4266:
2687:
5994:
5450:
10289:
9990:
5527:
4968:
2567:
12248:
9462:
10552:— means that the Euler method is not often used, except as a simple example of numerical integration. Frequently models of physical systems contain terms representing fast-decaying elements (i.e. with large negative exponential arguments). Even when these are not of interest in the overall solution, the instability they can induce means that an exceptionally small timestep would be required if the Euler method is used.
42:
5989:{\displaystyle {\vec {y}}_{2}={\begin{pmatrix}y_{2}\\y_{2}'\\y_{2}''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}+h\cdot y'_{1}\\y'_{1}+h\cdot y''_{1}\\y''_{1}+h\cdot f\left(t_{1},y_{1},y'_{1},y''_{1}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.5+0.5\cdot 0.5\\0.5+0.5\cdot 4\\4+0.5\cdot \left(\sin {0.5}+(\cos {0.5})\cdot 1.5+0.5^{2}\cdot 0.5-4\cdot 0.5\cdot 4\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.75\\2.5\\0.817\end{pmatrix}}}
11844:
5445:{\displaystyle {\vec {y}}_{1}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}'\\y_{1}''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}+h\cdot y'_{0}\\y'_{0}+h\cdot y''_{0}\\y''_{0}+h\cdot f\left(t_{0},y_{0},y'_{0},y''_{0}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+0.5\cdot -1\\-1+0.5\cdot 3\\3+0.5\cdot \left(\sin {0}+(\cos {0})\cdot 2+0^{2}\cdot (-1)-4\cdot 0\cdot 3\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.5\\0.5\\4\end{pmatrix}}}
4774:
9025:
2123:
9765:
7992:
3798:
2562:{\displaystyle {\vec {y}}_{i+1}={\begin{pmatrix}y_{i+1}\\y'_{i+1}\\\vdots \\y_{i+1}^{(N-1)}\\y_{i+1}^{(N)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{i}+h\cdot y'_{i}\\y'_{i}+h\cdot y''_{i}\\\vdots \\y_{i}^{(N-1)}+h\cdot y_{i}^{(N)}\\y_{i}^{(N)}+h\cdot f\left(t_{i},y_{i},y'_{i},\ldots ,y_{i}^{(N)}\right)\end{pmatrix}}}
4444:
and the Euler approximation. In the bottom of the table, the step size is half the step size in the previous row, and the error is also approximately half the error in the previous row. This suggests that the error is roughly proportional to the step size, at least for fairly small values of the step
4465:
We can extrapolate from the above table that the step size needed to get an answer that is correct to three decimal places is approximately 0.00001, meaning that we need 400,000 steps. This large number of steps entails a high computational cost. For this reason, higher-order methods are employed
793:
The Euler method is a first-order method, which means that the local error (error per step) is proportional to the square of the step size, and the global error (error at a given time) is proportional to the step size. The Euler method often serves as the basis to construct more complex methods,
9466:
9943:
9457:{\displaystyle L={\text{max}}{\bigl (}|{\frac {d}{dy}}{\bigl }|{\bigr )}=\max _{2\leq t\leq 3}{\bigl (}|{\frac {d}{dy}}{\bigl }|{\bigr )}=\max _{2\leq t\leq 3}{\bigl (}|2(t-y)|{\bigr )}=\max _{2\leq t\leq 3}{\bigl (}|2(t-)|{\bigr )}=\max _{2\leq t\leq 3}{\bigl (}|-{\frac {2}{t-1}}|{\bigr )}=2}
4925:
8818:
The precise form of this bound is of little practical importance, as in most cases the bound vastly overestimates the actual error committed by the Euler method. What is important is that it shows that the global truncation error is (approximately) proportional to
6892:
7765:
4487:
7254:
6274:
7405:
8033:, after however many steps the method needs to take to reach that time from the initial time. The global truncation error is the cumulative effect of the local truncation errors committed in each step. The number of steps is easily determined to be
11024:
6728:
3536:
11199:
9772:
7688:
8400:
1058:) is computed. In general, this curve does not diverge too far from the original unknown curve, and the error between the two curves can be made small if the step size is small enough and the interval of computation is finite.
1992:
8764:
10433:
811:
Consider the problem of calculating the shape of an unknown curve which starts at a given point and satisfies a given differential equation. Here, a differential equation can be thought of as a formula by which the
8637:
6443:
9760:{\displaystyle M={\text{max}}{\bigl (}|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\bigl }|{\bigr )}=\max _{2\leq t\leq 3}\left(|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\bigl }|\right)=\max _{2\leq t\leq 3}\left(|{\frac {2}{(-t+1)^{3}}}|\right)=2}
2115:
1259:
10667:. Thus, for extremely small values of the step size the truncation error will be small but the effect of rounding error may be big. Most of the effect of rounding error can be easily avoided if
4492:
3541:
3444:
10787:
7987:{\displaystyle y''(t_{0})={\frac {\partial f}{\partial t}}{\bigl (}t_{0},y(t_{0}){\bigr )}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\bigl (}t_{0},y(t_{0}){\bigr )}\,f{\bigl (}t_{0},y(t_{0}){\bigr )}.}
6743:
4769:{\displaystyle {\begin{aligned}&y'''+4ty''-t^{2}y'-(\cos {t})y=\sin {t}\\&t_{0}=0\\&y_{0}=y(t_{0})=2\\&y'_{0}=y'(t_{0})=-1\\&y''_{0}=y''(t_{0})=3\\&h=0.5\end{aligned}}}
10665:
2899:
1606:
10154:
7072:
3289:
4318:
is smaller. The table below shows the result with different step sizes. The top row corresponds to the example in the previous section, and the second row is illustrated in the figure.
