42:
2302:
1748:
7696:
5924:
7265:
15997:
2297:{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}
5430:
16306:
7691:{\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
9489:
10239:
15424:
13239:
11185:
12220:
13534:
7910:
5919:{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}
8968:
4038:
9686:
13784:
10750:
12853:
10763:
11840:
15137:
535:
11817:
13268:
7705:
3795:
3301:
126:. There is no known system for organizing all of the identities; indeed, there is no known algorithm that can generate all identities; a number of different algorithms are known that generate different series of identities. The theory of the algorithmic discovery of identities remains an active research topic.
5397:
13543:
10424:
11479:
14880:
3587:
7252:
of the equation is the image of this map, i.e. the group generated by the monodromy matrices. The monodromy representation of the fundamental group can be computed explicitly in terms of the exponents at the singular points. If (α, α'), (β, β') and (γ,γ') are the exponents at 0, 1 and ∞, then,
9484:{\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}
1224:
10234:{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
240:
6942:
11529:
15419:{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\cdots }
2502:
12844:
8276:
8492:
13234:{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
11180:{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}
12215:{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}
12447:
1734:
3053:
13985:
5122:. The appearance of the symmetric group is accidental and has no analogue for more than 3 singular points, and it is sometimes better to think of the group as an extension of the symmetric group on 3 points (acting as permutations of the 3 singular points) by a
6405:
3123:
14147:
5151:
2842:
13529:{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}
882:
8830:
5424:
Applying Kummer's 24 = 6×4 transformations to the hypergeometric function gives the 6 = 2×3 solutions above corresponding to each of the 2 possible exponents at each of the 3 singular points, each of which appears 4 times because of the identities
11263:
7905:{\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}
3416:
1509:
41:
7236:
686:
4033:{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}
3403:
962:
6772:
14730:
2327:
13779:{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}
12652:
8605:
8053:
10745:{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}
8335:
4198:
10419:
7031:
6664:
3775:
2640:
12269:
5061:
12604:
4941:
1518:
2884:
13813:
5126:(whose elements change the signs of the differences of the exponents at an even number of singular points). Kummer's group of 24 transformations is generated by the three transformations taking a solution
4812:
10768:
6211:
530:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}
8300:) is zero at some point in the support of the integral, so the value of the integral may be ill-defined. This was given by Euler in 1748 and implies Euler's and Pfaff's hypergeometric transformations.
11812:{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}
6224:
8959:
4453:
13994:
6748:
2659:
12858:
10429:
8973:
7270:
6777:
6017:
5435:
5156:
3800:
2332:
1753:
703:
3116:
6519:
8654:
904:
along any path in the complex plane that avoids the branch points 1 and infinity. In practice, most computer implementations of the hypergeometric function adopt a branch cut along the line
4676:
9651:
7085:, then the triangle tiles the sphere, the complex plane or the upper half plane according to whether λ + μ + ν – 1 is positive, zero or negative; and the s-maps are inverse functions of
14578:
1348:
5401:
which correspond to the transpositions (12), (23), and (34) under an isomorphism with the symmetric group on 4 points 1, 2, 3, 4. (The first and third of these are actually equal to
4541:
45:
Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with
Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
4337:
1341:
7147:
569:
3310:
8017:
3626:
2654:
are solutions of a second order differential equation with 3 regular singular points so can be expressed in terms of the hypergeometric function in many ways, for example
4210:. Any second order linear differential equation with three regular singular points can be converted to the hypergeometric differential equation by a change of variables.
3296:{\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}
5392:{\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}
8501:
7142:
Two fundamental solutions of the hypergeometric equation are related to each other by a linear transformation; thus the monodromy is a mapping (group homomorphism):
12489:
4052:
13800:
There are many other formulas giving the hypergeometric function as an algebraic number at special rational values of the parameters, some of which are listed in
10263:
6947:
11474:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}
16188:
6562:
14875:{\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}
7058:
to triangles with circular arcs. The singular points 0,1 and ∞ are sent to the triangle vertices. The angles of the triangle are πλ, πμ and πν respectively.
