3311:
1617:
2955:
3871:
4462:
3654:
3978:
1796:
263:
Some of the applications of the Bures metric include that given a target error, it allows the calculation of the minimum number of measurements to distinguish two different states and the use of the volume element as a candidate for the
397:
648:
3567:
2205:
The actual computation of the Bures metric is not evident from the definition, so, some formulas were developed for that purpose. For 2x2 and 3x3 systems, respectively, the quadratic form of the Bures metric is calculated as
1980:
3743:
3139:
1051:
3448:
3120:
2769:
934:
4202:
Facchi, Paolo; Kulkarni, Ravi; Man'ko, V.I.; Marmo, Giuseppe; Sudarshan, E.C.G.; Ventriglia, Franco (2010). "Classical and quantum Fisher information in the geometrical formulation of quantum mechanics".
1462:
1333:
864:
4049:
181:
1391:
2690:
2386:
1230:
2777:
534:
2184:
2094:
3754:
1252:
are restricted to move on the positive quadrant of a unit hypersphere. So, the geodesics are just the great circles on the hypersphere, and we also obtain the
Wootters distance formula.
1159:
803:
733:
3473:
1098:
251:
4360:
3499:
4008:
3575:
2127:
1669:
3370:
1418:
1279:
1696:
4115:
3887:
1708:
1446:
1640:
1456:
The Bures metric can be seen as the quantum equivalent of the Fisher information metric and can be rewritten in terms of the variation of coordinate parameters as
3340:
960:
1250:
204:
282:
4315:
Slater, Paul B. (1996). "Applications of quantum and classical Fisher information to twoâlevel complex and quaternionic and threeâlevel complex systems".
549:
3504:
1807:
4903:
HĂŒbner, Matthias (1993). "Computation of
Uhlmann's parallel transport for density matrices and the Bures metric on three-dimensional Hilbert space".
3306:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}},}
3666:
969:
808:
3394:
2966:
2698:
4096:
872:
3376:. This formula holds for invertible density matrices. For non-invertible density matrices, the inverse above is substituted by the
1612:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}
1284:
4017:
84:
1340:
5199:
2950:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}
2394:
2212:
3380:. Alternatively, the expression can be also computed by performing a limit on a certain mixed and thus invertible state.
2099:
The definition of the SLD implies that the quantum Fisher metric is 4 times the Bures metric. In other words, given that
1164:
5056:
Uhlmann, A. (1992). "The Metric of Bures and the
Geometric Phase". In Gielerak, R.; Lukierski, J.; Popowicz, Z. (eds.).
2695:
For general systems, the Bures metric can be written in terms of the eigenvectors and eigenvalues of the density matrix
1671:
have the same rank. In cases where they do not have the same rank, there is an additional term on the right hand side.
412:
3866:{\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}
5180:
5073:
2135:
1991:
1699:
4264:
Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (1994-05-30). "Statistical distance and the geometry of quantum states".
1103:
738:
668:
665:
When both density operators are diagonal (so that they are just classical probability distributions), then let
276:
The Bures distance is the finite version of the infinitesimal square distance described above and is given by
17:
2189:
As it happens with the classical Fisher information metric, the quantum Fisher metric can be used to find the
5150:
Slater, Paul B. (1996). "Quantum Fisher-Bures information of two-level systems and a three-level extension".
4457:{\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})}
3456:
1059:
212:
4636:Ć afrĂĄnek, Dominik (2017-05-11). "Discontinuities of the quantum Fisher information and the Bures metric".
3130:
4065:
3482:
403:
4097:"An extension of Kakutani's theorem on infinite product measures to the tensor product of semifinite
4075:
3986:
3649:{\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}}
3377:
59:
2102:
1645:
4060:
3349:
1399:
1258:
63:
3973:{\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}
2190:
1791:{\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu }}}.}
4999:Ć afrĂĄnek, Dominik (2018-04-12). "Simple expression for the quantum Fisher information matrix".
963:
4564:
1674:
4100:
4860:
HĂŒbner, Matthias (1992). "Explicit computation of the Bures distance for density matrices".
1423:
5102:
5018:
4912:
4869:
4818:
4712:
4655:
4586:
4529:
4482:
4324:
4273:
4222:
4168:
1625:
35:
5083:
Sommers, H. J.; Zyczkowski, K. (2003). "Bures volume of the set of mixed quantum states".
