Hankel transform - Knowledge

5941: 5294: 5936:{\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}} 2932: 1356: 7613: 6516: 2603: 3238: 2476: 4434: 10006: 8325: 4195: 10274: 7357: 1159: 6844: 6232: 2999: 2204: 7269: 9512: 4203: 1591: 2146: 10427: 9260: 3476: 2927:{\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.} 5272: 1791: 9706: 9104: 1944: 9794: 7099: 4586: 8156: 6221: 4913: 10619: 4010: 6620:

In other words, applying the Abel transform to a 1-dimensional function and then applying the Fourier transform to that result is the same as applying the Hankel transform to that function. This concept can be extended to higher dimensions.

10133: 3658: 6968: 1016: 773: 3771: 6716: 575: 7103: 1351:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,} 3478:

This means that functions with angular dependence in form of a hyperspherical harmonic retain it upon the multidimensional Fourier transform, while the radial part undergoes the Hankel transform (up to some extra factors like

457: 245: 3879: 8753: 8668: 7608:{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.} 2044: 6056: 6511:{\displaystyle \cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots } 8895: 3243: 1094: 9369: 6711: 10322: 9155: 3233:{\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),} 2471:{\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),} 6972: 5299: 5124: 4429:{\displaystyle F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),} 899: 8378: 4439: 8542: 1655: 1443: 9788: 8964: 9585: 8970: 4731: 1805: 8813: 10001:{\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{\,2\,\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }\,e^{-{\frac {k^{2}}{4}}\,}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)} 9579: 8487: 10075: 8433: 7936: 4635: 1399: 8585: 8320:{\displaystyle {\frac {\,2^{m+1}\,\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)\,}{k^{m+2}\,\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<{\mathcal {R_{e}}}\{m\}<-{\tfrac {1}{2}}} 6849: 831: 8055: 7352: 2534: 2505: 8120: 643: 3666: 6073: 2994: 2963: 1993: 10477: 7994: 7966: 4190:{\displaystyle f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),} 7746: 7659: 5050: 4966: 336: 2578: 2556: 9333: 10269:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{\nu }\,}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}\,F_{\nu }} 10127: 9149: 486:) is continuous, provided that the function is defined in (0, ∞), is piecewise continuous and of bounded variation in every finite subinterval in (0, ∞), and 7874: 3935: 275: 7309: 2199: 7717: 3776: 3518: 1151: 9363: 8150: 8085: 7691: 6615: 3554: 9296: 7837: 7784: 5006: 4675: 910: 667: 299: 130: 11703:

Gizar-Sicairos, Manuel; Guitierrez-Vega, Julio C. (2004). "Computation of quasi-discrete Hankel transform of integer order for propagating optical wave fields".

8017: 7897: 1419: 580:

However, like the Fourier transform, the domain can be extended by a density argument to include some functions whose above integral is not finite, for example

3975: 3955: 3899: 2598: 2166: 2039: 2013: 492: 358: 146: 11186: 6629:

A simple and efficient approach to the numerical evaluation of the Hankel transform is based on the observation that it can be cast in the form of a

8676: 8591: 6636: 7786:

has to be defined on a logarithmic grid. For functions defined on a uniform grid, a number of other algorithms exist, including straightforward

6839:{\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,} 5965: 1099:

but this can be extended. According to the reference given above, we can take the integral as the limit as the upper limit goes to infinity (an

8819: 7264:{\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).} 10310: 1027: 10295: 9507:{\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{\,k^{s+2}\,}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}} 2141:{\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .} 11184:

Eason, G.; Noble, B.; Sneddon, I. N. (1955). "On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel Functions".

11386:

Magni, Vittorio; Cerullo, Giulio; De Silverstri, Sandro (1992). "High-accuracy fast Hankel transform for optical beam propagation".

10422:{\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}} 9255:{\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}} 1120: 3471:{\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.} 11415:

Agnesi, A.; Reali, Giancarlo C.; Patrini, G.; Tomaselli, A. (1993). "Numerical evaluation of the Hankel transform: remarks".

