298:
552:
1746:
1550:
1361:
Note that these formulae are well-behaved for all values of the degree and order, except for those with integer values. However, if we examine these formulae for toroidal harmonics, i.e. where the degree is half-integer, the order is integer, and the argument is positive and greater than unity one
1356:
974:
53:
309:
1561:
1368:
606:. By shifting the complex degree and order in an appropriate fashion, we obtain Whipple formulae for general complex index interchange of general associated Legendre functions of the first and second kind. These are given by
985:
612:
293:{\displaystyle P_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}={\frac {(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\mu \pi }Q_{\nu }^{\mu }(z)}{(\pi /2)^{1/2}\Gamma (\nu +\mu +1)}}}
547:{\displaystyle Q_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}=-i(\pi /2)^{1/2}\Gamma (-\nu -\mu )(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\nu \pi }P_{\nu }^{\mu }(z).}
1752:
These are the
Whipple formulae for toroidal harmonics. They show an important property of toroidal harmonics under index (the integers associated with the order and the degree) interchange.
1741:{\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}\pi }{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {\pi }{2\sinh \eta }}}P_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )}
1545:{\displaystyle P_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \sinh \eta }}}Q_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )}
584:
604:
1773:
Cohl, Howard S.; J.E. Tohline; A.R.P. Rau; H.M. Srivastava (2000). "Developments in determining the gravitational potential using toroidal functions".
1351:{\displaystyle Q_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {e^{i\mu \pi }\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})(\pi /2)^{1/2}}{(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl }.}
969:{\displaystyle P_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {2}}\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})}{\pi ^{3/2}(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl }}
1796:
1761:
33:
1813:
29:
1775:
560:
1784:
41:
8:
1788:
589:
37:
25:
17:
1792:
36:. These formulae have been presented previously in terms of a viewpoint aimed at
1807:
1772:
1797:
10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X
47:
For associated
Legendre functions of the first and second kind,
1564:
1371:
988:
615:
592:
563:
312:
56:
44:, whole new symmetries of Legendre functions arise.
1740:
1544:
1350:
968:
598:
578:
546:
292:
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954:
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841:
809:
759:
394:
362:
138:
106:
1805:
557:These expressions are valid for all parameters
32:, arise from a general expression, concerning
40:, now that we view the equations in terms of
1806:
13:
1638:
1442:
1048:
666:
440:
263:
14:
1825:
1755:
1735:
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1666:
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169:
149:
1:
1766:
34:associated Legendre functions
7:
10:
1830:
579:{\displaystyle \nu ,\mu ,}
30:Francis John Welsh Whipple
1776:Astronomische Nachrichten
22:Whipple's transformation
1742:
1546:
1352:
970:
600:
580:
548:
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42:toroidal coordinates
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26:Legendre functions
1814:Special functions
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599:{\displaystyle z}
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134:
133:
100:
79:
18:special functions
16:In the theory of
1821:
1800:
1783:(5/6): 363–372.
1747:
1745:
1744:
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