2251:
1826:
4786:
1964:
1561:
4354:
2246:{\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)={\frac {\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)f\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}}.}
1821:{\displaystyle \int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)F\left(A\left(\Gamma \right)\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=F\left(a\right)\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}
4781:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}\left(\Gamma ,t\right)&=V+K+R,\\V&=e^{itL}P{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right),\\K&=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right)=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLR\left(s\right),\\R&=Qe^{itLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right).\end{aligned}}}
770:
3956:
623:
5177:
3058:
3609:
generates expressions which are fast variables at every time step. The expectation is that fast variables isolated in this way can be represented by some model data, for instance by a
Gaussian white noise. The decomposition is achieved by multiplying
1283:
634:
3706:
1399:
1031:
4204:
2763:
2939:
2456:. Functions of slow variables and in particular products of slow variables are slow variables. The space of slow variables thus is an algebra. The algebra in general is not closed under the Poisson bracket, including the
3264:
2607:
846:
under this scalar product. This definition states that fluctuations of fast and slow variables are uncorrelated, and according to the ergodic hypothesis this also is true for time averages. If a generic function
4346:
500:
132:
5016:
343:
4359:
3711:
5069:
267:
2348:
2945:
916:
2850:
5225:
5061:
1553:
4031:
3130:
765:{\displaystyle \rho _{0}\left(\Gamma \right)={\frac {\delta \left(H\left(\Gamma \right)-E\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\delta \left(H\left(\Gamma ^{\prime }\right)-E\right)}},}
2802:
2642:
1186:
303:
3951:{\displaystyle {\begin{aligned}1&=P+Q,\\U&=UP+PUQ+QUQ,\\...&=...\\U^{n}&=U^{n}P+\sum _{m=1}^{n}U^{n-m}P\left(UQ\right)^{m}+Q\left(UQ\right)^{n}.\end{aligned}}}
3418:
2677:
210:
181:
2454:
492:
456:
1102:
815:
5256:. This leads to the Mori projection operator. However, the set of linear functions is not complete, and the orthogonal variables are not fast or random if nonlinearity in
365:
5254:
4950:
2410:
2283:
1956:
1907:
1858:
1489:
1460:
1431:
1315:
1151:
903:
874:
844:
417:
4005:
3607:
3538:
3157:
3088:
1178:
3300:
3698:
2381:
1927:
1323:
1122:
1064:
4913:
3568:
3499:
2525:
3640:
3469:
3380:
3340:
4878:
4039:
76:
5274:
4849:
4829:
4809:
4227:
3660:
3438:
3360:
2490:
1878:
1509:
385:
152:
2688:
2858:
3166:
876:
is correlated with some slow variables, then one may subtract functions of slow variables until there remains the uncorrelated fast part of
2537:
4232:
618:{\displaystyle \left(f_{1},f_{2}\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f_{1}\left(\Gamma \right)f_{2}\left(\Gamma \right),}
81:
4955:
5456:
308:
3441:
2680:
5172:{\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=\sum _{n}\left(f,\Phi _{n}\right)\Phi _{n}\left(A\left(\Gamma \right)\right).}
387:. The Zwanzig projection operator relies on these functions but does not tell how to find the slow variables of a given
215:
2288:
3053:{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{2}=\left(1-P\right)L\rho _{2}+\left(1-P\right)L\rho _{1}.}
5478:
5063:. If these functions constitute a complete orthonormal function set then the projection operator simply reads
3160:
2492:
as given above is that it allows to derive a master equation for the time dependent probability distribution
43:. It is mostly used in this or similar context in a formal way to derive equations of motion for some "slow"
4209:
A generic
Langevin equation is obtained by applying this equation to the time derivative of a slow variable
2807:
5185:
5021:
1514:
1278:{\displaystyle G(A\left(\Gamma \right))=\int daG\left(a\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}
4010:
3093:
2771:
2612:
272:
5431:
Gunton, J.D. (1979). "Mode coupling theory in relation to the dynamical renormalization group method".
3385:
2647:
186:
157:
35:
functions and projects onto the linear subspace of "slow" phase space functions. It was introduced by
2415:
461:
425:
1069:
782:
5352:
Kawasaki, K. (1973). "Simple derivations of generalized linear and nonlinear
Langevin equations".
