3234:
2128:
3229:{\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}\left(]+]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left(]]]+]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left(]]]+]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left(]]]+]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left(]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left(]]]]-]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left(]]]]-]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}
1579:
4198:
6494:
1163:
3876:
13041:
5437:
11454:
6272:
9930:
3470:
8911:
9376:
10057:
5268:
3638:
12780:
12748:
5273:
5604:
are small. Thus, the conclusion that the product operation on a Lie group is determined by the Lie algebra is only a local statement. Indeed, the result cannot be global, because globally one can have nonisomorphic Lie groups with isomorphic Lie algebras.
1574:{\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}
4983:
11203:
11094:
12776:
This degenerate Baker–Campbell–Hausdorff formula then displays the product of two displacement operators as another displacement operator (up to a phase factor), with the resultant displacement equal to the sum of the two displacements,
9698:
4193:{\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.}
3323:
8534:
10875:
13452:, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 34 (1902) 347–360; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 35 (1903) 333–374; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
11776:
4444:
10336:
4577:
9150:
339:
12406:
10673:
9145:
5159:
9935:
6882:
3804:
3479:
6489:{\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),}
13216:
9650:
12577:
9538:
7751:.] For many applications, the mere assurance of the existence of this formal expression is sufficient, and an explicit expression for this infinite sum is not needed. This is for instance the case in the
940:
in 1890 where a convergent power series is given, with terms recursively defined. This qualitative form is what is used in the most important applications, such as the relatively accessible proofs of the
12528:
12021:
11633:
10434:
3693:
10550:
5497:
2133:
5698:
8007:
6143:
4902:
8191:
7951:
7203:
5128:
7309:
867:
7894:
11851:
7121:
6267:
4302:
1150:
7043:
7695:
10893:
8127:
10155:
8456:
6656:
13036:{\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}e^{u{\hat {a}}^{\dagger }-u^{*}{\hat {a}}}=e^{(v+u){\hat {a}}^{\dagger }-(v^{*}+u^{*}){\hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},}
11535:
5839:
10678:
3863:
7579:
5547:
674:
106:
11638:
7805:
7749:
7719:
1114:
600:
463:
8397:
4308:
10177:
6766:
5432:{\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}
11144:
7627:
7605:
4450:
1956:
5632:
2109:
2043:
804:
12191:
8082:
5154:
4240:
747:
194:
8350:
8318:
7752:
5036:
2076:
556:
359:
12051:
11930:
11884:
8270:
11198:
11171:
7490:
7463:
7436:
6059:
5010:
4890:
4735:
4708:
4638:
4607:
1633:
1606:
12300:
1080:
as explicitly as possible. Numerous formulas exist; we will describe two of the main ones (Dynkin's formula and the integral formula of
Poincaré) in this section.
13651:
Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics".
10460:
6971:
6711:
6578:
5783:
12295:
12275:
12251:
12231:
12211:
12143:
12123:
7530:
7510:
7409:
7389:
7369:
7349:
7329:
7250:
7230:
6945:
6925:
6905:
6786:
6731:
6618:
6598:
6537:
6514:
6195:
6175:
5979:
5959:
5914:
5894:
5745:
5725:
5457:
5084:
5064:
4863:
4819:
4775:
4755:
4680:
4660:
3318:
2006:
1986:
1078:
1058:
1027:
1007:
987:
907:
887:
767:
721:
701:
624:
576:
523:
503:
483:
439:
419:
399:
379:
189:
169:
149:
56:
5874:
9093:
676:—can be expressed in purely Lie algebraic terms. The Baker–Campbell–Hausdorff formula can be used to give comparatively simple proofs of deep results in the
6791:
3721:
11449:{\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,}
13124:
9925:{\displaystyle {\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}
9543:
3465:{\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,}
1030:
8906:{\displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2]+])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}(,X],X]+3,X],Y]+3,Y],Y])}\cdots }
9388:
10557:
13434:
13785:
Biagi, Stefano; Bonfiglioli, Andrea; Matone, Marco (2018). "On the Baker-Campbell-Hausdorff
Theorem: non-convergence and prolongation issues".
13624:
961:(1947). The history of the formula is described in detail in the article of Achilles and Bonfiglioli and in the book of Bonfiglioli and Fulci.
