3687:
575:
271:
210:
1802:
570:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}
47:
1914:
We are often interested in approximations of the Hankel operators, possibly by low-order operators. In order to approximate the output of the operator, we can use the spectral norm (operator 2-norm) to measure the error of our approximation. This suggests
1665:
1942:
does not have to be finite. If it is infinite, traditional methods of computing individual singular vectors will not work directly. We also require that the approximation is a Hankel matrix, which can be shown with
1295:
1660:
2365:
1196:
2466:
matrices which define the state-space realization. The Hankel matrix formed from the signal has been found useful for decomposition of non-stationary signals and time-frequency representation.
1562:
205:{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}
1905:
2441:
1438:
743:
1335:
2248:
2178:
1500:
796:
2083:
995:
913:
864:
242:
1061:
949:
679:
2278:
2051:
1797:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}
653:
2392:
2205:
2110:
2025:
1998:
1469:
838:
603:
1358:
1940:
1834:
1378:
1085:
1021:
969:
887:
623:
264:
1205:
3345:
2637:
J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Polynomial probability distribution estimation using the method of moments". PLoS ONE 12(4): e0174573.
2661:
2287:
1122:
1944:
3559:
2778:
3650:
1567:
1843:
2685:
2538:
Yasuda, M. (2003). "A Spectral
Characterization of Hermitian Centrosymmetric and Hermitian Skew-Centrosymmetric K-Matrices".
3569:
3335:
2210:
1505:
2747:
2622:
2593:
3370:
2450:
Hankel matrices are formed when, given a sequence of output data, a realization of an underlying state-space or
2917:
2721:
2475:
2397:
3134:
2771:
1916:
3209:
1383:
684:
3365:
2887:
2739:
1303:
3469:
3340:
3254:
2454:
is desired. The singular value decomposition of the Hankel matrix provides a means of computing the
2115:
3574:
3464:
3172:
2852:
2491:
1474:
748:
3609:
3538:
3420:
3280:
2877:
2764:
2056:
3479:
3062:
2867:
974:
892:
843:
221:
1030:
918:
3425:
3162:
3012:
3007:
2842:
2817:
2812:
2610:
2581:
1813:
1117:
658:
2253:
2030:
628:
3619:
2977:
2807:
2787:
2370:
2183:
2088:
2003:
1976:
1447:
816:
244:
2695:
8:
3728:
3640:
3614:
3192:
2997:
2987:
2731:
2451:
1441:
582:
1340:
3691:
3645:
3635:
3589:
3584:
3513:
3449:
3315:
3052:
3047:
2982:
2972:
2837:
2518:
2482:
in order to obtain the weight parameters of the polynomial distribution approximation.
2281:
1925:
1819:
1363:
1070:
1006:
954:
872:
608:
249:
3723:
3702:
3686:
3489:
3484:
3474:
3454:
3415:
3410:
3239:
3234:
3219:
3214:
3205:
3200:
3147:
3042:
2992:
2937:
2907:
2902:
2882:
2872:
2832:
2743:
2717:
2681:
2618:
2589:
1837:
16:
A square matrix in which each ascending skew-diagonal from left to right is constant
3697:
3665:
3594:
3533:
3528:
3508:
3444:
3350:
3320:
3305:
3285:
3224:
3177:
3152:
3142:
3113:
3032:
3027:
3002:
2932:
2912:
2822:
2802:
2691:
2673:
2653:
2547:
1956:
807:
42:
in which each ascending skew-diagonal from left to right is constant. For example,
3290:
3395:
3330:
3310:
3295:
3275:
3259:
3157:
3088:
3078:
3037:
2922:
2892:
2512:
2507:
997:
866:
2478:
applied to polynomial distributions results in a Hankel matrix that needs to be
3655:
3599:
3579:
3564:
3523:
3400:
3360:
3325:
3249:
3188:
3167:
3108:
3098:
3083:
3017:
2962:
2952:
2947:
2857:
2638:
2479:
1093:
35:
20:
2677:
2551:
3717:
3660:
3518:
3459:
3390:
3380:
3375:
3300:
3229:
3103:
3093:
3022:
2942:
2862:
2502:
2485:
1104:
39:
29:
2713:
3543:
3500:
3405:
3118:
3057:
2967:
2847:
2615:
Notes on
Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives
2586:
Notes on
Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives
2577:
3385:
3355:
3123:
2957:
2827:
1100:
1024:
3436:
2897:
2705:
2000:
is the sequence of the determinants of the Hankel matrices formed from
1298:
1064:
2656:(1999), "Stability of fast algorithms for structured linear systems",
3670:
3244:
1809:
1290:{\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} \to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} ].}
3604:
1971:
1919:
as a possible technique to approximate the action of the operator.