1056:
3203:
4235:
3091:
2637:
8080:
1712:
12006:
11953:
11920:
10259:, then the numerical solution is qualitatively wrong: It oscillates and grows (see the figure). This is what it means to be unstable. If a smaller step size is used, for instance
8948:
8901:
10612:
8538:
2740:
8260:
10873:
1429:
10205:
7757:
6492:
6323:
6030:
5522:
5486:
4963:
3934:
2951:
1377:
1308:
10028:
9979:
9020:
6988:
10632:
10231:
3793:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+hf(y_{1})=2+1\cdot 2=4,\\y_{3}&=y_{2}+hf(y_{2})=4+1\cdot 4=8,\\y_{4}&=y_{3}+hf(y_{3})=8+1\cdot 8=16.\end{aligned}}}
8107:
6584:
10328:
7265:
4187:
7089:
6109:
7571:
4145:
3979:
3012:
2780:
1127:
11043:
10847:
10527:
6572:
4293:
4013:
1802:
1749:
1462:
10469:
2806:
911:
851:
10283:
10080:
8134:
8031:
7478:
6942:
6539:
6101:
3884:
3856:
3528:
3501:
3474:
3126:
2042:
1776:
1663:
1636:
1516:
1489:
1091:
992:
965:
938:
878:
8793:
2669:
10495:
10257:
10054:
4442:
10351:
10810:
10578:
10550:
8988:
8968:
8837:
8813:
8657:
8483:
8463:
8443:
8423:
8197:
8177:
8154:
7711:
7513:
7451:
7428:
6074:
4316:
4255:
3955:
3828:
3352:
3332:
3312:
3226:
3166:
3146:
2971:
2015:
1850:
1830:
1328:
1187:
1167:
1147:
11912:
11266:
8268:
10094:, meaning that the numerical solution grows very large for equations where the exact solution does not. This can be illustrated using the linear equation
10863:
More complicated methods can achieve a higher order (and more accuracy). One possibility is to use more function evaluations. This is illustrated by the
9938:{\displaystyle {\text{error bound}}={\frac {hM}{2L}}\left(e^{L(t_{i}-t_{0})}-1\right)={\frac {0.5\cdot 2}{2\cdot 2}}\left(e^{2(2.5-2)}-1\right)=0.42957}
11554:
Unni, M. P.; Chandra, M. G.; Kumar, A. A. (March 2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing".
4783:
7579:
10359:
8662:
3803:
Due to the repetitive nature of this algorithm, it can be helpful to organize computations in a chart form, as seen below, to avoid making errors.
727:
11903:
1858:
468:
11658:
11596:
8543:
11802:
4237:. Although the approximation of the Euler method was not very precise in this specific case, particularly due to a large value step size
6348:
211:
12274:
12233:
11971:
7491:
A slightly different formulation for the local truncation error can be obtained by using the
Lagrange form for the remainder term in
773:
12098:
10849:
on both sides, so when applying the backward Euler method we have to solve an equation. This makes the implementation more costly.
4462:
of the step size. For this reason, the Euler method is said to be a first-order method, while the midpoint method is second order.
342:
7713:
can be replaced by an expression involving the right-hand side of the differential equation. Indeed, it follows from the equation
6325:. If this is substituted in the Taylor expansion and the quadratic and higher-order terms are ignored, the Euler method arises.
4458:
also illustrated in the figures, behave more favourably: the global error of the midpoint method is roughly proportional to the
12143:
383:
12158:
11818:
11766:
11743:
11715:
11692:
11666:
11637:
11571:
273:
6917:
of the Euler method is the error made in a single step. It is the difference between the numerical solution after one step,
12183:
10638:. Assuming that the rounding errors are independent random variables, the expected total rounding error is proportional to
720:
291:
175:
6887:{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+h}f{\bigl (}t,y(t){\bigr )}\,\mathrm {d} t\approx hf{\bigl (}t_{0},y(t_{0}){\bigr )}.}
12193:
11896:
6328:
The Taylor expansion is used below to analyze the error committed by the Euler method, and it can be extended to produce
3360:
594:
248:
10693:
2117:, we implement the following formula until we reach the approximation of the solution to the ODE at the desired time:
2572:
These first-order systems can be handled by Euler's method or, in fact, by any other scheme for first-order systems.
2047:
1192:
269:
221:
45:(Figure 1) Illustration of the Euler method. The unknown curve is in blue, and its polygonal approximation is in red.
17:
7259:
The local truncation error (LTE) introduced by the Euler method is given by the difference between these equations:
2817:
1524:
12279:
12203:
12039:
10641:
786:
337:
256:
231:
11797:
Unni, M P. (2017). "Memory reduction for numerical solution of differential equations using compressive sensing".
6996:
12228:
12173:
12024:
6575:
3234:
713:
35:
8136:(see the previous section). Thus, it is to be expected that the global truncation error will be proportional to
3096:
By doing the above step, we have found the slope of the line that is tangent to the solution curve at the point
1001:
11889:
795:
761:
648:
201:
12044:
4192:
3171:
3020:
373:
12138:
11874:
11848:
10813:
10100:
1715:
820:
to the curve can be computed at any point on the curve, once the position of that point has been calculated.
