1164:
674:
1159:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}
4221:
12098:
4895:
3372:
10744:
4026:
10491:
11894:
10305:
1495:
4712:
10059:
7763:
7547:
7213:
3181:
7910:
2133:
5166:
2452:
10573:
8091:
4021:
1228:
8214:
3137:
10311:
1560:
10124:
11076:
4216:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},}
190:
In a general context where a nonlinear function modifies the uncertain parameters (correlated or not), the standard tools to propagate uncertainty, and infer resulting quantity probability distribution/statistics, are sampling techniques from the
3885:
2827:
4707:
9891:
7597:
7409:
7075:
6883:
6613:
12093:{\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}
1998:
5049:
6769:
6499:
4890:{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}
2273:
1677:
8539:
8808:
6343:
6133:
7769:
8334:
9014:
8617:
2949:
6256:
6046:
10952:
9665:
3890:
1780:
8735:
8395:
3367:{\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}
2541:
9437:
9223:
8934:
11758:
5577:
3141:
That is, the
Jacobian of the function is used to transform the rows and columns of the variance-covariance matrix of the argument. Note this is equivalent to the matrix expression for the linear case with
10739:{\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}
7955:
4428:
2264:
3074:
474:
2685:
3069:
3018:
1994:
11691:
589:
1502:
5869:
2600:
1837:
293:
4591:
4546:
11364:
9885:
8097:
7403:
7069:
551:
11460:
10957:
9583:
9362:
9148:
10486:{\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}
2875:
10118:
1911:
1882:
1219:
647:
5923:
5696:
3802:
2723:
9489:
9275:
4598:
3714:
3615:
5506:
2695:
376:
10300:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}
1490:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E)\otimes (\mathbf {f} -E)]=E=\mathbf {A} E\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.}
2720:
expansion, though in some cases, exact formulae can be derived that do not depend on the expansion as is the case for the exact variance of products. The Taylor expansion would be:
3178:
Neglecting correlations or assuming independent variables yields a common formula among engineers and experimental scientists to calculate error propagation, the variance formula:
669:
7591:
11231:
8449:
5371:
1565:
11577:
11178:
7249:
11135:
10568:
3168:
2955:. Since f is a constant it does not contribute to the error on f. Therefore, the propagation of error follows the linear case, above, but replacing the linear coefficients,
11499:
11407:
11308:
10532:
5044:
2165:
11785:
11604:
11268:
10054:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}
9061:
7758:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)}
7542:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}
7208:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}
5610:
4342:
4295:
4248:
8261:
5179:
on account of using a truncated series expansion. The extent of this bias depends on the nature of the function. For example, the bias on the error calculated for log(1+
4925:
2198:
8659:
8847:
7949:
6775:
6505:
5283:
1183:
9701:
6654:
6384:
5330:
142:
to describe the region within which the true value of the variable may be found. For example, the 68% confidence limits for a one-dimensional variable belonging to a
12962:
JCGM 102: Evaluation of
Measurement Data - Supplement 2 to the "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement" - Extension to Any Number of Output Quantities
5808:
3757:
2903:
6168:
5958:
3493:
3446:
3399:
2636:
206:
In some particular cases, the uncertainty propagation calculation can be done through simplistic algebraic procedures. Some of these scenarios are described below.
10775:
6915:
5415:
4501:
10780:
5463:
5242:
12325:
Cunha Jr, A.; Nasser, R.; Sampaio, R.; Lopes, H.; Breitman, K. (2014). "Uncertainty quantification through the Monte Carlo method in a cloud computing setting".
10570:) expressions for more complicated functions can be derived by combining simpler functions. For example, repeated multiplication, assuming no correlation, gives
6660:
6390:
5762:
5738:
5718:
5650:
5630:
5395:
5008:
4988:
4965:
4945:
4468:
4448:
4362:
4315:
4268:
3797:
3777:
3655:
3635:
3556:
3536:
3513:
3466:
3419:
1688:
317:
12658:
12290:
Atanassova, E.; Gurov, T.; Karaivanova, A.; Ivanovska, S.; Durchova, M.; Dimitrov, D. (2016). "On the parallelization approaches for Intel MIC architecture".
