695:
1536:
2159:
1355:
1901:
1196:
1782:
813:
2030:
2621:
1040:
948:
499:
2445:
1628:
447:
330:
1242:
2930:
2339:
1407:
2665:
2512:
2993:
2384:
2808:
200:
2268:
377:
1399:
1082:
2041:
2842:
1250:
230:
851:
1793:
1090:
2549:
1544:
The initial condition of the flow and the group property completely determine the entire Lie flow, providing a solution to the translation functional equation
1658:
116:
714:
1920:
2393:
690:{\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}
956:
859:
2278:
The shift operator acting on real- or complex-valued functions or sequences is a linear operator which preserves most of the standard
3054:
3316:
3122:
1550:
3248:
3171:
3218:
3192:
3154:
490:
2537:
3049:
2390:
In both cases, the (left) shift operator satisfies the following commutation relation with the
Fourier transform:
391:
1531:{\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}
247:
2717:
1203:
3272:
2856:
2303:
3282:
3258:
2632:
2479:
2935:
19:
This article is about shift operators in mathematics. For operators in computer programming languages, see
2348:
3277:
3253:
108:
2767:
3342:
177:
120:
3195:
2213:
2154:{\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}
348:
1362:
1350:{\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}
1045:
3185:
3044:
2825:
213:
2452:
1896:{\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}
821:
51:
47:
148:
24:
1191:{\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}
486:
as above. This, then, is a formal encoding of the Taylor expansion in
Heaviside's calculus.
3132:
2850:
336:
91:
3230:"A one-parameter continuous group is equivalent to a group of translations". M Hamermesh,
8:
2521:
2283:
131:. Shifts of sequences (functions of an integer variable) appear in diverse areas such as
35:
3102:
2525:
2279:
107:, important for their simplicity and natural occurrence. The shift operator action on
3312:
3214:
3188:
3150:
3118:
3075:
3010:
2733:
2164:
The right and left shift operators acting on two-sided infinite sequences are called
1911:
1649:
140:
112:
2846:
is called a family of generalized shift operators if the following properties hold:
1777:{\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}
3304:
3110:
3078:
3034:
2710:
2343:
The shift operator acting on functions of a real variable is a unitary operator on
2295:
465:
453:
152:
3128:
3105:(2006). "The generalized shift, transformation operators, and inverse problems".
136:
104:
144:
808:{\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}
3336:
3308:
3244:
3039:
2756:
2744:
2183:
705:
3170:(Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5,
3114:
2025:{\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}
96:
2616:{\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}
1639:
132:
128:
31:
3022:
2529:
124:
3083:
2725:
20:
2517:
382:
1035:{\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}
943:{\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}
2282:
which appear in functional analysis. Therefore, it is usually a
2709:. This observation is at the heart of the construction of many
489:
The operator thus provides the prototype for Lie's celebrated
452:
which may be interpreted operationally through its formal
2440:{\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}
16:
Linear mathematical operator which translates a function
3211:
Lectures on
Functional Equations and Their Applications
3073:
2294:
The shift operator acting on two-sided sequences is a
1223:
981:
353:
3168:
2938:
2859:
2828:
2770:
2635:
2552:
2482:
2396:
2351:
2306:
2216:
2044:
1923:
1796:
1661:
1553:
1410:
1365:
1253:
1206:
1093:
1048:
959:
862:
824:
717:
502:
394:
351:
250:
216:
180:
2273:
1623:{\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}
2987:
2924:
2836:
2802:
2659:
2615:
2506:
2439:
2378:
2333:
2262:
2153:
2024:
1895:
1776:
1622:
1530:
1393:
1349:
1236:
1190:
1076:
1034:
942:
845:
807:
689:
441:
371:
324:
224:
194:
3334:
115:, for example, it appears in the definitions of
3243:
163:
23:. For the shift operator of group schemes, see
147:is an explicit representation. The notion of
3107:Mathematical events of the twentieth century
2785:
2771:
442:{\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}
3213:(Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6,
2289:
325:{\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}
3299:Partington, Jonathan R. (March 15, 2004).