769:
388:
216:
206:
12284:
12091:
1668:
663:
514:
417:
304:
226:
11729:
10812:
is evaluated at the end point of the step, instead of the starting point. The backward Euler method is an
8906:
8036:
12188:
12148:
12128:
12118:
11869:
11250:
11037:
The other possibility is to use more past values, as illustrated by the two-step Adams–Bashforth method:
349:
264:
11881:
11208:. There are other modifications which uses techniques from compressive sensing to minimize memory usage
11019:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right)}
2586:
12153:
11938:
11735:
10857:
10587:
554:
422:
8206:
12133:
12049:
11239:
1382:
525:
503:
10162:
8850:
6723:{\displaystyle y(t_{0}+h)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{0}+h}f{\bigl (}t,y(t){\bigr )}\,\mathrm {d} t.}
5999:
5491:
5455:
4932:
3890:
2907:
1333:
1264:
668:
12163:
12123:
11943:
10853:
9952:
8993:
7400:{\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O\left(h^{3}\right).}
6947:
4418:
The error recorded in the last column of the table is the difference between the exact solution at
519:
427:
11864:
10617:
10210:
8488:
7249:{\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O\left(h^{3}\right).}
6269:{\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O\left(h^{3}\right).}
2693:
12289:
12252:
12084:
12029:
12019:
11255:
11205:
11031:
8003:
7485:
6902:
6329:
4471:
4265:
599:
589:
581:
537:
378:
11194:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n},y_{n})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n-1},y_{n-1}).}
8085:
4150:
12223:
12034:
12014:
7716:
6914:
6451:
6282:
4467:
2686:
777:
412:
9996:
7518:
4117:
3961:
2976:
2749:
1096:
823:
The idea is that while the curve is initially unknown, its starting point, which we denote by
12065:
11976:
11933:
11652:
11260:
10819:
10684:
10668:
10500:
6544:
6502:
4272:
3985:
1781:
1721:
1434:
765:
745:
658:
643:
532:
475:
457:
296:
52:
10445:
7693:
In the above expressions for the error, the second derivative of the unknown exact solution
2785:
886:
826:
11996:
11684:
11629:
10299:
10262:
10059:
8200:
8112:
8009:
7488:, for which the local truncation error is proportional to a higher power of the step size.
7456:
6920:
6517:
6079:
5996:
We can continue this process using the same formula as long as necessary to find whichever
3862:
3834:
3506:
3479:
3452:
3099:
2020:
1754:
1641:
1614:
1494:
1467:
1069:
970:
943:
916:
856:
544:
480:
453:
11799:
2017 IEEE 13th
International Colloquium on Signal Processing & its Applications (CSPA)
11556:
2017 IEEE 13th
International Colloquium on Signal Processing & its Applications (CSPA)
8769:
2645:
8:
12178:
11991:
11654:
Computer
Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations
10474:
10236:
10087:
10033:
7492:
4421:
853:
is known (see Figure 1). Then, from the differential equation, the slope to the curve at
576:
561:
462:
326:
165:
132:
123:
11777:
10679:
A simple modification of the Euler method which eliminates the stability problems noted
10333:
12198:
12168:
11961:
11824:
11577:
10795:
10563:
10535:
8973:
8953:
8822:
8798:
8642:
8468:
8448:
8428:
8408:
8182:
8162:
8139:
7696:
7498:
7481:
7436:
7413:
6059:
4301:
4240:
3940:
3813:
3337:
3317:
3297:
3211:
3151:
3131:
2956:
2000:
1835:
1815:
1313:
1172:
1152:
1132:
757:
571:
566:
449:
8395:{\displaystyle |y(t_{i})-y_{i}|\leq {\frac {hM}{2L}}\left(e^{L(t_{i}-t_{0})}-1\right)}
11814:
11762:
11739:
11711:
11688:
11662:
11633:
11567:
6339:
4298:
As suggested in the introduction, the Euler method is more accurate if the step size
628:
407:
142:
11828:
11581:
10529:
which is outside the stability region, and thus the numerical solution is unstable.
10288:
683:
11986:
11806:
11559:
11244:
6734:
6053:
693:
678:
9989:
3314:, when we multiply the step size and the slope of the tangent, we get a change in
11981:
11966:
11758:
11707:
11676:
11223:
10864:
10635:
7480:. This makes the Euler method less accurate than higher-order techniques such as
6498:
4455:
2743:
995:
633:
549:
76:
4920:{\displaystyle f\left(t,y,y',y''\right)=y'''=\sin {t}+(\cos {t})y+t^{2}y'-4ty''}
1832:
can be represented as a system of first-order ODEs. When given the ODE of order
688:
12208:
12107:
11218:
10792:
This differs from the (standard, or forward) Euler method in that the function
10581:
10091:
781:
653:
638:
444:
432:
151:
31:
11810:
11597:"Meet the 'Hidden Figures' mathematician who helped send Americans into space"
11563:
8759:{\textstyle M={\text{max}}{\bigl (}|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\bigl }|{\bigr )}}
7683:{\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(\xi ).}
4482:
For this third-order example, assume that the following information is given:
12268:
12218:
11725:
11648:
10428:{\displaystyle {\bigl \{}z\in \mathbf {C} \,{\big |}\,|z+1|\leq 1{\bigr \}},}
7077:
For the exact solution, we use the Taylor expansion mentioned in the section
11858:
10852:
Other modifications of the Euler method that help with stability yield the
1987:{\displaystyle y^{(N+1)}(t)=f\left(t,y(t),y'(t),\ldots ,y^{(N)}(t)\right),}
817:
673:
623:
137:
10233:. However, if the Euler method is applied to this equation with step size
27:
Approach to finding numerical solutions of ordinary differential equations
11911:
10292:(Figure 5) The pink disk shows the stability region for the Euler method.
