1299:
1275:
1251:
1231:
3813:
4057:
3083:
3511:
1176:
3869:
2855:
614:
4223:
2595:
2343:
1728:
2750:
3808:{\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}
990:
872:
2116:
4052:{\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}
711:
1005:
3078:{\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}
522:
4068:
2426:
1840:
3861:
2194:
1580:
2614:
258:
3335:
3151:
2385:
3382:
2848:
1393:
3212:
3260:
331:
1922:
4256:
3286:
883:
495:
3499:
3454:
1572:
1521:
1215:
4577:
4303:
2418:
4339:
1977:
2028:
180:
2149:
1442:
770:
3408:
2809:
2783:
1757:
4368:
2186:
4370:
in so much as the dominant leading term in the previous formulas predicts a negative bias in the values of these functions over the positive natural numbers
2035:
1171:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}
628:
609:{\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
4218:{\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}
2590:{\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}
1402:
343:
2338:{\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}
1768:
3821:
1723:{\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}
2745:{\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}
1290: = 2 × 10. The green spike shows the function itself (not its negative) in the narrow region where the
186:
3298:
1880:) takes negative values infinitely often. A confirmation of this positivity conjecture would have led to a proof of the
3091:
2351:
4654:
3348:
2814:
1333:
1246: = 10. The readily visible oscillations are due to the first non-trivial zero of the Riemann zeta function.
59:
3156:
3217:
276:
4258:. These exact analytic formula expansions again share similar properties to those corresponding to the weighted
4638:
1899:
1896:
More generally, we can consider the weighted summatory functions over the
Liouville function defined for any
985:{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
4235:
3265:
453:
4633:
3459:
3413:
1526:
4628:
619:
1500:
1184:
4265:
2390:
4308:
1931:
564:
1982:
147:
2124:
867:{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}
353:
1412:
2348:
Moreover, these functions satisfy similar bounding asymptotic relations. For example, whenever
3387:
3338:
2788:
1218:
761:
2762:
1736:
4600:
4563:
4520:
130:
4528:
4344:
2162:
8:
4486:
2601:
36:
1320:
1291:
4612:
4444:
3292:
1881:
509:
4554:
4537:
400:
4609:
4508:
1452: = 906150257, found by Minoru Tanaka in 1980. It has since been shown that
717:
365:
4433:"The distribution of weighted sums of the Liouville function and Pólyaʼs conjecture"
4586:
4549:
4524:
4500:
4454:
4404:
4259:
2756:
2605:
2156:
2152:
1448: > 1. The answer turns out to be no. The smallest counter-example is
1294:
fails; the blue curve shows the oscillatory contribution of the first
Riemann zero.
1267:
757:
513:
32:
4409:
4392:
2111:{\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}
4596:
4559:
4516:
1324:
1885:
1865:
996:
706:{\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}
4504:
4459:
4432:
4648:
4591:
4572:
4512:
736:, the characteristic function of the squarefree integers. We also have that
48:
4491:
3342:
2159:. In fact, we have that the so-termed non-weighted, or ordinary function
4573:"A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function"
1523:, assuming the Riemann hypothesis, we have that the summatory function
432:
1278:
Logarithmic graph of the negative of the summatory
Liouville function
4617:
1298:
720:
of
Liouville function is the absolute value of the Möbius function,
4449:
1864:(this conjecture is occasionally–though incorrectly–attributed to
501:
63:
4473:
Pólya, G. (1919). "Verschiedene
Bemerkungen zur Zahlentheorie".
1274:
1250:
3295:(RH) is true and that all of the non-trivial zeros, denoted by
1224:
69:
can be represented uniquely as a product of powers of primes:
4426:
4424:
4422:
4420:
1835:{\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}
1230:
4607:
3856:{\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }
1397:
602:
338:
4417:
4390:
1473:, while it can also be shown via the same methods that
4391:
Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, M. J. (2008).
