5442:
3545:
8634:
3531:
5210:
8352:
5437:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Minimize }}&&\operatorname {vec} (c)^{\top }z\\&{\text{subject to:}}&&z\geq 0,\\&&&{\begin{pmatrix}1_{1\times \left\vert \mathbf {Y} \right\vert }\otimes I_{\left\vert \mathbf {X} \right\vert }\\I_{\left\vert \mathbf {Y} \right\vert }\otimes 1_{1\times \left\vert \mathbf {X} \right\vert }\end{pmatrix}}z={\binom {\mu }{\nu }}\end{aligned}}}
27:
8852:
8629:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Minimize }}\sum _{x\in \mathbf {X} ,y\in \mathbf {Y} }\gamma _{xy}c_{xy}+\varepsilon \gamma _{xy}\ln \gamma _{xy}\\&{\text{subject to: }}\\&\gamma \geq 0\\&\sum _{y\in \mathbf {Y} }\gamma _{xy}=\mu _{x},\forall x\in \mathbf {X} \\&\sum _{x\in \mathbf {X} }\gamma _{xy}=\nu _{y},\forall y\in \mathbf {Y} \end{aligned}}}
4249:
1374:. The mines-factories example, simple as it is, is a useful reference point when thinking of the abstract case. In this setting, we allow the possibility that we may not wish to keep all mines and factories open for business, and allow mines to supply more than one factory, and factories to accept iron from more than one mine.
8645:
425:. For simplicity, we ignore the time taken to do the transporting. We also assume that each mine can supply only one factory (no splitting of shipments) and that each factory requires precisely one shipment to be in operation (factories cannot work at half- or double-capacity). Having made the above assumptions, a
6353:
5029:
4930:
950:
Note that the above cost functions consider only the horizontal distance traveled by the books, not the horizontal distance traveled by a device used to pick each book up and move the book into position. If the latter is considered instead, then, of the two transport plans, the second is always
6908:
7116:
7326:
9272:
9139:
6170:
2166:
10293:
Kasim, Muhammad
Firmansyah; Ceurvorst, Luke; Ratan, Naren; Sadler, James; Chen, Nicholas; Sävert, Alexander; Trines, Raoul; Bingham, Robert; Burrows, Philip N. (16 February 2017). "Quantitative shadowgraphy and proton radiography for large intensity modulations".
5819:
2577:
4045:
6175:
1770:
3259:
8847:{\displaystyle \max _{\varphi ,\psi }\sum _{x\in \mathbf {X} }\varphi _{x}\mu _{x}+\sum _{y\in \mathbf {Y} }\psi _{y}v_{y}-\varepsilon \sum _{x\in \mathbf {X} ,y\in \mathbf {Y} }\exp \left({\frac {\varphi _{x}+\psi _{y}-c_{xy}}{\varepsilon }}\right)}
3095:
4935:
4836:
9341:
9677:
4759:
6004:
4672:
9006:
8071:
6711:
8357:
4543:
6916:
47:
Some of the mathematical notation is abominably badly typeset, and some that is typeset well has horribly inefficient code (probably someone unskilled in TeX used one of those software packages that write your code for
7124:
9150:
9017:
4011:
348:
717:), arranged in a single contiguous block. We wish to rearrange them into another contiguous block, but shifted one book-width to the right. Two obvious candidates for the optimal transport plan present themselves:
8196:
9594:
5999:
5215:
6436:
3733:
5688:
3412:
9414:
6608:
6552:
5928:
5614:
5202:
2047:
6683:
5864:
4591:
3835:
3104:
2625:
7710:
3923:
2988:
9528:
9498:
8917:
7904:
3629:
2730:
2659:
7756:
7535:
628:
4244:{\displaystyle \min _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)=\int _{0}^{1}c\left(F_{\mu }^{-1}(s),F_{\nu }^{-1}(s)\right)\,\mathrm {d} s.}
2466:
7489:
919:
3327:
3293:
5683:
7404:
822:
7978:
1651:
1160:
1031:
7828:
3587:
2368:
2204:
5494:
4824:
1946:
1275:
277:
10181:
and Marco Cuturi (2019), "Computational
Optimal Transport: With Applications to Data Science", Foundations and Trends in Machine Learning: Vol. 11: No. 5-6, pp 355–607. DOI:
8312:
2849:
1524:
6464:
4412:
4384:
2936:
9861:
Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. Histoire de l’Académie Royale des
Sciences de Paris, avec les Mémoires de Mathématique et de Physique pour la même année
5543:
3789:
3655:
945:
848:
2983:
1809:
6348:{\displaystyle \sup _{\psi \in \mathbb {R} ^{J}}\left\{\int _{X}\inf _{j}\left\{c\left(x,y_{j}\right)-\psi _{j}\right\}d\mu (x)+\sum _{j=1}^{J}\psi _{j}\nu _{j}\right\}}
5089:
121:
for the
National Commissariat of Transportation of the Soviet Union, he published a paper "Methods of Finding the Minimal Kilometrage in Cargo-transportation in space".
