1645:
645:
1640:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\right)\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots \right)\left({\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}
4824:
4194:
2187:
4819:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X|^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\cdot X^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\left\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]\,X^{*}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x\left\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x(N\cdot x^{*})\\&=\sum _{n=0}^{N-1}|x|^{2},\end{aligned}}}
1707:
3509:
2182:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left_{-\pi }^{+\pi }\\&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\\end{aligned}}}
3282:
525:
2686:
4895:
Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des
Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in
3302:
3816:
3108:
2517:
2407:
3119:
4073:
381:
650:
4199:
2531:
1712:
3504:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f}
367:
278:
3576:
3666:
637:
3641:
31:; loosely, that the sum (or integral) of the square of a function is equal to the sum (or integral) of the square of its transform. It originates from a 1799 theorem about
2807:
2781:
2270:
156:
4898:
Mémoires présentés à l’Institut des
Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.)
3849:
2972:
2964:
3893:
1695:
182:
3609:
2928:
2864:
2248:
2219:
599:
134:
105:
2419:
2309:
4847:
4186:
4154:
4134:
4105:
3921:
3873:
2290:
1668:
562:
2899:
3277:{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}
3936:
520:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,}
2681:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,}
3811:{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi }
290:
201:
3517:
4928:
Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies,"
5035:
4977:
4159:
We show the DFT case below. For the other cases, the proof is similar. By using the definition of inverse DFT of
3852:
2706:
3650:
of a signal can be calculated by summing power-per-sample across time or spectral power across frequency.
3579:
4871:
3657:
604:
4857:
Parseval's theorem is closely related to other mathematical results involving unitary transformations:
3927:
3647:
2828:
3614:
4969:
2790:
2764:
2253:
139:
4866:
3103:{\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}
4911:
4876:
4861:
3824:
3293:
4916:
2933:
4909:
Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature,"
36:
4961:
2512:{\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}
2402:{\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}
5002:
3878:
1677:
164:
32:
3585:
2904:
2840:
2224:
2195:
575:
110:
81:
8:
4962:
2719:, Parseval's theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between
569:
52:
4832:
4162:
4139:
4110:
4081:
3906:
3858:
2275:
1653:
547:
67:
5001:. Translated by Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. p.
2869:
5019:
4973:
3896:
2810:
2293:
1671:
185:
159:
24:
2297:
1650:
As is the case with the middle terms in this example, many terms will integrate to
189:
28:
4995:
58:
Although the term "Parseval's theorem" is often used to describe the unitarity of
2713:
4957:
4068:{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X|^{2}}
2827:, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called
2720:
2301:
565:
193:
40:
5029:
3654:
2818:
2739:
2747:
66:, the most general form of this property is more properly called the
1698:
3646:
The interpretation of this form of the theorem is that the total
63:
3900:
4946:. Vol. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. p. 439.
362:{\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}
273:{\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}
3571:{\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}
2757:
is the integers and this is the case discussed above. When
2738:) (with integration being against the appropriately scaled
2966:
are integrable on that interval), with the
Fourier series
4968:(4th ed.). Reading, MA: Addison Wesley. p.
4835:
4197:
4165:
4142:
4113:
4084:
3939:
3909:
3881:
3861:
3827:
3669:
3617:
3588:
3520:
3305:
3122:
2975:
2936:
2907:
2872:
2843:
2834:
Parseval's theorem can also be expressed as follows:
2793:
2767:
2534:
2422:
2312:
2278:
2256:
2227:
2198:
1710:
1680:
1656:
648:
607:
578:
550:
384:
293:
204:
167:
142:
113:
84:
4994:
4841:
4818:
4180:
4148:
4128:
4099:
4067:
3915:
3887:
3867:
3843:
3810:
3635:
3603:
3570:
3503:
3276:
3102:
2958:
2922:
2893:
2858:
2801:
2775:
2680:
2511:
2401:
2284:
2264:
2242:
2213:
2181:
1689:
1662:
1639:
631:
593:
556:
519:
361:
272:
176:
150:
128:
99:
73:
4992:
5027:
4941:
3287:
4956:
4915:, vol. 27, pages 460–469. Available on-line
4930:Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
3565:
3550:
2250:are instead two complex-valued functions on
3296:, Parseval's theorem is often written as:
4646:
4610:
4480:
4466:
4430:
3492:
3427:
3353:
3170:
2795:
2769:
2666:
2258:
874:
505:
144:
2300:) over intervals of period length, with
192:) over intervals of period length, with
5028:
23:usually refers to the result that the
2866:is a square-integrable function over
3643:is frequency in radians per second.
2525:
375:
136:are two complex-valued functions on
13:
3801:
3689:
3684:
3539:
3494:
3452:
3447:
3429:
3393:
3388:
3355:
3319:
3314:
3223:
3172:
3027:
2668:
2554:
2549:
2457:
2452:
2347:
2342:
1734:
1729:
1626:
1413:
1089:
876:
828:
823:
768:
763:
672:
667:
632:{\displaystyle {\overline {B(x)}}}
507:
404:
399:
328:
323:
239:
234:
14:
5047:
5013:
2809:and the unitary transform is the
62:Fourier transform, especially in
39:, which was later applied to the
4900:, vol. 1, pages 638–648 (1806).
3853:discrete-time Fourier transform
74:Statement of Parseval's theorem
4986:
4950:
4935:
4922:
4903:
4889:
4849:represents complex conjugate.
