20:
7848:
7620:
10079:
8250:
7215:
8904:
7843:{\displaystyle I_{m,k}={\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}^{T}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}}{\partial \theta _{k}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{k}}}\right)}
9780:
8059:
6828:
9749:
8561:
108:(MVU) estimator. However, in some cases, no unbiased technique exists which achieves the bound. This may occur either if for any unbiased estimator, there exists another with a strictly smaller variance, or if an MVU estimator exists, but its variance is strictly greater than the inverse of the Fisher information.
3182:
3066:
10074:{\displaystyle I=-\operatorname {E} \left({\frac {\partial V}{\partial \sigma ^{2}}}\right)=-\operatorname {E} \left(-{\frac {(X-\mu )^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}+{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{(\sigma ^{2})^{3}}}-{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}={\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}.}
7605:
4684:
7345:
10737:
6384:
5107:
3591:
8245:{\displaystyle I(\theta )=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}(\theta )}{\partial \theta }}\right)^{T}{\boldsymbol {C}}^{-1}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}(\theta )}{\partial \theta }}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}={\frac {n}{\sigma ^{2}}},}
7210:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (V,T)&=\operatorname {E} \left(T\cdot \left\right)\\&=\int t(x)\leftf(x;\theta )\,dx\\&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\left={\frac {\partial }{\partial \theta }}E(T)=\psi ^{\prime }(\theta )\end{aligned}}}
3825:
6635:
2073:
3311:
5601:
8899:{\displaystyle \operatorname {var} (T)=\operatorname {var} \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n}}\right)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} (X_{i}-\mu )^{2}}{n^{2}}}={\frac {n\operatorname {var} (X-\mu )^{2}}{n^{2}}}={\frac {1}{n}}\left}
9465:
7496:
8048:
9457:
1066:
5830:
3073:
2957:
5332:
5237:
4785:
3502:
1877:
8322:
11039:
10547:
5712:
7526:
4966:
419:
10447:
7233:
3397:
10558:
4235:
6098:
6264:
2710:
9070:
4506:
4022:
1356:
9189:
2343:
3510:
2838:
10344:
6833:
6782:
932:
8473:
566:
2914:
1481:
Apart from being a bound on estimators of functions of the parameter, this approach can be used to derive a bound on the variance of biased estimators with a given bias, as follows. Consider an estimator
5393:
10230:
3606:
2230:
1568:
1268:
1711:
6455:
5976:
1930:
637:
1618:
10177:
4237:
whenever the right-hand side is finite. This condition can often be confirmed by using the fact that integration and differentiation can be swapped when either of the following cases hold:
3252:
5491:
4501:
698:
2383:
9744:{\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \sigma ^{2}}}\log \left={\frac {\partial }{\partial \sigma ^{2}}}\left=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {(X-\mu )^{2}}{2(\sigma ^{2})^{2}}}}
23:
Illustration of the Cramer-Rao bound: there is no unbiased estimator which is able to estimate the (2-dimensional) parameter with less variance than the Cramer-Rao bound, illustrated as
5737:
5500:
6683:
5147:
1116:
6820:
3459:
2122:
7356:
6447:
5451:
5142:
4908:
4461:
7962:
3433:
2949:
2744:
1393:
9224:
4961:
8954:
2881:
8994:
3966:
8549:
1740:
1509:
968:
815:
295:
6232:
5909:
1647:
1422:
1203:
3177:{\displaystyle \operatorname {cov} _{\boldsymbol {\theta }}\left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq \phi (\theta )I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}\phi (\theta )^{T}}
3061:{\displaystyle I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)\geq \phi (\theta )^{T}\operatorname {cov} _{\boldsymbol {\theta }}\left({\boldsymbol {T}}(X)\right)^{-1}\phi (\theta )}
6160:
4844:
4351:
4273:
3872:
2159:
1915:
976:
737:
258:
24:
8507:
8385:
7954:
1769:
1471:
451:
351:
5242:
4695:
2420:
3464:
1777:
7927:
5996:
5416:
4426:
4375:
4313:
4065:
3215:
2453:
1442:
1174:
315:
180:
8261:
6195:
5880:
8358:
4873:
4822:
4090:
3901:
1154:
10821:
10795:
10769:
3241:
3338:
10122:
10102:
9772:
9212:
9100:
7907:
7887:
6723:
6703:
6415:
6252:
6121:
5929:
5732:
4293:
4085:
4045:
3925:
777:
757:
665:
220:
200:
7600:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\sim {\mathcal {N}}_{d}\left({\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {\theta }}),{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\theta }})\right)}
10458:
5609:
3971:
9754:
where the second equality is from elementary calculus. Thus, the information in a single observation is just minus the expectation of the derivative of
7340:{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {var} (T)\operatorname {var} (V)}}\geq \left|\operatorname {cov} (V,T)\right|=\left|\psi ^{\prime }(\theta )\right|}
359:
10745:
When the mean is not known, the minimum mean squared error estimate of the variance of a sample from
Gaussian distribution is achieved by dividing by
10355:
10732:{\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\left({\frac {2n}{(n+2)^{2}}}+{\frac {4}{(n+2)^{2}}}\right)(\sigma ^{2})^{2}={\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n+2}}}
3343:
6379:{\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(X;\theta )={\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )}
4679:{\displaystyle (E_{\theta '}-E_{\theta })=v^{T}\phi (\theta )\delta ;\quad \chi ^{2}(\mu _{\theta '};\mu _{\theta })=v^{T}I(\theta )v\delta ^{2}}
6004:
2461:
150:. All versions of the bound require certain regularity conditions, which hold for most well-behaved distributions. These conditions are listed
9002:
1920:
It's trivial to have a small variance − an "estimator" that is constant has a variance of zero. But from the above equation, we find that the
10904:
5102:{\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }=v^{T}\operatorname {Cov} _{\theta }v\geq v^{T}\phi (\theta )I(\theta )^{-1}\phi (\theta )^{T}v}
3586:{\displaystyle \operatorname {cov} _{\boldsymbol {\theta }}\left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}.}
1276:
9108:
2249:
142:
The Cramér–Rao bound is stated in this section for several increasingly general cases, beginning with the case in which the parameter is a
11310:
2749:
11560:
Posterior uncertainty, asymptotic law and Cramér-Rao bound, Structural
Control and Health Monitoring 25(1851):e2113 DOI: 10.1002/stc.2113
11419:
10256:
6728:
823:
8393:
459:
2886:
11573:
a GUI-based software to calculate the Fisher information and Cramér-Rao lower bound with application to single-molecule microscopy.
5337:
3820:{\displaystyle \operatorname {var} _{\boldsymbol {\theta }}(T_{m}(X))=\left_{mm}\geq \left_{mm}\geq \left(\left_{mm}\right)^{-1}.}
11570:
10187:
1071:
or the minimum possible variance for an unbiased estimator divided by its actual variance. The Cramér–Rao lower bound thus gives
1514:
1208:
11511:
11285:
11125:
10944:
6630:{\displaystyle \operatorname {E} (V)=\int f(x;\theta )\left\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int f(x;\theta )\,dx=0}
817:
is twice differentiable and certain regularity conditions hold, then the Fisher information can also be defined as follows:
2068:{\displaystyle \operatorname {E} \left(({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right)\geq {\frac {^{2}}{I(\theta )}}+b(\theta )^{2},}
10902:
Rao, Calyampudi
Radakrishna (1945). "Information and the accuracy attainable in the estimation of statistical parameters".
5934:
2168:
574:
3600:, then one can simply take the reciprocal of the corresponding diagonal element to find a (possibly loose) lower bound.
3306:{\displaystyle \phi (\theta ):=\partial {\boldsymbol {\psi }}({\boldsymbol {\theta }})/\partial {\boldsymbol {\theta }}}
1573:
10127:
1652:
11586:
11550:
11530:
11492:
11452:
10878:
670:
7515:
5596:{\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }\geq {\frac {\langle v,\phi (\theta )\rangle ^{2}}{v^{T}I(\theta )v}}}
2351:
6640:
where the integral and partial derivative have been interchanged (justified by the second regularity condition).
10968:
Fréchet, Maurice (1943). "Sur l'extension de certaines évaluations statistiques au cas de petits échantillons".
11359:
6650:
5456:
4466:
1077:
10847:
7491:{\displaystyle \operatorname {var} (T)\geq {\frac {^{2}}{\operatorname {var} (V)}}={\frac {^{2}}{I(\theta )}}}
10913:
8043:{\displaystyle w\sim {\mathcal {N}}_{d,n}\left(\theta {\boldsymbol {1}},\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\right).}
7224:
6787:
3442:
9452:{\displaystyle \log \left=\log \left=-\log({\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}})-{\frac {(X-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}
10842:
6420:
5421:
5112:
4878:
4431:
3836:
3244:
970:
measures how close this estimator's variance comes to this lower bound; estimator efficiency is defined as
223:
3407:
2923:
2718:
4354:
8916:
4913:
2843:
2081:
11591:
11341:
8959:
3930:
75:. It is also known as Fréchet-Cramér–Rao or Fréchet-Darmois-Cramér-Rao lower bound. It states that the
8909:(the second equality follows directly from the definition of variance). The first term is the fourth
8512:
1716:
1485:
944:
785:
271:
11087:
10832:
7611:
5494:
4689:
4390:
3597:
2393:
1364:
1061:{\displaystyle e({\hat {\theta }})={\frac {I(\theta )^{-1}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}}
105:
60:
11221:"On Some Analogues of the Amount of Information and Their Use in Statistical Estimation (Concluded)"
6208:
5885:
1623:
1398:
1179:
10837:
5825:{\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }\geq \phi (\theta )^{T}I(\theta )^{-1}\phi (\theta ).}
131:
11262:. Texts and Readings in Mathematics. Vol. 67. Hindustan Book Agency, Gurgaon. p. 18-37.
6130:
5327:{\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }\geq \phi (\theta )^{T}I(\theta )^{-1}\phi (\theta )}
5232:{\displaystyle \operatorname {Cov} _{\theta }\geq \phi (\theta )I(\theta )^{-1}\phi (\theta )^{T}}
4827:
4780:{\displaystyle I(\theta )\geq \phi (\theta )\operatorname {Cov} _{\theta }^{-1}\phi (\theta )^{T}}
4321:
4243:
3842:
2127:
1885:
707:
228:
11182:"On Some Analogues of the Amount of Information and Their Use in Statistical Estimation (Contd.)"
10240:
8485:
8363:
7932:
3497:{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)={\boldsymbol {\theta }}}
1872:{\displaystyle \operatorname {var} \left({\hat {\theta }}\right)\geq {\frac {^{2}}{I(\theta )}}.}
938:
96:
1745:
1447:
427:
327:
11317:
8317:{\displaystyle \operatorname {var} \left({\hat {\theta }}\right)\geq {\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}
2399:
318:
115:
estimators of given bias. In some cases, a biased approach can result in both a variance and a
76:
11484:
8910:
7912:
5981:
5401:
4411:
4360:
4298:
4050:
3194:
2425:
1427:
1159:
300:
165:
11408:
6165:
5850:
11244:
11205:
11166:
10921:
10742:
which is less than what unbiased estimators can achieve according to the Cramér–Rao bound.
143:
8343:
4849:
4798:
3877:
1130:
8:
10800:
10774:
10748:
9215:
8337:
7220:
again because the integration and differentiation operations commute (second condition).
3220:
644:
19:
11143:"On Some Analogues of the Amount of Information and Their Use in Statistical Estimation"
3320:
11291:
11263:
11232:
11193:
11154:
11096:
11067:
11020:
10985:
10868:
10247:
10107:
10087:
9757:
9197:
9085:
9080:
9076:
7892:
7863:
6708:
6688:
6400:
6255:
6237:
6106:
5914:
5717:
4278:
4070:
4030:
3910:
1921:
762:
742:
650:
322:
205:
185:
116:
101:
84:
80:
72:
51:
of a deterministic (fixed, though unknown) parameter. The result is named in honor of
11003:
Darmois, Georges (1945). "Sur les limites de la dispersion de certaines estimations".
10542:{\displaystyle \left(1-{\frac {n}{n+2}}\right)\sigma ^{2}={\frac {2\sigma ^{2}}{n+2}}}
5707:{\displaystyle \sup _{v\neq 0}{\frac {\langle w,v\rangle ^{2}}{v^{T}Mv}}=w^{T}M^{-1}w}
11546:
11526:
11507:
11488:
11477:
11448:
11281:
11121:
11071:
11059:
10950:
10940:
10884:
10874:
2917:
640:
87:; or (equivalently) the reciprocal of the Fisher information is a lower bound on its
32:
11295:
11387:
11273:
11051:
11012:
10977:
10235:
In this case, the inequality is saturated (equality is achieved), showing that the
1127:
A more general form of the bound can be obtained by considering a biased estimator
68:
414:{\displaystyle \operatorname {var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}}
52:
11472:
11240:
11201:
11162:
11115:
10917:
10442:{\displaystyle \operatorname {var} (T)={\frac {2n(\sigma ^{2})^{2}}{(n+2)^{2}}}.}
6124:
3314:
2240:
Extending the Cramér–Rao bound to multiple parameters, define a parameter column
64:
11277:
4388:
3392:{\displaystyle \partial \psi _{i}({\boldsymbol {\theta }})/\partial \theta _{j}}
7854:
6394:
3436:
759:. If not indicated, in what follows, the expectation is taken with respect to
701:
147:
124:
11055:
11580:
11392:
11375:
11063:
10954:
10888:
4230:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left=\int T(x)\left\,dx}
2241:
11523:
Fundamentals of
Statistical Signal Processing, Volume I: Estimation Theory
11258:
Nielsen, Frank (2013). "Cramér-Rao Lower Bound and
Information Geometry".
6093:{\displaystyle \operatorname {var} (t(X))\geq {\frac {^{2}}{I(\theta )}}.}
2705:{\displaystyle I_{m,k}=\operatorname {E} \left=-\operatorname {E} \left.}
1882:
The unbiased version of the bound is a special case of this result, with
11236:
11220:
11197:
11181:
11158:
11142:
9065:{\displaystyle \operatorname {var} (T)={\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n}}.}
11100:
11024:
10989:
6645:
6390:
36:
4017:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )}
1351:{\displaystyle \operatorname {var} (T)\geq {\frac {^{2}}{I(\theta )}}}
10236:
9184:{\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \sigma ^{2}}}\log \left}
6202:
6198:
2338:{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\left^{T}\in \mathbb {R} ^{d}}
130:
Significant progress over the Cramér–Rao lower bound was proposed by
94:
An unbiased estimator that achieves this bound is said to be (fully)
56:
48:
11044:
Proceedings of the Royal
Society of Edinburgh Section A: Mathematics
11016:
10981:
2833:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)=(T_{1}(X),\ldots ,T_{d}(X))^{T}}
2078:
using the standard decomposition of the MSE. Note, however, that if
1620:. By the result above, any unbiased estimator whose expectation is
261:
182:
is an unknown deterministic parameter that is to be estimated from
88:
11268:
10339:{\displaystyle T={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n+2}}.}
5835:
1270:
is not generally equal to 0. In this case, the bound is given by
11445:
Fundamentals of
Statistical Signal Processing: Estimation Theory
11409:"Lecture notes on information theory, chapter 29, ECE563 (UIUC)"
6777:{\displaystyle \operatorname {cov} (V,T)=\operatorname {E} (VT)}
3907:
The Fisher information is always defined; equivalently, for all
927:{\displaystyle I(\theta )=-n\operatorname {E} _{X;\theta }\left}
8468:{\displaystyle T={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n}}.}
561:{\displaystyle I(\theta )=n\operatorname {E} _{X;\theta }\left}
111:
The Cramér–Rao bound can also be used to bound the variance of
11085:
Shenton, L. R. (1970). "The so-called Cramer–Rao inequality".
2909:{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}({\boldsymbol {\theta }})}
1476:
5388:{\displaystyle \phi (\theta ):=\nabla _{\theta }E_{\theta }}
2124:
this bound might be less than the unbiased Cramér–Rao bound
10225:{\displaystyle \operatorname {var} (T)\geq {\frac {1}{I}}.}
3835:
The bound relies on two weak regularity conditions on the
11373:
10935:
Rao, Calyampudi
Radakrishna (1994). S. Das Gupta (ed.).