4445:
size. This is true in general, also for other equations; see the section
741:
81:
11227:
698:
11854:
8632:{\textstyle L={\text{max}}{\bigl (}|{\frac {d}{dy}}{\bigl }|{\bigr )}}
1812:
While the Euler method integrates a first-order ODE, any ODE of order
11226:
resorts to the Euler method in calculating the re-entry of astronaut
8203:
in its second argument, then the global truncation error (denoted as
439:
160:
103:
93:
11731:
A First Course in the
Numerical Analysis of Differential Equations
2690:(Figure 2) Illustration of numerical integration for the equation
12076:
6438:{\displaystyle y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{0}+h)-y(t_{0})}{h}}}
114:
109:
98:
10532:
This limitation — along with its slow convergence of error with
11843:
8839:. For this reason, the Euler method is said to be first order.
41:
8159:
This intuitive reasoning can be made precise. If the solution
7453:, the local truncation error is approximately proportional to
4257:, its behaviour is qualitatively correct as the figure shows.
3208:
The next step is to multiply the above value by the step size
913:
Along this small step, the slope does not change too much, so
30:
For integrating with respect to the Euler characteristic, see
11702:
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993).
11247:
similarly uses finite steps, here to find minima of functions
10816:, meaning that the formula for the backward Euler method has
10438:
illustrated on the right. This region is called the (linear)
6897:
Combining both equations, one finds again the Euler method.
813:
11704:
Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems
3354:
value to obtain the next value to be used for computations.
6901:
This line of thought can be continued to arrive at various
967:
is still on the curve, the same reasoning as for the point
8109:, and the error committed in each step is proportional to
6514:
Finally, one can integrate the differential equation from
6338:
A closely related derivation is to substitute the forward
10330:, then the numerical solution is unstable if the product
883:
Take a small step along that tangent line up to a point
10082:(red circles). The black curve shows the exact solution.
7515:
has a continuous second derivative, then there exists a
774:
numerical integration of ordinary differential equations
11130:
11080:
10965:
10934:
10644:
10296:
If the Euler method is applied to the linear equation
8665:
8546:
8088:
8039:
7639:
7325:
7174:
6194:
6040:
The Euler method can be derived in a number of ways.
5958:
5805:
5621:
5558:
5414:
5246:
5062:
4999:
3174:
2953:. In this simple differential equation, the function
2293:
2160:
11913:
Numerical methods for ordinary differential equations
11681:
Numerical
Methods for Ordinary Differential Equations
11267:
Numerical methods for ordinary differential equations
11046:
10876:
10822:
10798:
10696:
10620:
10590:
10566:
10538:
10503:
10477:
10448:
10362:
10336:
10302:
10265:
10239:
10213:
10165:
10103:
10062:
10036:
9999:
9955:
9949:
is equal to 2 because it is the lower bound for t in
9775:
9767:
Thus we can find the error bound at t=2.5 and h=0.5:
9469:
9028:
8996:
8976:
8956:
8909:
8853:
8825:
8801:
8772:
8645:
8491:
8471:
8451:
8431:
8411:
8271:
8209:
8185:
8165:
8142:
8115:
8012:
7768:
7719:
7699:
7582:
7521:
7501:
7459:
7439:
7416:
7268:
7092:
6999:
6950:
6923:
6746:
6587:
6547:
6520:
6454:
6351:
6285:
6112:
6082:
6062:
6046:
Firstly, there is the geometrical description above.
6002:
5530:
5494:
5458:
4971:
4935:
4786:
4490:
4424:
4304:
4275:
4243:
4195:
4153:
4147:. The exact solution of the differential equation is
4120:
3988:
3964:
3943:
3893:
3865:
3837:
3816:
3539:
3509:
3482:
3455:
3363:
3340:
3320:
3300:
3237:
3214:
3154:
3134:
3128:. Recall that the slope is defined as the change in
3102:
3023:
2979:
2959:
2910:
2820:
2788:
2752:
2696:
2674:
2648:
2642:
we would like to use the Euler method to approximate
2589:
2126:
2050:
2023:
2003:
1861:
1838:
1818:
1784:
1757:
1724:
1671:
1644:
1617:
1527:
1497:
1470:
1437:
1385:
1336:
1316:
1267:
1195:
1175:
1155:
1135:
1099:
1072:
1004:
973:
946:
919:
889:
859:
829:
34:. For Euler's method for factorizing an integer, see
11855:
Euler method implementations in different languages
11701:
11377:
11361:
11336:
11320:
11288:
4778:From this we can isolate y''' to get the equation:
3439:{\displaystyle y_{0}+hf(y_{0})=y_{1}=1+1\cdot 1=2.}
11785:(Lecture notes for MATH334), University of Vermont
11193:
11018:
10841:
10804:
10782:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}
10781:
10659:
10626:
10606:
10572:
10544:
10521:
10489:
10463:
10427:
10345:
10322:
10285:, then the numerical solution does decay to zero.