14587:
3655:
2526:
3582:{\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}
17:
1743:
Many of the common mathematical functions can be expressed in terms of the hypergeometric function, or as limiting cases of it. Some typical examples are
4950:
14496:
Rakha, Medhat A.; Rathie, Arjun K.; Chopra, Purnima (2011). "On some new contiguous relations for the Gauss hypergeometric function with applications".
12494:
4833:
15430:
14274:
9681:
Gauss used the contiguous relations to give several ways to write a quotient of two hypergeometric functions as a continued fraction, for example:
4685:
1219:{\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}
6034:
6937:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}
15831:
14710:(2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge.
16178:
16271:
14336:
8915:
4350:
2497:{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={}_{1}F_{0}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}
6677:
5938:
12839:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}
7051:
8271:{\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}
6414:
8487:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}
7125:
The monodromy of a hypergeometric equation describes how fundamental solutions change when analytically continued around paths in the
14627:
2648:, can be expressed as limits of hypergeometric functions. These include most of the commonly used functions of mathematical physics.
16340:
16112:
4264:
is a local variable vanishing at a regular singular point. This gives 3 × 2 = 6 special solutions, as follows.
4595:
9572:
16330:
14428:
4555:
is an integer, a more complicated expression must be used for a second solution, equal to the first solution multiplied by ln(
16122:
15640:
15499:
15071:
14912:
14675:
14636:
14559:
12442:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}
14449:
Morita, Tohru (1996). "Use of the Gauss contiguous relations in computing the hypergeometric functions F(n+1/2,n+1/2;m;z)".
1729:{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}
10752:
which in turn follow from Euler's integral representation. For extension of Euler's first and second transformations, see
4280:
3048:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}
14269:
31:
13980:{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}
3075:
16286:
16117:
15877:
15824:
14412:
12643: = 1 and then using Gauss's theorem to evaluate the result. A typical example is Kummer's theorem, named for
4207:
15784:
8892:
can be written as a linear combination of any two of its contiguous functions, with rational coefficients in terms of
16335:
16266:
15730:
15620:
15036:
15012:
14715:
14662:
14289:
3066:
2518:
1245:
16276:
14348:
14535:
This convention is common in hypergeometric function theory, but it is the opposite convention to the one used in
6400:{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}
5065:
Again, when the conditions of non-integrality are not met, there exist other solutions that are more complicated.
16168:
16158:
14279:
14213:
14184:
12612:
12608:
7055:
8284:
is not a real number such that it is greater than or equal to 1. This can be proved by expanding (1 −
14547:
14238:
104:
15066:. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in German). Vol. 39. Berlin, New York: Springer-Verlag.
16281:
16183:
15817:
15765:
15755:
14904:
14536:
14406:
14342:
14244:
14142:{\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}
5068:
Any 3 of the above 6 solutions satisfy a linear relation as the space of solutions is 2-dimensional, giving (
4248:
solutions. At each of the three singular points 0, 1, ∞, there are usually two special solutions of the form
2837:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}
15536:
Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). "An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series".
7035:
In the special case of λ, μ and ν real, with 0 ≤ λ,μ,ν < 1 then the s-maps are
4468:
877:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}
16345:
16309:
1279:
16291:
15760:
15712:
14418:
14330:
14178:
8825:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}
7248:. In other words, the monodromy is a two dimensional linear representation of the fundamental group. The
97:
8296:
is a real number greater than or equal to 1, analytic continuation must be used, because (1 −
4206:: 0,1 and ∞. The generalization of this equation to three arbitrary regular singular points is given by
16173:
8324:
3780:
11821:
There are also some transformations of degree 4 and 6. Transformations of other degrees only exist if
7960:
16163:
16153:
16143:
15553:
8024:
6540:
3602:
5097:
singular points has a group of symmetries acting (projectively) on its solutions, isomorphic to the
597:
15562:
Abhandlungen der
Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
14424:
9676:
3631:
15773:
6753:
16080:
14265:
12236:, Appendix III) for a list of summation formulas at special points, most of which also appear in
5118:= 3, with group of order 24 isomorphic to the symmetric group on 4 points, as first described by
4218:
Solutions to the hypergeometric differential equation are built out of the hypergeometric series
3408:
1504:{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
10248:
Transformation formulas relate two hypergeometric functions at different values of the argument
15920:
15867:
6760:
4203:
3058:
2872:
115:
108:
14554:. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 71. Cambridge University Press.