1563:{\displaystyle b(\theta )=E\{{\hat {\theta }}\}-\theta }
1263:{\displaystyle E\{T(X)\}-\theta =\psi (\theta )-\theta }
134:
4916:
2746:
be an estimator of any vector function of parameters,
10803:
10777:
10751:
10561:
10461:
10358:
10259:
10190:
10130:
10110:
10090:
9783:
9760:
9468:
9227:
9200:
9111:
9088:
9005:
8962:
8919:
8564:
8515:
8488:
8396:
8366:
8346:
8264:
8062:
7965:
7935:
7915:
7895:
7866:
7623:
7529:
7359:
7236:
6831:
6790:
6731:
6711:
6691:
6653:
6458:
6423:
6403:
6267:
6240:
6211:
6168:
6133:
6109:
6007:
5984:
5937:
5917:
5888:
5853:
5740:
5720:
5612:
5503:
5459:
5424:
5404:
5340:
5245:
5150:
5115:
4969:
4881:
4852:
4830:
4801:
4698:
4509:
4469:
4434:
4414:
4363:
4324:
4301:
4281:
4246:
4093:
4073:
4053:
4033:
3974:
3933:
3913:
3880:
3845:
3609:
3513:
3467:
3445:
3410:
3346:
3323:
3255:
3223:
3197:
3076:
2960:
2926:
2889:
2846:
2752:
2721:
2464:
2428:
2402:
2354:
2252:
2171:
2130:
2084:
1933:
1888:
1780:
1748:
1719:
1655:
1626:
1576:
1517:
1488:
1450:
1430:
1401:
1367:
1279:
1211:
1182:
1162:
1133:
1080:
979:
947:
826:
788:
765:
745:
710:
673:
653:
577:
462:
430:
362:
330:
303:
274:
231:
208:
188:
168:
5971:{\displaystyle \operatorname {E} (T)=\psi (\theta )}
3596:
If it is inconvenient to compute the inverse of the
2162:
10349:obviously has a smaller variance, which is in fact
7509:
2225:{\displaystyle 1+b'(\theta )={\frac {n}{n+2}}<1}
632:{\displaystyle \ell (x;\theta )=\log(f(x;\theta ))}
104:among all unbiased methods, and is, therefore, the
11506:. Hoboken: John Wiley & Sons. pp. 45–98.
11476:
10815:
10789:
10763:
10731:
10541:
10441:
10338:
10224:
10171:
10116:
10096:
10073:
9766:
9743:
9451:
9206:
9183:
9094:
9064:
8988:
8948:
8898:
8543:
8501:
8467:
8379:
8352:
8327:
8316:
8244:
8042:
7948:
7921:
7901:
7881:
7842:
7599:
7490:
7339:
7209:
6814:
6776:
6717:
6697:
6677:
6629:
6441:
6409:
6378:
6246:
6226:
6189:
6154:
6115:
6092:
5990:
5970:
5923:
5903:
5874:
5824:
5726:
5706:
5595:
5485:
5445:
5410:
5387:
5326:
5231:
5136:
5101:
4955:
4902:
4867:
4838:
4816:
4779:
4678:
4495:
4455:
4420:
4369:
4345:
4307:
4287:
4267:
4229:
4079:
4059:
4039:
4016:
3960:
3919:
3895:
3866:
3819:
3585:
3496:
3453:
3427:
3391:
3332:
3305:
3235:
3209:
3176:
3060:
2943:
2908:
2875:
2832:
2738:
2704:
2447:
2414:
2377:
2337:
2224:
2153:
2116:
2067:
1909:
1871:
1763:
1734:
1705:
1641:
1612:
1562:
1503:
1465:
1436:
1416:
1387:
1350:
1262:
1197:
1168:
1148:
1110:
1060:
962:
926:
809:
771:
751:
731:
692:
659:
631:
560:
445:
413:
345:
309:
289:
252:
214:
194:
174:
11504:Parameter Estimation for Scientists and Engineers
11040:"XV.—On the Estimation of Statistical Parameters"
11037:
8053:Then the Fisher information is a scalar given by
1613:{\displaystyle \psi (\theta )=b(\theta )+\theta }
11578:
11483:. Cambridge: Harvard University Press. pp.
10172:{\displaystyle {\frac {n}{2(\sigma ^{2})^{2}}}.}
5614:
4795:It suffices to prove this for scalar case, with
1706:{\displaystyle (\psi '(\theta ))^{2}/I(\theta )}
8956:; the second is the square of the variance, or
4357:, and the integral converges uniformly for all
100:. Such a solution achieves the lowest possible
6393:is used in the final equality above. Then the
5836:A standalone proof for the general scalar case
4027:The operations of integration with respect to
693:{\displaystyle \operatorname {E} _{x;\theta }}
11218:
11179:
11140:
10905:Bulletin of the Calcutta Mathematical Society
222:, each from a distribution according to some
59:, but has also been derived independently by
8877:
8852:
5645:
5632:
5554:
5532:
2916:. The Cramér–Rao bound then states that the
2378:{\displaystyle f(x;{\boldsymbol {\theta }})}
1551:
1536:
1230:
1215:
10996:
10961:
7909:independent observations with unknown mean
202:independent observations (measurements) of
11406:
11376:"Some classes of global Cramer–Rao bounds"
11117:The Oxford Dictionary of Statistical Terms
4067:can be interchanged in the expectation of
2386:
1477:Bound on the variance of biased estimators
151:
11391:
11267:
10928:
7139:
7069:
6678:{\displaystyle \operatorname {cov} (V,T)}
6614:
6568:
5486:{\displaystyle \theta '=\theta +\delta v}
5433:
5124:
4890:
4832:
4496:{\displaystyle \theta '=\theta +\delta v}
4443:
4220:
4147:
2647:
2325:
1473:is the Fisher information defined above.
1111:{\displaystyle e({\hat {\theta }})\leq 1}
123:the unbiased Cramér–Rao lower bound; see
11372:For the Bayesian case, see eqn. (11) of
10873:. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press.
10250:using a biased estimator. The estimator
5841:
4389:Proof for the general case based on the
3830:
3504:), then the Cramér–Rao bound reduces to
18:
11471:
11302:
11257:
11084:
11038:Aitken, A. C.; Silverstone, H. (1942).
11002:
10967:
10853:
8150:
8126:
8090:
8028:
7813:
7793:
7769:
7749:
7701:
7681:
7651:
7585:
7577:
7566:
7558:
7531:
6815:{\displaystyle \operatorname {E} (V)=0}
3779:
3726:
3676:
3662:
3615:
3563:
3533:
3519:
3490:
3478:
3469:
3454:{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
3447:
3412:
3364:
3299:
3283:
3275:
3138:
3096:
3082:
3019:
3004:
2969:
2928:
2899:
2891:
2857:
2754:
2723:
2685:
2590:
2538:
2368:
2254:
1176:but a function of this parameter, say,
157:
16:Lower bound on variance of an estimator
11579:
10866:
5978:. The goal is to prove that, for all
3217:is understood to mean that the matrix
1649:has variance greater than or equal to
1122:
11374:Bobrovsky; Mayer-Wolf; Zakai (1987).
11113:
10860:
8387:. Consider the following statistic:
6822:. Expanding this expression we have
6442:{\displaystyle \operatorname {E} (V)}
5446:{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}
5137:{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{m}}
4903:{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{m}}
4456:{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}
11540:
11342:"Cramér Rao Lower Bound - Navipedia"
11308:
10084:Thus the information in a sample of
4047:and differentiation with respect to
3428:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}
2944:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}
2840:, and denote its expectation vector
2739:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)}
2235:
2163:example of estimating variance below
1924:of a biased estimator is bounded by
11520:
11501:
11442:
11416:Lecture notes on information theory
11311:"Lectures on statistical inference"
10934:
10901:
4956:{\textstyle h:=\sum _{j}v_{j}T_{j}}
13:
11465:
11400:
10895:
10870:Mathematical Methods of Statistics
9840:
9814:
9806:
9793:
9547:
9543:
9481:
9477:
9124:
9120:
8949:{\displaystyle 3(\sigma ^{2})^{2}}
8846:
8799:
8165:
8146:
8105:
8086:
7984:
7819:
7809:
7775:
7765:
7707:
7697:
7663:
7646:
7541:
7447:
7389:
7318:
7189:
7160:
7156:
7092:
7088:
7019:
7015:
6919:
6915:
6864:
6791:
6756:
6584:
6580:
6536:
6532:
6459:
6424:
6349:
6345:
6280:
6276:
6127:with probability density function
6046:
5938:
5418:be an infinitesimal, then for any
5357:
4428:be an infinitesimal, then for any
4295:, and the bounds do not depend on
4188:
4184:
4100:
4096:
3981:
3977:
3376:
3347:
3295:
3271:
2876:{\displaystyle \operatorname {E} }
2847:
2648:
2634:
2624:
2610:
2553:
2549:
2501:
2497:
2484:
2348:with probability density function
2117:{\displaystyle 1+b'(\theta )<1}
1934:
1742:whose bias is given by a function
904:
875:
849:
675:
535:
512:
482:
14:
11603:
11564:
10181:The Cramér–Rao bound states that
10104:independent observations is just
8989:{\displaystyle (\sigma ^{2})^{2}}
5882:is an estimator with expectation
5714:for any positive-definite matrix
3961:{\displaystyle f(x;\theta )>0}
10246:However, we can achieve a lower
8544:{\displaystyle E(T)=\sigma ^{2}}
8340:random variable with known mean
8010:
7510:Multivariate normal distribution
4688:Plugging this into multivariate
1735:{\displaystyle {\hat {\theta }}}
1504:{\displaystyle {\hat {\theta }}}
963:{\displaystyle {\hat {\theta }}}
810:{\displaystyle \ell (x;\theta )}
290:{\displaystyle {\hat {\theta }}}
11436:
11425:from the original on 2022-05-24
11366:
11352:
11334:
11251:
11212:
11173:
9079:in the sample? Recall that the
8328:Normal variance with known mean
8255:and so the Cramér–Rao bound is
4593:
1388:{\displaystyle \psi '(\theta )}
11134:
11107:
11078:
11031:
10706:
10692:
10674:
10660:
10643:
10630:
10609:
10596:
10574:
10568:
10424:
10411:
10400:
10386:
10371:
10365:
10310:
10290:
10203:
10197:
10154:
10140:
10056:
10042:
10018:
10004:
9980:
9966:
9933:
9919:
9895:
9881:
9870:
9857:
9729:
9715:
9701:
9688:
9622:
9609:
9600:
9577:
9530:
9511:
9422:
9409:
9400:
9377:
9329:
9316:
9261:
9242:
9173:
9154:
9044:
9030:
9018:
9012:
8977:
8963:
8937:
8923:
8868:
8855:
8823:
8810:
8759:
8746:
8709:
8689:
8637:
8617:
8577:
8571:
8525:
8519:
8447:
8427:
8281:
8160:
8154:
8100:
8094:
8072:
8066:
7975:
7969:
7876:
7870:
7589:
7581:
7570:
7562:
7501:which proves the proposition.
7482:
7476:
7462:
7458:
7452:
7439:
7427:
7421:
7404:
7400:
7394:
7381:
7372:
7366:
7329:
7323:
7297:
7285:
7266:
7260:
7251:
7245:
7200:
7194:
7178:
7172:
7136:
7124:
7118:
7112:
7066:
7054:
7043:
7031:
7007:
6995:
6978:
6972:
6943:
6931:
6907:
6895:
6854:
6842:
6803:
6797:
6771:
6762:
6750:
6738:
6672:
6660:
6611:
6599:
6560:
6548:
6524:
6512:
6495:
6483:
6471:
6465:
6436:
6430:
6373:
6361:
6337:
6325:
6310:
6298:
6227:{\displaystyle \psi (\theta )}
6221:
6215:
6184:
6178:
6149:
6137:
6081:
6075:
6061:
6057:
6051:
6038:
6029:
6026:
6020:
6014:
5965:
5959:
5950:
5944:
5904:{\displaystyle \psi (\theta )}
5898:
5892:
5869:
5863:
5816:
5810:
5795:
5788:
5776:
5769:
5760:
5754:
5584:
5578:
5550:
5544:
5523:
5517:
5382:
5376:
5350:
5344:
5321:
5315:
5300:
5293:
5281:
5274:
5265:
5259:
5220:
5213:
5198:
5191:
5185:
5179:
5170:
5164:
5087:
5080:
5065:
5058:
5052:
5046:
5024:
5018:
4989:
4983:
4862:
4856:
4811:
4805:
4768:
4761:
4746:
4739:
4723:
4717:
4708:
4702:
4660:
4654:
4635:
4604:
4584:
4578:
4559:
4556:
4550:
4534:
4528:
4510:
4340:
4328:
4262:
4250:
4212:
4200:
4174:
4168:
4144:
4132:
4126:
4120:
4011:
3999:
3949:
3937:
3890:
3884:
3861:
3849:
3686:
3680:
3645:
3642:
3636:
3623:
3543:
3537:
3422:
3416:
3368:
3360:
3287:
3279:
3265:
3259:
3165:
3158:
3126:
3120:
3106:
3100:
3055:
3049:
3029:
3023:
2990:
2983:
2938:
2932:
2903:
2895:
2870:
2867:
2861:
2853:
2821:
2817:
2811:
2789:
2783:
2770:
2764:
2758:
2733:
2727:
2372:
2358:
2192:
2186:
2148:
2142:
2105:
2099:
2053:
2046:
2034:
2028:
2014:
2010:
2004:
1987:
1967:
1954:
1945:
1898:
1892:
1860:
1854:
1840:
1836:
1830:
1813:
1797:
1758:
1752:
1726:
1700:
1694:
1677:
1673:
1667:
1656:
1642:{\displaystyle \psi (\theta )}
1636:
1630:
1601:
1595:
1586:
1580:
1545:
1527:
1521:
1495:
1460:
1454:
1417:{\displaystyle \psi (\theta )}
1411:
1405:
1382:
1376:
1342:
1336:
1322:
1318:
1312:
1301:
1292:
1286:
1251:
1245:
1227:
1221:
1198:{\displaystyle \psi (\theta )}
1192:
1186:
1143:
1137:
1099:
1093:
1084:
1052:
1046:
1037:
1017:
1010:
998:
992:
983:
954:
899:
887:
836:
830:
804:
792:
726:
714:
626:
623:
611:
605:
593:
581:
530:
518:
472:
466:
440:
434:
405:
399:
384:
378:
369:
340:
334:
281:
247:
235:
1:
11502:Bos, Adriaan van den (2007).
11447:. Prentice Hall. p. 47.
10914:Calcutta Mathematical Society
10552:so its mean squared error is
6449:, is zero. This is because:
424:where the Fisher information
10937:Selected Papers of C. R. Rao
7519:-variate normal distribution
6155:{\displaystyle f(x;\theta )}
5239:The scalar case states that
4839:{\displaystyle \mathbb {R} }
4346:{\displaystyle f(x;\theta )}
4268:{\displaystyle f(x;\theta )}
3867:{\displaystyle f(x;\theta )}
3837:probability density function
2154:{\displaystyle 1/I(\theta )}
1910:{\displaystyle b(\theta )=0}
732:{\displaystyle f(x;\theta )}
704:with respect to the density
253:{\displaystyle f(x;\theta )}
224:probability density function
137:
7:
11278:10.1007/978-93-86279-56-9_2
11120:. Oxford University Press.
10826:
8551:. What is the variance of
8502:{\displaystyle \sigma ^{2}}
8380:{\displaystyle \sigma ^{2}}
7949:{\displaystyle \sigma ^{2}}
7504:
5911:(based on the observations
4355:continuously differentiable
1156:, whose expectation is not
10:
11608:
11219:Bhattacharyya, A. (1948).
11180:Bhattacharyya, A. (1947).
11141:Bhattacharyya, A. (1946).
1764:{\displaystyle b(\theta )}
1466:{\displaystyle I(\theta )}
446:{\displaystyle I(\theta )}
346:{\displaystyle I(\theta )}
25:standard deviation ellipse
11407:Polyanskiy, Yury (2017).
11088:The American Statistician
11056:10.1017/S008045410000618X
7612:Fisher information matrix
7225:Cauchy–Schwarz inequality
4353:has infinite support, is
3598:Fisher information matrix
2415:{\displaystyle d\times d}
2394:Fisher information matrix
941:of an unbiased estimator
106:minimum variance unbiased
11587:Statistical inequalities
11260:Connected at Infinity II
10843:Brascamp–Lieb inequality
4963:, the scalar case gives
4383:
2385:which satisfies the two
11543:Mathematical Statistics
11521:Kay, Steven M. (1993).
11114:Dodge, Yadolah (2003).
11005:Rev. Int. Inst. Statist
10970:Rev. Inst. Int. Statist
10867:Cramér, Harald (1946).
10848:Lehmann–Scheffé theorem
7922:{\displaystyle \theta }
5991:{\displaystyle \theta }
5411:{\displaystyle \delta }
4421:{\displaystyle \delta }
4370:{\displaystyle \theta }
4308:{\displaystyle \theta }
4275:has bounded support in
4060:{\displaystyle \theta }
3210:{\displaystyle A\geq B}
2448:{\displaystyle I_{m,k}}
2161:. For instance, in the
1437:{\displaystyle \theta }
1169:{\displaystyle \theta }
317:is then bounded by the
310:{\displaystyle \theta }
175:{\displaystyle \theta }
11545:. New York: Springer.
11393:10.1214/aos/1176350602
10817:
10791:
10765:
10733:
10543:
10443:
10340:
10289:
10226:
10173:
10118:
10098:
10075:
9768:
9745:
9453:
9218:. Thus in this case,
9208:
9185:
9096:
9066:
8990:
8950:
8900:
8682:
8616:
8545:
8503:
8469:
8426:
8381:
8354:
8318:
8246:
8201:
8044:
7950:
7923:
7903:
7883:
7844:
7601:
7492:
7341:
7211:
6816:
6778:
6719:
6699:
6679:
6631:
6443:
6411:
6380:
6248:
6228:
6201:, which is used as an
6191:
6190:{\displaystyle T=t(X)}
6156:
6117:
6094:
5992:
5972:
5925:
5905:
5876:
5875:{\displaystyle T=t(X)}
5826:
5728:
5708:
5597:
5493:in the single-variate
5487:
5447:
5412:
5389:
5328:
5233:
5138:
5103:
4957:
4904:
4869:
4846:. Because for general
4840:
4818:
4781:
4680:
4497:
4457:
4422:
4371:
4347:
4309:
4289:
4269:
4231:
4081:
4061:
4041:
4024:exists, and is finite.