10277:
10251:
10225:
10199:
10148:
10074:
10048:
10022:
9973:
9937:
9759:
9456:
9014:
8982:
8962:
8942:
8895:
8831:
8807:
8787:
8758:
8651:
8631:
8532:
8477:
8457:
8437:
8417:
8394:
8254:
8191:
8171:
8148:
8128:
8101:
8074:
8025:
7986:
7751:
7705:
7682:
7565:
7507:
7472:
7445:
7422:
7399:
7248:
7066:
6982:
6936:
6886:
6722:
6566:
6533:
6486:
6437:
6317:
6268:
6095:
6068:
6024:
5988:
5516:
5480:
5444:
4957:
4919:
4768:
4436:
4310:
4287:
4249:
4229:
4181:
4139:
4007:
3973:
3949:
3928:
3878:
3850:
3822:
3792:
3522:
3495:
3468:
3438:
3346:
3326:
3306:
3283:
3220:
3197:
3160:
3140:
3120:
3085:
3006:
2965:
2945:
2893:
2800:
2774:
2734:
2663:
2631:
2561:
2109:
2036:
2009:
1986:
1844:
1824:
1796:
1770:
1743:
1706:
1657:
1630:
1600:
1510:
1483:
1456:
1423:
1371:
1322:
1302:
1253:
1181:
1161:
1141:
1121:
1085:
1050:
986:
959:
932:
905:
872:
845:
1330:for the size of every step along t-axis, and set
12266:
11553:
9676:
9564:
9382:
9288:
9221:
9115:
3334:value. This value is then added to the initial
940:will be close to the curve. If we pretend that
10674:
2110:{\displaystyle y_{0},y'_{0},\dots ,y_{0}^{(N)}}
1254:{\displaystyle y'(t)=f{\bigl (}t,y(t){\bigr )}}
11659:Society for Industrial and Applied Mathematics
10660:{\textstyle {\frac {\varepsilon }{\sqrt {h}}}}
10030:computed with the Euler method with step size
8795:is the exact solution which only contains the
8425:is an upper bound on the second derivative of
6733:Now approximate the integral by the left-hand
2894:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}
1601:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}
12092:
11897:
11752:
11646:
11437:
10671:is used in the formula for the Euler method.
10417:
10384:
10365:
9657:
9626:
9555:
9543:
9524:
9483:
9443:
9405:
9373:
9311:
9279:
9244:
9212:
9200:
9165:
9138:
9106:
9094:
9069:
9042:
8751:
8739:
8720:
8679:
8624:
8612:
8587:
8560:
7976:
7937:
7926:
7887:
7857:
7818:
6876:
6837:
6812:
6787:
6703:
6678:
1246:
1221:
721:
10867:which is already mentioned in this article:
7067:{\displaystyle y_{1}=y_{0}+hf(t_{0},y_{0}).}
4474:, especially if a high accuracy is desired.
4446:
1638:is an approximation of the solution at time
4114:The conclusion of this computation is that
3449:The above steps should be repeated to find
3284:{\displaystyle h\cdot f(y_{0})=1\cdot 1=1.}
880:can be computed, and so, the tangent line.
806:
12099:
12085:
11904:
11890:
7997:
1051:{\displaystyle A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots }
994:above can be used. After several steps, a
801:
728:
714:
11779:Simple Euler method and its modifications
10389:
10381:
10086:The Euler method can also be numerically
7931:
6908:
6817:
6708:
4260:
3198:{\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}}
1431:). Now, the Euler method is used to find
11623:
11473:
11449:
11425:
11401:
11389:
11373:
11349:
11300:
10680:
10287:
9988:
8659:is treated as a constant). In contrast,
6494:. Again, this yields the Euler method.
4264:
4230:{\displaystyle y(4)=e^{4}\approx 54.598}
3086:{\displaystyle f(t_{0},y_{0})=f(0,1)=1.}
2685:
40:
11753:Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002).
11724:
11675:
11541:
11529:
11517:
11513:
11501:
11489:
11461:
11413:
11332:
11316:
11304:
11284:
10149:{\displaystyle y'=-2.3y,\qquad y(0)=1.}
6052:Another possibility is to consider the
4929:Using that we can get the solution for
4477:
1807:
14:
12267:
11775:
11477:
9984:
6279:The differential equation states that
2575:
1061:
12080:
11885:
11626:An Introduction to Numerical Analysis
11211:
8847:If we have the differential equation
8075:{\textstyle {\frac {t_{i}-t_{0}}{h}}}
6990:. The numerical solution is given by
4269:(Figure 3) The same illustration for
3294:Since the step size is the change in
2742:Blue is the Euler method; green, the
1707:{\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}
11796:
11594:
11263:(for calculating definite integrals)
8943:{\displaystyle y=t+{\frac {1}{t-1}}}
8179:has a bounded second derivative and
784:, who first proposed it in his book
176:List of named differential equations
6497:A similar computation leads to the
3228:, which we take equal to one here:
249:Dependent and independent variables
24:
12159:Euler's continued fraction formula
12106:
11757:(3rd ed.). Berlin, New York:
11755:Introduction to Numerical Analysis
10555:
10220:
7876:
7868:
7807:
7799:
7590:
7587:
7584:
7276:
7273:
7270:
6819:
6710:
3965:
3186:
3178:
2632:{\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}
780:. The Euler method is named after
25:
12301:
12184:Euler's pump and turbine equation
11836:
11378:Hairer, Nørsett & Wanner 1993
11362:Hairer, Nørsett & Wanner 1993
11337:Hairer, Nørsett & Wanner 1993
11321:Hairer, Nørsett & Wanner 1993
11289:Hairer, Nørsett & Wanner 1993
10607:{\displaystyle \varepsilon y_{n}}
6944:, and the exact solution at time
12275:Numerical differential equations
12247:
12246:
12204:Euler equations (fluid dynamics)
12194:Euler's sum of powers conjecture
12040:Backward differentiation formula
11842:
10377:
8255:{\displaystyle |y(t_{i})-y_{i}|}
7430:has a bounded third derivative.