16127:
15872:
15133:
8625: − 1, ... . This is valid as long as z is not a nonnegative real number.
6524:
3596:
2868:
901:
15795:
14972:"Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique"
13788:
For generalizations of Gauss's second summation theorem and Bailey's summation theorem, see
8307:, are given by taking the same integrand, but taking the path of integration to be a closed
7231:{\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}
681:{\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}
16238:
16075:
15844:
15777:
15740:
15666:
15630:
15600:
15124:
15081:
14959:
14922:
14722:
14685:
14646:
14569:
14517:
14470:
14354:
14160:
12456:
12261:
7129:
plane that return to the same point. That is, when the path winds around a singularity of
7086:
4547:
is an integer greater than 1, and is equal to the first solution, or its replacement, when
4245:
2864:
150:
15061:
14930:
Gessel, Ira & Stanton, Dennis (1982). "Strange evaluations of hypergeometric series".
12465:
4047:
The hypergeometric function is a solution of Euler's hypergeometric differential equation
3398:{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}
8:
16218:
16085:
3062:
2876:
198:
15670:
16148:
16059:
16044:
16016:
15996:
15935:
15682:
15656:
15589:
15050:
15025:
2847:
205:
14971:
14967:
14609:
16248:
16049:
16021:
15975:
15965:
15945:
15930:
15792:
15726:
15686:
15647:
Vidunas, Raimundas (2005). "Transformations of some Gauss hypergeometric functions".
15636:
15616:
15495:
15477:
15452:
15439:
15112:
15067:
15032:
15008:
14947:
14908:
14711:
14671:
14632:
14622:
14555:
14380:
13247: = −1 in the first identity. For generalization of Kummer's summation, see
8020:
7245:
5090:
2651:
561:
213:
176:) of the hypergeometric function by means of the differential equation it satisfies.
85:
14654:
16233:
16054:
15980:
15970:
15950:
15852:
15674:
15608:
15584:
15549:
15522:
15487:
15472:
15102:
14983:
14939:
14505:
14458:
14306:
8308:
8304:
7040:
4564:
2645:
2511:
2319:
169:
15723:
Hypergeometric
Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces
7139:, the value of the solutions at the endpoint will differ from the starting point.
16011:
15940:
15736:
15703:
15626:
15596:
15572:
15120:
15077:
14955:
14918:
14898:
14726:
14681:
14642:
14565:
14513:
14466:
14201:
8328:
8292:
with absolute value smaller than 1, and by analytic continuation elsewhere. When
7939:
7249:
209:
101:
14509:
16243:
16228:
16223:
15902:
15887:
15527:
15510:
14658:
14324:
14283:
14259:
8634:
8600:{\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}
7955:
7090:
7047:
5421:) whereas the second is an independent solution to the differential equation.)
954:
194:
146:
15678:
14198:
are similar to generalized hypergeometric series, but summed over all integers
9560:, and so on. Repeatedly applying these relations gives a linear relation over
2521:(or Kummer's function) can be given as a limit of the hypergeometric function
698:
is a nonpositive integer, in which case the function reduces to a polynomial:
16324:
16208:
15882:
15443:
15116:
14951:
14604:
14318:
14312:
14172:
8045:
7036:
5123:
5098:
4193:{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}
15486:
Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (2007).
14903:. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 220. Providence, R.I.:
8609:
where the contour is drawn to separate the poles 0, 1, 2... from the poles −
8311:
enclosing the singularities in various orders. Such paths correspond to the
16213:
15955:
15897:
15707:
15107:
15090:
14707:
14670:. Vol. I. New York – Toronto – London: McGraw–Hill Book Company, Inc.
12644:
12248:
shows how most of these identities can be verified by computer algorithms.