4018:
3962:
3921:
3897:
3868:
3821:
3587:
3498:
3455:
3429:
3393:
3334:
3307:
3237:
3211:
3191:The matrix inequality
3178:
3062:
2945:
2910:
2877:
2834:
2740:
2706:
2449:
2416:
2379:
2339:
2226:
2155:
2118:
2069:
1911:
1873:
1765:
1736:
1713:. Thus, any estimator
1707:
1643:
1614:
1564:
1505:
1467:
1438:
1418:
1389:
1352:
1264:
1199:
1170:
1150:
1112:
1062:
964:
928:
811:
773:
753:
733:
694:
661:
633:
562:
447:
415:
347:
311:
291:
254:
216:
196:
176:
28:
11479:Advanced Econometrics
10838:Kullback's inequality
10833:Chapman–Robbins bound
10818:
10792:
10766:
10734:
10544:
10444:
10341:
10269:
10227:
10174:
10119:
10099:
10076:
9769:
9746:
9454:
9209:
9186:
9097:
9067:
8991:
8951:
8911:moment about the mean
8901:
8662:
8596:
8546:
8504:
8470:
8406:
8382:
8360:and unknown variance
8355:
8319:
8247:
8181:
8045:
7951:
7924:
7904:
7884:
7845:
7602:
7493:
7342:
7212:
6817:
6779:
6720:
6700:
6680:
6632:
6444:
6412:
6381:
6249:
6229:
6192:
6157:
6118:
6095:
5993:
5973:
5926:
5906:
5877:
5827:
5729:
5709:
5598:
5495:Chapman–Robbins bound
5488:
5448:
5413:
5390:
5329:
5234:
5139:
5104:
4958:
4905:
4870:
4841:
4819:
4782:
4690:Chapman–Robbins bound
4681:
4498:
4458:
4423:
4391:Chapman–Robbins bound
4372:
4348:
4310:
4290:
4270:
4232:
4082:
4062:
4042:
4019:
3963:
3922:
3898:
3869:
3831:Regularity conditions
3822:
3588:
3499:
3456:
3430:
3394:
3335:
3308:
3245:positive semidefinite
3238:
3212:
3179:
3063:
2946:
2911:
2878:
2835:
2741:
2707:
2450:
2417:
2387:regularity conditions
2380:
2340:
2227:
2156:
2119:
2070:
1912:
1874:
1766:
1737:
1708:
1644:
1615:
1565:
1506:
1468:
1439:
1419:
1395:is the derivative of
1390:
1353:
1265:
1200:
1171:
1151:
1113:
1063:
965:
929:
812:
774:
754:
734:
695:
662:
634:
563:
448:
416:
348:
312:
292:
255:
217:
197:
177:
152:later in this section
146:and its estimator is
22:
10854:References and notes
10801:
10775:
10749:
10559:
10459:
10356:
10257:
10188:
10128:
10108:
10088:
9781:
9758:
9466:
9225:
9198:
9109:
9086:
9003:
8960:
8917:
8562:
8513:
8486:
8394:
8364:
8353:{\displaystyle \mu }
8344:
8338:normally distributed
8262:
8060:
7963:
7933:
7913:
7893:
7864:
7621:
7527:
7357:
7234:
6829:
6788:
6729:
6709:
6689:
6651:
6456:
6421:
6401:
6265:
6238:
6209:
6166:
6131:
6107:
6005:
5982:
5935:
5915:
5886:
5851:
5738:
5718:
5610:
5501:
5457:
5422:
5402:
5338:
5243:
5148:
5144:, so we can conclude
5113:
4967:
4914:
4879:
4868:{\displaystyle T(X)}
4850:
4828:
4817:{\displaystyle h(X)}
4799:
4696:
4507:
4467:
4432:
4412:
4361:
4322:
4299:
4279:
4244:
4091:
4071:
4051:
4031:
3972:
3931:
3911:
3896:{\displaystyle T(X)}
3878:
3874:, and the estimator
3843:
3607:
3511:
3465:
3443:
3408:
3344:
3340:element is given by
3321:
3253:
3221:
3195:
3074:
2958:
2924:
2887:
2844:
2750:
2719:
2462:
2426:
2422:matrix with element
2400:
2352:
2250:
2169:
2128:
2082:
1931:
1886:
1778:
1746:
1717:
1653:
1624:
1574:
1515:
1486:
1448:
1428:
1399:
1365:
1277:
1209:
1180:
1160:
1149:{\displaystyle T(X)}
1131:
1078:
977:
945:
824:
786:
763:
743:
708:
671:
651:
647:for a single sample
575:
460:
428:
360:
328:
301:
272:
229:
206:
186:
166:
158:Scalar unbiased case
11443:Kay, S. M. (1993).
10939:. New York: Wiley.
10816:{\displaystyle n+2}
10790:{\displaystyle n-1}
10764:{\displaystyle n+1}
9216:likelihood function
7929:and known variance
6644:If we consider the
5842:general scalar case
5606:By linear algebra,
5109:This holds for all
3236:{\displaystyle A-B}
1123:General scalar case
645:likelihood function
11541:Shao, Jun (1998).
11360:"Cramér-Rao Bound"
10813:
10787:
10761:
10729:
10539:
10439:
10336:
10248:mean squared error
10222:
10169:
10114:
10094:
10071:
9764:
9741:
9449:
9204:
9181:
9092:
9077:Fisher information
9062:
8986:
8946:
8896:
8541:
8499:
8465:
8377:
8350:
8314:
8242:
8040:
7946:
7919:
7899:
7879:
7853:where "tr" is the
7840:
7597:
7514:For the case of a
7488:
7337:
7207:
7205:
6812:
6774:
6715:
6695:
6675:
6627:
6439:
6407:
6376:
6244:
6224:
6187:
6152:
6113:
6090:
5988:
5968:
5921:
5901:
5872:
5822:
5724:
5704:
5628:
5593:
5483:
5443:
5408:
5385:
5324:
5229:
5134:
5099:
4953:
4932:
4900:
4875:, we can take any
4865:
4836:
4814:
4777:
4676:
4493:
4453:
4418:
4401:
4367:
4343:
4305:
4285:
4265:
4227:
4077:
4057:
4037:
4014:
3958:
3917:
3893:
3864:
3817:
3583:
3494:
3451:
3425:
3389:
3333:{\displaystyle ij}
3330:
3303:
3233:
3207:
3174:
3058:
2941:
2906:
2873:
2830:
2736:
2702:
2445:
2412:
2375:
2335:
2222:
2151:
2114:
2065:
1922:mean squared error
1907:
1869:
1761:
1732:
1703:
1639:
1610:
1560:
1501:
1463:
1434:
1414:
1385:
1348:
1260:
1195:
1166:
1146:
1108:
1058:
960:
924:
807:
769:
749:
729:
690:
657:
629:
558:
443:
411:
343:
323:Fisher information
307:
287:
250:
212:
192:
172:
117:mean squared error
102:mean squared error
85:Fisher information
81:unbiased estimator
73:Harold Silverstone
29:
11592:Estimation theory
11525:. Prentice Hall.
11513:978-0-470-14781-8
11287:978-93-80250-51-9
11127:978-0-19-920613-1
10946:978-0-470-22091-7
10727:
10653:
10619:
10537:
10489:
10434:
10331:
10217:
10164:
10117:{\displaystyle n}
10097:{\displaystyle n}
10066:
10028:
9990:
9943:
9905:
9828:
9767:{\displaystyle V}
9739:
9680:
9647:
9598:
9561:
9495:
9447:
9398:
9306:
9305:
9207:{\displaystyle L}
9138:
9095:{\displaystyle V}
9075:Now, what is the
9057:
8792:
8779:
8729:
8650:
8460:
8309:
8284:
8237:
8217:
8172:
8112:
7902:{\displaystyle n}
7882:{\displaystyle w}
7860:For example, let
7833:
7789:
7734:
7721:
7677:
7486:
7431:
7269:
7167:
7099:
7026:
7011:
6926:
6911:
6718:{\displaystyle T}
6698:{\displaystyle V}
6591:
6543:
6528:
6410:{\displaystyle V}
6356:
6341:
6287:
6247:{\displaystyle V}
6116:{\displaystyle X}
6085:
5924:{\displaystyle X}
5734:, thus we obtain
5727:{\displaystyle M}
5673:
5613:
5591:
4923:
4824:taking values in
4399:
4288:{\displaystyle x}
4195:
4107:
4080:{\displaystyle T}
4040:{\displaystyle x}
3988:
3920:{\displaystyle x}
2918:covariance matrix
2662:
2567:
2515:
2236:Multivariate case
2214:
2038:
1957:
1864:
1800:
1729:
1548:
1498:
1346:
1096:
1056:
1049:
995:
957:
918:
772:{\displaystyle X}
752:{\displaystyle X}
660:{\displaystyle x}
641:natural logarithm
542:
409:
381:
284:
215:{\displaystyle x}
195:{\displaystyle n}
33:estimation theory
11599:
11557:. Section 3.1.3.
11556:
11536:
11517:
11498:
11482:
11473:Amemiya, Takeshi
11459:
11458:
11440:
11434:
11433:
11431:
11430:
11424:
11413:
11404:
11398:
11397:
11395:
11370:
11364:
11363:
11356:
11350:
11349:
11338:
11332:
11331:
11329:
11328:
11322:
11316:. Archived from
11315:
11306:
11300:
11299:
11271:
11255:
11249:
11248:
11216:
11210:
11209:
11177:
11171:
11170:
11138:
11132:
11131:
11111:
11105:
11104:
11082:
11076:
11075:
11035:
11029:
11028:
11000:
10994:
10993:
10976:(3/4): 182–205.
10965:
10959:
10958:
10932:
10926:
10925:
10899:
10893:
10892:
10864:
10822:
10820:
10819:
10814:
10796:
10794:
10793:
10788:
10770:
10768:
10767:
10762:
10738:
10736:
10735:
10730:
10728:
10726:
10715:
10714:
10713:
10704:
10703:
10687:
10682:
10681:
10672:
10671:
10659:
10655:
10654:
10652:
10651:
10650:
10625:
10620:
10618:
10617:
10616:
10594:
10586:
10548:
10546:
10545:
10540:
10538:
10536:
10525:
10524:
10523:
10510:
10505:
10504:
10495:
10491:
10490:
10488:
10474:
10448:
10446:
10445:
10440:
10435:
10433:
10432:
10431:
10409:
10408:
10407:
10398:
10397:
10378:
10345:
10343:
10342:
10337:
10332:
10330:
10319:
10318:
10317:
10302:
10301:
10288:
10283:
10267:
10231:
10229:
10228:
10223:
10218:
10210:
10178:
10176:
10175:
10170:
10165:
10163:
10162:
10161:
10152:
10151:
10132:
10123:
10121:
10120:
10115:
10103:
10101:
10100:
10095:
10080:
10078:
10077:
10072:
10067:
10065:
10064:
10063:
10054:
10053:
10034:
10029:
10027:
10026:
10025:
10016:
10015:
9996:
9991:
9989:
9988:
9987:
9978:
9977:
9964:
9963:
9954:
9949:
9945:
9944:
9942:
9941:
9940:
9931:
9930:
9911:
9906:
9904:
9903:
9902:
9893:
9892:
9879:
9878:
9877:
9855:
9833:
9829:
9827:
9826:
9825:
9812:
9804:
9773:
9771:
9770:
9765:
9750:
9748:
9747:
9742:
9740:
9738:
9737:
9736:
9727:
9726:
9710:
9709:
9708:
9686:
9681:
9679:
9678:
9677:
9661:
9653:
9649:
9648:
9646:
9645:
9644:
9631:
9630:
9629:
9607:
9599:
9597:
9596:
9581:
9562:
9560:
9559:
9558:
9542:
9537:
9533:
9523:
9522:
9496:
9494:
9493:
9492:
9476:
9458:
9456:
9455:
9450:
9448:
9446:
9445:
9444:
9431:
9430:
9429:
9407:
9399:
9397:
9396:
9381:
9364:
9360:
9359:
9358:
9357:
9356:
9355:
9342:
9337:
9336:
9307:
9304:
9303:
9288:
9284:
9268:
9264:
9254:
9253:
9213:
9211:
9210:
9205:
9190:
9188:
9187:
9182:
9180:
9176:
9166:
9165:
9139:
9137:
9136:
9135:
9119:
9101:
9099:
9098:
9093:
9071:
9069:
9068:
9063:
9058:
9053:
9052:
9051:
9042:
9041:
9025:
8995:
8993:
8992:
8987:
8985:
8984:
8975:
8974:
8955:
8953:
8952:
8947:
8945:
8944:
8935:
8934:
8905:
8903:
8902:
8897:
8895:
8891:
8890:
8889:
8884:
8880:
8876:
8875:
8836:
8832:
8831:
8830:
8793:
8785:
8780:
8778:
8777:
8768:
8767:
8766:
8735:
8730:
8728:
8727:
8718:
8717:
8716:
8701:
8700:
8681:
8676:
8660:
8655:
8651:
8646:
8645:
8644:
8629:
8628:
8615:
8610:
8594:
8550:
8548:
8547:
8542:
8540:
8539:
8508:
8506:
8505:
8500:
8498:
8497:
8482:is unbiased for
8474:
8472:
8471:
8466:
8461:
8456:
8455:
8454:
8439:
8438:
8425:
8420:
8404:
8386:
8384:
8383:
8378:
8376:
8375:
8359:
8357:
8356:
8351:
8323:
8321:
8320:
8315:
8310:
8305:
8304:
8295:
8290:
8286:
8285:
8277:
8251:
8249:
8248:
8243:
8238:
8236:
8235:
8223:
8218:
8216:
8215:
8203:
8200:
8195:
8177:
8173:
8171:
8163:
8153:
8144:
8138:
8137:
8129:
8123:
8122:
8117:
8113:
8111:
8103:
8093:
8084:
8049:
8047:
8046:
8041:
8036:
8032:
8031:
8026:
8025:
8013:
8000:
7999:
7988:
7987:
7955:
7953:
7952:
7947:
7945:
7944:
7928:
7926:
7925:
7920:
7908:
7906:
7905:
7900:
7888:
7886:
7885:
7880:
7849:
7847:
7846:
7841:
7839:
7835:
7834:
7832:
7831:
7830:
7817:
7816:
7807:
7805:
7804:
7796:
7790:
7788:
7787:
7786:
7773:
7772:
7763:
7761:
7760:
7752:
7735:
7727:
7722:
7720:
7719:
7718:
7705:
7704:
7695:
7693:
7692:
7684:
7678:
7676:
7675:
7674:
7661:
7660:
7659:
7654:
7644:
7639:
7638:
7606:
7604:
7603:
7598:
7596:
7592:
7588:
7580:
7569:
7561:
7551:
7550:
7545:
7544:
7534:
7497:
7495:
7494:
7489:
7487:
7485:
7471:
7470:
7469:
7451:
7450:
7437:
7432:
7430:
7413:
7412:
7411:
7393:
7392:
7379:
7346:
7344:
7343:
7338:
7336:
7332:
7322:
7321:
7304:
7300:
7270:
7238:
7216:
7214:
7213:
7208:
7206:
7193:
7192:
7168:
7166:
7155:
7150:
7146:
7100:
7098:
7087:
7079:
7050:
7046:
7027:
7025:
7014:
7012:
7010:
6987:
6959:
6955:
6951:
6950:
6946:
6927:
6925:
6914:
6912:
6910:
6887:
6821:
6819:
6818:
6813:
6783:
6781:
6780:
6775:
6724:
6722:
6721:
6716:
6704:
6702:
6701:
6696:
6684:
6682:
6681:
6676:
6636:
6634:
6633:
6628:
6592:
6590:
6579:
6567:
6563:
6544:
6542:
6531:
6529:
6527:
6504:
6448:
6446:
6445:
6440:
6416:
6414:
6413:
6408:
6385:
6383:
6382:
6377:
6357:
6355:
6344:
6342:
6340:
6317:
6288:
6286:
6275:
6253:
6251:
6250:
6245:
6233:
6231:
6230:
6225:
6196:
6194:
6193:
6188:
6161:
6159:
6158:
6153:
6122:
6120:
6119:
6114:
6099:
6097:
6096:
6091:
6086:
6084:
6070:
6069:
6068:
6050:
6049:
6036:
5997:
5995:
5994:
5989:
5977:
5975:
5974:
5969:
5930:
5928:
5927:
5922:
5910:
5908:
5907:
5902:
5881:
5879:
5878:
5873:
5831:
5829:
5828:
5823:
5806:
5805:
5784:
5783:
5750:
5749:
5733:
5731:
5730:
5725:
5713:
5711:
5710:
5705:
5700:
5699:
5687:
5686:
5674:
5672:
5665:
5664:
5654:
5653:
5652:
5630:
5627:
5602:
5600:
5599:
5594:
5592:
5590:
5574:
5573:
5563:
5562:
5561:
5530:
5513:
5512:
5492:
5490:
5489:
5484:
5467:
5452:
5450:
5449:
5444:
5442:
5441:
5436:
5417:
5415:
5414:
5409:
5394:
5392:
5391:
5386:
5375:
5374:
5365:
5364:
5333:
5331:
5330:
5325:
5311:
5310:
5289:
5288:
5255:
5254:
5238:
5236:
5235:
5230:
5228:
5227:
5209:
5208:
5160:
5159:
5143:
5141:
5140:
5135:
5133:
5132:
5127:
5108:
5106:
5105:
5100:
5095:
5094:
5076:
5075:
5042:
5041:
5014:
5013:
5004:
5003:
4979:
4978:
4962:
4960:
4959:
4954:
4952:
4951:
4942:
4941:
4931:
4910:, then defining
4909:
4907:
4906:
4901:
4899:
4898:
4893:
4874:
4872:
4871:
4866:
4845:
4843:
4842:
4837:
4835:
4823:
4821:
4820:
4815:
4791:Second equation:
4786:
4784:
4783:
4778:
4776:
4775:
4757:
4756:
4735:
4734:
4685:
4683:
4682:
4677:
4675:
4674:
4650:
4649:
4634:
4633:
4621:
4620:
4619:
4603:
4602:
4574:
4573:
4549:
4548:
4527:
4526:
4525:
4502:
4500:
4499:
4494:
4477:
4462:
4460:
4459:
4454:
4452:
4451:
4446:
4427:
4425:
4424:
4419:
4396:Proof based on.