2580:Given the initial value problem
787:Institutionum calculi integralis
384:Carathéodory's existence theorem
11588:
11547:
11535:
11523:
11507:
11495:
11483:
11467:
11455:
11443:
11431:
11419:
11407:
10127:
7078:
6576:fundamental theorem of calculus
2607:
1424:{\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}
1261:. Begin the process by setting
762:ordinary differential equations
12144:Euler–Poisson–Darboux equation
11595:Khan, Amina (9 January 2017).
11395:
11383:
11367:
11355:
11342:
11326:
11310:
11294:
11278:
11185:
11147:
11123:
11097:
11008:
10982:
10773:
10735:
10405:
10391:
10217:
10200:{\displaystyle y(t)=e^{-2.3t}}
10175:
10169:
10137:
10131:
9913:
9901:
9843:
9817:
9742:
9729:
9713:
9703:
9663:
9591:
9549:
9538:
9532:
9489:
9437:
9411:
9367:
9363:
9360:
9333:
9324:
9317:
9273:
9269:
9257:
9250:
9206:
9189:
9176:
9144:
9100:
9089:
9077:
9048:
8896:{\displaystyle y'=1+(t-y)^{2}}
8884:
8871:
8782:
8776:
8745:
8734:
8728:
8685:
8618:
8607:
8595:
8566:
8527:
8515:
8506:
8500:
8376:
8350:
8310:
8293:
8280:
8273:
8248:
8231:
8218:
8211:
7971:
7958:
7921:
7908:
7852:
7839:
7790:
7777:
7746:
7734:
7674:
7668:
7619:
7600:
7560:
7528:
7367:
7354:
7305:
7286:
7216:
7203:
7167:
7154:
7137:
7124:
7115:
7096:
7058:
7032:
6871:
6858:
6807:
6801:
6698:
6692:
6632:
6619:
6610:
6591:
6481:
6469:
6426:
6413:
6404:
6385:
6373:
6360:
6312:
6300:
6236:
6223:
6187:
6174:
6157:
6144:
6135:
6116:
6025:{\displaystyle {\vec {y}}_{i}}
6010:
5891:
5877:
5538:
5517:{\displaystyle {\vec {y}}_{2}}
5502:
5488:, we can get the solution for
5481:{\displaystyle {\vec {y}}_{1}}
5466:
5372:
5363:
5338:
5324:
4979:
4958:{\displaystyle {\vec {y}}_{1}}
4943:
4873:
4859:
4739:
4726:
4685:
4672:
4634:
4621:
4559:
4545:
4205:
4199:
4163:
4157:
3929:{\displaystyle f(t_{n},y_{n})}
3923:
3897:
3759:
3746:
3676:
3663:
3593:
3580:
3396:
3383:
3260:
3247:
3115:
3103:
3074:
3062:
3053:
3027:
2995:
2983:
2946:{\displaystyle f(t_{0},y_{0})}
2940:
2914:
2885:
2859:
2723:
2717:
2658:
2652:
2617:
2611:
2541:
2535:
2455:
2449:
2430:
2424:
2400:
2388:
2272:
2266:
2241:
2229:
2134:
2102:
2096:
1973:
1967:
1962:
1956:
1939:
1933:
1919:
1913:
1890:
1884:
1879:
1867:
1701:
1688:
1592:
1566:
1372:{\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}
1303:{\displaystyle y_{0}=y(t_{0})}
1297:
1284:
1241:
1235:
1210:
1204:
1116:
1103:
471: / Integral solutions
13:
1:
11624:Atkinson, Kendall A. (1989).