3298:
3270:
3101:
2830:
2650:
2603:
2497:
2366:
2321:
2134:
2130:
2086:
2082:
1876:
1872:
1828:
1824:
1237:{\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}
218:
188:
3055:Translation operator (quantum mechanics)
2925:{\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).}
2334:{\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}
2660:{\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}
2507:{\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}
2035:and on two-sided infinite sequences by
1787:and on two-sided infinite sequences by
3335:
3109:. Berlin: Springer. pp. 145–162.
2988:{\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.}
339:representation of the linear operator
3205:
3203:
3097:
3095:
3074:
2178:In general, as illustrated above, if
818:For example, it easily follows that
3325:Marvin Rosenblum and James Rovnyak,
3249:"Generalized displacement operators"
2379:{\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}
3301:Linear Operators and Linear Systems
460:; and whose action on the monomial
94:, the shift operator is called the
13:
3200:
3092:
2803:{\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}}
2429:
2399:
2143:
2138:
2095:
2090:
1885:
1880:
1837:
1832:
14:
3354:
3329:, (1985) Oxford University Press.
3327:Hardy Classes and Operator Theory
3183:p 75 of Georg Scheffers (1891):
2753:generalized displacement operator
2739:
2736:; it has Fredholm index −1.
2173:
491:advective flow for Abelian groups
343:in terms of the plain derivative
195:{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
2274:Properties of the shift operator
2263:{\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}
700:where the canonical coordinates
372:{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}
155:analogue of the shift operator.
103:Shift operators are examples of
3292:
2755:); it was further developed by
1394:{\displaystyle \beta (x)=e^{x}}
1077:{\displaystyle \beta (x)=x^{2}}
765:
3303:. Cambridge University Press.
3264:
3237:
3224:
3177:
3160:
3147:Calculus of Finite Differences
3145:Jordan, Charles, (1939/1965).
3139:
3067:
2916:
2910:
2907:
2891:
2885:
2879:
2876:
2860:
2654:
2646:
2607:
2599:
2501:
2493:
2370:
2362:
2325:
2317:
2254:
2242:
2233:
2227:
2123:
2103:
2100:
2075:
2061:
2019:
1981:
1978:
1975:
1930:
1865:
1845:
1842:
1817:
1803:
1771:
1726:
1723:
1720:
1675:
1614:
1608:
1586:
1583:
1577:
1564:
1464:
1458:
1375:
1369:
1304:
1298:
1216:
1210:
1147:
1141:
1058:
1052:
1029:
1020:
1011:
1005:
934:
918:
909:
903:
834:
828:
799:
796:
790:
784:
775:
769:
753:
747:
732:
726:
676:
667:
661:
655:
628:
616:
607:
601:
558:
552:
526:
520:
313:
301:
292:
286:
270:
264:
1:
2463:. Therefore, the spectrum of
158:
3149:, (AMS Chelsea Publishing),
2837:{\displaystyle \mathbb {C} }
1633:
225:{\displaystyle \mathbb {R} }
164:Functions of a real variable
109:functions of a real variable
7:
3278:Encyclopedia of Mathematics
3254:Encyclopedia of Mathematics
3028:
1910:operator acts on one-sided
1648:operator acts on one-sided
846:{\displaystyle \beta (x)=x}
121:positive-definite functions
111:plays an important role in
10:
3359:
3273:"Almost-periodic function"
3271:Bredikhina, E.A. (2001) ,
3247:; Litvinov, G.L. (2001) ,
3187:, Teubner, Leipzig, 1891.
