641:
1705:
2164:
269:
2677:
1523:
2520:
1109:
976:
2331:
1851:
2204:
474:
2018:
1993:
1360:
84:
782:
1192:
580:
1268:
2746:
1410:
2531:
1700:{\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}}
1487:
622:
516:
384:
2382:
1904:
303:
1441:
1219:
1136:
2400:
987:
845:
644:
Integers satisfying the sum of two squares theorem are squares of possible distances between integer lattice points; values up to 100 are shown, with
3898:
4120:
4092:
4073:
2238:
1773:
3972:
2159:{\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}
2172:
389:
1916:
264:{\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}
1276:
3990:
Infinite
Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions
1502:
4115:
698:
3872:
1752:
4028:
3997:
1145:
521:
1224:
4110:
3960:
2690:
1722:
2672:{\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}
1369:
669:
1554:
1764:
1450:
585:
479:
347:
2222:
1139:
75:
2351:
1873:
2515:{\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}
2391:
277:
3877:
1444:
1419:
1413:
1197:
1114:
816:
4048:
8:
2342:
1104:{\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }
50:
or in the signs of the numbers being squared are counted as different. It is denoted by
25:
971:{\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}
812:
3917:
4045:
4024:
3993:
3968:
3867:
1767:
and it is eight times the sum of all its divisors which are not divisible by 4, i.e.
1508:
310:
3932:
3913:
2207:
1907:
802:
839:
which are congruent to 3 modulo 4. Using sums, the expression can be written as:
4068:"Sequence A122141 (number of ways of writing n as a sum of d squares)"
4016:
3930:
675:
4104:
982:
640:
43:
17:
4082:
4063:
306:
4087:"Sequence A004018 (Theta series of square lattice, r_2(n))"
4053:
2346:
660:
Non-unique representations (up to rotation and reflection) bolded
47:
29:
4043:
624:
because there is no way to represent 3 as a sum of two squares.
3899:"On the Representation of a Number as the Sum of Three Squares"
2326:{\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}
1846:{\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}
1734:
There exist extensions of Gauss' formula to arbitrary integer
28:
that gives the number of representations for a given positive
3933:"Three-Square Theorem as an Application of Andrews' Identity"
46:, where representations that differ only in the order of the
3931:
S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; D. D. Somashekara (1993).
4086:
4067:
3963:(2007). "5.4 Consequences of the Hasse–Minkowski Theorem".
1693:
3965:
Number Theory Volume I: Tools and
Diophantine Equations
4081:
4062:
2199:{\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}
2181:
2126:
2088:
2693:
2534:
2403:
2354:
2241:
2175:
2021:
1919:
1876:
1776:
1526:
1453:
1422:
1372:
1279:
1227:
1200:
1148:
1117:
990:
848:
701:
588:
524:
482:
469:{\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}
392:
350:
280:
87:
3992:. Springer Science & Business Media. p. 9.
1988:{\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}
1355:{\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }
476:where each sum has two sign combinations, and also
2740:
2671:
2514:
2376:
2325:
2198:
2158:
1987:
1898:
1845:
1699:
1481:
1435:
1404:
1354:
1262:
1213:
1186:
1130:
1103:
970:
776:
616:
574:
510:
468:
378:
297:
263:
4102:
1956:
582:with four sign combinations. On the other hand,
4021:Representations of integers as sums of squares
3896:
2148:
2075:
777:{\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}
1971:
1959:
652:Squares (and thus integer distances) in red
253:
115:
3955:
3953:
3988:Milne, Stephen C. (2002). "Introduction".
2716:
4093:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
4074:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
4015:
2279:
2275:
1831:
1827:
1814:
1810:
1187:{\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}
899:
895:
575:{\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}
286:
171:
3950:
1263:{\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}
639:
2741:{\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}
4103:
2336:
2012:as the sum of six squares is given by
1763:as the sum of four squares was due to
4044:
3987:
3959:
2682:
1870:is an odd integer, one can express
1644:
1637:
1602:
1595:
1405:{\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }
1252:
1173:
917:
910:
13:
4010:
2575:
2570:
2475:
1221:are the prime factors of the form
879:
678:as sum of two squares is given by
14:
4132:
4037:
3918:10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4
2390:can be expressed in terms of the
4121:Integer factorization algorithms
2006:The number of ways to represent
1757:The number of ways to represent
2748:are listed in the table below:
1503:Legendre's three-square theorem
1245:
1166:
3981:
3924:
3890:
2710:
2704:
2550:
2538:
2496:
2490:
2453:
2447:
2420:
2407:
2371:
2365:
2295:
2285:
2258:
2252:
2038:
2032:
1979:
1948:
1936:
1930:
1893:
1887:
1793:
1787:
1677:
1665:
1648:
1638:
1606:
1596:
1572:
1563:
1543:
1537:
1470:
1464:
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1324:
1305:
1296:
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1256:
1246:
1177:
1167:
955:
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921:
911:
865:
859:
771:
768:
762:
746:
740:
727:
718:
712:
674:The number of ways to write a
605:
599:
563:
553:
541:
531:
499:
493:
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434:
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412:
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361:
291:
282:
257:
163:
118:
111:
104:
98:
1:
3883:
833:is the number of divisors of
69:
3873:Jacobi's four-square theorem
1753:Jacobi's four-square theorem
692:. It is given explicitly by
7:
3861:
627:
335:can be written as a sum of
10:
4137:
4083:Sloane, N. J. A.
4064:Sloane, N. J. A.
1750:
1500:
1482:{\displaystyle r_{2}(n)=0}
670:Sum of two squares theorem
667:
656:
648:
617:{\displaystyle r_{2}(3)=0}
511:{\displaystyle r_{2}(2)=4}
379:{\displaystyle r_{2}(1)=4}
4049:"Sum of Squares Function"
4116:Squares in number theory
2687:The first 30 values for
2377:{\displaystyle r_{k}(n)}
2213:
1998:
1899:{\displaystyle r_{4}(n)}
1765:Carl Gustav Jakob Jacobi
1743:
1507:Gauss proved that for a
1493:
632:
22:sum of squares function
3906:Trans. Amer. Math. Soc
3897:P. T. Bateman (1951).
2742:
2673:
2579:
2516:
2479:
2378:
2327:
2200:
2160:
1989:
1900:
1847:
1701:
1483:
1437:
1406:
1356:
1270:gives another formula
1264:
1215:
1188:
1132:
1105:
972:
778:
665:
618:
576:
512:
470:
380:
329:is the number of ways
299:
298:{\displaystyle |\,\ |}
265:
2743:
2674:
2556:
2517:
2459:
2392:Jacobi theta function
2379:
2328:
2221:Jacobi also found an
2201:
2161:
1990:
1901:
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1702:
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1438:
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1216:
1214:{\displaystyle q_{i}}
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1133:
1131:{\displaystyle p_{i}}
1106:
973:
779:
643:
619:
577:
513:
471:
381:
300:
266:
4111:Arithmetic functions
3878:Gauss circle problem
2691:
2532:
2401:
2352:
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2173:
2019:
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4023:. Springer-Verlag.
2446:
2343:generating function
2337:Generating function
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1028:
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228:
210:
26:arithmetic function
4096:. OEIS Foundation.
4077:. OEIS Foundation.
4046:Weisstein, Eric W.
2738:
2669:
2512:
2432:
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313:. In other words,
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3868:Integer partition
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1583:
1509:squarefree number
1416:. If one or more
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2250:
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2208:Kronecker symbol
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1908:divisor function
1906:in terms of the
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1785:
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