4376:
4374:
4373:
4368:
4352:
4350:
4349:
4344:
4314:
4312:
4311:
4306:
4294:
4292:
4291:
4286:
4274:
4272:
4271:
4266:
4236:
4234:
4233:
4228:
4219:
4215:
4196:
4194:
4183:
4158:
4154:
4108:
4106:
4095:
4086:
4084:
4083:
4078:
4066:
4064:
4063:
4058:
4046:
4044:
4043:
4038:
4023:
4021:
4020:
4015:
3989:
3987:
3976:
3967:
3965:
3964:
3959:
3926:
3924:
3923:
3918:
3902:
3900:
3899:
3894:
3873:
3871:
3870:
3865:
3826:
3824:
3823:
3818:
3813:
3812:
3804:
3800:
3799:
3791:
3787:
3786:
3782:
3756:
3755:
3747:
3743:
3742:
3741:
3733:
3729:
3707:
3706:
3698:
3694:
3693:
3689:
3679:
3666:
3665:
3635:
3634:
3619:
3618:
3592:
3590:
3589:
3584:
3579:
3578:
3570:
3566:
3550:
3546:
3536:
3523:
3522:
3503:
3501:
3500:
3495:
3493:
3485:
3481:
3472:
3460:
3458:
3457:
3452:
3450:
3434:
3432:
3431:
3426:
3415:
3398:
3396:
3395:
3390:
3388:
3387:
3375:
3367:
3359:
3358:
3339:
3337:
3336:
3331:
3312:
3310:
3309:
3304:
3302:
3294:
3286:
3278:
3242:
3240:
3239:
3234:
3216:
3214:
3213:
3208:
3183:
3181:
3180:
3175:
3173:
3172:
3154:
3153:
3145:
3141:
3113:
3109:
3099:
3086:
3085:
3067:
3065:
3064:
3059:
3045:
3044:
3036:
3032:
3022:
3008:
3007:
2998:
2997:
2976:
2972:
2950:
2948:
2947:
2942:
2931:
2915:
2913:
2912:
2907:
2902:
2894:
2882:
2880:
2879:
2874:
2860:
2839:
2837:
2836:
2831:
2829:
2828:
2810:
2809:
2782:
2781:
2757:
2745:
2743:
2742:
2737:
2726:
2711:
2709:
2708:
2703:
2698:
2694:
2693:
2689:
2688:
2663:
2661:
2660:
2659:
2646:
2645:
2632:
2631:
2622:
2603:
2599:
2598:
2594:
2593:
2568:
2566:
2565:
2564:
2548:
2546:
2542:
2541:
2516:
2514:
2513:
2512:
2496:
2480:
2479:
2454:
2452:
2451:
2446:
2444:
2443:
2421:
2419:
2418:
2413:
2384:
2382:
2381:
2376:
2371:
2344:
2342:
2341:
2336:
2334:
2333:
2328:
2319:
2318:
2313:
2309:
2308:
2307:
2289:
2288:
2276:
2275:
2257:
2231:
2229:
2228:
2223:
2215:
2213:
2199:
2185:
2160:
2158:
2157:
2152:
2138:
2123:
2121:
2120:
2115:
2098:
2074:
2072:
2071:
2066:
2061:
2060:
2039:
2037:
2023:
2022:
2021:
2003:
1985:
1980:
1976:
1975:
1974:
1959:
1958:
1950:
1916:
1914:
1913:
1908:
1878:
1876:
1875:
1870:
1865:
1863:
1849:
1848:
1847:
1829:
1811:
1806:
1802:
1801:
1793:
1770:
1768:
1767:
1762:
1741:
1739:
1738:
1733:
1731:
1730:
1722:
1712:
1710:
1709:
1704:
1690:
1685:
1684:
1666:
1648:
1646:
1645:
1640:
1619:
1617:
1616:
1611:
1569:
1567:
1566:
1561:
1550:
1549:
1541:
1510:
1508:
1507:
1502:
1500:
1499:
1491:
1472:
1470:
1469:
1464:
1443:
1441:
1440:
1435:
1423:
1421:
1420:
1415:
1394:
1392:
1391:
1386:
1375:
1357:
1355:
1354:
1349:
1347:
1345:
1331:
1330:
1329:
1311:
1299:
1269:
1267:
1266:
1261:
1204:
1202:
1201:
1196:
1175:
1173:
1172:
1167:
1155:
1153:
1152:
1147:
1117:
1115:
1114:
1109:
1098:
1097:
1089:
1067:
1065:
1064:
1059:
1057:
1055:
1051:
1050:
1042:
1029:
1028:
1027:
1005:
997:
996:
988:
969:
967:
966:
961:
959:
958:
950:
933:
931:
930:
925:
923:
919:
917:
916:
915:
902:
883:
882:
872:
863:
862:
816:
814:
813:
808:
778:
776:
775:
770:
758:
756:
755:
750:
738:
736:
735:
730:
699:
697:
696:
691:
689:
688:
666:
664:
663:
658:
638:
636:
635:
630:
567:
565:
564:
559:
557:
553:
552:
547:
543:
541:
533:
510:
496:
495:
452:
450:
449:
444:
420:
418:
417:
412:
410:
408:
391:
383:
382:
374:
352:
350:
349:
344:
316:
314:
313:
308:
296:
294:
293:
288:
286:
285:
277:
259:
257:
256:
251:
221:
219:
218:
213:
201:
199:
198:
193:
181:
179:
178:
173:
132:A. Bhattacharyya
69:Alexander Aitken
41:Cramér–Rao bound
11607:
11606:
11602:
11601:
11600:
11598:
11597:
11596:
11577:
11576:
11567:
11553:
11533:
11514:
11495:
11468:
11466:Further reading
11463:
11462:
11455:
11441:
11437:
11428:
11426:
11422:
11411:
11405:
11401:
11371:
11367:
11358:
11357:
11353:
11340:
11339:
11335:
11326:
11324:
11320:
11313:
11307:
11303:
11288:
11256:
11252:
11217:
11213:
11178:
11174:
11139:
11135:
11128:
11112:
11108:
11083:
11079:
11036:
11032:
11017:10.2307/1400974
11001:
10997:
10982:10.2307/1401114
10966:
10962:
10947:
10933:
10929:
10900:
10896:
10881:
10865:
10861:
10856:
10829:
10802:
10799:
10798:
10776:
10773:
10772:
10750:
10747:
10746:
10716:
10709:
10705:
10699:
10695:
10688:
10686:
10677:
10673:
10667:
10663:
10646:
10642:
10629:
10624:
10612:
10608:
10595:
10587:
10585:
10584:
10580:
10560:
10557:
10556:
10526:
10519:
10515:
10511:
10509:
10500:
10496:
10478:
10473:
10466:
10462:
10460:
10457:
10456:
10427:
10423:
10410:
10403:
10399:
10393:
10389:
10379:
10377:
10357:
10354:
10353:
10320:
10313:
10309:
10297:
10293:
10284:
10273:
10268:
10266:
10258:
10255:
10254:
10209:
10189:
10186:
10185:
10157:
10153:
10147:
10143:
10136:
10131:
10129:
10126:
10125:
10124:times this, or
10109:
10106:
10105:
10089:
10086:
10085:
10059:
10055:
10049:
10045:
10038:
10033:
10021:
10017:
10011:
10007:
10000:
9995:
9983:
9979:
9973:
9969:
9965:
9959:
9955:
9953:
9936:
9932:
9926:
9922:
9915:
9910:
9898:
9894:
9888:
9884:
9880:
9873:
9869:
9856:
9854:
9850:
9846:
9821:
9817:
9813:
9805:
9803:
9799:
9782:
9779:
9778:
9759:
9756:
9755:
9732:
9728:
9722:
9718:
9711:
9704:
9700:
9687:
9685:
9673:
9669:
9665:
9660:
9640:
9636:
9632:
9625:
9621:
9608:
9606:
9592:
9588:
9580:
9567:
9563:
9554:
9550:
9546:
9541:
9518:
9514:
9507:
9503:
9488:
9484:
9480:
9475:
9467:
9464:
9463:
9440:
9436:
9432:
9425:
9421:
9408:
9406:
9392:
9388:
9380:
9351:
9347:
9343:
9338:
9332:
9328:
9312:
9308:
9299:
9295:
9283:
9282:
9278:
9249:
9245:
9238:
9234:
9226:
9223:
9222:
9199:
9196:
9195:
9161:
9157:
9150:
9146:
9131:
9127:
9123:
9118:
9110:
9107:
9106:
9087:
9084:
9083:
9047:
9043:
9037:
9033:
9026:
9024:
9004:
9001:
9000:
8980:
8976:
8970:
8966:
8961:
8958:
8957:
8940:
8936:
8930:
8926:
8918:
8915:
8914:
8885:
8871:
8867:
8845:
8841:
8840:
8826:
8822:
8809:
8805:
8798:
8794:
8784:
8773:
8769:
8762:
8758:
8736:
8734:
8723:
8719:
8712:
8708:
8696:
8692:
8677:
8666:
8661:
8659:
8640:
8636:
8624:
8620:
8611:
8600:
8595:
8593:
8589:
8563:
8560:
8559:
8535:
8531:
8514:
8511:
8510:
8493:
8489:
8487:
8484:
8483:
8450:
8446:
8434:
8430:
8421:
8410:
8405:
8403:
8395:
8392:
8391:
8371:
8367:
8365:
8362:
8361:
8345:
8342:
8341:
8330:
8300:
8296:
8294:
8276:
8275:
8271:
8263:
8260:
8259:
8231:
8227:
8222:
8211:
8207:
8202:
8196:
8185:
8164:
8149:
8145:
8143:
8139:
8130:
8125:
8124:
8118:
8104:
8089:
8085:
8083:
8079:
8078:
8061:
8058:
8057:
8027:
8021:
8017:
8009:
8005:
8001:
7989:
7983:
7982:
7981:
7964:
7961:
7960:
7940:
7936:
7934:
7931:
7930:
7914:
7911:
7910:
7894:
7891:
7890:
7889:be a sample of
7865:
7862:
7861:
7826:
7822:
7818:
7812:
7808:
7806:
7797:
7792:
7791:
7782:
7778:
7774:
7768:
7764:
7762:
7753:
7748:
7747:
7746:
7742:
7726:
7714:
7710:
7706:
7700:
7696:
7694:
7685:
7680:
7679:
7670:
7666:
7662:
7655:
7650:
7649:
7645:
7643:
7628:
7624:
7622:
7619:
7618:
7584:
7576:
7565:
7557:
7556:
7552:
7546:
7540:
7539:
7538:
7530:
7528:
7525:
7524:
7512:
7507:
7472:
7465:
7461:
7446:
7442:
7438:
7436:
7414:
7407:
7403:
7388:
7384:
7380:
7378:
7358:
7355:
7354:
7317:
7313:
7312:
7308:
7278:
7274:
7237:
7235:
7232:
7231:
7204:
7203:
7188:
7184:
7159:
7154:
7105:
7101:
7091:
7086:
7077:
7076:
7018:
7013:
6991:
6986:
6985:
6981:
6957:
6956:
6918:
6913:
6891:
6886:
6885:
6881:
6874:
6870:
6857:
6832:
6830:
6827:
6826:
6789:
6786:
6785:
6730:
6727:
6726:
6710:
6707:
6706:
6690:
6687:
6686:
6652:
6649:
6648:
6643:
6583:
6578:
6535:
6530:
6508:
6503:
6502:
6498:
6457:
6454:
6453:
6422:
6419:
6418:
6402:
6399:
6398:
6348:
6343:
6321:
6316:
6279:
6274:
6266:
6263:
6262:
6239:
6236:
6235:
6210:
6207:
6206:
6167:
6164:
6163:
6132:
6129:
6128:
6125:random variable
6108:
6105:
6104:
6071:
6064:
6060:
6045:
6041:
6037:
6035:
6006:
6003:
6002:
5983:
5980:
5979:
5936:
5933:
5932:
5916:
5913:
5912:
5887:
5884:
5883:
5852:
5849:
5848:
5838:
5833:
5798:
5794:
5779:
5775:
5745:
5741:
5739:
5736:
5735:
5719:
5716:
5715:
5692:
5688:
5682:
5678:
5660:
5656:
5655:
5648:
5644:
5631:
5629:
5617:
5611:
5608:
5607:
5569:
5565:
5564:
5557:
5553:
5531:
5529:
5508:
5504:
5502:
5499:
5498:
5460:
5458:
5455:
5454:
5437:
5432:
5431:
5423:
5420:
5419:
5403:
5400:
5399:
5370:
5366:
5360:
5356:
5339:
5336:
5335:
5303:
5299:
5284:
5280:
5250:
5246:
5244:
5241:
5240:
5223:
5219:
5201:
5197:
5155:
5151:
5149:
5146:
5145:
5128:
5123:
5122:
5114:
5111:
5110:
5090:
5086:
5068:
5064:
5037:
5033:
5009:
5005:
4999:
4995:
4974:
4970:
4968:
4965:
4964:
4947:
4943:
4937:
4933:
4927:
4915:
4912:
4911:
4894:
4889:
4888:
4880:
4877:
4876:
4851:
4848:
4847:
4831:
4829:
4826:
4825:
4800:
4797:
4796:
4771:
4767:
4749:
4745:
4730:
4726:
4697:
4694:
4693:
4670:
4666:
4645:
4641:
4629:
4625:
4612:
4611:
4607:
4598:
4594:
4569:
4565:
4544:
4540:
4518:
4517:
4513:
4508:
4505:
4504:
4470:
4468:
4465:
4464:
4447:
4442:
4441:
4433:
4430:
4429:
4413:
4410:
4409:
4404:First equation:
4394:
4386:
4362:
4359:
4358:
4323:
4320:
4319:
4300:
4297:
4296:
4280:
4277:
4276:
4245:
4242:
4241:
4187:
4182:
4181:
4177:
4113:
4109:
4099:
4094:
4092:
4089:
4088:
4072:
4069:
4068:
4052:
4049:
4048:
4032:
4029:
4028:
3980:
3975:
3973:
3970:
3969:
3932:
3929:
3928:
3912:
3909:
3908:
3879:
3876:
3875:
3844:
3841:
3840:
3833:
3805:
3792:
3778:
3774:
3770:
3766:
3765:
3761:
3760:
3748:
3734:
3725:
3721:
3720:
3716:
3712:
3711:
3699:
3675:
3674:
3670:
3661:
3657:
3656:
3652:
3651:
3630:
3626:
3614:
3610:
3608:
3605:
3604:
3571:
3562:
3558:
3557:
3532:
3531:
3527:
3518:
3514:
3512:
3509:
3508:
3489:
3477:
3473:
3468:
3466:
3463:
3462:
3446:
3444:
3441:
3440:
3411:
3409:
3406:
3405:
3403:
3383:
3379:
3371:
3363:
3354:
3350:
3345:
3342:
3341:
3322:
3319:
3318:
3315:Jacobian matrix
3298:
3290:
3282:
3274:
3254:
3251:
3250:
3222:
3219:
3218:
3196:
3193:
3192:
3168:
3164:
3146:
3137:
3133:
3132:
3095:
3094:
3090:
3081:
3077:
3075:
3072:
3071:
3037:
3018:
3017:
3013:
3012:
3003:
2999:
2993:
2989:
2968:
2964:
2959:
2956:
2955:
2927:
2925:
2922:
2921:
2898:
2890:
2888:
2885:
2884:
2856:
2845:
2842:
2841:
2824:
2820:
2805:
2801:
2777:
2773:
2753:
2751:
2748:
2747:
2722:
2720:
2717:
2716:
2684:
2677:
2673:
2655:
2651:
2641:
2637:
2633:
2627:
2623:
2621:
2620:
2616:
2589:
2582:
2578:
2560:
2556:
2552:
2547:
2537:
2530:
2526:
2508:
2504:
2500:
2495:
2494:
2490:
2469:
2465:
2463:
2460:
2459:
2433:
2429:
2427:
2424:
2423:
2401:
2398:
2397:
2367:
2353:
2350:
2349:
2329:
2324:
2323:
2314:
2303:
2299:
2284:
2280:
2271:
2267:
2266:
2262:
2261:
2253:
2251:
2248:
2247:
2238:
2203:
2198:
2178:
2170:
2167:
2166:
2134:
2129:
2126:
2125:
2091:
2083:
2080:
2079:
2056:
2052:
2024:
2017:
2013:
1996:
1986:
1984:
1970:
1966:
1949:
1948:
1944:
1940:
1932:
1929:
1928:
1887:
1884:
1883:
1850:
1843:
1839:
1822:
1812:
1810:
1792:
1791:
1787:
1779:
1776:
1775:
1747:
1744:
1743:
1721:
1720:
1718:
1715:
1714:
1686:
1680:
1676:
1659:
1654:
1651:
1650:
1625:
1622:
1621:
1575:
1572:
1571:
1540:
1539:
1516:
1513:
1512:
1490:
1489:
1487:
1484:
1483:
1479:
1449:
1446:
1445:
1429:
1426:
1425:
1400:
1397:
1396:
1368:
1366:
1363:
1362:
1332:
1325:
1321:
1304:
1300:
1298:
1278:
1275:
1274:
1210:
1207:
1206:
1181:
1178:
1177:
1161:
1158:
1157:
1132:
1129:
1128:
1125:
1088:
1087:
1079:
1076:
1075:
1041:
1040:
1030:
1020:
1016:
1006:
1004:
987:
986:
978:
975:
974:
949:
948:
946:
943:
942:
911:
907:
903:
878:
874:
873:
871:
867:
852:
848:
825:
822:
821:
787:
784:
783:
764:
761:
760:
744:
741:
740:
709:
706:
705:
678:
674:
672:
669:
668:
652:
649:
648:
576:
573:
572:
548:
534:
511:
509:
505:
504:
500:
485:
481:
461:
458:
457:
429:
426:
425:
395:
390:
373:
372:
361:
358:
357:
329:
326:
325:
302:
299:
298:
276:
275:
273:
270:
269:
230:
227:
226:
207:
204:
203:
187:
184:
183:
167:
164:
163:
160:
140:
83:is at most the
65:Georges Darmois
61:Maurice Fréchet
17:
12:
11:
5:
11605:
11595:
11594:
11589:
11575:
11574:
11571:FandPLimitTool
11566:
11565:External links
11563:
11562:
11561:
11558:
11551:
11538:
11531:
11518:
11512:
11499:
11493:
11467:
11464:
11461:
11460:
11453:
11435:
11399:
11386:(4): 1421–38.
