19158:
19155:
19154:
19133:
19118:
19114:
19113:
19111:
19108:
19107:
19084:
19082:
19079:
19076:
19075:
19073:
19072:
19060:
19058:
19055:
19052:
19051:
19049:
19048:
19040:
19017:
18989:
18984:
18979:
18976:
18975:
18952:
18936:
18920:
18908:
18903:
18900:
18899:
18876:
18854:
18849:
18839:
18834:
18831:
18830:
18807:
18799:
18796:
18795:
18775:
18770:
18767:Bessel function
18762:
18753:
18748:
18726:
18722:
18700:
18696:
18675:
18671:
18665:
18661:
18648:
18646:
18644:
18641:
18640:
18619:
18615:
18593:
18589:
18568:
18564:
18558:
18554:
18544:
18542:
18530:
18528:
18525:
18524:
18503:
18499:
18493:
18489:
18439:
18435:
18429:
18425:
18412:
18410:
18408:
18405:
18404:
18377:
18373:
18371:
18368:
18367:
18359:of first kind.
18357:Bessel function
18348:
18342:
18320:
18316:
18294:
18290:
18279:
18277:
18275:
18272:
18271:
18250:
18246:
18224:
18220:
18213:
18211:
18198:
18196:
18193:
18192:
18171:
18167:
18161:
18157:
18123:
18121:
18119:
18116:
18115:
18088:
18084:
18082:
18079:
18078:
18069:
18056:
18055:
18025:
18011:
17999:
17997:
17991:
17990:
17978:
17974:
17968:
17954:
17943:
17941:
17938:
17937:
17936:
17898:
17896:
17889:
17885:
17876:
17862:
17845:
17843:
17841:
17838:
17837:
17804:
17802:
17795:
17791:
17782:
17768:
17749:
17747:
17744:
17743:
17716:
17709:
17705:
17696:
17682:
17668:
17666:
17663:
17662:
17623:
17609:
17603:
17600:
17599:
17577:
17531:
17526:
17525:
17521:
17516:
17513:
17512:
17467:
17462:
17461:
17457:
17445:
17443:
17440:
17439:
17394:
17389:
17388:
17384:
17374:
17372:
17369:
17368:
17342:
17339:
17338:
17304:
17299:
17297:
17294:
17293:
17271:
17266:
17254:
17252:
17249:
17248:
17223:
17218:
17216:
17213:
17212:
17183:
17180:
17179:
17151:
17143:
17132:
17130:
17127:
17126:
17106:
17098:
17092:
17090:
17087:
17086:
17066:
17058:
17052:
17050:
17047:
17046:
17026:
17018:
17012:
17010:
17007:
17006:
16989:
16981:
16979:
16971:
16966:
16958:
16956:
16948:
16941:
16933:
16905:
16900:
16899:
16891:
16890:
16854:
16852:
16848:
16838:
16836:
16831:
16828:
16827:
16800:
16795:
16794:
16786:
16785:
16749:
16747:
16743:
16736:
16734:
16715:
16713:
16711:
16708:
16707:
16680:
16675:
16674:
16660:
16659:
16623:
16621:
16617:
16607:
16605:
16600:
16597:
16596:
16578:
16573:
16572:
16564:
16562:
16559:
16558:
16536:
16528:
16513:
16509:
16505:
16499:
16495:
16493:
16471:
16458:
16454:
16444:
16442:
16440:
16437:
16436:
16435:
16421:
16418:
16415:
16414:
16412:
16411:
16362:
16349:
16345:
16332:
16330:
16319:
16316:
16315:
16266:
16253:
16249:
16236:
16234:
16221:
16213:
16210:
16209:
16160:
16147:
16143:
16124:
16122:
16111:
16108:
16107:
16092:
16091:
16086:
16078:
16063:
16059:
16055:
16049:
16045:
16043:
16021:
16008:
16004:
15994:
15992:
15983:
15982:
15974:
15970:
15965:
15960:
15958:
15955:
15954:
15925:
15922:
15919:
15918:
15916:
15915:
15903:
15864:
15861:
15860:
15821:
15813:
15810:
15809:
15771:
15768:
15767:
15745:
15743:
15740:
15739:
15728:
15717:
15698:
15694:
15683:
15680:
15679:
15650:
15646:
15636:
15634:
15632:
15629:
15628:
15610:
15606:
15589:
15586:
15585:
15552:
15548:
15546:
15543:
15542:
15527:
15516:
15508:
15474:
15470:
15464:
15460:
15452:
15449:
15448:
15415:
15411:
15401:
15395:
15391:
15389:
15386:
15385:
15352:
15348:
15342:
15328:
15323:
15319:
15318:
15316:
15313:
15312:
15293:
15289:
15287:
15284:
15283:
15260:
15257:
15256:
15228:
15222:
15218:
15216:
15212:
15208:
15196:
15189:
15185:
15172:
15170:
15167:
15166:
15139:
15133:
15129:
15127:
15123:
15119:
15107:
15100:
15096:
15077:
15075:
15072:
15071:
15045:
15041:
15037:
15035:
15031:
15027:
15015:
15008:
15004:
14991:
14989:
14986:
14985:
14964:
14960:
14947:
14943:
14941:
14938:
14937:
14907:
14898:
14894:
14884:
14880:
14869:
14865:
14858:
14854:
14853:
14851:
14839:
14835:
14821:
14818:
14817:
14816:
14788:
14775:
14769:
14765:
14763:
14762:
14758:
14740:
14735:
14732:
14731:
14704:
14691:
14685:
14681:
14679:
14678:
14674:
14650:
14648:
14646:
14643:
14642:
14615:
14600:
14596:
14590:
14586:
14585:
14583:
14582:
14578:
14560:
14555:
14552:
14551:
14528:
14524:
14520:
14516:
14508:
14505:
14504:
14470:
14466:
14456:
14452:
14441:
14437:
14430:
14426:
14425:
14423:
14411:
14407:
14393:
14390:
14389:
14388:
14360:
14347:
14341:
14337:
14335:
14334:
14330:
14312:
14310:
14307:
14306:
14279:
14266:
14260:
14256:
14254:
14253:
14249:
14228:
14226:
14223:
14222:
14195:
14180:
14176:
14170:
14166:
14165:
14163:
14162:
14158:
14140:
14138:
14135:
14134:
14111:
14107:
14103:
14099:
14091:
14088:
14087:
14057:
14041:
14037:
14022:
14018:
14017:
14015:
13992:
13989:
13988:
13987:
13968:
13967:
13922:
13921:
13910:
13907:
13906:
13884:
13843:
13841:
13830:
13828:
13825:
13824:
13802:
13786:
13781:
13774:
13770:
13749:
13744:
13737:
13733:
13729:
13727:
13725:
13722:
13721:
13689:
13686:
13685:
13644:
13640:
13625:
13621:
13620:
13618:
13595:
13592:
13591:
13590:
13587:Euler's formula
13528:
13524:
13519:
13516:
13515:
13457:
13455:
13444:
13442:
13439:
13438:
13405:
13400:
13393:
13389:
13368:
13363:
13356:
13352:
13348:
13346:
13344:
13341:
13340:
13308:
13305:
13304:
13258:
13255:
13254:
13213:
13211:
13208:
13207:
13180:
13175:
13168:
13164:
13159:
13156:
13155:
13131:
13127:
13125:
13122:
13121:
13096:
13093:
13092:
13064:
13062:
13059:
13058:
13041:
13038:
13037:
13010:
13007:
13006:
12984:
12951:
12948:
12947:
12912:
12910:
12907:
12906:
12880:
12877:
12876:
12859:
12856:
12855:
12832:
12831:
12809:
12805:
12787:
12779:
12766:
12765:
12750:
12739:
12738:
12737:
12714:
12713:
12708:
12706:
12703:
12702:
12687:
12686:
12664:
12660:
12642:
12634:
12615:
12606:
12605:
12590:
12579:
12578:
12577:
12554:
12553:
12548:
12546:
12543:
12542:
12527:
12526:
12498:
12494:
12476:
12468:
12455:
12454:
12439:
12428:
12427:
12426:
12403:
12402:
12397:
12395:
12392:
12391:
12364:
12361:
12360:
12349:
12344:
12339:
12328:
12313:
12298:
12290:
12286:
12281:
12255:
12251:
12245:
12241:
12230:
12226:
12222:
12216:
12212:
12210:
12206:
12202:
12186:
12180:
12176:
12166:
12164:
12162:
12159:
12158:
12132:
12128:
12122:
12118:
12107:
12103:
12099:
12093:
12089:
12087:
12083:
12079:
12067:
12063:
12053:
12051:
12049:
12046:
12045:
12013:
12011:
12007:
12001:
11997:
11987:
11983:
11976:
11972:
11966:
11962:
11958:
11956:
11952:
11948:
11936:
11932:
11913:
11912:
11910:
11908:
11905:
11904:
11873:
11869:
11855:
11851:
11845:
11841:
11840:
11838:
11834:
11830:
11828:
11825:
11824:
11783:
11778:
11777:
11773:
11757:
11755:
11752:
11751:
11721:
11716:
11715:
11711:
11693:
11683:
11681:
11678:
11677:
11646:
11642:
11640:
11639:
11635:
11619:
11617:
11614:
11613:
11580:
11577:
11576:
11553:
11531:
11527:
11518:
11514:
11513:
11505:
11503:
11501:
11498:
11497:
11476:
11472:
11463:
11459:
11458:
11453:
11440:
11438:
11435:
11434:
11413:
11409:
11403:
11399:
11387:
11383:
11382:
11374:
11372:
11370:
11367:
11366:
11346:
11338:
11331:
11327:
11325:
11322:
11321:
11306:
11302:
11296:
11268:
11262:
11258:
11256:
11252:
11248:
11235:
11233:
11230:
11229:
11205:
11199:
11195:
11193:
11189:
11185:
11169:
11167:
11164:
11163:
11137:
11133:
11123:
11121:
11117:
11113:
11100:
11098:
11095:
11094:
11073:
11069:
11062:
11058:
11056:
11053:
11052:
11038:
11023:
10994:
10989:
10987:
10984:
10983:
10940:
10939:
10934:
10932:
10929:
10928:
10894:
10889:
10887:
10884:
10883:
10846:
10842:
10840:
10837:
10836:
10799:
10794:
10790:
10781:
10777:
10768:
10760:
10759:
10754:
10752:
10749:
10748:
10719:
10714:
10710:
10701:
10697:
10687:
10683:
10671:
10669:
10666:
10665:
10638:
10634:
10625:
10621:
10612:
10604:
10603:
10598:
10596:
10593:
10592:
10560:
10557:
10556:
10538:
10508:
10503:
10499:
10484:
10476:
10475:
10470:
10468:
10465:
10464:
10435:
10430:
10426:
10410:
10406:
10394:
10392:
10389:
10388:
10362:
10358:
10343:
10335:
10334:
10329:
10327:
10324:
10323:
10290:
10286:
10284:
10281:
10280:
10263:
10260:
10253:
10252:
10250:
10244:
10229:low-pass filter
10194:
10189:
10185:
10170:
10162:
10161:
10156:
10154:
10151:
10150:
10121:
10116:
10112:
10096:
10092:
10080:
10078:
10075:
10074:
10047:
10043:
10028:
10020:
10019:
10014:
10012:
10009:
10008:
9975:
9972:
9971:
9954:
9951:
9944:
9943:
9941:
9935:
9894:
9889:
9885:
9870:
9862:
9861:
9856:
9854:
9851:
9850:
9821:
9816:
9812:
9796:
9792:
9780:
9778:
9775:
9774:
9748:
9744:
9729:
9721:
9720:
9715:
9713:
9710:
9709:
9676:
9673:
9672:
9649:
9648:
9626:
9622:
9604:
9596:
9583:
9582:
9567:
9556:
9555:
9554:
9531:
9530:
9525:
9523:
9520:
9519:
9504:
9503:
9481:
9477:
9459:
9451:
9432:
9423:
9422:
9407:
9396:
9395:
9394:
9371:
9370:
9365:
9363:
9360:
9359:
9344:
9343:
9315:
9311:
9293:
9285:
9272:
9271:
9256:
9245:
9244:
9243:
9220:
9219:
9214:
9212:
9209:
9208:
9181:
9178:
9177:
9166:
9161:
9156:
9145:
9114:
9098:
9094:
9079:
9075:
9074:
9072:
9049:
9046:
9045:
9044:
9041:Euler's formula
9017:
8990:
8989:
8960:
8959:
8958:
8956:
8954:
8951:
8950:
8928:
8901:
8900:
8871:
8870:
8869:
8867:
8865:
8862:
8861:
8839:
8823:
8818:
8811:
8807:
8796:
8795:
8777:
8772:
8765:
8761:
8750:
8749:
8748:
8746:
8744:
8741:
8740:
8696:
8693:
8692:
8651:
8647:
8632:
8628:
8627:
8625:
8602:
8599:
8598:
8597:
8594:Euler's formula
8548:
8547:
8518:
8517:
8516:
8514:
8512:
8509:
8508:
8463:
8462:
8433:
8432:
8431:
8429:
8427:
8424:
8423:
8390:
8385:
8378:
8374:
8363:
8362:
8344:
8339:
8332:
8328:
8317:
8316:
8315:
8313:
8311:
8308:
8307:
8263:
8260:
8259:
8207:
8206:
8205:
8203:
8201:
8198:
8197:
8156:
8155:
8154:
8152:
8150:
8147:
8146:
8105:
8104:
8103:
8101:
8099:
8096:
8095:
8064:
8062:
8060:
8057:
8056:
8038:
8037:
7998:
7997:
7996:
7994:
7965:
7964:
7962:
7959:
7958:
7919:
7918:
7917:
7915:
7886:
7885:
7883:
7880:
7879:
7840:
7839:
7838:
7836:
7807:
7806:
7804:
7801:
7800:
7787:
7768:
7767:
7727:
7726:
7725:
7723:
7697:
7696:
7694:
7691:
7690:
7651:
7650:
7649:
7647:
7621:
7620:
7618:
7615:
7614:
7575:
7574:
7573:
7571:
7545:
7544:
7542:
7539:
7538:
7525:
7478:
7477:
7463:
7462:
7461:
7457:
7447:
7442:
7440:
7437:
7436:
7398:
7397:
7383:
7382:
7381:
7377:
7362:
7360:
7357:
7356:
7318:
7317:
7303:
7302:
7301:
7297:
7295:
7292:
7291:
7252:
7249:
7248:
7234:
7230:
7216:
7182:
7181:
7161:
7160:
7158:
7155:
7154:
7121:
7120:
7100:
7099:
7086:
7084:
7081:
7080:
7047:
7046:
7026:
7025:
7023:
7020:
7019:
6980:
6977:
6976:
6947:
6943:
6939:
6918:
6917:
6911:
6907:
6906:
6904:
6898:
6894:
6892:
6889:
6888:
6867:
6863:
6859:
6838:
6837:
6831:
6827:
6826:
6824:
6818:
6814:
6812:
6809:
6808:
6786:
6782:
6778:
6757:
6756:
6750:
6746:
6745:
6743:
6737:
6723:
6718:
6714:
6713:
6711:
6708:
6707:
6676:
6672:
6670:
6667:
6666:
6606:
6598:
6592:
6589:
6588:
6563:
6560:
6559:
6539:
6536:
6535:
6515:
6512:
6511:
6464:
6443:
6442:
6441:
6439:
6437:
6434:
6433:
6396:
6383:
6362:
6361:
6360:
6358:
6356:
6353:
6352:
6305:
6284:
6283:
6282:
6280:
6278:
6275:
6274:
6238:
6230:
6224:
6221:
6220:
6179:
6178:
6172:
6168:
6157:
6154:
6153:
6120:
6119:
6113:
6109:
6098:
6095:
6094:
6061:
6060:
6054:
6050:
6033:
6030:
6029:
6007:
6003:
5999:
5980:
5976:
5975:
5973:
5971:
5968:
5967:
5900:
5894:
5893:
5892:
5891:
5886:
5884:
5883:
5859:
5855:
5853:
5852:
5850:
5847:
5846:
5805:
5799:
5798:
5797:
5796:
5791:
5789:
5788:
5764:
5760:
5758:
5757:
5755:
5752:
5751:
5710:
5704:
5703:
5702:
5701:
5696:
5694:
5693:
5669:
5665:
5663:
5662:
5660:
5657:
5656:
5622:
5618:
5616:
5615:
5613:
5610:
5609:
5600:
5575:
5571:
5560:
5559:
5551:
5543:
5542:
5537:
5535:
5532:
5531:
5530:
5519:
5518:is large, then
5511:
5509:
5481:
5477:
5466:
5465:
5457:
5449:
5448:
5443:
5441:
5438:
5437:
5410:
5406:
5395:
5394:
5386:
5378:
5377:
5372:
5370:
5367:
5366:
5339:
5335:
5324:
5323:
5315:
5307:
5306:
5301:
5299:
5296:
5295:
5265:
5262:
5261:
5214:
5213:
5211:
5208:
5207:
5168:
5167:
5165:
5162:
5161:
5133:
5128:
5121:
5117:
5106:
5105:
5103:
5100:
5099:
5074:
5070:
5056:
5053:
5052:
5011:
5010:
4995:
4991:
4989:
4986:
4985:
4952:
4951:
4936:
4932:
4930:
4927:
4926:
4893:
4892:
4871:
4867:
4865:
4862:
4861:
4828:
4825:
4824:
4783:
4782:
4755:
4754:
4748:
4745:
4744:
4711:
4710:
4683:
4682:
4676:
4673:
4672:
4639:
4638:
4611:
4610:
4604:
4601:
4600:
4550:
4547:
4546:
4523:
4522:
4500:
4496:
4478:
4470:
4457:
4456:
4435:
4431:
4429:
4428:
4405:
4404:
4399:
4397:
4394:
4393:
4378:
4377:
4355:
4351:
4333:
4325:
4306:
4297:
4296:
4275:
4271:
4269:
4268:
4245:
4244:
4239:
4237:
4234:
4233:
4218:
4217:
4189:
4185:
4167:
4159:
4146:
4145:
4124:
4120:
4118:
4117:
4094:
4093:
4088:
4086:
4083:
4082:
4055:
4052:
4051:
4040:
4035:
4030:
4019:
4014:
4009:
4004:
3999:
3994:
3989:
3984:
3982:Other notations
3979:
3974:
3969:
3963:
3958:
3944:
3938:
3933:
3928:
3923:
3917:
3912:
3906:
3901:
3896:
3894:Generalizations
3891:
3885:
3880:
3872:
3864:
3856:
3847:
3842:
3837:
3832:
3826:
3821:
3815:
3810:
3805:
3800:
3794:
3789:
3784:
3779:
3769:
3764:
3756:Main articles:
3754:
3749:
3743:
3738:
3736:Differentiation
3733:
3727:
3722:
3689:
3684:
3678:
3673:
3663:
3658:
3653:
3648:
3619:
3608:
3607:
3606:
3591:
3580:
3579:
3578:
3570:
3567:
3566:
3541:
3538:
3537:
3533:
3513:
3510:
3509:
3505:
3500:
3497:
3496:
3464:
3453:
3452:
3451:
3439:
3428:
3427:
3426:
3424:
3421:
3420:
3395:
3392:
3391:
3387:
3367:
3364:
3363:
3359:
3354:
3351:
3350:
3318:
3307:
3306:
3305:
3287:
3276:
3275:
3274:
3272:
3269:
3268:
3237:
3234:
3233:
3229:
3209:
3206:
3205:
3201:
3190:
3187:
3186:
3156:
3145:
3144:
3143:
3125:
3114:
3113:
3112:
3110:
3107:
3106:
3075:
3072:
3071:
3067:
3053:
3050:
3049:
3045:
3040:
3037:
3036:
3032:
3027:
3022:
3017:
3012:
3007:
3002:
2995:
2992:
2983:
2980:
2963:
2958:
2953:
2948:
2942:
2937:
2906:
2903:
2902:
2869:
2865:
2857:
2854:
2853:
2846:
2838:Main articles:
2836:
2831:
2826:
2805:
2804:
2782:
2778:
2757:
2753:
2751:
2750:
2742:
2737:
2736:
2735:
2731:
2722:
2718:
2708:
2703:
2696:
2681:
2680:
2659:
2655:
2653:
2652:
2641:
2637:
2611:
2606:
2602:
2590:
2586:
2584:
2583:
2555:
2551:
2531:
2526:
2525:
2524:
2520:
2510:
2486:
2482:
2480:
2479:
2475:
2473:
2470:
2469:
2449:
2448:
2426:
2422:
2401:
2397:
2395:
2394:
2386:
2381:
2380:
2379:
2375:
2361:
2357:
2347:
2342:
2335:
2320:
2319:
2298:
2294:
2292:
2291:
2277:
2273:
2263:
2258:
2241:
2236:
2232:
2219:
2215:
2213:
2212:
2198:
2194:
2184:
2179:
2151:
2147:
2127:
2122:
2121:
2120:
2116:
2102:
2098:
2088:
2083:
2073:
2049:
2045:
2043:
2042:
2038:
2036:
2033:
2032:
2023:
2005:
2004:
1976:
1972:
1951:
1947:
1945:
1944:
1936:
1931:
1930:
1929:
1925:
1918:
1903:
1902:
1875:
1871:
1869:
1868:
1838:
1834:
1832:
1831:
1820:
1816:
1773:
1769:
1749:
1744:
1743:
1742:
1738:
1728:
1704:
1700:
1698:
1697:
1693:
1691:
1688:
1687:
1678:
1667:
1647:
1646:
1627:
1623:
1601:
1597:
1595:
1594:
1588:
1580:
1566:
1561:
1554:
1539:
1538:
1517:
1513:
1511:
1510:
1494:
1477:
1472:
1468:
1456:
1452:
1450:
1449:
1424:
1420:
1401:
1393:
1379:
1355:
1351:
1349:
1348:
1344:
1342:
1339:
1338:
1318:
1317:
1298:
1294:
1272:
1268:
1266:
1265:
1259:
1251:
1229:
1222:
1207:
1206:
1185:
1181:
1179:
1178:
1157:
1140:
1135:
1131:
1118:
1114:
1112:
1111:
1090:
1065:
1061:
1042:
1034:
1012:
1002:
978:
974:
972:
971:
967:
965:
962:
961:
952:
934:
933:
908:
904:
882:
878:
876:
875:
869:
861:
850:
835:
834:
807:
803:
801:
800:
770:
766:
764:
763:
747:
716:
712:
693:
685:
671:
647:
643:
641:
640:
636:
634:
631:
630:
621:
612:
603:
598:
593:
571:
549:
544:
543:
542:
530:
511:
500:
489:
478:
472:
467:
466:
459:
458:
440:
437:
436:
435:
433:
415:
412:
411:
410:
408:
390:
387:
386:
385:
383:
365:
362:
361:
360:
358:
326:
325:
322:
319:
318:
317:
315:
288:
285:
284:
283:
281:
249:
248:
245:
242:
241:
240:
238:
211:
208:
207:
206:
203:
193:
192:
191:
190:
186:
170:
169:
168:
160:
159:
90:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
27580:
27570:
27569:
27564:
27562:Joseph Fourier
27559:
27554:
27549:
27535:
27534:
27529:
27510:
27505:
27491:
27490:External links
27488:
27486:
27485:
27480:
27460:
27455:
27428:
27423:
27406:
27394:
27385:(8): 573–575,
27366:
27345:
27340:
27319:
27314:
27298:Titchmarsh, E.
