1228:
47:
189:
1223:
1705:
867:
3162:
1218:{\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}
1646:
2450:
2129:
2901:
862:
3781:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 332.
2876:
1378:
2175:
1782:
628:
184:
are also solutions of the differential equation in special cases, which, by virtue of being polynomials, have a large number of additional properties, mathematical structure, and applications. For these polynomial solutions, see the separate
Knowledge articles.
3157:{\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }
2688:
3569:
2700:
1227:
360:
1641:{\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}
2445:{\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}
2124:{\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}
3445:
561:
Since the differential equation is linear, homogeneous (the right hand side =zero) and of second order, it has two linearly independent solutions, which can both be expressed in terms of the
2498:
1751:
2539:
1304:
857:{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2,}
2544:
1371:
1336:
3619:
for integer degree, Legendre functions of the first kind reduce to
Legendre polynomials, which are bounded on . It can be shown that the singularity of the Legendre functions
3450:
3322:
1681:
1231:
Plot of the
Legendre function of the second kind Q n(x) with n=0.5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
3375:
3245:
599:
2164:
619:
1777:
3196:
3278:
3600:
of non-integer degree are unbounded at the interval . In applications in physics, this often provides a selection criterion. Indeed, because
Legendre functions
3630:
for non-integer degree is a consequence of the mirror symmetry of
Legendre's equation. Thus there is a symmetry under the selection rule just mentioned.
2871:{\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}
1235:
These are generally known as
Legendre functions of the first and second kind of noninteger degree, with the additional qualifier 'associated' if
219:
17:
3380:
3847:
2170:
3940:
3856:
3786:
546:
374:
may be complex, and are called the degree and order of the relevant function, respectively. The polynomial solutions when
3898:, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office,
3611:
of the second kind are always unbounded, in order to have a bounded solution of
Legendre's equation at all, the degree
3989:
90:
68:
2462:
1715:
61:
3718:"The Singularity of Legendre Functions of the First Kind as a Consequence of the Symmetry of Legendre's Equation"
181:
35:
2503:
1268:
3885:
3660:
1341:
3973:
3967:
3573:
3961:
3955:
3880:
1309:
3287:
3932:
3875:
2134:
2206:
1653:
3325:
521:
is an integer is often discussed separately as
Legendre's function of the second kind, and denoted
55:
3895:
Hypergeometric and
Legendre functions with applications to integral equations of potential theory
3331:
3201:
562:
550:
2683:{\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}
568:
72:
3776:
2140:
604:
1756:
3913:
3893:
3866:
3804:
3729:
3682:
3564:{\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}
3174:
177:
31:
3250:
8:
3733:
3686:
3698:
3672:
3936:
3852:
3842:
3808:
3792:
3782:
3764:
3747:
3281:
1684:
3904:
3899:
3737:
3702:
3690:
3639:
1254:
3920:
3909:
3862:
3820:
3800:
3778:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
3772:
1338:
above involves cancellation of singular terms. We can find the limit valid for
622:
2169:
The Legendre functions of the second kind can also be defined recursively via
533:
This is a second order linear equation with three regular singular points (at
3983:
3824:
3751:
3924:
3768:
3694:
188:
2697:
The Legendre functions can be written as contour integrals. For example,
3742:
3717:
3845:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
3812:
1704:
3677:
3661:"Fast generation of isotropic Gaussian random fields on the sphere"
2454:
1712:
The nonpolynomial solution for the special case of integer degree
2459:
The nonpolynomial solution for the special case of integer degree
549:
by a change of variable, and its solutions can be expressed using
3796:
1708:
Plot of the first five Legendre functions of the second kind.