11144: 11125: 10862: 10801: 5267:{\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R,} 1401:. Therefore, the Laplacian in cylindrical coordinates becomes an ordinary differential equation in the transformed function 1961:, which is the reason why the Hankel transform often appears in physical problems with cylindrical or spherical symmetry. 1786:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.} 1586:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.} 836: 10757:

Ponce de Leon, J. (2015). "Revisiting the orthogonality of Bessel functions of the first kind on an infinite interval".

9701:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)} 9099:{\displaystyle {\frac {2}{\,\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}\,}}\,}}K\left({\sqrt {{\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}\,}}\right)} 8333: 11057: 10708: 8493: 1939:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,} 11629:

Markham, Joanne; Conchello, Jose-Angel (2003). "Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions".

9714: 8903: 10733: 8761: 9520: 8441: 1123:

expressed in cylindrical coordinates. Under the Hankel transform, the Bessel operator becomes a multiplication by

904:

This means that, as with the previous definition, the Hankel transform defined this way is also its own inverse:

10014: 8384: 7094:{\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),} 11666:

Perciante, César D.; Ferrari, José A. (2004). "Fast Hankel transform of nth order with improved performance".

11588:"Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields" 7318:. The algorithm can be further simplified by using a known analytical expression for the Fourier transform of 7903: 1949:

is a special case of the Plancherel theorem. These theorems can be proven using the orthogonality property.

11791: 4591: 4581:{\displaystyle {\sqrt {k}}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {r}}f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.} 1364: 8550: 785: 10688: 8023: 7321: 8091: 6216:{\displaystyle f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \theta ).} 4908:{\displaystyle k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.} 2510: 2481: 10614:{\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k} 5956: 1958: 583: 10964:

Talman, James D. (October 1978). "Numerical Fourier and Bessel transforms in logarithmic variables".

10659: 4680:

This kind of Hankel transform of half-integer order is also known as the spherical Bessel transform.

2968: 2937: 1967: 97: 11561: 7972: 7944: 7791: 7722: 7618: 7311: 6579: 6555: 5011: 4918: 304: 11479:

Ferrari, José A.; Perciante, Daniel; Dubra, Alfredo (1999). "Fast Hankel transform of nth order".

7795: 2561: 2539: 11287:"A note on the computation of integrals involving products of trigonometric and Bessel functions" 11074: 9302: 7750:

This algorithm is known as the "quasi-fast Hankel transform", or simply "fast Hankel transform".

20: 10700: 10090: 9112: 11556: 7754: 7315: 2148:

To rewrite it in hyperspherical coordinates, we can use the decomposition of a plane wave into

11536: 7843: 3904: 3653:{\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r} }},} 253: 59:. The Bessel functions in the sum are all of the same order ν, but differ in a scaling factor 7787: 6963:{\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),} 2171: 1796: 1011:{\displaystyle g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.} 768:{\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.} 7696: 7276: 1126: 96:

over a finite interval, so the Hankel transform over an infinite interval is related to the

11753: 11712: 11675: 11638: 11599: 11548: 11488: 11471: 11446:"Numerical evaluation of the zero-order Hankel transform using Filon quadrature philosophy" 11424: 11395: 11358: 11329: 11195: 10973: 10922: 10887: 10766: 9341: 8128: 8063: 7664: 6588: 3482: 9272: 7813: 7760: 284: 115: 8: 5072: 4971: 4640: 4001: 3997: 3766:{\displaystyle F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k} }}F_{m}(k),} 3545: 11757: 11716: 11679: 11642: 11603: 11552: 11492: 11428: 11399: 11362: 11333: 11199: 10977: 10926: 10891: 10778: 10770: 11308: 11273: 11211: 10826: 10693: 10669: 10664: 10649: 10468: 8002: 7882: 1957:

The Hankel transform appears when one writes the multidimensional Fourier transform in

1646: 1404: 81: 11268: 11251: 10899: 570:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .} 11769: 11728: 11691: 11654: 11617: 11462: 11445: 11374: 11140: 11121: 11075:"Laplace transform of products of Bessel functions: A visitation of earlier formulas" 11053: 11030: 11025: 11008: 10989: 10985: 10946: 10938: 10858: 10807: 10797: 10739: 10729: 10704: 10644: 10437: 10080: 6571: 1104: 1100: 89: 11094: 462:

which can be readily verified using the orthogonality relationship described below.

