954:
3865:
595:
2226:
3374:
This convolution can be found in the book by R.L. Graham, D.E. Knuth and O. Patashnik: Concrete
Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley (1989). It is easy to see that the binomial convolution is associative and commutative, and the sequence
4608:
1986:
4226:
3656:
949:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=a_{0}\\s_{1}&=-(\Delta a)_{0}=-a_{1}+a_{0}\\s_{2}&=(\Delta ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=(-1)^{n}(\Delta ^{n}a)_{0}\end{aligned}}}
2440:
5791:
5935:
3369:
5637:
3088:
2977:
2879:
2004:
1805:
6176:
6038:
5010:
4914:
5405:
4324:
1075:
576:
187:
431:
289:
5276:
1167:
5180:
1688:
1609:
4765:
600:
4041:
5464:
4433:
1833:
4670:
3918:
4052:
3860:{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{x^{n} \over n!}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}{x^{n} \over n!}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }(a\circ b)_{n}{x^{n} \over n!}.}
2772:
2665:
3219:
3513:
6063:
4354:
464:
3645:
3579:
2481:
2274:
5503:
5087:
5054:
3612:
3546:
3406:
3172:
3139:
3951:
3472:
3439:
2282:
5652:
4381:
5802:
345:
3227:
2561:
4690:
4425:
4405:
3971:
5511:
1995:= 1/2 into the last formula above. The terms on the right hand side typically become much smaller, much more rapidly, thus allowing rapid numerical summation.
4767:
is the binomial coefficient. This convolution appears in the book by P. J. McCarthy (1986) and was further studied by L. Toth and P. Haukkanen (2009).
2988:
2890:
2792:
2221:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+p+1}}},}
6337:
1699:
6078:
5946:
4925:
4801:
5299:
4237:
972:
476:
87:
1181:
356:
6368:
L. Toth and P. Haukkanen, On the binomial convolution of arithmetical functions, J. Combinatorics and Number Theory 1(2009), 31-48.
6300:
6403:
4387:
There is also another binomial convolution in the mathematical literature. The binomial convolution of arithmetical functions
198:
5195:
1086:
6222:
5102:
6359:
R.L. Graham, D.E. Knuth and O. Patashnik: Concrete
Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley (1989).
1620:
1541:
4695:
6365:
P. Haukkanen, On a binomial convolution of arithmetical functions, Nieuw Arch. Wisk. (IV) 14 (1996), no. 2, 209--216.
4603:{\displaystyle (f\circ _{B}g)(n)=\sum _{d\mid n}\left(\prod _{p}{\binom {\nu _{p}(n)}{\nu _{p}(d)}}\right)f(d)g(n/d),}
3979:
6408:
1981:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}
5413:
6287:
6243:
4616:
3650:
The binomial convolution arises naturally from the product of the exponential generating functions. In fact,
2783:
6217:
1192:
Both versions of the binomial transform appear in difference tables. Consider the following difference table:
4221:{\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}\iff a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}}
2239:
5287:
3874:
1532:
44:
4780:
960:
3515:
serves as the identity under the binomial convolution. Further, it is easy to see that the sequences
2676:
2572:
2447:
The binomial transform, and its variation as the Euler transform, is notable for its connection to the
586:
3177:
3477:
6312:
312:
6046:
5472:
table is made and the first elements from each row of this table are taken to form a new sequence
4332:
439:
3617:
3551:
2454:
2244:
28:
2435:{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).}
5786:{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}.}
5475:
5059:
5026:
3584:
3518:
3378:
3144:
3111:
966:
Some authors define the binomial transform with an extra sign, so that it is not self-inverse:
299:
5930:{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}.}
3923:
3444:
3411:
43:, which is the result of applying the binomial transform to the sequence associated with its
1819:. It commonly makes its appearance in one of two different ways. In one form, it is used to
6324:
4359:
3364:{\displaystyle (a\circ b)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k},\ \ n=0,1,2,\ldots }
1492:} = 1485, 324, 63, 10, 1, 0, ... The cross-diagonal with the same starting point 1485 is {
321:
8:
6398:
5632:{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}.}
1820:
1528:
6328:
6197:
2489:
6297:
6263:
6202:
5469:
4779:
function, then the binomial transform of the sequence can be represented by means of a
4675:
4410:
4390:
3956:
2448:
1824:
36:
6378:
3097:
will convert the ordinary generating function to the exponential generating function.
6356:, Theory and Table, with Appendix on the Stirling Transform (2018), World Scientific.