10414:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}
7026:{\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}
5119:
4465:, then the first of these solutions does not exist and must be replaced by
233:
161:
93:
14689:
14613:. (lecture notes reviewing basics, as well as triangle maps and monodromy)
15960:
15907:
6659:{\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}
3592:
135:
52:
14462:
12631:
There are many cases where hypergeometric functions can be evaluated at
8963:
relations, given by identifying any two lines on the right hand side of
5933:
The hypergeometric differential equation may be brought into the Q-form
15809:
15511:"Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem"
15046:
14988:
3770:{\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}
2635:{\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}
11516:
of the hypergeometric function, connecting it to a different value of
11246:
of the hypergeometric function, connecting it to a different value of
15892:
15800:
15661:
8312:
6752:
is also sometimes used. Note that the connection coefficients become
14943:
14886:
Commentationes
Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores
14625:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
15840:
14315:, solutions of second order ODE's with four regular singular points
8288:) using the binomial theorem and then integrating term by term for
5056:{\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}
2644:
so all functions that are essentially special cases of it, such as
12599:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}
11250:
related by a quadratic equation. The first examples were given by
4936:{\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}
118:
involving the hypergeometric function, see the reference works by
14653:
544:
193:), examined in the complex plane, could be characterised (on the
119:
15790:
15485:
114:
For systematic lists of some of the many thousands of published
14415:, a generalization of the hypergeometric differential equation.
14321:, 34 distinct convergent hypergeometric series in two variables
11512:
differ by signs or two of them are 1/3 or −1/3 then there is a
179:
Riemann showed that the second-order differential equation for
14339:, the multivariate generalization of the hypergeometric series
12635: = −1 by using a quadratic transformation to change
11520:
related by a cubic equation. The first examples were given by
14241:
where the ratio of terms is an elliptic function of the index
4807:{\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}
2510:. This function can be considered as a generalization of the
14303:
where the ratio of terms is a rational function of the index
14181:
where the ratio of terms is a periodic function of the index
15005:
Harmonic
Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces
14661:; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953).
6206:{\displaystyle Q={\frac {z^{2}+z+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}
4042:
674:
30:
The term "hypergeometric function" sometimes refers to the
15568:. Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung: 3–22.
14897:
Gelfand, I. M.; Gindikin, S.G. & Graev, M.I. (2003) .
14618:
14409:, a terminating form of the elliptic hypergeometric series
6029:
and eliminating the first-derivative term. One finds that
2879:
can be written in terms of hypergeometric functions using
7260:
near 0, the loops around 0 and 1 have monodromy matrices
14727:"Disquisitiones generales circa seriem infinitam
14383:, an extension of the generalized hypergeometric series
14357:, an extension of the generalized hypergeometric series
15725:. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn.
12451:
which follows from Euler's integral formula by putting
10190:
10104:
10090:
10004:
9990:
9904:
9890:
9834:
9820:
9808:
149:, but the first full systematic treatment was given by
15494:(3rd ed.). New York: Cambridge University Press.
15453:"Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a
15274:
15185:
15148:
15019:(part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
14866:
14775:
14741:
14431:
that reduce to hypergeometric functions in some cases.