27294:
27290:978-8189866563
27289:
27272:
27267:
27241:
27236:
27217:
27195:
27178:(4): 337–340,
27167:
27162:
27149:
27144:
27129:
27123:
27098:
27086:
27081:
27071:, Boca Raton:
27064:
27062:, Paris: Carré
27050:
27045:
27030:
27011:
27006:
26982:
26950:
26920:
26903:(3): 417–433,
26886:
26864:
26859:
26840:
26824:
26811:
26790:
26785:
26768:
26763:
26750:
26745:
26708:
26682:
26677:
26660:
26641:(2): 821–844,
26628:
26623:
26603:
26583:
26579:Academic Press
26571:Vilenkin, N.Y.
26563:
26559:Academic Press
26543:
26538:
26517:
26480:Teschl, Gerald
26475:
26470:
26457:
26452:
26444:Academic Press
26414:
26399:
26378:
26366:
26354:
26331:
26322:
26310:
26295:
26290:
26282:Academic Press
26270:
26265:
26248:
26236:
26199:(3): 158–164,
26183:
26170:
26165:
26150:
26138:
26098:
26089:
26084:
26071:
26052:
26047:
26034:
25973:
25968:
25954:
25952:
25949:
25947:
25946:
25934:
25922:
25911:
25899:
25870:
25859:
25848:
25837:
25826:
25815:
25788:
25777:
25765:
25753:
25741:
25717:
25676:
25665:
25654:
25642:
25630:
25618:
25614:Chatfield 2004
25606:
25594:
25583:
25571:
25559:
25555:Champeney 1987
25547:
25536:
25520:
25516:Champeney 1987
25508:
25496:
25484:
25473:
25462:
25451:
25440:
25428:
25413:
25401:
25390:
25376:
25362:
25351:
25339:
25327:
25315:
25303:
25291:
25271:
25260:
25240:
25229:
25218:
25194:
25182:
25170:
25158:
25142:
25130:
25118:
25107:
25095:
25083:
25070:
25068:
25065:
25062:
25061:
25048:
25045:
25042:
25039:
25016:
25013:
25010:
25007:
25002:
24996:
24991:
24983:
24977:
24974:
24969:
24965:
24961:
24955:
24950:
24946:
24943:
24940:
24934:
24930:
24922:
24916:
24913:
24906:
24900:
24897:
24894:
24890:
24879:is given to be
24866:
24861:
24855:
24850:
24829:
24808:
24799:
24787:
24784:
24781:
24778:
24775:
24748:
24745:
24741:
24733:
24730:
24726:
24704:
24683:
24676:
24673:
24669:
24661:
24658:
24654:
24648:
24644:
24628:
24609:
24605:
24584:
24581:
24576:
24572:
24568:
24562:
24559:
24536:
24533:
24530:
24510:
24507:
24502:
24498:
24494:
24491:
24488:
24482:
24479:
24454:
24449:
24445:
24441:
24438:
24435:
24432:
24428:
24424:
24421:
24418:
24415:
24395:
24374:
24354:
24350:distributional
24336:
24335:
24333:
24330:
24328:
24327:
24322:
24317:
24312:
24311:
24310:
24300:
24295:
24290:
24285:
24280:
24267:
24262:
24257:
24252:
24247:
24242:
24237:
24236:
24235:
24230:
24220:
24215:
24210:
24205:
24200:
24195:
24193:Fourier series
24190:
24185:
24180:
24175:
24170:
24164:
24159:
24154:
24149:
24143:
24141:
24138:
24135:
24134:
24116:
24108:
24104:
24101:
24098:
24092:
24086:
24081:
24077:
24074:
24071:
24065:
24061:
24055:
24050:
24046:
24033:
24017:
24013:
24010:
24007:
24000:
23994:
23989:
23983:
23978:
23974:
23969:
23965:
23959:
23955:
23951:
23947:
23941:
23936:
23933:
23930:
23926:
23922:
23919:
23916:
23911:
23907:
23893:
23877:
23873:
23870:
23867:
23860:
23854:
23849:
23843:
23838:
23834:
23829:
23825:
23819:
23815:
23811:
23807:
23801:
23795:
23791:
23788:
23785:
23779:
23775:
23772:
23769:
23764:
23760:
23746:
23730:
23726:
23723:
23720:
23713:
23707:
23702:
23696:
23691:
23687:
23682:
23678:
23673:
23667:
23662:
23658:
23644:
23630:
23625:
23620:
23616:
23613:
23610:
23607:
23603:
23592:
23588:
23587:
23555:
23541:
23534:
23528:
23522:
23515:
23509:
23502:
23499:
23494:
23490:
23479:
23465:
23458:
23452:
23446:
23439:
23433:
23426:
23423:
23418:
23414:
23406:
23403:
23398:
23394:
23390:
23387:
23384:
23374:
23360:
23353:
23347:
23341:
23334:
23328:
23321:
23317:
23313:
23310:
23306:
23295:
23281:
23275:
23272:
23267:
23259:
23255:
23250:
23242:
23236:
23229:
23226:
23221:
23217:
23207:
23204:
23198:
23194:
23191:
23187:
23181:
23177:
23173:
23168:
23156:
23152:
23151:
23119:
23112:
23107:
23103:
23100:
23097:
23091:
23087:
23081:
23076:
23073:
23068:
23064:
23056:
23052:
23045:
23042:
23037:
23033:
23028:
23025:
23022:
23018:
23001:
22988:
22985:
22982:
22979:
22976:
22973:
22968:
22962:
22957:
22949:
22946:
22943:
22939:
22932:
22928:
22924:
22921:
22918:
22905:
22892:
22889:
22886:
22883:
22880:
22877:
22872:
22866:
22861:
22853:
22850:
22847:
22843:
22835:
22832:
22827:
22823:
22820:
22817:
22804:
22791:
22788:
22785:
22782:
22779:
22776:
22771:
22765:
22760:
22752:
22749:
22746:
22742:
22735:
22731:
22727:
22724:
22721:
22708:
22697:
22694:
22691:
22688:
22685:
22682:
22679:
22676:
22672:
22667:
22664:
22659:
22653:
22648:
22637:
22633:
22632:
22631:produces 402.
22569:
22549:
22542:
22531:
22526:
22521:
22516:
22511:
22506:
22503:
22498:
22495:
22489:
22483:
22480:
22475:
22472:
22467:
22462:
22456:
22453:
22449:
22444:
22435:
22431:
22426:
22423:
22420:
22417:
22414:
22411:
22398:
22387:
22383:
22378:
22373:
22369:
22364:
22361:
22356:
22353:
22347:
22339:
22336:
22331:
22328:
22321:
22317:
22313:
22307:
22304:
22301:
22298:
22295:
22292:
22283:
22279:
22268:
22257:
22253:
22248:
22243:
22239:
22236:
22233:
22228:
22225:
22220:
22217:
22211:
22202:
22199:
22194:
22191:
22184:
22178:
22173:
22166:
22162:
22156:
22153:
22150:
22147:
22144:
22141:
22128:
22115:
22110:
22104:
22099:
22093:
22088:
22084:
22081:
22077:
22072:
22068:
22063:
22058:
22054:
22049:
22046:
22043:
22040:
22037:
22033:
22022:
22018:
22017:
22015:
21999:
21995:
21988:
21984:
21980:
21976:
21973:
21969:
21965:
21961:
21957:
21954:
21947:
21942:
21936:
21932:
21930:
21928:
21925:
21922:
21918:
21914:
21908:
21903:
21899:
21892:
21890:
21880:
21864:
21860:
21853:
21849:
21845:
21841:
21838:
21834:
21830:
21826:
21822:
21819:
21812:
21807:
21801:
21792:
21789:
21783:
21780:
21777:
21774:
21769:
21764:
21762:
21759:
21756:
21752:
21748:
21742:
21737:
21733:
21726:
21724:
21714:
21698:
21694:
21687:
21683:
21679:
21675:
21672:
21669:
21666:
21662:
21658:
21654:
21650:
21647:
21640:
21635:
21629:
21625:
21623:
21621:
21618:
21615:
21611:
21607:
21601:
21596:
21592:
21585:
21583:
21573:
21561:
21557:
21553:
21550:
21540:
21536:
21535:
21532:
21527:
21522:
21517:
21514:
21508:
21499:
21496:
21495:
21493:
21477:
21473:
21469:
21466:
21461:
21457:
21451:
21448:
21435:
21419:
21415:
21411:
21408:
21403:
21399:
21394:
21382:
21366:
21362:
21358:
21355:
21350:
21346:
21341:
21329:
21315:
21312:
21309:
21306:
21302:
21290:
21286:
21285:
21272:
21256:
21251:
21247:
21243:
21238:
21233:
21229:
21223:
21220:
21207:
21191:
21186:
21182:
21178:
21173:
21168:
21164:
21159:
21147:
21131:
21126:
21122:
21118:
21113:
21108:
21104:
21099:
21087:
21071:
21067:
21063:
21058:
21054:
21049:
21037:
21033:
21032:
21023:
20996:
20980:
20975:
20971:
20967:
20962:
20957:
20953:
20946:
20939:
20934:
20930:
20926:
20921:
20916:
20912:
20906:
20900:
20896:
20892:
20889:
20876:
20860:
20855:
20851:
20847:
20842:
20837:
20833:
20826:
20819:
20814:
20810:
20806:
20801:
20796:
20792:
20786:
20780:
20776:
20762:
20746:
20741:
20737:
20733:
20728:
20723:
20719:
20712:
20704:
20699:
20695:
20691:
20686:
20681:
20677:
20671:
20668:
20664:
20658:
20654:
20640:
20628:
20621:
20617:
20613:
20608:
20604:
20598:
20594:
20591:
20581:
20577:
20576:
20573:
20559:
20551:
20547:
20541:
20536:
20532:
20526:
20519:
20515:
20509:
20504:
20500:
20493:
20486:
20483:
20479:
20474:
20470:
20462:
20458:
20455:
20451:
20446:
20434:
20420:
20412:
20408:
20402:
20397:
20393:
20387:
20380:
20376:
20370:
20365:
20361:
20354:
20347:
20344:
20340:
20335:
20331:
20323:
20319:
20316:
20312:
20307:
20304:
20300:
20288:
20274:
20266:
20262:
20256:
20251:
20247:
20241:
20234:
20230:
20224:
20219:
20215:
20208:
20204:
20201:
20197:
20189:
20185:
20182:
20178:
20173:
20161:
20147:
20141:
20137:
20131:
20127:
20123:
20118:
20114:
20108:
20104:
20099:
20095:
20092:
20088:
20077:
20073:
20072:
20067:
20060:
20053:
20046:
20043:The variables
20041:
20026:
20023:
20019:
20016:
20010:
20007:
20002:
19998:
19994:
19991:
19986:
19982:
19978:
19975:
19972:
19968:
19964:
19961:
19958:
19955:
19952:
19949:
19946:
19943:
19941:
19939:
19936:
19933:
19928:
19924:
19920:
19915:
19911:
19907:
19901:
19898:
19892:
19890:
19880:
19865:
19862:
19858:
19855:
19849:
19846:
19841:
19837:
19833:
19830:
19825:
19821:
19817:
19814:
19811:
19807:
19803:
19800:
19797:
19794:
19791:
19788:
19785:
19779:
19776:
19772:
19767:
19765:
19762:
19759:
19754:
19750:
19746:
19741:
19737:
19733:
19727:
19724:
19718:
19716:
19706:
19691:
19688:
19684:
19681:
19675:
19672:
19667:
19663:
19659:
19656:
19651:
19647:
19643:
19640:
19637:
19634:
19631:
19627:
19623:
19620:
19617:
19614:
19611:
19608:
19605:
19602:
19600:
19598:
19595:
19592:
19587:
19583:
19579:
19574:
19570:
19566:
19560:
19557:
19551:
19549:
19539:
19528:
19525:
19522:
19519:
19516:
19513:
19503:
19499:
19498:
19495:
19490:
19485:
19480:
19477:
19471:
19468:
19465:
19464:
19449:
19436:
19433:
19430:
19425:
19421:
19418:
19414:
19408:
19404:
19401:
19397:
19393:
19386:
19383:
19380:
19376:
19371:
19368:
19355:
19342:
19339:
19336:
19331:
19327:
19324:
19320:
19314:
19310:
19307:
19303:
19299:
19292:
19289:
19286:
19282:
19277:
19274:
19261:
19248:
19245:
19242:
19237:
19233:
19230:
19226:
19220:
19216:
19213:
19209:
19205:
19198:
19195:
19192:
19188:
19182:
19177:
19173:
19170:
19166:
19152:
19139:
19136:
19131:
19127:
19124:
19121:
19117:
19105:
19101:
19100:
19038:
19026:
19023:
19020:
19016:
19013:
19010:
19007:
19004:
18998:
18995:
18992:
18988:
18983:
18973:
18961:
18958:
18955:
18951:
18948:
18943:
18940:
18935:
18929:
18926:
18923:
18917:
18914:
18907:
18897:
18885:
18882:
18879:
18875:
18872:
18869:
18863:
18860:
18857:
18853:
18846:
18843:
18838:
18828:
18816:
18813:
18810:
18806:
18803:
18793:
18789:
18788:
18773:
18751:
18745:
18729:
18725:
18721:
18718:
18712:
18707:
18704:
18699:
18695:
18692:
18689:
18686:
18683:
18678:
18674:
18668:
18664:
18660:
18657:
18654:
18651:
18638:
18622:
18618:
18614:
18611:
18605:
18600:
18597:
18592:
18588:
18585:
18582:
18579:
18576:
18571:
18567:
18561:
18557:
18553:
18550:
18547:
18538:
18535:
18522:
18506:
18502:
18496:
18492:
18488:
18485:
18482:
18477:
18474:
18471:
18468:
18465:
18462:
18459:
18456:
18453:
18450:
18447:
18442:
18438:
18432:
18428:
18424:
18421:
18418:
18415:
18402:
18391:
18388:
18385:
18380:
18376:
18365:
18361:
18360:
18346:
18339:
18323:
18319:
18315:
18312:
18306:
18301:
18298:
18293:
18289:
18286:
18282:
18269:
18253:
18249:
18245:
18242:
18236:
18231:
18228:
18223:
18219:
18216:
18206:
18203:
18190:
18174:
18170:
18164:
18160:
18156:
18153:
18150:
18145:
18142:
18139:
18136:
18133:
18130:
18126:
18113:
18102:
18099:
18096:
18091:
18087:
18076:
18072:
18071:
18054:
18051:
18048:
18045:
18042:
18039:
18036:
18033:
18028:
18023:
18020:
18017:
18014:
18010:
18006:
18003:
18000:
17996:
17993:
17992:
17987:
17984:
17981:
17977:
17971:
17966:
17963:
17960:
17957:
17953:
17949:
17947:
17945:
17929:
17917:
17911:
17907:
17904:
17901:
17895:
17892:
17888:
17884:
17879:
17874:
17871:
17868:
17865:
17861:
17855:
17851:
17848:
17835:
17823:
17817:
17813:
17810:
17807:
17801:
17798:
17794:
17790:
17785:
17780:
17777:
17774:
17771:
17767:
17761:
17757:
17754:
17741:
17729:
17723:
17720:
17715:
17712:
17708:
17704:
17699:
17694:
17691:
17688:
17685:
17681:
17675:
17672:
17660:
17649:
17646:
17643:
17640:
17637:
17634:
17631:
17626:
17621:
17618:
17615:
17612:
17608:
17597:
17593:
17592:
17574:
17562:
17558:
17555:
17552:
17549:
17546:
17540:
17537:
17534:
17530:
17524:
17520:
17510:
17498:
17494:
17491:
17488:
17485:
17482:
17476:
17473:
17470:
17466:
17460:
17453:
17450:
17437:
17425:
17421:
17418:
17415:
17412:
17409:
17403:
17400:
17397:
17393:
17387:
17381:
17378:
17366:
17355:
17352:
17349:
17346:
17336:
17332:
17331:
17324:
17310:
17307:
17303:
17291:
17277:
17274:
17270:
17262:
17259:
17246:
17232:
17229:
17226:
17222:
17210:
17199:
17196:
17193:
17190:
17187:
17177:
17173:
17172:
17169:
17154:
17150:
17146:
17140:
17137:
17124:
17109:
17105:
17101:
17096:
17084:
17069:
17065:
17061:
17056:
17044:
17029:
17025:
17021:
17016:
17004:
17001:
17000:
16930:
16914:
16911:
16908:
16903:
16898:
16894:
16888:
16885:
16882:
16879:
16876:
16873:
16869:
16864:
16860:
16857:
16851:
16847:
16844:
16841:
16835:
16825:
16809:
16806:
16803:
16798:
16793:
16789:
16783:
16780:
16777:
16774:
16771:
16768:
16764:
16759:
16755:
16752:
16746:
16742:
16739:
16729:
16726:
16721:
16718:
16705:
16689:
16686:
16683:
16678:
16673:
16670:
16667:
16663:
16657:
16654:
16651:
16648:
16645:
16642:
16638:
16633:
16629:
16626:
16620:
16616:
16613:
16610:
16604:
16594:
16581:
16576:
16571:
16567:
16556:
16552:
16551:
16539:
16535:
16531:
16527:
16524:
16516:
16512:
16508:
16502:
16498:
16489:
16486:
16483:
16480:
16477:
16474:
16467:
16464:
16461:
16457:
16453:
16450:
16447:
16409:
16398:
16395:
16392:
16389:
16386:
16380:
16377:
16374:
16371:
16368:
16365:
16358:
16355:
16352:
16348:
16344:
16341:
16338:
16335:
16329:
16326:
16323:
16313:
16302:
16299:
16296:
16293:
16290:
16284:
16281:
16278:
16275:
16272:
16269:
16262:
16259:
16256:
16252:
16248:
16245:
16242:
16239:
16229:
16226:
16220:
16217:
16207:
16196:
16193:
16190:
16187:
16184:
16178:
16175:
16172:
16169:
16166:
16163:
16156:
16153:
16150:
16146:
16142:
16139:
16136:
16133:
16130:
16127:
16121:
16118:
16115:
16105:
16089:
16085:
16081:
16077:
16074:
16066:
16062:
16058:
16052:
16048:
16039:
16036:
16033:
16030:
16027:
16024:
16017:
16014:
16011:
16007:
16003:
16000:
15997:
15991:
15988:
15986:
15984:
15977:
15973:
15969:
15964:
15962:
15952:
15948:
15947:
15900:
15889:
15886:
15883:
15880:
15877:
15874:
15871:
15868:
15858:
15847:
15844:
15841:
15838:
15835:
15829:
15826:
15820:
15817:
15807:
15796:
15793:
15790:
15787:
15784:
15781:
15778:
15775:
15765:
15752:
15749:
15737:
15733:
15732:
15714:
15701:
15697:
15693:
15690:
15687:
15677:
15663:
15660:
15653:
15649:
15645:
15642:
15639:
15626:
15613:
15609:
15605:
15602:
15599:
15596:
15593:
15583:
15572:
15569:
15566:
15561:
15558:
15555:
15551:
15540:
15536:
15535:
15513:natural number
15505:
15494:
15491:
15488:
15483:
15480:
15477:
15473:
15467:
15463:
15459:
15456:
15446:
15435:
15432:
15429:
15424:
15421:
15418:
15414:
15408:
15405:
15398:
15394:
15383:
15372:
15369:
15366:
15361:
15358:
15355:
15351:
15345:
15340:
15334:
15331:
15327:
15322:
15310:
15296:
15292:
15281:
15277:
15276:
15264:
15253:
15237:
15234:
15231:
15225:
15221:
15215:
15211:
15203:
15200:
15195:
15192:
15188:
15180:
15176:
15164:
15148:
15145:
15142:
15136:
15132:
15126:
15122:
15114:
15111:
15106:
15103:
15099:
15091:
15088:
15085:
15081:
15069:
15054:
15048:
15044:
15040:
15034:
15030:
15022:
15019:
15014:
15011:
15007:
14999:
14995:
14983:
14967:
14963:
14959:
14956:
14953:
14950:
14946:
14935:
14931:
14930:
14919:
14913:
14910:
14901:
14897:
14893:
14890:
14887:
14883:
14879:
14872:
14868:
14864:
14861:
14857:
14850:
14847:
14842:
14838:
14834:
14831:
14828:
14825:
14813:
14801:
14795:
14792:
14787:
14781:
14778:
14772:
14768:
14761:
14757:
14754:
14748:
14745:
14739:
14729:
14717:
14711:
14708:
14703:
14697:
14694:
14688:
14684:
14677:
14673:
14670:
14664:
14661:
14656:
14653:
14640:
14628:
14622:
14619:
14614:
14609:
14603:
14599:
14593:
14589:
14581:
14577:
14574:
14568:
14565:
14559:
14549:
14537:
14531:
14527:
14523:
14519:
14515:
14512:
14502:
14498:
14497:
14486:
14481:
14473:
14469:
14465:
14462:
14459:
14455:
14451:
14444:
14440:
14436:
14433:
14429:
14422:
14419:
14414:
14410:
14406:
14403:
14400:
14397:
14385:
14373:
14367:
14364:
14359:
14353:
14350:
14344:
14340:
14333:
14329:
14326:
14320:
14317:
14304:
14292:
14286:
14283:
14278:
14272:
14269:
14263:
14259:
14252:
14248:
14245:
14239:
14236:
14232:
14220:
14208:
14202:
14199:
14194:
14189:
14183:
14179:
14173:
14169:
14161:
14157:
14154:
14148:
14145:
14132:
14120:
14114:
14110:
14106:
14102:
14098:
14095:
14085:
14081:
14080:
14069:
14063:
14060:
14053:
14050:
14047:
14044:
14040:
14036:
14031:
14028:
14025:
14021:
14014:
14011:
14008:
14005:
14002:
13999:
13996:
13984:
13971:
13966:
13963:
13960:
13957:
13954:
13951:
13948:
13945:
13942:
13939:
13936:
13933:
13930:
13925:
13920:
13917:
13914:
13904:
13890:
13887:
13882:
13879:
13876:
13873:
13870:
13867:
13864:
13861:
13858:
13855:
13852:
13849:
13846:
13837:
13834:
13822:
13808:
13805:
13799:
13792:
13789:
13785:
13780:
13777:
13773:
13769:
13766:
13762:
13755:
13752:
13748:
13743:
13740:
13736:
13732:
13719:
13708:
13705:
13702:
13699:
13696:
13693:
13683:
13679:
13678:
13667:
13662:
13656:
13653:
13650:
13647:
13643:
13639:
13634:
13631:
13628:
13624:
13617:
13614:
13611:
13608:
13605:
13602:
13599:
13583:
13571:
13567:
13564:
13561:
13558:
13555:
13552:
13549:
13546:
13543:
13540:
13537:
13534:
13531:
13527:
13523:
13513:
13500:
13496:
13493:
13490:
13487:
13484:
13481:
13478:
13475:
13472:
13469:
13466:
13463:
13460:
13451:
13448:
13436:
13423:
13418:
13411:
13408:
13404:
13399:
13396:
13392:
13388:
13385:
13381:
13374:
13371:
13367:
13362:
13359:
13355:
13351:
13338:
13327:
13324:
13321:
13318:
13315:
13312:
13302:
13298:
13297:
13294:
13283:
13280:
13277:
13274:
13271:
13268:
13265:
13262:
13252:
13241:
13238:
13235:
13232:
13229:
13226:
13220:
13217:
13205:
13193:
13186:
13183:
13179:
13174:
13171:
13167:
13163:
13153:
13140:
13137:
13134:
13130:
13119:
13115:
13114:
13111:
13100:
13090:
13075:
13072:
13068:
13056:
13045:
13035:
13023:
13020:
13017:
13014:
13004:
13000:
12999:
12981:
12970:
12967:
12964:
12961:
12958:
12955:
12945:
12934:
12931:
12928:
12925:
12919:
12916:
12904:
12893:
12890:
12887:
12884:
12874:
12863:
12853:
12849:
12848:
12845:
12830:
12827:
12821:
12818:
12815:
12812:
12808:
12804:
12801:
12798:
12795:
12790:
12785:
12782:
12778:
12774:
12771:
12769:
12767:
12764:
12761:
12758:
12753:
12746:
12743:
12736:
12733:
12730:
12727:
12721:
12718:
12712:
12710:
12700:
12685:
12682:
12676:
12673:
12670:
12667:
12663:
12659:
12656:
12653:
12650:
12645:
12640:
12637:
12633:
12626:
12623:
12619:
12614:
12611:
12609:
12607:
12604:
12601:
12598:
12593:
12586:
12583:
12576:
12573:
12570:
12567:
12561:
12558:
12552:
12550:
12540:
12525:
12522:
12516:
12513:
12510:
12507:
12504:
12501:
12497:
12493:
12490:
12487:
12484:
12479:
12474:
12471:
12467:
12463:
12460:
12458:
12456:
12453:
12450:
12447:
12442:
12435:
12432:
12425:
12422:
12419:
12416:
12410:
12407:
12401:
12399:
12389:
12377:
12374:
12371:
12368:
12358:
12355:
12354:
12351:
12346:
12341:
12336:
12333:
12327:
12324:
12321:
12320:
12306:eigenfunctions
12284:
12279:
12267:
12262:
12259:
12254:
12248:
12244:
12233:
12229:
12225:
12219:
12215:
12209:
12205:
12199:
12193:
12190:
12183:
12179:
12175:
12172:
12169:
12156:
12144:
12139:
12136:
12131:
12125:
12121:
12110:
12106:
12102:
12096:
12092:
12086:
12082:
12076:
12070:
12066:
12062:
12059:
12056:
12043:
12031:
12026:
12022:
12019:
12016:
12010:
12004:
12000:
11990:
11986:
11979:
11975:
11969:
11965:
11961:
11955:
11951:
11945:
11939:
11935:
11931:
11928:
11925:
11920:
11917:
11902:
11890:
11887:
11884:
11881:
11876:
11872:
11864:
11858:
11854:
11848:
11844:
11837:
11833:
11822:
11818:
11817:
11811:
11799:
11795:
11789:
11786:
11782:
11776:
11772:
11769:
11764:
11761:
11749:
11737:
11733:
11727:
11724:
11720:
11714:
11710:
11707:
11701:
11698:
11690:
11687:
11675:
11663:
11659:
11654:
11649:
11645:
11638:
11634:
11631:
11626:
11623:
11611:
11599:
11596:
11593:
11590:
11587:
11584:
11574:
11570:
11569:
11550:
11534:
11530:
11526:
11521:
11517:
11511:
11508:
11495:
11479:
11475:
11471:
11466:
11462:
11457:
11448:
11445:
11432:
11416:
11412:
11406:
11402:
11398:
11395:
11390:
11386:
11380:
11377:
11364:
11349:
11345:
11341:
11337:
11334:
11330:
11319:
11315:
11314:
11290:
11274:
11271:
11265:
11261:
11255:
11251:
11243:
11240:
11227:
11211:
11208:
11202:
11198:
11192:
11188:
11180:
11177:
11173:
11161:
11146:
11140:
11136:
11132:
11129:
11126:
11120:
11116:
11108:
11105:
11092:
11076:
11072:
11068:
11065:
11061:
11050:
11046:
11045:
11020:
11006:
11003:
11000:
10997:
10993:
10981:
10967:
10964:
10961:
10958:
10955:
10952:
10947:
10944:
10938:
10926:
10912:
10909:
10906:
10903:
10900:
10897:
10893:
10881:
10869:
10866:
10863:
10860:
10855:
10852:
10849:
10845:
10834:
10830:
10829:
10826:
10814:
10808:
10805:
10802:
10798:
10793:
10789:
10784:
10780:
10771:
10767:
10763:
10758:
10746:
10734:
10728:
10725:
10722:
10718:
10713:
10709:
10704:
10700:
10690:
10686:
10682:
10679:
10675:
10663:
10650:
10645:
10642:
10637:
10633:
10628:
10624:
10615:
10611:
10607:
10602:
10590:
10579:
10576:
10573:
10570:
10567:
10564:
10554:
10550:
10549:
10535:
10523:
10517:
10514:
10511:
10507:
10502:
10498:
10495:
10487:
10483:
10479:
10474:
10462:
10450:
10444:
10441:
10438:
10434:
10429:
10425:
10422:
10413:
10409:
10405:
10402:
10398:
10386:
10374:
10369:
10366:
10361:
10357:
10354:
10346:
10342:
10338:
10333:
10321:
10310:
10307:
10304:
10301:
10298:
10293:
10289:
10278:
10274:
10273:
10221:
10209:
10203:
10200:
10197:
10193:
10188:
10184:
10181:
10173:
10169:
10165:
10160:
10148:
10136:
10130:
10127:
10124:
10120:
10115:
10111:
10108:
10099:
10095:
10091:
10088:
10084:
10072:
10059:
10054:
10051:
10046:
10042:
10039:
10031:
10027:
10023:
10018:
10006:
9994:
9991:
9988:
9985:
9982:
9979:
9969:
9965:
9964:
9921:
9909:
9903:
9900:
9897:
9893:
9888:
9884:
9881:
9873:
9869:
9865:
9860:
9848:
9836:
9830:
9827:
9824:
9820:
9815:
9811:
9808:
9799:
9795:
9791:
9788:
9784:
9772:
9760:
9755:
9752:
9747:
9743:
9740:
9732:
9728:
9724:
9719:
9707:
9695:
9692:
9689:
9686:
9683:
9680:
9670:
9666:
9665:
9662:
9647:
9644:
9638:
9635:
9632:
9629:
9625:
9621:
9618:
9615:
9612:
9607:
9602:
9599:
9595:
9591:
9588:
9586:
9584:
9581:
9578:
9575:
9570:
9563:
9560:
9553:
9550:
9547:
9544:
9538:
9535:
9529:
9527:
9517:
9502:
9499:
9493:
9490:
9487:
9484:
9480:
9476:
9473:
9470:
9467:
9462:
9457:
9454:
9450:
9443:
9440:
9436:
9431:
9428:
9426:
9424:
9421:
9418:
9415:
9410:
9403:
9400:
9393:
9390:
9387:
9384:
9378:
9375:
9369:
9367:
9357:
9342:
9339:
9333:
9330:
9327:
9324:
9321:
9318:
9314:
9310:
9307:
9304:
9301:
9296:
9291:
9288:
9284:
9280:
9277:
9275:
9273:
9270:
9267:
9264:
9259:
9252:
9249:
9242:
9239:
9236:
9233:
9227:
9224:
9218:
9216:
9206:
9194:
9191:
9188:
9185:
9175:
9172:
9171:
9168:
9163:
9158:
9153:
9150:
9144:
9141:
9138:
9137:
9126:
9120:
9117:
9110:
9107:
9104:
9101:
9097:
9093:
9088:
9085:
9082:
9078:
9071:
9068:
9065:
9062:
9059:
9056:
9053:
9037:
9023:
9020:
9015:
9012:
9009:
9006:
9003:
8997:
8994:
8988:
8985:
8982:
8979:
8976:
8973:
8967:
8964:
8948:
8934:
8931:
8926:
8923:
8920:
8917:
8914:
8908:
8905:
8899:
8896:
8893:
8890:
8887:
8884:
8878:
8875:
8859:
8845:
8842:
8836:
8829:
8826:
8822:
8817:
8814:
8810:
8803:
8800:
8794:
8790:
8783:
8780:
8776:
8771:
8768:
8764:
8757:
8754:
8738:
8727:
8724:
8721:
8718:
8715:
8712:
8709:
8706:
8703:
8700:
8690:
8686:
8685:
8674:
8669:
8663:
8660:
8657:
8654:
8650:
8646:
8641:
8638:
8635:
8631:
8624:
8621:
8618:
8615:
8612:
8609:
8606:
8590:
8577:
8573:
8570:
8567:
8564:
8561:
8555:
8552:
8546:
8543:
8540:
8537:
8534:
8531:
8525:
8522:
8506:
8492:
8488:
8485:
8482:
8479:
8476:
8470:
8467:
8461:
8458:
8455:
8452:
8449:
8446:
8440:
8437:
8421:
8408:
8403:
8396:
8393:
8389:
8384:
8381:
8377:
8370:
8367:
8361:
8357:
8350:
8347:
8343:
8338:
8335:
8331:
8324:
8321:
8305:
8294:
8291:
8288:
8285:
8282:
8279:
8276:
8273:
8270:
8267:
8257:
8253:
8252:
8246:
8233:
8229:
8226:
8223:
8220:
8214:
8211:
8195:
8182:
8178:
8175:
8172:
8169:
8163:
8160:
8144:
8131:
8127:
8124:
8121:
8118:
8112:
8109:
8093:
8080:
8076:
8073:
8070:
8067:
8054:
8050:
8049:
8044:indicates the
8035:
8021:
8017:
8014:
8011:
8005:
8002:
7993:
7990:
7987:
7984:
7981:
7978:
7972:
7969:
7956:
7942:
7938:
7935:
7932:
7926:
7923:
7914:
7911:
7908:
7905:
7902:
7899:
7893:
7890:
7877:
7863:
7859:
7856:
7853:
7847:
7844:
7835:
7832:
7829:
7826:
7823:
7820:
7814:
7811:
7798:
7784:
7780:
7779:
7774:indicates the
7764:
7750:
7746:
7743:
7740:
7734:
7731:
7722:
7719:
7716:
7713:
7710:
7704:
7701:
7688:
7674:
7670:
7667:
7664:
7658:
7655:
7646:
7643:
7640:
7637:
7634:
7628:
7625:
7612:
7598:
7594:
7591:
7588:
7582:
7579:
7570:
7567:
7564:
7561:
7558:
7552:
7549:
7536:
7522:
7518:
7517:
7514:
7502:
7499:
7496:
7492:
7485:
7482:
7476:
7470:
7467:
7460:
7453:
7450:
7446:
7434:
7422:
7419:
7416:
7412:
7405:
7402:
7396:
7390:
7387:
7380:
7373:
7370:
7366:
7354:
7342:
7339:
7336:
7332:
7325:
7322:
7316:
7310:
7307:
7300:
7289:
7277:
7274:
7271:
7268:
7265:
7262:
7259:
7256:
7246:
7242:
7241:
7213:
7201:
7198:
7195:
7189:
7186:
7180:
7177:
7174:
7168:
7165:
7152:
7140:
7137:
7134:
7128:
7125:
7119:
7116:
7113:
7107:
7104:
7093:
7090:
7078:
7066:
7063:
7060:
7054:
7051:
7045:
7042:
7039:
7033:
7030:
7017:
7005:
7002:
6999:
6996:
6993:
6990:
6987:
6984:
6974:
6970:
6969:
6966:
6950:
6946:
6942:
6937:
6934:
6931:
6925:
6922:
6914:
6910:
6901:
6897:
6886:
6870:
6866:
6862:
6857:
6854:
6851:
6845:
6842:
6834:
6830:
6821:
6817:
6806:
6789:
6785:
6781:
6776:
6773:
6770:
6764:
6761:
6753:
6749:
6740:
6735:
6729:
6726:
6722:
6717:
6705:
6693:
6690:
6687:
6684:
6679:
6675:
6664:
6660:
6659:
6648:
6645:
6642:
6639:
6635:
6632:
6629:
6626:
6623:
6620:
6617:
6614:
6609:
6604:
6601:
6597:
6576:
6573:
6570:
6567:
6543:
6519:
6508:
6497:
6494:
6491:
6488:
6485:
6482:
6479:
6476:
6470:
6467:
6462:
6459:
6456:
6450:
6447:
6431:
6420:
6417:
6414:
6411:
6408:
6403:
6400:
6395:
6389:
6386:
6381:
6378:
6375:
6369:
6366:
6350:
6339:
6336:
6333:
6330:
6326:
6323:
6317:
6314:
6311:
6308:
6303:
6300:
6297:
6291:
6288:
6272:
6261:
6258:
6255:
6252:
6249:
6246:
6241:
6236:
6233:
6229:
6218:
6214:
6213:
6210:
6198:
6195:
6192:
6186:
6183:
6175:
6171:
6167:
6164:
6161:
6151:
6139:
6136:
6133:
6127:
6124:
6116:
6112:
6108:
6105:
6102:
6092:
6080:
6077:
6074:
6068:
6065:
6057:
6053:
6049:
6046:
6043:
6040:
6037:
6027:
6010:
6006:
6002:
5997:
5994:
5991:
5988:
5983:
5979:
5965:
5961:
5960:
5945:
5933:
5930:
5927:
5924:
5921:
5918:
5915:
5903:
5897:
5889:
5879:
5876:
5873:
5867:
5862:
5858:
5844:
5832:
5829:
5826:
5823:
5820:
5808:
5802:
5794:
5784:
5781:
5778:
5772:
5767:
5763:
5749:
5737:
5734:
5731:
5728:
5725:
5713:
5707:
5699:
5689:
5686:
5683:
5677:
5672:
5668:
5654:
5642:
5639:
5636:
5630:
5625:
5621:
5607:
5603:
5602:
5587:
5582:
5579:
5574:
5567:
5564:
5554:
5550:
5546:
5541:
5506:
5493:
5488:
5485:
5480:
5473:
5470:
5460:
5456:
5452:
5447:
5435:
5422:
5417:
5414:
5409:
5402:
5399:
5389:
5385:
5381:
5376:
5364:
5351:
5346:
5343:
5338:
5331:
5328:
5318:
5314:
5310:
5305:
5293:
5281:
5278:
5275:
5272:
5269:
5259:
5255:
5254:
5251:
5239:
5236:
5233:
5230:
5227:
5221:
5218:
5205:
5193:
5190:
5187:
5184:
5181:
5175:
5172:
5159:
5146:
5139:
5136:
5132:
5127:
5124:
5120:
5113:
5110:
5097:
5083:
5080:
5077:
5073:
5069:
5066:
5063:
5060:
5050:
5046:
5045:
5042:
5030:
5027:
5024:
5018:
5015:
5007:
5004:
5001:
4998:
4994:
4983:
4971:
4968:
4965:
4959:
4956:
4948:
4945:
4942:
4939:
4935:
4924:
4912:
4909:
4906:
4900:
4897:
4889:
4886:
4883:
4880:
4877:
4874:
4870:
4859:
4847:
4844:
4841:
4838:
4835:
4832:
4822:
4818:
4817:
4814:
4802:
4799:
4796:
4790:
4787:
4780:
4777:
4774:
4771:
4768:
4762:
4759:
4752:
4742:
4730:
4727:
4724:
4718:
4715:
4708:
4705:
4702:
4699:
4696:
4690:
4687:
4680:
4670:
4658:
4655:
4652:
4646:
4643:
4636:
4633:
4630:
4627:
4624:
4618:
4615:
4608:
4598:
4586:
4583:
4580:
4577:
4573:
4570:
4567:
4564:
4561:
4558:
4554:
4544:
4540:
4539:
4536:
4521:
4518:
4512:
4509:
4506:
4503:
4499:
4495:
4492:
4489:
4486:
4481:
4476:
4473:
4469:
4465:
4462:
4460:
4458:
4455:
4452:
4449:
4443:
4438:
4434:
4427:
4424:
4421:
4418:
4412:
4409:
4403:
4401:
4391:
4376:
4373:
4367:
4364:
4361:
4358:
4354:
4350:
4347:
4344:
4341:
4336:
4331:
4328:
4324:
4317:
4314:
4310:
4305:
4302:
4300:
4298:
4295:
4292:
4289:
4283:
4278:
4274:
4267:
4264:
4261:
4258:
4252:
4249:
4243:
4241:
4231:
4216:
4213:
4207:
4204:
4201:
4198:
4195:
4192:
4188:
4184:
4181:
4178:
4175:
4170:
4165:
4162:
4158:
4154:
4151:
4149:
4147:
4144:
4141:
4138:
4132:
4127:
4123:
4116:
4113:
4110:
4107:
4101:
4098:
4092:
4090:
4080:
4068:
4065:
4062:
4059:
4049:
4046:
4045:
4042:
4037:
4032:
4027:
4024:
4018:
4015:
4013:
4010:
4008:
4005:
4003:
4000:
3998:
3995:
3993:
3990:
3988:
3985:
3983:
3980:
3978:
3975:
3973:
3970:
3965:Main article:
3962:
3959:
3957:
3954:
3937:
3934:
3932:
3929:
3927:
3924:
3919:Main article:
3916:
3913:
3908:Main article:
3905:
3902:
3900:
3897:
3895:
3892:
3887:Main article:
3884:
3881:
3879:
3873:
3871:
3865:
3863:
3857:
3855:
3848:
3846:
3843:
3841:
3838:
3836:
3833:
3828:Main article:
3825:
3822:
3814:
3811:
3809:
3806:
3804:
3801:
3793:
3790:
3788:
3787:Complex domain
3785:
3783:
3780:
3768:
3767:Eigenfunctions
3765:
3753:
3750:
3745:Main article:
3742:
3739:
3737:
3734:
3729:Main article:
3726:
3723:
3721:
3718:
3688:
3685:
3677:
3674:
3662:
3659:
3657:
3654:
3652:
3649:
3647:
3644:
3643:
3642:
3630:
3625:
3622:
3615:
3612:
3605:
3602:
3597:
3594:
3587:
3584:
3574:
3554:
3547:
3544:
3540:
3536:
3529:
3526:
3519:
3516:
3512:
3508:
3504:
3487:
3475:
3470:
3467:
3460:
3457:
3450:
3445:
3442:
3435:
3432:
3408:
3401:
3398:
3394:
3390:
3383:
3380:
3373:
3370:
3366:
3362:
3358:
3341:
3329:
3324:
3321:
3314:
3311:
3301:
3298:
3293:
3290:
3283:
3280:
3250:
3243:
3240:
3236:
3232:
3225:
3222:
3215:
3212:
3208:
3204:
3197:
3194:
3183:
3178:Conversely, a
3167:
3162:
3159:
3152:
3149:
3139:
3136:
3131:
3128:
3121:
3118:
3088:
3081:
3078:
3074:
3070:
3066:
3059:
3056:
3052:
3048:
3044:
3031:
3028:
3026:
3023:
3021:
3018:
3016:
3013:
3011:
3008:
3006:
3003:
3001:
2998:
2997:
2996:
2993:
2986:
2984:
2981:
2974:
2962:
2959:
2957:
2954:
2952:
2949:
2941:
2938:
2936:
2933:
2919:
2916:
2913:
2910:
2884:
2881:
2878:
2875:
2872:
2868:
2864:
2861:
2835:
2832:
2830:
2827:
2825:
2822:
2819:
2818:
2803:
2800:
2794:
2791:
2788:
2785:
2781:
2777:
2774:
2771:
2765:
2760:
2756:
2745:
2740:
2734:
2725:
2721:
2717:
2714:
2711:
2707:
2702:
2699:
2697:
2695:
2692:
2689:
2686:
2683:
2682:
2679:
2676:
2673:
2667:
2662:
2658:
2648:
2645:
2640:
2636:
2633:
2630:
2627:
2623:
2617:
2614:
2610:
2605:
2598:
2593:
2589:
2582:
2579:
2576:
2570:
2567:
2564:
2561:
2558:
2554:
2550:
2547:
2544:
2541:
2534:
2529:
2523:
2516:
2513:
2511:
2506:
2503:
2500:
2494:
2489:
2485:
2478:
2477:
2467:
2463:
2462:
2447:
2444:
2438:
2435:
2432:
2429:
2425:
2421:
2418:
2415:
2409:
2404:
2400:
2389:
2384:
2378:
2368:
2365:
2360:
2356:
2353:
2350:
2346:
2341:
2338:
2336:
2334:
2331:
2328:
2325:
2322:
2321:
2318:
2315:
2312:
2306:
2301:
2297:
2284:
2281:
2276:
2272:
2269:
2266:
2262:
2257:
2253:
2247:
2244:
2240:
2235:
2227:
2222:
2218:
2205:
2202:
2197:
2193:
2190:
2187:
2183:
2178:
2175:
2172:
2166:
2163:
2160:
2157:
2154:
2150:
2146:
2143:
2140:
2137:
2130:
2125:
2119:
2109:
2106:
2101:
2097:
2094:
2091:
2087:
2079:
2076:
2074:
2069:
2066:
2063:
2057:
2052:
2048:
2041:
2040:
2030:
2027:
2019:
2018:
2003:
2000:
1994:
1991:
1988:
1985:
1982:
1979:
1975:
1971:
1968:
1965:
1959:
1954:
1950:
1939:
1934:
1928:
1924:
1921:
1919:
1917:
1914:
1911:
1908:
1905:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1883:
1878:
1874:
1867:
1864:
1861:
1858:
1855:
1852:
1846:
1841:
1837:
1827:
1824:
1819:
1815:
1812:
1809:
1806:
1803:
1800:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1776:
1772:
1768:
1765:
1762:
1759:
1752:
1747:
1741:
1734:
1731:
1729:
1724:
1721:
1718:
1712:
1707:
1703:
1696:
1695:
1685:
1682:
1661:
1660:
1645:
1642:
1636:
1633:
1630:
1626:
1621:
1618:
1615:
1609:
1604:
1600:
1591:
1586:
1583:
1579:
1572:
1569:
1565:
1560:
1557:
1555:
1553:
1550:
1547:
1544:
1541:
1540:
1537:
1534:
1531:
1525:
1520:
1516:
1501:
1498:
1493:
1489:
1483:
1480:
1476:
1471:
1464:
1459:
1455:
1448:
1445:
1442:
1436:
1433:
1430:
1427:
1423:
1418:
1415:
1412:
1409:
1404:
1399:
1396:
1392:
1385:
1382:
1380:
1375:
1372:
1369:
1363:
1358:
1354:
1347:
1346:
1336:
1332:
1331:
1316:
1313:
1307:
1304:
1301:
1297:
1292:
1289:
1286:
1280:
1275:
1271:
1262:
1257:
1254:
1250:
1240:
1237:
1233:
1228:
1225:
1223:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1208:
1205:
1202:
1199:
1193:
1188:
1184:
1168:
1165:
1161:
1156:
1152:
1146:
1143:
1139:
1134:
1126:
1121:
1117:
1101:
1098:
1094:
1089:
1086:
1083:
1077:
1074:
1071:
1068:
1064:
1059:
1056:
1053:
1050:
1045:
1040:
1037:
1033:
1023:
1020:
1016:
1008:
1005:
1003:
998:
995:
992:
986:
981:
977:
970:
969:
959:
956:
948:
947:
932:
929:
923:
920:
917:
914:
911:
907:
902:
899:
896:
890:
885:
881:
872:
867:
864:
860:
856:
853:
851:
849:
846:
843:
840:
837:
836:
833:
830:
827:
824:
821:
815:
810:
806:
799:
796:
793:
790:
787:
784:
778:
773:
769:
754:
751:
746:
743:
740:
734:
731:
728:
725:
722:
719:
715:
710:
707:
704:
701:
696:
691:
688:
684:
677:
674:
672:
667:
664:
661:
655:
650:
646:
639:
638:
628:
625:
611:
604:
602:
599:
597:
594:
590:
589:
580:
578:
572:
568:
567:
558:
556:
550:
548:
545:
527:eigenfunctions
469:
468:
460:
445:
420:
395:
370:
345:
342:
339:
333:
330:
302:
299:
296:
293:
268:
265:
262:
256:
253:
225:
222:
219:
216:
204:
197:
196:
195:
194:
172:
171:
162:
161:
153:
152:
151:
150:
149:
92:
91:
89:
88:
83:
78:
73:
68:
63:
58:
56:Fourier series
53:
47:
44:
43:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
27579:
27568:
27565:
27563:
27560:
27558:
27555:
27553:
27550:
27548:
27545:
27544:
27542:
27533:
27530:
27525:
27524:
27519:
27516:
27511:
27509:
27506:
27503:
27498:
27494:
27493:
27483:
27477:
27473:
27469:
27465:
27461:
27458:
27452:
27448:
27444:
27440:
27436:
27435:
27429:
27426:
27420:
27416:
27412:
27407:
27403:
27399:
27395:
27392:
27388:
27384:
27380:
27376:
27372:
27367:
27364:
27360:
27359:
27354:
27353:Watson, G. N.