11761: 11720: 11683: 11646: 11607: 11574: 11566: 11521: 11496: 11457: 11432: 11403: 11366: 11337: 11298: 11263: 11236: 11203: 11172: 11099: 11089: 11020: 10981: 10930: 10895: 10774: 10433: 3960: 3940: 3884: 2583: 2151: 2024: 1998: 1430: 43: 11241: 11224: 1107:), and in this way the Hankel transform and its inverse work for all functions in 452:{\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,} 240:{\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,} 11537:"Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection" 11467: 278: 1153:. In the axisymmetric case, the partial differential equation is transformed as 10654: 6563: 3874:{\displaystyle F_{m}(k)=\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r} 93: 85: 11176: 10811: 8748:{\displaystyle {\frac {1}{\,{\sqrt {k^{2}-a^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k>a} 8663:{\displaystyle {\frac {i}{\,{\sqrt {a^{2}-k^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k<a} 4683: 11785: 11578: 11034: 10993: 10942: 5946:

where the last equality follows from §6.567.1 of. The expansion coefficients

11765: 11742:"The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms" 11724: 11687: 11650: 11500: 11436: 10827:"Radial functions and the Fourier transform: Notes for Math 583A, Fall 2008" 10743: 6578:

as the zeroth-order Hankel transform operator, then the special case of the

11773: 11732: 11695: 11658: 11621: 11407: 11378: 11341: 11207: 10950: 5103: 11526: 11509: 6051:{\displaystyle r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(r/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,} 11612: 11587: 11510:"Algorithm 794: Numerical Hankel transform by the Fortran program HANKEL" 11320:

Noll, Robert J (1976). "Zernike polynomials and atmospheric turbulence".

6630: 27: 11370: 11103: 10934: 10878:

Secada, José D. (1999). "Numerical evaluation of the Hankel transform".

76:

of each Bessel function in the sum, as a function of the scaling factor

11312: 11277: 8890:{\displaystyle {\frac {1}{\,a^{2}\,}}\,e^{-{\tfrac {k^{2}}{2\,a^{2}}}}} 11570: 11252:"The asymptotic expansions of Hankel transforms and related integrals" 11215: 1952: 11303: 11286: 1089:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,} 11741: 10853:

Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2015). Zwillinger, Daniel (ed.).

1108: 5084:

are sufficiently smooth near the origin and zero outside a radius

3240:

the Fourier transform in hyperspherical coordinates simplifies to

80:

constitutes the transformed function. The Hankel transform is an

1596: 88:. It is also known as the Fourier–Bessel transform. Just as the 6549: 11702: 11052:. Florida USA: Krieger Publishing Company. pp. 140–175. 6706:{\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.} 3957:

plays the role of the angular momentum, which was denoted by

2600:-dimensional Fourier transform in hyperspherical coordinates: 11223:

Kilpatrick, J. E.; Katsura, Shigetoshi; Inoue, Yuji (1967).

653:

An alternative definition says that the Hankel transform of

11414: 10913:

Siegman, A.E. (1977-07-01). "Quasi fast Hankel transform".

4728:

also does not depend on angular coordinates and is given by

11225:"Calculation of integrals of products of Bessel functions" 11385: 11009:"Algorithms to numerically evaluate the Hankel transform" 11586:

Zhang, D. W.; Yuan, X.-C.; Ngo, N. Q.; Shum, P. (2002).

11158:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 179–223. 10794:

Hyperspherical harmonics and their physical applications

10723: 6546:

This is one flavor of fast Hankel transform techniques.

4200:

then its three-dimensional Fourier transform is given by

3980: 1119:

The Hankel transform can be used to transform and solve

6558:

of integral operators. In two dimensions, if we define

5055: 11349:

Siegman, A. E. (1977). "Quasi-fast Hankel transform".