4565:"Quantum speed limits: from Heisenberg's uncertainty principle to optimal quantum control"
3319:
8:
3660:
The Bures measure can be calculated by taking the square root of the determinant to find
3373:
939:
539:
Another associated function is the Bures arc also known as Bures angle, Bures length or
5131:
5106:
5022:
4916:
4873:
4822:
4716:
4659:
4590:
4533:
4486:
4328:
4277:
4226:
4172:
4159:
Helstrom, C.W. (1967). "Minimum mean-squared error of estimates in quantum statistics".
5118:
5092:
5008:
4981:
4955:
4842:
4808:
4781:
4755:
4728:
4702:
4690:
4645:
4618:
4576:
4517:
4246:
4212:
4070:
4011:
1235:
936:. The Wootters distance is the geodesic distance between the probability distributions
189:
5163:
5114:
4830:
4136:
5176:
5069:
5034:
4973:
4928:
4924:
4885:
4881:
4834:
4773:
4671:
4610:
4545:
4498:
4340:
4297:
4289:
4238:
4184:
4180:
4141:
3343:
3126:
392:{\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}
257:
5122:
4846:
4732:
4250:
643:{\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}
5159:
5110:
5061:
5026:
4985:
4965:
4920:
4877:
4826:
4785:
4765:
4720:
4663:
4622:
4602:
4594:
4537:
4490:
4332:
4281:
4234:
4230:
4176:
4131:
3569:. The components of the Bures metric in this parametrization can be calculated as
47:
3562:{\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}
1975:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\leftd\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}
5065:
4724:
4541:
4285:
5030:
4667:
4598:
3881:
The state of a three-level system can be parametrized with eight variables as
3476:
265:
51:
4969:
4769:
1396:
In particular, the direct Bures distance between any two orthogonal states is
5193:
5038:
4977:
4932:
4889:
4838:
4777:
4675:
4614:
4502:
4344:
4293:
4242:
4188:
4145:
3388:
The state of a two-level system can be parametrized with three variables as
1420:, while the Bures distance summed along the geodesic path connecting them is
540:
75:
55:
4494:
3738:{\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}
4549:
4301:
5097:
4946:
PARIS, MATTEO G. A. (2009). "Quantum estimation for quantum technology".
4813:
4746:
Paris, Matteo G. A. (2009). "Quantum estimation for quantum technology".
1046:{\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}
31:
4473:
Wootters, W. K. (1981-01-15). "Statistical distance and
Hilbert space".
4606:
3443:{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}
2194:
3115:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\ dt,}
4336:
2764:{\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}
1985:
where the quantum Fisher metric (tensor components) is identified as
4799:
Dittmann, J (1999-01-01). "Explicit formulae for the Bures metric".
5013:
4707:
4650:
4581:
4960:
4760:
4217:
929:{\displaystyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)}
27:
Riemannian metric on the space of mixed states of a quantum system
5060:. Proceedings of the First Max Born Symposium. pp. 267â274.
5132:"On the Riemannian Geometry of Finite Dimensional Mixed States"
4051:
the 8-dimensional Bloch vector satisfying certain constraints.
4201:
4689:
Rezakhani, A. T.; Hassani, M.; Alipour, S. (2019-09-12).
4518:"Statistical distance and the geometry of quantum states"
1335:, and we obtain the quantum version of Wootters distance
1328:{\displaystyle {\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |}
859:{\displaystyle {\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}
4357:
Unfortunately, some authors use a different definition,
4044:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}
176:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}
4688:
4516:
Braunstein, Samuel L.; Caves, Carlton M. (1994-05-30).
4400:
2589:
2498:
2459:
2277:
2012:
1872:
1527:
1386:{\displaystyle \arccos(|\langle \psi |\phi \rangle |)}
458:
149:
4363:
4103:
4020:
3989:
3890:
3757:
3669:
3578:
3507:
3485:
3459:
3397:
3352:
3322:
3142:
2969:
2780:
2701:
2397:
2215:
2138:
2105:
1994:
1810:
1711:
1677:
1648:
1628:
1465:
1426:
1402:
1343:
1287:
1261:
1238:
1167:
1106:
1062:
972:
942:
875:
811:
741:
671:
552:
415:
285:
215:
206:
is the
Hermitian 1-form operator implicitly given by
192:
87:
2685:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left.}
2381:{\displaystyle ^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left,}
3748:which can be used to calculate the Bures volume as
3501:is the (three-dimensional) Bloch vector satisfying
2129:are components of the Bures metric tensor, one has
1225:{\displaystyle \sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1}
4569:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
4563:Deffner, Sebastian; Campbell, Steve (2017-11-10).