27350:
27346:
27343:
27337:
27333:
27329:
27325:
27320:
27317:
27311:
27307:
27303:
27299:
27295:
27292:
27286:
27282:
27278:
27273:
27270:
27264:
27260:
27256:
27255:
27250:
27246:
27242:
27239:
27233:
27229:
27225:
27224:
27218:
27215:
27205:
27201:
27196:
27193:
27189:
27185:
27181:
27177:
27173:
27168:
27165:
27159:
27155:
27150:
27147:
27141:
27138:, WIT Press,
27137:
27136:
27130:
27126:
27124:9780133942897
27120:
27116:
27112:
27107:
27106:
27099:
27096:
27092:
27087:
27084:
27078:
27074:
27070:
27065:
27061:
27060:
27055:
27051:
27048:
27042:
27038:
27037:
27031:
27028:
27024:
27020:
27016:
27012:
27009:
27007:0-13-754920-2
27003:
26998:
26997:
26991:
26987:
26983:
26980:
26969:on 2016-04-08
26965:
26961:
26957:
26953:
26947:
26943:
26939:
26935:
26928:
26927:
26921:
26918:
26914:
26910:
26906:
26902:
26898:
26897:
26892:
26887:
26883:
26879:
26878:
26873:
26869:
26865:
26862:
26856:
26852:
26848:
26847:
26841:
26837:
26833:
26829:
26825:
26822:
26818:
26814:
26808:
26804:
26800:
26796:
26791:
26788:
26782:
26778:
26774:
26769:
26766:
26760:
26756:
26751:
26748:
26742:
26738:
26734:
26730:
26726:
26722:
26718:
26717:Physics Today
26714:
26709:
26705:
26699:
26691:
26687:
26683:
26680:
26674:
26670:
26666:
26661:
26658:
26654:
26649:
26644:
26640:
26636:
26635:
26629:
26626:
26620:
26616:
26612:
26608:
26607:Hörmander, L.
26604:
26601:
26597:
26593:
26589:
26584:
26580:
26576:
26572:
26568:
26567:Gelfand, I.M.
26564:
26560:
26556:
26552:
26548:
26547:Gelfand, I.M.
26544:
26541:
26535:
26531:
26526:
26525:
26518:
26515:
26511:
26507:
26503:
26498:
26493:
26489:
26485:
26481:
26476:
26473:
26467:
26463:
26458:
26455:
26449:
26445:
26441:
26440:
26435:
26431:
26427:
26423:
26419:
26415:
26410:
26409:
26404:
26400:
26397:
26393:
26389:
26388:
26383:
26379:
26376:
26372:
26367:
26364:
26360:
26355:
26352:
26348:
26344:
26340:
26336:
26332:
26328:
26323:
26313:
26307:
26303:
26302:
26296:
26293:
26287:
26283:
26279:
26275:
26271:
26268:
26262:
26258:
26254:
26249:
26246:
26242:
26237:
26234:
26230:
26225:
26220:
26215:
26210:
26206:
26202:
26198:
26194:
26193:
26188:
26187:Condon, E. U.
26184:
26180:
26176:
26171:
26168:
26166:9780203491683
26162:
26158:
26157:
26151:
26148:
26144:
26139:
26135:
26130:
26126:
26122:
26117:
26112:
26108:
26104:
26099:
26095:
26090:
26087:
26081:
26077:
26072:
26069:
26065:
26061:
26057:
26053:
26050:
26044:
26040:
26035:
26026:on 2008-07-20
26022:
26018:
26014:
26009:
26004:
26000:
25996:
25992:
25988:
25987:
25979:
25974:
25971:
25969:9780120598205
25965:
25961:
25956:
25955:
25943:
25938:
25931:
25926:
25920:
25915:
25909:, Thm. IV.3.3
25908:
25903:
25888:
25884:
25880:
25874:
25868:
25863:
25857:
25852:
25846:
25841:
25835:
25830:
25824:
25819:
25811:
25807:
25803:
25799:
25792:
25786:
25781:
25774:
25769:
25763:, p. 256
25762:
25757:
25750:
25745:
25727:
25721:
25713:
25703:
25693:
25687:
25680:
25674:
25669:
25663:
25662:Grafakos 2004
25658:
25652:, p. 188
25651:
25646:
25640:, p. 102
25639:
25638:Poincaré 1895
25634:
25628:, p. 441
25627:
25622:
25616:, p. 113
25615:
25610:
25604:, p. 158
25603:
25598:
25592:
25587:
25581:, p. 131
25580:
25575:
25569:, p. 537
25568:
25563:
25556:
25551:
25545:
25540:
25534:
25529:
25527:
25525:
25517:
25512:
25506:, p. 146
25505:
25500:
25493:
25488:
25482:
25477:
25471:
25466:
25460:
25455:
25449:
25444:
25437:
25432:
25426:, p. 312
25425:
25420:
25418:
25411:, p. 320
25410:
25405:
25399:
25394:
25388:
25387:Boashash 2003
25383:
25381:
25374:
25369:
25367:
25360:
25355:
25348:
25343:
25336:
25331:
25325:, p. 216
25324:
25319:
25313:, p. 186
25312:
25307:
25301:, p. 187
25300:
25295:
25289:
25284:
25282:
25280:
25278:
25276:
25269:
25264:
25258:
25253:
25251:
25249:
25247:
25245:
25238:
25233:
25227:
25222:
25216:
25211:
25209:
25207:
25205:
25203:
25201:
25199:
25191:
25186:
25180:, p. 10.
25179:
25174:
25167:
25162:
25155:
25151:
25150:Jordan (1883)
25146:
25140:, p. 408
25139:
25134:
25128:, p. 525
25127:
25122:
25116:
25111:
25104:
25099:
25092:
25087:
25080:
25075:
25071:
25046:
25043:
25040:
25037:
25014:
25011:
25008:
25005:
24981:
24975:
24972:
24967:
24963:
24953:
24948:
24944:
24941:
24938:
24932:
24920:
24914:
24911:
24904:
24898:
24895:
24892:
24888:
24864:
24839:
24833:
24822:
24812:
24803:
24785:
24779:
24773:
24765:
24746:
24743:
24739:
24731:
24728:
24724:
24702:
24681:
24674:
24671:
24667:
24659:
24656:
24652:
24646:
24642:
24635:The operator
24632:
24625:
24607:
24603:
24582:
24574:
24570:
24560:
24557:
24534:
24531:
24528:
24508:
24500:
24496:
24492:
24489:
24480:
24477:
24452:
24447:
24443:
24439:
24436:
24433:
24430:
24426:
24419:
24413:
24405:
24399:
24392:
24388:
24384:
24378:
24371:
24367:
24363:
24358:
24351:
24347:
24341:
24337:
24326:
24323:
24321:
24318:
24316:
24313:
24309:
24306:
24305:
24304:
24301:
24299:
24296:
24294:
24291:
24289:
24286:
24284:
24281:
24276:
24271:
24268:
24266:
24263:
24261:
24258:
24256:
24253:
24251:
24248:
24246:
24243:
24241:
24238:
24234:
24231:
24229:
24226:
24225:
24224:
24221:
24219:
24216:
24214:
24211:
24209:
24206:
24204:
24201:
24199:
24196:
24194:
24191:
24189:
24186:
24184:
24181:
24179:
24176:
24174:
24171:
24169:
24165:
24163:
24160:
24158:
24155:
24153:
24150:
24148:
24145:
24144:
24131:
24114:
24106:
24102:
24099:
24096:
24090:
24084:
24079:
24075:
24072:
24069:
24063:
24053:
24048:
24044:
24034:
24015:
24011:
24008:
24005:
23998:
23992:
23972:
23967:
23963:
23957:
23953:
23949:
23945:
23939:
23934:
23931:
23928:
23920:
23917:
23909:
23905:
23894:
23875:
23871:
23868:
23865:
23858:
23852:
23832:
23827:
23823:
23817:
23813:
23809:
23805:
23799:
23793:
23789:
23786:
23783:
23773:
23770:
23762:
23758:
23747:
23728:
23724:
23721:
23718:
23711:
23705:
23685:
23680:
23676:
23671:
23665:
23660:
23656:
23645:
23614:
23611:
23608:
23605:
23601:
23593:
23590:
23589:
23585:
23582:
23578:
23572:
23569:
23565:
23560:
23556:
23500:
23497:
23492:
23488:
23480:
23424:
23421:
23416:
23412:
23404:
23401:
23396:
23388:
23385:
23375:
23319:
23315:
23311:
23308:
23304:
23296:
23273:
23270:
23253:
23227:
23224:
23219:
23215:
23205:
23202:
23196:
23192:
23189:
23185:
23179:
23171:
23166:
23157:
23154:
23153:
23149:
23143:
23139:
23135:
23117:
23110:
23105:
23101:
23098:
23095:
23089:
23079:
23074:
23071:
23066:
23054:
23050:
23043:
23040:
23035:
23031:
23026:
23023:
23020:
23016:
23006:
23002:
22983:
22980:
22977:
22971:
22947:
22944:
22941:
22937:
22930:
22922:
22919:
22906:
22887:
22884:
22881:
22875:
22851:
22848:
22845:
22841:
22833:
22830:
22821:
22818:
22805:
22786:
22783:
22780:
22774:
22750:
22747:
22744:
22740:
22733:
22725:
22722:
22709:
22695:
22692:
22689:
22686:
22683:
22680:
22677:
22674:
22670:
22665:
22662:
22638:
22635:
22634:
22628:
22621:
22615:
22601:
22590:
22576:
22568:
22561:
22555:
22548:
22544:The function
22543:
22504:
22501:
22496:
22493:
22487:
22481:
22478:
22473:
22470:
22465:
22460:
22454:
22451:
22442:
22433:
22429:
22421:
22418:
22415:
22399:
22362:
22359:
22354:
22351:
22345:
22337:
22334:
22329:
22326:
22319:
22311:
22302:
22299:
22296:
22281:
22277:
22269:
22237:
22234:
22226:
22223:
22218:
22215:
22209:
22200:
22197:
22192:
22189:
22164:
22160:
22151:
22148:
22145:
22129:
22113:
22108:
22102:
22082:
22079:
22075:
22044:
22041:
22038:
22031:
22023:
22020:
22019:
22016:
21993:
21982:
21974:
21971:
21967:
21952:
21945:
21934:
21931:
21923:
21901:
21897:
21881:
21858:
21847:
21839:
21836:
21832:
21817:
21810:
21799:
21790:
21787:
21778:
21775:
21767:
21757:
21735:
21731:
21715:
21692:
21681:
21673:
21670:
21667:
21664:
21660:
21645:
21638:
21627:
21624:
21616:
21594:
21590:
21574:
21548:
21541:
21538:
21537:
21533:
21528:
21523:
21518:
21515:
21513:
21512:
21505:
21494:
21475:
21471:
21467:
21464:
21459:
21455:
21449:
21446:
21436:
21417:
21413:
21409:
21406:
21401:
21397:
21392:
21383:
21364:
21360:
21356:
21353:
21348:
21344:
21339:
21330:
21313:
21310:
21307:
21304:
21300:
21291:
21288:
21287:
21282:
21277:
21273:
21254:
21249:
21245:
21241:
21236:
21231:
21227:
21221:
21218:
21208:
21189:
21184:
21180:
21176:
21171:
21166:
21162:
21157:
21148:
21129:
21124:
21120:
21116:
21111:
21106:
21102:
21097:
21088:
21069:
21065:
21061:
21056:
21052:
21047:
21038:
21035:
21034:
21030:
21027:(the order-1
21022:
21017:
21011:
21003:
20997:
20978:
20973:
20969:
20965:
20960:
20955:
20951:
20944:
20937:
20932:
20928:
20924:
20919:
20914:
20910:
20904:
20898:
20894:
20890:
20887:
20877:
20858:
20853:
20849:
20845:
20840:
20835:
20831:
20824:
20817:
20812:
20808:
20804:
20799:
20794:
20790:
20784:
20778:
20774:
20763:
20744:
20739:
20735:
20731:
20726:
20721:
20717:
20710:
20702:
20697:
20693:
20689:
20684:
20679:
20675:
20669:
20666:
20662:
20656:
20652:
20641:
20626:
20619:
20615:
20611:
20606:
20602:
20596:
20592:
20589:
20582:
20579:
20578:
20574:
20557:
20549:
20545:
20539:
20534:
20530:
20524:
20517:
20513:
20507:
20502:
20498:
20491:
20484:
20481:
20477:
20472:
20468:
20456:
20453:
20444:
20435:
20418:
20410:
20406:
20400:
20395:
20391:
20385:
20378:
20374:
20368:
20363:
20359:
20352:
20345:
20342:
20338:
20333:
20329:
20317:
20314:
20305:
20302:
20298:
20289:
20272:
20264:
20260:
20254:
20249:
20245:
20239:
20232:
20228:
20222:
20217:
20213:
20206:
20202:
20199:
20195:
20183:
20180:
20171:
20162:
20145:
20139:
20135:
20129:
20125:
20121:
20116:
20112:
20106:
20102:
20097:
20093:
20090:
20086:
20078:
20075:
20074:
20042:
20024:
20021:
20017:
20014:
20005:
20000:
19996:
19992:
19989:
19984:
19980:
19973:
19970:
19966:
19959:
19956:
19953:
19947:
19944:
19942:
19934:
19926:
19922:
19918:
19913:
19909:
19896:
19881:
19863:
19860:
19856:
19853:
19844:
19839:
19835:
19831:
19828:
19823:
19819:
19812:
19809:
19805:
19798:
19795:
19792:
19786:
19783:
19777:
19774:
19770:
19760:
19752:
19748:
19744:
19739:
19735:
19722:
19707:
19689:
19686:
19682:
19679:
19670:
19665:
19661:
19657:
19654:
19649:
19645:
19638:
19635:
19632:
19629:
19625:
19618:
19615:
19612:
19606:
19603:
19601:
19593:
19585:
19581:
19577:
19572:
19568:
19555:
19540:
19523:
19520:
19517:
19511:
19504:
19501:
19500:
19496:
19491:
19486:
19481:
19478:
19476:
19475:
19456:
19450:
19434:
19431:
19428:
19423:
19419:
19416:
19412:
19406:
19402:
19399:
19395:
19391:
19384:
19381:
19378:
19369:
19366:
19356:
19340:
19337:
19334:
19329:
19325:
19322:
19318:
19312:
19308:
19305:
19301:
19297:
19290:
19287:
19284:
19275:
19272:
19262:
19246:
19243:
19240:
19235:
19231:
19228:
19224:
19218:
19214:
19211:
19207:
19203:
19196:
19193:
19190:
19180:
19175:
19171:
19168:
19164:
19153:
19137:
19134:
19129:
19125:
19122:
19119:
19115:
19106:
19103:
19102:
19098:
19087:
19063:
19046:
19039:
19024:
19021:
19018:
19014:
19011:
19008:
19005:
19002:
18996:
18993:
18990:
18986:
18981:
18974:
18959:
18956:
18953:
18949:
18946:
18941:
18938:
18933:
18927:
18924:
18921:
18915:
18912:
18905:
18898:
18883:
18880:
18877:
18873:
18870:
18867:
18861:
18858:
18855:
18851:
18844:
18841:
18836:
18829:
18814:
18811:
18808:
18804:
18801:
18794:
18791:
18790:
18786:
18780:
18776:
18768:
18758:
18754:
18746:
18727:
18723:
18719:
18716:
18710:
18705:
18702:
18697:
18693:
18690:
18684:
18676:
18672:
18666:
18658:
18655:
18649:
18639:
18620:
18616:
18612:
18609:
18603:
18598:
18595:
18590:
18586:
18583:
18577:
18569:
18565:
18559:
18551:
18548:
18536:
18533:
18523:
18504:
18500:
18494:
18490:
18486:
18483:
18480:
18472:
18469:
18463:
18460:
18454:
18451:
18448:
18440:
18436:
18430:
18422:
18419:
18413:
18403:
18386:
18378:
18374:
18366:
18363:
18362:
18358:
18352:
18345:
18341:The function
18340:
18321:
18317:
18313:
18310:
18304:
18299:
18296:
18291:
18287:
18284:
18280:
18270:
18251:
18247:
18243:
18240:
18234:
18229:
18226:
18221:
18217:
18214:
18204:
18201:
18191:
18172:
18168:
18162:
18158:
18154:
18151:
18148:
18140:
18137:
18131:
18128:
18124:
18114:
18097:
18089:
18085:
18077:
18074:
18073:
18049:
18046:
18043:
18040:
18037:
18031:
18018:
18015:
18012:
18008:
18004:
18001:
17994:
17985:
17982:
17979:
17975:
17961:
17958:
17955:
17951:
17948:
17934:
17930:
17915:
17909:
17905:
17902:
17899:
17893:
17890:
17886:
17882:
17869:
17866:
17863:
17859:
17853:
17849:
17846:
17836:
17821:
17815:
17811:
17808:
17805:
17799:
17796:
17792:
17788:
17775:
17772:
17769:
17765:
17759:
17755:
17752:
17742:
17727:
17721:
17718:
17713:
17710:
17706:
17702:
17689:
17686:
17683:
17679:
17673:
17670:
17661:
17644:
17641:
17638:
17635:
17629:
17616:
17613:
17610:
17606:
17598:
17595:
17594:
17590:
17584:
17580:
17576:The function
17575:
17560:
17553:
17547:
17544:
17538:
17535:
17532:
17528:
17522:
17518:
17511:
17496:
17489:
17483:
17480:
17474:
17471:
17468:
17464:
17458:
17451:
17448:
17438:
17423:
17416:
17410:
17407:
17401:
17398:
17395:
17391:
17385:
17379:
17376:
17367:
17350:
17344:
17337:
17334:
17333:
17329:
17325:
17308:
17305:
17301:
17292:
17275:
17272:
17268:
17260:
17257:
17247:
17230:
17227:
17224:
17220:
17211:
17194:
17188:
17185:
17178:
17175:
17174:
17170:
17148:
17138:
17135:
17125:
17103:
17094:
17085:
17063:
17054:
17045:
17023:
17014:
17005:
17003:
17002:
16998:
16993:≠ −1, −3, ...