8455:
8741:
2463:
7905:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}}
6262:
6052:
11698:
2128:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}
8267:
8940:
8545:
5161:{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}
2447:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}
6174:
5964:
2712:
could be performed in order to compute intervals which contain all consistent values for the variables. In a probabilistic approach, the function
9589:
12631:
Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems".
8665:
8340:
2645:
2168:
1927:
13011:
11526:
We can calculate the uncertainty propagation for the inverse tangent function as an example of using partial derivatives to propagate error.
11628:
556:
9368:
9154:
138:
of the variable is known or can be assumed, in theory it is possible to get any of its statistics. In particular, it is possible to derive
8853:
2548:
12474:
12934:
479:
8086:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}
12457:
5513:
4367:
4016:{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),}
2203:
12931:
explaining the benefits of using error propagation formulas and Monte Carlo simulations instead of simple significance arithmetic
17:
12955:, a Python program/library for transparently performing *second-order* calculations with uncertainties (and error correlations).
381:
195:
family. For very expansive data or complex functions, the calculation of the error propagation may be very expansive so that a
3023:
2972:
12844:
12826:
12806:
12751:
1681:
This is the most general expression for the propagation of error from one set of variables onto another. When the errors on
12996:
5199:
8209:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}
5814:
5198:
For highly non-linear functions, there exist five categories of probabilistic approaches for uncertainty propagation; see
13006:
12689:
1785:
217:
12378:
Lin, Y.; Wang, F.; Liu, B. (2018). "Random number generators for large-scale parallel Monte Carlo simulations on FPGA".
11137:) will decrease the variance of the difference, converging to zero variance for perfectly correlated variables with the
4553:
4508:
12530:
12134:
12129:
11313:
9707:
7255:
6921:
108:, which is usually written as a percentage. Most commonly, the uncertainty on a quantity is quantified in terms of the
58:
11532:
11412:
9495:
9281:
9067:
12615:
12139:
3132:{\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}
12766:
12665:
12571:
Lee, S. H.; Chen, W. (2009). "A comparative study of uncertainty propagation methods for black-box-type problems".
2832:
12713:
10067:
1887:
1858:
1195:
623:
5875:
5655:
3887:
If we take the variance on both sides and use the formula for the variance of a linear combination of variables
9445:
9231:
5289:, the resulting distribution is a reciprocal standard normal distribution, and there is no definable variance.
5211:
3660:
3561:
594:
5468:
1555:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}
322:
31:
5286:
12949:, a program/library for transparently performing calculations with uncertainties (and error correlations).
652:
13001:
12159:
11071:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}
7555:
12195:
12164:
11198:
8403:
5508:
5335:
2639:
12960:
12885:
Wang, C. M.; Iyer, Hari K. (2005-09-07). "On higher-order corrections for propagating uncertainties".
12523:
Multivariate error analysis: a handbook of error propagation and calculation in many-parameter systems
11144:
7221:
12114:
11104:
5426:
12818:
The uncertainty in physical measurements: an introduction to data analysis in the physics laboratory
12119:
10537:
3145:
11465:
11373:
3880:{\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.}
2822:{\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}
135:
131:
11277:
10501:
5013:
4702:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}
2140:
12149:
12144:
11763:
11582:
11240:
9022:
6878:{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}
6608:{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}
5582:
5439:
This table shows the variances and standard deviations of simple functions of the real variables
4320:
4273:
4226:
12865:
Probability, Statistics and
Estimation: Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement
8222:
4900:
2173:
12109:
8625:
74:
66:
50:
12816:
8816:
7918:
5247:
1168:
183:
may be correlated. Second, when the underlying values are correlated across a population, the
12940:
12741:
12169:
11820:
11800:
9673:
6621:
6351:
5295:
5783:
3727:
12387:
12344:
12299:
11180:) will further increase the variance of the difference, compared to the uncorrelated case.