1033:
in
Section 5.2 of Hall's book, where the precise coefficients play no role in the argument.) A remarkably direct existence proof was given by
14189:
13576:(1947). "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff" [Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula].
11939:
11547:
10341:
9371:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left+{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots .}
10465:
5641:
9382:
7956:
7903:
7126:
936:
and commutators of commutators, ad infinitum, are needed to express the solution. An earlier statement of the form was adumbrated by
7858:
14181:
13081:
7048:
677:
17:
13421:(1897) 381–390; (cf pp386-7 for the eponymous lemma); J. Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 29 (1898) 14–32.
9030:
4246:
14015:
Achilles, Rüdiger; Bonfiglioli, Andrea (May 2012). "The early proofs of the theorem of
Campbell, Baker, Hausdorff, and Dynkin".
5263:{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}
1119:
10052:{\displaystyle f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.}
5552:
This simple example illustrates that the various versions of the Baker–Campbell–Hausdorff formula, which give expressions for
14156:
14138:
14120:
14071:
13863:
12415:
7632:
3633:{\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}
10078:
3651:
12534:
5462:
12743:{\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}
14223:
6064:
3815:
1968:
The series is not convergent in general; it is convergent (and the stated formula is valid) for all sufficiently small
13415:
8143:
5089:
61:
14093:
13714:
13601:
13086:
10885:
7808:
7255:
4613:
the Baker–Campbell–Hausdorff formula. Rather, the Baker–Campbell–Hausdorff formula is one of various expressions for
3289:
813:
11785:
1029:
exists; the exact coefficients are often irrelevant. (See, for example, the discussion of the relationship between
7539:
Alternatively, we can give an existence argument as follows. The Baker–Campbell–Hausdorff formula implies that if
6215:
1638:
14045:
7755:
construction of a Lie group representation from a Lie algebra representation. Existence can be seen as follows.
13464:, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
13101:
12152:
12146:
8204:
4206:
6976:
14292:
14055:
13096:
12409:
6198:
13596:
A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie
Algebras", Academic Press, New York, 1973.
8972:
The following identity (Campbell 1897) leads to a special case of the Baker–Campbell–Hausdorff formula. Let
6496:
which is evident from the integral formula above. (The coefficients of the nested commutators with a single
8474:
8091:
1153:
8402:
4978:{\displaystyle \operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}
14050:
6623:
11459:
9077:
A standard combinatorial lemma which is utilized in producing the above explicit expansions is given by
5788:
14085:
13578:
3473:
912:
Modern expositions of the formula can be found in, among other places, the books of
Rossmann and Hall.
13438:
8458:
is primitive; and hence can be written as an infinite sum of elements of the Lie algebra generated by
7557:
5502:
629:
13750:
Wei, James (October 1963). "Note on the Global
Validity of the Baker-Hausdorff and Magnus Theorems".
7761:
7730:
7700:
1095:
581:
444:
8355:
14272:
13851:
13314:
8494:
6736:
4710:
in terms of commutators. (The reader is invited, for example, to verify by direct computation that
957:
by
Hausdorff (1906). The first actual explicit formula, with all numerical coefficients, is due to
11106:
10890:
A particularly useful variant of the above is the infinitesimal form. This is commonly written as
7610:
7588:
4892:
is expressible as a combination of commutators was shown in an elegant, recursive way by
Eichler.
13517:
14082:
Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples
5611:
2081:
2015:
772:
14297:
14243:
13377:
11089:{\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left+{\frac {1}{3!}}]-{\frac {1}{4!}}]]+\cdots }
8280:
The existence of the
Campbell–Baker–Hausdorff formula can now be seen as follows: The elements
8049:
5133:
4896:
726:
7351:
are sufficiently small. It is natural to collect together all terms where the total degree in
14302:
13903:
Casas, F.; Murua, A.; Nadinic, M. (2012). "Efficient computation of the Zassenhaus formula".
13449:
13437:
128 (1899) 1065–1069; Transactions of the Cambridge Philosophical Society 18 (1899) 220–255.
13368:
13070:
12758:
12557:
8323:
8291:
5038:
is expressible as a linear combination of commutators, the trace of each such terms is zero.