2756:
2710:
Structured matrices and polynomials: unified superfast algorithms
2469:
1805:
1655:{\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} ]}
2486:
Positive Hankel matrices and the
Hamburger moment problems
1380:
with a non-negative exponent, so as to give an element in
2515:, an "upside down" (that is, row-reversed) Hankel matrix
2360:{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}
1674:
1191:{\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}
286:
57:
2672:. Universitext (2 ed.). New York, NY: Springer.
2400:
2373:
2290:
2256:
2213:
2186:
2118:
2091:
2059:
2033:
2006:
1979:
1928:
1846:
1822:
1668:
1570:
1508:
1502:-linear, and its matrix with respect to the elements
1477:
1450:
1386:
1366:
1343:
1306:
1208:
1125:
1073:
1033:
1009:
977:
957:
921:
895:
875:
846:
819:
751:
687:
661:
631:
611:
585:
274:
252:
224:
50:
2658:
Fast
Reliable Algorithms for Matrices with Structure
2445:
2435:
2386:
2359:
2272:
2242:
2199:
2172:
2104:
2077:
2045:
2019:
1992:
1934:
1899:
1828:
1796:
1654:
1556:
1494:
1463:
1432:
1372:
1352:
1329:
1289:
1190:
1079:
1055:
1015:
989:
963:
943:
907:
881:
858:
832:
790:
737:
673:
647:
617:
597:
569:
258:
236:
204:
2341:
2328:
3715:
2417:
2401:
2227:
1557:{\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} }
2730:
2660:(editors—T. Kailath, A.H. Sayed), ch.4 (
2470:Method of moments for polynomial distributions
2772:
2704:
2639:https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573
2280:The Hankel transform is invariant under the
3346:Fundamental (linear differential equation)
2779:
2765:
2367:as the binomial transform of the sequence
1950:
1900:{\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}
1444:with strictly negative exponents. The map
1840:, that is, a fraction of two polynomials
2667:
2564:
2250:is the Hankel transform of the sequence
1804:Any Hankel matrix arises in this way. A
3651:Matrix representation of conic sections
2670:A polynomial approach to linear algebra
2611:"Rank determination of Hankel matrices"
3716:
2617:. New York: Springer. pp. 67–68.
2588:. New York: Springer. pp. 38–47.
2537:
2436:{\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}
2284:of a sequence. That is, if one writes
1816:of this matrix is finite precisely if
2760:
2631:
2531:
2608:
2576:
2738:. LMS Student Texts. Vol. 13.
2736:An introduction to Hankel operators
1433:{\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} ]}
738:{\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}
579:In terms of the components, if the
13:
2786:
2332:
1155:
1111:
14:
3740:
1909:
1330:{\displaystyle g\in \mathbf {C} }
1096:is an example of a Hankel matrix.
3685:
2243:{\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}
1623:
1541:
1479:
1401:
1314:
1255:
1241:
1223:
3553:Used in science and engineering
2446:Applications of Hankel matrices
2173:{\displaystyle _{i,j}=b_{i+j}.}
1103:of a Hankel matrix is called a
51:
2796:Explicitly constrained entries
2602:
2570:
2558:
2133:
2119:
2112:as having the matrix elements
2072:
2060:
1888:
1882:
1874:
1868:
1856:
1850:
1649:
1646:
1630:
1627:
1551:
1545:
1489:
1483:
1427:
1424:
1408:
1405:
1324:
1318:
1281:
1278:
1262:
1259:
1236:
1233:
1227:
1135:
1129:
1:
3570:Fundamental (computer vision)
2647:
1360:, but discards all powers of
800:
1917:singular value decomposition
1495:{\displaystyle \mathbf {C} }
1337:and sends it to the product
791:{\displaystyle k=0,...,j-i.}
7:
3336:Duplication and elimination
3135:eigenvalues or eigenvectors
2582:"Prediction of Time Series"
2496:
2085:-dimensional Hankel matrix
2078:{\displaystyle (n\times n)}
2053:, define the corresponding
10:
3745:
3269:With specific applications
2898:Discrete Fourier Transform
2740:Cambridge University Press
2668:Fuhrmann, Paul A. (2012).
