2359:
1940:
2354:{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}
3735:
1073:
3381:
1832:
3510:
2573:
845:
3165:
1263:
1608:
428:
1429:
1619:
3730:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}
3146:
2803:
5433:
2921:
1068:{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}
2374:
3376:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}
5568:
4193:
1098:
4517:
5283:
3489:
1440:
3956:
3842:
202:
4837:
4733:
4625:
232:
4403:
1827:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}
1288:
820:
5041:
4939:
5139:
4301:
4056:
3010:
2673:
610:
3515:
1945:
5312:
2568:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}
2822:
850:
124:
701:. This already gives some information, since the infinite product, to converge, must give a non-zero value; hence the function given by the infinite series is not zero in such a half-plane.
688:
4526:
40:
5463:
4085:
1258:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}
4948:
3851:
757:
4433:
5168:
5291:
3406:
1603:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}
5147:
4741:
3743:
3879:
3765:
4846:
4202:
423:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }
135:
4762:
1424:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
4655:
4547:
4328:
765:
4969:
4867:
5070:
4230:
3985:
5629:(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
3141:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }
2798:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}
5446:
5295:
5151:
5053:
4952:
4850:
4745:
4638:
4530:
4416:
4311:
4213:
4068:
3968:
3862:
3753:
3964:
5782:
531:
5428:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...}
2916:{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(x-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}}
5646:
73:
5706:
5689:
5600:
5745:
652:
5814:
5804:
5442:
5809:
5755:
3498:
5563:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...}
4064:
4188:{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...}
642:
In practice all the important cases are such that the infinite series and infinite product expansions are
5750:
4412:
3394:
5819:
4634:
5669:(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
2816:
from the product. In his notebooks, Ramanujan generalized the Euler product for the zeta function as
708:
it is typical to have Euler products with quadratic polynomials in the denominator here. The general
4512:{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...}
1862:, then for even exponents, this infinite product evaluates to a rational number. For example, since
5278:{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...}
2999:
740:
64:
3156:
2992:
503:
47:. This series and its continuation to the entire complex plane would later become known as the
5590:
5049:
826:
717:
643:
616:
48:
5786:
5656:
3484:{\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...}
3155:
using the (unique) Dirichlet character modulo 4, and converted to an Euler product of
709:
5664:
3386:
where each numerator is a prime number and each denominator is the nearest multiple of 4.
8:
2598:
631:
434:
5736:
1079:
3951:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...}
3837:{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...}
1269:
5763:
5702:
5685:
5642:
5596:
5660:
3152:
522:
32:
28:
5766:
5652:
5634:
698:
197:{\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.}
44:
4832:{\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...}
5798:
2948:
712:
includes a comparable explanation of the connection of polynomials of degree
20:
5641:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
4728:{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...}
4620:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...}
4398:{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...}
815:{\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.}
705:
36:
5036:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...}
4934:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...}
5677:
5134:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...}
4296:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...}
4051:{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...}
5732:
5673:
694:
5728:
5771:
2365:
441:
Euler product expansion is a necessary and sufficient condition that
5620:
2660:
605:{\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}
5450:
5299:
5155:
5057:
4956:
4854:
4749:
4642:
4534:
4420:
4315:
4217:
4072:
3972:
3866:
3748:
41:
the sum of all positive integers raised to a certain power
3159:(fractions where numerator and denominator differ by 1):
2368:. This family of infinite products is also equivalent to
5761:
5713:
Some number theoretical constants: 1000-digit values"
5592:
The Legacy of
Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute
5466:
5315:
5171:
5073:
4972:
4870:
4765:
4658:
4550:
4436:
4331:
4233:
4088:
3988:
3882:
3768:
3513:
3409:
3168:
3013:
2825:
2676:
2377:
1943:
1622:
1443:
1291:
1101:
848:
768:
743:
655:
534:
235:
138:
76:
5627:
Princeton
University Press (1954) L.C. Card 53-6388
1268:
Using their reciprocals, two Euler products for the
5562:
5427:
5277:
5133:
5035:
4933:
4831:
4727:
4619:
4511:
4397:
4295:
4187:
4050:
3950:
3836:
3729:
3483:
3389:Other Euler products for known constants include:
3375:
3140:
2915:
2797:
2567:
2353:
1826:
1602:
1423:
1257:
1067:
814:
751:
682:
604:
422:
196:
118:
839:, also using the sum of the geometric series, is
5796:
5737:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
119:{\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\,}
16:Infinite products of functions indexed by primes
2589:counts the number of distinct prime factors of
207:where the product is taken over prime numbers
5625:Induction and Analogy in Mathematics Volume 1
737:The following examples will use the notation
806:
777:
683:{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}
491:An important special case is that in which
2364:and so on, with the first result known by
452:be multiplicative: this says exactly that
39:. The original such product was given for
2840:
2838:
2834:
2808:Here it is convenient to omit the primes
2691:
2689:
2685:
2392:
2390:
2386:
2170:
2168:
2164:
1962:
1960:
1956:
1852:has an analytic expression in terms of a
1722:
1720:
1716:
1637:
1635:
1631:
1458:
1456:
1452:
1306:
1304:
1300:
1116:
1114:
1110:
938:
867:
865:
861:
797:
791:
787:
770:
745:
115:
5780:
5743:
5727:This article incorporates material from
5682:An introduction to the theory of numbers
433:In fact, if we consider these as formal
5633:
5588:
5797:
5639:Introduction to analytic number theory
2615:is a Dirichlet character of conductor
5762:
478:factors as the product of the powers
5697:George E. Andrews, Bruce C. Berndt,
5693:(Chapter 17 gives further examples.)
