27:
10066:
8662:
2018:
9630:
3627:
4791:
8365:
9378:
9709:
10435:
4540:
7168:
9015:
5043:
7725:
8371:
1726:
6948:
5959:
9393:
3400:
4551:
8095:
3304:
3082:
859:
6518:
1262:
10061:{\displaystyle A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left_{\delta },}
9021:
2346:
393:
2508:
10144:
7502:
6641:
4361:
1669:
652:
6959:
2176:
7352:
993:
4119:
8753:
10654:
4826:
5192:
5452:
2937:
8657:{\displaystyle \Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).}
7513:
6126:
2013:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}}
6744:
1396:
242:
1542:
9625:{\displaystyle \left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.}
5762:
3622:{\displaystyle (f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),}
8037:
113:
7918:
4786:{\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),}
4349:
8360:{\displaystyle g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),}
503:
4209:
2809:
10149:
1731:
3734:
3132:
2945:
729:
9373:{\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left=\sum _{r=0}^{s}\left\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},}
6436:
3678:
1116:
3795:
2709:
1438:
1082:
7834:
4800:
not on the unit circle, would be considered a
Lambert series identity. This identity follows in a straightforward fashion from some identities published by the Indian mathematician
3930:
2219:
706:
10430:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}(n)&=\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left\right)\\&=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}}
6736:
6007:. The invertible matrix products on the right-hand-side of the previous equation correspond to inverse matrix products whose lower triangular entries are given in terms of the
3392:
2554:
1674:
The proof of the first identity above follows from a multi-section (or bisection) identity of these
Lambert series generating functions in the following form where we denote
257:
4535:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}}
2389:
8079:
6001:
2845:
7363:
6534:
7163:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},}
1550:
534:
5242:
2631:
2381:
2211:
2053:
1714:
10102:
7229:
3824:
9701:
7765:
2061:
1022:
9669:
7241:
6680:
3993:
3124:
894:
9010:{\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}}
8746:
4241:
4001:
1298:
882:
10136:
8720:
3768:
2735:
2661:
3875:
7200:
3336:
10450:
5038:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},}
8690:
5282:
5262:
3844:
1105:
5051:
7507:
so that as in the first variant of the
Lambert factorization theorem above we obtain an inversion relation for the right-hand-side coefficients of the form
5295:
7720:{\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times \left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).}
2850:
6024:
6943:{\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).}
9387:. We also have the next identity for extracting the individual coefficients of the terms implicit to the previous expansions given in the form of
3394:, the next pairs of functions correspond to other well-known convolutions expressed by their Lambert series generating functions in the forms of
6016:
5954:{\displaystyle L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}
1309:
10973:
Schmidt, Maxie D. (2017). "Factorization
Theorems for Hadamard Products and Higher-Order Derivatives of Lambert Series Generating Functions".
149:
1446:
10878:
Schmidt, Maxie D. (8 December 2017). "New
Recurrence Relations and Matrix Equations for Arithmetic Functions Generated by Lambert Series".
7933:
7840:
33:
10728:
by Merca and
Schmidt (2018) for usage of these two less standard Lambert series for the Moebius function in practical applications.
3947:
in the summations is a historical usage, referring to its origins in the theory of elliptic curves and theta functions, as the
4266:
11047:
11004:
10952:
Schmidt, Maxie D. (2017). "Combinatorial Sums and
Identities Involving Generalized Divisor Functions with Bounded Divisors".
421:
4130:
2744:
3299:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}
3077:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.}
854:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}
6513:{\displaystyle G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil }
3687:
1257:{\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}
10931:
M. Merca & Schmidt, M. D. (2017). "New Factor Pairs for
Factorizations of Lambert Series Generating Functions".
3635:
11133:
10695:
3773:
2666:
1408:
11082:
7773:
10665:
2341:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}
1030:
11143:
3878:
8672:
Derivatives of a
Lambert series can be obtained by differentiation of the series termwise with respect to
388:{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}
11077:
6953:
This work on
Lambert series factorization theorems is extended in to more general expansions of the form
3884:
2503:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}
2024:
660:
509:
7497:{\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),}
6685:
6636:{\displaystyle (q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.}
3341:
2523:
3937:
1664:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.}
647:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}
8045:
6525:
6008:
5967:
5454:
denote the invertible lower triangular sequence whose first few values are shown in the table below.