11365:
11351:
11333:
11301:
11286:
11250:
11231:(4): 315–328.
11211:
11192:(3): 201–218.
11172:
11133:
11126:
11106:
11077:
11050:(2): 186–194.
11030:
10995:
10960:
10945:
10927:
10894:
10879:
10858:
10857:
10855:
10852:
10851:
10850:
10845:
10840:
10835:
10828:
10825:
10812:
10809:
10806:
10786:
10783:
10780:
10771:, rather than
10760:
10757:
10754:
10740:
10739:
10725:
10722:
10719:
10712:
10708:
10702:
10698:
10694:
10691:
10685:
10680:
10676:
10670:
10666:
10662:
10658:
10649:
10645:
10641:
10638:
10635:
10632:
10628:
10623:
10615:
10611:
10607:
10604:
10601:
10598:
10593:
10590:
10583:
10579:
10576:
10573:
10570:
10567:
10564:
10550:
10549:
10535:
10532:
10529:
10522:
10518:
10514:
10508:
10503:
10499:
10494:
10487:
10484:
10481:
10477:
10472:
10469:
10465:
10450:
10449:
10438:
10430:
10426:
10422:
10419:
10416:
10413:
10406:
10402:
10396:
10392:
10388:
10385:
10382:
10376:
10373:
10370:
10367:
10364:
10361:
10347:
10346:
10335:
10329:
10326:
10323:
10316:
10312:
10308:
10305:
10300:
10296:
10292:
10287:
10282:
10279:
10276:
10272:
10265:
10262:
10233:
10232:
10221:
10216:
10213:
10208:
10205:
10202:
10199:
10196:
10193:
10168:
10160:
10156:
10150:
10146:
10142:
10139:
10135:
10113:
10093:
10082:
10081:
10070:
10062:
10058:
10052:
10048:
10044:
10041:
10037:
10032:
10024:
10020:
10014:
10010:
10006:
10003:
9999:
9994:
9986:
9982:
9976:
9972:
9968:
9962:
9958:
9952:
9948:
9939:
9935:
9929:
9925:
9921:
9918:
9914:
9909:
9901:
9897:
9891:
9887:
9883:
9876:
9872:
9868:
9865:
9862:
9859:
9853:
9849:
9845:
9842:
9839:
9836:
9832:
9824:
9820:
9816:
9811:
9808:
9802:
9798:
9795:
9792:
9789:
9786:
9763:
9752:
9751:
9735:
9731:
9725:
9721:
9717:
9714:
9707:
9703:
9699:
9696:
9693:
9690:
9684:
9676:
9672:
9668:
9664:
9659:
9656:
9652:
9643:
9639:
9635:
9628:
9624:
9620:
9617:
9614:
9611:
9605:
9602:
9595:
9591:
9587:
9584:
9579:
9576:
9573:
9570:
9566:
9557:
9553:
9549:
9545:
9540:
9536:
9532:
9529:
9526:
9521:
9517:
9513:
9510:
9506:
9502:
9499:
9491:
9487:
9483:
9479:
9474:
9471:
9460:
9459:
9443:
9439:
9435:
9428:
9424:
9420:
9417:
9414:
9411:
9405:
9402:
9395:
9391:
9387:
9384:
9379:
9376:
9373:
9370:
9367:
9363:
9354:
9350:
9346:
9341:
9335:
9331:
9327:
9324:
9321:
9318:
9315:
9311:
9302:
9298:
9294:
9291:
9287:
9281:
9277:
9274:
9271:
9267:
9263:
9260:
9257:
9252:
9248:
9244:
9241:
9237:
9233:
9230:
9203:
9192:
9191:
9179:
9175:
9172:
9169:
9164:
9160:
9156:
9153:
9149:
9145:
9142:
9134:
9130:
9126:
9122:
9117:
9114:
9102:is defined as
9091:
9073:
9072:
9061:
9056:
9050:
9046:
9040:
9036:
9032:
9029:
9023:
9020:
9017:
9014:
9011:
9008:
8983:
8979:
8973:
8969:
8965:
8943:
8939:
8933:
8929:
8925:
8922:
8913:and has value
8907:
8906:
8894:
8888:
8883:
8879:
8874:
8870:
8866:
8863:
8860:
8857:
8854:
8851:
8848:
8844:
8839:
8835:
8829:
8825:
8821:
8818:
8815:
8812:
8808:
8804:
8801:
8797:
8791:
8788:
8783:
8776:
8772:
8765:
8761:
8757:
8754:
8751:
8748:
8745:
8742:
8739:
8733:
8726:
8722:
8715:
8711:
8707:
8704:
8699:
8695:
8691:
8688:
8685:
8680:
8675:
8672:
8669:
8665:
8658:
8654:
8649:
8643:
8639:
8635:
8632:
8627:
8623:
8619:
8614:
8609:
8606:
8603:
8599:
8592:
8588:
8585:
8582:
8579:
8576:
8573:
8570:
8567:
8538:
8534:
8530:
8527:
8524:
8521:
8518:
8496:
8492:
8476:
8475:
8464:
8459:
8453:
8449:
8445:
8442:
8437:
8433:
8429:
8424:
8419:
8416:
8413:
8409:
8402:
8399:
8374:
8370:
8349:
8329:
8326:
8325:
8324:
8313:
8308:
8303:
8299:
8293:
8289:
8283:
8280:
8274:
8270:
8267:
8253:
8252:
8241:
8234:
8230:
8226:
8221:
8214:
8210:
8206:
8199:
8194:
8191:
8188:
8184:
8180:
8176:
8170:
8167:
8162:
8159:
8156:
8152:
8148:
8142:
8136:
8133:
8128:
8121:
8116:
8110:
8107:
8102:
8099:
8096:
8092:
8088:
8082:
8077:
8074:
8071:
8068:
8065:
8051:
8050:
8039:
8035:
8030:
8024:
8020:
8016:
8012:
8008:
8004:
7998:
7995:
7992:
7986:
7980:
7977:
7974:
7971:
7968:
7943:
7939:
7918:
7898:
7878:
7875:
7872:
7869:
7851:
7850:
7838:
7829:
7825:
7821:
7815:
7811:
7803:
7800:
7795:
7785:
7781:
7777:
7771:
7767:
7759:
7756:
7751:
7745:
7741:
7738:
7733:
7730:
7725:
7717:
7713:
7709:
7703:
7699:
7691:
7688:
7683:
7673:
7669:
7665:
7658:
7653:
7648:
7642:
7637:
7634:
7631:
7627:
7608:
7607:
7595:
7591:
7587:
7583:
7579:
7575:
7572:
7568:
7564:
7560:
7555:
7549:
7543:
7537:
7533:
7511:
7508:
7506:
7503:
7499:
7498:
7484:
7481:
7478:
7475:
7468:
7464:
7460:
7457:
7454:
7449:
7445:
7441:
7435:
7429:
7426:
7423:
7420:
7417:
7410:
7406:
7402:
7399:
7396:
7391:
7387:
7383:
7377:
7374:
7371:
7368:
7365:
7362:
7348:
7347:
7335:
7331:
7328:
7325:
7320:
7316:
7311:
7307:
7303:
7299:
7296:
7293:
7290:
7287:
7284:
7281:
7277:
7273:
7268:
7265:
7262:
7259:
7256:
7253:
7250:
7247:
7244:
7241:
7218:
7217:
7202:
7199:
7196:
7191:
7187:
7183:
7180:
7177:
7174:
7171:
7165:
7162:
7158:
7153:
7149:
7145:
7142:
7138:
7135:
7132:
7129:
7126:
7123:
7120:
7117:
7114:
7111:
7108:
7104:
7097:
7094:
7090:
7085:
7082:
7080:
7078:
7075:
7072:
7068:
7065:
7062:
7059:
7056:
7053:
7049:
7045:
7042:
7039:
7036:
7033:
7030:
7024:
7021:
7017:
7009:
7006:
7003:
7000:
6997:
6994:
6990:
6984:
6980:
6977:
6974:
6971:
6968:
6965:
6962:
6960:
6958:
6954:
6949:
6945:
6942:
6939:
6936:
6933:
6930:
6924:
6921:
6917:
6909:
6906:
6903:
6900:
6897:
6894:
6890:
6884:
6880:
6877:
6873:
6869:
6866:
6863:
6860:
6858:
6856:
6853:
6850:
6847:
6844:
6841:
6838:
6835:
6834:
6811:
6808:
6805:
6802:
6799:
6796:
6793:
6773:
6770:
6767:
6764:
6761:
6758:
6755:
6752:
6749:
6746:
6743:
6740:
6737:
6734:
6714:
6694:
6674:
6671:
6668:
6665:
6662:
6659:
6656:
6638:
6637:
6626:
6623:
6620:
6617:
6613:
6610:
6607:
6604:
6601:
6598:
6595:
6589:
6586:
6582:
6577:
6574:
6571:
6566:
6562:
6559:
6556:
6553:
6550:
6547:
6541:
6538:
6534:
6526:
6523:
6520:
6517:
6514:
6511:
6507:
6501:
6497:
6494:
6491:
6488:
6485:
6482:
6479:
6476:
6473:
6470:
6467:
6464:
6461:
6438:
6435:
6432:
6429:
6426:
6406:
6387:
6386:
6375:
6372:
6369:
6366:
6363:
6360:
6354:
6351:
6347:
6339:
6336:
6333:
6330:
6327:
6324:
6320:
6315:
6312:
6309:
6306:
6303:
6300:
6297:
6294:
6291:
6285:
6282:
6278:
6273:
6270:
6243:
6223:
6220:
6217:
6214:
6186:
6183:
6180:
6177:
6174:
6171:
6151:
6148:
6145:
6142:
6139:
6136:
6112:
6101:
6100:
6089:
6083:
6080:
6077:
6074:
6067:
6063:
6059:
6056:
6053:
6048:
6044:
6040:
6034:
6031:
6028:
6025:
6022:
6019:
6016:
6013:
6010:
5987:
5967:
5964:
5961:
5958:
5955:
5952:
5949:
5946:
5943:
5940:
5920:
5900:
5897:
5894:
5891:
5871:
5868:
5865:
5862:
5859:
5856:
5837:
5834:
5821:
5818:
5815:
5812:
5809:
5804:
5801:
5797:
5793:
5790:
5787:
5782:
5778:
5774:
5771:
5768:
5765:
5762:
5759:
5756:
5753:
5748:
5744:
5723:
5703:
5698:
5695:
5691:
5685:
5681:
5677:
5671:
5668:
5663:
5659:
5651:
5647:
5643:
5640:
5637:
5634:
5626:
5623:
5620:
5616:
5589:
5586:
5583:
5580:
5577:
5572:
5568:
5560:
5556:
5552:
5549:
5546:
5543:
5540:
5537:
5534:
5528:
5525:
5522:
5519:
5516:
5511:
5507:
5482:
5479:
5476:
5473:
5470:
5466:
5463:
5440:
5435:
5430:
5427:
5407:
5384:
5381:
5378:
5373:
5369:
5363:
5359:
5355:
5352:
5349:
5346:
5343:
5323:
5320:
5317:
5314:
5309:
5306:
5302:
5298:
5295:
5292:
5287:
5283:
5279:
5276:
5273:
5270:
5267:
5264:
5261:
5258:
5253:
5249:
5226:
5222:
5218:
5215:
5212:
5207:
5204:
5200:
5196:
5193:
5190:
5187:
5184:
5181:
5178:
5175:
5172:
5169:
5166:
5163:
5158:
5154:
5131:
5126:
5121:
5118:
5098:
5093:
5089:
5085:
5082:
5079:
5074:
5071:
5067:
5063:
5060:
5057:
5054:
5051:
5048:
5045:
5040:
5036:
5032:
5029:
5026:
5023:
5020:
5017:
5012:
5008:
5002:
4998:
4994:
4991:
4988:
4985:
4982:
4977:
4973:
4950:
4946:
4940:
4936:
4930:
4926:
4922:
4919:
4897:
4892:
4887:
4884:
4864:
4861:
4858:
4855:
4834:
4813:
4810:
4807:
4804:
4774:
4770:
4766:
4763:
4760:
4755:
4752:
4748:
4744:
4741:
4738:
4733:
4729:
4725:
4722:
4719:
4716:
4713:
4710:
4707:
4704:
4701:
4673:
4669:
4665:
4662:
4659:
4656:
4653:
4648:
4644:
4640:
4637:
4632:
4628:
4624:
4618:
4615:
4610:
4606:
4601:
4597:
4592:
4589:
4586:
4583:
4580:
4577:
4572:
4568:
4564:
4561:
4558:
4555:
4552:
4547:
4543:
4539:
4536:
4533:
4530:
4524:
4521:
4516:
4512:
4492:
4489:
4486:
4483:
4480:
4476:
4473:
4450:
4445:
4440:
4437:
4417:
4398:
4393:
4387:
4385:
4382:
4381:
4380:
4379:
4378:
4366:
4342:
4339:
4336:
4333:
4330:
4327:
4316:
4304:
4284:
4264:
4261:
4258:
4255:
4252:
4249:
4226:
4223:
4218:
4214:
4211:
4208:
4205:
4202:
4199:
4193:
4190:
4186:
4180:
4176:
4173:
4170:
4167:
4164:
4161:
4157:
4153:
4150:
4146:
4143:
4140:
4137:
4134:
4131:
4128:
4125:
4122:
4119:
4116:
4112:
4105:
4102:
4098:
4076:
4056:
4036:
4025:
4013:
4010:
4007:
4004:
4001:
3998:
3995:
3992:
3986:
3983:
3979:
3957:
3954:
3951:
3948:
3945:
3942:
3939:
3936:
3916:
3892:
3889:
3886:
3883:
3863:
3860:
3857:
3854:
3851:
3848:
3832:
3829:
3828:
3827:
3816:
3811:
3808:
3803:
3798:
3795:
3790:
3785:
3781:
3777:
3773:
3769:
3764:
3759:
3754:
3751:
3746:
3740:
3737:
3732:
3728:
3724:
3719:
3715:
3710:
3705:
3702:
3697:
3692:
3688:
3685:
3682:
3678:
3673:
3669:
3664:
3660:
3655:
3650:
3647:
3644:
3641:
3638:
3633:
3629:
3625:
3622:
3617:
3613:
3594:
3593:
3582:
3577:
3574:
3569:
3565:
3561:
3556:
3553:
3549:
3545:
3542:
3539:
3535:
3530:
3526:
3521:
3517:
3492:
3488:
3484:
3480:
3476:
3471:
3449:
3424:
3421:
3418:
3414:
3401:
3400:
3386:
3382:
3378:
3374:
3370:
3366:
3362:
3357:
3353:
3349:
3329:
3326:
3301:
3297:
3293:
3289:
3285:
3281:
3277:
3273:
3270:
3267:
3264:
3261:
3258:
3248:
3232:
3229:
3226:
3206:
3203:
3200:
3185:
3184:
3171:
3167:
3163:
3160:
3157:
3152:
3149:
3144:
3140:
3136:
3131:
3128:
3125:
3122:
3119:
3116:
3112:
3108:
3105:
3102:
3098:
3093:
3089:
3084:
3080:
3069:
3057:
3054:
3051:
3048:
3043:
3040:
3035:
3031:
3028:
3025:
3021:
3016:
3011:
3006:
3002:
2996:
2992:
2988:
2985:
2982:
2979:
2975:
2971:
2967:
2963:
2940:
2937:
2934:
2930:
2905:
2901:
2897:
2893:
2872:
2869:
2866:
2863:
2859:
2855:
2852:
2849:
2827:
2823:
2819:
2816:
2813:
2808:
2804:
2800:
2797:
2794:
2791:
2788:
2785:
2780:
2776:
2772:
2769:
2766:
2763:
2760:
2756:
2735:
2732:
2729:
2725:
2713:
2712:
2701:
2697:
2692:
2687:
2683:
2680:
2676:
2672:
2669:
2666:
2658:
2654:
2650:
2644:
2640:
2636:
2630:
2626:
2619:
2615:
2612:
2609:
2606:
2602:
2597:
2592:
2588:
2585:
2581:
2577:
2574:
2571:
2563:
2559:
2555:
2551:
2545:
2540:
2536:
2533:
2529:
2525:
2522:
2519:
2511:
2507:
2503:
2499:
2493:
2489:
2486:
2483:
2478:
2475:
2472:
2468:
2442:
2439:
2436:
2432:
2411:
2408:
2405:
2374:
2370:
2366:
2363:
2360:
2357:
2346:
2345:
2332:
2327:
2322:
2317:
2312:
2306:
2302:
2298:
2295:
2292:
2287:
2283:
2279:
2274:
2270:
2265:
2260:
2256:
2237:
2234:
2221:
2218:
2212:
2209:
2206:
2202:
2197:
2194:
2191:
2188:
2184:
2181:
2177:
2174:
2150:
2147:
2144:
2141:
2137:
2133:
2113:
2110:
2107:
2104:
2101:
2097:
2094:
2090:
2087:
2076:
2075:
2064:
2059:
2055:
2051:
2048:
2045:
2042:
2036:
2033:
2030:
2027:
2020:
2016:
2012:
2009:
2006:
2002:
1999:
1995:
1992:
1989:
1983:
1979:
1973:
1969:
1965:
1962:
1956:
1953:
1947:
1943:
1939:
1936:
1906:
1903:
1900:
1897:
1894:
1891:
1880:
1879:
1868:
1862:
1859:
1856:
1853:
1846:
1842:
1838:
1835:
1832:
1828:
1825:
1821:
1818:
1815:
1809:
1805:
1799:
1796:
1790:
1786:
1783:
1760:
1757:
1754:
1751:
1728:
1725:
1702:
1699:
1696:
1693:
1689:
1683:
1679:
1675:
1672:
1669:
1665:
1662:
1658:
1638:
1635:
1632:
1629:
1609:
1606:
1603:
1600:
1597:
1594:
1591:
1588:
1585:
1582:
1579:
1559:
1556:
1553:
1547:
1544:
1538:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1497:
1494:
1478:
1475:
1462:
1459:
1456:
1453:
1433:
1413:
1410:
1407:
1404:
1384:
1381:
1378:
1374:
1371:
1359:
1358:
1344:
1341:
1338:
1335:
1328:
1324:
1320:
1317:
1314:
1310:
1307:
1303:
1297:
1294:
1291:
1288:
1285:
1282:
1259:
1256:
1253:
1250:
1247:
1244:
1241:
1238:
1235:
1232:
1229:
1226:
1223:
1220:
1217:
1214:
1194:
1191:
1188:
1185:
1165:
1145:
1142:
1139:
1136:
1124:
1121:
1120:
1119:
1107:
1104:
1101:
1095:
1092:
1086:
1083:
1069:
1068:
1054:
1048:
1045:
1039:
1036:
1033:
1026:
1023:
1019:
1015:
1012:
1009:
1003:
1000:
994:
991:
985:
982:
956:
953:
935:
934:
922:
914:
910:
906:
901:
898:
895:
892:
889:
886:
881:
877:
870:
866:
861:
858:
855:
851:
847:
844:
841:
838:
835:
832:
829:
806:
803:
800:
797:
794:
791:
768:
748:
728:
725:
722:
719:
716:
713:
702:expected value
687:
684:
681:
677:
656:
628:
625:
622:
619:
616:
613:
610:
607:
604:
601:
598:
595:
592:
589:
586:
583:
580:
569:
568:
556:
551:
546:
540:
537:
532:
529:
526:
523:
520:
517:
514:
508:
503:
499:
494:
491:
488:
484:
480:
477:
474:
471:
468:
465:
453:is defined by
442:
439:
436:
433:
422:
421:
407:
404:
401:
398:
394:
389:
386:
380:
377:
371:
368:
365:
342:
339:
336:
333:
306:
283:
280:
249:
246:
243:
240:
237:
234:
211:
191:
171:
159:
156:
139:
136:
125:estimator bias
122:
114:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
11604:
11593:
11590:
11588:
11585:
11584:
11582:
11572:
11569:
11568:
11559:
11554:
11552:0-387-98674-X
11548:
11544:
11539:
11534:
11532:0-13-345711-7
11528:
11524:
11519:
11515:
11509:
11505:
11500:
11496:
11494:0-674-00560-0
11490:
11486:
11481:
11480:
11474:
11470:
11469:
11456:
11454:0-13-042268-1
11450:
11446:
11439:
11421:
11417:
11410:
11403:
11394:
11389:
11385:
11381:
11377:
11369:
11361:
11355:
11347:
11343:
11337:
11323:on 2020-09-26
11319:
11312:
11305:
11297:
11293:
11289:
11283:
11279:
11275:
11270:
11265:
11261:
11254:
11246:
11242:
11238:
11234:
11230:
11226:
11222:
11215:
11207:
11203:
11199:
11195:
11191:
11187:
11183:
11176:
11168:
11164:
11160:
11156:
11152:
11148:
11144:
11137:
11129:
11123:
11119:
11118:
11110:
11102:
11098:
11094:
11090:
11089:
11081:
11073:
11069:
11065:
11061:
11057:
11053:
11049:
11045:
11041:
11034:
11026:
11022:
11018:
11014:
11011:(1/4): 9–15.
11010:
11006:
10999:
10991:
10987:
10983:
10979:
10975:
10971:
10964:
10956:
10952:
10948:
10942:
10938:
10931:
10923:
10919:
10915:
10911:
10907:
10906:
10898:
10890:
10886:
10882:
10880:0-691-08004-6
10876:
10872:
10871:
10863:
10859:
10849:
10846:
10844:
10841:
10839:
10836:
10834:
10831:
10830:
10824:
10810:
10807:
10804:
10784:
10781:
10778:
10758:
10755:
10752:
10743:
10723:
10720:
10717:
10710:
10700:
10696:
10689:
10683:
10678:
10668:
10664:
10656:
10647:
10639:
10636:
10633:
10626:
10621:
10613:
10605:
10602:
10599:
10591:
10588:
10581:
10577:
10571:
10565:
10562:
10555:
10554:
10553:
10533:
10530:
10527:
10520:
10516:
10512:
10506:
10501:
10497:
10492:
10485:
10482:
10479:
10475:
10470:
10467:
10463:
10455:
10454:
10453:
10436:
10428:
10420:
10417:
10414:
10404:
10394:
10390:
10383:
10380:
10374:
10368:
10362:
10359:
10352:
10351:
10350:
10333:
10327:
10324:
10321:
10314:
10306:
10303:
10298:
10294:
10285:
10280:
10277:
10274:
10270:
10263:
10260:
10253:
10252:
10251:
10249:
10244:
10242:
10238:
10219:
10214:
10211:
10206:
10200:
10194:
10191:
10184:
10183:
10182:
10179:
10166:
10158:
10148:
10144:
10137:
10133:
10111:
10091:
10068:
10060:
10050:
10046:
10039:
10035:
10030:
10022:
10012:
10008:
10001:
9997:
9992:
9984:
9974:
9970:
9960:
9956:
9950:
9946:
9937:
9927:
9923:
9916:
9912:
9907:
9899:
9889:
9885:
9874:
9866:
9863:
9860:
9851:
9847:
9843:
9837:
9834:
9830:
9822:
9818:
9809:
9800:
9796:
9790:
9787:
9784:
9777:
9776:
9775:
9761:
9733:
9723:
9719:
9712:
9705:
9697:
9694:
9691:
9682:
9674:
9670:
9666:
9662:
9657:
9654:
9650:
9641:
9637:
9633:
9626:
9618:
9615:
9612:
9603:
9593:
9589:
9585:
9582:
9574:
9571:
9568:
9564:
9555:
9551:
9538:
9534:
9527:
9524:
9519:
9515:
9508:
9504:
9500:
9497:
9489:
9485:
9472:
9469:
9462:
9461:
9441:
9437:
9433:
9426:
9418:
9415:
9412:
9403:
9393:
9389:
9385:
9382:
9374:
9371:
9368:
9365:
9361:
9352:
9348:
9344:
9339:
9333:
9325:
9322:
9319:
9313:
9309:
9300:
9296:
9292:
9289:
9285:
9279:
9275:
9272:
9269:
9265:
9258:
9255:
9250:
9246:
9239:
9235:
9231:
9228:
9221:
9220:
9219:
9217:
9201:
9177:
9170:
9167:
9162:
9158:
9151:
9147:
9143:
9140:
9132:
9128:
9115:
9112:
9105:
9104:
9103:
9089:
9082:
9078:
9059:
9054:
9048:
9038:
9034:
9027:
9021:
9015:
9009:
9006:
8999:
8998:
8997:
8981:
8971:
8967:
8941:
8931:
8927:
8920:
8912:
8892:
8886:
8881:
8872:
8864:
8861:
8858:
8849:
8842:
8837:
8833:
8827:
8819:
8816:
8813:
8806:
8802:
8795:
8789:
8786:
8781:
8774:
8770:
8763:
8755:
8752:
8749:
8743:
8740:
8737:
8731:
8724:
8720:
8713:
8705:
8702:
8697:
8693:
8686:
8683:
8678:
8673:
8670:
8667:
8663:
8656:
8652:
8647:
8641:
8633:
8630:
8625:
8621:
8612:
8607:
8604:
8601:
8597:
8590:
8586:
8583:
8580:
8574:
8568:
8565:
8558:
8557:
8556:
8554:
8536:
8532:
8528:
8522:
8516:
8494:
8490:
8481:
8462:
8457:
8451:
8443:
8440:
8435:
8431:
8422:
8417:
8414:
8411:
8407:
8400:
8397:
8390:
8389:
8388:
8372:
8368:
8347:
8339:
8335:
8311:
8306:
8301:
8297:
8291:
8287:
8278:
8272:
8268:
8265:
8258:
8257:
8256:
8239:
8232:
8228:
8224:
8219:
8212:
8208:
8204:
8197:
8192:
8189:
8186:
8182:
8178:
8174:
8168:
8157:
8140:
8134:
8131:
8119:
8114:
8108:
8097:
8080:
8075:
8069:
8063:
8056:
8055:
8054:
8037:
8033:
8022:
8018:
8014:
8006:
8002:
7996:
7993:
7990:
7978:
7972:
7966:
7959:
7958:
7957:
7941:
7937:
7916:
7896:
7873:
7867:
7858:
7856:
7836:
7827:
7823:
7801:
7798:
7783:
7779:
7757:
7754:
7743:
7739:
7736:
7731:
7728:
7723:
7715:
7711:
7689:
7686:
7671:
7667:
7656:
7640:
7635:
7632:
7629:
7625:
7617:
7616:
7615:
7614:has elements
7613:
7593:
7573:
7553:
7547:
7535:
7523:
7522:
7521:
7520:
7518:
7502:
7479:
7473:
7466:
7455:
7443:
7433:
7424:
7418:
7415:
7408:
7397:
7385:
7375:
7369:
7363:
7360:
7353:
7352:
7351:
7333:
7326:
7314:
7309:
7305:
7301:
7294:
7291:
7288:
7282:
7279:
7275:
7271:
7263:
7257:
7254:
7248:
7242:
7239:
7230:
7229:
7228:
7226:
7221:
7197:
7185:
7181:
7175:
7169:
7163:
7151:
7147:
7143:
7140:
7133:
7130:
7127:
7121:
7115:
7109:
7106:
7102:
7095:
7083:
7081:
7073:
7070:
7063:
7060:
7057:
7051:
7047:
7040:
7037:
7034:
7028:
7022:
7004:
7001:
6998:
6992:
6988:
6982:
6975:
6969:
6966:
6963:
6961:
6952:
6947:
6940:
6937:
6934:
6928:
6922:
6904:
6901:
6898:
6892:
6888:
6882:
6878:
6875:
6871:
6867:
6861:
6859:
6851:
6848:
6845:
6839:
6836:
6825:
6824:
6823:
6809:
6806:
6800:
6794:
6768:
6765:
6759:
6753:
6747:
6744:
6741:
6735:
6732:
6712:
6692:
6669:
6666:
6663:
6657:
6654:
6647:
6641:
6624:
6621:
6618:
6615:
6608:
6605:
6602:
6596:
6593:
6587:
6575:
6572:
6569:
6564:
6557:
6554:
6551:
6545:
6539:
6521:
6518:
6515:
6509:
6505:
6499:
6492:
6489:
6486:
6480:
6477:
6474:
6468:
6462:
6452:
6451:
6450:
6433:
6427:
6404:
6396:
6392:
6370:
6367:
6364:
6358:
6352:
6334:
6331:
6328:
6322:
6318:
6313:
6307:
6304:
6301:
6295:
6292:
6289:
6283:
6271:
6268:
6261:
6260:
6259:
6257:
6241:
6218:
6212:
6204:
6200:
6181:
6175:
6172:
6169:
6146:
6143:
6140:
6134:
6126:
6110:
6087:
6078:
6072:
6065:
6054:
6042:
6032:
6023:
6017:
6011:
6008:
6001:
6000:
5999:
5985:
5962:
5956:
5953:
5947:
5941:
5931:), i.e. that
5918:
5895:
5889:
5866:
5860:
5857:
5854:
5845:
5843:
5832:
5819:
5813:
5807:
5802:
5799:
5791:
5785:
5780:
5772:
5766:
5763:
5757:
5751:
5746:
5742:
5721:
5701:
5696:
5693:
5689:
5683:
5679:
5675:
5669:
5666:
5661:
5657:
5649:
5641:
5638:
5635:
5624:
5621:
5618:
5604:
5587:
5581:
5575:
5570:
5566:
5558:
5547:
5541:
5538:
5535:
5526:
5520:
5514:
5509:
5505:
5496:
5480:
5477:
5474:
5471:
5468:
5464:
5461:
5438:
5428:
5425:
5405:
5396:
5379:
5371:
5367:
5361:
5353:
5347:
5341:
5318:
5312:
5307:
5304:
5296:
5290:
5285:
5277:
5271:
5268:
5262:
5256:
5251:
5247:
5224:
5216:
5210:
5205:
5202:
5194:
5188:
5182:
5176:
5173:
5167:
5161:
5156:
5152:
5129:
5119:
5116:
5096:
5091:
5083:
5077:
5072:
5069:
5061:
5055:
5049:
5043:
5038:
5034:
5030:
5027:
5021:
5015:
5010:
5006:
5000:
4996:
4992:
4986:
4980:
4975:
4971:
4948:
4944:
4938:
4934:
4928:
4924:
4920:
4917:
4895:
4885:
4882:
4859:
4853:
4808:
4802:
4793:
4792:
4788:
4772:
4764:
4758:
4753:
4750:
4742:
4736:
4731:
4727:
4720:
4714:
4711:
4705:
4699:
4691:
4686:
4671:
4667:
4663:
4657:
4651:
4646:
4642:
4638:
4630:
4626:
4622:
4616:
4613:
4608:
4599:
4595:
4590:
4587:
4581:
4575:
4570:
4566:
4562:
4553:
4545:
4541:
4537:
4531:
4522:
4519:
4514:
4490:
4487:
4484:
4481:
4478:
4474:
4471:
4448:
4438:
4435:
4415:
4406:
4405:
4397:
4392:
4364:
4356:
4337:
4334:
4331:
4325:
4318:The function
4317:
4302:
4282:
4259:
4256:
4253:
4247:
4240:The function
4239:
4238:
4224:
4221:
4216:
4209:
4206:
4203:
4197:
4191:
4178:
4171:
4165:
4162:
4159:
4155:
4151:
4148:
4141:
4138:
4135:
4129:
4123:
4117:
4114:
4110:
4103:
4074:
4054:
4034:
4026:
4008:
4005:
4002:
3996:
3993:
3990:
3984:
3955:
3952:
3946:
3943:
3940:
3934:
3914:
3906:
3905:
3904:
3887:
3881:
3858:
3855:
3852:
3846:
3838:
3814:
3809:
3806:
3801:
3796:
3793:
3788:
3783:
3775:
3771:
3767:
3762:
3757:
3752:
3749:
3744:
3738:
3735:
3730:
3722:
3717:
3713:
3708:
3703:
3700:
3695:
3690:
3683:
3671:
3667:
3658:
3653:
3648:
3639:
3631:
3627:
3620:
3611:
3603:
3602:
3601:
3599:
3580:
3575:
3572:
3567:
3559:
3554:
3551:
3547:
3540:
3528:
3524:
3515:
3507:
3506:
3505:
3486:
3482:
3474:
3439:estimator of
3438:
3419:
3384:
3380:
3372:
3355:
3351:
3327:
3324:
3316:
3291:
3268:
3262:
3256:
3249:
3246:
3230:
3227:
3224:
3204:
3201:
3198:
3190:
3189:
3188:
3169:
3161:
3155:
3150:
3147:
3142:
3134:
3129:
3123:
3117:
3114:
3110:
3103:
3091:
3087:
3078:
3070:
3052:
3046:
3041:
3038:
3033:
3026:
3014:
3009:
3000:
2994:
2986:
2980:
2977:
2973:
2965:
2961:
2954:
2953:
2952:
2935:
2919:
2864:
2850:
2825:
2814:
2806:
2802:
2798:
2795:
2792:
2786:
2778:
2774:
2767:
2761:
2730:
2699:
2695:
2690:
2681:
2678:
2674:
2670:
2667:
2664:
2656:
2652:
2642:
2638:
2628:
2617:
2613:
2607:
2604:
2600:
2595:
2586:
2583:
2579:
2575:
2572:
2569:
2561:
2557:
2543:
2534:
2531:
2527:
2523:
2520:
2517:
2509:
2505:
2491:
2487:
2481:
2476:
2473:
2470:
2466:
2458:
2457:
2456:
2440:
2437:
2434:
2430:
2409:
2406:
2403:
2395:
2390:
2388:
2364:
2361:
2355:
2330:
2320:
2315:
2310:
2304:
2300:
2296:
2293:
2290:
2285:
2281:
2277:
2272:
2268:
2263:
2258:
2246:
2245:
2244:
2243:
2233:
2219:
2216:
2210:
2207:
2204:
2200:
2195:
2189:
2182:
2179:
2175:
2172:
2164:
2145:
2139:
2135:
2131:
2111:
2108:
2102:
2095:
2092:
2088:
2085:
2062:
2057:
2049:
2043:
2040:
2031:
2025:
2018:
2007:
2000:
1997:
1993:
1990:
1981:
1977:
1971:
1963:
1960:
1951:
1941:
1937:
1927:
1926:
1925:
1923:
1918:
1904:
1901:
1895:
1889:
1866:
1857:
1851:
1844:
1833:
1826:
1823:
1819:
1816:
1807:
1803:
1794:
1788:
1784:
1781:
1774:
1773:
1772:
1755:
1749:
1723:
1697:
1691:
1687:
1681:
1670:
1663:
1660:
1633:
1627:
1607:
1604:
1598:
1592:
1589:
1583:
1577:
1557:
1554:
1542:
1533:
1530:
1524:
1518:
1492:
1474:
1457:
1451:
1431:
1408:
1402:
1379:
1372:
1369:
1339:
1333:
1326:
1315:
1308:
1305:
1295:
1289:
1283:
1280:
1273:
1272:
1271:
1257:
1254:
1248:
1242:
1239:
1236:
1233:
1224:
1218:
1212:
1189:
1183:
1163:
1140:
1134:
1105:
1102:
1090:
1081:
1074:
1073:
1072:
1043:
1034:
1031:
1024:
1021:
1013:
1007:
1001:
989:
980:
973:
972:
971:
951:
940:
920:
912:
908:
896:
893:
890:
884:
879:
868:
864:
859:
856:
853:
845:
842:
839:
833:
827:
820:
819:
818:
801:
798:
795:
789:
780:
766:
746:
723:
720:
717:
711:
703:
685:
682:
679:
654:
646:
642:
620:
617:
614:
608:
602:
599:
596:
590:
587:
584:
578:
554:
549:
544:
538:
527:
524:
521:
515:
506:
501:
497:
492:
489:
486:
478:
475:
469:
463:
456:
455:
454:
437:
431:
402:
396:
392:
387:
375:
366:
363:
356:
355:
354:
337:
331:
324:
320:
304:
278:
267:
263:
244:
241:
238:
232:
225:
209:
189:
169:
155:
153:
149:
145:
135:
133:
128:
126:
120:
118:
112:
109:
107:
103:
99:
98:
92:
90:
86:
82:
78:
74:
70:
66:
62:
58:
54:
53:Harald Cramér
50:
47:) relates to
46:
42:
38:
34:
26:
21:
11542:
11537:. Chapter 3.