6764:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}
6494:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}
6141:
5931:
5176:
3471:
3424:
3377:
2709:
2607:
10777:
we also have
Goodman's expression for the exact variance: for the uncorrelated case it is
10751:
6891:
5400:
4477:
1672:{\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}
8:
12454:
12154:
5442:
5373:
following a general normal distribution, then mean and variance statistics do exist in a
5219:
179:
must be taken into account. Correlation can arise from two different sources. First, the
143:
70:
12391:
12348:
12303:
8534:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}
69:
based on them. When the variables are the values of experimental measurements they have
12910:
12588:
12436:
12360:
12334:
12252:
11878:, and neglecting their possible correlation, the uncertainty in the computed quantity,
8803:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}
5747:
5723:
5703:
5635:
5615:
5380:
4993:
4973:
4950:
4930:
4453:
4433:
4347:
4300:
4253:
3782:
3762:
3640:
3620:
3541:
3521:
3498:
3451:
3404:
2878:
302:
200:
192:
109:
12878:
An
Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements
12914:
12902:
12898:
12840:
12822:
12802:
12747:
12611:
12592:
12547:
12526:
12496:
12272:
139:
12364:
130:. However, the most general way of characterizing uncertainty is by specifying its
12894:
12640:
12580:
12486:
12428:
12395:
12352:
12307:
12262:
6338:{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}
6128:{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}}
5431:
Ratios are also problematic; normal approximations exist under certain conditions.
12461:
11234:
11101:
will have more variance than either of them. An increasing positive correlation (
8329:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}
5374:
2952:
2897:
196:
27:
Effect of variables' uncertainties on the uncertainty of a function based on them
9009:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|}
8612:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}
12174:
5741:
2944:{\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}
95:
85:
12928:
12644:
12584:
12399:
12356:
12990:
12906:
12500:
12276:
11138:
6251:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}
6041:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}
2717:
1186:
10947:{\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2}),}
5292:
However, in the slightly more general case of a shifted reciprocal function
12124:
11828:
62:
12946:
12491:
12267:
12240:
9660:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}
1775:{\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}
120:. The value of a quantity and its error are then expressed as an interval
12416:
8730:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}
8390:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}
54:
12929:
A detailed discussion of measurements and the propagation of uncertainty
12958:
12855:
Propagation Of Errors: How To
Mathematically Predict Measurement Errors
12440:
11796:
3518:
This formula is based on the linear characteristics of the gradient of
176:
172:
77:) which propagate due to the combination of variables in the function.
38:
12863:
12606:
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994).
12311:
12196:"Data Analysis Toolkit #5: Uncertainty Analysis and Error Propagation"
2892:-th variable, evaluated at the mean value of all components of vector
2536:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}
12980:
9432:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}
9218:{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}
12432:
8929:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}
3538:
and therefore it is a good estimation for the standard deviation of
2545:
In the simple case of identical coefficients and variances, we find
12339:
12289:
12257:
11816:
117:
12952:
11753:{\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}
2696:
Taylor expansions for the moments of functions of random variables
11808:
84:
can be expressed in a number of ways. It may be defined by the
5572:{\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}
4423:{\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}
2716:
must usually be linearised by approximation to a first-order
2259:{\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}
12690:"Propagation of Uncertainty through Mathematical Operations"
12548:"Variance of the linear combination of two random variables"
3617:
are small enough. Specifically, the linear approximation of
12799:
Data
Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences
12324:
469:{\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}
12241:"Bayesian Surrogate Analysis and Uncertainty Propagation"
5764:
is the value of the function calculated at those values.
2680:{\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}
3064:{\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}
3013:{\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}
2266:, so that an alternative expression for the variance of
1989:{\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}
12937:, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement
12605:
12479:
Journal of
Research of the National Bureau of Standards
12239:
Ranftl, Sascha; von der Linden, Wolfgang (2021-11-13).