2814:
11072:
6738:, we have the corresponding inversion relation of the factorization theorem expanded above given by
11109:
Schmidt, Maxie Dion (2020-04-06). "A catalog of interesting and useful Lambert series identities".
2514:
5197:
2600:
2171:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}
1267:
Additional Lambert series related to the previous identity include those for the variants of the
10105:
7347:{\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).}
3088:
2357:
2352:
2187:
2029:
1677:
988:{\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}
525:
136:
10074:
7205:
4114:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}
3800:
9674:
7738:
5756:
Another characteristic form of the Lambert series factorization theorem expansions is given by
2587:
2566:
1001:
9638:
6649:
3962:
3093:
10675:
8725:
4244:
4217:
3681:
2518:
2182:
1274:
867:
399:
10649:{\displaystyle \left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).}
10111:
8695:
3743:
2714:
2636:
11057:
10897:
10822:
3853:
3847:
140:
20:
11065:
7176:
3312:
8:
10670:
8082:
7232:
6004:
10901:
10826:
8085:. Then we have the following recurrence relations for involving these functions and the
2597:
Generally speaking, we can extend the previous generating function expansion by letting
513:
11138:
11110:
11023:
10974:
10953:
10932:
10913:
10887:
10812:
10781:
10721:
10713:
8675:
8086:
6521:
5267:
5247:
5187:{\displaystyle s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=(\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}}
3948:
3829:
1090:
6012:
5447:{\displaystyle s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=(q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}}
1402:
1268:
11091:
11043:
11000:
10917:
10785:
6131:
The next table lists the first several rows of these corresponding inverse matrices.
4816:
A somewhat newer construction recently published over 2017–2018 relates to so-termed
3737:
11014:
Lambert, Preston A. (1904). "Expansions of algebraic functions at singular points".
528:
will be exactly summable when used in a Lambert series. Thus, for example, one has
11094:
11061:
10905:
10830:
10773:
3933:
1108:
720:
709:
10739:
2932:{\displaystyle \lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)}
11053:
9384:
9383:
where the bracketed triangular coefficients in the previous equations denote the
4804:. A very thorough exploration of Ramanujan's works can be found in the works by
4545:
as a Lambert series, assuming that the parameters are suitably restricted. Thus
3087:
We also have a slightly more generalized Lambert series expansion generating the
120:
11035:
6121:{\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}
4248:
2591:
885:
10777:
11127:
10835:
10800:
10764:
Merca, Mircea (13 January 2017). "The Lambert series factorization theorem".
4352:
248:
11042:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
10441:
5194:
is the respective sum or difference of the restricted partition functions
4805:
4801:
10801:"Generating Special Arithmetic Functions by Lambert Series Factorizations"
7735:
Within this section we define the following functions for natural numbers
524:
Since this last sum is a typical number-theoretic sum, almost any natural
10909:
1391:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}
128:
1716:
to be the Lambert series generating function of the arithmetic function
237:{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}
1537:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}=q-2q^{2}}
116:
26:
11027:
11099:
2741:-Liouville lambda function to be the arithmetic function satisfying
11115:
10979:
10958:
10937:
10892:
10817:
10725:
10709:
10717:
7357:
The corresponding inverse matrices in the above expansion satisfy
1107:) the logarithmic derivative of the usual generating function for
10440:
Of course, by a typical argument purely by operations on formal
8032:{\displaystyle s_{n,k}=(q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}
108:{\textstyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}
7913:{\displaystyle \Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).}
10850:
7202:
is any (partition-related) reciprocal generating function,
398:
where the coefficients of the new series are given by the
4214:
as before. Examples of Lambert series in this form, with
4344:{\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})}
11089:
10994:
10798:
7235:, and where the modified coefficients are expanded by
4263:
applied to a wide variety of sums. For example, since
10930:
9837:
9811:
9740:
9513:
9196:
9170:
8902:
8876:
498:{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}
36:
10453:
10147:
10114:
10077:
9712:
9677:
9641:
9396:
9024:
8756:
8728:
8698:
8678:
8374:
8098:
8048:
7936:
7843:
7776:
7741:
7516:
7366:
7244:
7208:
7179:
6962:
6747:
6688:
6652:
6537:
6439:
6027:
5970:
5765:
5298:
5270:
5250:
5200:
5054:
4829:
4554:
4364:
4269:
4220:
4204:{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,}
4133:
4004:
3965:
3887:
3856:
3832:
3826:
which counts the number of distinct prime factors of
3803:
3797:
denotes the characteristic function for the squares,
3776:
3746:
3690:
3638:
3403:
3344:
3315:
3135:
3096:
2948:
2853:
2817:
2804:{\displaystyle \chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)}
2747:
2717:
2669:
2639:
2603:
2526:
2392:
2360:
2222:
2190:
2064:
2032:
1729:
1680:
1553:
1449:
1411:
1312:
1277:
1119:
1093:
1033:
1004:
897:
870:
732:
663:
537:
424:
260:
152:
8692:. We have the following identities for the termwise
3995:one obtains another common form for the series, as
2586:), can be evaluated by various combinations of the
10648:
10429:
10130:
10096:
10060:
9695:
9663:
9624:
9372:
9009:
8740:
8714:
8684:
8656:
8359:
8073:
8031:
7912:
7828:
7759:
7719:
7496:
7346:
7223:
7194:
7162:
6942:
6730:
6674:
6635:
6512:
6120:
5995:
5953:
5446:
5276:
5256:
5236:
5186:
5037:
4785:
4534:
4343:
4235:
4203:
4113:
3987:
3924:
3869:
3838:
3818:
3789:
3762:
3728:
3672:
3621:
3386:
3330:
3298:
3118:
3076:
2931:
2839:
2803:
2729:
2703:
2655:
2625:
2548:
2502:
2375:
2340:
2205:
2170:
2047:
2012:
1708:
1663:
1536:
1432:
1390:
1292:
1256:
1099:
1076:
1016:
987:
876:
853:
700:
646:
497:
387:
236:
107:
9931:
9891:
9882:
9861:
9603:
9569:
9241:
9220:
4636:
11125:
10999:. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. pp. 637–641.
3729:{\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}
3309:In general, if we write the Lambert series over
1405:include the following identities for any prime
10873:
10871:
9385:Stirling numbers of the first and second kinds
4355:function, we may refer to any sum of the form
3673:{\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}
998:is the divisor function. In particular, for
508:This series may be inverted by means of the
10868:
7924:
3790:{\displaystyle \chi _{\operatorname {sq} }}
2704:{\displaystyle n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}}
1433:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}
10138:derivatives of a Lambert series given by
2633:denote the characteristic function of the
11114:
10978:
10957:
10936:
10891:
10834:
10816:
4811:
4745:
4676:
4595:
4484:
4399:
4200:
3338:which generates the arithmetic functions
2691:
2513:with the sum on the right similar to the
2426:
2256:
2098:
1420:
1346:
984:
494:
10855:Online Encyclopedia of Integer Sequences
10108:, then we have the coefficients for the
8722:derivatives of a Lambert series for any
2556:. Note that Lambert series in which the
25:
11108:
11034:
11013:
10972:
10951:
10877:
10799:Merca, M. & Schmidt, M. D. (2019).
7829:{\displaystyle g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),}
7730:
11126:
11040:Introduction to analytic number theory
1077:{\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}
11090:
10992:
10805:Contributions to Discrete Mathematics
10763:
10737:
4818:Lambert series factorization theorems
7923:We also adopt the notation from the
19:For generalized Lambert series, see
6520:denote the sequence of interleaved
3943:The conventional use of the letter
3925:{\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}
3680:is the multiplicative identity for
701:{\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}
13:
9895:
9865:
9573:
9224:
8505:
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5407:
5147:
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4748:
4730:
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4580:
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4487:
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1329:
1221:
1175:
802:
749:
607:
554:
360:
323:
292:
184:
68:
14:
11155:
10720:) and the conclusions section of
6731:{\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}
3954:
3387:{\displaystyle g(m)=(f\ast 1)(m)}
2549:{\displaystyle \vartheta _{3}(q)}
1024:, the Lambert series one gets is
5292:) number of distinct parts. Let
4254:
1401:Related Lambert series over the
10966:
9635:Now if we define the functions
8074:{\displaystyle (q;q)_{\infty }}
5996:{\displaystyle (q;q)_{\infty }}
4243:, occur in expressions for the
2840:{\displaystyle \lambda _{m}(n)}
2711:, for positive natural numbers
10945:
10924:
10843:
10792:
10757:
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2770:
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2036:
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1987:
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1899:
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1756:
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1585:
1576:
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1287:
1281:
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1183:
1150:
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1129:
1123:
1087:which is (up to the factor of
1068:
1062:
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943:
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695:
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680:
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585:
579:
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450:
438:
270:
264:
251:by expanding the denominator:
162:
156:
46:
40:
1:
10681:
2737:and defining the generalized
411:with the constant function 1(
119:plot, using a version of the
6646:Then for any Lambert series
5237:{\displaystyle s_{e/o}(n,k)}
4796:which holds for all complex
4247:for odd integer values; see
2626:{\displaystyle \chi _{m}(n)}
7:
11078:Encyclopedia of Mathematics
10659:
6682:generating the sequence of
6528:is expanded in the form of
5244:which denote the number of
2939:, which in turn shows that
2376:{\displaystyle \lambda (n)}
2206:{\displaystyle \Lambda (n)}
2048:{\displaystyle \varphi (n)}
1709:{\displaystyle L_{f}(q):=q}
519:
10:
11160:
10996:Functions of Number Theory
10993:Berry, Michael V. (2010).