5015:
2048:
921:
810:. The point of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is then the highly nonobvious claim that
528:
344:
14226:
13394:
12026:
11905:
11863:
8225:
7438:. (See the section "Matrix Lie group illustration" above for formulas for the first several
7311:
using the power series for the exponential and logarithm, with convergence of the series if
131:. There are various ways of writing the formula, but all ultimately yield an expression for
13922:
13759:
13660:
13411:
13052:
11176:
11149:
8273:
7468:
7441:
7414:
6209:
5984:
4988:
4868:
4713:
4686:
4616:
4585:
1611:
1584:
946:
925:
12105:. Specifically, the position and momentum operators in quantum mechanics, usually denoted
10870:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left+{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots )}~e^{X}.}
8:
14287:
14112:
13075:
12062:
10439:
8961:
8197:
7721:. [This infinite series may or may not converge, so it need not define an actual element
6950:
6675:
6542:
13926:
13763:
13664:
12574:. As indicated above, the expansion then collapses to the semi-trivial degenerate form:
11771:{\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}
10462:
gives one of the special cases of the Baker–Campbell–Hausdorff formula described above:
5750:
4895:
A consequence of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is the following result about the
4737:
is expressible as a linear combination of the two nontrivial third-order commutators of
14235:
14105:
14032:
13938:
13912:
13820:
13794:
13682:
13622:(1954). "On the exponential solution of differential equations for a linear operator".
13065:
12408:
This "exponentiated commutation relation" does indeed hold, and forms the basis of the
12280:
12260:
12236:
12216:
12196:
12128:
12108:
11538:
7515:
7495:
7394:
7374:
7354:
7334:
7314:
7235:
7215:
6930:
6910:
6890:
6771:
6716:
6603:
6583:
6522:
6499:
6180:
6160:
5964:
5944:
5899:
5879:
5730:
5710:
5442:
5069:
5049:
4824:
4780:
4760:
4740:
4665:
4645:
4439:{\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)}
3715:
3303:
1991:
1971:
1063:
1043:
1012:
992:
972:
942:
892:
872:
752:
706:
686:
609:
561:
508:
488:
468:
424:
404:
384:
364:
174:
154:
134:
41:
14064:
Topics in Noncommutative Algebra: The Theorem of Campbell, Baker, Hausdorff and Dynkin
10331:{\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s)~g(s)~,}
6197:. This result is behind the "exponentiated commutation relations" that enter into the
5847:
14219:
14165:
14152:
14134:
14116:
14089:
14067:
14036:
13859:
13812:
13710:
13597:
13366:
F. Schur (1890), "Neue Begründung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen,"
13219:
12078:
12066:
8919:
are likewise nested commutators, i.e., homogeneous Lie polynomials. These exponents,
7824:
6150:
14203:
13824:
13430:
8509:. In common with all universal enveloping algebras, it has a natural structure of a
4572:{\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).}
950:
151:
in Lie algebraic terms, that is, as a formal series (not necessarily convergent) in
14263:
14231:
14211:
14198:
14024:
13942:
13930:
13804:
13767:
13678:
13668:
13633:
13529:
13389:
13091:
13044:
12102:
8478:
7582:
5920:
3239:
The above lists all summands of order 6 or lower (i.e. those containing 6 or fewer
13808:
3320:, many of which are used in the physics literature. A popular integral formula is
14177:
13553:
13461:
13048:
5917:
3288:. A complete elementary proof of this formula can be found in the article on the
954:
937:
929:
334:{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}]-{\frac {1}{12}}]+\cdots \,,}
1261:
14239:
14100:
13979:
13706:
13686:
13619:
13513:
12082:
8130:
7834:
7533:
4683:. The point is that it is far from obvious that it is possible to express each
2114:
The first few terms are well-known, with all higher-order terms involving and
1034:
109:
14028:
13934:
14281:
14256:
13816:
13573:
12401:{\displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.}
12098:
11895:
8029:
3696:
1157:
958:
13534:
12257:
applied a special case of the Baker–Campbell–Hausdorff formula (even though
6204:
Another useful form of the general formula emphasizes expansion in terms of
14267:
13637:
12054:
10668:{\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{e^{X}Ye^{-X}}=e^{e^{{\text{ad}}_{X}}Y},}
8510:
953:(1899) and Baker (1902); and systematized geometrically, and linked to the
949:. Following Schur, it was noted in print by Campbell (1897); elaborated by
807:
191:
and iterated commutators thereof. The first few terms of this series are:
14260:
14133:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
7552:
5635:
2119:
124:
31:
14131:
Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction
13051:. The degenerate Baker–Campbell–Hausdorff formula is frequently used in
12773:, into exponentials of annihilation and creation operators and scalars.