11080:
1685:
are uncorrelated, the general expression simplifies to
11686:{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}
11310:
then the output variance is twice the input variance,
932:
751:
584:{\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}
11897:
11766:
11701:
11631:
11585:
11535:
11468:
11415:
11409:
then the input variance is quadrupled in the output,
11376:
11316:
11280:
11243:
11201:
11147:
11107:
10960:
10783:
10754:
10576:
10540:
10504:
10314:
10127:
10070:
9894:
9710:
9676:
9592:
9498:
9448:
9371:
9284:
9234:
9157:
9070:
9025:
8943:
8856:
8819:
8744:
8668:
8628:
8548:
8458:
8406:
8343:
8270:
8225:
8100:
7958:
7921:
7772:
7600:
7558:
7412:
7258:
7224:
7078:
6924:
6894:
6778:
6663:
6624:
6508:
6393:
6354:
6265:
6177:
6144:
6055:
5967:
5934:
5878:
5817:
5786:
5750:
5726:
5706:
5658:
5638:
5618:
5585:
5516:
5471:
5445:
5403:
5383:
5338:
5298:
5250:
5222:
5052:
5016:
4996:
4976:
4953:
4933:
4903:
4715:
4601:
4556:
4511:
4480:
4456:
4436:
4370:
4350:
4323:
4303:
4276:
4256:
4229:
4029:
3893:
3805:
3785:
3765:
3730:
3663:
3643:
3623:
3564:
3544:
3524:
3501:
3474:
3454:
3427:
3407:
3380:
3184:
3148:
3077:
3026:
2975:
2906:
2835:
2726:
2648:
2610:
2551:
2466:
2276:
2206:
2176:
2143:
2001:
1930:
1916:
The general expressions for a scalar-valued function
1890:
1861:
1788:
1691:
1568:
1505:
1231:
1198:
1171:
677:
655:
626:
559:
482:
384:
325:
305:
220:
32:
Chaos theory § Sensitivity to initial conditions
30:
For the propagation of uncertainty through time, see
12943:, Derivation, Meaning and Examples of Cy = Fx Cx Fx'
12238:
5864:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}
5205:
2704:
is a set of non-linear combination of the variables
2595:{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}
12475:"Notes on the use of propagation of error formulas"
1855:are in general correlated; in other words, even if
1832:{\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}
288:{\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}
168:will cover the true value in roughly 68% of cases.
12092:
11779:
11752:
11685:
11606:is the absolute uncertainty on our measurement of
11598:
11571:
11493:
11454:
11401:
11358:
11302:
11262:
11225:
11172:
11129:
11070:
10946:
10769:
10738:
10562:
10526:
10485:
10299:
10112:
10053:
9879:
9695:
9659:
9577:
9483:
9431:
9356:
9269:
9217:
9142:
9055:
9008:
8928:
8841:
8802:
8729:
8653:
8611:
8533:
8443:
8389:
8328:
8255:
8208:
8085:
7943:
7904:
7757:
7585:
7541:
7397:
7243:
7207:
7063:
6909:
6877:
6763:
6648:
6607:
6493:
6378:
6337:
6250:
6162:
6127:
6040:
5952:
5917:
5863:
5802:
5756:
5732:
5712:
5690:
5644:
5624:
5604:
5571:
5500:
5457:
5409:
5389:
5365:
5324:
5277:
5236:
5160:
5038:
5002:
4982:
4959:
4939:
4919:
4889:
4701:
4586:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}
4585:
4541:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}
4540:
4495:
4462:
4442:
4422:
4356:
4336:
4309:
4289:
4262:
4242:
4215:
4015:
3879:
3791:
3771:
3751:
3708:
3649:
3629:
3609:
3550:
3530:
3507:
3487:
3460:
3440:
3413:
3401:represents the standard deviation of the function
3393:
3366:
3162:
3131:
3063:
3012:
2943:
2869:
2821:
2679:
2630:
2594:
2535:
2446:
2258:
2192:
2159:
2127:
1988:
1905:
1876:
1831:
1774:
1671:
1554:
1489:
1213:
1177:
1158:
663:
641:
583:
545:
468:
370:
311:
287:
12797:Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002),
12796:
12223:
11848:Given the measured variables with uncertainties,
11359:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}
9880:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left}
7398:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left}
7064:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left}
5652:are assumed exactly known (deterministic), i.e.,
5216:In the special case of the inverse or reciprocal
546:{\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}
12988:
12959:Joint Committee for Guides in Metrology (2011).