11617:
9974:{\displaystyle 2\leq t\leq 3}
9015:{\displaystyle 2\leq t\leq 3}
8465:is the Lipschitz constant of
8006:is the error at a fixed time
6983:{\displaystyle t_{1}=t_{0}+h}
6448:in the differential equation
6035:
12174:Euler's four-square identity
11204:This leads to the family of
11030:This leads to the family of
10675:Modifications and extensions
10627:{\displaystyle \varepsilon }
10584:is roughly of the magnitude
10226:{\displaystyle t\to \infty }
8533:{\displaystyle y'(t)=f(t,y)}
6342:formula for the derivative,
2735:{\displaystyle y'=y,y(0)=1.}
2675:Using step size equal to 1 (
515:Exponential response formula
261:Coupled / Decoupled
36:Euler's factorization method
7:
12229:Euler–Bernoulli beam theory
12025:List of Runge–Kutta methods
11870:Encyclopedia of Mathematics
11251:List of Runge-Kutta methods
11233:
8102:{\textstyle {\frac {1}{h}}}
8082:, which is proportional to
6737:(with only one rectangle):
5452:And using the solution for
4454:Other methods, such as the
2746:; red, the exact solution,
1751:is an explicit function of
10:
12306:
11736:Cambridge University Press
11628:(2nd ed.). New York:
10858:semi-implicit Euler method
10207:, which decays to zero as
8842:
8445:on the given interval and
7433:This shows that for small
4182:{\displaystyle y(t)=e^{t}}
1066:When given the values for
796:predictor–corrector method
29:
12242:
12139:Euler–Mascheroni constant
12114:
12058:
12005:
11952:
11919:
11811:10.1109/CSPA.2017.8064928
11776:Lakoba, Taras I. (2012),
11564:10.1109/CSPA.2017.8064928
11438:Stoer & Bulirsch 2002
10580:of the Euler method, the
8903:, and the exact solution
7752:{\displaystyle y'=f(t,y)}
6487:{\displaystyle y'=f(t,y)}
6318:{\displaystyle y'=f(t,y)}
3148:divided by the change in
2904:so first we must compute
649:Józef Maria Hoene-Wroński
595:Undetermined coefficients
504:Method of characteristics
389:Cauchy–Kowalevski theorem
12189:Euler's rotation theorem
11272:
11206:linear multistep methods
10854:exponential Euler method
10023:{\displaystyle y'=-2.3y}
7566:{\displaystyle \xi \in }
7486:linear multistep methods
7410:This result is valid if
6903:linear multistep methods
4472:linear multistep methods
4329:result of Euler's method
4140:{\displaystyle y_{4}=16}
3974:{\displaystyle \Delta y}
3007:{\displaystyle f(t,y)=y}
2775:{\displaystyle y=e^{t}.}
1129:, and the derivative of
1122:{\displaystyle y(t_{0})}
807:Purpose and why it works
374:Picard–Lindelöf theorem
368:Existence and uniqueness
12149:Euler–Rodrigues formula
12129:Euler–Maclaurin formula
12119:Euler–Lagrange equation
12030:Linear multistep method
11256:Linear multistep method
10842:{\displaystyle y_{n+1}}
10522:{\displaystyle hk=-2.3}
9993:(Figure 4) Solution of
8485:. Or more simply, when
8004:global truncation error
7998:Global truncation error
6567:{\displaystyle t_{0}+h}
4448:Global truncation error
4288:{\displaystyle h=0.25.}
4008:{\displaystyle y_{n+1}}
1797:{\displaystyle i\leq n}
1744:{\displaystyle y_{n+1}}
1457:{\displaystyle y_{n+1}}
1310:. Next, choose a value
1149:is a given function of
802:Geometrical description
790:(published 1768–1770).
768:. It is the most basic
600:Variation of parameters
590:Separation of variables
379:Peano existence theorem
12224:Euler number (physics)
12154:Euler–Tricomi equation
12035:General linear methods
12015:Exponential integrator
11195:
11020:
10843:
10806:
10783:
10661:
10628:
10608:
10574:
10546:
10523:
10491:
10465:
10464:{\displaystyle k=-2.3}
10429:
10353:is outside the region
10347:
10324:
10293:
10279:
10253:
10227:
10201:
10159:The exact solution is
10150:
10083:
10076:
10050:
10024:
9975:
9939:
9761:
9458:
9016:
8984:
8964:
8950:, and we want to find
8944:
8897:
8833:
8809:
8789:
8760:
8653:
8633:
8534:
8479:
8459:
8439:
8419:
8396:
8256:
8193:
8173:
8150:
8130:
8103:
8076:
8027:
7988:
7753:
7707:
7684:
7567:
7509:
7474:
7447:
7424:
7401:
7250:
7068:
6984:
6938:
6915:local truncation error
6909:Local truncation error
6888:
6724:
6568:
6535:
6488:
6439:
6319:
6270:
6097:
6070:
6026:
5990:
5518:
5482:
5446:
4959:
4921:
4770:
4438:
4312:
4295:
4289:
4261:Using other step sizes
4251:
4231:
4183:
4141:
4009:
3975:
3951:
3930:
3880:
3852:
3824:
3794:
3524:
3497:
3470:
3440:
3348:
3328:
3308:
3285:
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3199:
3162:
3142:
3122:
3087:
3008:
2967:
2947:
2895:
2808:
2802:
2801:{\displaystyle h=1.0.}
2776:
2736:
2665:
2633:
2563:
2111:
2038:
2011:
1988:
1846:
1826:
1798:
1772:
1745:
1714:. The Euler method is
1708:
1659:
1632:
1602:
1512:
1485:
1458:
1425:
1373:
1324:
1304:
1255:
1183:
1163:
1143:
1123:
1087:
1052:
988:
961:
934:
907:
906:{\displaystyle A_{1}.}
874:
847:
846:{\displaystyle A_{0},}
760:procedure for solving