1690:
176:, are all solutions of Legendre's differential equation. The
437:
are the associated Legendre polynomials. All other cases of
2438:
3838:
556:
3574:
Singularities of Legendre functions of the first kind (
545:). Like all such equations, it can be converted into a
449:
can be discussed as one, and the solutions are written
355:{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\lefty=0,}
3453:
3383:
3334:
3290:
3253:
3204:
3198:
are very useful in the study of harmonic analysis on
3177:
2904:
2703:
2547:
2506:
2465:
2178:
2143:
1785:
1759:
1718:
1656:
1381:
1344:
1312:
1271:
870:
631:
607:
571:
222:
2888:in the positive direction and does not wind around
207:
3563:
3440:{\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}
3439:
3369:
3316:
3272:
3239:
3190:
3166:
3156:
2870:
2682:
2533:
2492:
2444:
2158:
2123:
1771:
1745:
1675:
1640:
1365:
1330:
1298:
1217:
856:
613:
593:
488:, the superscript is omitted, and one writes just
354:
1779:, is often discussed separately. It is given by
3981:
3763:
2455:Associated Legendre functions of the second kind
1410:
30:For the most common case of integer degree, see
3919:
3819:
2493:{\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}
1746:{\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}
3715:
27:Solutions of Legendre's differential equation
3658:
2692:
1241:is non-zero. A useful relation between the
2878:where the contour winds around the points
2534:{\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}
1299:{\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}
192:Associated Legendre polynomial curves for
3903:
3829:Methods of Mathematical Physics, Volume 1
3741:
3676:
3307:
3150:
2676:
2521:
2480:
2431:
1733:
1557:
1353:
1286:
1260:
1064:
736:
103:In physical science and mathematics, the
91:Learn how and when to remove this message
3659:Creasey, Peter E.; Lang, Annika (2018).
1703:
1226:
187:
54:This article includes a list of general
3848:NIST Handbook of Mathematical Functions
3836:
3831:, New York: Interscience Publisher, Inc
1691:Legendre functions of the second kind (
14:
3982:
3873:
3716:van der Toorn, Ramses (4 April 2022).
557:Solutions of the differential equation
3328:). Actually the Fourier transform on
1366:{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}
165:Legendre functions of the second kind
3891:
3665:Monte Carlo Methods and Applications
3171:The real integral representation of
547:hypergeometric differential equation
40:
1331:{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}
24:
3543:
3488:
3317:{\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}
953:
911:
665:
608:
60:it lacks sufficient corresponding
25:
4001:
3949:
3839:"Legendre and Related Functions"
208:Legendre's differential equation
45:
3533:
3167:Legendre function as characters
3142:
1184:
817:
182:associated Legendre polynomials
36:associated Legendre polynomials
3976:on the Wolfram functions site.
3974:Associated Legendre function Q
3970:on the Wolfram functions site.
3968:Associated Legendre function P
3964:on the Wolfram functions site.
3958:on the Wolfram functions site.
3851:, Cambridge University Press,
3709:
3652:
3585:) as a consequence of symmetry
3552:
3546:
3521:
3515:
3502:
3496:
3472:
3466:
3460:
3431:
3422:
3413:
3394:
3364:
3345:
3311:
3297:
3234:
3215:
3133:
3121:
3093:
3078:
2921:
2915:
2844:
2831:
2810:
2790:
2747:
2741:
2720:
2714:
2673:
2667:
2614:
2594:
2585:
2575:
2569:
2563:
2417:
2411:
2371:
2365:
2301:
2295:
2282:
2276:
2195:
2189:
2105:
2093:
2079:
2064:
2061:
2046:
2032:
2020:
2017:
2005:
2002:
1990:
1987:
1975:
1964:
1952:
1938:
1923:
1915:
1903:
1900:
1888:
1877:
1865:
1846:
1831:
1802:
1796:
1676:{\displaystyle (\lambda )_{n}}
1664:
1657:
1487:
1474:
1465:
1455:
1446:
1440:
1417:
1403:
1397:
1205:
1197:
1021:
1001:
976:
956:
932:
914:
892:
886:
841:
827:
680:
668:
653:
647:
297:
285:
13:
1:
3645:
2133:This solution is necessarily
393:are the Legendre polynomials
130:associated Legendre functions
18:Associated Legendre function
7:
3929:A Course in Modern Analysis
3881:Encyclopedia of Mathematics
3633:
3370:{\displaystyle L^{1}(G//K)}
3240:{\displaystyle L^{1}(G//K)}
10:
4006:
3933:Cambridge University Press
2171:Bonnet's recursion formula
29:
594:{\displaystyle _{2}F_{1}}
214:general Legendre equation
3990:Hypergeometric functions
3326:Zonal spherical function
2693:Integral representations
625:, the first solution is
551:hypergeometric functions
506:. However, the solution
424:is also an integer with
3905:2027/mdp.39015011416826
3892:Snow, Chester (1952) ,
3837:Dunster, T. M. (2010),
2159:{\displaystyle x=\pm 1}
614:{\displaystyle \Gamma }
563:hypergeometric function
408:is an integer (denoted
380:is an integer (denoted
75:more precise citations.