14175:, a 2-variable generalization of hypergeometric series
14081:
14066:
13872:
13857:
13731:
13691:
13649:
13625:
13596:
13487:
13447:
13399:
13378:
13349:
13309:
12848:
which follows from Kummer's quadratic transformations
12810:
12760:
12072:
12057:
12042:
12027:
11899:
11884:
11869:
11722:
11633:
11615:
11576:
11558:
11424:
11400:
11376:
10714:
10559:
10421:
It follows by combining the two Pfaff transformations
10193:
10107:
10093:
10007:
9993:
9907:
9893:
9837:
9823:
9811:
8924:
8633:
The Gauss hypergeometric function can be written as a
7391:
7295:
7003:
5882:
5722:
5361:
5217:
3988:
3973:
3935:
3873:
3858:
3823:
3688:
2772:
2735:
16189:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
16179:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
15554:"Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe
15140:
15027:
Ordinary differential equations in the complex domain
14733:
13997:
13816:
13546:
13271:
12856:
12655:
12497:
12468:
12272:
11843:
11532:
11266:
10766:
10427:
10266:
9689:
9575:
8971:
8954:{\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}
8918:
8657:
8504:
8338:
8056:
7963:
7708:
7268:
7150:
6950:
6775:
6680:
6565:
6417:
6227:
6037:
5941:
5433:
5154:
4953:
4836:
4828:
is not an integer, one has two independent solutions
4688:
4598:
4590:
is not an integer, one has two independent solutions
4471:
4448:{\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
4353:
4283:
4260:
is one of the two roots of the indicial equation and
4055:
3798:
3658:
3605:
3419:
3313:
3126:
3078:
2887:
2662:
2529:
2330:
1751:
1521:
1351:
1282:
965:
706:
572:
243:
15783:
Marko
Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger,
15003:
Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994).
15002:
14896:
10255:
8638:
6743:{\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}
160:
Studies in the nineteenth century included those of
15450:
14976:
14421:, a special sort of elliptic hypergeometric series.
13789:
13248:
6012:{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}
4213:
134:The term "hypergeometric series" was first used by
15588:
15492:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
15418:
15024:
14874:
14141:
13979:
13778:
13528:
13233:
12838:
12598:
12483:
12441:
12214:
11811:
11473:
11179:
10744:
10413:
10233:
9645:
9483:
8953:
8824:
8599:
8486:
8270:
8011:
7904:
7690:
7230:
7025:
6936:
6742:
6658:
6513:
6399:
6205:
6011:
5918:
5391:
5055:
4935:
4806:
4670:
4535:
4447:
4331:
4271: = 0, two independent solutions are, if
4192:
4032:
3769:
3620:
3581:
3397:
3295:
3111:{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
3110:
3047:
2836:
2634:
2496:
2296:
1728:
1503:
1335:
1218:
876:
680:
529:
15451:Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996).
14495:
14275:Frobenius solution to the hypergeometric equation
6523:The Q-form is significant in its relation to the
6514:{\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}
5077:) = 20 linear relations between them called
3057:Other polynomials that are special cases include
815:
802:
16322:
15091:"Algorithms for m-fold hypergeometric summation"
11242:are equal or one of them is 1/2 then there is a
2558:
967:
107:(ODE). Every second-order linear ODE with three
92:, that includes many other special functions as
15702:
15431:Journal für die reine und angewandte Mathematik
15063:Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion
14546:
11483:
10760:. It can also be written as linear combination
8644:
8303:Other representations, corresponding to other
15825:
15615:. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
15595:. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
14929:
14616:
13801:
12241:
12224:
9670:
4568:
3282:
3240:
3212:
3164:
123:
16272:Hypergeometric function of a matrix argument
15716:. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
14586:. Cambridge University Press. Archived from
14337:Hypergeometric function of a matrix argument
12622:
11189:
7184:
7172:
7050:, bounded by circular arcs. This mapping is
4671:{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}
3105:
3093:
219:
16128:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
15535:
15508:
14550:; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999).
10757:
10753:
9646:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}
6672:is one of the points 0, 1, ∞. The notation
5114:!. The hypergeometric equation is the case
1271:
224:The hypergeometric function is defined for
168:), and the fundamental characterisation by
27:Function defined by a hypergeometric series
15832:
15818:
14351:, hypergeometric series of three variables
12952:
12251:
12244:gives further evaluations at more points.
10243:
4724:
2846:Several orthogonal polynomials, including
16184:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
15660:
15570:(a reprint of this paper can be found in
15526:
15476:
15106:
14987:
14327:7 hypergeometric functions of 2 variables
14309:, where the ratio of terms is a constant
13112:
11690:
8550:
8477:
8224:
8084:
5834:
5674:
5525:
4968:
4851:
4600:
4371:
4285:
4180:
3947:
3835:
3544:
3454:
3086:
2061:
34:. For other hypergeometric functions see
15839:
15488:"Section 6.13. Hypergeometric Functions"
14345:, hypergeometric series of two variables
9567:between any three functions of the form
6534:
5084:
4543:The second solution does not exist when
4043:The hypergeometric differential equation
40:
15774:Computation of Hypergeometric Functions
15720:
15646:
15548:
15134:"Über die hypergeometrische Reihe
14966:
14628:NIST Handbook of Mathematical Functions
14262:, an extension of the Meijer G-function
11834:
11521:
11255:
173:
111:can be transformed into this equation.