4347:
4311:
4268:
4238:
4071:
3872:
3824:
3514:
3462:
3416:
3390:
3351:
3301:
3268:
3220:
3159:
3094:
2858:
2817:
2791:
2765:
2617:
2429:
2393:
2354:
2197:
2165:
2127:
2038:
1985:
1934:
1902:
1771:
1739:
1583:
1529:
1503:
1415:
1336:
1187:
1008:
886:
773:
631:
525:
456:
279:
253:{\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}.}
189:
150:
4475:
Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung
3330:{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }
4362:
4333:
4297:
4250:
4217:
4051:
3855:
3807:
3493:
3448:
3402:
3376:
3329:
3280:
3254:
3206:
3145:
3077:
2842:
2803:
2777:
2744:
2589:
2412:
2379:
2337:
2180:
2143:
2110:
2022:
1971:
1916:
1834:
1751:
1722:
1566:
1515:
1436:
1387:
1209:
1170:
984:
866:
705:
608:
489:
325:
252:
174:
55:if it is the product of an odd number of primes.
3153:, and with the remainder terms defined such that
2151:-weighted summatory functions are related to the
4646:
4393:"Sign Changes in Sums of the Liouville Function"
3146:{\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}
2387:, we see that there exists an absolute constant
2380:{\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}
4489:(1958). "A disproof of a conjecture of Pólya".
3377:{\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}
2843:{\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}
1388:{\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}
3207:{\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}
3255:{\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}
760:for the Liouville function is related to the
326:{\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}
3431:
3417:
4626:
1928:where (as above) we have the special cases
1225:Conjectures on weighted summatory functions
500:The sum of the Liouville function over the
4485:
4305:we have another similarity in the form of
1869:
4590:
4553:
4458:
4448:
4430:
4408:
2155:, or weighted summatory functions of the
1910:
1297:
1273:
1249:
1229:
1917:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
4647:
4570:
4535:
3291:In particular, if we assume that the
1490:for infinitely many positive integers
1469:for infinitely many positive integers
1302:Harmonic Summatory Liouville function
4608:
4472:
3410:there exists an infinite sequence of
2604:, or equivalently by a key (inverse)
1853:) ≥ 0 for sufficiently big
4251:{\displaystyle T\rightarrow \infty }
3281:{\displaystyle T\rightarrow \infty }
1759:is some absolute limiting constant.
490:{\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}
129:is given by the empty product.) The
47:is the product of an even number of
3494:{\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}
3449:{\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}
2755:which then can be inverted via the
1567:{\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}
1266: = 10. Note the apparent
888:
133:count the number of primes, with (
13:
4245:
3966:
3946:
3666:
3275:
2687:
2188:precisely corresponds to the sum
1891:
1845:It was open for some time whether
1095:
1025:
903:
828:
309:
190:
14:
4666:
4555:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5
3818:where for any increasingly small
1924:as follows for positive integers
1516:{\displaystyle \varepsilon >0}
1210:{\displaystyle \vartheta _{3}(q)}
60:fundamental theorem of arithmetic
4298:{\displaystyle \zeta (1/2)<0}
2413:{\displaystyle C_{\alpha }>0}
1868:). This was then disproved by
