8375:
4057:
3205:
7741:
3536:
2677:
8370:{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}
4052:{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{}{\bar {Z}}^{}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}
3200:{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}
7619:
9261:
5977:
12149:
9718:
7180:
5510:
11700:
8615:
2032:
6875:
8980:
10612:
4875:
5077:
5676:
11869:
9378:
7614:{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}}
5365:
369:
588:
11466:
8390:
1783:
6537:
6219:
9256:{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}
10335:
4764:
11854:
1011:
4886:
8797:
5972:{\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}
12144:{\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}
9713:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}
3504:
5505:{\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}
10227:
2620:
9367:
10056:
4181:
185:
3376:
468:
11274:
11695:{\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}
8610:{\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}
4286:
2027:{\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.}
6870:{\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}
9902:
9801:
4509:
6053:
10607:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}
4870:{\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}
11711:
7746:
2682:
7730:
10324:
5072:{\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}
867:
2666:
8395:
7035:
11049:
8626:
8914:
5233:
were not normalized to unit length; thus the normalization is made explicit here. In
Hilbert space, the metric can be interpreted as the angle between two vectors; thus it is occasionally called the
11168:
9961:
1771:
10736:
5357:
10340:
9383:
8985:
7185:
6931:
6542:
3541:
4756:
10799:
11357:
5179:
4717:
10857:
5598:
4324:
5301:
8969:
10626:= 1 special case, the Fubini–Study metric has constant sectional curvature identically equal to 4, according to the equivalence with the 2-sphere's round metric (which given a radius
3387:
4551:
10901:
5231:
7671:
1578:
1526:
5116:
1692:
1466:
1221:
11206:
8842:
6400:
5205:
6351:
6288:
1414:
11460:
and the curvature tensors contain a lot of symmetries, and can be given a particularly simple form: The
Christoffel symbols, in the local affine coordinates, are given by
11438:
11399:
4667:
7085:
6976:
6018:
5147:
1359:
10088:
7172:
7130:
6521:
11094:
10986:
10103:
1097:
723:
10921:
10663:
452:
364:{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}
5263:
2067:
1323:
9276:
4589:
1719:
1636:
1605:
583:{\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {(b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}
9975:
6439:
4072:
3239:
824:
11215:
786:
11178:
The common notions of separability apply for the Fubini–Study metric. More precisely, the metric is separable on the natural product of projective spaces, the
1165:
4215:
6214:{\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}
9812:
9733:
4387:
4202:. It remains then to verify that the value of the pullback is independent of the choice of section: this can be done by a direct calculation.
11849:{\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}
7676:
1006:{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}
10242:
6479:. The metric, the connection form and the curvature are readily computed, once suitable real 4D coordinates are established. Writing
1044: = U(1), the group of rotations. Therefore, step (b) in the above construction is possible once step (a) is accomplished.
8792:{\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}
2628:
6981:
11002:
8850:
12414:
11106:
9917:
1724:
10675:
10669:> 1, the Fubini–Study metric does not have constant curvature. Its sectional curvature is instead given by the equation
5306:
6883:
4722:
10744:
11282:
5152:
12485:
12386:
4683:
5620:, its restriction to the real tangent bundle yields an expression of the ordinary "round metric" of radius 1/2 (and
12537:
11054:
This implies, among other things, that the Fubini–Study metric remains unchanged up to a scalar multiple under the
10830:
8919:
and is covariantly constant, which, for spin connections, means that it is antisymmetric in the vierbein indexes:
5558:
4294:
418:
Furthermore, one may realize this quotient mapping in two steps: since multiplication by a nonzero complex scalar
5271:
3499:{\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}
8925:
10947:
12505:
4517:
17:
10865:
5531:
for the geometrization of quantum mechanics. Much of the peculiar behaviour of quantum mechanics, including
5210:
12532:
12522:
8620:
That is, in the vierbein coordinate system, using roman-letter subscripts, the metric tensor is
Euclidean:
7627:
6528:
1531:
1479:
5085:
1645:
1419:
1174:
12500:
12495:
11185:
8813:
6359:
5184:
6293:
6230:
112:, one uses a normalization so that the Fubini–Study metric simply relates to the standard metric on the
12542:
12527:
12473:
4330:. The pullback of this is clearly independent of the choice of holomorphic section. The quantity log|
1364:
168:
92:). A Fubini–Study metric is determined up to homothety (overall scaling) by invariance under such a U(
4367:
167:
relating all complex multiples of each point together. This agrees with the quotient by the diagonal
141:
11067:
10820:
9267:
6465:
5601:
145:
43:
12302:
Paolo Facchi, Ravi
Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "
11404:
11365:
4594:
12165:
10935:(σ) is orthogonal to σ. For this reason, the Fubini–Study metric is often said to have "constant
10222:{\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}
7040:
6936:
6472:
5985:
5125:
4677:
3515:
1331:
412:
10067:
7135:
7093:
2178:
12160:
6482:
2615:{\displaystyle {\bigl }={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left}
11079:
10971:
9362:{\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}
1066:
692:
11074:
10906:
10633:
10062:
10051:{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}
6021:
4359:
4176:{\displaystyle Z_{}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}
3530: = . Formally, subject to suitably interpreting the expressions involved, one has
613:
437:
12304:
Classical and
Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics
5240:
3371:{\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}
1229:
12442:
12339:
12266:
10924:
5532:
5528:
4567:
4374:
3519:
3211:
1697:
1614:
1583:
310:
164:
54:
11269:{\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }
6415:
8:
4327:
803:
734:
387:
109:
12446:
12343:
12270:
4335:
4281:{\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}
4066:, and in the last equality the standard notation for the skew part of a tensor is used:
3230:
12458:
12432:
12376:, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.
12330:
Eguchi, Tohru; Freund, Peter G. O. (1976-11-08). "Quantum
Gravity and World Topology".
12232:
11457:
11063:
10931:(σ) ⊂ σ — while the minimum sectional curvature (1) is attained at a 2-plane for which
5621:
3523:
1469:
771:
121:
12454:
4062:
Here the summation convention is used to sum over Greek indices α β ranging from 0 to
1642:, and it is possible to give the metric explicitly in terms of the affine coordinates
1118:
670:
represents the group of rotations. This quotient is realized explicitly by the famous
12481:
12469:
12410:
12355:
12282:
12278:
12254:
12236:
12224:
9967:
5516:
5119:
4381:. To explicitly equate this notation to the homogeneous coordinates given above, let
4378:
4351:
742:
97:
12462:
12405:, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) , vol. 10, Berlin, New York:
741:
in general), care must be taken to ensure that the quotient space is endowed with a
12450:
12347:
12318:
12314:
12274:
12216:
10951:
6523:
for real
Cartesian coordinates, one then defines polar coordinate one-forms on the
4670:
2058:
1017:
854:
8806:
can be computed; the Levi-Civita spin connection is the unique connection that is
39:
12406:
12170:
11456:
The fact that the metric can be derived from the Kähler potential means that the
11209:
11179:
10961:
8803:
105:
12351:
1528:. One can develop an affine coordinate system in any of the coordinate patches
5644:
4198:
by pulling it back along a holomorphic section σ of the tautological bundle of
671:
129:
69:
50:
6044:
4206:
12516:
12359:
12286:
12228:
9897:{\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}
7735:
The line element, starting with the previously given expression, is given by
6449:
4561:
686:
108:. The particular normalization on the metric depends on the application. In
77:
9796:{\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}
4504:{\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =}
12398:
11860:
10965:
9908:
9724:
8807:
6933:
are the standard left-invariant one-form coordinate frame on the Lie group
5539:
effect, can be attributed to the peculiarities of the Fubini–Study metric.
5524:
4557:
4355:
738:
430:
can be uniquely thought of as the composition of a dilation by the modulus
62:
58:
4190:
apparently defines a tensor on the total space of the tautological bundle
12437:
10094:
6020:
is the round metric on the unit 2-sphere. Here φ, θ are "mathematician's
5536:
5268:
The infinitesimal form of this metric may be quickly obtained by taking
4554:
758:
379:
31:
10862:
A consequence of this formula is that the sectional curvature satisfies
2625:
Note that each matrix element is unitary-invariant: the diagonal action
12220:
11055:
6406:
4363:
12189:
G. Fubini, "Sulle metriche definite da una forma
Hermitiana", (1904)
6476:
1777:, in terms of which the Fubini–Study metric has Hermitian components
434:
followed by a counterclockwise rotation about the origin by an angle
9806:
where the curvature 2-form was expanded as a four-component tensor:
4358:. However, the Bures metric is typically defined in the notation of
12423:
Brody, D.C.; Hughston, L.P. (2001), "Geometric
Quantum Mechanics",
8381:
6524:
6225:
113:
12303:
4758:
in the space, the distance (length of a geodesic) between them is
7725:{\displaystyle \sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}
27:
Metric on a complex projective space endowed with
Hermitian form
10319:{\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}
12480:, Wiley Classics Library, Wiley Interscience, pp. 30–31,
6040:. (Many physics references interchange the roles of φ and θ.)