9381:
This is a particularly useful formula which is commonly used to conduct
9140:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},}
8531:
A related combinatoric expansion that is useful in dual applications is
8220:
2115:
933:
13771:
11856:
The usefulness of this expression comes from the fact that the matrix
6877:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=\exp \left(X+{\frac {s}{1-e^{-s}}}Y\right).}
3799:{\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}
3261:(anti-)/symmetry in alternating orders of the expansion, follows from
969:
For many purposes, it is only necessary to know that an expansion for
14151:, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications,
13983:
13672:
7897:
5574:
power series whose convergence is not guaranteed. Thus, if one wants
128:
12077:
A special case of the Baker–Campbell–Hausdorff formula is useful in
9688:, solution of the resulting differential equation and evaluation at
6947:
guarantees that the expression on the right side makes sense. (When
13799:
11097:
13917:
13262:
Equation (2) Section 1.3. For matrix Lie algebras over the fields
12297:
are unbounded operators and not matrices), we would conclude that
13274:, the convergence criterion is that the log series converges for
13211:{\displaystyle \psi (e^{y})=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}~y^{n}/n!,}
9645:{\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {}{n!}}.}
11544:
The series can be written more compactly (cf. main article) as
8957:, follow recursively by application of the above BCH expansion.
7465:'s.) A remarkably direct and concise, recursive proof that each
1156:. The following general combinatorial formula was introduced by
8209:
exactly the formal infinite sums of elements of the Lie algebra
5439:
It is then not hard to show that there does not exist a matrix
5592:(as opposed to a formal power series), one has to assume that
806:, where the exponentials and the logarithm can be computed as
9533:{\displaystyle \equiv \underbrace {]\dotsb ],\quad \equiv Y,}
8009:(The definition of Δ is extended to the other elements of
7697:
can formally be written as an infinite sum of elements of
6887:
Again, in this case there are no smallness restriction on
1581:
where the sum is performed over all nonnegative values of
11096:
This variation is commonly used to write coordinates and
10675:
which can be written as the following braiding identity:
5549:. (Similar examples may be found in the article of Wei.)
13858:(1st ed.). Cambridge University Press. p. 49.
1040:
In other cases, one may need detailed information about
869:
can be expressed as a series in repeated commutators of
12523:{\displaystyle e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.}
8017:-linearity, multiplicativity and infinite additivity.)
6157:. In this case, there are no smallness restrictions on
13784:
8523:
used above is just a completion of this Hopf algebra.
7811:
with real coefficients in the non-commuting variables
6979:
5580:
to be an actual element of the Lie algebra containing
5386:
5347:
5305:
5226:
5174:
4200:
The first, second, third, and fourth order terms are:
3662:
14001:
See pp 27-29 for a detailed proof of the above lemma.
13518:"A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula"
13127:
12783:
12580:
12418:
12303:
12283:
12263:
12239:
12219:
12199:
12155:
12131:
12111:
12029:
11942:
11908:
11866:
11788:
11641:
11550:
11462:
11206:
11179:
11152:
11109:
10896:
10681:
10560:
10468:
10442:
10344:
10180:
10081:
9938:
9701:
9546:
9391:
9153:
9096:
8537:
8405:
8358:
8326:
8294:
8228:
8146:
8094:
8052:
7959:
7906:
7861:
7764:
7733:
7703:
7635:
7613:
7591:
7560:
7518:
7498:
7471:
7444:
7417:
7397:
7377:
7357:
7337:
7317:
7258:
7238:
7218:
7129:
7051:
6953:
6933:
6913:
6893:
6794:
6774:
6739:
6719:
6678:
6626:
6606:
6586:
6580:. Then all iterated commutators will be multiples of
6545:
6525:
6502:
6275:
6218:
6183:
6163:
6153:, as illustrated below and is sometimes known as the
6067:
5987:
5967:
5947:
5902:
5882:
5850:
5791:
5753:
5733:
5713:
5644:
5614:
5608:
Concretely, if working with a matrix Lie algebra and
5505:
5465:
5445:
5276:
5162:
5136:
5092:
5072:
5052:
5018:
4991:
4905:
4871:
4827:
4783:
4763:
4743:
4716:
4689:
4668:
4648:
4619:
4588:
4453:
4311:
4249:
4209:
3879:
3818:
3724:
3654:
3482:
3326:
3306:
2131:
2084:
2051:
2018:
1994:
1974:
1641:
1614:
1587:
1166:
1122:
1098:
1066:
1046:
1015:
995:
975:
895:
875:
816:
775:
755:
729:
709:
689:
632:
612:
584:
564:
531:
511:
491:
485:, the series is convergent. Meanwhile, every element
471:
447:
427:
407:
387:
367:
347:
197:
177:
157:
137:
64:
44:
12016:{\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}
11902:
can be written as the pullback of the metric tensor
11628:{\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}
10429:{\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}}~.}
3688:{\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}
14014:
13485:
12072:
10545:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}}~.}
7492:is expressible in terms of repeated commutators of
5492:{\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}
441:are sufficiently small elements of the Lie algebra
14149:Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups
14104:
13210:
13035:
12742:
12522:
12400:
12289:
12269:
12245:
12225:
12205:
12185:
12137:
12117:
12045:
12015:
11924:
11878:
11845:
11770:
11627:
11529:
11448:
11192:
11165:
11138:
11088:
10869:
10667:
10544:
10454:
10428:
10330:
10149:
10051:
9924:
9644:
9532:
9370:
9139:
8905:
8450:
8391:
8344:
8312:
8264:
8185:
8121:
8076:
8001:
7945:
7888:
7799:
7743:
7713:
7689:
7621:
7599:
7573:
7524:
7504:
7484:
7457:
7430:
7403:
7383:
7363:
7343:
7323:
7303:
7244:
7224:
7197:
7115:
7037:
6965:
6939:
6919:
6899:
6876:
6780:
6760:
6725:
6705:
6650:
6612:
6592:
6572:
6531:
6508:
6488:
6261:
6201:. A simple proof of this identity is given below.
6189:
6169:
6137:
6053:
5973:
5953:
5908:
5888:
5868:
5833:
5785:, the Baker–Campbell–Hausdorff formula reduces to
5777:
5739:
5719:
5693:{\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}
5692:
5626:
5541:
5491:
5451:
5431:
5262:
5148:
5122:
5078:
5058:
5030:
5004:
4977:
4884:
4857:
4813:
4769:
4749:
4729:
4702:
4674:
4654:
4632:
4601:
4571:
4438:
4296:
4234:
4192:
3857:
3798:
3687:
3632:
3464:
3312:
3228:
2103:
2070:
2037:
2000:
1980:
1950:
1627:
1600:
1573:
1144:
1108:
1072:
1052:
1037:, see also the "Existence results" section below.
1021:
1001:
981:
901:
881:
861:
798:
761:
741:
715:
695:
668:
618:
594:
570:
550:
517:
497:
477:
457:
433:
413:
393:
373:
361:" indicates terms involving higher commutators of
353:
333:
183:
163:
143:
100:
50:
13902:
10251:
10206:
10062:
8002:{\displaystyle \Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.}
6138:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}}}
14279:
14099:
14061:
13998:
13496:
13317:. Convergence may occur on a larger domain. See
8186:{\displaystyle \Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s}
8038:with constant term 0 and the set of elements of
8032:, is a bijection between the set of elements of
7946:{\displaystyle \Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X}
7198:{\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.}
7045:.) We also obtain a simple "braiding identity":
6981:
6519:Now assume that the commutator is a multiple of
5123:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}
3643:
932:who stated its qualitative form, i.e. that only
14043:
13508:
13506:
13504:
12757:This example illustrates the resolution of the
11200:for the Lie algebra, one readily computes that
8044:with constant term 1; the inverse of exp is log
7304:{\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}
862:{\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}
13625:Communications on Pure and Applied Mathematics
13416:Proceedings of the London Mathematical Society
8020:One can then verify the following properties:
7889:{\displaystyle \Delta \colon S\to S\otimes S,}
6149:This is the degenerate case used routinely in
5086:are the following matrices in the Lie algebra
14190:Bulletin of the American Mathematical Society
13650:
11846:{\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}
9540:we can write this formula more compactly as,
7123:which may be written as an adjoint dilation:
7116:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},}
3474:generating function for the Bernoulli numbers
14062:Bonfiglioli, Andrea; Fulci, Roberta (2012).