14:
16323:
15696:Analytic Theory of Continued Fractions
15607:
15583:
15509:Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011).
15131:
14576:
14448:
14429:two-dimensional conformal field theory
12237:
12233:
11251:
4536:{\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}
165:
145:Hypergeometric series were studied by
15813:
15791:
15088:
15059:
15022:
14932:SIAM Journal on Mathematical Analysis
14721:
14333:, a discrete probability distribution
13808:. Some typical examples are given by
13805:
12260:Gauss's summation theorem, named for
12245:
6528:
154:
100:. It is a solution of a second-order
15693:
15613:Generalized hypergeometric functions
15045:
14900:Selected topics in integral geometry
14483:
13263:Gauss's second summation theorem is
13254:
11194:If two of the numbers 1 −
8030:
4559:), plus another series in powers of
4332:{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}
1336:{\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}
18:Hypergeometric differential equation
16149:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
14270:generalized hypergeometric function
13790:Lavoie, Grondin & Rathie (1996)
13249:Lavoie, Grondin & Rathie (1996)
11254:, and a complete list was given by
7954:then the monodromy group is finite
928:is a non-negative integer, one has
32:generalized hypergeometric function
24:
15591:Confluent hypergeometric functions
13724:
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10827:
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6557:are ratios of pairs of solutions.
3135:
2718:
2568:
2318:, the series reduces into a plain
1036:
806:
309:
204:The cases where the solutions are
25:
16357:
16267:Generalized hypergeometric series
15748:
14580:Generalized Hypergeometric Series
14290:Generalized hypergeometric series
10256:Fractional linear transformations
8628:
7169:
3090:
2519:confluent hypergeometric function
1257:, and is often designated simply
1246:generalized hypergeometric series
539:It is undefined (or infinite) if
16305:
16304:
16277:Lauricella hypergeometric series
15995:
15635:(there is a 2008 paperback with
14349:Lauricella hypergeometric series
14247:, an integral representation of
12455: = 1. It includes the
8012:{\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}
7221:
7165:
7061:Furthermore, in the case of λ=1/
4252:times a holomorphic function of
4214:Solutions at the singular points
1738:
690:The series terminates if either
16341:Ordinary differential equations
16287:Riemann's differential equation
15698:. D. Van Nostrand Company, Inc.
15649:Journal of Symbolic Computation
15095:Journal of Symbolic Computation
15052:Ordinary Differential Equations
14664:Higher transcendental functions
14617:Olde Daalhuis, Adri B. (2010),
14413:Riemann's differential equation
14280:General hypergeometric function
14214:Confluent hypergeometric series
14185:Bilateral hypergeometric series
13795:
13243:and Gauss's theorem by putting
12613:bilateral hypergeometric series
12405:
8769:
8713:
8231:
6767:∈ {0, 1, ∞} respectively, with
6759:Note that each triangle map is
4275:is not a non-positive integer,
4208:Riemann's differential equation
3621:{\displaystyle \lambda (\tau )}
3509:
1928:
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15221:
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15203:
15191:
14843:
14831:
14811:
14799:
14793:
14781:
14631:, Cambridge University Press,
14610:Gauss' hypergeometric function
14529:
14489:
14477:
14442:
14239:Elliptic hypergeometric series
14136:
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11833:are certain rational numbers (
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4665:
4617:
4551:is any other integer. So when
4527:
4485:
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351:
340:
333:
324:
317:
287:
263:
105:ordinary differential equation
13:
1:
16331:Factorial and binomial topics
16282:Modular hypergeometric series
16123:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
15573:"All publications of Riemann"
15132:Kummer, Ernst Eduard (1836).