9712:
7656:
5024:{\displaystyle \left(I_{\left\vert \mathbf {Y} \right\vert }\otimes 1_{1\times \left\vert \mathbf {X} \right\vert }\right)\operatorname {vec} \left(\gamma \right)=\nu }
4925:{\displaystyle \left(1_{1\times \left\vert \mathbf {Y} \right\vert }\otimes I_{\left\vert \mathbf {X} \right\vert }\right)\operatorname {vec} \left(\gamma \right)=\mu }
4800:
4442:
2230:
2039:
523:
8336:
8289:
1640:
1196:
1067:
462:
7924:
2013:
9745:
8245:
7621:
5115:
488:
383:
5641:
5052:
4356:
4329:
2442:
1329:
1302:
1223:
1094:
8219:
8094:
3943:
3863:
2293:
2253:
1990:
1966:
1833:
1588:
1548:
2790:
2764:
9468:
9441:
5142:
8269:
7586:
7559:
7444:
7424:
7357:
5514:
4302:
4282:
4031:
3675:
3490:
3441:
2412:
2392:
2333:
2313:
2273:
1904:
1873:
1853:
1608:
1568:
1466:
1446:
1415:
1395:
1114:
985:
762:
739:
711:
671:
651:
547:
423:
403:
245:
225:
199:
179:
9300:
4683:
9599:
4599:
4465:
9295:
6703:
6484:
5162:
3510:
3461:
2889:
2869:
8922:
52:
7986:
951:
optimal for the
Euclidean distance, while, provided there are at least 3 books, the first transport plan is optimal for the squared Euclidean distance.
6903:{\displaystyle \varphi (x)=-x^{\top }\Sigma _{X}^{-1/2}\left(\Sigma _{X}^{1/2}A^{\top }\Sigma _{Y}A\Sigma _{X}^{1/2}\right)^{1/2}\Sigma _{X}^{-1/2}x/2}
8346:
Consider a variant of the discrete problem above, where we have added an entropic regularization term to the objective function of the primal problem
7111:{\displaystyle \psi (y)=-y^{\top }A\Sigma _{X}^{1/2}\left(\Sigma _{X}^{1/2}A^{\top }\Sigma _{Y}A\Sigma _{X}^{1/2}\right)^{-1/2}\Sigma _{X}^{1/2}Ay/2}
7321:{\displaystyle T(x)=(A^{\top })^{-1}\Sigma _{X}^{-1/2}\left(\Sigma _{X}^{1/2}A^{\top }\Sigma _{Y}A\Sigma _{X}^{1/2}\right)^{1/2}\Sigma _{X}^{-1/2}x}
9267:{\displaystyle \nu _{y}=\sum _{x\in \mathbf {X} }\exp \left({\frac {\varphi _{x}+\psi _{y}-c_{xy}}{\varepsilon }}\right)~\forall y\in \mathbf {Y} }
9134:{\displaystyle \mu _{x}=\sum _{y\in \mathbf {Y} }\exp \left({\frac {\varphi _{x}+\psi _{y}-c_{xy}}{\varepsilon }}\right)~\forall x\in \mathbf {X} }
4473:
3332:
6165:{\displaystyle \sup \left\{\int _{X}\varphi (x)d\mu (x)+\sum _{j=1}^{J}\psi _{j}\nu _{j}:\psi _{j}+\varphi (x)\leq c\left(x,y_{j}\right)\right\}}
10473:
3952:
285:
8109:
1995:
We can improve on this by adopting
Kantorovich's formulation of the optimal transportation problem, which is to find a probability measure
9890:
9533:
5933:
1366:
The transportation problem as it is stated in modern or more technical literature looks somewhat different because of the development of
10250:
Glimm, T.; Oliker, V. (1 September 2003). "Optical Design of Single
Reflector Systems and the Monge–Kantorovich Mass Transfer Problem".