11276:, then the metric is the sum of the metric on the subspaces:
10950:; a celebrated theorem shows that a strictly quarter-pinched
5616:. When the Fubini–Study metric is written in coordinates on
2661:{\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }
12253:
Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980).
7030:{\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}
12191:
Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti
1103:
of the standard Euclidean metric to the unit hypersphere.
630:
The result of the quotient in (a) is the real hypersphere
11066:, where it serves as a nontrivial solution to the vacuum
11044:{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}
8909:{\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}
4362:, whereas the exposition below is written in terms of a
1099:
carries the so-called "round metric" endowed upon it by
12255:"Gravitation, gauge theories and differential geometry"
12215:(3). Springer Science and Business Media LLC: 321–378.
12207:
Study, E. (1905). "Kürzeste Wege im komplexen Gebiet".
11163:{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}
10923:. The maximum sectional curvature (4) is attained at a
9956:{\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}
1766:{\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}
10731:{\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}
10263:
9996:
9837:
8384:
can be immediately read off from the last expression:
6032: tan(φ/2) = 1, tan θ =
5936:
5869:
4194:\{0}. It is to be understood properly as a tensor on
4106:
11872:
11714:
11469:
11407:
11368:
11285:
11218:
11188:
11109:
11082:
11005:
10974:
10909:
10868:
10833:
10747:
10678:
10636:
10338:
10245:
10106:
10070:
9978:
9920:
9815:
9736:
9381:
9279:
8983:
8928:
8853:
8816:
8810:
and covariantly constant, namely, it is the one-form
8629:
8393:
7744:
7679:
7630:
7183:
7138:
7096:
7043:
6984:
6939:
6886:
6540:
6485:
6418:
6362:
6296:
6233:
6056:
5988:
5679:
5561:
5368:
5309:
5274:
5243:
5213:
5187:
5155:
5128:
5088:
4889:
4767:
4725:
4686:
4597:
4570:
4520:
4390:
4366:. The real part of the metric is (a quarter of) the
4297:
4218:
4075:
3539:
3390:
3242:
2680:
2631:
2070:
1786:
1727:
1700:
1648:
1617:
1586:
1534:
1482:
1422:
1367:
1334:
1232:
1177:
1121:
1069:
870:
806:
774:
695:
471:
440:
188:
5352:{\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}
6926:{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}
155:to be the space consisting of all complex lines in
12338:(19). American Physical Society (APS): 1251–1254.