11522:
11503:
11478:
11444:
11438:
11427:. Retrieved
11415:
11402:
11383:
11379:
11368:
11354:
11346:gssc.esa.int
11345:
11336:
11325:. Retrieved
11318:the original
11304:
11259:
11253:
11228:
11224:
11214:
11189:
11185:
11175:
11150:
11146:
11136:
11116:
11109:
11092:
11086:
11080:
11047:
11043:
11033:
11008:
11004:
10998:
10973:
10969:
10963:
10936:
10930:
10909:
10903:
10897:
10869:
10862:
10744:
10741:
10551:
10452:Its bias is
10451:
10348:
10245:
10234:
10180:
10083:
9753:
9193:
9074:
8908:
8552:
8479:
8477:
8333:
8331:
8254:
8052:
7859:
7852:
7609:
7516:
7513:
7500:
7349:
7222:
7219:
6642:
6639:
6388:
6102:
5847:Assume that
5846:
5839:
5605:
5397:
4794:
4790:
4789:
4687:
4503:in, we have
4407:
4403:
4402:
4395:
3834:
3595:
3402:
3186:
2714:
2391:
2347:
2239:
2077:
1919:
1881:
1480:
1360:
1126:
1070:
936:
781:
700:denotes the
570:
423:
265:
161:
141:
129:
110:
95:
93:
44:
40:
30:
11153:(1): 1–14.
7227:shows that
6395:expectation
4463:, plugging
4087:; that is,
2455:defined as
11581:Categories
11429:2022-05-24
11327:2020-05-24
11309:Suba Rao.
7350:therefore
6784:, because
6725:, we have
6646:covariance
6417:, written
6391:chain rule
6389:where the
6234:. Define
3927:such that
2951:satisfies
1771:satisfies
1570:, and let
1511:with bias
939:efficiency
319:reciprocal
268:estimator
49:estimation
37:statistics
11380:Ann. Stat
11269:1301.3578
11095:(2): 36.
11072:124029876
11064:2053-5902
10955:174244259
10916:: 81–89.
10889:185436716
10782:−
10697:σ
10665:σ
10566:
10517:σ
10498:σ
10471:−
10391:σ
10363:
10307:μ
10304:−
10271:∑
10241:efficient
10237:estimator
10207:≥
10195:
10145:σ
10047:σ
10009:σ
9993:−
9971:σ
9957:σ
9924:σ
9886:σ
9867:μ
9864:−
9852:−
9844:
9838:−
9819:σ
9815:∂
9807:∂
9797:
9791:−
9720:σ
9698:μ
9695:−
9671:σ
9658:−
9638:σ
9619:μ
9616:−
9604:−
9590:σ
9586:π
9575:
9569:−
9552:σ
9548:∂
9544:∂
9516:σ
9501:
9486:σ
9482:∂
9478:∂
9438:σ
9419:μ
9416:−
9404:−
9390:σ
9386:π
9375:
9369:−
9349:σ
9326:μ
9323:−
9314:−
9297:σ
9293:π
9276:
9247:σ
9232:
9159:σ
9144:
9129:σ
9125:∂
9121:∂
9035:σ
9010:
8968:σ
8928:σ
8865:μ
8862:−
8850:
8838:−
8820:μ
8817:−
8803:
8756:μ
8753:−
8744:
8706:μ
8703:−
8687:
8664:∑
8634:μ
8631:−
8598:∑
8587:
8569:
8533:σ
8491:σ
8444:μ
8441:−
8408:∑
8369:σ
8348:μ
8298:σ
8292:≥
8282:^
8279:θ
8269:
8229:σ
8209:σ
8183:∑
8169:θ
8166:∂
8158:θ
8151:μ
8147:∂
8132:−
8109:θ
8106:∂
8098:θ
8091:μ
8087:∂
8070:θ
8019:σ
8007:θ
7979:∼
7938:σ
7917:θ
7824:θ
7820:∂
7810:∂
7799:−
7780:θ
7776:∂
7766:∂
7755:−
7740:
7712:θ
7708:∂
7702:μ
7698:∂
7687:−
7668:θ
7664:∂
7652:μ
7647:∂
7586:θ
7567:θ
7559:μ
7536:∼
7480:θ
7456:θ
7448:′
7444:ψ
7419:
7398:θ
7390:′
7386:ψ
7376:≥
7364:
7327:θ
7319:′
7315:ψ
7283:
7272:≥
7258:
7243:
7198:θ
7190:′
7186:ψ
7164:θ
7161:∂
7157:∂
7134:θ
7107:∫
7096:θ
7093:∂
7089:∂
7064:θ
7041:θ
7023:θ
7020:∂
7016:∂
7005:θ
6967:∫
6941:θ
6923:θ
6920:∂
6916:∂
6905:θ
6879:⋅
6868:
6840:
6795:
6760:
6736:
6658:
6609:θ
6594:∫
6588:θ
6585:∂
6581:∂
6558:θ
6540:θ
6537:∂
6533:∂
6522:θ
6493:θ
6478:∫
6463:
6428:
6371:θ
6353:θ
6350:∂
6346:∂
6335:θ
6308:θ
6293:
6284:θ
6281:∂
6277:∂
6219:θ
6213:ψ
6203:estimator
6199:statistic
6147:θ
6079:θ
6055:θ
6047:′
6043:ψ
6033:≥
6012:
5986:θ
5963:θ
5957:ψ
5942:
5896:θ
5890:ψ
5814:θ
5808:ϕ
5800:−
5792:θ
5773:θ
5767:ϕ
5764:≥
5752:
5747:θ
5694:−
5646:⟩
5633:⟨
5622:≠
5582:θ
5555:⟩
5548:θ
5542:ϕ
5533:⟨
5527:≥
5515:
5510:θ
5478:δ
5472:θ
5462:θ
5453:, taking
5429:∈
5406:δ
5372:θ
5362:θ
5358:∇
5348:θ
5342:ϕ
5319:θ
5313:ϕ
5305:−
5297:θ
5278:θ
5272:ϕ
5269:≥
5257:
5252:θ
5217:θ
5211:ϕ
5203:−
5195:θ
5183:θ
5177:ϕ
5174:≥
5162:
5157:θ
5120:∈
5084:θ
5078:ϕ
5070:−
5062:θ
5050:θ
5044:ϕ
5031:≥
5016:
5011:θ
4981:
4976:θ
4925:∑
4886:∈
4765:θ
4759:ϕ
4751:−
4737:
4732:θ
4721:θ
4715:ϕ
4712:≥
4706:θ
4668:δ
4658:θ
4631:θ
4627:μ
4614:θ
4609:μ
4596:χ
4588:δ
4582:θ
4576:ϕ
4546:θ
4538:−
4520:θ
4488:δ
4482:θ
4472:θ
4439:∈
4416:δ
4365:θ
4338:θ
4303:θ
4260:θ
4210:θ
4192:θ
4189:∂
4185:∂
4163:∫
4142:θ
4115:∫
4104:θ
4101:∂
4097:∂
4055:θ
4009:θ
3994:
3985:θ
3982:∂
3978:∂
3947:θ
3859:θ
3807:−
3780:θ
3758:≥
3736:−
3727:θ
3709:≥
3668:
3663:θ
3621:
3616:θ
3573:−
3564:θ
3552:≥
3525:
3520:θ
3491:θ
3479:θ
3470:ψ
3448:θ
3381:θ
3377:∂
3365:θ
3352:ψ
3348:∂
3300:θ
3296:∂
3284:θ
3276:ψ
3272:∂
3263:θ
3257:ϕ
3228:−
3202:≥
3162:θ
3156:ϕ
3148:−
3139:θ
3124:θ
3118:ϕ
3115:≥
3088:
3083:θ
3053:θ
3047:ϕ
3039:−
3010:
3005:θ
2987:θ
2981:ϕ
2978:≥
2970:θ
2900:θ
2892:ψ
2851:
2796:…
2686:θ
2668:
2653:θ
2649:∂
2639:θ
2635:∂
2625:∂
2614:
2608:−
2591:θ
2573:
2558:θ
2554:∂
2550:∂
2539:θ
2521:
2506:θ
2502:∂
2498:∂
2488:
2407:×
2369:θ
2321:∈
2301:θ
2294:…
2282:θ
2269:θ
2255:θ
2190:θ
2146:θ
2103:θ
2050:θ
2032:θ
2008:θ
1982:≥
1964:θ
1961:−
1955:^
1952:θ
1938:
1896:θ
1858:θ
1834:θ
1808:≥
1798:^
1795:θ
1785:
1756:θ
1727:^
1724:θ
1698:θ
1671:θ
1661:ψ
1634:θ
1628:ψ
1608:θ
1599:θ
1584:θ
1578:ψ
1558:θ
1555:−
1546:^
1543:θ
1525:θ
1496:^
1493:θ
1458:θ
1432:θ
1409:θ
1403:ψ
1380:θ
1370:ψ
1340:θ
1316:θ
1306:ψ
1296:≥
1284:
1258:θ
1255:−
1249:θ
1243:ψ
1237:θ
1234:−
1205:. Hence
1190:θ
1184:ψ
1164:θ
1103:≤
1094:^
1091:θ
1047:^
1044:θ
1035:
1022:−
1014:θ
993:^
990:θ
955:^
952:θ
909:θ
905:∂
897:θ
885:ℓ
876:∂
865:
860:θ
843:−
834:θ
802:θ
790:ℓ
724:θ
686:θ
621:θ
603:
591:θ
579:ℓ
539:θ
536:∂
528:θ
516:ℓ
513:∂
498:
493:θ
470:θ
438:θ
403:θ
388:≥
379:^
376:θ
367:
338:θ
305:θ
282:^
279:θ
245:θ
170:θ
138:Statement
119:that are
97:efficient
77:precision
67:, and by
57:C. R. Rao
11475:(1985).
11420:Archived
11296:16759683
11237:25047897
11198:25047948
11159:25047921
10827:See also
8332:Suppose
7505:Examples
5840:For the
5465:′
4617:′
4523:′
4475:′
3437:unbiased
2183:′
2096:′
2001:′
1827:′
1664:′
1373:′
1309:′
266:unbiased
262:variance
162:Suppose
148:unbiased
89:variance
11245:0026302
11225:Sankhyā
11206:0023503
11186:Sankhyā
11167:0020242
11147:Sankhyā
11101:2681931
11025:1400974
10990:1401114
10922:0015748
9214:is the
8996:. Thus
6254:as the
6162:. Here
3461:(i.e.,
3313:is the
2389:below.
1444:), and
643:of the
639:is the
321:of the
264:of any
79:of any
11549:
11529:
11510:
11491:
11451:
11294:
11284:
11243:
11235:
11204:
11196:
11165:
11157:
11124:
11099:
11070:
11062:
11023:
10988:
10953:
10943:
10920:
10887:
10877:
9194:where
5497:gives
4692:gives
3435:is an
3317:whose
3187:where
2242:vector
1361:where
260:. The
144:scalar
113:biased
39:, the
11487:–17.
11423:(PDF)
11412:(PDF)
11321:(PDF)
11314:(PDF)
11292:S2CID
11264:arXiv
11233:JSTOR
11194:JSTOR
11155:JSTOR
11097:JSTOR
11068:S2CID
11021:JSTOR
10986:JSTOR
9774:, or
9081:score
8509:, as
8478:Then
8336:is a
7855:trace
6256:score
6197:is a
6123:be a
5334:with
4400:Proof
4384:Proof
3247:, and
2396:is a
121:below
11547:ISBN
11527:ISBN
11508:ISBN
11489:ISBN
11449:ISBN
11282:ISBN
11122:ISBN
11060:ISSN
10951:OCLC
10941:ISBN
10885:OCLC
10875:ISBN
7610:the
7223:The
6705:and
6205:for
6103:Let
5398:Let
4408:Let
3953:>
2715:Let
2392:The
2217:<
2109:<
1424:(by
937:The
667:and
571:and
71:and
55:and
35:and
11388:doi
11274:doi
11052:doi
11013:doi
10978:doi
10797:or
10563:MSE
10360:var
10239:is
10192:var
9572:log
9498:log
9372:log
9273:log
9229:log
9141:log
9007:var
8741:var
8684:var
8584:var
8566:var
8266:var
7416:var
7361:var
7280:cov
7255:var
7240:var
6837:cov
6733:cov
6685:of
6655:cov
6397:of
6009:var
5743:Var
5615:sup
5603:.