669:Carl David Tolmé Runge
212:Differential-algebraic
53:Differential equations
46:
12164:Euler's critical load
12134:Euler–Maruyama method
12066:Symplectic integrator
12050:Gauss–Legendre method
11685:John Wiley & Sons
11630:John Wiley & Sons
11261:Numerical integration
11240:Crank–Nicolson method
11196:
11021:
10844:
10807:
10784:
10685:backward Euler method
10669:compensated summation
10662:
10629:
10609:
10575:
10547:
10524:
10492:
10466:
10430:
10348:
10325:
10323:{\displaystyle y'=ky}
10291:
10280:
10278:{\displaystyle h=0.7}
10254:
10228:
10202:
10151:
10077:
10075:{\displaystyle h=0.7}
10051:
10025:
9992:
9976:
9940:
9762:
9459:
9017:
8985:
8965:
8945:
8898:
8834:
8810:
8790:
8761:
8654:
8634:
8535:
8480:
8460:
8440:
8420:
8397:
8257:
8194:
8174:
8151:
8131:
8129:{\displaystyle h^{2}}
8104:
8077:
8028:
8026:{\displaystyle t_{i}}
7989:
7754:
7708:
7685:
7568:
7510:
7475:
7473:{\displaystyle h^{2}}
7448:
7425:
7402:
7251:
7069:
6985:
6939:
6937:{\displaystyle y_{1}}
6889:
6725:
6569:
6536:
6534:{\displaystyle t_{0}}
6503:backward Euler method
6489:
6440:
6320:
6271:
6098:
6096:{\displaystyle t_{0}}
6071:
6027:
5991:
5519:
5483:
5447:
4960:
4922:
4771:
4439:
4313:
4290:
4268:
4252:
4232:
4184:
4142:
4010:
3976:
3952:
3931:
3881:
3879:{\displaystyle t_{n}}
3853:
3851:{\displaystyle y_{n}}
3825:
3795:
3525:
3523:{\displaystyle y_{4}}
3498:
3496:{\displaystyle y_{3}}
3471:
3469:{\displaystyle y_{2}}
3441:
3349:
3329:
3309:
3286:
3223:
3200:
3163:
3143:
3123:
3121:{\displaystyle (0,1)}
3088:
3009:
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2948:
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2737:
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2037:{\displaystyle t_{0}}
2012:
1989:
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1827:
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1773:
1771:{\displaystyle y_{i}}
1746:
1709:
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1658:{\displaystyle t_{n}}
1633:
1631:{\displaystyle y_{n}}
1603:
1513:
1511:{\displaystyle t_{n}}
1486:
1484:{\displaystyle y_{n}}
1459:
1426:
1374:
1325:
1305:
1256:
1184:
1164:
1144:
1124:
1088:
1086:{\displaystyle t_{0}}
1053:
989:
987:{\displaystyle A_{0}}
962:
960:{\displaystyle A_{1}}
935:
933:{\displaystyle A_{1}}
908:
875:
873:{\displaystyle A_{0}}
848:
746:computational science
659:Augustin-Louis Cauchy
644:Joseph-Louis Lagrange
476:Numerical integration
458:Exponential stability
321:Relation to processes
44:
12124:Euler–Lotka equation
12007:Higher-order methods
11997:Leapfrog integration
11954:Second-order methods
11851:at Wikimedia Commons
11706:. Berlin, New York:
11044:
10874:
10820:
10796:
10694:
10642:
10618:
10588:
10564:
10536:
10501:
10475:
10446:
10360:
10334:
10300:
10263:
10237:
10211:
10163:
10101:
10060:
10034:
9997:
9953:
9773:
9467:
9026:
8994:
8974:
8954:
8907:
8851:
8823:
8799:
8788:{\displaystyle y(t)}
8770:
8663:
8643:
8544:
8489:
8469:
8449:
8429:
8409:
8269:
8207:
8201:Lipschitz continuous
8183:
8163:
8140:
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8086:
8037:
8010:
7766:
7717:
7697:
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7437:
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7266:
7090:
6997:
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6744:
6585:
6545:
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6452:
6349:
6283:
6110:
6080:
6060:
6000:
5528:
5492:
5456:
4969:
4933:
4784:
4488:
4478:Higher-order example
4422:
4302:
4273:
4241:
4193:
4151:
4118:
3986:
3962:
3941:
3891:
3863:
3835:
3814:
3537:
3507:
3480:
3453:
3361:
3338:
3318:
3298:
3235:
3212:
3172:
3152:
3132:
3100:
3021:
2977:
2957:
2908:
2818:
2811:The Euler method is
2786:
2750:
2694:
2664:{\displaystyle y(4)}
2646:
2587:
2124:
2048:
2021:
2001:
1859:
1836:
1816:
1808:Higher-order process
1782:
1755:
1722:
1718:, i.e. the solution
1669:
1642:
1615:
1525:
1495:
1468:
1435:
1383:
1334:
1314:
1265:
1193:
1173:
1153:
1133:
1097:
1070:
1002:
971:
944:
917:
887:
857:
827:
776:and is the simplest
764:(ODEs) with a given
754:forward Euler method
481:Dirac delta function
217:Integro-differential
12285:First order methods
12280:Runge–Kutta methods
12020:Runge–Kutta methods
11992:Newmark-beta method
11939:Semi-implicit Euler
11921:First-order methods
11032:Runge–Kutta methods
10490:{\displaystyle h=1}
10252:{\displaystyle h=1}
10056:(blue squares) and
10049:{\displaystyle h=1}
9985:Numerical stability
7482:Runge-Kutta methods
6781:
6672:
6330:Runge–Kutta methods
5783:
5767:
5711:
5694:
5672:
5655:
5604:
5587:
5224:
5208:
5152:
5135:
5113:
5096:
5045:
5028:
4714:
4660:
4468:Runge–Kutta methods
4437:{\displaystyle t=4}
2576:First-order example
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