16992:
16984:
16974:
16969:
16961:
16952:
16944:
16937:
16931:
16912:
16909:
16906:
16896:
16883:
16880:
16877:
16867:
16862:
16858:
16855:
16849:
16845:
16842:
16839:
16833:
16826:
16807:
16804:
16801:
16791:
16778:
16775:
16772:
16762:
16757:
16753:
16750:
16744:
16740:
16737:
16727:
16724:
16719:
16716:
16706:
16687:
16684:
16681:
16671:
16668:
16665:
16652:
16649:
16646:
16636:
16631:
16627:
16624:
16618:
16614:
16611:
16608:
16602:
16595:
16579:
16569:
16557:
16554:
16553:
16533:
16525:
16522:
16514:
16510:
16506:
16500:
16496:
16487:
16481:
16478:
16475:
16465:
16462:
16459:
16451:
16448:
16433:
16424:
16410:
16393:
16387:
16384:
16378:
16372:
16369:
16366:
16356:
16353:
16350:
16342:
16339:
16336:
16327:
16324:
16321:
16314:
16297:
16291:
16288:
16282:
16276:
16273:
16270:
16260:
16257:
16254:
16246:
16243:
16240:
16227:
16224:
16218:
16215:
16208:
16191:
16185:
16182:
16176:
16170:
16167:
16164:
16154:
16151:
16148:
16140:
16137:
16134:
16131:
16128:
16119:
16116:
16113:
16106:
16083:
16075:
16072:
16064:
16060:
16056:
16050:
16046:
16037:
16031:
16028:
16025:
16015:
16012:
16009:
16001:
15998:
15989:
15987:
15975:
15971:
15967:
15953:
15950:
15949:
15945:
15941:
15937:
15928:
15913:
15912:sign function
15907:
15901:
15884:
15878:
15875:
15872:
15869:
15866:
15859:
15842:
15836:
15833:
15827:
15824:
15818:
15815:
15808:
15791:
15785:
15782:
15779:
15776:
15773:
15766:
15750:
15747:
15738:
15735:
15734:
15724:
15720:
15715:
15699:
15691:
15688:
15678:
15661:
15658:
15651:
15643:
15640:
15627:
15611:
15603:
15600:
15597:
15594:
15584:
15567:
15556:
15549:
15541:
15538:
15537:
15533:
15523:
15519:
15514:
15506:
15489:
15478:
15471:
15465:
15461:
15457:
15454:
15447:
15430:
15419:
15412:
15406:
15403:
15396:
15392:
15384:
15367:
15356:
15349:
15343:
15338:
15332:
15329:
15325:
15320:
15311:
15294:
15290:
15282:
15279:
15278:
15262:
15254:
15235:
15232:
15229:
15223:
15219:
15213:
15209:
15201:
15198:
15193:
15190:
15186:
15178:
15174:
15165:
15146:
15143:
15140:
15134:
15130:
15124:
15120:
15112:
15109:
15104:
15101:
15097:
15089:
15086:
15083:
15079:
15070:
15052:
15046:
15042:
15038:
15032:
15028:
15020:
15017:
15012:
15009:
15005:
14997:
14993:
14984:
14965:
14961:
14957:
14954:
14951:
14948:
14944:
14936:
14933:
14932:
14917:
14911:
14908:
14899:
14895:
14891:
14888:
14885:
14881:
14877:
14870:
14866:
14862:
14859:
14855:
14848:
14840:
14836:
14832:
14826:
14823:
14814:
14799:
14793:
14790:
14785:
14779:
14776:
14770:
14766:
14759:
14755:
14752:
14746:
14743:
14737:
14730:
14715:
14709:
14706:
14701:
14695:
14692:
14686:
14682:
14675:
14671:
14668:
14662:
14659:
14654:
14651:
14641:
14626:
14620:
14617:
14612:
14607:
14601:
14597:
14591:
14587:
14579:
14575:
14572:
14566:
14563:
14557:
14550:
14535:
14529:
14525:
14521:
14517:
14513:
14510:
14503:
14500:
14499:
14484:
14479:
14471:
14467:
14463:
14460:
14457:
14453:
14449:
14442:
14438:
14434:
14431:
14427:
14420:
14412:
14408:
14404:
14398:
14395:
14386:
14371:
14365:
14362:
14357:
14351:
14348:
14342:
14338:
14331:
14327:
14324:
14318:
14315:
14305:
14290:
14284:
14281:
14276:
14270:
14267:
14261:
14257:
14250:
14246:
14243:
14237:
14234:
14230:
14221:
14206:
14200:
14197:
14192:
14187:
14181:
14177:
14171:
14167:
14159:
14155:
14152:
14146:
14143:
14133:
14118:
14112:
14108:
14104:
14100:
14096:
14093:
14086:
14083:
14082:
14067:
14061:
14058:
14051:
14048:
14045:
14042:
14038:
14034:
14029:
14026:
14023:
14019:
14012:
14006:
14003:
13997:
13994:
13985:
13961:
13958:
13955:
13949:
13946:
13940:
13937:
13934:
13928:
13918:
13915:
13912:
13905:
13888:
13885:
13877:
13874:
13871:
13865:
13862:
13856:
13853:
13850:
13844:
13835:
13832:
13823:
13806:
13803:
13797:
13790:
13787:
13783:
13778:
13775:
13771:
13767:
13764:
13760:
13753:
13750:
13746:
13741:
13738:
13734:
13730:
13720:
13703:
13700:
13694:
13691:
13684:
13681:
13680:
13665:
13660:
13654:
13651:
13648:
13645:
13641:
13637:
13632:
13629:
13626:
13622:
13615:
13609:
13606:
13600:
13597:
13588:
13584:
13569:
13562:
13559:
13556:
13550:
13547:
13541:
13538:
13535:
13529:
13525:
13521:
13514:
13498:
13491:
13488:
13485:
13479:
13476:
13470:
13467:
13464:
13458:
13449:
13446:
13437:
13421:
13416:
13409:
13406:
13402:
13397:
13394:
13390:
13386:
13383:
13379:
13372:
13369:
13365:
13360:
13357:
13353:
13349:
13339:
13322:
13319:
13313:
13310:
13303:
13300:
13299:
13295:
13278:
13275:
13272:
13266:
13263:
13260:
13253:
13236:
13233:
13230:
13224:
13218:
13215:
13206:
13191:
13184:
13181:
13177:
13172:
13169:
13165:
13161:
13154:
13138:
13135:
13132:
13128:
13120:
13117:
13116:
13112:
13098:
13091:
13073:
13070:
13066:
13057:
13043:
13036:
13018:
13012:
13005:
13002:
13001:
12997:
12991:
12987:
12982:
12965:
12959:
12956:
12953:
12946:
12929:
12923:
12917:
12914:
12905:
12888:
12882:
12875:
12861:
12854:
12851:
12850:
12846:
12828:
12825:
12819:
12816:
12813:
12810:
12806:
12799:
12793:
12780:
12776:
12772:
12770:
12759:
12751:
12741:
12734:
12728:
12716:
12701:
12683:
12680:
12674:
12671:
12668:
12665:
12661:
12654:
12648:
12635:
12631:
12624:
12621:
12617:
12612:
12610:
12599:
12591:
12581:
12574:
12568:
12556:
12541:
12523:
12520:
12514:
12511:
12508:
12505:
12502:
12499:
12495:
12488:
12482:
12469:
12465:
12461:
12459:
12448:
12440:
12430:
12423:
12417:
12405:
12390:
12372:
12366:
12359:
12357:
12356:
12352:
12347:
12342:
12337:
12334:
12332:
12331:
12316:
12311:
12307:
12301:
12296:
12287:
12280:
12265:
12260:
12257:
12252:
12246:
12242:
12231:
12227:
12223:
12217:
12213:
12207:
12203:
12197:
12191:
12188:
12181:
12173:
12170:
12157:
12142:
12137:
12134:
12129:
12123:
12119:
12108:
12104:
12100:
12094:
12090:
12084:
12080:
12074:
12068:
12060:
12057:
12044:
12029:
12024:
12020:
12017:
12014:
12008:
12002:
11998:
11988:
11984:
11977:
11973:
11967:
11963:
11959:
11953:
11949:
11943:
11937:
11929:
11926:
11918:
11915:
11903:
11885:
11882:
11874:
11870:
11862:
11856:
11852:
11846:
11842:
11835:
11831:
11823:
11820:
11819:
11815:
11812:
11797:
11793:
11787:
11784:
11780:
11774:
11770:
11767:
11762:
11759:
11750:
11735:
11731:
11725:
11722:
11718:
11712:
11708:
11705:
11699:
11696:
11688:
11685:
11676:
11661:
11657:
11652:
11647:
11643:
11636:
11632:
11629:
11624:
11621:
11612:
11594:
11591:
11585:
11582:
11575:
11572:
11571:
11567:
11563:
11557:
11551:
11532:
11528:
11524:
11519:
11515:
11509:
11506:
11496:
11477:
11473:
11469:
11464:
11460:
11455:
11446:
11443:
11433:
11414:
11410:
11404:
11400:
11396:
11393:
11388:
11384:
11378:
11375:
11365:
11343:
11335:
11332:
11328:
11320:
11317:
11316:
11310:
11299:
11295:
11291:
11272:
11269:
11263:
11259:
11253:
11249:
11241:
11238:
11228:
11209:
11206:
11200:
11196:
11190:
11186:
11178:
11175:
11171:
11162:
11144:
11138:
11130:
11127:
11118:
11114:
11106:
11103:
11093:
11074:
11070:
11066:
11063:
11059:
11051:
11048:
11047:
11041:
11036:
11030:
11026:
11022:The function
11021:
11004:
11001:
10998:
10995:
10991:
10982:
10962:
10959:
10956:
10953:
10945:
10942:
10936:
10927:
10910:
10907:
10904:
10901:
10898:
10895:
10891:
10882:
10864:
10858:
10853:
10850:
10847:
10843:
10835:
10832:
10831:
10827:
10812:
10806:
10803:
10800:
10796:
10791:
10787:
10782:
10778:
10765:
10756:
10747:
10732:
10726:
10723:
10720:
10716:
10711:
10707:
10702:
10698:
10688:
10684:
10680:
10677:
10673:
10664:
10648:
10643:
10640:
10635:
10631:
10626:
10622:
10609:
10600:
10591:
10574:
10571:
10565:
10562:
10555:
10552:
10551:
10548:
10542:
10537:The function
10536:
10521:
10515:
10512:
10509:
10505:
10500:
10496:
10493:
10481:
10472:
10463:
10448:
10442:
10439:
10436:
10432:
10427:
10423:
10420:
10411:
10407:
10403:
10400:
10396:
10387:
10372:
10367:
10364:
10359:
10355:
10352:
10340:
10331:
10322:
10305:
10302:
10296:
10291:
10287:
10279:
10276:
10275:
10267:
10257:
10248:
10242:
10241:sinc function
10238:
10234:
10233:sinc function
10230:
10226:
10222:
10207:
10201:
10198:
10195:
10191:
10186:
10182:
10179:
10167:
10158:
10149:
10134:
10128:
10125:
10122:
10118:
10113:
10109:
10106:
10097:
10093:
10089:
10086:
10082:
10073:
10057:
10052:
10049:
10044:
10040:
10037:
10025:
10016:
10007:
9989:
9986:
9980:
9977:
9970:
9967:
9966:
9958:
9948:
9939:
9933:
9932:sinc function
9930:
9926:
9922:
9907:
9901:
9898:
9895:
9891:
9886:
9882:
9879:
9867:
9858:
9849:
9834:
9828:
9825:
9822:
9818:
9813:
9809:
9806:
9797:
9793:
9789:
9786:
9782:
9773:
9758:
9753:
9750:
9745:
9741:
9738:
9726:
9717:
9708:
9690:
9687:
9681:
9678:
9671:
9668:
9667:
9663:
9645:
9642:
9636:
9633:
9630:
9627:
9623:
9616:
9610:
9597:
9593:
9589:
9587:
9576:
9568:
9558:
9551:
9545:
9533:
9518:
9500:
9497:
9491:
9488:
9485:
9482:
9478:
9471:
9465:
9452:
9448:
9441:
9438:
9434:
9429:
9427:
9416:
9408:
9398:
9391:
9385:
9373:
9358:
9340:
9337:
9331:
9328:
9325:
9322:
9319:
9316:
9312:
9305:
9299:
9286:
9282:
9278:
9276:
9265:
9257:
9247:
9240:
9234:
9222:
9207:
9189:
9183:
9176:
9174:
9173:
9169:
9164:
9159:
9154:
9151:
9149:
9148:
9124:
9118:
9115:
9108:
9105:
9102:
9099:
9095:
9091:
9086:
9083:
9080:
9076:
9069:
9063:
9060:
9054:
9051:
9042:
9038:
9021:
9018:
9010:
9007:
9004:
8995:
8992:
8986:
8980:
8977:
8974:
8965:
8962:
8949:
8932:
8929:
8921:
8918:
8915:
8906:
8903:
8897:
8891:
8888:
8885:
8876:
8873:
8860:
8843:
8840:
8834:
8827:
8824:
8820:
8815:
8812:
8808:
8801:
8798:
8792:
8788:
8781:
8778:
8774:
8769:
8766:
8762:
8755:
8752:
8739:
8722:
8719:
8713:
8710:
8704:
8698:
8691:
8688:
8687:
8672:
8667:
8661:
8658:
8655:
8652:
8648:
8644:
8639:
8636:
8633:
8629:
8622:
8616:
8613:
8607:
8604:
8595:
8591:
8575:
8568:
8565:
8562:
8553:
8550:
8544:
8538:
8535:
8532:
8523:
8520:
8507:
8490:
8483:
8480:
8477:
8468:
8465:
8459:
8453:
8450:
8447:
8438:
8435:
8422:
8406:
8401:
8394:
8391:
8387:
8382:
8379:
8375:
8368:
8365:
8359:
8355:
8348:
8345:
8341:
8336:
8333:
8329:
8322:
8319:
8306:
8289:
8286:
8280:
8277:
8271:
8265:
8258:
8255:
8254:
8250:
8247:
8224:
8221:
8212:
8209:
8196:
8173:
8170:
8161:
8158:
8145:
8122:
8119:
8110:
8107:
8094:
8071:
8065:
8055:
8052:
8051:
8047:
8041:
8036:
8012:
8003:
8000:
7991:
7988:
7982:
7979:
7970:
7967:
7957:
7933:
7924:
7921:
7912:
7909:
7903:
7900:
7891:
7888:
7878:
7854:
7845:
7842:
7833:
7830:
7824:
7821:
7812:
7809:
7799:
7794:
7790:
7785:
7782:
7781:
7777:
7771:
7765:
7741:
7732:
7729:
7720:
7714:
7711:
7702:
7699:
7689:
7665:
7656:
7653:
7644:
7638:
7635:
7626:
7623:
7613:
7589:
7580:
7577:
7568:
7562:
7559:
7550:
7547:
7537:
7532:
7528:
7523:
7520:
7519:
7515:
7497:
7490:
7483:
7480:
7474:
7468:
7465:
7458:
7451:
7448:
7444:
7435:
7417:
7410:
7403:
7400:
7394:
7388:
7385:
7378:
7371:
7368:
7364:
7355:
7337:
7330:
7323:
7320:
7314:
7308:
7305:
7298:
7290:
7272:
7266:
7260:
7254:
7247:
7244:
7243:
7240:
7228:
7223:
7219:
7215:The notation
7214:
7196:
7187:
7184:
7175:
7166:
7163:
7153:
7135:
7126:
7123:
7114:
7105:
7102:
7091:
7088:
7079:
7061:
7052:
7049:
7040:
7031:
7028:
7018:
7000:
6991:
6988:
6985:
6975:
6972:
6971:
6967:
6948:
6944:
6940:
6932:
6923:
6920:
6912:
6908:
6899:
6895:
6887:
6868:
6864:
6860:
6852:
6843:
6840:
6832:
6828:
6819:
6815:
6807:
6787:
6783:
6779:
6771:
6762:
6759:
6751:
6747:
6738:
6733:
6727:
6724:
6720:
6715:
6706:
6688:
6682:
6677:
6673:
6665:
6662:
6661:
6646:
6643:
6640:
6637:
6630:
6627:
6621:
6615:
6599:
6595:
6571:
6565:
6557:
6541:
6533:
6517:
6509:
6492:
6486:
6483:
6480:
6477:
6474:
6468:
6465:
6457:
6448:
6445:
6432:
6415:
6409:
6406:
6401:
6398:
6393:
6387:
6384:
6376:
6367:
6364:
6351:
6334:
6328:
6324:
6321:
6315:
6312:
6309:
6306:
6298:
6289:
6286:
6273:
6259:
6256:
6250:
6244:
6239:
6231:
6227:
6219:
6216:
6215:
6211:
6193:
6184:
6181:
6173:
6165:
6162:
6152:
6134:
6125:
6122:
6114:
6106:
6103:
6093:
6075:
6066:
6063:
6055:
6047:
6044:
6041:
6038:
6028:
6008:
6004:
6000:
5992:
5986:
5981:
5977:
5966:
5963:
5962:
5958:
5954:
5950:
5946:
5928:
5925:
5919:
5916:
5913:
5901:
5874:
5865:
5860:
5856:
5845:
5827:
5824:
5818:
5806:
5779:
5770:
5765:
5761:
5750:
5732:
5729:
5723:
5711:
5684:
5675:
5670:
5666:
5655:
5637:
5628:
5623:
5619:
5608:
5605:
5604:
5585:
5580:
5577:
5572:
5562:
5548:
5539:
5526:
5522:
5514:
5507:
5491:
5486:
5483:
5478:
5471:
5468:
5454:
5445:
5436:
5420:
5415:
5412:
5407:
5400:
5397:
5383:
5374:
5365:
5349:
5344:
5341:
5336:
5329:
5326:
5312:
5303:
5294:
5276:
5273:
5267:
5260:
5257:
5256:
5252:
5234:
5231:
5228:
5219:
5216:
5206:
5188:
5185:
5182:
5173:
5170:
5160:
5144:
5137:
5134:
5130:
5125:
5122:
5118:
5111:
5108:
5098:
5081:
5078:
5075:
5071:
5064:
5058:
5051:
5048:
5047:
5043:
5025:
5016:
5013:
5005:
5002:
4999:
4996:
4992:
4984:
4966:
4957:
4954:
4946:
4943:
4940:
4937:
4933:
4925:
4907:
4898:
4895:
4887:
4884:
4881:
4878:
4875:
4872:
4868:
4860:
4842:
4839:
4836:
4830:
4823:
4820:
4819:
4815:
4797:
4788:
4785:
4778:
4775:
4769:
4760:
4757:
4750:
4743:
4725:
4716:
4713:
4706:
4703:
4697:
4688:
4685:
4678:
4671:
4653:
4644:
4641:
4634:
4631:
4625:
4616:
4613:
4606:
4599:
4581:
4575:
4571:
4568:
4562:
4556:
4552:
4545:
4542:
4541:
4537:
4519:
4516:
4510:
4507:
4504:
4501:
4497:
4490:
4484:
4471:
4467:
4463:
4461:
4450:
4441:
4436:
4432:
4425:
4419:
4410:
4407:
4392:
4374:
4371:
4365:
4362:
4359:
4356:
4352:
4345:
4339:
4326:
4322:
4315:
4312:
4308:
4303:
4301:
4290:
4281:
4276:
4272:
4265:
4259:
4250:
4247:
4232:
4214:
4211:
4205:
4202:
4199:
4196:
4193:
4190:
4186:
4179:
4173:
4160:
4156:
4152:
4150:
4139:
4130:
4125:
4121:
4114:
4108:
4099:
4096:
4081:
4063:
4057:
4050:
4048:
4047:
4043:
4038:
4033:
4028:
4025:
4023:
4022:
3968:
3948:
3943:
3922:
3911:
3890:
3878:
3870:
3862:
3853:
3831:
3820:
3799:
3778:
3774:
3773:Mehler kernel
3763:
3759:
3748:
3732:
3714:
3713:sinc function
3709:
3702:
3698:
3693:
3683:
3672:
3668:
3628:
3623:
3620:
3610:
3603:
3600:
3595:
3592:
3582:
3572:
3545:
3542:
3539:
3534:
3527:
3524:
3517:
3514:
3511:
3506:
3494:
3493:
3488:
3473:
3468:
3465:
3455:
3448:
3443:
3440:
3430:
3399:
3396:
3393:
3388:
3381:
3378:
3371:
3368:
3365:
3360:
3348:
3347:
3342:
3327:
3322:
3319:
3309:
3299:
3296:
3291:
3288:
3278:
3266:
3265:
3241:
3238:
3235:
3230:
3223:
3220:
3213:
3210:
3207:
3202:
3195:
3184:
3181:
3165:
3160:
3157:
3147:
3137:
3134:
3129:
3126:
3116:
3104:
3103:
3079:
3076:
3073:
3068:
3064:
3057:
3054:
3051:
3046:
3034:
3033:
3015:Time shifting
2990:
2985:
2978:
2973:
2972:
2967:
2947:
2914:
2908:
2900:
2882:
2879:
2876:
2873:
2870:
2866:
2862:
2859:
2850:
2845:
2841:
2801:
2798:
2792:
2789:
2786:
2783:
2779:
2772:
2763:
2758:
2754:
2743:
2732:
2723:
2715:
2712:
2705:
2700:
2698:
2690:
2684:
2674:
2665:
2660:
2656:
2646:
2643:
2634:
2631:
2625:
2621:
2615:
2612:
2608:
2603:
2596:
2591:
2587:
2580:
2577:
2574:
2568:
2565:
2562:
2559:
2556:
2552:
2545:
2539:
2532:
2521:
2514:
2512:
2501:
2492:
2487:
2483:
2468:
2465:
2464:
2445:
2442:
2436:
2433:
2430:
2427:
2423:
2416:
2407:
2402:
2398:
2387:
2376:
2366:
2363:
2354:
2351:
2344:
2339:
2337:
2329:
2323:
2313:
2304:
2299:
2295:
2282:
2279:
2270:
2267:
2260:
2255:
2251:
2245:
2242:
2238:
2233:
2225:
2220:
2216:
2203:
2200:
2191:
2188:
2181:
2176:
2173:
2170:
2164:
2161:
2158:
2155:
2152:
2148:
2141:
2135:
2128:
2117:
2107:
2104:
2095:
2092:
2085:
2077:
2075:
2064:
2055:
2050:
2046:
2031:
2028:
2020:
2001:
1998:
1992:
1989:
1986:
1983:
1980:
1977:
1973:
1966:
1957:
1952:
1948:
1937:
1926:
1922:
1920:
1912:
1906:
1896:
1893:
1890:
1881:
1876:
1872:
1865:
1859:
1856:
1853:
1844:
1839:
1835:
1825:
1822:
1813:
1810:
1804:
1801:
1798:
1792:
1789:
1786:
1783:
1780:
1777:
1774:
1770:
1763:
1757:
1750:
1739:
1732:
1730:
1719:
1710:
1705:
1701:
1686:
1683:
1676:
1675:
1670:
1643:
1640:
1634:
1631:
1628:
1624:
1616:
1607:
1602:
1598:
1581:
1577:
1570:
1567:
1563:
1558:
1556:
1548:
1542:
1532:
1523:
1518:
1514:
1499:
1496:
1491:
1487:
1481:
1478:
1474:
1469:
1462:
1457:
1453:
1446:
1443:
1440:
1434:
1431:
1428:
1425:
1421:
1413:
1407:
1394:
1390:
1383:
1381:
1370:
1361:
1356:
1352:
1337:
1334:
1333:
1314:
1311:
1305:
1302:
1299:
1295:
1287:
1278:
1273:
1269:
1252:
1248:
1238:
1235:
1231:
1226:
1224:
1216:
1210:
1200:
1191:
1186:
1182:
1166:
1163:
1159:
1154:
1150:
1144:
1141:
1137:
1132:
1124:
1119:
1115:
1099:
1096:
1092:
1087:
1084:
1081:
1075:
1072:
1069:
1066:
1062:
1054:
1048:
1035:
1031:
1021:
1018:
1014:
1006:
1004:
993:
984:
979:
975:
960:
957:
949:
930:
927:
921:
918:
915:
912:
909:
905:
897:
888:
883:
879:
862:
858:
854:
852:
844:
838:
828:
825:
822:
813:
808:
804:
797:
791:
788:
785:
776:
771:
767:
752:
749:
744:
741:
738:
732:
729:
726:
723:
720:
717:
713:
705:
699:
686:
682:
675:
673:
662:
653:
648:
644:
629:
626:
619:
618:
609:
588:
581:
579:
577:
576:
566:
559:
557:
555:
554:
537:
533:
528:
524:
518:
514:
507:
503:
496:
492:
485:
481:
476:
471:
464:
443:
418:
393:
368:
340:
331:
328:
297:
291:
263:
254:
251:
220:
214:
201:
184:
180:
176:
166:
157:
143:
136:
132:
128:
124:
121:
118:
114:
110:
106:
103:
98:
87:
84:
82:
79:
77:
74:
72:
69:
67:
64:
62:
59:
57:
54:
52:
49:
48:
46:
45:
42:
39:
38:
33:
19:
27521:
27467:
27433:
27413:, New York:
27410:
27401:
27382:
27378:
27357:
27323:
27301:
27280:
27253:
27249:Weiss, Guido
27245:Stein, Elias
27222:
27213:
27207:. Retrieved
27203:
27175:
27171:
27153:
27134:
27104:
27090:
27068:
27058:
27035:
27022:
26995:
26971:, retrieved
26964:the original
26925:
26900:
26894:
26876:
26845:
26831:
26794:
26772:
26754:
26723:(7): 57–58,
26720:
26716:
26689:
26664:
26638:
26632:
26610:
26587:
26574:
26554:
26551:Shilov, G.E.