11222: 9975: 9871: 9670: 9607: 9590: 9472: 9426: 8854: 8306: 8244: 8190: 7279: 5725: 5444: 5210: 4974: 4643: 3963: 3943: 3887: 3663:

then its two-dimensional Fourier transform is given by

3528: 3485: 2586: 2513: 2484: 2154: 2027: 2001: 11478: 10480: 10325: 10136: 10093: 10017: 9797: 9717: 9588: 9523: 9372: 9344: 9305: 9275: 9158: 9115: 8973: 8906: 8822: 8764: 8679: 8594: 8553: 8496: 8444: 8387: 8336: 8159: 8131: 8094: 8066: 8026: 8005: 7975: 7947: 7906: 7885: 7846: 7816: 7763: 7725: 7699: 7667: 7621: 7360: 7324: 7106: 6975: 6852: 6719: 6639: 6591: 6235: 6076: 5968: 5297: 5127: 5014: 4921: 4734: 4594: 4442: 4206: 4013: 3907: 3779: 3669: 3557: 3246: 3002: 2971: 2940: 2606: 2564: 2542: 2207: 2174: 2047: 1970: 1808: 1658: 1446: 1407: 1367: 1162: 1129: 1030: 913: 839: 788: 670: 586: 495: 361: 307: 287: 256: 149: 118: 7273:

Now the integral can be calculated numerically with

2580:-space. This gives the following expression for the 6713:In these new variables, the Hankel transform reads 5277:such that the two-dimensional Fourier transform of 894:{\displaystyle h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.} 11050:Systems and Transforms with Applications to Optics 10692: 10613: 10421: 10268: 10121: 10069: 10000: 9782: 9700: 9573: 9506: 9357: 9327: 9290: 9254: 9143: 9098: 8958: 8889: 8807: 8747: 8662: 8579: 8536: 8481: 8427: 8373:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}\,}}}} 8372: 8319: 8144: 8114: 8079: 8049: 8011: 7988: 7960: 7930: 7891: 7868: 7831: 7778: 7740: 7711: 7685: 7653: 7607: 7346: 7303: 7263: 7093: 6962: 6838: 6705: 6609: 6510: 6215: 6050: 5959:techniques: if the radial distance is scaled with 5935: 5266: 5044: 5000: 4960: 4907: 4669: 4629: 4580: 4428: 4189: 3969: 3949: 3929: 3893: 3873: 3765: 3652: 3512: 3470: 3232: 2988: 2957: 2926: 2592: 2572: 2550: 2528: 2499: 2470: 2193: 2160: 2140: 2033: 2007: 1987: 1953:Relation to the multidimensional Fourier transform 1938: 1785: 1585: 1413: 1393: 1350: 1145: 1114: 1088: 1010: 893: 825: 767: 637: 569: 451: 330: 293: 269: 239: 124: 11187:Philosophical Transactions of the Royal Society A 11183: 11134: 8537:{\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbb {C} } 6458: 6437: 6377: 6356: 4711:does not depend on angular coordinates, then its 2536:are the sets of all hyperspherical angles in the 11783: 11665: 11628: 11585: 11072: 10857:(Eighth ed.). Academic Press. p. 687. 10852: 10834:University of Arizona, Department of Mathematics 10687: 9783:{\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }\,U(a,b,r^{2})} 8959:{\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)\,e^{-sr}} 6582:for circularly symmetric functions states that 42:) as the weighted sum of an infinite number of 11165:Proceedings of the London Mathematical Society 11163:Offord, A. C. (1935). "On Hankel transforms". 11118:Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics 10471:are essentially Bessel Functions (Noll 1976): 7801: 11013:Computers & Mathematics with Applications 10791: 10756: 8808:{\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}} 1597:The Plancherel theorem and Parseval's theorem 84:and was first developed by the mathematician 10451:applied to a spherically symmetric function 10311:complete elliptic integral of the first kind 9574:{\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)} 8482:{\displaystyle {\frac {1}{\,z^{2}+r^{2}\,}}} 8296: 8290: 2041:-dimensional Fourier transform is defined as 11417:Journal of the Optical Society of America A 10296:modified Bessel function of the second kind 6550:Relation to the Fourier and Abel transforms 470:Inverting a Hankel transform of a function 92:for an infinite interval is related to the 11135:Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). 10070:{\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)\,e^{-sr}} 8735: 8650: 8428:{\displaystyle {\frac {\,e^{-k|z|}\,}{k}}} 6554:The Hankel transform is one member of the 6061:the Fourier-Chebyshev series coefficients 11611: 11560: 11534: 11525: 11461: 11322:Journal of the Optical Society of America 11302: 11284: 11267: 11249: 11240: 11093: 11024: 11006: 10602: 10405: 10389: 10352: 10329: 10255: 10214: 10198: 10050: 9922: 9918: 9892: 9831: 9827: 9748: 9413: 9409: 9392: 9238: 9222: 9185: 9162: 9089: 9024: 9021: 8980: 8939: 8870: 8844: 8840: 8829: 8715: 8712: 8686: 8630: 8627: 8601: 8530: 8475: 8451: 8418: 8391: 8366: 8231: 8212: 8180: 8163: 7693:in particular its asymptotic behavior at 7537: 7429: 7205: 7171: 7160: 7051: 7023: 6924: 6893: 6824: 6689: 5701: 5501: 3862: 3858: 2124: 2072: 1924: 1920: 1857: 1853: 1771: 1767: 1702: 1698: 1515: 1511: 1068: 1021:The obvious domain now has the condition 996: 985: 753: 742: 648: 549: 533: 437: 433: 225: 221: 11047: 10855:Table of Integrals, Series, and Products 10726:The transforms and applications handbook 1617:) are such that their Hankel transforms 11443: 11348: 11115: 11007:Cree, M. J.; Bones, P. J. (July 1993). 