4799:
4794:
4788:
4781:
4740:
4737:
4731:
4712:
4709:
4703:
4607:
4601:
4556:
4550:
4497:
4491:
4427:
4421:
4343:
4337:
4321:
4315:
4258:
4253:
4247:
4240:
4175:
4169:
4123:
4117:
4094:
4088:
4055:
4050:
4044:
4037:
3986:
3981:
3975:
3968:
3790:
3785:
3777:
3760:
3713:
3708:
3702:
3695:
3636:{\displaystyle \omega =2\pi f}
3598:
3592:
3562:
3556:
3530:
3524:
3482:
3477:
3465:
3458:
3417:
3412:
3406:
3399:
3343:
3338:
3332:
3325:
3167:
3161:
3094:
3091:
3082:
3060:
3051:
3032:
2985:
2979:
2953:
2947:
2917:
2911:
2888:
2873:
2853:
2847:
2705:Even more generally, given an
2694:
2657:
2651:
2642:
2636:
2432:
2426:
2322:
2316:
2237:
2231:
2208:
2202:
620:
614:
588:
582:
533:
496:
490:
481:
475:
303:
297:
214:
208:
123:
117:
94:
88:
1:
3930:(DFT), the relation becomes:
2707:abelian locally compact group
568:and horizontal bars indicate
5036:Theorems in Fourier analysis
3580:continuous Fourier transform
3288:Notation used in engineering
2802:{\displaystyle \mathbb {R} }
2776:{\displaystyle \mathbb {R} }
2661:
2581:
2265:{\displaystyle \mathbb {R} }
2164:
2134:
2086:
2038:
1944:
1901:
1852:
1816:
1761:
1609:
1566:
1520:
1490:
1377:
1312:
1247:
1182:
1053:
1014:
845:
699:
624:
500:
431:
151:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
4852:
10:
5052:
4993:Georgi P. Tolstov (1962).
3928:discrete Fourier transform
2829:discrete Fourier transform
4942:Arthur E. Danese (1965).
4932:, vol. 30, pages 298–335.
3844:{\displaystyle X_{2\pi }}
3582:(in non-unitary form) of
2742:on the two groups.) When
45:Rayleigh's energy theorem
4882:
2959:{\displaystyle f^{2}(x)}
4872:Wiener–Khinchin theorem
3926:Alternatively, for the
3660:, the theorem becomes:
2813:on the real line. When
43:. It is also known as
4912:Philosophical Magazine
4843:
4820:
4779:
4699:
4590:
4546:
4417:
4385:
4311:
4238:
4182:
4150:
4130:
4101:
4069:
4035:
3966:
3917:
3889:
3869:
3845:
3812:
3693:
3637:
3605:
3572:
3505:
3294:electrical engineering
3278:
3227:
3104:
3031:
2960:
2924:
2895:
2860:
2803:
2777:
2682:
2558:
2513:
2461:
2403:
2351:
2286:
2266:
2244:
2215:
2183:
1738:
1691:
1664:
1641:
832:
772:
676:
633:
595:
558:
521:
408:
363:
332:
274:
243:
178:
152:
130:
101:
16:Theorem in mathematics
4844:
4821:
4753:
4673:
4564:
4520:
4391:
4359:
4285:
4212:
4183:
4151:
4131:
4102:
4070:
4009:
3940:
3918:
3890:
3888:{\displaystyle \phi }
3870:
3846:
3813:
3670:
3638:
3606:
3573:
3506:
3279:
3207:
3105:
3011:
2961:
2925:
2896:
2861:
2831:in applied contexts.
2804:
2778:
2683:
2535:
2514:
2438:
2404:
2328:
2296:(with respect to the
2287:
2267:
2245:
2216:
2184:
1715:
1692:
1690:{\displaystyle 2\pi }
1665:
1642:
809:
749:
653:
634:
596:
559:
522:
385:
364:
309:
275:
220:
188:(with respect to the
179:
177:{\displaystyle 2\pi }
153:
131:
102:
37:Marc-Antoine Parseval
4867:Plancherel's theorem
4833:
4195:
4163:
4140:
4111:
4082:
3937:
3907:
3879:
3859:
3825:
3667:
3615:
3604:{\displaystyle x(t)}
3586:
3518:
3303:
3120:
2973:
2934:
2923:{\displaystyle f(x)}
2905:
2870:
2859:{\displaystyle f(x)}
2841:
2791:
2765:
2532:
2420:
2310:
2276:
2254:
2243:{\displaystyle B(x)}
2225:
2214:{\displaystyle A(x)}
2196:
1708:
1678:
1654:
646:
605:
594:{\displaystyle A(x)}
576:
548:
382:
291:
202:
165:
140:
129:{\displaystyle B(x)}
111:
100:{\displaystyle A(x)}
82:
4877:Bessel's inequality
4862:Parseval's identity
3758:
3456:
3397:
3323:
3265:
3247:
3198:
3150:
2632:
2522:respectively. Then
2192:More generally, if
1979:
1462:
1138:
925:
743:
570:complex conjugation
471:
372:respectively. Then
53:John William Strutt
49:Rayleigh's identity
5020:Parseval's Theorem
4839:
4816:
4814:
4178:
4146:
4126:
4097:
4065:
3913:
3885:
3865:
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