10197:
Haker, Steven; Zhu, Lei; Tannenbaum, Allen; Angenent, Sigurd (1 December 2004). "Optimal Mass
Transport for Registration and Warping".
2444:
on the space of probability measures.) A gradient descent formulation for the solution of the Monge–Kantorovich problem was given by
9908:
6365:
3684:
201:
factories which use the iron ore that the mines produce. Suppose for the sake of argument that these mines and factories form two
2161:{\displaystyle \inf \left\{\left.\int _{X\times Y}c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right|\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )\right\},}
10468:
9983:
9346:
6557:
6501:
5869:
10416:
9967:
9942:
5548:
5167:
3794:
1331:, find a flow that satisfies demand from supplies and minimizes the flow cost. This challenge in logistics was taken up by
6613:
5824:
4551:
2596:
7664:
3875:
10357:"Measuring the misfit between seismograms using an optimal transport distance: application to full waveform inversion"
9684:
7833:
3592:
2667:
9503:
9473:
8860:
5814:{\displaystyle \inf \left\{\int _{X}\sum _{j=1}^{J}c(x,y_{j})\,d\gamma _{j}(x),\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )\right\}}
2630:
70:
10040:
10448:
7715:
7494:
3870:
2572:{\displaystyle \sup \left(\int _{X}\varphi (x)\,\mathrm {d} \mu (x)+\int _{Y}\psi (y)\,\mathrm {d} \nu (y)\right),}
558:
9765:
The Monge–Kantorovich optimal transport has found applications in wide range in different fields. Among them are:
10453:
10443:
9886:
7449:
5447:
which can be readily inputted in a large-scale linear programming solver (see chapter 3.4 of
Galichon (2016)).
861:
6355:
which is a finite-dimensional convex optimization problem that can be solved by standard techniques, such as
3298:
3264:
1765:{\displaystyle \inf \left\{\left.\int _{X}c(x,T(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\;\right|\;T_{*}(\mu )=\nu \right\},}
3254:{\displaystyle \inf \left\{\int _{X}u(x)\,d\mu (x)+\int _{Y}v(y)\,d\nu (y):u(x)+v(y)\geq \Phi (x,y)\right\}}
10463:
7369:
5646:
771:
9841:
7929:
3090:{\displaystyle \sup \left\{\int _{X\times Y}\Phi (x,y)d\gamma (x,y),\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )\right\}}
1886:
Monge's formulation of the optimal transportation problem can be ill-posed, because sometimes there is no
4827:
4803:
4769:
1119:
990:
7761:
3560:
2338:
2174:
10408:
10027:
9982:
Frank L. Hitchcock (1941) "The distribution of a product from several sources to numerous localities",
10055:
Angenent, S.; Haker, S.; Tannenbaum, A. (2003). "Minimizing flows for the Monge–Kantorovich problem".
5458:
4809:
1909:
1228:
253:
10144:
9836:
8294:
7562:
1479:
42:
10069:
5685:. In this case, we can see that the primal and dual Kantorovich problems respectively boil down to:
2795:
10211:
8100:
6441:
4389:
4361:
3738:
2894:
10356:
5519:
3638:
924:
827:
10458:
9831:
2233:
1778:
2941:
10206:
10064:
9799:
7626:
5061:
3098:
2209:
2018:
493:
141:
9690:
8321:
8274:
4775:
4417:
1613:
1165:
1036:
435:
9789:
9680:
7909:
3866:
2371:
1998:
8224:
7591:
467:
353:
10368:
10313:
10165:
9990:
9723:
8248:
7926:, and this solution is induced by an optimal transport map: i.e., there exists a Borel map
5094:
3678:
2420:
1307:
1280:
1201:
1072:
10426:
9336:{\textstyle \left\vert \mathbf {X} \right\vert \times \left\vert \mathbf {Y} \right\vert }
8857:
where, compared with the unregularized version, the "hard" constraint in the former dual (
8204:
8079:
5619:
5037:
4334:
4307:
3928:
3848:
2278:
2238:
1975:
1951:
1818:
1573:
1533:
8:
10220:
9872:
9826:
9672:{\textstyle \left(D_{1}AD_{2}\right)^{\top }1_{\left\vert \mathbf {X} \right\vert }=\nu }
9416:, solving the dual is therefore equivalent to looking for two diagonal positive matrices
4754:{\displaystyle \sum _{x\in \mathbf {X} }\gamma _{xy}=\nu _{y},\forall y\in \mathbf {Y} .}
3946:
3632:
2591:
2315:. It can be shown that a minimizer for this problem always exists when the cost function
1812:
1527:
1425:
1367:
1350:
100:
10372:
10317:
4667:{\displaystyle \sum _{y\in \mathbf {Y} }\gamma _{xy}=\mu _{x},\forall x\in \mathbf {X} }
2769:
2743:
10401:
10337:
10303:
10275:
10232:
9821:
9816:
9785:
9769:
9754:
9446:
9419:
9001:{\textstyle \varepsilon \exp \left((\varphi _{x}+\psi _{y}-c_{xy})/\varepsilon \right)}
8315:
8254:
7571:
7544:
7429:
7409:
7342:
5120:
4765:
4016:
3660:
2415:
2397:
2377:
2318:
2298:
2258:
1889:
1858:
1838:
1610:, Monge's formulation of the optimal transportation problem is to find a transport map
1593:
1553:
1451:
1431:
1400:
1380:
1099:
970:
747:
724:
696:
674:
656:
636:
532:
408:
388:
230:
210:
184:
164:
137:
129:
114:
5499:
4287:
4267:
3466:
3417:
10412:
10329:
10267:
10224:
10139:
9963:
9938:
9882:
5055:
1346:
145:
37:
10341:
10236:
8066:{\displaystyle \kappa =(\mathrm {id} _{X}\times r)_{*}(\mu )\in \Gamma (\mu ,\nu ).}
4447:
10422:
10376:
10321:
10279:
10259:
10216:
10153:
10074:
9280:
7565:
6688:
6469:
6356:
5147:
3495:
3446:
2874:
2854:
2587:
2449:
673:. This motivating special case of the transportation problem is an instance of the
113:
In the 1920s A.N. Tolstoi was one of the first to study the transportation problem
10178:
10161:
10096:
10019:
9987:
9904:
Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences
9902:
9876:
9803:
7360:
3838:
2445:
1418:
1332:
960:
855:
678:
248:
8919:) has been replaced by a "soft" penalization of that constraint (the sum of the
677:. More specifically, it is equivalent to finding a minimum weight matching in a
10325:
10015:
1371:
1340:
10407:. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 108. Cambridge:
10263:
10078:
10437:
10271:
10228:
7363:
6487:
4538:{\displaystyle \sum _{x\in \mathbf {X} ,y\in \mathbf {Y} }\gamma _{xy}c_{xy}}
4467:
assignment. The objective function in the primal
Kantorovich problem is then
1969:
1469:
202:
107:
104:
9798:
modelling that involves gross substitutes property (among others, models of
10333:
10003:
9008:
terms ). The optimality conditions in the dual problem can be expressed as
1421:
125:
764:
book-widths to the right and leave all other books fixed ("one big move").
10381:
9779:
8097:
1473:
525:
and each factory is supplied by precisely one mine. We wish to find the
84:
10182:
10041:
Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures
4006:{\displaystyle F_{\nu }^{-1}\circ F_{\mu }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
343:{\displaystyle c:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )}
4256:
The proof of this solution appears in Rachev & RĂĽschendorf (1998).
4013:
is an optimal transport map. It is the unique optimal transport map if
690:
4259:
132:. Consequently, the problem as it is stated is sometimes known as the
9795:
8191:{\displaystyle r(x)=x-|\nabla \varphi (x)|^{q-2}\,\nabla \varphi (x)}
714:
430:
96:
10157:
10045:
Lectures in Mathematics ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. (2005)
9589:{\textstyle D_{1}AD_{2}1_{\left\vert \mathbf {Y} \right\vert }=\mu }
5994:{\textstyle \sum _{j}d\gamma _{j}\left(x\right)=d\mu \left(x\right)}
947:), then the "many small moves" option becomes the unique minimizer.
684:
10308:
10142:(1987), "Power diagrams: properties, algorithms and applications",
2583:
2740:
The economic interpretation is clearer if signs are flipped. Let
1880:
1643:
124:
Major advances were made in the field during World War II by the
6486:
is a convex polyhedron. The resulting configuration is called a
959:
The following transportation problem formulation is credited to
858:
cost function proportional to the square of Euclidean distance (
693:
in determining the optimal transport plan. Suppose that we have
10129:. Birkhäuser Basel, 2016. In particular chapter 6, section 4.2.