348:
776:
5230:
4926:
2386:
2259:
1932:
1883:
1834:
1465:
1436:
1407:
1394:{\displaystyle f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)+R\left(\Gamma \right),}
1291:
1127:
1026:{\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)=\prod _{n}\delta (A_{n}(\Gamma )-a_{n})}
879:
850:
820:
393:
5285:
3964:
3573:
3504:
3135:
3066:
1156:
3269:
4199:{\displaystyle e^{itL}=e^{itL}P+i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}+Qe^{itLQ}.}
3665:
2353:
1912:
1107:
1036:
24:
4883:
3543:
3474:
2495:
5436:
5403:
5361:
5321:
3613:
3447:
3365:
3313:
2609:
denote the time-dependent probability distribution in phase space. The phase space density
779:
equilibrium distribution. "Fast" variables, by definition, are orthogonal to all functions
4854:
2256:
This expression agrees with the expression given by
Zwanzig, except that Zwanzig subsumes
8:
269:. Candidates for some of these variables might be the long-wavelength Fourier components
44:
28:
5440:
5407:
5365:
5325:
58:
5259:
4834:
4814:
4794:
4212:
3645:
3423:
3345:
2758:{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\sigma (\Gamma ,t)=L\sigma (\Gamma ,t).}
2475:
1863:
1494:
370:
137:
4918:
3310:
The starting point for the standard derivation of a
Langevin equation is the identity
5452:
2528:
2461:
388:
5373:
5444:
5411:
5369:
5329:
2934:{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{1}=PL\rho _{1}+PL\rho _{2},}
4811:
is the fluctuating force (it only depends on fast variables). Mode coupling term
2457:
40:
212:. A special subset of these functions is an enumerable set of "slow variables"
36:
5472:
5448:
5333:
2852:
and to project the
Liouville equation onto the slow and the fast subspace,
5312:
Zwanzig, Robert (1961). "Memory
Effects in Irreversible Thermodynamics".
32:
5416:
5391:
3259:{\displaystyle p(A(\Gamma ),t)=p_{0}(A(\Gamma ))\rho _{1}(\Gamma ,t),}
2602:{\displaystyle \rho (\Gamma ,t)=\rho _{0}(\Gamma )\sigma (\Gamma ,t)}
3362:
projects onto the fast subspace. Consider discrete small time steps
4919:
Discrete set of functions, relation to the Mori projection operator
5018:
of functions one also might use some enumerable set of functions
4341:{\displaystyle dA(\Gamma ,t)/dt=e^{itL}(dA(\Gamma ,t)/dt)_{t=0}}
2467:
2285:
in the slow variables. The
Zwanzig projection operator fulfills
905:. The product of a slow and a fast variable is a fast variable.
305:
of the mass density and the long-wavelength
Fourier components
5227:
are orthonormalized linear combinations of the slow variables
422:
A scalar product between two arbitrary phase space functions
127:{\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}\}}
55:
The
Zwanzig projection operator operates on functions in the
3302:
denotes the equilibrium distribution of the slow variables.
5435:. Lecture Notes in Physics. Vol. 104. pp. 1–24.
5011:{\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)}
3961:
The last line can also be proved by induction. Assuming
338:{\displaystyle \mathbf {\pi } _{\mathbf {k} }(\Gamma )}
5262:
5233:
5188:
5072:
5024:
4958:
4929:
4886:
4857:
4837:
4817:
4797:
4357:
4235:
4215:
4042:
4013:
3967:
3709:
3668:
3662:, except for the last term, which is multiplied with
3648:
3616:
3576:
3546:
3507:
3477:
3450:
3426:
3388:
3368:
3348:
3316:
3272:
3169:
3163:). The latter equation finally gives an equation for
3138:
3132:
into the first equation gives a closed equation for
3096:
3069:
2948:
2861:
2810:
2774:
2691:
2650:
2615:
2540:
2498:
2478:
2418:
2389:
2356:
2291:
2262:
1967:
1935:
1915:
1886:
1866:
1837:
1564:
1517:
1497:
1468:
1439:
1410:
1326:
1294:
1189:
1159:
1130:
1110:
1072:
1039:
919:
882:
853:
823:
785:
637:
503:
464:
428:
396:
373:
351:
311:
275:
218:
189:
160:
140:
84:
61:
4033:
directly leads to the operator identity of Kawasaki
50:
5392:"Transport, Collective Motion, and Brownian Motion"
5268:
5248:
5219:
5171:
5055:
5010:
4944:
4907:
4872:
4843:
4823:
4803:
4780:
4340:
4221:
4198:
4025:
3999:
3950:
3692:
3654:
3634:
3601:
3562:
3532:
3493:
3463:
3432:
3412:
3374:
3354:
3334:
3294:
3258:
3151:
3124:
3082:
3052:
2933:
2844:
2796:
2757:
2671:
2636:
2601:
2519:
2484:
2448:
2404:
2375:
2342:
2277:
2245:
1950:
1921:
1901:
1872:
1852:
1820:
1547:
1503:
1483:
1454:
1425:
1393:
1309:
1277:
1172:
1145:
1116:
1096:
1058:
1025:
897:
868:
838:
809:
764:
617:
486:
450:
411:
379:
359:
337:
297:
261:
204:
175:
146:
126:
70:
2472:The ultimate justification for the definition of
16:Mathematical device used in statistical mechanics
5470:
5433:Dynamical Critical Phenomena and Related Topics
3305:
1511:take the scalar product with the slow function
5347:
5345:
5343:
5307:
5305:
5303:
5301:
2468:Connection with Liouville and Master equation
345:of the momentum density with the wave vector
262:{\displaystyle A(\Gamma )=\{A_{n}(\Gamma )\}}
2343:{\displaystyle PG(A(\Gamma ))=G(A(\Gamma ))}
256:
234:
121:
91:
5340:
3570:is a functional of slow variables and that
5385:
5383:
5298:
908:
494:is defined by the equilibrium correlation
5424:
5415:
1462:. To get an expression for the slow part
913:Consider the continuous set of functions
5351:
5380:
5311:
5471:
5430:
4923:Instead of expanding the slow part of
2845:{\displaystyle \rho _{2}=(1-P)\sigma }
5220:{\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}
5056:{\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}
1548:{\displaystyle \delta (A(\Gamma )-a)}
5389:
4915:and can be simplified considerably.
4026:{\displaystyle n\rightarrow \infty }
3125:{\displaystyle \rho _{2}(\Gamma ,t)}
2531:for the slow variables themselves).
1066:constant. Any phase space function
13:
5240:
5208:
5190:
5154:
5133:
5118:
5086:
5044:
5026:
4993:
4972:
4960:
4936:
4757:
4608:
4476:
4387:
4299:
4245:
4020:
3241:
3219:
3182:
3110:
2958:
2954:
2871:
2867:
2797:{\displaystyle \rho _{1}=P\sigma }
2768:The crucial step then is to write
2740:
2716:
2701:
2697:
2657:
2637:{\displaystyle \sigma (\Gamma ,t)}
2622:
2587:
2575:
2547:
2440:
2396:
2331:
2307:
2269:
2225:
2206:
2202:
2177:
2173:
2153:
2149:
2128:
2109:
2105:
2080:
2076:
2059:
2055:
2035:
2031:
2006:
1981:
1942:
1916:
1893:
1844:
1797:
1775:
1758:
1717:
1690:
1668:
1651:
1624:
1602:
1588:
1571:
1530:
1475:
1446:
1417:
1381:
1359:
1334:
1301:
1254:
1203:
1161:
1137:
1111:
1085:
1001:
954:
933:
921:
889:
860:
830:
798:
736:
732:
711:
707:
680:
652:
605:
584:
563:
546:
478:
442:
403:
329:
298:{\displaystyle \rho _{k}(\Gamma )}
289:
250:
225:
85:
14:
5490:
2534:To sketch the typical steps, let
1880:projecting an arbitrary function
154:point particles with coordinates
51:Slow variables and scalar product
23:is a mathematical device used in
3413:{\displaystyle U\cong 1+i\tau L}
3063:Solving the second equation for
2672:{\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}
1909:to its "slow" part depending on
353:
320:
205:{\displaystyle \mathbf {p} _{i}}
192:
176:{\displaystyle \mathbf {q} _{i}}
163:
111:
96:
2449:{\displaystyle (1-P)f(\Gamma )}
1288:A generic phase space function
5243:
5237:
5214:
5211:
5205:
5199:
5050:
5047:
5041:
5035:
5005:
4996:
4990:
4984:
4975:
4969:
4939:
4933:
4902:
4890:
4867:
4861:
4323:
4308:
4296:
4287:
4254:
4242:
4017:
3590:
3580:
3521:
3511:
3289:
3283:
3250:
3238:
3225:
3222:
3216:
3210:
3194:
3185:
3179:
3173:
3119:
3107:
2836:
2824:
2749:
2737:
2725:
2713:
2666:
2654:
2631:
2619:
2596:
2584:
2578:
2572:
2556:
2544:
2514:
2502:
2443:
2437:
2431:
2419:
2399:
2393:
2337:
2334:
2328:
2322:
2313:
2310:
2304:
2298:
2272:
2266:
1945:
1939:
1896:
1890:
1847:
1841:
1542:
1533:
1527:
1521:
1478:
1472:
1449:
1443:
1420:
1414:
1304:
1298:
1210:
1193:
1140:
1134:
1091:
1088:
1082:
1076:
1020:
1004:
998:
985:
966:
957:
951:
945:
936:
930:
892:
886:
863:
857:
833:
827:
804:
801:
795:
789:
487:{\displaystyle f_{2}(\Gamma )}
481:
475:
451:{\displaystyle f_{1}(\Gamma )}
445:
439:
406:
400:
332:
326:
292:
286:
253:
247:
228:
222:
1:
5291:
1831:This gives an expression for
1097:{\displaystyle G(A(\Gamma ))}
810:{\displaystyle G(A(\Gamma ))}
3306:Nonlinear Langevin equations
1860:, and thus for the operator
360:{\displaystyle \mathbf {k} }