10097:{\displaystyle _{\delta }}
7224:{\displaystyle \gamma (n)}
4259:In the literature we find
3819:{\displaystyle \omega (n)}
708:is the number of positive
18:
10778:10.1007/s11139-016-9856-3
10696:"Jupyter Notebook Viewer"
9696:{\displaystyle n,t\geq 1}
7760:{\displaystyle n,x\geq 1}
6526:pentagonal number theorem
3879:Jordan's totient function
1017:{\displaystyle \alpha =1}
512:, and is an example of a
10836:10.11575/cdm.v14i1.62425
9664:{\displaystyle A_{t}(n)}
6675:{\displaystyle L_{f}(q)}
5264:'s in all partitions of
3988:{\displaystyle q=e^{-z}}
3119:{\displaystyle r_{2}(n)}
2515:Ramanujan theta function
2025:Euler's totient function
721:sum-of-divisor functions
510:Möbius inversion formula
8741:{\displaystyle s\geq 1}
4236:{\displaystyle z=2\pi }
3089:sum of squares function
2588:logarithmic derivatives
2567:trigonometric functions
1293:{\displaystyle \mu (n)}
877:{\displaystyle \alpha }
526:multiplicative function
137:Johann Heinrich Lambert
11134:Analytic number theory
10666:Erdős–Borwein constant
10650:
10431:
10132:
10131:{\displaystyle t^{th}}
10098:
10062:
9697:
9665:
9626:
9374:
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9143:
9117:
9011:
8870:
8849:
8742:
8716:
8715:{\displaystyle s^{th}}
8686:
8658:
8616:
8589:
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7568:
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7225:
7196:
7164:
7088:
6944:
6783:
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6676:
6637:
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6122:
5997:
5955:
5448:
5278:
5258:
5238:
5188:
5039:
4812:Factorization theorems
4787:
4734:
4665:
4584:
4536:
4470:
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4237:
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4115:
4084:
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3989:
3938:Dirichlet convolutions
3926:
3871:
3840:
3820:
3791:
3764:
3763:{\displaystyle k^{th}}
3730:
3682:Dirichlet convolutions
3674:
3623:
3388:
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364:
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296:
238:
188:
124:
109:
72:
21:Appell–Lerch sum
11016:Proc. Am. Philos. Soc
10766:The Ramanujan Journal
10676:Dirichlet convolution
10651:
10432:
10133:
10099:
10063:
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4245:Riemann zeta function
4238:
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3136:
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3079:
2934:
2847:clearly implies that
2842:
2811:. This definition of
2806:
2732:
2706:
2658:
2628:
2551:
2519:Jacobi theta function
2505:
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2183:Von Mangoldt function
2173:
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733:
719:For the higher order
703:
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400:Dirichlet convolution
390:
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29:
10910:10.4064/aa170217-4-8
10451:
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10112:
10106:Iverson's convention
10075:
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7731:Recurrence relations
7514:
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7206:
7195:{\displaystyle C(q)}
7177:
6960:
6745:
6686:
6650:
6535:
6524:, i.e., so that the
6437:
6025:
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