5506:Var
5248:Var
5153:Cov
5007:Cov
4972:Var
4728:Cov
3991:log
3659:cov
3612:var
3516:cov
3404:If
3243:is
3079:cov
3001:cov
2920:of
2883:by
2665:log
2570:log
2518:log
1782:var
1281:var
1032:var
782:If
739:of
600:log
364:var
297:of
45:CRB
31:In
11583::
11485:14
11418:.
11414:.
11384:15
11382:.
11378:.
11344:.
11290:.
11280:.
11272:.
11241:MR
11239:.
11227:.
11223:.
11202:MR
11200:.
11188:.
11184:.
11163:MR
11161:.
11149:.
11145:.
11093:24
11091:.
11066:.
11058:.
11048:61
11046:.
11042:.
11019:.
11009:13
11007:.
10984:.
10974:11
10972:.
10949:.
10918:MR
10912:.
10910:37
10908:.
10883:.
10823:.
10243:.
8555:?
7956:.
7857:.
7737:tr
6290:ln
6258::
5998:,
5844::
5395:.
5354::=
4921::=
4787:.
3968:,
3903::
3839:,
3269::=
2232:.
2165:,
1917:.
779:.
353::
154:.
127:.
91:.
63:,
11555:.
11535:.
11516:.
11497:.
11457:.
11432:.
11396:.
11390::
11362:.
11348:.
11330:.
11298:.
11276::
11266::
11247:.
11229:8
11208:.
11190:8
11169:.
11151:8
11130:.
11103:.
11074:.
11054::
11027:.
11015::
10992:.
10980::
10957:.
10924:.
10891:.
10811:2
10808:+
10805:n
10785:1
10779:n
10759:1
10756:+
10753:n
10724:2
10721:+
10718:n
10711:2
10707:)
10701:2
10693:(
10690:2
10684:=
10679:2
10675:)
10669:2
10661:(
10657:)
10648:2
10644:)
10640:2
10637:+
10634:n
10631:(
10627:4
10622:+
10614:2
10610:)
10606:2
10603:+
10600:n
10597:(
10592:n
10589:2
10582:(
10578:=
10575:)
10572:T
10569:(
10534:2
10531:+
10528:n
10521:2
10513:2
10507:=
10502:2
10493:)
10486:2
10483:+
10480:n
10476:n
10468:1
10464:(
10437:.
10429:2
10425:)
10421:2
10418:+
10415:n
10412:(
10405:2
10401:)
10395:2
10387:(
10384:n
10381:2
10375:=
10372:)
10369:T
10366:(
10334:.
10328:2
10325:+
10322:n
10315:2
10311:)
10299:i
10295:X
10291:(
10286:n
10281:1
10278:=
10275:i
10264:=
10261:T
10220:.
10215:I
10212:1
10204:)
10201:T
10198:(
10167:.
10159:2
10155:)
10149:2
10141:(
10138:2
10134:n
10112:n
10092:n
10069:.
10061:2
10057:)
10051:2
10043:(
10040:2
10036:1
10031:=
10023:2
10019:)
10013:2
10005:(
10002:2
9998:1
9985:3
9981:)
9975:2
9967:(
9961:2
9951:=
9947:)
9938:2
9934:)
9928:2
9920:(
9917:2
9913:1
9908:+
9900:3
9896:)
9890:2
9882:(
9875:2
9871:)
9861:X
9858:(
9848:(
9841:E
9835:=
9831:)
9823:2
9810:V
9801:(
9794:E
9788:=
9785:I
9762:V
9734:2
9730:)
9724:2
9716:(
9713:2
9706:2
9702:)
9692:X
9689:(
9683:+
9675:2
9667:2
9663:1
9655:=
9651:]
9642:2
9634:2
9627:2
9623:)
9613:X
9610:(
9601:)
9594:2
9583:2
9578:(
9565:[
9556:2
9539:=
9535:]
9531:)
9528:X
9525:,
9520:2
9512:(
9509:L
9505:[
9490:2
9473:=
9470:V
9442:2
9434:2
9427:2
9423:)
9413:X
9410:(
9401:)
9394:2
9383:2
9378:(
9366:=
9362:]
9353:2
9345:2
9340:/
9334:2
9330:)
9320:X
9317:(
9310:e
9301:2
9290:2
9286:1
9280:[
9270:=
9266:]
9262:)
9259:X
9256:,
9251:2
9243:(
9240:L
9236:[
9202:L
9178:]
9174:)
9171:X
9168:,
9163:2
9155:(
9152:L
9148:[
9133:2
9116:=
9113:V
9090:V
9060:.
9055:n
9049:2
9045:)
9039:2
9031:(
9028:2
9022:=
9019:)
9016:T
9013:(
8982:2
8978:)
8972:2
8964:(
8942:2
8938:)
8932:2
8924:(
8921:3
8893:]
8887:2
8882:)
8878:}
8873:2
8869:)
8859:X
8856:(
8853:{
8847:E
8843:(
8834:}
8828:4
8824:)
8814:X
8811:(
8807:{
8800:E
8796:[
8790:n
8787:1
8782:=
8775:2
8771:n
8764:2
8760:)
8750:X
8747:(
8738:n
8732:=
8725:2
8721:n
8714:2
8710:)
8698:i
8694:X
8690:(
8679:n
8674:1
8671:=
8668:i
8657:=
8653:)
8648:n
8642:2
8638:)
8626:i
8622:X
8618:(
8613:n
8608:1
8605:=
8602:i
8591:(
8581:=
8578:)
8575:T
8572:(
8553:T
8537:2
8529:=
8526:)
8523:T
8520:(
8517:E
8495:2
8480:T
8463:.
8458:n
8452:2
8448:)
8436:i
8432:X
8428:(
8423:n
8418:1
8415:=
8412:i
8401:=
8398:T
8373:2
8334:X
8312:.
8307:n
8302:2
8288:)
8273:(
8240:,
8233:2
8225:n
8220:=
8213:2
8205:1
8198:n
8193:1
8190:=
8187:i
8179:=
8175:)
8161:)
8155:(
8141:(
8135:1
8127:C
8120:T
8115:)
8101:)
8095:(
8081:(
8076:=
8073:)
8067:(
8064:I
8038:.
8034:)
8029:I
8023:2
8015:,
8011:1
8003:(
7997:n
7994:,
7991:d
7985:N
7976:]
7973:j
7970:[
7967:w
7942:2
7897:n
7877:]
7874:j
7871:[
7868:w
7837:)
7828:k
7814:C
7802:1
7794:C
7784:m
7770:C
7758:1
7750:C
7744:(
7732:2
7729:1
7724:+
7716:k
7690:1
7682:C
7672:m
7657:T
7641:=
7636:k
7633:,
7630:m
7626:I
7594:)
7590:)
7582:(
7578:C
7574:,
7571:)
7563:(
7554:(
7548:d
7542:N
7532:x
7517:d
7483:)
7477:(
7474:I
7467:2
7463:]
7459:)
7453:(
7440:[
7434:=
7428:)
7425:V
7422:(
7409:2
7405:]
7401:)
7395:(
7382:[
7373:)
7370:T
7367:(
7334:|
7330:)
7324:(
7310:|
7306:=
7302:|
7298:)
7295:T
7292:,
7289:V
7286:(
7276:|
7267:)
7264:V
7261:(
7252:)
7249:T
7246:(
7201:)
7195:(
7182:=
7179:)
7176:T
7173:(
7170:E
7152:=
7148:]
7144:x
7141:d
7137:)
7131:;
7128:x
7125:(
7122:f
7119:)
7116:x
7113:(
7110:t
7103:[
7084:=
7074:x
7071:d
7067:)
7061:;
7058:x
7055:(
7052:f
7048:]
7044:)
7038:;
7035:x
7032:(
7029:f
7008:)
7002:;
6999:x
6996:(
6993:f
6989:1
6983:[
6979:)
6976:x
6973:(
6970:t
6964:=
6953:)
6948:]
6944:)
6938:;
6935:X
6932:(
6929:f
6908:)
6902:;
6899:X
6896:(
6893:f
6889:1
6883:[
6876:T
6872:(
6865:E
6862:=
6855:)
6852:T
6849:,
6846:V
6843:(
6810:0
6807:=
6804:)
6801:V
6798:(
6792:E
6772:)
6769:T
6766:V
6763:(
6757:E
6754:=
6751:)
6748:T
6745:,
6742:V
6739:(
6713:T
6693:V
6673:)
6670:T
6667:,
6664:V
6661:(
6625:0
6622:=
6619:x
6616:d
6612:)
6606:;
6603:x
6600:(
6597:f
6576:=
6573:x
6570:d
6565:]
6561:)
6555:;
6552:x
6549:(
6546:f
6525:)
6519:;
6516:x
6513:(
6510:f
6506:1
6500:[
6496:)
6490:;
6487:x
6484:(
6481:f
6475:=
6472:)
6469:V
6466:(
6460:E
6437:)
6434:V
6431:(
6425:E
6405:V
6374:)
6368:;
6365:X
6362:(
6359:f
6338:)
6332:;
6329:X
6326:(
6323:f
6319:1
6314:=
6311:)
6305:;
6302:X
6299:(
6296:f
6272:=
6269:V
6242:V
6222:)
6216:(
6185:)
6182:X
6179:(
6176:t
6173:=
6170:T
6150:)
6144:;
6141:x
6138:(
6135:f
6111:X
6088:.
6082:)
6076:(
6073:I
6066:2
6062:]
6058:)
6052:(
6039:[
6030:)
6027:)
6024:X
6021:(
6018:t
6015:(
5966:)
5960:(
5954:=
5951:)
5948:T
5945:(
5939:E
5919:X
5899:)
5893:(
5870:)
5867:X
5864:(
5861:t
5858:=
5855:T
5820:.
5817:)
5811:(
5803:1
5796:)
5789:(
5786:I
5781:T
5777:)
5770:(
5761:]
5758:h
5755:[
5722:M
5702:w
5697:1
5690:M
5684:T
5680:w
5676:=
5670:v
5667:M
5662:T
5658:v
5650:2
5642:v
5639:,
5636:w
5625:0
5619:v
5588:v
5585:)
5579:(
5576:I
5571:T
5567:v
5559:2
5551:)
5545:(
5539:,
5536:v
5524:]
5521:h
5518:[
5481:v
5475:+
5469:=
5439:n
5434:R
5426:v
5383:]
5380:h
5377:[
5368:E
5351:)
5345:(
5322:)
5316:(
5308:1
5301:)
5294:(
5291:I
5286:T
5282:)
5275:(
5266:]
5263:h
5260:[
5225:T
5221:)
5214:(
5206:1
5199:)
5192:(
5189:I
5186:)
5180:(
5171:]
5168:T
5165:[
5130:m
5125:R
5117:v
5097:v
5092:T
5088:)
5081:(
5073:1
5066:)
5059:(
5056:I
5053:)
5047:(
5039:T
5035:v
5028:v
5025:]
5022:T
5019:[
5001:T
4997:v
4993:=
4990:]
4987:h
4984:[
4949:j
4945:T
4939:j
4935:v
4929:j
4918:h
4896:m
4891:R
4883:v
4863:)
4860:X
4857:(
4854:T
4833:R
4812:)
4809:X
4806:(
4803:h
4773:T
4769:)
4762:(
4754:1
4747:]
4743:T
4740:[
4724:)
4718:(
4709:)
4703:(
4700:I
4672:2
4664:v
4661:)
4655:(
4652:I
4647:T
4643:v
4639:=
4636:)
4623:;
4605:(
4600:2
4591:;
4585:)
4579:(
4571:T
4567:v
4563:=
4560:)
4557:]
4554:T
4551:[
4542:E
4535:]
4532:T
4529:[
4515:E
4511:(
4491:v
4485:+
4479:=
4449:n
4444:R
4436:v
4377:.
4341:)
4335:;
4332:x
4329:(
4326:f
4315:;
4283:x
4263:)
4257:;
4254:x
4251:(
4248:f
4225:x
4222:d
4217:]
4213:)
4207:;
4204:x
4201:(
4198:f
4179:[
4175:)
4172:x
4169:(
4166:T
4160:=
4156:]
4152:x
4149:d
4145:)
4139:;
4136:x
4133:(
4130:f
4127:)
4124:x
4121:(
4118:T
4111:[
4075:T
4035:x
4012:)
4006:;
4003:x
4000:(
3997:f
3956:0
3950:)
3944:;
3941:x
3938:(
3935:f
3915:x
3891:)
3888:X
3885:(
3882:T
3862:)
3856:;
3853:x
3850:(
3847:f
3815:.
3810:1
3802:)
3797:m
3794:m
3789:]
3784:)
3776:(
3772:I
3768:[
3763:(
3753:m
3750:m
3745:]
3739:1
3731:)
3723:(
3718:I
3714:[
3704:m
3701:m
3696:]
3691:)
3687:)
3684:X
3681:(
3677:T
3672:(
3654:[
3649:=
3646:)
3643:)
3640:X
3637:(
3632:m
3628:T
3624:(
3581:.
3576:1
3568:)
3560:(
3555:I
3548:)
3544:)
3541:X
3538:(
3534:T
3529:(
3487:=
3483:)
3475:(
3423:)
3420:X
3417:(
3413:T
3399:.
3385:j
3373:/
3369:)
3361:(
3356:i
3328:j
3325:i
3292:/
3288:)
3280:(
3266:)
3260:(
3231:B
3225:A
3205:B
3199:A
3170:T
3166:)
3159:(
3151:1
3143:)
3135:(
3130:I
3127:)
3121:(
3111:)
3107:)
3104:X
3101:(
3097:T
3092:(
3068:,
3056:)
3050:(
3042:1
3034:)
3030:)
3027:X
3024:(
3020:T
3015:(
2995:T
2991:)
2984:(
2974:)
2966:(
2962:I
2939:)
2936:X
2933:(
2929:T
2904:)
2896:(
2871:]
2868:)
2865:X
2862:(
2858:T
2854:[
2848:E
2826:T
2822:)
2818:)
2815:X
2812:(
2807:d
2803:T
2799:,
2793:,
2790:)
2787:X
2784:(
2779:1
2775:T
2771:(
2768:=
2765:)
2762:X
2759:(
2755:T
2734:)
2731:X
2728:(
2724:T
2700:.
2696:]
2691:)
2682:;
2679:x
2675:(
2671:f
2657:k
2643:m
2629:2
2618:[
2611:E
2605:=
2601:]
2596:)
2587:;
2584:x
2580:(
2576:f
2562:k
2544:)
2535:;
2532:x
2528:(
2524:f
2510:m
2492:[
2485:E
2482:=
2477:k
2474:,
2471:m
2467:I
2441:k
2438:,
2435:m
2431:I
2410:d
2404:d
2373:)
2365:;
2362:x
2359:(
2356:f
2331:d
2326:R
2316:T
2311:]
2305:d
2297:,
2291:,
2286:2
2278:,
2273:1
2264:[
2259:=
2220:1
2211:2
2208:+
2205:n
2201:n
2196:=
2193:)
2187:(
2180:b
2176:+
2173:1
2149:)
2143:(
2140:I
2136:/
2132:1
2112:1
2106:)
2100:(
2093:b
2089:+
2086:1
2063:,
2058:2
2054:)
2047:(
2044:b
2041:+
2035:)
2029:(
2026:I
2019:2
2015:]
2011:)
2005:(
1998:b
1994:+
1991:1
1988:[
1978:)
1972:2
1968:)
1946:(
1942:(
1935:E
1905:0
1902:=
1899:)
1893:(
1890:b
1867:.
1861:)
1855:(
1852:I
1845:2
1841:]
1837:)
1831:(
1824:b
1820:+
1817:1
1814:[
1804:)
1789:(
1759:)
1753:(
1750:b
1701:)
1695:(
1692:I
1688:/
1682:2
1678:)
1674:)
1668:(
1657:(
1637:)
1631:(
1605:+
1602:)
1596:(
1593:b
1590:=
1587:)
1581:(
1552:}
1537:{
1534:E
1531:=
1528:)
1522:(
1519:b
1461:)
1455:(
1452:I
1412:)
1406:(
1383:)
1377:(
1343:)
1337:(
1334:I
1327:2
1323:]
1319:)
1313:(
1302:[
1293:)
1290:T
1287:(
1252:)
1246:(
1240:=
1231:}
1228:)
1225:X
1222:(
1219:T
1216:{
1213:E
1193:)
1187:(
1144:)
1141:X
1138:(
1135:T
1118:.
1106:1
1100:)
1085:(
1082:e
1053:)
1038:(
1025:1
1018:)
1011:(
1008:I
1002:=
999:)
984:(
981:e
921:]
913:2
900:)
894:;
891:X
888:(
880:2
869:[
857:;
854:X
850:E
846:n
840:=
837:)
831:(
828:I
805:)
799:;
796:x
793:(
767:X
747:X
727:)
721:;
718:x
715:(
712:f
683:;
680:x
676:E
655:x
627:)
624:)
618:;
615:x
612:(
609:f
606:(
597:=
594:)
588:;
585:x
582:(
555:]
550:2
545:)
531:)
525:;
522:X
519:(
507:(
502:[
490:;
487:X
483:E
479:n
476:=
473:)
467:(
464:I
441:)
435:(
432:I
406:)
400:(
397:I
393:1
385:)
370:(
341:)
335:(
332:I
248:)
242:;
239:x
236:(
233:f
210:x
190:n
43:(
27:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