6267:
6255:
5283:
4776:
1815:
The relationship between the ordinary generating functions is sometimes called the
3083:{\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).}
1453:} = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... The diagonal with the same starting point 0 is {
6304:
6207:
3094:
467:
2972:{\displaystyle {\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
2874:{\displaystyle {\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
6066:
6362:
P. J. McCarthy, Introduction to
Arithmetical Functions, Springer-Verlag, 1986.
6259:
6392:
6192:
6187:
3871:
The binomial transform can be written in terms of binomial convolution. Let
1800:{\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {-x}{1-x}}\right).}
20:
6171:{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}.}
3221:
be sequences of complex numbers. Their binomial convolution is defined by
6212:
4792:
1998:
The Euler transform can be generalized (Borisov B. and
Shkodrov V., 2007):
6033:{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}}
6244:"Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function"
589:
of the sequence, with odd differences carrying a negative sign, namely:
5005:{\displaystyle U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)}
4909:{\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}
5400:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}.}
4319:{\displaystyle t_{n}=(a\circ \lambda )_{n}\iff a_{n}=(t\circ 1)_{n}}
6383:
32:
5505:, then the second binomial transform of the original sequence is,
5023:
are the ordinary generating functions associated with the series
1070:{\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}}
571:{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.}
182:{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.}
426:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}
3647:
forms an
Abelian group under the binomial convolution.
284:{\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{n}T_{nk}a_{k}}
6338:"Divergent Series in the Generalized Binomial Transform"
5271:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{n-k}a_{j}}
1162:{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}.}
5293:
In the case where the binomial transform is defined as
5175:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{k}a_{j}.}
1364:
Each line is the difference of the previous line. (The
2238:
The Euler transform is also frequently applied to the
6081:
6049:
5949:
5805:
5655:
5514:
5478:
5416:
5302:
5198:
5105:
5062:
5029:
4928:
4804:
4698:
4678:
4672:
is the canonical factorization of a positive integer
4619:
4436:
4413:
4393:
4362:
4335:
4240:
4231:
can be inerpreted as a Möbius inversion type formula
4055:
3982:
3959:
3926:
3877:
3659:
3620:
3587:
3554:
3521:
3480:
3447:
3414:
3381:
3230:
3180:
3147:
3114:
2991:
2893:
2795:
2679:
2575:
2492:
2457:
2285:
2247:
2007:
1836:
1702:
1623:
1544:
1089:
975:
598:
479:
442:
359:
324:
201:
90:
6313:"The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform"
1683:{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}
1604:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
4760:{\displaystyle {\binom {\nu _{p}(n)}{\nu _{p}(d)}}}
6170:
6057:
6032:
5929:
5785:
5631:
5497:
5458:
5399:
5270:
5174:
5081:
5048:
5004:
4908:
4759:
4684:
4664:
4602:
4419:
4399:
4375:
4348:
4318:
4220:
4035:
3965:
3945:
3912:
3859:
3639:
3606:
3573:
3540:
3507:
3466:
3433:
3400:
3363:
3213:
3166:
3133:
3082:
2971:
2873:
2777:
2766:
2659:
2555:
2475:
2434:
2268:
2220:
1980:
1799:
1682:
1603:
1161:
1069:
948:
570:
458:
425:
339:
283:
181:
5908:
5895:
5764:
5751:
5610:
5597:
5365:
5352:
5236:
5223:
5143:
5130:
4855:
4842:
4751:
4702:
4554:
4505:
4202:
4189:
4131:
4118:
3293:
3280:
2155:
2134:
2072:
2051:
1140:
1127:
1051:
1038:
581:The binomial transform of a sequence is just the
549:
536:
160:
147:
6390:
4036:{\displaystyle (Ta)_{n}=(\lambda a\circ 1)_{n}.}
1172:In this case the former transform is called the
6335:
3581:possess an inverse. Thus the set of sequences
1522:
1471:} is the noninvolutive binomial transform of {
6298:Some information about the Binomial transform
5459:{\displaystyle {\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}.}
2276:. Here, the Euler transform takes the form:
6311:Spivey, Michael Z.; Steil, Laura L. (2006).
5492:
5479:
5096:-binomial transform is sometimes defined as
5076:
5063:
5043:
5030:
3601:
3588:
3535:
3522:
3395:
3382:
3161:
3148:
3128:
3115:
6310:
6241:
4775:When the sequence can be interpolated by a
4665:{\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}}
2483:have the continued fraction representation
1510:} is the involutive binomial transform of {
4770:
4280:
4276:
4151:
4147:
872:
871:
6279:John H. Conway and Richard K. Guy, 1996,
2360:
2287:
2249:
1501:} = 1485, 1161, 900, 692, 528, 400, ... {
1483:The top line read from right to left is {
1444:The top line read from left to right is {
1182:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
470:. The original series can be regained by
16:Transformation of a mathematical sequence
1180:. This is standard usage for example in
6242:Miller, Allen R.; Paris, R. B. (2010).