12624:
12224:Kroese, D. P.; Taimre, T.; Botev, Z. I. (2011).
11455:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}
9578:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left^{2}}
9357:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left^{2}}
9143:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left^{2}}
12421:Journal of the American Statistical Association
12735:
12733:
12608:Continuous Univariate Distributions, Volume 1
12573:Structural and Multidisciplinary Optimization
12419:(1960). "On the Exact Variance of Products".
12411:
12409:
11141:. On the other hand, a negative correlation (
5175:Error estimates for non-linear functions are
2870:{\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}
2460:are uncorrelated, this simplifies further to
12455:"Covariance Propagation for Guided Matching"
10113:{\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}}
1847:vector. Note that even though the errors on
299:functions, which are linear combinations of
282:
221:
71:uncertainties due to measurement limitations
11521:
1906:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}
1877:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}
1214:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}
642:{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}
146:are approximately ± one standard deviation
116:, which is the positive square root of the
94:. Uncertainties can also be defined by the
12837:Data Analysis for Scientists and Engineers
12730:
12406:
12377:
5918:{\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}
5691:{\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}
5377:sense, if the difference between the pole
4250:is the standard deviation of the function
2689:
12941:EPFL An Introduction to Error Propagation
12814:
12490:
12338:
12266:
12256:
11790:
11695:Therefore, our propagated uncertainty is
10467:
10283:
9484:{\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}
9480:
9270:{\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}
9266:
6859:
6747:
6589:
6477:
5799:
4685:
3709:{\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }
3610:{\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }
2940:
2572:
12983:Propagate uncertainty for any expression
12884:
12880:(2nd ed.), University Science Books
12520:
11787:is the absolute propagated uncertainty.
5700:In the right-hand columns of the table,
5501:{\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}
3724:Any non-linear differentiable function,
371:{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
12852:
12746:(6th ed.), Macmillan, p. 56,
12630:
12599:
12570:
12415:
11516:
5170:
1426:
1404:
1368:
1341:
733:
711:
657:
14:
12989:
12875:
12861:
12739:
209:
12834:
3495:represents the standard deviation of
3448:represents the standard deviation of
1192:Then, the variance–covariance matrix
649:and let the mean value be denoted by
13012:Statistical deviation and dispersion
12714:"Strategies for Variance Estimation"
12545:
12193:
11081:Effect of correlation on differences
1499:In component notation, the equation
664:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
12217:
11093:are uncorrelated, their difference
5434:
1851:may be uncorrelated, the errors on
185:uncertainties in the group averages
24:
12790:
12472:
12453:Ochoa1, Benjamin; Belongie, Serge
12135:Errors and residuals in statistics
12130:Dilution of precision (navigation)
11768:
11718:
11703:
11587:
11183:For example, the self-subtraction
7586:{\displaystyle f={\frac {A}{A+B}}}
5191:is a good approximation only when
5187:increases, since the expansion to
4568:
4560:
4523:
4515:
4188:
4180:
4168:
4160:
4117:
4109:
4064:
4056:
3862:
3854:
3836:
3828:
3322:
3314:
3269:
3261:
3216:
3208:
3156:
3150:
3121:
3116:
3108:
3102:
3096:
3086:
3080:
3045:
3030:
2994:
2979:
2936:
2931:
2917:
2908:
2854:
2836:
2791:
2776:
2456:In the case that the variables in
2116:
2061:
1790:
1742:
1693:
1635:
1570:
1546:
1478:
1444:
1103:
1084:
1065:
1039:
1020:
1001:
975:
956:
937:
25:
13023:
12922:
12140:Experimental uncertainty analysis
11233:only if the variate is perfectly
11226:{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}
8444:{\displaystyle f=a\log _{10}(bA)}
5366:{\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}
5206:Reciprocal and shifted reciprocal
3657:inside a neighbourhood of radius
3173:
2167:can be expressed in terms of the
12659:"A Summary of Error Propagation"
12380:Journal of Computational Physics
11572:{\displaystyle f(x)=\arctan(x),}
11173:{\displaystyle \rho _{AB}\to -1}
7244:{\displaystyle f={\frac {A}{B}}}
2110:
2098:
2092:
1979:
1976:
1893:
1864:
1540:
1528:
1522:
1508:
1472:
1460:
1454:
1438:
1418:
1396:
1382:
1360:
1352:
1333:
1325:
1302:
1288:
1271:
1257:
1234:
1201:
725:
703:
680:
629:
574:
569:
561:
12759:
12706:
12682:
12651:
12564:
12539:
12514:
12327:Computer Physics Communications
12226:Handbook of Monte Carlo Methods
11130:{\displaystyle \rho _{AB}\to 1}
10595:
12743:Quantitative chemical analysis
12633:Journal of Sound and Vibration
12552:The Book of Statistical Proofs
12466:
12447:
12371:
12318:
12283:
12232:
12203:Berkeley Seismology Laboratory
12187:
11795:A practical application is an
11563:
11557:
11545:
11539:
11161:
11121:
10938:
10929:
10925:
10919:
10907:
10898:
10894:
10888:
10876:
10873:
10864:
10858:
10846:
10839:
10830:
10824:
10812:
10805:
10796:
10787:
10563:{\displaystyle \sigma _{AB}=0}
10027:
10021:
9979:
9973:
9850:
9844:
9802:
9796:
9639:
9630:
9551:
9542:
9411:
9402:
9330:
9321:
9197:
9188:
9116:
9107:
9050:
9041:
8988:
8982:
8917:
8903:
8897:
8885:
8598:
8592:
8514:
8508:
8438:
8429:
8250:
8241:
5901:
5893:
5360:
5348:
5319:
5307:
5272:
5260:
5212:Reciprocal normal distribution
4007:
3995:
3974:
3968:
3946:
3940:
3918:
3900:
3746:
3734:
3163:{\displaystyle \mathrm {J=A} }
2582:
2574:
2378:
2366:
1433:
1430:
1414:
1408:
1392:
1389:
1375:
1372:
1356:
1345:
1329:
1321:
1312:
1309:
1306:
1298:
1284:
1278:
1275:
1267:
1253:
1250:
740:
737:
721:
715:
699:
696:
463:
439:
378:with combination coefficients
279:
234:
158:, which means that the region
13:
1:
12801:(3rd ed.), McGraw-Hill,
12181:
11494:{\displaystyle 1-\rho _{A}=2}
11402:{\displaystyle \rho _{A}=-1,}
11370:is perfectly anticorrelated,
5612:The real-valued coefficients
4344:is the standard deviation of
4297:is the standard deviation of
1913:is in general a full matrix.
12767:"Error Propagation tutorial"
11303:{\displaystyle \rho _{A}=0,}
10527:{\displaystyle \rho _{AB}=0}
10498:For uncorrelated variables (
5287:standard normal distribution
5039:{\displaystyle \rho _{ab}=0}
4473:In the particular case that
2969:by the partial derivatives,
2160:{\displaystyle \sigma _{ij}}
7:
12997:Algebra of random variables
12664:. p. 2. Archived from
12175:Variance § Propagation
12160:Probability bounds analysis
12102:
11780:{\displaystyle \Delta _{f}}
11599:{\displaystyle \Delta _{x}}
11263:{\displaystyle \rho _{A}=1}
9056:{\displaystyle f=a\sin(bA)}
5605:{\displaystyle \rho _{AB}.}
4927:is the correlation between
4337:{\displaystyle \sigma _{b}}
4290:{\displaystyle \sigma _{a}}
4243:{\displaystyle \sigma _{f}}
1920:are a little simpler (here
203:strategy may be necessary.
10:
13028:
13007:Statistical approximations
12899:10.1088/0026-1394/42/5/011
12740:Harris, Daniel C. (2003),
12546:Soch, Joram (2020-07-07).
12473:Ku, H. H. (October 1966).