13522:Journal of the Mathematical Society of Japan
13501:
11100:as pullbacks of the metric on a Lie group.
5663:
5657:
5651:
5645:
5621:
5615:
4175:
4169:
4151:
4145:
4139:
4133:
1635:, and the following notation has been used:
13849:
13549:
13547:
13545:
13351:
13349:
12253:commute with their commutator. Thus, if we
12053:on the Lie group is the Cartan metric, the
6262:{\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=}
5041:
4297:{\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}
12213:is the identity operator. It follows that
10554:More generally, for non-central , we have
1145:{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}
14202:
13916:
13798:
13697:
13695:
13614:
13612:
13610:
13568:
13566:
13533:
13435:Comptes rendus de l'Académie des Sciences
7772:
7615:
7593:
7186:
7038:{\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}
5482:
5113:
3678:
3300:There are numerous other expressions for
1832:
1828:
1060:and it is therefore desirable to compute
327:
14146:
13967:
13542:
13473:
13346:
13341:
13318:
13259:
10067:For central, i.e., commuting with both
9658:Evaluate the derivative with respect to
8219:, where the Lie bracket is given by the
13512:
9385:. By defining the iterated commutator,
9383:unitary transforms in quantum mechanics
8913:where the exponents of higher order in
7690:{\displaystyle Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),}
1031:Lie group and Lie algebra homomorphisms
14:
14280:
14176:
13703:Symmetry Groups and their Applications
13692:
13618:
13607:
13572:
13563:
11782:is a matrix whose matrix elements are
6600:, and no quadratic or higher terms in
3295:
505:sufficiently close to the identity in
14164:
14017:Archive for History of Exact Sciences
10879:
8526:
8122:{\displaystyle \Delta (r)=r\otimes r}
5558:in terms of iterated Lie-brackets of
14128:
13987:Optical Coherence and Quantum Optics
13955:
13890:
13878:
13837:
13737:
13725:
13355:
13082:Lie group–Lie algebra correspondence
13047:they provide a representation of is
11860:is a vielbein. Thus, given some map
10150:{\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s~.}
8967:
8493:is isomorphic to the algebra of all
8451:{\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))}
8399:is also grouplike; so its logarithm
7207:
4642:in terms of repeated commutators of
3716:standard exponential map of matrices
3640:utilized by Poincaré and Hausdorff.
989:in terms of iterated commutators of
769:can be computed as the logarithm of
678:Lie group–Lie algebra correspondence
13749:
12535:annihilation and creation operators
8984:its corresponding Lie algebra. Let
7736:
7706:
7563:
6658:term above vanishes and we obtain:
6651:{\displaystyle O\left(Y^{2}\right)}
6516:are normalized Bernoulli numbers.)
5098:
5095:
1131:
1101:
1083:
587:
450:
24:
13166:
11664:
11530:{\displaystyle ={f_{ij}}^{k}e_{k}}
9592:
8147:
8095:
7960:
7907:
7862:
5923:. Then the formula reduces to its
5834:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}
3766:
3571:
1216:
25:
14314:
14250:
14242:(2007). "Lie Groups in Physics",
13087:Derivative of the exponential map
12562:, that is, it commutes with both
12379:
12177:
10886:Derivative of the exponential map
7809:non-commuting formal power series
3858:{\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}
3290:derivative of the exponential map
1260:
964:
12073:Application in quantum mechanics
9033:encountered above.) Denote with
8352:are grouplike; so their product
7574:{\displaystyle {\mathfrak {g}},}
5702:
5542:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
4865:.) The general result that each
3865:using the series expansions for
1092:be a Lie group with Lie algebra
669:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
101:{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
36:Baker–Campbell–Hausdorff formula
14204:10.1090/s0273-0979-1982-14972-2
14080:L. Corwin & F.P Greenleaf,
14008:
13992:
13973:
13961:
13949:
13905:Computer Physics Communications
13896:
13884:
13872:
13843:
13831:
13778:
13752:Journal of Mathematical Physics
13743:
13731:
13719:
13653:Journal of Mathematical Physics
13644:
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13486:Achilles & Bonfiglioli 2012
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5981:commute with their commutator,
5638:, convergence is guaranteed if
5214:
4132:
3873:one obtains a simpler formula:
3703:, and the commutator is simply
3063:
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2329:
1109:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
595:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
458:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
13787:Linear and Multilinear Algebra
13709:, New York, 1972, pp 159–161.