12252:
12143:
11848:
11694:
11432:
11393:
11351:
11268:
11200:
11162:
11088:
11043:
10980:
10915:
10895:
10851:
10793:
10730:
10657:
10606:
10318:
10221:
10082:
10050:
9955:
9896:
9795:
9712:
9361:
9255:
8963:
8908:
8836:
8791:
8609:
8369:
7724:
7665:
7613:
7166:
7124:
7079:
7029:
6970:
6925:
6869:
6515:
6433:
6394:
6345:
6282:
6213:
6012:
5971:
5592:
5504:
5351:
5295:
5257:
5225:
5199:
5173:
5141:
5110:
5071:
4880:or, equivalently, in projective variety notation,
4869:
4751:{\displaystyle \vert \varphi \rangle =W_{\alpha }}
4750:
4711:
4661:
4583:
4545:
4503:
4318:
4280:
4175:
4051:
3514:An expression is also possible in the notation of
3498:
3370:
3199:
2660:
2614:
2026:
1765:
1713:
1686:
1630:
1599:
1572:
1520:
1460:
1408:
1353:
1317:
1215:
1159:
1091:
1005:
818:
780:
717:
582:
446:
402:+1)-tuples modulo nonzero complex rescaling; the
363:
11100:is given in terms of the dimension of the space:
10794:{\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}
4373:The Fubini–Study metric may be written using the
4345:
398:is thus identified with an equivalence class of (
12514:
11705:The Riemann tensor is also particularly simple:
11440:are the metrics, respectively, on the subspaces
11352:{\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}
10097:for Fubini–Study metrics in general is given by
5237:. The angle is real-valued, and runs from 0 to
5174:{\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }
3509:
140:The Fubini–Study metric arises naturally in the
12468:
7090:The corresponding local affine coordinates are
5643:is the standard affine coordinate chart on the
4712:{\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}
4354:, the Fubini–Study metric is also known as the
1032:, so we are unable to directly push it down to
745:that is well-defined. For instance, if a group
654:| = 1. The quotient in (b) realizes
1106:
616:, and step (b) is a quotient by the rotations
12422:
10852:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
5604:. This leads to the "special" Hopf fibration
3229:The metric can be derived from the following
2102:
2073:
1721:. The coordinate derivatives define a frame
593:where step (a) is a quotient by the dilation
57:was originally described in 1904 and 1905 by
12329:
11263:
11250:
11244:
11231:
11225:
11219:
11195:
11189:
10957:-manifold must be homeomorphic to a sphere.
10846:
10834:
10760:
10748:
10719:
10703:
5593:{\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}
5487:
5481:
5475:
5469:
5460:
5454:
5450:
5444:
5435:
5423:
5417:
5411:
5406:
5397:
5388:
5220:
5214:
5194:
5188:
5168:
5162:
5156:
4860:
4854:
4848:
4844:
4838:
4832:
4827:
4821:
4815:
4811:
4805:
4799:
4732:
4726:
4693:
4687:
4669:is the standard notation for a point in the
4540:
4537:
4524:
4521:
4447:
4434:
4397:
4391:
4319:{\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}
2061:of the Fubini–Study metric in this frame is
1760:
1728:
1567:
1548:
1515:
1496:
499:
493:
355:
315:
300:
294:
11451:
5666: sin θ are polar coordinates on
5296:{\displaystyle \varphi =\psi +\delta \psi }
12093:
12050:
11962:
11903:
11789:
11788:
11566:
11475:
10801:is an orthonormal basis of the 2-plane σ,
9853:
9821:
9762:
9743:
9742:
9347:
9328:
9308:
9285:
9197:
9196:
9136:
9135:
9092:
9091:
9065:
9064:
9021:
9020:
8994:
8993:
8964:{\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}
8876:
8875:
8844:that satisfies the torsion-free condition
8823:
8822:
5453:
5032:
4971:
4847:
4814:
2671:Accordingly, the line element is given by
792:-orbits in the sense that for any element
12493:
12436:
9854:
9822:
9763:
9348:
9309:
9286:
8974:The above is readily solved; one obtains
8331:
8312:
8239:
8210:
8147:
8118:
8064:
8045:
8026:
7994:
7897:
7883:
7785:
7690:
7639:
7586:
7550:
7514:
7482:
7463:
7444:
7412:
7374:
7335:
6856:
6843:
6830:
6817:
6773:
6760:
6747:
6734:
6690:
6677:
6664:
6651:
6607:
6594:
6581:
6568:
6548:
6028:coming from the stereographic projection
5947:
5915:
5527:; the Fubini–Study metric is the natural
3967:
3928:
3467:
3112:
3098:
3043:
3029:
2741:
2727:
12298:
12296:
12248:
12246:
4338:(sometimes called the Kähler scalar) of
10617:
4546:{\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}
1040:invariant under the diagonal action of
1028:invariant under the diagonal action of
728:
100:. Equipped with a Fubini–Study metric,
14:
12515:
10964:in that it is proportional to its own
10896:{\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}
5226:{\displaystyle \vert \varphi \rangle }
5181:in the denominator is a reminder that
1051:is the metric induced on the quotient
1036:in the quotient. However, this metric
12397:
12293:
12243:
12206:
7666:{\displaystyle dr^{\,2}=dr\otimes dr}
1773:of the holomorphic tangent bundle of
1573:{\displaystyle U_{i}=\{Z_{i}\neq 0\}}
1521:{\displaystyle U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}}
5111:{\displaystyle {\bar {Z}}^{\alpha }}
1687:{\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}
1461:{\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}
1216:{\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}
1016:whose realification is the standard
685:, the fibers of which are among the
11201:{\displaystyle \vert \psi \rangle }
10960:The Fubini–Study metric is also an
10236: = 2 case, the two-forms
8837:{\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}
6395:{\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}
5670:, then a routine computation shows
5200:{\displaystyle \vert \psi \rangle }
24:
12109:
12089:
12085:
12003:
11958:
11954:
11830:
11784:
11780:
11660:
11633:
11562:
11544:
11517:
11471:
11083:
11022:
10975:
10071:
10026:
7624:with the usual abbreviations that
6346:{\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}
6283:{\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}
4307:
4298:
4241:
4235:
3468:
3454:
3444:
3214:is used to sum over Latin indices
2668:will leave this matrix unchanged.
