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Euler function

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53: 2582: 20: 2296: 2122: 2141: 1957: 1708: 1824: 935: 1333: 1568: 581: 224: 737: 422: 1195: 1034: 1965: 2291:{\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.} 1101: 807: 1378: 1832: 1588: 1716: 633: 1414: 1224: 327: 826: 286: 445: 1236: 1422: 468: 82: 131: 652: 343: 1116: 2567: 2360: 34: 2432: 954: 2117:{\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}} 2477: 2492: 2386: 2333: 2517: 2527: 1042: 448: 104: 75: 2537: 816:
of the Euler function is the sum of the logarithms in the product expression, each of which may be expanded about
2562: 2507: 755: 1952:{\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}} 2472: 1342: 2425: 1703:{\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}} 2522: 2482: 2462: 2452: 41: 2487: 1819:{\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}} 2467: 2128: 459: 65: 2497: 2457: 69: 61: 588: 2618: 2586: 2418: 1383: 330: 1200: 295: 2608: 2557: 86: 930:{\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},} 643: 2396: 2404: 262: 8: 2512: 1579: 743: 289: 2613: 2532: 2502: 430: 2382: 2329: 636: 2400: 1227: 245: 1328:{\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}} 2392: 23: 2441: 2374: 941: 230: 1563:{\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).} 576:{\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.} 2602: 2552: 241: 27: 2381:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 2547: 2350: 257: 118: 219:{\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.} 732:{\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).} 813: 948:. The logarithm of the Euler function may therefore be expressed as 417:{\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}} 2132: 234: 2410: 1190:{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}} 19: 1107: 1029:{\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}} 240:
and provides the prototypical example of a relation between
2354: 2314:
Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction"
1104: 2135:, and then invoking complex-analytic methods, one derives 2349: 2144: 1968: 1835: 1719: 1591: 1425: 1386: 1345: 1239: 1203: 1119: 1045: 957: 829: 758: 655: 591: 471: 433: 346: 298: 265: 134: 2290: 2116: 1951: 1818: 1702: 1562: 1408: 1372: 1327: 1218: 1189: 1095: 1028: 929: 801: 731: 627: 575: 439: 416: 321: 280: 218: 1096:{\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=} 2600: 74:but its sources remain unclear because it lacks 2426: 2433: 2419: 2361:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 2172: 1360: 891: 802:{\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.} 742:The Euler function may be expressed as a 105:Learn how and when to remove this message 35:List of topics named after Leonhard Euler 18: 2373: 1373:{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}} 2601: 2379:Introduction to analytic number theory 2323: 2414: 642:The Euler function is related to the 46: 13: 2493:Euler's continued fraction formula 2440: 2174: 2018: 1885: 1769: 1638: 1286: 1001: 876: 791: 506: 501: 387: 166: 14: 2630: 2518:Euler's pump and turbine equation 1573: 2581: 2580: 2538:Euler equations (fluid dynamics) 2528:Euler's sum of powers conjecture 51: 196: 2478:Euler–Poisson–Darboux equation 2343: 2317: 2308: 2169: 2163: 2097: 2080: 1991: 1972: 1858: 1839: 1742: 1723: 1611: 1595: 1578:The next identities come from 1554: 1535: 1487: 1468: 1303: 1297: 1261: 1258: 1252: 1246: 1230:, this may also be written as 1213: 1207: 1168: 1144: 1129: 1123: 1071: 979: 976: 970: 964: 851: 848: 842: 836: 787: 774: 768: 762: 723: 717: 681: 659: 614: 592: 557: 535: 521: 511: 481: 475: 401: 395: 362: 356: 316: 310: 275: 269: 206: 198: 190: 171: 144: 138: 1: 2301: 251: 233:, it is a model example of a 2508:Euler's four-square identity 2326:Ramanujan's Notebooks Part V 628:{\displaystyle (3n^{2}-n)/2} 7: 2563:Euler–Bernoulli beam theory 1409:{\displaystyle ab=\pi ^{2}} 1113:On account of the identity 820: = 0, yielding 10: 2635: 2351:Sloane, N. J. A. 1219:{\displaystyle \sigma (n)} 322:{\displaystyle 1/\phi (q)} 39: 32: 2576: 2473:Euler–Mascheroni constant 2448: 2324:Berndt, Bruce C. (1998). 