2749:generalized shift operator
2528:which vanish in the first
1637:
18:
2747:introduced the notion of
708:) are defined such that
117:almost periodic functions
3309:10.1017/cbo9780511616693
3060:
3045:Clock and shift matrices
2816:of functions from a set
2290:Action on Hilbert spaces
3115:10.1007/3-540-29462-7_8
2453:multiplication operator
475:, and so all functions
3017:In this case, the set
2989:
2926:
2838:
2804:
2762:A family of operators
2661:
2617:
2508:
2441:
2380:
2335:
2264:
2155:
2026:
1897:
1778:
1624:
1532:
1395:
1351:
1238:
1192:
1078:
1036:
944:
847:
809:
691:
443:
373:
326:
226:
196:
2990:
2927:
2839:
2805:
2662:
2618:
2509:
2442:
2381:
2336:
2265:
2197:, the shift operator
2156:
2027:
1898:
1779:
1625:
1533:
1396:
1352:
1239:
1193:
1079:
1042:(parity); likewise,
1037:
945:
848:
810:
692:
444:
374:
327:
227:
197:
149:triangulated category
25:Verschiebung operator
3166:M Hamermesh (1989),
2936:
2857:
2826:
2768:
2732:is one example of a
2633:
2580: for each
2550:
2546:, in the sense that
2480:
2470:The one-sided shift
2467:is the unit circle.
2394:
2349:
2304:
2214:
2182:is a function on an
2042:
1921:
1794:
1659:
1551:
1408:
1363:
1251:
1204:
1091:
1046:
957:
860:
822:
715:
500:
392:
349:
337:operational calculus
248:
214:
178:
139:, and the theory of
92:time series analysis
44:translation operator
42:, also known as the
34:, and in particular
2284:continuous operator
2147:
2099:
1889:
1841:
234:to its translation
204:) takes a function
168:The shift operator
36:functional analysis
3076:Weisstein, Eric W.
2985:
2922:
2834:
2812:acting on a space
2800:
2657:
2613:
2504:
2437:
2376:
2331:
2260:
2151:
2122:
2074:
2022:
1893:
1864:
1816:
1774:
1620:
1528:
1391:
1347:
1234:
1232:
1188:
1074:
1032:
995:
940:
843:
805:
687:
464:is evident by the
439:
381:was introduced by
369:
367:
322:
222:
192:
3343:Unitary operators
3318:978-0-521-83734-7
3209:Aczel, J (2006),
3124:978-3-540-23235-3
3050:Finite difference
3011:identity operator
2734:Fredholm operator
2711:unitary dilations
2627:is the vector in
2581:
2193:is an element of
1912:infinite sequence
1650:infinite sequence
1514:
1448:
1338:
1288:
1273:
1231:
1179:
1131:
994:
893:
761:
757:
591:
542:
435:
429:
366:
318:
141:symbolic dynamics
137:abelian varieties
113:harmonic analysis
3350:
3322:
3286:
3285:
3268:
3262:
3261:
3241:
3235:
3228:
3222:
3207:
3198:
3181:
3175:
3164:
3158:
3143:
3137:
3136:
3103:Marchenko, V. A.
3099:
3090:
3089:
3088:
3079:"Shift Operator"
3071:
3035:Arithmetic shift
3020:
3008:
3004:
3000:
2994:
2992:
2991:
2986:
2981:
2980:
2971:
2970:
2958:
2957:
2948:
2947:
2931:
2929:
2928:
2923:
2903:
2902:
2872:
2871:
2845:
2843:
2841:
2840:
2835:
2833:
2819:
2815:
2811:
2809:
2807:
2806:
2801:
2799:
2798:
2783:
2782:
2731:
2723:
2708:
2701:
2691:
2684:
2668:
2666:
2664:
2663:
2658:
2653:
2645:
2644:
2626:
2622:
2620:
2619:
2614:
2606:
2598:
2597:
2582:
2579:
2565:
2564:
2545:
2535:
2515:
2513:
2511:
2510:
2505:
2500:
2492:
2491:
2473:
2466:
2462:
2450:
2446:
2444:
2443:
2438:
2433:
2432:
2426:
2425:
2413:
2412:
2403:
2402:
2387:
2385:
2383:
2382:
2377:
2369:
2361:
2360:
2342:
2340:
2338:
2337:
2332:
2324:
2316:
2315:
2296:unitary operator
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