12292:AIP Conference Proceedings
12205:. University of California
12165:Uncertainty quantification
11819:in order to determine the
8256:{\displaystyle f=a\ln(bA)}
5424:
5209:
5200:Uncertainty quantification
4920:{\displaystyle \rho _{ab}}
4430:is the covariance between
3719:
2693:
2640:standard error of the mean
2193:{\displaystyle \rho _{ij}}
595:variance–covariance matrix
65:) on the uncertainty of a
43:propagation of uncertainty
29:
12835:Meyer, Stuart L. (1975),
12821:, Springer, p. 161,
12815:Fornasini, Paolo (2008),
12645:10.1016/j.jsv.2012.12.009
12585:10.1007/s00158-008-0234-7
12525:. John Wiley & Sons.
12400:10.1016/j.jcp.2018.01.029
12357:10.1016/j.cpc.2014.01.006
12115:Automatic differentiation
8654:{\displaystyle f=ae^{bA}}
5465:with standard deviations
5427:Normal ratio distribution
5420:
2604:For the arithmetic mean,
171:If the uncertainties are
12968:(Technical report). JCGM
12521:Clifford, A. A. (1973).
12228:. John Wiley & Sons.
11522:Inverse tangent function
8842:{\displaystyle f=a^{bA}}
7944:{\displaystyle f=aA^{b}}
5278:{\displaystyle B=N(0,1)}
1178:{\displaystyle \otimes }
136:probability distribution
132:probability distribution
12245:Physical Sciences Forum
12150:Measurement uncertainty
12145:Interval finite element
9696:{\displaystyle f=A^{B}}
6649:{\displaystyle f=aA-bB}
6379:{\displaystyle f=aA+bB}
5325:{\displaystyle 1/(p-B)}
2690:Non-linear combinations
2169:correlation coefficient
553:or in matrix notation,
152:from the central value
18:Uncertainty propagation
12981:Uncertainty Calculator
12876:Taylor, J. R. (1997),
12610:. Wiley. p. 171.
12110:Accuracy and precision
12094:
11799:in which one measures
11791:Resistance measurement
11781:
11754:
11687:
11600:
11573:
11495:
11456:
11403:
11360:
11304:
11264:
11227:
11174:
11131:
11072:
10954:and therefore we have
10948:
10771:
10740:
10564:
10528:
10487:
10301:
10114:
10055:
9881:
9697:
9661:
9579:
9485:
9433:
9358:
9271:
9219:
9144:
9057:
9010:
8930:
8843:
8804:
8731:
8655:
8613:
8535:
8445:
8391:
8330:
8257:
8210:
8087:
7945:
7906:
7759:
7587:
7543:
7399:
7245:
7209:
7065:
6911:
6879:
6765:
6650:
6609:
6495:
6380:
6339:
6252:
6164:
6129:
6042:
5954:
5919:
5865:
5804:
5803:{\displaystyle f=aA\,}
5758:
5734:
5714:
5692:
5646:
5626:
5606:
5573:
5502:
5459:
5411:
5391:
5367:
5326:
5279:
5238:
5162:
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5004:
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4961:
4941:
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4587:
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4497:
4464:
4444:
4424:
4358:
4338:
4311:
4291:
4264:
4244:
4217:
4017:
3881:
3793:
3773:
3753:
3752:{\displaystyle f(a,b)}
3710:
3651:
3631:
3611:
3552:
3532:
3509:
3489:
3462:
3442:
3415:
3395:
3368:
3164:
3133:
3071:. In matrix notation,
3065:
3014:
2945:
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2823:
2772:
2681:
2632:
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2194:
2161:
2129:
2049:
2034:
1990:
1951:
1907:
1884:is a diagonal matrix,
1878:
1833:
1776:
1727:
1673:
1619:
1604:
1556:
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1179:
1160:
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643:
585:
547:
516:
470:
372:
313:
289:
12947:uncertainties package
12492:10.6028/jres.070c.025
12268:10.3390/psf2021003006
12170:Random-fuzzy variable
12095:
11782:
11755:
11688:
11601:
11574:
11513:in the table above).