3395:Hardy–Littlewood twin prime constant
2986:
1613:Taking the ratio of these two gives
759:for the set of all primes, that is:
5783:"Some number-theoretical constants"
3653:
3646:
3550:
3543:
3269:
3262:
3209:
3202:
13:
3043:
2759:
2479:
1516:
1364:
1181:
1021:
965:
825:The Euler product attached to the
252:
14:
5831:
5719:
5699:Ramanujan's Lost Notebook: Part I
5595:, World Scientific, p. 214,
4527:quadratic class number constant
2995:have Euler product expansions.
167:
5735:, which is licensed under the
5582:
5443:Heath-Brown and Moroz constant
5232:
5220:
4708:
4696:
4600:
4588:
4276:
4264:
4176:
4170:
4131:
4119:
4031:
4019:
3657:
3647:
3554:
3544:
3273:
3263:
3213:
3203:
3061:
3051:
2907:
2901:
2776:
2770:
2721:
2715:
2623:is totally multiplicative and
2556:
2547:
2533:
2526:
2500:
2494:
2321:
2315:
2301:
2294:
2126:
2120:
2106:
2099:
1815:
1806:
1792:
1785:
1591:
1582:
1574:
1568:
1542:
1538:
1532:
1525:
1415:
1409:
1381:
1375:
1246:
1240:
1232:
1223:
1198:
1192:
1055:
1049:
793:
668:
662:
637:
580:
574:
550:
538:
395:
382:
354:
341:
316:
310:
276:
263:
185:
179:
164:
152:
99:
93:
1:
5613:
54:
5781:Niklasch, G. (23 Aug 2002).
752:{\displaystyle \mathbb {P} }
67:, then the Dirichlet series
7:
5751:Encyclopedia of Mathematics
732:
10:
5836:
5589:Debnath, Lokenath (2010),
4949:strongly carefree constant
4635:totient summatory constant
3852:strongly carefree constant
2958:the product above is just
1841:the Riemann zeta function
437:, the existence of such a
5684:, 5th ed., Oxford (1979)
4065:Landau's totient constant
3499:Landau–Ramanujan constant
1837:Since for even values of
630:, and more generally for
5744:Stepanov, S.A. (2001) ,
5575:
3151:can be interpreted as a
4413:Feller–Tornier constant
2812:dividing the conductor
693:that is, in some right
615:as is the case for the
65:multiplicative function
5815:Mathematical constants
5805:Analytic number theory
5564:
5429:
5279:
5135:
5037:
4935:
4833:
4729:
4621:
4513:
4399:
4297:
4189:
4052:
3952:
3838:
3731:
3485:
3377:
3157:superparticular ratios
3142:
3047:
2917:
2799:
2763:
2569:
2483:
2355:
1828:
1604:
1520:
1425:
1368:
1259:
1185:
1069:
1025:
969:
816:
753:
684:
606:
504:totally multiplicative
463:is the product of the
424:
256:
198:
120:
5565:
5430:
5280:
5136:
5038:
4936:
4834:
4730:
4622:
4514:
4400:
4298:
4190:
4053:
3953:
3839:
3732:
3486:
3378:
3143:
3027:
2918:
2800:
2743:
2570:
2463:
2356:
1829:
1605:
1500:
1426:
1348:
1260:
1165:
1070:
1005:
949:
827:Riemann zeta function
817:
754:
718:representation theory
685:
644:absolutely convergent
617:Riemann zeta function
607:
425:
236:
199:
121:
49:Riemann zeta function
27:is an expansion of a
5810:Zeta and L-functions
5464:
5313:
5292:Taniguchi's constant
5169:
5071:
4970:
4868:
4763:
4656:
4548:
4434:
4329:
4231:
4086:
3986:
3880:
3766:
3511:
3407:
3166:
3011:
3000:Leibniz formula for
2823:
2674:
2375:
1941:
1620:
1441:
1289:
1099:
846:
766:
741:
710:Langlands philosophy
653:
632:Dirichlet characters
532:
435:generating functions
233:
136:
74:
5701:, Springer (2005),
4309:and its reciprocal
484:of distinct primes
5764:Weisstein, Eric W.
5560:
5476:
5425:
5325:
5275:
5181:
5131:
5083:
5050:Stephens' constant
5033:
4982:
4931:
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