1835:
1819:
1751:
1732:
861:is given in the standard basis by
124:, one uses a normalization making
25:
12554:
11173:
10939:sectional curvature" equal to 4.
6475:, the gravitational analog of an
6455:
5542:
1409:{\displaystyle z_{j}=Z_{j}/Z_{0}}
490:
386:. (In fact this is the so-called
291:
12478:Principles of Algebraic Geometry
10781:
10778:
9727:in veirbein indexes is given by
6409:to the Kähler form, one obtains
6353:, the Kähler form simplifies to
5754:
5580:
5577:
4262:
3687:
3666:
3652:
3641:
3624:
3598:
3573:
2935:
2903:
2889:
2878:
2861:
2835:
2794:
2654:
2633:
2558:
2362:
2193:
2133:
1981:
1876:
905:
891:
570:
567:
474:
345:
330:
319:
274:
213:
194:
191:
12425:Journal of Geometry and Physics
12385:Andrew J. Hanson, Ji-PingSha, "
12019:
11560:
11212:, so that it can be written as
11062:indispensable to the theory of
9190:
9189:
6464:The Fubini–Study metric on the
5555:= 1, there is a diffeomorphism
2048:| + ... + |
749:acts on a Riemannian manifold (
645:| + ... + |
135:
12379:
12366:
12323:
12319:10.1016/j.physleta.2010.10.005
12200:
12183:
12131:
12119:
12063:
12034:
11994:
11981:
11969:
11938:
11922:
11910:
11884:
11821:
11808:
11796:
11769:
11744:
11729:
11682:
11670:
11647:
11619:
11598:
11585:
11573:
11534:
11506:
11141:
11129:
10884:
10878:
10688:
10682:
8070:
8013:
7961:
7948:
7922:
7908:
7861:
7833:
7796:
7538:
7502:
7488:
7431:
7385:
7346:
7237:
7205:
6952:
6946:
6510:
6486:
6340:
6321:
6277:
6258:
6122:
6094:
5929:
5880:
5759:
5749:
5732:
5726:
5705:
5096:
5050:
5020:
4989:
4959:
4926:
4914:
4905:
4893:
4783:
4771:
4656:
4611:
4498:
4453:
4346:In bra-ket coordinate notation
4310:
4268:
4257:
4244:
4097:
4081:
4017:
3988:
3959:
3952:
3940:
3920:
3874:
3838:
3793:
3771:
3736:
3693:
3682:
3676:
3670:
3648:
3645:
3628:
3617:
3604:
3590:
3579:
3568:
3478:
3430:
3405:
3365:
3353:
3328:
3305:
3293:
3281:
3255:
3165:
3123:
3076:
3054:
3026:
3014:
2988:
2940:
2930:
2913:
2907:
2885:
2882:
2865:
2854:
2841:
2827:
2799:
2789:
2752:
2719:
2637:
2594:
2578:
2564:
2553:
2517:
2483:
2425:
2398:
2382:
2368:
2357:
2326:
2290:
2251:
2229:
2213:
2199:
2188:
2138:
2128:
2092:
1986:
1976:
1940:
1922:
1881:
1871:
1850:
1838:
1815:
1801:
1681:
1649:
1455:
1423:
1309:
1271:
1265:
1233:
1210:
1178:
1154:
1122:
991:
944:
909:
768:to possess an induced metric,
733:When a quotient is taken of a
612:, the multiplicative group of
558:
552:
547:
517:
511:
506:
265:
220:
13:
1:
12455:10.1016/S0393-0440(00)00052-8
12176:
3510:Using homogeneous coordinates
3210:In this last expression, the
1115:with homogeneous coordinates
151:Specifically, one may define
12279:10.1016/0370-1573(80)90130-1
11433:{\displaystyle {ds_{B}}^{2}}
11394:{\displaystyle {ds_{A}}^{2}}
10859:is the Fubini–Study metric.