6431:{\textstyle c\left(x,y\right)=\left\vert x-y\right\vert ^{2}/2}
689:
The following simple example illustrates the importance of the
205:
140:
formulation of the transportation problem is also known as the
3728:{\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathcal {P}}_{p}(\mathbb {R} )}
2374:
collection of measures (which is guaranteed for Radon spaces
1883:
instead of an infimum) is called an "optimal transport map".
3407:{\displaystyle v(y)=\sup _{x}\left\{\Phi (x,y)-u(x)\right\}}
3261:
where the infimum runs over bounded and continuous function
768:
If the cost function is proportional to Euclidean distance (
2060:
1664:
16:
Study of optimal transportation and allocation of resources
10196:
9409:{\textstyle A_{xy}=\exp \left(-c_{xy}/\varepsilon \right)}
6603:{\textstyle \nu ={\mathcal {N}}\left(0,\Sigma _{Y}\right)}
6547:{\textstyle \mu ={\mathcal {N}}\left(0,\Sigma _{X}\right)}
5616:
is a discrete distribution which assigns probability mass
3520:
10292:
5923:{\textstyle \int _{X}d\gamma _{j}\left(x\right)=\nu _{j}}
9923:
C.R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), 37:199–201, 1942.
5609:{\textstyle \nu =\sum _{j=1}^{J}\nu _{j}\delta _{y_{i}}}
3329:. If the dual problem has a solution, one can see that:
2414:). (Compare this formulation with the definition of the
10054:
7331:
The proof of this solution appears in Galichon (2016).
5204:, the linear programming formulation of the problem is
5197:{\textstyle z=\operatorname {vec} \left(\gamma \right)}
3492:
interprets as the equilibrium profit of a firm of type
3443:
interprets as the equilibrium wage of a worker of type
741:
books one book-width to the right ("many small moves");
9726:
9693:
9602:
9536:
9506:
9476:
9449:
9422:
9349:
9303:
9283:
8925:
8863:
6691:
6616:
6560:
6504:
6472:
6444:
6368:
5936:
5872:
5827:
5649:
5622:
5551:
5522:
5502:
5461:
5289:
5170:
5150:
5123:
5097:
5064:
5040:
4812:
4778:
4554:
4450:
4420:
4392:
4364:
4337:
4310:
4290:
4270:
3498:
3469:
3449:
3420:
3301:
3267:
2944:
2897:
2877:
2857:
2798:
2772:
2746:
2206:
denotes the collection of all probability measures on
1356:
385:
is the cost of transporting one shipment of iron from
9153:
9020:
8648:
8355:
8324:
8297:
8277:
8257:
8227:
8207:
8112:
8082:
7989:
7932:
7912:
7906:. Then the Kantorovich problem has a unique solution
7836:
7764:
7718:
7667:
7629:
7594:
7574:
7547:
7497:
7452:
7432:
7412:
7372:
7345:
7127:
6919:
6714:
6678:{\textstyle c(x,y)=\left\vert y-Ax\right\vert ^{2}/2}
6178:
6007:
5859:{\textstyle \gamma \in \Gamma \left(\mu ,\nu \right)}
5691:
5213:
4938:
4839:
4686:
4602:
4586:{\textstyle \gamma \in \Gamma \left(\mu ,\nu \right)}
4476:
4048:
4019:
3955:
3931:
3878:
3851:
3830:{\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )}
3797:
3741:
3687:
3663:
3641:
3595:
3563:
3335:
3107:
2991:
2766:
stand for the vector of characteristics of a worker,
2670:
2633:
2599:
2469:
2423:
2400:
2380:
2341:
2321:
2301:
2281:
2261:
2241:
2212:
2177:
2050:
2021:
2001:
1978:
1954:
1912:
1892:
1861:
1841:
1821:
1781:
1654:
1616:
1596:
1576:
1556:
1536:
1482:
1454:
1434:
1403:
1383:
1361:
1310:
1283:
1231:
1204:
1168:
1122:
1102:
1075:
1039:
993:
973:
927:
864:
830:
774:
750:
727:
699:
659:
639:
561:
535:
496:
470:
438:
411:
391:
356:
288:
256:
233:
213:
187:
167:
9962:(4th ed.). John Wiley & Sons. p. 221.