11496:
11457:
11404:
11361:
11305:
11265:
11228:
11175:
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11073:
10949:
10772:
10741:
10565:
10529:
10488:
10302:
10115:
10056:
9882:
9698:
9662:
9580:
9486:
9434:
9359:
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9011:
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8614:
8536:
8446:
8392:
8331:
8258:
8211:
8088:
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7588:
7544:
7400:
7246:
7210:
7066:
6912:
6880:
6766:
6651:
6610:
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6381:
6340:
6253:
6165:
6163:{\displaystyle f=A-B}
6130:
6043:
5955:
5953:{\displaystyle f=A+B}
5920:
5866:
5805:
5759:
5735:
5715:
5693:
5647:
5627:
5607:
5574:
5503:
5460:
5412:
5392:
5368:
5327:
5280:
5239:
5163:
5041:
5005:
4985:
4962:
4942:
4922:
4892:
4704:
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4543:
4498:
4465:
4445:
4425:
4359:
4339:
4312:
4292:
4265:
4245:
4218:
4018:
3882:
3799:, can be expanded as
3794:
3774:
3754:
3711:
3652:
3632:
3612:
3553:
3533:
3510:
3490:
3488:{\displaystyle s_{y}}
3463:
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3416:
3396:
3394:{\displaystyle s_{f}}
3369:
3165:
3134:
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3015:
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2758:
2682:
2633:
2631:{\displaystyle a=1/n}
2597:
2538:
2485:
2449:
2358:
2343:
2295:
2261:
2195:
2162:
2137:Each covariance term
2130:
2035:
2020:
1991:
1937:
1908:
1879:
1834:
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1161:
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644:
586:
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471:
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314:
290:
12853:Peralta, M. (2012),
11895:
11764:
11699:
11629:
11610:. The derivative of
11583:
11533:
11517:Example calculations
11466:
11413:
11374:
11314:
11278:
11241:
11199:
11145:
11105:
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10752:
10574:
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8546:
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8223:
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7556:
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7256:
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7076:
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6910:{\displaystyle f=AB}
6892:
6776:
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5704:
5656:
5636:
5616:
5583:
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5469:
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5410:{\displaystyle \mu }
5401:
5381:
5336:
5296:
5248:
5220:
5171:Caveats and warnings
5050:
5014:
4994:
4974:
4951:
4931:
4901:
4713:
4599:
4554:
4509:
4496:{\displaystyle f=ab}
4478:
4454:
4434:
4368:
4348:
4321:
4301:
4274:
4254:
4227:
4027:
3891:
3803:
3783:
3763:
3759:, of two variables,
3728:
3661:
3641:
3621:
3562:
3542:
3522:
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2973:
2904:
2888:with respect to the
2833:
2724:
2710:interval propagation
2646:
2638:, the result is the
2608:
2549:
2464:
2274:
2204:
2174:
2141:
1999:
1928:
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1859:
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1503:
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675:
653:
624:
557:
480:
382:
323:
303:
218:
187:will be correlated.
61:, more specifically
47:propagation of error
12862:Rouaud, M. (2013),
12392:2018JCoPh.360...93L
12349:2014CoPhC.185.1355C
12304:2016AIPC.1773g0001A
12155:Numerical stability
12120:Bienaymé's identity
11970:
11927:
11451:
11430:
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6678:
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6548:
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5860:
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5237:{\displaystyle 1/B}
4970:When the variables
4672:
4644:
4616:
4150:
4097:
4044:
3637:has to be close to
3355:
3302:
3249:
2754:
2529:
2514:
2481:
2339:
2324:
2291:
2077:
2016:
1843:-th element of the
1839:is the variance of
1828:
1803:
1755:
1709:
1652:
1586:
1117:
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1079:
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1034:
1015:
989:
970:
951:
888:
828:
768:
210:Linear combinations
144:normal distribution
49:) is the effect of
13002:Numerical analysis
12460:2011-07-20 at the
12090:
11956:
11913:
11777:
11750:
11683:
11596:
11569:
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11223:
11202:
11195:has zero variance
11170:
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11068:
11050:
11035:
11017:
10989:
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10560:
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10483:
10418:
10365:
10297:
10234:
10181:
10128:
10110:
10051:
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9711:
9693:
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9575:
9499:
9481:
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7941:
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7601:
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6562:
6534:
6491:
6450:
6422:
6394:
6376:
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