26523:
26487:
26483:
26461:
26438:
26407:
26386:
26370:
26358:
26338:
26326:
26315:, retrieved
26300:
26277:
26252:
26240:
26196:
26190:
26178:
26174:
26155:
26142:
26106:
26102:
26093:
26075:
26063:
26038:
26028:, retrieved
26021:the original
25990:
25984:
25959:
25937:
25925:
25914:
25902:
25891:. Retrieved
25882:
25873:
25862:
25851:
25840:
25829:
25818:
25801:
25797:
25791:
25780:
25768:
25756:
25744:
25733:. Retrieved
25720:
25711:
25701:
25691:
25685:
25679:
25668:
25657:
25645:
25633:
25626:Fourier 1822
25621:
25609:
25597:
25586:
25574:
25562:
25557:, p. 63
25550:
25539:
25518:, p. 80
25511:
25499:
25487:
25476:
25465:
25454:
25443:
25438:, p. 52
25436:Folland 1989
25431:
25404:
25393:
25354:
25349:, p. 53
25347:Folland 1989
25342:
25330:
25323:Folland 1992
25318:
25306:
25294:
25263:
25237:Fourier 1822
25232:
25226:Folland 1989
25221:
25192:, p. 58
25185:
25173:
25161:
25145:
25138:Fourier 1878
25133:
25126:Fourier 1822
25121:
25110:
25105:, p. 11
25098:
25093:, p. 29
25086:
25074:
24832:
24811:
24802:
24631:
24398:
24377:
24357:
24340:
24274:
24129:
23583:
23580:
23576:
23570:
23567:
23563:
23141:
23137:
23133:
22626:
22619:
22613:
22599:
22588:
22574:
22566:
22559:
22546:
21503:
21280:
21274:This is the
21020:
21009:
21001:
19454:
19085:
19061:
18778:
18771:
18756:
18749:
18350:
18343:
17582:
17578:
16990:
16982:
16972:
16967:
16959:
16950:
16942:
16935:
16422:
15926:
15914:. Note that
15905:
15722:
15718:
15521:
15517:
12994:denotes the
12989:
12985:
12847:Definitions
12314:
12299:
12282:
11555:
11308:
11297:
11039:
11028:
11024:
10540:
10265:
10255:
10246:
10227:is an ideal
9956:
9946:
9937:
9928:
9664:Definitions
8039:
7792:
7788:
7769:
7535:purely real
7530:
7526:
7225:denotes the
7221:
7217:
5956:
5952:
5948:
5524:
5520:
5512:
4538:Definitions
3936:Applications
3931:Alternatives
3876:
3868:
3860:
3851:
3490:
3344:
3262:
3179:
3100:
3025:Time scaling
2466:non-unitary
1668:
1335:non-unitary
607:
582:
560:
535:
531:
516:
512:
505:
501:
494:
490:
483:
479:
50:
40:
26490:: 167–179,
26056:Bochner, S.
25944:, p. 6
25932:, Thm. 4.15
25919:Easton 2010
25775:, Chapter 8
25761:Pinsky 2002
25579:Pinsky 2002
25544:Wiener 1949
25398:Condon 1937
25268:Arfken 1985
25257:Pinsky 2002
25178:Rahman 2011
25168:, p. 1
25103:Rahman 2011
25091:Kaiser 1994
15532:polynomials
7227:convolution
6558:) value of
3819:Gabor limit
3646:Conjugation
523:Translation
27541:Categories
27464:Yosida, K.
27209:2022-12-29
26973:2016-03-28
26116:2007.10406
26109:(5): 853,
26030:2017-11-01
25951:References
25893:2023-08-20
25804:: 104526.
25785:Knapp 2001
25751:, Thm. 2.3
25735:2019-10-11
25311:Rudin 1987
25299:Rudin 1987
24547: is
24168:DFT matrix
17933:Dirac comb
10237:non-causal
10231:, and the
9929:normalized
6587:such that
4816:Linearity
3951:transform.
3940:See also:
3796:See also:
3771:See also:
3680:See also:
2944:See also:
2829:Background
547:Definition
475:unit pulse
183:wavelength
146:frequency.
27523:MathWorld
27300:(1986) ,
27073:CRC Press
26874:(1999) ,
26821:255676773
26497:1112.5469
26405:(1878) ,
26181:: 331–333
26003:CiteSeerX
25885:. 2015 .
25856:Lado 1971
25448:Howe 1980
25424:Wolf 1979
25409:Wolf 1979
25335:Wolf 1979
25067:Citations
25047:α
25044:−
25038:λ
25012:−
25009:λ
25006:−
24995:ω
24973:λ
24968:−
24960:Γ
24939:λ
24929:Γ
24905:π
24893:λ
24865:λ
24732:π
24660:π
24604:ξ
24571:ξ
24561:^
24529:ξ
24497:ξ
24490:ξ
24481:^
24444:ξ
24440:π
24431:−
24091:π
24060:Γ
23982:ω
23964:α
23954:π
23940:α
23921:π
23842:ω
23824:α
23814:π
23800:α
23774:π
23695:ξ
23677:α
23666:α
23615:α
23612:π
23606:−
23540:ω
23527:σ
23521:σ
23508:ω
23493:−
23464:ω
23451:σ
23445:σ
23432:ω
23417:−
23397:−
23389:π
23359:ξ
23346:σ
23340:σ
23327:ξ
23316:π
23309:−
23271:−
23266:σ
23254:−
23249:σ
23220:−
23193:π
23176:σ
23102:α
23099:−
23086:Γ
23072:α
23063:Γ
23055:α
23036:π
23027:α
22984:α
22981:−
22972:−
22961:ω
22948:α
22923:π
22888:α
22885:−
22876:−
22865:ω
22852:α
22822:π
22787:α
22784:−
22775:−
22764:ξ
22751:α
22734:α
22726:π
22687:α
22684:
22666:α
22663:−
22617:. Taking
22520:ω
22505:δ
22482:δ
22479:−
22466:−
22455:π
22448:ω
22434:δ
22430:π
22416:δ
22410:Γ
22377:ω
22363:δ
22338:δ
22316:ω
22297:δ
22291:Γ
22282:δ
22247:ξ
22238:π
22227:δ
22201:δ
22177:ξ
22165:δ
22161:π
22146:δ
22140:Γ
22114:δ
22083:−
22032:χ
21983:⋅
21979:ω
21972:−
21935:∫
21924:≜
21917:ω
21907:^
21848:⋅
21844:ω
21837:−
21800:∫
21779:π
21758:≜
21751:ω
21741:^
21682:⋅
21678:ξ
21674:π
21665:−
21628:∫
21617:≜
21610:ξ
21600:^
21472:ω
21456:ω
21450:π
21414:ω
21398:ω
21361:ξ
21345:ξ
21246:ω
21228:ω
21222:π
21181:ω
21163:ω
21121:ξ
21103:ξ
21016:Airy disk
20970:ω
20952:ω
20929:ω
20911:ω
20891:π
20850:ω
20832:ω
20809:ω
20791:ω
20736:ξ
20718:ξ
20694:ξ
20676:ξ
20670:π
20593:
20531:ω
20499:ω
20485:π
20473:−
20392:ω
20360:ω
20346:π
20334:−
20306:π
20246:ξ
20214:ξ
20203:π
20200:−
20094:π
20091:−
19997:ω
19981:ω
19971:−
19945:∬
19935:≜
19923:ω
19910:ω
19900:^
19836:ω
19820:ω
19810:−
19784:∬
19778:π
19761:≜
19749:ω
19736:ω
19726:^
19662:ξ
19646:ξ
19639:π
19630:−
19604:∬
19594:≜
19582:ξ
19569:ξ
19559:^
19432:−
19429:α
19420:ω
19417:±
19403:ω
19400:±
19382:α
19375:Γ
19370:π
19338:−
19335:α
19326:ω
19323:±
19309:ω
19306:±
19288:α
19281:Γ
19276:π
19244:−
19241:α
19232:ξ
19229:±
19215:ξ
19212:±
19194:α
19187:Γ
19181:α
19172:π
19138:α
19135:−
19120:∓
19022:ω
19015:δ
19012:γ
19009:π
19003:−
18994:ω
18987:π
18982:−
18957:ω
18950:δ
18947:γ
18942:π
18934:−
18925:ω
18913:π
18906:−
18881:ξ
18874:δ
18871:γ
18868:−
18859:ξ
18837:−
18805:
18765:th order
18724:ω
18720:−
18703:ω
18694:
18685:ω
18656:−
18617:ω
18613:−
18596:ω
18587:
18578:ω
18549:−
18537:π
18501:ξ
18491:π
18484:−
18473:ξ
18470:π
18464:
18455:ξ
18452:π
18420:−
18318:ω
18314:−
18297:ω
18288:
18248:ω
18244:−
18227:ω
18218:
18205:π
18169:ξ
18159:π
18152:−
18141:ξ
18138:π
18132:
18047:π
18032:δ
18027:∞
18022:∞
18019:−
18009:∑
18005:π
17970:∞
17965:∞
17962:−
17952:∑
17903:π
17894:−
17891:ω
17883:δ
17878:∞
17873:∞
17870:−
17860:∑
17850:π
17809:π
17800:−
17797:ω
17789:δ
17784:∞
17779:∞
17776:−
17766:∑
17756:π
17714:−
17711:ξ
17703:δ
17698:∞
17693:∞
17690:−
17680:∑
17639:−
17630:δ
17625:∞
17620:∞
17617:−
17607:∑
17554:ω
17548:δ
17539:ω
17536:π
17519:π
17490:ω
17484:δ
17475:ω
17472:π
17449:π
17417:ξ
17411:δ
17402:ξ
17399:π
17309:ω
17276:ω
17261:π
17231:ξ
17228:π
17189:
17149:ω
17139:π
17104:ω
17064:ξ
16907:α
16897:ω
16878:α
16872:Γ
16859:α
16856:π
16846:
16834:−
16802:α
16792:ω
16773:α
16767:Γ
16754:α
16751:π
16741:
16728:π
16717:−
16682:α
16672:ξ
16669:π
16647:α
16641:Γ
16628:α
16625:π
16615:
16603:−
16580:α
16526:
16479:−
16463:−
16449:−
16394:ω
16388:
16370:−
16354:−
16343:ω
16337:−
16328:π
16322:−
16298:ω
16292:
16274:−
16258:−
16247:ω
16241:−
16225:π
16216:−
16192:ξ
16186:
16168:−
16152:−
16141:ξ
16138:π
16129:−
16120:π
16114:−
16076:
16029:−
16013:−
15999:−
15885:ω
15879:
15873:π
15867:−
15843:ω
15837:
15825:π
15816:−
15792:ξ
15786:
15780:π
15774:−
15692:ω
15662:π
15644:ω
15604:ξ
15601:π
15550:δ
15490:ω
15472:δ
15458:π
15431:ω
15413:δ
15407:π
15368:ξ
15350:δ
15333:π
15263:α
15236:α
15233:π
15220:ω
15199:π
15191:−
15179:α
15147:α
15144:π
15131:ω
15110:π
15102:−
15090:α
15087:π
15053:α
15043:ξ
15039:π
15018:π
15010:−
14998:α
14958:α
14952:π
14949:−
14886:−
14878:−
14827:
14791:π
14786:−
14767:ω
14756:
14744:π
14738:−
14707:π
14702:−
14683:ω
14672:
14652:−
14618:π
14613:−
14598:ξ
14588:π
14576:
14564:π
14558:−
14514:
14458:−
14399:
14363:π
14358:−
14339:ω
14328:
14316:π
14282:π
14277:−
14258:ω
14247:
14198:π
14193:−
14178:ξ
14168:π
14156:
14144:π
14097:
14043:−
14035:−
13998:
13956:ω
13950:δ
13947:−
13938:−
13935:ω
13929:δ
13919:π
13913:−
13872:ω
13866:δ
13863:−
13854:−
13851:ω
13845:δ
13836:π
13791:π
13776:ξ
13768:δ
13765:−
13754:π
13742:−
13739:ξ
13731:δ
13695:
13646:−
13601:
13557:ω
13551:δ
13539:−
13536:ω
13530:δ
13522:π
13486:ω
13480:δ
13468:−
13465:ω
13459:δ
13450:π
13410:π
13395:ξ
13387:δ
13373:π
13361:−
13358:ξ
13350:δ
13314:
13276:−
13273:ω
13267:δ
13264:π
13234:−
13231:ω
13225:δ
13219:π
13185:π
13173:−
13170:ξ
13162:δ
13074:π
13013:δ
12966:ω
12960:δ
12957:π
12930:ω
12924:δ
12918:π
12889:ξ
12883:δ
12817:ω
12811:−
12789:∞
12784:∞
12781:−
12777:∫
12760:ω
12745:^
12735:≜
12729:ω
12720:^
12672:ω
12666:−
12644:∞
12639:∞
12636:−
12632:∫
12625:π
12600:ω
12585:^
12575:≜
12569:ω
12560:^
12512:ξ
12509:π
12500:−
12478:∞
12473:∞
12470:−
12466:∫
12449:ξ
12434:^
12424:≜
12418:ξ
12409:^
12293:th-order
12258:ω
12214:ω
12208:−
12192:π
12171:−
12135:ω
12091:ω
12085:−
12058:−
12021:ξ
12018:π
11974:ξ
11964:π
11954:−
11927:−
11919:π
11836:−
11794:ω
11781:π
11771:
11760:π
11732:ω
11719:π
11709:
11697:π
11658:ξ
11644:π
11633:
11622:π
11586:
11529:ω
11474:ω
11447:π
11411:ξ
11401:π
11333:−
11273:α
11260:ω
11254:−
11242:α
11239:π
11210:α
11197:ω
11191:−
11179:α
11145:α
11131:ξ
11128:π
11119:−
11107:α
11104:π
11067:α
11064:−
11005:ω
10963:ω
10946:π
10911:ξ
10908:π
10848:−
10804:π
10797:ω
10788:
10724:π
10717:ω
10708:
10681:π
10641:ξ
10632:
10566:
10513:π
10506:ω
10497:
10440:π
10433:ω
10424:
10404:π
10365:ξ
10356:
10297:
10199:π
10192:ω
10183:
10126:π
10119:ω
10110:
10090:π
10050:ξ
10041:
9981:
9899:π
9892:ω
9883:
9826:π
9819:ω
9810:
9790:π
9751:ξ
9742:
9682:
9634:ω
9628:−
9606:∞
9601:∞
9598:−
9594:∫
9577:ω
9562:^
9552:≜
9546:ω
9537:^
9489:ω
9483:−
9461:∞
9456:∞
9453:−
9449:∫
9442:π
9417:ω
9402:^
9392:≜
9386:ω
9377:^
9329:ξ
9326:π
9317:−
9295:∞
9290:∞
9287:−
9283:∫
9266:ξ
9251:^
9241:≜
9235:ξ
9226:^
9100:−
9092:−
9055:
9005:ω
8996:^
8987:−
8978:−
8975:ω
8966:^
8916:ω
8907:^
8898:−
8889:−
8886:ω
8877:^
8828:π
8813:ξ
8802:^
8793:−
8782:π
8770:−
8767:ξ
8756:^
8714:
8653:−
8608:
8563:ω
8554:^
8536:−
8533:ω
8524:^
8478:ω
8469:^
8451:−
8448:ω
8439:^
8395:π
8380:ξ
8369:^
8349:π
8337:−
8334:ξ
8323:^
8281:
8232:¯
8225:ω
8222:−
8213:^
8181:¯
8174:ω
8171:−
8162:^
8130:¯
8123:ξ
8120:−
8111:^
8079:¯
8020:¯
8013:ω
8004:^
7992:−
7983:ω
7980:−
7971:^
7941:¯
7934:ω
7925:^
7913:−
7904:ω
7901:−
7892:^
7862:¯
7855:ξ
7846:^
7834:−
7825:ξ
7822:−
7813:^
7749:¯
7742:ω
7733:^
7715:ω
7712:−
7703:^
7673:¯
7666:ω
7657:^
7639:ω
7636:−
7627:^
7597:¯
7590:ξ
7581:^
7563:ξ
7560:−
7551:^
7498:ω
7484:^
7475:∗
7469:^
7452:π
7418:ω
7404:^
7395:∗
7389:^
7372:π
7338:ξ
7324:^
7315:∗
7309:^
7197:ω
7188:^
7176:ω
7167:^
7136:ω
7127:^
7115:ω
7106:^
7092:π
7062:ξ
7053:^
7041:ξ
7032:^
6989:∗
6945:ω
6933:ω
6924:^
6865:ω
6853:ω
6844:^
6784:ξ
6772:ξ
6763:^
6728:π
6628:−
6608:∞
6603:∞
6600:−
6596:∫
6518:δ
6493:ω
6487:δ
6481:π
6469:ω
6458:ω
6449:^
6416:ω
6410:δ
6402:π
6388:ω
6377:ω
6368:^
6335:ξ
6329:δ
6316:ξ
6313:π
6299:ξ
6290:^
6260:τ
6251:τ
6235:∞
6232:−
6228:∫
6194:ω
6185:^
6166:ω
6135:ω
6126:^
6107:ω
6076:ξ
6067:^
6048:ξ
6045:π
5929:ω
5926:−
5917:π
5888:⟷
5866:^
5828:ω
5825:−
5793:⟷
5771:^
5733:ξ
5730:−
5698:⟷
5676:^
5629:^
5578:ω
5566:^
5484:ω
5472:^
5413:ω
5401:^
5342:ξ
5330:^
5232:−
5229:ω
5220:^
5186:−
5183:ω
5174:^
5138:π
5126:−
5123:ξ
5112:^
5026:ω
5017:^
5006:ω
4997:−
4967:ω
4958:^
4947:ω
4938:−
4908:ξ
4899:^
4885:ξ
4882:π
4873:−
4840:−
4798:ω
4789:^
4770:ω
4761:^
4726:ω
4717:^
4698:ω
4689:^
4654:ξ
4645:^
4626:ξ
4617:^
4508:ω
4502:−
4480:∞
4475:∞
4472:−
4468:∫
4451:ω
4442:^
4426:≜
4420:ω
4411:^
4363:ω
4357:−
4335:∞
4330:∞
4327:−
4323:∫
4316:π
4291:ω
4282:^
4266:≜
4260:ω
4251:^
4203:ξ
4200:π
4191:−
4169:∞
4164:∞
4161:−
4157:∫
4140:ξ
4131:^
4115:≜
4109:ξ
4100:^
3875:On other
3803:Inversion
3614:^
3586:^
3495:function
3459:^
3434:^
3349:function
3313:^
3282:^
3267:function
3151:^
3120:^
3105:function
3010:Linearity
2880:ξ
2877:π
2863:⋅
2802:ω
2790:⋅
2787:ω
2773:ω
2764:^
2733:∫
2716:π
2675:ω
2666:^
2635:π
2616:π
2609:ω
2597:^
2566:⋅
2563:ω
2557:−
2522:∫
2515:≜
2502:ω
2493:^
2446:ω
2434:⋅
2431:ω
2417:ω
2408:^
2377:∫
2355:π
2314:ω
2305:^
2271:π
2246:π
2239:ω
2226:^
2192:π
2162:⋅
2159:ω
2153:−
2118:∫
2096:π
2078:≜
2065:ω
2056:^
2002:ξ
1990:⋅
1987:ξ
1984:π
1967:ξ
1958:^
1927:∫
1897:ξ
1894:π
1882:^
1860:ξ
1857:π
1845:^
1814:π
1790:⋅
1787:ξ
1784:π
1775:−
1740:∫
1733:≜
1720:ξ
1711:^
1644:ω
1632:ω
1617:ω
1608:^
1590:∞
1585:∞
1582:−
1578:∫
1571:π
1533:ω
1524:^
1500:π
1482:π
1475:ω
1463:^
1432:ω
1426:−
1403:∞
1398:∞
1395:−
1391:∫
1384:≜
1371:ω
1362:^
1315:ω
1303:ω
1288:ω
1279:^
1261:∞
1256:∞
1253:−
1249:∫
1239:π
1201:ω
1192:^
1167:π
1145:π
1138:ω
1125:^
1100:π
1073:ω
1067:−
1044:∞
1039:∞
1036:−
1032:∫
1022:π
1007:≜
994:ω
985:^
931:ξ
922:ξ
916:π
898:ξ
889:^
871:∞
866:∞
863:−
859:∫
829:ξ
826:π
814:^
792:ξ
789:π
777:^
753:π
730:ξ
727:π
718:−
695:∞
690:∞
687:−
683:∫
676:≜
663:ξ
654:^
541:reversed.