13560:, John Wiley & Sons, 1966.
13467:
13455:
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13335:
13291:. This is guaranteed whenever
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2118:nestings thereof (thus in the
1945:
1942:
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13:
1:
13809:10.1080/03081087.2018.1540534
13328:
13305:‖ < log 2, ‖
12533:A related application is the
9052:the linear transformation of
6761:{\displaystyle s\neq 2\pi in}
5636:submultiplicative matrix norm
4582:The formulas for the various
3714:; the exponential map is the
3644:Matrix Lie group illustration
14261:Crib Notes on CBH expansions
14046:"Campbell–Hausdorff formula"
13999:Greiner & Reinhardt 1996
13497:Bonfiglioli & Fulci 2012
13398:(2004) Harvard University. (
11139:{\displaystyle X=X^{i}e_{i}}
8962:Suzuki–Trotter decomposition
8960:As a corollary of this, the
8475:universal enveloping algebra
7622:{\displaystyle \mathbb {C} }
7600:{\displaystyle \mathbb {R} }
1958:with the understanding that
606:the group multiplication in
7:
14170:Lie algebras and Lie groups
14051:Encyclopedia of Mathematics
13856:Introductory Quantum Optics
13058:
12065:, the metric is a (pseudo-)
5156:matrices with trace zero):
4985:That is to say, since each
1951:{\displaystyle =]\dotsm ]]}
920:The formula is named after
10:
14319:
14086:Cambridge University Press
13579:Doklady Akademii Nauk SSSR
13102:Golden–Thompson inequality
12754:is just a complex number.
12101:operators, generating the
11635:with the infinite series
10883:
8993:be the linear operator on
8978:be a matrix Lie group and
8028:, defined by its standard
7581:defined over any field of
5844:Another case assumes that
5627:{\displaystyle \|\cdot \|}
2104:{\displaystyle r_{n}>1}
2038:{\displaystyle s_{n}>1}
915:
799:{\displaystyle e^{X}e^{Y}}
14182:"Poincaré and Lie groups"
14044:Yu.A. Bakhturin (2001) ,
14029:10.1007/s00407-012-0095-8
13935:10.1016/j.cpc.2012.06.006
13574:Dynkin, Eugene Borisovich
13097:Stone–von Neumann theorem
13078:(Trotter product formula)
12410:Stone–von Neumann theorem
12186:{\displaystyle =i\hbar I}
8495:non-commuting polynomials
8077:{\displaystyle r=\exp(s)}
6733:is a complex number with
6199:Stone–von Neumann theorem
5149:{\displaystyle 2\times 2}
4235:{\displaystyle z_{1}=X+Y}
742:{\displaystyle n\times n}
58:that solves the equation
14103:; Reinhardt, J. (1996),
13108:
5042:Questions of convergence
602:. Thus, we can say that
18:Baker-Campbell-Hausdorff
14147:Rossmann, Wulf (2002),
14129:Hall, Brian C. (2015),
8345:{\displaystyle \exp(Y)}
8313:{\displaystyle \exp(X)}
7411:, giving an expression
5031:{\displaystyle j\geq 2}
3695:the Lie algebra is the
3648:For a matrix Lie group
2071:{\displaystyle s_{n}=0}
723:are sufficiently small
551:{\displaystyle g=e^{X}}
354:{\displaystyle \cdots }
14268:10.13140/2.1.3090.2409
14218:, Orange Grove Books,
13638:10.1002/cpa.3160070404
13212:
13170:
13037:
12744:
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12139:
12119:
12103:Heisenberg Lie algebra
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12017:
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11925:{\displaystyle B_{mn}}
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11541:of the Lie algebra.
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165:
145:
102:
52:
13535:10.2969/jmsj/02010023
13450:Henry Frederick Baker
13369:Mathematische Annalen
13213:
13150:
13071:Logarithm of a matrix
13038:
12759:displacement operator
12745:
12525:
12403:
12292:
12272:
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11141:
11103:For example, writing
11091:
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8188:
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7758:We consider the ring
7746:
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7433:
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6927:. The restriction on
6922:
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6172:
6155:disentangling theorem
6140:
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6054:{\displaystyle ]=]=0}
5976:
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