15007:. San Diego: Academic Press.
14905:American Mathematical Society
14537:Falling and rising factorials
14435:
14407:Modular hypergeometric series
14245:Euler hypergeometric integral
8035:
3067:Meixner–Pollaczek polynomials
35:
15478:10.1016/0377-0427(95)00279-0
11484:Higher order transformations
8645:Gauss's contiguous relations
6219:is given by the solution to
4461:is a non-positive integer 1−
3599:, is a rational function in
7:
16292:Theta hypergeometric series
15761:Encyclopedia of Mathematics
15713:A Course of Modern Analysis
14510:10.1016/j.camwa.2010.12.008
14419:Theta hypergeometric series
14331:Hypergeometric distribution
14179:Basic hypergeometric series
14166:
13802:Gessel & Stanton (1982)
12462:For the special case where
12242:Gessel & Stanton (1982)
8617: − 1, ..., −
7056:Schwarz–Christoffel mapping
6021:by making the substitution
3781:complete elliptic integrals
1244:is the most common type of
55:, the Gaussian or ordinary
10:
16362:
16174:Infinite arithmetic series
16118:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
16113:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
15528:10.4134/BKMS.2011.48.1.151
14268:, a generalization of the
11190:Quadratic transformations
10260:Euler's transformation is
9674:
9671:Gauss's continued fraction
8323:Barnes used the theory of
6538:
129:
29:
16300:
16257:
16201:
16136:
16105:
16098:
16068:
16037:
16030:
16004:
15993:
15916:
15860:
15851:
15796:"Hypergeometric Function"
15756:"Hypergeometric function"
15721:Yoshida, Masaaki (1997).
15679:10.1016/j.cam.2004.09.053
15558:darstellbaren Functionen"
14619:"Hypergeometric function"
14425:Virasoro conformal blocks
13989:which can be restated as
12225:Values at special points
10758:Rakha & Rathie (2011)
10754:Rathie & Paris (2007)
8834:are called contiguous to
6541:Schwarz triangle function
5928:
3632:Incomplete beta functions
945:. Dividing by the value
220:The hypergeometric series
16336:Hypergeometric functions
14343:Kampé de Fériet function
12611:generalizes this to the
11244:quadratic transformation
9677:Gauss continued fraction
4244:). The equation has two
2863:and their special cases
1272:Differentiation formulas
151:Carl Friedrich Gauss
16005:Properties of sequences
15089:Koepf, Wolfram (1995).
14427:, special functions in
11524:. A typical example is
11258:. A typical example is
10244:Transformation formulas
4341:and, on condition that
4204:regular singular points
3409:modular lambda function
564:, which is defined by:
140:Arithmetica Infinitorum
109:regular singular points
57:hypergeometric function
15868:Arithmetic progression
15515:Bull. Korean Math. Soc
15420:
15108:10.1006/jsco.1995.1056
14876:
14143:
13981:
13780:
13530:
13235:
12840:
12600:
12485:
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12216:
11813:
11475:
11181:
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10235:
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8013:
7906:
7692:
7232:
7027:
6938:
6756:on the triangle maps.
6754:Möbius transformations
6744:
6660:
6515:
6401:
6207:
6013:
5920:
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4537:
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3771:
3622:
3583:
3399:
3297:
3112:
3059:Krawtchouk polynomials
3049:
2873:Gegenbauer polynomials
2838:
2636:
2498:
2298:
1730:
1505:
1337:
1220:
902:analytically continued
886:For complex arguments
878:
779:
682:
543:equals a non-positive
531:
313:
46:
16259:Hypergeometric series
15873:Geometric progression
15787:(freely downloadable)
15538:Far East J. Math. Sci
15465:J. Comput. Appl. Math
15421:
15060:Klein, Felix (1981).
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15023:Hille, Einar (1976).
14877:
14723:Gauss, Carl Friedrich
14706:Gasper, George &
14577:Bailey, W.N. (1935).
14159:is the (generalized)
14144:
13982:
13781:
13531:
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