31:acts in the linear space of
7:
5354:J. Phys. A: Math. Nucl. Gen
5279:
21:Zwanzig projection operator
10:
5495:
5249:{\displaystyle A(\Gamma )}
4945:{\displaystyle f(\Gamma )}
2527:of the slow variables (or
2405:{\displaystyle f(\Gamma )}
2278:{\displaystyle H(\Gamma )}
1951:{\displaystyle A(\Gamma )}
1902:{\displaystyle f(\Gamma )}
1853:{\displaystyle F(\Gamma )}
1484:{\displaystyle F(\Gamma )}
1455:{\displaystyle f(\Gamma )}
1426:{\displaystyle R(\Gamma )}
1310:{\displaystyle f(\Gamma )}
1146:{\displaystyle A(\Gamma )}
898:{\displaystyle f(\Gamma )}
869:{\displaystyle f(\Gamma )}
839:{\displaystyle A(\Gamma )}
412:{\displaystyle H(\Gamma )}
5374:10.1088/0305-4470/6/9/004
4007:and performing the limit
4000:{\displaystyle U=1+itL/n}
3602:{\displaystyle Q(UQ)^{m}}
3540:. The motivation is that
3533:{\displaystyle Q(UQ)^{m}}
3444:. The goal is to express
3161:Nakajima–Zwanzig equation
3152:{\displaystyle \rho _{1}}
3083:{\displaystyle \rho _{2}}
1173:{\displaystyle \Phi _{a}}
78:-dimensional phase space
3382:with evolution operator
3295:{\displaystyle p_{0}(a)}
1317:decomposes according to
5449:10.1007/3-540-09523-3_1
5334:10.1103/physrev.124.983
3693:{\displaystyle U=PU+QU}
2679:) is a solution of the
2376:{\displaystyle P^{2}=P}
1922:{\displaystyle \Gamma }
1117:{\displaystyle \Gamma }
1059:{\displaystyle a=a_{n}}
909:The projection operator
5286:Mori-Zwanzig formalism
5270:
5250:
5221:
5173:
5057:
5012:
4952:in the continuous set
4946:
4909:
4908:{\displaystyle A(t-s)}
4874:
4845:
4825:
4805:
4782:
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4027:
4001:
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3636:
3603:
3564:
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3534:
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3494:{\displaystyle U^{k}P}
3465:
3434:
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3356:
3336:
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3153:
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3054:
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2759:
2673:
2638:
2603:
2521:
2520:{\displaystyle p(a,t)}
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128:
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5479:Statistical mechanics
5271:
5251:
5222:
5182:A special choice for
5174:
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3357:
3337:
3335:{\displaystyle 1=P+Q}
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1855:
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1175:
1153:is a function of the
1148:
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138:
82:
59:
45:collective variables
39:to derive a generic
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5408:1965PThPh..33..423M
5366:1973JPhA....6.1289K
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4851:are functionals of
4642:
4524:
4101:
3642:from the left with
2383:. The fast part of
29:projection operator
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5266:
5246:
5217:
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4023:
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3948:
3946:
3700:. Iteration gives
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3652:
3632:
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3430:
3410:
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3352:
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5458:978-3-540-09523-1
5396:Prog. Theor. Phys
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5276:comes into play.
5269:{\displaystyle A}
5096:
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4831:and damping term
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2570:
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2062:
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2048:
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2038:
2022:
2017:
2013:
2012:
1987:
1957:
1955:
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1856:
1851:
1827:
1825:
1824:
1819:
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