6529:quaternionic projective line
5766:
4662:{\displaystyle Z_{\alpha }=}
3979:
3518:, commonly used to describe
2947:
2806:
2145:
1993:
1888:
1607:in the obvious manner. The
1111:Corresponding to a point in
171:of the multiplicative group
38:(IPA: /fubini-ʃtuːdi/) is a
7:
12501:Encyclopedia of Mathematics
12352:10.1103/physrevlett.37.1251
12265:(6). Elsevier BV: 213–393.
12154:
7080:{\displaystyle i,j,k=1,2,3}
6971:{\displaystyle SU(2)=S^{3}}
6013:{\displaystyle ds_{us}^{2}}
5142:{\displaystyle Z_{\alpha }}
1354:{\displaystyle Z_{0}\neq 0}
1167:, there is a unique set of
1107:In local affine coordinates
10:
12559:
12387:Visualizing the K3 Surface
10968:: there exists a constant
10083:{\displaystyle \Lambda =6}
7167:{\displaystyle z_{2}=z+it}
7125:{\displaystyle z_{1}=x+iy}
4186:Now, this expression for d
3222:that range from 1 to
800:and pair of vector fields
12494:Onishchik, A.L. (2001) ,
6516:{\displaystyle (x,y,z,t)}
4680:. Then, given two points
4591:are complex numbers, and
4368:Fisher information metric
757:), then in order for the
634:defined by the equation |
11452:Connection and curvature
11089:{\displaystyle \Lambda }
11068:Einstein field equations
10981:{\displaystyle \Lambda }
10948:quarter pinched manifold
10927:2-plane — one for which
10630:has sectional curvature
6466:complex projective plane
5602:stereographic projection
1476:in the coordinate patch
1470:affine coordinate system
1092:{\displaystyle S^{2n+1}}
718:{\displaystyle S^{2n+1}}
462:splits into two pieces.
159:, i.e., the quotient of
146:complex projective space
44:complex projective space
12538:Structures on manifolds
12332:Physical Review Letters
10916:{\displaystyle \sigma }
10658:{\displaystyle 1/R^{2}}
10061:can be solved with the
6473:gravitational instanton
6471:has been proposed as a
4678:homogeneous coordinates
3516:homogeneous coordinates
1580:by dividing instead by
788:must be constant along
454:, the quotient mapping
447:{\displaystyle \theta }
413:homogeneous coordinates
374:This quotient realizes
96:+1) action; thus it is
12161:Non-linear sigma model
12145:
11850:
11696:
11434:
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10608:
10320:
10223:
10084:
10052:
9966:so that the resulting
9957:
9898:
9797:
9714:
9363:
9257:
8965:
8910:
8838:
8802:Given the vierbein, a
8793:
8611:
8371:
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782:
719:
584:
448:
365:
72:in (the vector space)
12496:"Fubini–Study metric"
12209:Mathematische Annalen
12146:
11851:
11697:
11435:
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6978:; that is, they obey
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12409:, pp. xii+510,
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10988:; such that for all
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5149:. The appearance of
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3520:projective varieties
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1332:
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868:
804:
772:
729:As a metric quotient
693:
469:
438:
382:over the base space
186:
165:equivalence relation
12533:Symplectic geometry
12523:Projective geometry
12447:2001JGP....38...19B
12374:Riemannian Geometry
12344:1976PhRvL..37.1251E
12271:1980PhR....66..213E
12166:Kaluza–Klein theory
12106:
12075:
12000:
11944:
11827:
11604:
11488:
11458:Christoffel symbols
10812: →
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5303:, or equivalently,
4328:Dolbeault operators
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1049:Fubini–Study metric
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735:Riemannian manifold
608: ∈
388:tautological bundle
110:Riemannian geometry
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122:algebraic geometry
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10665:). However, for
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