4384:
4357:
4351:
4334:{\displaystyle L_{\alpha }(x)}
4328:
4322:
4286:
4272:
4242:
4206:
4200:
4147:
4141:
4094:
4082:
4062:and where the remainder term
4034:
4022:
4000:
3994:
3986:
3977:
3889:
3883:
3799:
3793:
3777:
3758:
3742:
3736:
3717:
3705:
3677:
3671:
3656:
3647:
3622:
3614:
3599:
3585:
3579:
3564:
3531:
3525:
3272:
3246:
3243:
3231:
3201:
3185:
3176:
3170:
3140:
3134:
3069:
3057:
3041:
3035:
2990:
2978:
2970:
2952:
2875:
2869:
2711:
2705:
2662:
2650:
2642:
2624:
2554:
2535:
2516:
2503:
2446:
2440:
2329:
2323:
2207:
2201:
2175:
2169:
2089:
2083:
2055:
2049:
2017:
2011:
1995:
1989:
1972:{\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}
1966:
1960:
1944:
1938:
1820:
1814:
1781:
1775:
1658:
1652:
1593:
1587:
1561:
1555:
1539:
1533:
1425:
1419:
1382:
1376:
1346:
1340:
1204:
1198:
1151:
1145:
1042:
1036:
999:for the Liouville function is
953:
947:
920:
914:
845:
839:
803:
797:
789:
780:
663:
641:
635:
553:
547:
535:
481:
475:
466:
460:
318:
312:
305:
295:
289:
283:
199:
193:
160:
154:
1:
4410:10.1090/S0025-5718-08-02036-X
4377:
2023:{\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}
1323:is a question raised made by
1254:Summatory Liouville function
1234:Summatory Liouville function
175:{\displaystyle \omega (n)=k,}
4578:Tokyo Journal of Mathematics
2144:{\displaystyle \alpha ^{-1}}
7:
4634:Encyclopedia of Mathematics
4262:cases. Additionally, since
1481:) < -1.3892783
10:
4671:
4542:Mathematics of Computation
4397:Mathematics of Computation
1460:) > 0.0618672
1437:{\displaystyle L(n)\leq 0}
582: is a perfect square,
270:is defined by the formula
4538:"On Liouville's function"
4505:10.1112/S0025579300001480
4460:10.1016/j.jnt.2012.08.011
4431:Humphries, Peter (2013).
4228:which of course tends to
1409:the problem asks whether
751:
354:completely multiplicative
62:states that any positive
21:Liouville lambda function
4655:Multiplicative functions
4437:Journal of Number Theory
125:are positive integers. (
4571:Tanaka, Minoru (1980).
3403:{\displaystyle x\geq 1}
2804:{\displaystyle T\geq 1}
1762:Define the related sum
622:of this formula yields
510:characteristic function
4592:10.3836/tjm/1270216093
4364:
4335:
4299:
4252:
4219:
4053:
3857:
3809:
3495:
3450:
3404:
3378:
3331:
3282:
3256:
3208:
3147:
3079:
2844:
2805:
2779:
2778:{\displaystyle x>1}
2746:
2591:
2414:
2381:
2339:
2182:
2145:
2112:
2024:
1973:
1918:
1836:
1807:
1753:
1752:{\displaystyle C>0}
1724:
1568:
1517:
1438:
1389:
1372:
1315:
1295:
1271:
1247:
1211:
1172:
1099:
1029:
986:
907:
868:
832:
707:
610:
491:
388:has no prime factors,
327:
254:
176:
4627:A.F. Lavrik (2001) ,
4365:
4336:
4300:
4253:
4220:
4054:
3858:
3810:
3496:
3456:which satisfies that
3451:
3405:
3379:
3339:Riemann zeta function
3332:
3283:
3257:
3209:
3148:
3080:
2845:
2806:
2780:
2747:
2600:By an application of
2592:
2415:
2382:
2340:
2183:
2146:
2113:
2025:
1974:
1919:
1837:
1787:
1754:
1725:
1569:
1518:
1439:
1390:
1352:
1301:
1277:
1253:
1233:
1219:Jacobi theta function
1212:
1173:
1079:
1009:
987:
887:
869:
812:
762:Riemann zeta function
708:
611:
492:
399:It is related to the
328:
255:
177:
131:prime omega functions
4629:"Liouville function"
4613:"Liouville Function"
4487:Haselgrove, C. Brian
4363:{\displaystyle M(x)}
4345:
4309:
4266:
4236:
4069:
3870:
3822:
3512:
3460:
3414:
3388:
3349:
3299:
3266:
3218:
3157:
3092:
2856:
2815:
2789:
2763:
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