3874:Ivanov, A.B. (2001) ,
3695:10.1515/mcma-2018-0001
3565:
3441:
3371:
3318:
3274:
3241:
3192:
3158:
2872:
2684:
2535:
2494:
2446:
2160:
2125:
1773:
1772:{\displaystyle \mu =0}
1747:
1709:
1677:
1642:
1367:
1332:
1300:
1261:Positive integer order
1232:
1219:
858:
615:
595:
356:
204:
3566:
3442:
3372:
3319:
3275:
3242:
3193:
3191:{\displaystyle P_{s}}
3159:
2873:
2685:
2536:
2495:
2447:
2161:
2126:
1774:
1748:
1707:
1678:
1643:
1368:
1333:
1301:
1265:For positive integer
1230:
1220:
859:
616:
596:
357:
191:
3451:
3381:
3332:
3288:
3273:{\displaystyle G//K}
3251:
3202:
3175:
2902:
2701:
2545:
2504:
2463:
2176:
2141:
1783:
1757:
1716:
1654:
1379:
1342:
1310:
1269:
868:
629:
605:
569:
220:
178:Legendre polynomials
32:Legendre polynomials
3962:Legendre function Q
3956:Legendre function P
3876:"Legendre function"
3743:10.3390/sym14040741
3734:2022Symm...14..741V
3687:2018MCMA...24....1C
3615:be integer valued:
3589:Legendre functions
3492:
3045:
2959:
2740:
2562:
1439:
1396:
1327:
885:
646:
3843:Olver, Frank W. J.
3765:Abramowitz, Milton
3561:
3478:
3437:
3367:
3314:
3282:double coset space
3270:
3237:
3188:
3154:
3031:
2942:
2868:
2726:
2680:
2548:
2531:
2490:
2442:
2437:
2156:
2121:
1769:
1743:
1710:
1673:
1638:
1425:
1424:
1382:
1363:
1328:
1313:
1306:the evaluation of
1296:
1233:
1215:
871:
864:and the second is
854:
632:
611:
591:
362:where the numbers
352:
205:
105:Legendre functions
3942:978-0-521-58807-2
3858:978-0-521-19225-5
3788:978-0-486-61272-0
3769:Stegun, Irene Ann
3463:
3434:
3137:
3136:
3076:
3029:
2990:
2940:
2860:
2769:
2655:
2625:
2393:
2344:
2249:
2217:
2083:
1942:
1850:
1685:Pochhammer symbol
1628:
1536:
1505:
1409:
1255:Whipple's formula
1195:
1192:
1188:
1174:
1154:
1135:
1108:
1061:
980:
910:
906:
825:
821:
807:
715:
684:
333:
101:
100:
93:
16:(Redirected from
3997:
3945:
3921:Whittaker, E. T.
3916:
3907:
3888:
3869:
3832:
3821:Courant, Richard
3816:
3771:, eds. (1983) .
3756:
3755:
3745:
3713:
3707:
3706:
3680:
3656:
3640:Ferrers function
3629:
3610:
3599:
3584:
3570:
3568:
3567:
3562:
3514:
3513:
3491:
3486:
3465:
3464:
3456:
3446:
3444:
3443:
3438:
3436:
3435:
3427:
3409:
3404:
3393:
3392:
3376:
3374:
3373:
3368:
3360:
3355:
3344:
3343:
3323:
3321:
3320:
3315:
3310:
3279:
3277:
3276:
3271:
3266:
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