2129:Pentagonal number theorem 460:Pentagonal number theorem 2523:Euler's rotation theorem 1228:sum-of-divisors function 60:This article includes a 42:Euler's totient function 40:Not to be confused with 2483:Euler–Rodrigues formula 2463:Euler–Maclaurin formula 2453:Euler–Lagrange equation 2355:"Sequence A258232" 89:more precise citations. 2558:Euler number (physics) 2488:Euler–Tricomi equation 2292: 2118: 1953: 1820: 1704: 1564: 1410: 1374: 1329: 1290: 1220: 1191: 1097: 1030: 1005: 931: 880: 803: 733: 629: 577: 510: 441: 418: 391: 323: 282: 220: 170: 30: 2498:Euler's critical load 2468:Euler–Maruyama method 2293: 2131:, exchanging sum and 2119: 1954: 1821: 1705: 1565: 1411: 1375: 1330: 1270: 1221: 1192: 1098: 1031: 985: 944:with coefficients -1/ 932: 860: 804: 734: 644:Dedekind eta function 630: 578: 487: 442: 419: 371: 324: 283: 221: 150: 22: 16:Mathematical function 2458:Euler–Lotka equation 2142: 1966: 1833: 1717: 1589: 1423: 1384: 1343: 1237: 1201: 1117: 1043: 955: 827: 756: 653: 589: 469: 458:, also known as the 431: 344: 329:gives the number of 296: 281:{\displaystyle p(k)} 263: 132: 33:For other uses, see 2159: 290:formal power series 2364:. OEIS Foundation. 2288: 2145: 2114: 1949: 1816: 1700: 1560: 1406: 1370: 1325: 1216: 1187: 1176: 1152: 1093: 1079: 1026: 927: 799: 747:-Pochhammer symbol 729: 625: 573: 449:partition function 437: 414: 319: 278: 216: 62:list of references 31: 2596: 2595: 2388:978-0-387-90163-3 2335:978-1-4612-7221-2 2283: 2270: 2261: 2232: 2223: 2200: 2199: 2088: 2078: 2033: 1947: 1900: 1814: 1784: 1698: 1653: 1314: 1310: 1185: 1159: 1135: 1088: 1062: 922: 889: 637:pentagonal number 440:{\displaystyle p} 366: 115: 114: 107: 26:plot of Ď• on the 2626: 2584: 2583: 2513:Euler's identity 2435: 2428: 2421: 2412: 2411: 2407: 2366: 2365: 2347: 2341: 2339: 2321: 2315: 2312: 2297: 2295: 2294: 2289: 2284: 2282: 2275: 2271: 2266: 2262: 2257: 2254: 2238: 2237: 2233: 2228: 2224: 2219: 2216: 2201: 2192: 2191: 2185: 2177: 2158: 2153: 2123: 2121: 2120: 2115: 2113: 2112: 2108: 2089: 2084: 2079: 2077: 2076: 2075: 2071: 2058: 2057: 2053: 2039: 2038: 2034: 2026: 2017: 2016: 2012: 1998: 1990: 1989: 1958: 1956: 1955: 1950: 1948: 1946: 1945: 1944: 1940: 1927: 1926: 1922: 1917: 1906: 1905: 1901: 1893: 1884: 1883: 1879: 1865: 1857: 1856: 1825: 1823: 1822: 1817: 1815: 1813: 1812: 1811: 1807: 1790: 1789: 1785: 1777: 1768: 1767: 1763: 1749: 1741: 1740: 1709: 1707: 1706: 1701: 1699: 1697: 1696: 1695: 1691: 1678: 1677: 1673: 1659: 1658: 1654: 1646: 1637: 1636: 1632: 1618: 1610: 1609: 1569: 1567: 1566: 1561: 1553: 1552: 1531: 1530: 1526: 1510: 1509: 1505: 1486: 1485: 1464: 1463: 1459: 1443: 1442: 1438: 1415: 1413: 1412: 1407: 1405: 1404: 1379: 1377: 1376: 1371: 1369: 1368: 1363: 1334: 1332: 1331: 1326: 1324: 1323: 1312: 1311: 1306: 1292: 1289: 1284: 1225: 1223: 1222: 1217: 1196: 1194: 1193: 1188: 1186: 1178: 1175: 1171: 1151: 1147: 1102: 1100: 1099: 1094: 1089: 1081: 1078: 1074: 1055: 1054: 1035: 1033: 1032: 1027: 1025: 1024: 1015: 1014: 1004: 999: 936: 934: 933: 928: 923: 921: 920: 919: 903: 902: 893: 890: 882: 879: 874: 808: 806: 805: 800: 795: 794: 738: 736: 735: 730: 713: 712: 708: 680: 679: 634: 632: 631: 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