9687:, which simply consists of iteratively looking for
4358:be the probability masses respectively assigned to
4260:
Discrete version and linear programming formulation
2460:The minimum of the Kantorovich problem is equal to
10400:
9739:
9706:
9671:
9588:
9522:
9492:
9462:
9435:
9408:
9335:
9289:
9266:
9133:
9000:
8911:
8846:
8639:One can show that the dual regularized problem is
8628:
8330:
8306:
8283:
8263:
8239:
8213:
8190:
8088:
8065:
7972:
7918:
7898:
7822:
7750:
7704:
7650:
7615:
7580:
7553:
7529:
7483:
7438:
7418:
7398:
7351:
7320:
7110:
6902:
6697:
6677:
6602:
6546:
6478:
6458:
6430:
6347:
6164:
5993:
5922:
5858:
5813:
5677:
5635:
5608:
5537:
5508:
5488:
5436:
5196:
5156:
5136:
5109:
5083:
5046:
5023:
4924:
4818:
4794:
4753:
4666:
4585:
4537:
4459:
4436:
4406:
4378:
4350:
4323:
4296:
4276:
4243:
4025:
4005:
3937:
3917:
3857:
3829:
3783:
3727:
3669:
3649:
3623:
3581:
3504:
3484:
3455:
3435:
3406:
3321:
3287:
3253:
3089:
2977:
2930:
2883:
2863:
2843:
2784:
2758:
2724:
2653:
2620:{\displaystyle \varphi :X\rightarrow \mathbb {R} }
2619:
2571:
2436:
2406:
2386:
2362:
2327:
2307:
2287:
2267:
2247:
2224:
2198:
2160:
2033:
2007:
1984:
1960:
1940:
1898:
1867:
1847:
1827:
1803:
1764:
1634:
1602:
1582:
1562:
1542:
1518:
1460:
1440:
1409:
1389:
1323:
1296:
1269:
1217:
1190:
1154:
1108:
1088:
1061:
1025:
979:
939:
913:
842:
816:
756:
733:
705:
665:
645:
633:is the least of all possible transport plans from
622:
541:
517:
482:
456:
417:
397:
377:
342:
271:
239:
219:
193:
173:
7705:{\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}_{p}^{r}(X)}
7406:denote the collection of probability measures on
5424:
5411:
3918:{\displaystyle F_{\mu }:\mathbb {R} \rightarrow }
2792:for the vector of characteristics of a firm, and
685:Moving books: the importance of the cost function
10435:
9957:
9523:{\textstyle \left\vert \mathbf {Y} \right\vert }
9493:{\textstyle \left\vert \mathbf {X} \right\vert }
8912:{\textstyle \varphi _{x}+\psi _{y}-c_{xy}\geq 0}
8650:
7899:{\displaystyle p\in (1,\infty ),p^{-1}+q^{-1}=1}
6220:
6180:
6008:
5692:
4050:
3624:{\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}(\mathbb {R} )}
3352:
3108:
2992:
2725:{\displaystyle \varphi (x)+\psi (y)\leq c(x,y).}
2470:
2051:
1655:
10092:
10090:
10088:
2654:{\displaystyle \psi :Y\rightarrow \mathbb {R} }
10114:Mass Transportation Problems: Volume I: Theory
10112:Rachev, Svetlozar T., and Ludger RĂĽschendorf.
9932:
854:optimal. If, on the other hand, we choose the
9960:Engineering Optimization: Theory and Practice
9679:. The existence of such matrices generalizes
7751:{\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}_{p}(X)}
7530:{\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}_{p}(X)}
623:{\displaystyle c(T):=\sum _{m\in M}c(m,T(m))}
10127:Optimal Transport for Applied Mathematicians
10085:
9753:. Sinkhorn–Knopp's algorithm is therefore a
2851:for the economic output generated by worker
902:
889:
811:
799:
10249:
10138:
9757:algorithm on the dual regularized problem.
9683:and the matrices can be computed using the
8271:-concave and maximal Kantorovich potential
7334:
181:mines mining iron ore, and a collection of
103:. The problem was formalized by the French
9926:
9913:
9881:, Berlin; New York : Springer, 2003.
8341:
3515:
2985:, the Monge–Kantorovich problem rewrites:
2735:
1728:
1722:
10380:
10307:
10210:
10068:
9951:
9937:. American Mathematical Soc. p. 66.