10912: 7931:{\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}} 6624: 465: 11784: 11739: 11507: 11162: 11153: 10963: 10877: 10432:coincides with the expression for the 2168:-dimensional hyperspherical harmonics 11073:Kausel, E.; Irfan Baig, M.M. (2012). 10824: 6633:by a logarithmic change of variables 4630:{\displaystyle {\sqrt {r}}f_{l,m}(r)} 3981:Fourier transform in three dimensions 1433:with respect to the weighting factor 1394:{\displaystyle U={\mathcal {H}}_{0}u} 11319: 8580:{\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}} 5056:2D functions inside a limited radius 4690:dimensions (radially symmetric case) 826:{\displaystyle g(r)=f(r){\sqrt {r}}} 11120:. New York: John Wiley & Sons. 8050:{\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}} 7347:{\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }} 3529:Fourier transform in two dimensions 2529:{\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }} 2500:{\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }} 478:) is valid at every point at which 13: 11285:Linz, Peter; Kropp, T. E. (1973). 10695:Hilbert spaces of entire functions 10604: 10550: 10409: 10391: 10356: 10332: 10218: 10200: 10165: 10142: 9832: 9801: 9543: 9465: 9417: 9242: 9224: 9189: 9165: 8283: 8279: 8232: 8181: 8115:{\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}} 7732: 7490: 7444: 7431: 7377: 7369: 6826: 6764: 6759: 6441: 6360: 5703: 5503: 4895: 4814: 4568: 4491: 4298: 4078: 3864: 3812: 3598: 3593: 3458: 3358: 3213: 3153: 3099: 3039: 2910: 2905: 2890: 2841: 2775: 2748: 2694: 2515: 2486: 2451: 2412: 2316: 2126: 1926: 1879: 1859: 1819: 1773: 1724: 1704: 1669: 1517: 1457: 1377: 1326: 1316: 1270: 1256: 1240: 1232: 1200: 1186: 1166: 1080: 1070: 1041: 998: 939: 755: 703: 561: 551: 506: 439: 387: 338:. The inverse Hankel transform of 227: 182: 44:Bessel functions of the first kind 14: 11803: 11269:10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9 10724:Poularikas, Alexander D. (1996). 10699:. London: Prentice-Hall. p. 7615:The optimal choice of parameters 4915:which is the Hankel transform of 778:The two definitions are related: 638:{\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}} 11082:Quarterly of Applied Mathematics 10966:Journal of Computational Physics 10825:Faris, William G. (2008-12-06). 5309: 4414: 4399: 4240: 4225: 4175: 4160: 4047: 4032: 3985:If a three-dimensional function 3733: 3677: 3639: 3523: 3218: 3124: 3104: 3010: 2979: 2948: 2915: 2895: 2858: 2753: 2614: 2566: 2544: 2520: 2491: 2456: 2417: 2228: 2220: 2131: 2118: 2110: 2091: 2055: 1978: 1424: 67:axis. The necessary coefficient 11095:10.1090/s0033-569x-2011-01239-2 11066: 11041: 11000: 8722: 8637: 8522: 8266: 6672: 5995: 5245: 5075:and the expansion coefficients 4717:-dimensional Fourier transform 3116: 2989:{\displaystyle F(\mathbf {k} )} 2958:{\displaystyle f(\mathbf {r} )} 1988:{\displaystyle f(\mathbf {r} )} 1562: 1115:Transforming Laplace's equation 11156:Static and Dynamic Electricity 11137:Handbook of Integral Equations 10957: 10906: 10871: 10846: 10818: 10785: 10750: 10728:. Boca Raton Fla.: CRC Press. 