444:ω
394:ω
341:ω
332:^
264:ω
255:^
181:(3), and
131:overtones
27472:Springer
27466:(1968),
27439:Springer
27400:(1949),
27355:(1927),
27332:Springer
27251:(1971),
27056:(1895),
27021:(1934),
26934:Springer
26836:Springer
26698:citation
26688:(1883),
26615:Springer
26609:(1976),
26592:Springer
26573:(1964),
26553:(1964),
26530:Springer
26436:(eds.),
26384:(1822),
26337:(1971),
26233:16588141
26103:Symmetry
26062:(1949),
25887:Archived
24270:NGC 4622
24140:See also
24132:) > 0
23144:+ 2, ...
21534:Remarks
21516:Function
19497:Remarks
19479:Function
19095:against
16970:↦ |
12353:Remarks
12335:Function
11558:) > 0
11311:) > 0
9927:and the
9170:Remarks
9152:Function
4044:Remarks
4026:Function
3030:Symmetry
2029:unitary
2026:(rad/s)
1684:unitary
958:unitary
955:(rad/s)
627:unitary
175:sinusoid
173:The red
105:waveform
27192:4057997
27111:Bibcode
26960:8691186
26905:Bibcode
26725:Bibcode
26657:0578375
26600:0262773
26514:1280745
26396:2688081
26351:0270403
26274:Dym, H.
26224:1076889
26201:Bibcode
26121:Bibcode
25995:Bibcode
25709:as the
25699:in the
24762:in the
24368:or the
22610:
22596:
22585:
22571:
22552:is the
19453:1 >
19092:
19074:
19068:
19050:
19043:is the
18783:is the
18761:is the
16955:, then
16953:> −1
16938:> −1
16934:0 >
16430:is the
16427:
16413:
15931:
15917:
15910:is the
15727:is the
15526:is the
12289:is the
11033:is the
10545:is the
10270:
10251:
10235:is the
9961:
9942:
6530:is the
3261:is the
3099:is the
2961:Example
2834:History
117:C major
102:musical
27478:
27453:
27421:
27338:
27312:
27287:
27265:
27234:
27190:
27160:
27142:
27121:
27079:
27043:
27004:
26958:
26948:
26857:
26819:
26809:
26783:
26761:
26743:
26675:
26655:
26621:
26598:
26536:
26512:
26468:
26450:
26394:
26349:
26317:26 May
26308:
26288:
26263:
26231:
26221:
26163:
26082:
26045:
26005:
25966:
19457:> 0
19089:|
19083:|
19065:|
19059:|
16986:|
16980:|
16976:|
16963:|
16957:|
16945:> 0
16940:. For
15507:Here,
11042:> 0
7097:
6217:106.5
5911:
5881:
5816:
5786:
5721:
5691:
5516:|
5510:|
3854:spaces
3576:
3531:
3385:
3303:
3227:
3199:
3141:
2842:, and
2518:
2508:
2081:
2071:
1736:
1726:
1508:
1505:
1387:
1377:
1245:
1176:
1173:
1109:
1106:
1028:
1010:
1000:
761:
758:
679:
669:
608:ω
27415:Wiley
26967:(PDF)
26956:S2CID
26930:(PDF)
26882:Dover
26817:S2CID
26777:Dover
26510:S2CID
26492:arXiv
26343:Wiley
26245:Dover
26111:arXiv
26024:(PDF)
25981:(PDF)
25729:(PDF)
24332:Notes
21004:) = 1
21000:circ(
16995:(See
15902:Here
15511:is a
12297:. If
11564:is a
10254:sin(π
10245:sinc(
9945:sin(π
9936:sinc(
3676:Units
1681:(Hz)
624:(Hz)
123:chord
120:piano
27476:ISBN
27451:ISBN
27419:ISBN
27336:ISBN
27310:ISBN
27285:ISBN
27263:ISBN
27232:ISBN
27188:PMID
27158:ISBN
27140:ISBN
27119:ISBN
27077:ISBN
27041:ISBN
27002:ISBN
26946:ISBN
26855:ISBN
26807:ISBN
26781:ISBN
26759:ISBN
26741:ISBN
26704:link
26673:ISBN
26619:ISBN
26534:ISBN
26466:ISBN
26448:ISBN
26392:OCLC
26319:2020
26306:ISBN
26286:ISBN
26261:ISBN
26229:PMID
26161:ISBN
26080:ISBN
26043:ISBN
25964:ISBN
25689:and
24035:Here
23591:504
23574:and
23155:503
23003:See
22690:<
22678:<
22636:502
22624:and
22021:501
21539:500
21289:404
21036:403
21008:0 ≤
21006:for
20590:circ
20580:402
20076:401
19502:400
19104:320
18792:319
18691:rect
18584:rect
18461:rect
18364:318
18285:rect
18215:rect
18129:rect
18075:317
17596:316
17335:315
17176:314
16988:for
16555:313
15951:312
15904:sgn(
15736:311
15539:310
15515:and
15280:309
14934:308
14501:307
14084:306
13682:305
13301:304
13118:303
13003:302
12852:301
11821:210
11768:sech
11706:sech
11630:sech
11583:sech
11573:209
11552:For
11318:208
11049:206
11037:and
10833:205
10779:sinc
10699:sinc
10623:sinc
10553:204
10539:tri(
10288:sinc
10277:203
10249:) =
10180:rect
10107:rect
10038:rect
9978:sinc
9968:202
9940:) =
9923:The
9880:sinc
9807:sinc
9739:sinc
9679:rect
9669:201
8689:116
8256:115
8053:114
7786:For
7783:113
7524:For
7521:110
7245:109
7233:and
6973:108
6663:107
6534:and
5964:106
5606:105
5258:104
5049:103
4821:102
4543:101
3775:and
3760:and
3711:The
3695:The
3669:and
585:Eq.2
563:Eq.1
27443:doi
27387:doi
27180:doi
26938:doi
26913:doi
26799:doi
26733:doi
26643:doi
26502:doi
26219:PMC
26209:doi
26179:300
26129:doi
26013:doi
25806:doi
25802:150
24836:In
24766:of
24715:by
24467:is
24381:In
24277:= 2
24128:Re(
22629:= 0
22622:= 2
21278:of
21012:≤ 1
19071:or
18802:log
17186:sgn
16999:.)
16949:Re
16843:sin
16738:sin
16612:sin
16523:log
16385:sgn
16289:sgn
16183:sgn
16073:log
15876:sgn
15834:sgn
15783:sgn
14824:sin
14753:sin
14669:sin
14573:sin
14511:sin
14396:cos
14325:cos
14244:cos
14153:cos
14094:cos
13995:sin
13692:sin
13598:cos
13311:cos
12317:= 0
12302:= 1
11554:Re(
11307:Re(
10563:tri
10494:tri
10421:tri
10353:tri
9052:sin
8711:sin
8605:cos
8278:cos
7229:of
5955:or
3867:On
3859:On
3850:On
3699:is
521:).
179:RMS
111:(a
27543::
27520:.
27474:,
27470:,
27449:,
27441:,
27437:,
27417:,
27383:44
27381:,
27377:,
27351:;
27334:,
27326:,
27308:,
27279:,
27261:,
27247:;
27230:,
27226:,
27212:.
27202:.
27186:,
27174:,
27117:.
27075:,
27017:;
26988:;
26954:,
26944:,
26936:,
26932:,
26911:,
26899:,
26893:,
26880:,
26870:;
26853:,
26849:,
26834:,
26815:,
26805:,
26779:,
26775:,
26739:,
26731:,
26721:48
26719:,
26715:,
26700:}}
26696:{{
26671:,
26653:MR
26651:,
26637:,
26617:,
26596:MR
26594:,
26569:;
26549:;
26532:,
26528:,
26508:,
26500:,
26488:19
26486:,
26446:,
26428:;
26424:;
26420:;
26373:,
26361:,
26347:MR
26345:,
26284:,
26280:,
26259:,
26255:,
26227:,
26217:,
26207:,
26197:23
26195:,
26177:,
26145:,
26127:,
26119:,
26107:13
26105:,
26066:,
26058:;
26011:,
26001:,
25991:15
25989:,
25983:,
25881:.
25800:.
25523:^
25416:^
25379:^
25365:^
25274:^
25243:^
25197:^
24626:).
24348:,
23579:=
23566:=
23150:.
23140:,
23136:≠
22681:Re
22612:+
22587:+
22558:Γ(
20064:,
20057:,
20050:,
18787:.
17330:.
15990::=
15946:.
15534:.
12998:.
12319:.
11568:.
11313:.
11044:.
8048:.
7778:.
7220:∗
6556:DC
5525:ax
491:f̂
27526:.
27445::
27389::
27182::
27176:7
27113::
26940::
26915::
26907::
26901:8
26801::
26735::
26727::
26706:)
26645::
26639:3
26504::
26494::
26211::
26203::
26131::
26123::
26113::
26015::
25997::
25896:.
25812:.
25808::
25738:.
25712:L
25707:f
25702:L
25697:f
25692:L
25686:L
25059:.
25041:=
25015:n
25001:|
24990:|
24982:)
24976:2
24964:(
24954:)
24949:2
24945:n
24942:+
24933:(
24921:n
24915:2
24912:1
24899:n
24896:+
24889:2
24860:|
24854:x
24849:|
24827:.
24786:.
24783:)
24780:x
24777:(
24774:U
24747:x
24744:d
24740:d
24729:2
24725:1
24703:x
24682:)
24675:x
24672:d
24668:d
24657:2
24653:1
24647:(
24643:U
24608:0
24583:,
24580:)
24575:0
24567:(
24558:f
24535:0
24532:=
24509:.
24506:)
24501:0
24493:+
24487:(
24478:f
24453:x
24448:0
24437:2
24434:i
24427:e
24423:)
24420:x
24417:(
24414:f
24393:.
24372:.
24279:.
24275:m
24166:*
24130:α
24115:,
24107:2
24103:1
24100:+
24097:n
24085:)
24080:2
24076:1
24073:+
24070:n
24064:(
24054:=
24049:n
24045:c
24016:2
24012:1
24009:+
24006:n
23999:)
23993:2
23988:|
23977:|
23973:+
23968:2
23958:2
23950:4
23946:(
23935:1
23932:+
23929:n
23925:)
23918:2
23915:(
23910:n
23906:c
23876:2
23872:1
23869:+
23866:n
23859:)
23853:2
23848:|
23837:|
23833:+
23828:2
23818:2
23810:4
23806:(
23794:2
23790:2
23787:+
23784:n
23778:)
23771:2
23768:(
23763:n
23759:c
23729:2
23725:1
23722:+
23719:n
23712:)
23706:2
23701:|
23690:|
23686:+
23681:2
23672:(
23661:n
23657:c
23629:|
23624:x
23619:|
23609:2
23602:e
23584:σ
23581:σ
23577:Σ
23571:σ
23568:σ
23564:Σ
23533:T
23514:T
23501:2
23498:1
23489:e
23457:T
23438:T
23425:2
23422:1
23413:e
23405:2
23402:n
23393:)
23386:2
23383:(
23352:T
23333:T
23320:2
23312:2
23305:e
23280:x
23274:1
23258:T
23241:T
23235:x
23228:2
23225:1
23216:e
23206:2
23203:n
23197:)
23190:2
23186:(
23180:|
23172:|
23167:1
23142:n
23138:n
23134:α
23118:.
23111:)
23106:2
23096:n
23090:(
23080:)
23075:2
23067:(
23051:2
23044:2
23041:n
23032:=
23024:,
23021:n
23017:c
22987:)
22978:n
22975:(
22967:|
22956:|
22945:,
22942:n
22938:c
22931:n
22927:)
22920:2
22917:(
22891:)
22882:n
22879:(
22871:|
22860:|
22849:,
22846:n
22842:c
22834:2
22831:n
22826:)
22819:2
22816:(
22790:)
22781:n
22778:(
22770:|
22759:|
22748:,
22745:n
22741:c
22730:)
22723:2
22720:(
22696:.
22693:n
22675:0
22671:,
22658:|
22652:x
22647:|
22627:δ
22620:n
22614:δ
22607:2
22604:/
22600:n
22589:δ
22582:2
22579:/
22575:n
22567:J
22562:)
22560:x
22547:χ
22530:)
22525:|
22515:|
22510:(
22502:+
22497:2
22494:n
22488:J
22474:2
22471:n
22461:|
22452:2
22443:|
22425:)
22422:1
22419:+
22413:(
22386:)
22382:|
22372:|
22368:(
22360:+
22355:2
22352:n
22346:J
22335:+
22330:2
22327:n
22320:|
22312:|
22306:)
22303:1
22300:+
22294:(
22278:2
22256:)
22252:|
22242:|
22235:2
22232:(
22224:+
22219:2
22216:n
22210:J
22198:+
22193:2
22190:n
22183:|
22172:|
22155:)
22152:1
22149:+
22143:(
22109:)
22103:2
22098:|
22092:x
22087:|
22080:1
22076:(
22071:)
22067:|
22062:x
22057:|
22053:(
22048:]
22045:1
22042:,
22039:0
22036:[
21998:x
21994:d
21987:x
21975:i
21968:e
21964:)
21960:x
21956:(
21953:f
21946:n
21941:R
21921:)
21913:(
21902:3
21898:f
21863:x
21859:d
21852:x
21840:i
21833:e
21829:)
21825:x
21821:(
21818:f
21811:n
21806:R
21791:2
21788:n
21782:)
21776:2
21773:(
21768:1
21755:)
21747:(
21736:2
21732:f
21697:x
21693:d
21686:x
21671:2
21668:i
21661:e
21657:)
21653:x
21649:(
21646:f
21639:n
21634:R
21614:)
21606:(
21595:1
21591:f
21560:)
21556:x
21552:(
21549:f
21504:n
21476:y
21468:i
21465:+
21460:x
21447:2
21418:y
21410:i
21407:+
21402:x
21393:1
21365:y
21357:i
21354:+
21349:x
21340:1
21314:y
21311:i
21308:+
21305:x
21301:i
21281:r
21255:2
21250:y
21242:+
21237:2
21232:x
21219:2
21190:2
21185:y
21177:+
21172:2
21167:x
21158:1
21130:2
21125:y
21117:+
21112:2
21107:x
21098:1
21070:2
21066:y
21062:+
21057:2
21053:x
21048:1
21024:1
21021:J
21010:r
21002:r
20979:2
20974:y
20966:+
20961:2
20956:x
20945:)
20938:2
20933:y
20925:+
20920:2
20915:x
20905:(
20899:1
20895:J
20888:2
20859:2
20854:y
20846:+
20841:2
20836:x
20825:)
20818:2
20813:y
20805:+
20800:2
20795:x
20785:(
20779:1
20775:J
20745:2
20740:y
20732:+
20727:2
20722:x
20711:)
20703:2
20698:y
20690:+
20685:2
20680:x
20667:2
20663:(
20657:1
20653:J
20627:)
20620:2
20616:y
20612:+
20607:2
20603:x
20597:(
20558:)
20550:2
20546:b
20540:2
20535:y
20525:+
20518:2
20514:a
20508:2
20503:x
20492:(
20482:4
20478:1
20469:e
20461:|
20457:b
20454:a
20450:|
20445:1
20419:)
20411:2
20407:b
20401:2
20396:y
20386:+
20379:2
20375:a
20369:2
20364:x
20353:(
20343:4
20339:1
20330:e
20322:|
20318:b
20315:a
20311:|
20303:2
20299:1
20273:)
20265:2
20261:b
20255:2
20250:y
20240:+
20233:2
20229:a
20223:2
20218:x
20207:(
20196:e
20188:|
20184:b
20181:a
20177:|
20172:1
20146:)
20140:2
20136:y
20130:2
20126:b
20122:+
20117:2
20113:x
20107:2
20103:a
20098:(
20087:e
20068:y
20066:ω
20061:x
20059:ω
20054:y
20052:ξ
20047:x
20045:ξ
20025:y
20022:d
20018:x
20015:d
20009:)
20006:y
20001:y
19993:+
19990:x
19985:x
19977:(
19974:i
19967:e
19963:)
19960:y
19957:,
19954:x
19951:(
19948:f
19932:)
19927:y
19919:,
19914:x
19906:(
19897:f
19864:y
19861:d
19857:x
19854:d
19848:)
19845:y
19840:y
19832:+
19829:x
19824:x
19816:(
19813:i
19806:e
19802:)
19799:y
19796:,
19793:x
19790:(
19787:f
19775:2
19771:1
19758:)
19753:y
19745:,
19740:x
19732:(
19723:f
19690:y
19687:d
19683:x
19680:d
19674:)
19671:y
19666:y
19658:+
19655:x
19650:x
19642:(
19636:2
19633:i
19626:e
19622:)
19619:y
19616:,
19613:x
19610:(
19607:f
19591:)
19586:y
19578:,
19573:x
19565:(
19556:f
19527:)
19524:y
19521:,
19518:x
19515:(
19512:f
19461:u
19455:α
19435:1
19424:)
19413:(
19407:)
19396:(
19392:u
19385:)
19379:(
19367:2
19341:1
19330:)
19319:(
19313:)
19302:(
19298:u
19291:)
19285:(
19273:2
19247:1
19236:)
19225:(
19219:)
19208:(
19204:u
19197:)
19191:(
19176:)
19169:2
19165:(
19130:)
19126:x
19123:i
19116:(
19086:ω
19080:/
19077:1
19062:ξ
19056:/
19053:1
19041:γ
19025:)
19019:(
19006:2
18997:|
18991:|
18960:)
18954:(
18939:2
18928:|
18922:|
18916:2
18884:)
18878:(
18862:|
18856:|
18852:1
18845:2
18842:1
18815:|
18812:x
18809:|
18781:)
18779:x
18777:(
18774:n
18772:T
18763:n
18759:)
18757:x
18755:(
18752:n
18750:J
18728:2
18717:1
18711:)
18706:2
18698:(
18688:)
18682:(
18677:n
18673:T
18667:n
18663:)
18659:i
18653:(
18650:2
18621:2
18610:1
18604:)
18599:2
18591:(
18581:)
18575:(
18570:n
18566:T
18560:n
18556:)
18552:i
18546:(
18534:2
18505:2
18495:2
18487:4
18481:1
18476:)
18467:(
18458:)
18449:2
18446:(
18441:n
18437:T
18431:n
18427:)
18423:i
18417:(
18414:2
18390:)
18387:x
18384:(
18379:n
18375:J
18353:)
18351:x
18349:(
18347:0
18344:J
18322:2
18311:1
18305:)
18300:2
18292:(
18281:2
18252:2
18241:1
18235:)
18230:2
18222:(
18202:2
18173:2
18163:2
18155:4
18149:1
18144:)
18135:(
18125:2
18101:)
18098:x
18095:(
18090:0
18086:J
18053:)
18050:k
18044:2
18041:+
18038:x
18035:(
18016:=
18013:k
18002:2
17995:=
17986:x
17983:n
17980:i
17976:e
17959:=
17956:n
17916:)
17910:T
17906:k
17900:2
17887:(
17867:=
17864:k
17854:T
17847:2
17822:)
17816:T
17812:k
17806:2
17793:(
17773:=
17770:k
17760:T
17753:2
17728:)
17722:T
17719:k
17707:(
17687:=
17684:k
17674:T
17671:1
17648:)
17645:T
17642:n
17636:x
17633:(
17614:=
17611:n
17585:)
17583:x
17581:(
17579:u
17561:)
17557:)
17551:(
17545:+
17533:i
17529:1
17523:(
17497:)
17493:)
17487:(
17481:+
17469:i
17465:1
17459:(
17452:2
17424:)
17420:)
17414:(
17408:+
17396:i
17392:1
17386:(
17380:2
17377:1
17354:)
17351:x
17348:(
17345:u
17306:i
17302:2
17273:i
17269:1
17258:2
17225:i
17221:1
17198:)
17195:x
17192:(
17153:|
17145:|
17136:2
17108:|
17100:|
17095:1
17068:|
17060:|
17055:1
17028:|
17024:x
17020:|
17015:1
16991:α
16983:x
16973:x
16968:α
16960:x
16951:α
16943:α
16936:α
16913:1
16910:+
16902:|
16893:|
16887:)
16884:1
16881:+
16875:(
16868:)
16863:2
16850:(
16840:2
16808:1
16805:+
16797:|
16788:|
16782:)
16779:1
16776:+
16770:(
16763:)
16758:2
16745:(
16725:2
16720:2
16688:1
16685:+
16677:|
16666:2
16662:|
16656:)
16653:1
16650:+
16644:(
16637:)
16632:2
16619:(
16609:2
16575:|
16570:x
16566:|
16538:|
16534:x
16530:|
16515:n
16511:x
16507:d
16501:n
16497:d
16488:!