2489:
1954:
3679:
3628:
3560:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
3552:
3498:
3434:
3268:
3187:Satisfying conditions on
3186:
3132:
3071:
2795:
2678:10.1007/978-1-4614-0338-8
2552:10.1137/S0895479802418835
2540:SIAM J. Matrix Anal. Appl
990:{\displaystyle m\times n}
908:{\displaystyle m\times n}
859:{\displaystyle n\times n}
237:{\displaystyle n\times n}
2524:
2492:Hamburger moment problem
1955:Not to be confused with
1056:{\displaystyle H=TJ_{n}}
944:{\displaystyle H=TJ_{n}}
2918:Generalized permutation
1964:Hankel matrix transform
1951:Hankel matrix transform
674:{\displaystyle i\leq j}
3692:Mathematics portal
2609:Aoki, Masanao (1983).
2437:
2388:
2361:
2324:
2274:
2273:{\displaystyle b_{k}.}
2244:
2201:
2174:
2106:
2079:
2047:
2046:{\displaystyle n>0}
2021:
1994:
1936:
1901:
1830:
1798:
1662:is the Hankel matrix
1656:
1558:
1496:
1465:
1434:
1374:
1354:
1331:
1291:
1192:
1164:
1081:
1057:
1017:
991:
965:
945:
909:
883:
860:
834:
792:
739:
675:
649:
648:{\displaystyle A_{ij}}
619:
599:
571:
260:
238:
206:
2490:Further information:
2438:
2389:
2387:{\displaystyle b_{n}}
2362:
2304:
2275:
2245:
2202:
2200:{\displaystyle h_{n}}
2175:
2107:
2105:{\displaystyle B_{n}}
2080:
2048:
2022:
2020:{\displaystyle b_{k}}
1995:
1993:{\displaystyle b_{k}}
1937:
1922:Note that the matrix
1902:
1831:
1799:
1657:
1559:
1497:
1466:
1464:{\displaystyle H_{f}}
1435:
1375:
1355:
1332:
1292:
1193:
1141:
1118:formal Laurent series
1082:
1058:
1018:
992:
966:
946:
910:
884:
861:
835:
833:{\displaystyle J_{n}}
806:Any Hankel matrix is
793:
740:
676:
650:
620:
600:
572:
261:
239:
207:
2398:
2371:
2288:
2254:
2211:
2184:
2116:
2089:
2057:
2031:
2004:
1977:
1926:
1844:
1820:
1666:
1568:
1506:
1475:
1471:is in a natural way
1448:
1384:
1364:
1341:
1304:
1206:
1123:
1071:
1031:
1007:
975:
955:
919:
915:Hankel matrix, then
893:
873:
844:
817:
749:
685:
659:
629:
609:
583:
272:
250:
222:
48:
3641:Linear independence
2888:Diagonally dominant
2452:hidden Markov model
2027:. Given an integer
1442:formal power series
1063:will have the same
598:{\displaystyle i,j}
3646:Matrix exponential
3636:Jordan normal form
3470:Fisher information
3341:Euclidean distance
3255:Totally unimodular
2519:Vandermonde matrix
2433:
2384:
2357:
2282:binomial transform
2270:
2240:
2197:
2180:Then the sequence
2170:
2102:
2075:
2043:
2017:
1990:
1932:
1897:
1826:
1794:
1785:
1652:
1554:
1492:
1461:
1430:
1370:
1353:{\displaystyle fg}
1350:
1327:
1287:
1198:the corresponding
1188:
1077:
1053:
1013:
987:
961:
941:
905:
879:
856:
830:
788:
735:
671:
645:
615:
595:
567:
558:
256:
234:
214:More generally, a
202:
193:
3711:
3710:
3703:Category:Matrices
3575:Fuzzy associative
3465:Doubly stochastic
3173:Positive-definite
2853:Block tridiagonal
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2476:method of moments
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