10717: 10681: 10599: 10590: 10577: 10571: 10518: 10508: 10502: 10496: 10116: 10110: 10047: 10038: 9859: 9835: 9822: 9804: 9777: 9752: 9568: 9546: 9498: 9495: 9483: 9468: 9455: 9437: 9322: 9316: 9285: 9279: 9138: 9132: 9064: 9051: 8999: 8986: 8936: 8927: 8516: 8507: 8412: 8404: 7989:{\displaystyle {\frac {1}{k}}} 7961:{\displaystyle {\frac {1}{r}}} 7919: 7913: 7863: 7857: 7826: 7820: 7773: 7767: 7729: 7703: 7677: 7671: 7597: 7574: 7407: 7401: 7389: 7332: 7298: 7283: 7255: 7216: 7138: 7126: 7114: 7085: 7062: 7001: 6995: 6983: 6954: 6928: 6871: 6865: 6859: 6821: 6809: 6797: 6787: 6781: 6775: 6745: 6739: 6727: 6251: 6242: 6207: 6195: 6143: 6134: 6086: 6080: 6017: 6002: 5923: 5914: 5874: 5864: 5736: 5715: 5698: 5686: 5667: 5647: 5495: 5486: 5313: 5305: 5144: 5138: 5060:If a two-dimensional function 5025: 5015: 4995: 4975: 4955: 4949: 4888: 4879: 4852: 4846: 4784: 4774: 4768: 4762: 4664: 4644: 4624: 4618: 4561: 4552: 4525: 4519: 4472: 4466: 4420: 4390: 4371: 4365: 4313: 4303: 4262: 4252: 4246: 4210: 4181: 4151: 4132: 4126: 4053: 4017: 3924: 3918: 3901:-th order Hankel transform of 3855: 3846: 3833: 3827: 3796: 3790: 3757: 3751: 3681: 3673: 3619: 3613: 3573: 3561: 3533:If a two-dimensional function 3451: 3442: 3409: 3403: 3336: 3326: 3309: 3299: 3293: 3287: 3224: 3209: 3190: 3184: 3128: 3120: 3110: 3095: 3076: 3070: 3014: 3006: 2983: 2975: 2952: 2944: 2901: 2886: 2862: 2854: 2819: 2810: 2759: 2744: 2709: 2699: 2634: 2624: 2618: 2610: 2462: 2447: 2423: 2408: 2379: 2370: 2331: 2321: 2274: 2264: 2247: 2237: 2095: 2087: 2059: 2051: 1982: 1974: 1910: 1905: 1899: 1885: 1843: 1838: 1832: 1825: 1764: 1758: 1745: 1739: 1695: 1689: 1683: 1677: 1550: 1533: 1508: 1494: 1481: 1472: 1064: 1060: 1054: 1047: 982: 973: 960: 954: 923: 917: 878: 872: 856: 850: 813: 807: 798: 792: 739: 730: 717: 711: 687: 681: 615: 602: 596: 590: 529: 525: 519: 512: 430: 421: 408: 402: 371: 365: 218: 209: 196: 190: 166: 160: 1: 11250:MacKinnon, Robert F. (1972). 11242:10.1090/S0025-5718-67-99149-1 11048:Papoulis, Athanasios (1981). 10900:10.1016/S0010-4655(98)00108-8 10779:10.1088/0143-0807/36/1/015016 10675: 7741:{\displaystyle r\to \infty .} 7661:depends on the properties of 7654:{\displaystyle r_{0},k_{0},n} 5045:{\displaystyle (2\pi )^{d/2}} 4961:{\displaystyle r^{d/2-1}f(r)} 1429:The Bessel functions form an 331:{\displaystyle \nu \geq -1/2} 103: 34:expresses any given function 11463:10.1016/0893-9659(96)00067-5 11026:10.1016/0898-1221(93)90081-6 10986:10.1016/0021-9991(78)90107-9 2996:in hyperspherical harmonics: 2573:{\displaystyle \mathbf {k} } 2551:{\displaystyle \mathbf {r} } 7: 11450:Applied Mathematics Letters 11154:Smythe, William R. (1968). 10759:European Journal of Physics 10638: 9328:{\displaystyle F_{\nu }(k)} 7802:Some Hankel transform pairs 4588:is the Hankel transform of 1645:are well defined, then the 281:of the first kind of order 10: 11808: 11541:IEEE Trans. Signal Process 11291:Mathematics of Computation 11256:Mathematics of Computation 11229:Mathematics of Computation 10122:{\displaystyle -r^{2}f(r)} 9144:{\displaystyle -r^{2}f(r)} 7757:in logarithmic variables, 5957:discrete Fourier transform 3977:in the previous section). 1959:hyperspherical coordinates 18: 11444:Barakat, Richard (1996). 11139:. Boca Raton: CRC Press. 11116:Gaskill, Jack D. (1978). 8547: 11740:Cerjan, Charles (2007). 10467:The Hankel transform of 10079:Expressable in terms of 7869:{\displaystyle F_{0}(k)} 7794:, and methods using the 7792:projection-slice theorem 6580:projection-slice theorem 3930:{\displaystyle f_{m}(r)} 270:{\displaystyle J_{\nu }} 100:over a finite interval. 19:Not to be confused with 11766:10.1364/JOSAA.24.001609 11725:10.1364/JOSAA.21.000053 11688:10.1364/JOSAA.21.001811 11651:10.1364/JOSAA.20.000621 11535:Knockaert, Luc (2000). 11508:Wieder, Thomas (1999). 11501:10.1364/JOSAA.16.002581 11437:10.1364/JOSAA.10.001872 11177:10.1112/plms/s2-39.1.49 7790:, methods based on the 7304:{\textstyle O(N\log N)} 6226:Using the re-expansion 5102:may be expanded into a 2194:{\displaystyle Y_{l,m}} 21:Hankel matrix transform 11514:ACM Trans. Math. Softw 11408:10.1364/JOSAA.9.002031 11342:10.1364/JOSA.66.000207 11208:10.1098/rsta.1955.0005 10615: 10423: 10270: 10123: 10071: 10002: 9784: 9702: 9575: 9508: 9359: 9329: 9292: 9256: 9145: 9100: 8960: 8891: 8809: 8749: 8664: 8581: 8538: 8483: 8429: 8374: 8321: 8146: 8116: 8081: 8051: 8013: 7990: 7962: 7932: 7893: 7870: 7833: 7780: 7755:fast