16485:)
16482:1
16476:n
16473:(
16466:1
16460:n
16456:)
16452:1
16446:(
16423:x
16419:/
16416:1
16397:)
16391:(
16379:!
16376:)
16373:1
16367:n
16364:(
16357:1
16351:n
16347:)
16340:i
16334:(
16325:i
16301:)
16295:(
16283:!
16280:)
16277:1
16271:n
16268:(
16261:1
16255:n
16251:)
16244:i
16238:(
16228:2
16219:i
16195:)
16189:(
16177:!
16174:)
16171:1
16165:n
16162:(
16155:1
16149:n
16145:)
16135:2
16132:i
16126:(
16117:i
16088:|
16084:x
16080:|
16065:n
16061:x
16057:d
16051:n
16047:d
16038:!
16035:)
16032:1
16026:n
16023:(
16016:1
16010:n
16006:)
16002:1
15996:(
15976:n
15972:x
15968:1
15927:x
15923:/
15920:1
15908:)
15906:ξ
15888:)
15882:(
15870:i
15846:)
15840:(
15828:2
15819:i
15795:)
15789:(
15777:i
15751:x
15748:1
15729:n
15725:)
15723:ξ
15721:(
15719:δ
15700:n
15696:)
15689:i
15686:(
15659:2
15652:n
15648:)
15641:i
15638:(
15612:n
15608:)
15598:2
15595:i
15592:(
15571:)
15568:x
15565:(
15560:)
15557:n
15554:(
15528:n
15524:)
15522:ξ
15520:(
15518:δ
15509:n
15493:)
15487:(
15482:)
15479:n
15476:(
15466:n
15462:i
15455:2
15434:)
15428:(
15423:)
15420:n
15417:(
15404:2
15397:n
15393:i
15371:)
15365:(
15360:)
15357:n
15354:(
15344:n
15339:)
15330:2
15326:i
15321:(
15295:n
15291:x
15230:4
15224:2
15214:i
15210:e
15202:4
15194:i
15187:e
15175:1
15141:4
15135:2
15125:i
15121:e
15113:4
15105:i
15098:e
15084:2
15080:1
15047:2
15033:i
15029:e
15021:4
15013:i
15006:e
14994:1
14966:2
14962:x
14955:i
14945:e
14918:.
14912:i
14909:2
14900:2
14896:x
14892:a
14889:i
14882:e
14871:2
14867:x
14863:a
14860:i
14856:e
14849:=
14846:)
14841:2
14837:x
14833:a
14830:(
14800:)
14794:4
14780:a
14777:4
14771:2
14760:(
14747:a
14716:)
14710:4
14696:a
14693:4
14687:2
14676:(
14663:a
14660:2
14655:1
14627:)
14621:4
14608:a
14602:2
14592:2
14580:(
14567:a
14536:)
14530:2
14526:x
14522:a
14518:(
14485:.
14480:2
14472:2
14468:x
14464:a
14461:i
14454:e
14450:+
14443:2
14439:x
14435:a
14432:i
14428:e
14421:=
14418:)
14413:2
14409:x
14405:a
14402:(
14372:)
14366:4
14352:a
14349:4
14343:2
14332:(
14319:a
14291:)
14285:4
14271:a
14268:4
14262:2
14251:(
14238:a
14235:2
14231:1
14207:)
14201:4
14188:a
14182:2
14172:2
14160:(
14147:a
14119:)
14113:2
14109:x
14105:a
14101:(
14068:.
14062:i
14059:2
14052:x
14049:a
14046:i
14039:e
14030:x
14027:a
14024:i
14020:e
14013:=
14010:)
14007:x
14004:a
14001:(
13970:)
13965:)
13962:a
13959:+
13953:(
13944:)
13941:a
13932:(
13924:(
13916:i
13889:i
13886:2
13881:)
13878:a
13875:+
13869:(
13860:)
13857:a
13848:(
13833:2
13807:i
13804:2
13798:)
13788:2
13784:a
13779:+
13772:(
13761:)
13751:2
13747:a
13735:(
13707:)
13704:x
13701:a
13698:(
13666:.
13661:2
13655:x
13652:a
13649:i
13642:e
13638:+
13633:x
13630:a
13627:i
13623:e
13616:=
13613:)
13610:x
13607:a
13604:(
13589::
13570:)
13566:)
13563:a
13560:+
13554:(
13548:+
13545:)
13542:a
13533:(
13526:(
13499:2
13495:)
13492:a
13489:+
13483:(
13477:+
13474:)
13471:a
13462:(
13447:2
13422:2
13417:)
13407:2
13403:a
13398:+
13391:(
13384:+
13380:)
13370:2
13366:a
13354:(
13326:)
13323:x
13320:a
13317:(
13282:)
13279:a
13270:(
13261:2
13240:)
13237:a
13228:(
13216:2
13192:)
13182:2
13178:a
13166:(
13139:x
13136:a
13133:i
13129:e
13099:1
13071:2
13067:1
13044:1
13022:)
13019:x
13016:(
12992:)
12990:ξ
12988:(
12986:δ
12969:)
12963:(
12954:2
12933:)
12927:(
12915:2
12892:)
12886:(
12862:1
12829:x
12826:d
12820:x
12814:i
12807:e
12803:)
12800:x
12797:(
12794:f
12773:=
12763:)
12757:(
12752:3
12742:f
12732:)
12726:(
12717:f
12684:x
12681:d
12675:x
12669:i
12662:e
12658:)
12655:x
12652:(
12649:f
12622:2
12618:1
12613:=
12603:)
12597:(
12592:2
12582:f
12572:)
12566:(
12557:f
12524:x
12521:d
12515:x
12506:2
12503:i
12496:e
12492:)
12489:x
12486:(
12483:f
12462:=
12452:)
12446:(
12441:1
12431:f
12421:)
12415:(
12406:f
12376:)
12373:x
12370:(
12367:f
12315:n
12300:a
12291:n
12285:n
12283:H
12266:)
12261:a
12253:(
12247:n
12243:H
12232:2
12228:a
12224:2
12218:2
12204:e
12198:a
12189:2
12182:n
12178:)
12174:i
12168:(
12143:)
12138:a
12130:(
12124:n
12120:H
12109:2
12105:a
12101:2
12095:2
12081:e
12075:a
12069:n
12065:)
12061:i
12055:(
12030:)
12025:a
12015:2
12009:(
12003:n
11999:H
11989:2
11985:a
11978:2
11968:2
11960:2
11950:e
11944:a
11938:n
11934:)
11930:i
11924:(
11916:2
11889:)
11886:x
11883:a
11880:(
11875:n
11871:H
11863:2
11857:2
11853:x
11847:2
11843:a
11832:e
11798:)
11788:a
11785:2
11775:(
11763:a
11736:)
11726:a
11723:2
11713:(
11700:2
11689:a
11686:1
11662:)
11653:a
11648:2
11637:(
11625:a
11598:)
11595:x
11592:a
11589:(
11556:a
11533:2
11525:+
11520:2
11516:a
11510:a
11507:2
11478:2
11470:+
11465:2
11461:a
11456:a
11444:2
11415:2
11405:2
11397:4
11394:+
11389:2
11385:a
11379:a
11376:2
11348:|
11344:x
11340:|
11336:a
11329:e
11309:α
11303:α
11298:e
11270:4
11264:2
11250:e
11207:4
11201:2
11187:e
11176:2
11172:1
11139:2
11135:)
11125:(
11115:e
11075:2
11071:x
11060:e
11040:a
11031:)
11029:x
11027:(
11025:u
11002:i
10999:+
10996:a
10992:1
10966:)
10960:i
10957:+
10954:a
10951:(
10943:2
10937:1
10905:2
10902:i
10899:+
10896:a
10892:1
10868:)
10865:x
10862:(
10859:u
10854:x
10851:a
10844:e
10813:)
10807:a
10801:2
10792:(
10783:2
10770:|
10766:a
10762:|
10757:1
10733:)
10727:a
10721:2
10712:(
10703:2
10689:2
10685:a
10678:2
10674:1
10649:)
10644:a
10636:(
10627:2
10614:|
10610:a
10606:|
10601:1
10578:)
10575:x
10572:a
10569:(
10543:)
10541:x
10522:)
10516:a
10510:2
10501:(
10486:|
10482:a
10478:|
10473:1
10449:)
10443:a
10437:2
10428:(
10412:2
10408:a
10401:2
10397:1
10373:)
10368:a
10360:(
10345:|
10341:a
10337:|
10332:1
10309:)
10306:x
10303:a
10300:(
10292:2
10266:x
10264:π
10261:/
10258:)
10256:x
10247:x
10208:)
10202:a
10196:2
10187:(
10172:|
10168:a
10164:|
10159:1
10135:)
10129:a
10123:2
10114:(
10098:2
10094:a
10087:2
10083:1
10058:)
10053:a
10045:(
10030:|
10026:a
10022:|
10017:1
9993:)
9990:x
9987:a
9984:(
9957:x
9955:π
9952:/
9949:)
9947:x
9938:x
9908:)
9902:a
9896:2
9887:(
9872:|
9868:a
9864:|
9859:1
9835:)
9829:a
9823:2
9814:(
9798:2
9794:a
9787:2
9783:1
9759:)
9754:a
9746:(
9731:|
9727:a
9723:|
9718:1
9694:)
9691:x
9688:a
9685:(
9646:x
9643:d
9637:x
9631:i
9624:e
9620:)
9617:x
9614:(
9611:f
9590:=
9580:)
9574:(
9569:3
9559:f
9549:)
9543:(
9534:f
9501:x
9498:d
9492:x
9486:i
9479:e
9475:)
9472:x
9469:(
9466:f
9439:2
9435:1
9430:=
9420:)
9414:(
9409:2
9399:f
9389:)
9383:(
9374:f
9341:x
9338:d
9332:x
9323:2
9320:i
9313:e
9309:)
9306:x
9303:(
9300:f
9279:=
9269:)
9263:(
9258:1
9248:f
9238:)
9232:(
9223:f
9193:)
9190:x
9187:(
9184:f
9125:.
9119:i
9116:2
9109:x
9106:a
9103:i
9096:e
9087:x
9084:a
9081:i
9077:e
9070:=
9067:)
9064:x
9061:a
9058:(
9043::
9022:i
9019:2
9014:)
9011:a
9008:+
9002:(
8993:f
8984:)
8981:a
8972:(
8963:f
8933:i
8930:2
8925:)
8922:a
8919:+
8913:(
8904:f
8895:)
8892:a
8883:(
8874:f
8844:i
8841:2
8835:)
8825:2
8821:a
8816:+
8809:(
8799:f
8789:)
8779:2
8775:a
8763:(
8753:f
8726:)
8723:x
8720:a
8717:(
8708:)
8705:x
8702:(
8699:f
8673:.
8668:2
8662:x
8659:a
8656:i
8649:e
8645:+
8640:x
8637:a
8634:i
8630:e
8623:=
8620:)
8617:x
8614:a
8611:(
8596::
8576:2
8572:)
8569:a
8566:+
8560:(
8551:f
8545:+
8542:)
8539:a
8530:(
8521:f
8491:2
8487:)
8484:a
8481:+
8475:(
8466:f
8460:+
8457:)
8454:a
8445:(
8436:f
8407:2
8402:)
8392:2
8388:a
8383:+
8376:(
8366:f
8360:+
8356:)
8346:2
8342:a
8330:(
8320:f
8293:)
8290:x
8287:a
8284:(
8275:)
8272:x
8269:(
8266:f
8228:)
8219:(
8210:f
8177:)
8168:(
8159:f
8126:)
8117:(
8108:f
8075:)
8072:x
8069:(
8066:f
8040:z
8016:)
8010:(
8001:f
7989:=
7986:)
7977:(
7968:f
7937:)
7931:(
7922:f
7910:=
7907:)
7898:(
7889:f
7858:)
7852:(
7843:f
7831:=
7828:)
7819:(
7810:f
7795:)
7793:x
7791:(
7789:f
7770:z
7745:)
7739:(
7730:f
7721:=
7718:)
7709:(
7700:f
7669:)
7663:(
7654:f
7645:=
7642:)
7633:(
7624:f
7593:)
7587:(
7578:f
7569:=
7566:)
7557:(
7548:f
7533:)
7531:x
7529:(
7527:f
7501:)
7495:(
7491:)
7481:g
7466:f
7459:(
7449:2
7445:1
7421:)
7415:(
7411:)
7401:g
7386:f
7379:(
7369:2
7365:1
7341:)
7335:(
7331:)
7321:g
7306:f
7299:(
7276:)
7273:x
7270:(
7267:g
7264:)
7261:x
7258:(
7255:f
7235:g
7231:f
7222:g
7218:f
7200:)
7194:(
7185:g
7179:)
7173:(
7164:f
7139:)
7133:(
7124:g
7118:)
7112:(
7103:f
7089:2
7065:)
7059:(
7050:g
7044:)
7038:(
7029:f
7004:)
7001:x
6998:(
6995:)
6992:g
6986:f
6983:(
6949:n
6941:d
6936:)
6930:(
6921:f
6913:n
6909:d
6900:n
6896:i
6869:n
6861:d
6856:)
6850:(
6841:f
6833:n
6829:d
6820:n
6816:i
6788:n
6780:d
6775:)
6769:(
6760:f
6752:n
6748:d
6739:n
6734:)
6725:2
6721:i
6716:(
6692:)
6689:x
6686:(
6683:f
6678:n
6674:x
6647:0
6644:=
6641:x
6638:d
6634:)
6631:C
6625:)
6622:x
6619:(
6616:f
6613:(
6575:)
6572:x
6569:(
6566:f
6542:C
6496:)
6490:(
6484:C
6478:2
6475:+
6466:i
6461:)
6455:(
6446:f
6419:)
6413:(
6407:C
6399:2
6394:+
6385:i
6380:)
6374:(
6365:f
6338:)
6332:(
6325:C
6322:+
6310:2
6307:i
6302:)
6296:(
6287:f
6257:d
6254:)
6248:(
6245:f
6240:x
6197:)
6191:(
6182:f
6174:n
6170:)
6163:i
6160:(
6138:)
6132:(
6123:f
6115:n
6111:)
6104:i
6101:(
6079:)
6073:(
6064:f
6056:n
6052:)
6042:2
6039:i
6036:(
6009:n
6005:x
6001:d
5996:)
5993:x
5990:(
5987:f
5982:n
5978:d
5957:ω
5953:ξ
5949:x
5932:)
5923:(
5920:f
5914:2
5902:3
5896:F
5878:)
5875:x
5872:(
5861:3
5857:f
5831:)
5822:(
5819:f
5807:2
5801:F
5783:)
5780:x
5777:(
5766:2
5762:f
5736:)
5727:(
5724:f
5712:1
5706:F
5688:)
5685:x
5682:(
5671:1
5667:f
5641:)
5638:x
5635:(
5624:n
5620:f
5586:)
5581:a
5573:(
5563:f
5553:|
5549:a
5545:|
5540:1
5527:)
5523:(
5521:f
5513:a
5492:)
5487:a
5479:(
5469:f
5459:|
5455:a
5451:|
5446:1
5421:)
5416:a
5408:(
5398:f
5388:|
5384:a
5380:|
5375:1
5350:)
5345:a
5337:(
5327:f
5317:|
5313:a
5309:|
5304:1
5280:)
5277:x
5274:a
5271:(
5268:f
5238:)
5235:a
5226:(
5217:f
5192:)
5189:a
5180:(
5171:f
5145:)
5135:2
5131:a
5119:(
5109:f
5082:x
5079:a
5076:i
5072:e
5068:)
5065:x
5062:(
5059:f
5029:)
5023:(
5014:f
5003:a
5000:i
4993:e
4970:)
4964:(
4955:f
4944:a
4941:i
4934:e
4911:)
4905:(
4896:f
4888:a
4879:2
4876:i
4869:e
4846:)
4843:a
4837:x
4834:(
4831:f
4801:)
4795:(
4786:g
4779:b
4776:+
4773:)
4767:(
4758:f
4751:a
4729:)
4723:(
4714:g
4707:b
4704:+
4701:)
4695:(
4686:f
4679:a
4657:)
4651:(
4642:g
4635:b
4632:+
4629:)
4623:(
4614:f
4607:a
4585:)
4582:x
4579:(
4576:g
4572:b
4569:+
4566:)
4563:x
4560:(
4557:f
4553:a
4520:x
4517:d
4511:x
4505:i
4498:e
4494:)
4491:x
4488:(
4485:f
4464:=
4454:)
4448:(
4437:3
4433:f
4423:)
4417:(
4408:f
4375:x
4372:d
4366:x
4360:i
4353:e
4349:)
4346:x
4343:(
4340:f
4313:2
4309:1
4304:=
4294:)
4288:(
4277:2
4273:f
4263:)
4257:(
4248:f
4215:x
4212:d
4206:x
4197:2
4194:i
4187:e
4183:)
4180:x
4177:(
4174:f
4153:=
4143:)
4137:(
4126:1
4122:f
4112:)
4106:(
4097:f
4067:)
4064:x
4061:(
4058:f
3877:L
3869:L
3861:L
3852:L
3703:.
3629:,
3624:O
3621:I
3611:f
3604:i
3601:+
3596:E
3593:I
3583:f
3573:i
3553:)
3546:E
3543:I
3535:f
3528:i
3525:+
3518:O
3515:R
3507:f
3503:(
3474:,
3469:O
3466:R
3456:f
3449:+
3444:E
3441:R
3431:f
3407:)
3400:O
3397:I
3389:f
3382:i
3379:+
3372:E
3369:R
3361:f
3357:(
3328:,
3323:E
3320:I
3310:f
3300:i
3297:+
3292:O
3289:R
3279:f
3249:)
3242:O
3239:I
3231:f
3224:i
3221:+
3214:E
3211:I
3203:f
3196:i
3193:(
3166:.
3161:O
3158:I
3148:f
3138:i
3135:+
3130:E
3127:R
3117:f
3087:)
3080:O
3077:R
3069:f
3065:+
3058:E
3055:R
3047:f
3043:(
2918:)
2915:t
2912:(
2909:y
2883:t
2874:2
2871:i
2867:e
2860:A
2799:d
2793:x
2784:i
2780:e
2776:)
2770:(
2759:3
2755:f
2744:n
2739:R
2724:n
2720:)
2713:2
2710:(
2706:1
2701:=
2694:)
2691:x
2688:(
2685:f
2678:)
2672:(
2661:2
2657:f
2647:2
2644:n
2639:)
2632:2
2629:(
2626:=
2622:)
2613:2
2604:(
2592:1
2588:f
2581:=
2578:x
2575:d
2569:x
2560:i
2553:e
2549:)
2546:x
2543:(
2540:f
2533:n
2528:R
2505:)
2499:(
2488:3
2484:f
2443:d
2437:x
2428:i
2424:e
2420:)
2414:(
2403:2
2399:f
2388:n
2383:R
2367:2
2364:n
2359:)
2352:2
2349:(
2345:1
2340:=
2333:)
2330:x
2327:(
2324:f
2317:)
2311:(
2300:3
2296:f
2283:2
2280:n
2275:)
2268:2
2265:(
2261:1
2256:=
2252:)
2243:2
2234:(
2221:1
2217:f
2204:2
2201:n
2196:)
2189:2
2186:(
2182:1
2177:=
2174:x
2171:d
2165:x
2156:i
2149:e
2145:)
2142:x
2139:(
2136:f
2129:n
2124:R
2108:2
2105:n
2100:)
2093:2
2090:(
2086:1
2068:)
2062:(
2051:2
2047:f
2024:ω
1999:d
1993:x
1981:2
1978:i
1974:e
1970:)
1964:(
1953:1
1949:f
1938:n
1933:R
1923:=
1916:)
1913:x
1910:(
1907:f
1900:)
1891:2
1888:(
1877:3
1873:f
1866:=
1863:)
1854:2
1851:(
1840:2
1836:f
1826:2
1823:n
1818:)
1811:2
1808:(
1805:=
1802:x
1799:d
1793:x
1781:2
1778:i
1771:e
1767:)
1764:x
1761:(
1758:f
1751:n
1746:R
1723:)
1717:(
1706:1
1702:f
1679:ξ
1669:n
1641:d
1635:x
1629:i
1625:e
1620:)
1614:(
1603:3
1599:f
1568:2
1564:1
1559:=
1552:)
1549:x
1546:(
1543:f
1536:)
1530:(
1519:2
1515:f
1497:2
1492:=
1488:)
1479:2
1470:(
1458:1
1454:f
1447:=
1444:x
1441:d
1435:x
1429:i
1422:e
1417:)
1414:x
1411:(
1408:f
1374:)
1368:(
1357:3
1353:f
1312:d
1306:x
1300:i
1296:e
1291:)
1285:(
1274:2
1270:f
1236:2
1232:1
1227:=
1220:)
1217:x
1214:(
1211:f
1204:)
1198:(
1187:3
1183:f
1164:2
1160:1
1155:=
1151:)
1142:2
1133:(
1120:1
1116:f
1097:2
1093:1
1088:=
1085:x
1082:d
1076:x
1070:i
1063:e
1058:)
1055:x
1052:(
1049:f
1019:2
1015:1
997:)
991:(
980:2
976:f
953:ω
928:d
919:x
913:2
910:i
906:e
901:)
895:(
884:1
880:f
855:=
848:)
845:x
842:(
839:f
832:)
823:2
820:(
809:3
805:f
798:=
795:)
786:2
783:(
772:2
768:f
750:2
745:=
742:x
739:d
733:x
724:2
721:i
714:e
709:)
706:x
703:(
700:f
666:)
660:(
649:1
645:f
622:ξ
610:)
587:)
583:(
565:)
561:(
538:)
536:ω
534:(
532:ĝ
519:)
517:ω
515:(
513:ĝ
508:)
506:t
504:(
502:g
497:)
495:ω
493:(
486:)
484:t
482:(
480:f
419:t
369:t
344:)
338:(
329:g
301:)
298:t
295:(
292:g
267:)
261:(
252:f
224:)
221:t
218:(
215:f
189:.
187:θ
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
.gif){kind=spacer}