4456:
4272:(22). American Physical Society (APS): 3439â3443.
4109:
4043:
4002:
3972:
3865:
3737:
3648:
3561:
3493:
3467:
3442:
3364:
3334:
3305:
3114:
2949:
2763:
2684:
2380:
2178:
2121:
2088:
1974:
1790:
1690:
1663:
1634:
1611:
1440:
1412:
1385:
1327:
1273:
1244:
1224:
1153:
1092:
1045:
954:
928:
858:
797:
727:
642:
528:
391:
245:
198:
175:
5082:
4124:Transactions of the American Mathematical Society
529:{\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left^{2}.}
5191:
2572:
2309:
4562:
4515:
4481:(2). American Physical Society (APS): 357â362.
4263:
4801:Journal of Physics A: Mathematical and General
4691:"Continuity of the quantum Fisher information"
2179:{\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}
2089:{\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left.}
268:probability density for mixed quantum states.
5170:
3269:
3229:
1451:
4948:International Journal of Quantum Information
4748:International Journal of Quantum Information
4130:. American Mathematical Society (AMS): 199.
2901:
2876:
2750:
2747:
1372:
1358:
1317:
1303:
50:) defines an infinitesimal distance between
5173:Quantum Computation and Quantum Information
1255:If both density operators are pure states,
1154:{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}}
66:when restricted to the pure states alone.
5096:
5012:
4959:
4812:
4759:
4706:
4649:
4580:
4216:
4135:
4031:
1764:
798:{\displaystyle \rho _{2}=diag(q_{1},...)}
728:{\displaystyle \rho _{1}=diag(p_{1},...)}
5129:
4998:
4798:
4635:
4472:
4158:
58:. It is a quantum generalization of the
5055:
4022:
3808:
3700:
3613:
3607:
3549:
3543:
3487:
3468:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
3461:
3430:
3424:
14:
5192:
5171:Nielsen, M. A.; Chuang, I. L. (2000).
5149:
4902:
4859:
4314:
3592:
3581:
1100:, then the chi-squared metric becomes
1093:{\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}}
4945:
4745:
4094:
3876:
246:{\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}
2200:
660:
3383:
1056:Perform a change of variables with
866:with the Bures length becoming the
24:
5049:
3534:
3531:
3528:
3040:
25:
5211:
4137:10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2
3494:{\displaystyle {\boldsymbol {r}}}
271:
4323:(6). AIP Publishing: 2682â2693.
3610:
3546:
3427:
3256:
3248:
2645:
2612:
2544:
2521:
2351:
2328:
1700:Symmetric logarithmic derivative
4992:
4939:
4896:
4853:
4792:
4739:
4682:
4629:
4317:Journal of Mathematical Physics
4003:{\displaystyle \lambda _{\nu }}
5175:. Cambridge University Press.
4556:
4509:
4466:
4451:
4406:
4393:
4367:
4351:
4308:
4257:
4235:10.1016/j.physleta.2010.10.005
4195:
4152:
4088:
3964:
3907:
3640:
3621:
3434:
3414:
3297:
3288:
3218:
3208:
3181:
3177:
3156:
3143:
3097:
3050:
3008:
3004:
2983:
2970:
2906:
2894:
2883:
2872:
2819:
2815:
2794:
2781:
2757:
2740:
2665:
2641:
2632:
2608:
2554:
2540:
2531:
2517:
2436:
2432:
2411:
2398:
2361:
2347:
2338:
2324:
2318:
2312:
2254:
2250:
2229:
2216:
1849:
1845:
1824:
1811:
1504:
1500:
1479:
1466:
1380:
1376:
1365:
1354:
1350:
1321:
1310:
1299:
792:
767:
722:
697:
632:
606:
589:
563:
509:
464:
445:
419:
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378:
352:
338:
323:
296:
167:
155:
126:
122:
101:
88:
42:(named after Donald Bures) or
13:
1:
4911:(4â5). Elsevier BV: 226â230.
4081:
256:which is a special case of a
69:
5066:10.1007/978-94-011-2801-8_23
4925:10.1016/0375-9601(93)90668-p
4882:10.1016/0375-9601(92)91004-b
4181:10.1016/0375-9601(67)90366-0
2122:{\displaystyle g_{\mu \nu }}
1702:operator (SLD) defined from
1664:{\displaystyle \rho +d\rho }
258:continuous Lyapunov equation
7:
5200:Quantum information science
5164:10.1088/0305-4470/29/10/008
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