8172:
7484:{\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}^{r}(X)}
6192:
6172:for the dual, which can be rewritten as:
5756:
5665:
5525:
5476:
4229:
4117:
4087:
3999:
3991:
3893:
3805:
3718:
3643:
3614:
3315:
3281:
3179:
3138:
2647:
2613:
2543:
2500:
2097:
1704:
914:{\displaystyle c(x,y)=\alpha \|x-y\|^{2}}
312:
297:
259:
71:Learn how and when to remove this message
10354:
10199:International Journal of Computer Vision
6493:
3322:{\textstyle v:Y\rightarrow \mathbb {R} }
3288:{\textstyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }
134:Monge–Kantorovich transportation problem
95:is a name given to the study of optimal
10398:
10038:L. Ambrosio, N. Gigli & G. Savaré.
3521:Optimal transportation on the real line
10436:
10355:Metivier, Ludovic (24 February 2016).
10106:
10101:Optimal Transport Methods in Economics
9984:MIT Journal of Mathematics and Physics
5678:{\textstyle y_{j}\in \mathbb {R} ^{d}}
1349:is also credited with formulations of
490:supplies precisely one target factory
156:
10474:Mathematical optimization in business
7399:{\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}(X)}
5450:
817:{\displaystyle c(x,y)=\alpha \|x-y\|}
713:books of equal width on a shelf (the
161:Suppose that we have a collection of
9853:
7973:{\displaystyle r\in L^{p}(X,\mu ;X)}
954:
20:
10103:. Princeton University Press, 2016.
10048:
10032:
4830:, the constraints above rewrite as
1357:Abstract formulation of the problem
1162:for the commodity, with the demand
1155:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}
1026:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}
13:
10392:
10221:10.1023/B:VISI.0000036836.66311.97
9638:
9250:
9117:
8608:
8540:
8298:
8173:
8139:
8042:
8004:
8001:
7852:
7823:{\displaystyle c(x,y)=|x-y|^{p}/p}
7728:
7677:
7507:
7456:
7376:
7290:
7248:
7235:
7229:
7202:
7170:
7151:
7072:
7027:
7014:
7008:
6981:
6952:
6943:
6864:
6822:
6809:
6803:
6776:
6744:
6738:
6586:
6569:
6530:
6513:
5834:
5788:
5516:is a continuous distribution over
5415:
5244:
4734:
4650:
4561:
4231:
4119:
4060:
3821:
3703:
3599:
3582:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
3576:
3366:
3228:
3064:
3016:
2799:
2545:
2502:
2455:
2363:{\displaystyle \Gamma (\mu ,\nu )}
2342:
2199:{\displaystyle \Gamma (\mu ,\nu )}
2178:
2132:
2099:
1948:: this happens, for example, when
1706:
1510:
1362:Monge and Kantorovich formulations
1277:is the unit cost of shipment from
334:
14:
10485:
10361:Geophysical Journal International
9907:, Volume 1, JHU Press, 2003. Cf.
5489:{\textstyle X=Y=\mathbb {R} ^{d}}
4819:{\textstyle \operatorname {vec} }
10252:Journal of Mathematical Sciences
10004:Hitchcock Transportation Problem
9935:Topics in Optimal Transportation
9653:
9570:
9512:
9482:
9325:
9309:
9260:
9179:
9127:
9046:
8776:
8762:
8718:
8677:
8618:
8573:
8550:
8505:
8392:
8378:
6452:
5384:
5355:
5331:
5308:
4983:
4954:
4884:
4861:
4744:
4699:
4660:
4615:
4503:
4489:
4400:
4372:
3871:cumulative distribution function
3543:
3529:
1941:{\displaystyle T_{*}(\mu )=\nu }
1270:{\displaystyle a(x_{i},\ y_{j})}
850:) then these two candidates are
272:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
119:Transportation Planning Volume I
25:
10348:
10286:
10243:
10190:
10172:
10132:
10119:
9921:On the translocation of masses.