Fourier transform 7742: 7713: 7712:{\displaystyle r\to 0} 7687: 7655: 7609: 7348: 7316:fast Fourier transform 7305: 7265: 7095: 6964: 6840: 6707: 6611: 6512: 6217: 6052: 5937: 5268: 5046: 5002: 4962: 4909: 4700:-dimensional function 4671: 4631: 4582: 4430: 4348: 4302: 4191: 4109: 4082: 3971: 3951: 3931: 3895: 3875: 3767: 3654: 3602: 3514: 3513:{\textstyle r^{d/2-1}} 3472: 3234: 3157: 3043: 2990: 2959: 2928: 2698: 2594: 2574: 2552: 2530: 2501: 2472: 2320: 2195: 2162: 2142: 2035: 2009: 1989: 1940: 1787: 1587: 1415: 1395: 1352: 1147: 1146:{\displaystyle -k^{2}} 1090: 1012: 895: 827: 769: 649:Alternative definition 639: 571: 453: 332: 295: 271: 241: 126: 16:Mathematical operation 11527:10.1145/317275.317284 10660:Fourier–Bessel series 10616: 10424: 10271: 10124: 10072: 10003: 9785: 9703: 9576: 9509: 9360: 9358:{\displaystyle r^{s}} 9330: 9293: 9257: 9146: 9101: 8961: 8892: 8810: 8750: 8665: 8582: 8539: 8484: 8430: 8375: 8322: 8147: 8145:{\displaystyle r^{m}} 8117: 8082: 8080:{\displaystyle r^{3}} 8052: 8014: 7991: 7963: 7933: 7894: 7871: 7834: 7798:of Bessel functions. 7781: 7753:Since it is based on 7743: 7714: 7688: 7686:{\displaystyle f(r),} 7656: 7610: 7349: 7306: 7266: 7096: 6965: 6841: 6708: 6612: 6610:{\displaystyle FA=H.} 6532:expressed as sums of 6513: 6218: 6053: 5938: 5269: 5047: 5003: 4963: 4910: 4684:Fourier transform in 4672: 4632: 4583: 4431: 4322: 4279: 4192: 4083: 4059: 3972: 3952: 3932: 3896: 3876: 3768: 3655: 3579: 3515: 3473: 3235: 3134: 3020: 2991: 2960: 2929: 2675: 2595: 2575: 2553: 2531: 2502: 2473: 2297: 2196: 2163: 2143: 2036: 2010: 1990: 1941: 1788: 1588: 1416: 1396: 1353: 1148: 1091: 1013: 896: 828: 770: 640: 572: 454: 333: 296: 272: 242: 127: 98:Fourier–Bessel series 11613:10.1364/oe.10.000521 10880:Comput. Phys. 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A 10670:Y and H transforms 10665:Neumann polynomial 10650:Integral transform 10611: 10540: 10481: 10419: 10266: 10119: 10081:elliptic integrals 10067: 9998: 9991: 9880: 9780: 9698: 9691: 9616: 9599: 9571: 9504: 9481: 9435: 9355: 9325: 9288: 9252: 9141: 9096: 8956: 8887: 8883: 8805: 8745: 8660: 8577: 8534: 8479: 8425: 8370: 8317: 8315: 8253: 8199: 8142: 8112: 8077: 8047: 8009: 7986: 7958: 7928: 7889: 7866: 7829: 7776: 7738: 7709: 7683: 7651: 7605: 7361: 7344: 7301: 7261: 7091: 6960: 6836: 6751: 6703: 6607: 6508: 6213: 6168: 6111: 6048: 5933: 5931: 5826: 5764: 5734: 5616: 5599: 5537: 5453: 5401: 5384: 5338: 5264: 5219: 5175: 5088:, the radial part 5042: 5008:up to a factor of 4998: 4958: 4905: 4801: 4667: 4627: 4578: 4478: 4426: 4187: 3967: 3947: 3927: 3891: 3871: 3802: 3763: 3702: 3650: 3510: 3468: 3345: 3230: 3167: 3053: 2986: 2955: 2924: 2865: 2762: 2727: 2590: 2570: 2548: 2526: 2497: 2468: 2426: 2391: 2191: 2158: 2138: 2031: 2005: 1985: 1936: 1869: 1809: 1797:Parseval's theorem 1783: 1714: 1659: 1647:Plancherel theorem 1583: 1447: 1411: 1391: 1348: 1143: 1121:Laplace's equation 1086: 1031: 1008: 929: 891: 823: 765: 693: 635: 567: 496: 449: 377: 328: 291: 267: 237: 172: 122: 82:integral transform 11579:20.500.12860/4476 11571:10.1109/78.845927 11487:(10): 2581–2582. 11394:(11): 2031–2033. 11146:978-0-8493-2876-3 11127:978-0-471-29288-3 10864:978-0-12-384933-5 10803:978-981-322-930-3 10645:Fourier transform 10537: 10438:polar coordinates 10417: 10384: 10371: 10279: 10278: 10253: 10226: 10193: 10180: 9990: 9916: 9879: 9863: 9690: 9615: 9598: 9502: 9480: 9434: 9411: 9265: 9264: 9250: 9217: 9204: 9090: 9087: 9026: 9022: 8915: 8882: 8842: 8781: 8717: 8713: 8632: 8628: 8575: 8477: 8423: 8368: 8367: 8314: 8261: 8252: 8198: 8110: 8045: 8012:{\displaystyle r} 7984: 7956: 7926: 7892:{\displaystyle 1} 7535: 7528: 7482: 7392: 7335: 7117: 6986: 6862: 6800: 6778: 6730: 6572:Fourier transform 6456: 6432: 6375: 6351: 6300: 6159: 6102: 5890: 5817: 5755: 5733: 5590: 5528: 5452: 5375: 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