3103:
6391:
6292:, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
6223:List of factorial and binomial topics
3913:{\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}
1531:associated with the series. For the
6384:Transformations of Integer Sequences
6085:
5953:
5809:
5659:
5518:
5419:
13:
6336:Borisov, B.; Shkodrov, V. (2007).
5899:
5755:
5601:
5410:Let this be equal to the function
5356:
5227:
5134:
4846:
4786:
4706:
4509:
4193:
4122:
3805:
3744:
3681:
3284:
2932:
2834:
2767:{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=.}
2168:
2138:
2107:
2055:
2024:
1991:which is obtained by substituting
1937:
1906:
1853:
1810:
1655:
1576:
1131:
1042:
920:
727:
657:
540:
376:
151:
14:
6420:
6372:
4383:under the binomial convolution.
2660:{\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=}
1462:} = 0, 1, 8, 36, 128, 400, ... {
6135:
6051:
6000:
5642:If the same process is repeated
3214:{\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,}
2451:representation of a number. Let
1827:. That is, one has the identity
6354:Notes on the Binomial Transform
6288:The Art of Computer Programming
4783:on the interpolating function.
2784:exponential generating function
2778:Exponential generating function
1401:), and the difference equation
39:. It is closely related to the
6235:
6146:
6131:
6106:
6099:
6011:
5996:
5971:
5964:
5830:
5823:
5733:
5723:
5677:
5670:
5579:
5569:
5536:
5529:
5431:
5424:
5334:
5324:
5282:Both are homomorphisms of the
4938:
4932:
4881:
4871:
4745:
4739:
4724:
4718:
4657:
4651:
4594:
4580:
4574:
4568:
4548:
4542:
4527:
4521:
4465:
4459:
4456:
4437:
4307:
4294:
4277:
4267:
4254:
4148:
4100:
4090:
4021:
4005:
3993:
3983:
3901:
3891:
3823:
3810:
3508:{\displaystyle n=1,2,\ldots ,}
3244:
3231:
3074:
3065:
3039:
3033:
3030:
3014:
3008:
3002:
2910:
2904:
2812:
2806:
2758:
2701:
2654:
2597:
2550:
2499:
2347:
2334:
2328:
2304:
2181:
2164:
2122:
2112:
2039:
2029:
1950:
1933:
1921:
1911:
1868:
1858:
1736:
1730:
1727:
1718:
1712:
1706:
1633:
1627:
1554:
1548:
1020:
1010:
933:
916:
907:
897:
819:
790:
784:
755:
740:
723:
664:
654:
524:
514:
294:for the transformation, where
225:
215:
135:
125:
1:
6404:Factorial and binomial topics
6228:
5646:times, then it follows that,
2240:Euler hypergeometric integral
50:
6317:Journal of Integer Sequences
6058:{\displaystyle \mathbf {E} }
5940:This can be generalized as,
5288:Hankel transform of a series
4349:{\displaystyle \lambda _{n}}
3060:
3025:
2997:
2899:
2801:
1533:ordinary generating function
1523:Ordinary generating function
459:{\displaystyle \delta _{nm}}
45:ordinary generating function
7:
6181:
4791:Prodinger gives a related,
3640:{\displaystyle a_{0}\neq 0}
3574:{\displaystyle a_{0}\neq 0}
2476:{\displaystyle 0<x<1}
2269:{\displaystyle \,_{2}F_{1}}
1527:The transform connects the
961:forward difference operator
298:is an infinite-dimensional
10:
6425:
6218:Riemann–Liouville integral
1821:accelerate the convergence
1187:
1174:inverse binomial transform
350:or, using index notation,
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3167:{\displaystyle \{b_{n}\}}
3134:{\displaystyle \{a_{n}\}}
1176:, and the latter is just
6409:Hypergeometric functions
6295:Helmut Prodinger, 1992,
4795:transformation: letting
192:Formally, one may write
31:(i.e., a transform of a
6352:Khristo N. Boyadzhiev,
5189:-binomial transform is
4771:Integral representation
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72:}, is the sequence {
35:) that computes its
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6281:The Book of Numbers
4356:is the inverse of
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