9760:
8307:{\displaystyle \nabla \varphi }
6438:, one can show that the set of
5144:is the identity matrix of size
2844:{\textstyle \Phi (x,y)=-c(x,y)}
1519:{\displaystyle c:X\times Y\to }
10009:
9996:
9976:
9901:Ivor Grattan-Guinness, Ivor,
9895:
9866:
8982:
8940:
8185:
8179:
8156:
8151:
8145:
8135:
8122:
8116:
8057:
8045:
8036:
8030:
8021:
7996:
7967:
7949:
7855:
7843:
7802:
7787:
7780:
7768:
7745:
7739:
7699:
7693:
7639:
7633:
7604:
7598:
7524:
7518:
7478:
7472:
7393:
7387:
7157:
7143:
7137:
7131:
6929:
6923:
6724:
6718:
6632:
6620:
6466:assigned to a particular site
6459:{\textstyle x\in \mathbf {X} }
6293:
6287:
6122:
6116:
6050:
6044:
6035:
6029:
5803:
5791:
5776:
5770:
5753:
5734:
5240:
5233:
5117:with all entries of ones, and
4407:{\textstyle y\in \mathbf {Y} }
4379:{\textstyle x\in \mathbf {X} }
4264:In the case where the margins
4221:
4215:
4191:
4185:
4138:
4126:
4114:
4102:
4075:
4063:
3995:
3912:
3900:
3897:
3824:
3812:
3809:
3778:
3766:
3757:
3745:
3722:
3714:
3618:
3610:
3479:
3473:
3430:
3424:
3396:
3390:
3381:
3369:
3345:
3339:
3311:
3277:
3243:
3231:
3222:
3216:
3207:
3201:
3192:
3186:
3176:
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279:. Suppose also that we have a
1:
10469:Optimization in vector spaces
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9012:
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3536:Optimal transportation matrix
2335:is lower semi-continuous and
1530:. Given probability measures
1353:and allocation of resources.
151:
117:. In 1930, in the collection
10403:Combinatorial matrix classes
10399:Brualdi, Richard A. (2006).
9778:Retrieving information from
6705:is invertible. One then has
4764:In order to input this in a
3650:{\displaystyle \mathbb {R} }
3550:Continuous optimal transport
940:{\displaystyle \alpha >0}
843:{\displaystyle \alpha >0}
464:. In other words, each mine
128:mathematician and economist
7:
9810:
6498:Assume the particular case
5455:In the semi-discrete case,
2978:{\textstyle v(y)=-\psi (y)}
1875:that attains this infimum (
1804:{\displaystyle T_{*}(\mu )}
45:. The specific problem is:
10:
10490:
10409:Cambridge University Press
10326:10.1103/PhysRevE.95.023306
10028:Princeton University Press
9878:Combinatorial Optimization
5084:{\textstyle 1_{n\times m}}
10145:SIAM Journal on Computing
10116:. Vol. 1. Springer, 1998.
10079:10.1137/S0036141002410927
9958:Singiresu S. Rao (2009).
9707:{\textstyle \varphi _{x}}
7651:{\displaystyle \mu (N)=0}
4795:{\textstyle \gamma _{xy}}
4444:be the probability of an
4437:{\textstyle \gamma _{xy}}
3631:denote the collection of
2225:{\displaystyle X\times Y}
2041:that attains the infimum
2034:{\displaystyle X\times Y}
518:{\displaystyle T(m)\in F}
9685:Sinkhorn–Knopp algorithm
8331:{\displaystyle \varphi }
8284:{\displaystyle \varphi }
7335:Separable Hilbert spaces
1635:{\displaystyle T:X\to Y}
1191:{\displaystyle b(y_{j})}
1062:{\displaystyle a(x_{i})}
744:move the left-most book
457:{\displaystyle T:M\to F}
148:transportation problem.
10449:Matching (graph theory)
10264:10.1023/A:1024856201493
10125:Santambrogio, Filippo.
10002:D. R. Fulkerson (1956)
9933:CĂ©dric Villani (2003).
9832:Transportation planning
8342:Entropic regularization
7919:{\displaystyle \kappa }
5164:. As a result, setting
4826:this operation. In the
4804:its columns or its rows
3516:Solution of the problem
2736:Economic interpretation
2586:runs over all pairs of
2008:{\displaystyle \gamma }
101:allocation of resources
10454:Mathematical economics
10444:Calculus of variations
9863:, pages 666–704, 1781.
9837:Earth mover's distance
9782:and proton radiography
9741:
9740:{\textstyle \psi _{y}}
9708:
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1033:for a commodity, with
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53:improve this article
41:to meet Knowledge's
10464:Transport economics
10373:2016GeoJI.205..345M
10318:2017PhRvE..95b3306K
10006:, RAND corporation.
9827:Hungarian algorithm
9794:The broad class of
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1528:measurable function
1426:probability measure
1368:Riemannian geometry
1351:transport economics
1069:units of supply at
157:Mines and factories
10382:10.1093/gji/ggw014
10184:10.1561/2200000073
10140:Aurenhammer, Franz
10057:SIAM J. Math. Anal
9822:Transport function
9817:Wasserstein metric
9786:Seismic tomography
9770:Image registration
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