2669:
20:
2396:
847:
1607:
1107:
2185:
1325:
2664:{\displaystyle {\begin{aligned}|F_{n}-F_{m}|&=|g_{m+1}+...+g_{n}|\\&\leq \left(\left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}+...+\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\right){\frac {c_{0}}{3}}\\&\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}c_{0}.\end{aligned}}}
617:
1405:
982:
2022:
1832:
1177:
3088:
1202:
524:
2928:
4357:
2401:
2027:
1410:
1207:
987:
622:
2256:
2720:
2297:
2017:
1400:
977:
4076:
3937:
2365:
3997:
3808:
3770:
3732:
3652:
3575:
3514:
3433:
2790:
1976:
296:
137:
3327:
1691:
3272:
3852:
4279:
4127:
3243:
209:
360:
4250:
3148:
4105:
2391:
1892:
389:
3963:
3878:
2817:
1859:
901:
874:
2974:
1633:
3698:
3598:
3537:
3460:
3295:
262:
4299:
4218:
4198:
4174:
4154:
4017:
3675:
3618:
3480:
3399:
3379:
3359:
3182:
3128:
3108:
2994:
2948:
2840:
2748:
1912:
1345:
1197:
929:
842:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=\sup\{|f(a)|:a\in A\}\\E_{0}&=\{a\in A:f(a)\geq c_{0}/3\}\\F_{0}&=\{a\in A:f(a)\leq -c_{0}/3\}.\end{aligned}}}
612:
584:
564:
544:
409:
316:
239:
184:
164:
99:
1696:
1602:{\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}.\end{aligned}}}
1112:
2999:
414:
2845:
1102:{\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}E_{0}\\g_{0}&=-{\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}F_{0}\end{aligned}}}
2180:{\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {c_{n-1}}{3}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2c_{n-1}}{3}}.\end{aligned}}}
4641:
4177:
4304:
4571:
2302:
1320:{\displaystyle {\begin{aligned}|g_{0}|&\leq {\frac {c_{0}}{3}}\\|f-g_{0}|&\leq {\frac {2c_{0}}{3}}\end{aligned}}}
267:
108:
2190:
4527:
140:
59:
4646:
4434:
4410:
2674:
2261:
1981:
1354:
941:
4022:
3883:
2258:
hence we obtain the required identities and the induction is complete. Now, we define a continuous function
4424:
4400:
4429:
4405:
3968:
3779:
3741:
3703:
3623:
3546:
3485:
3404:
2761:
1917:
3300:
1638:
3248:
4448:
4379:
3197:
3813:
4255:
4110:
3226:
192:
4373:
3657:
Another variant (in fact, generalization) of Tietze's theorem is due to H.Tong and Z. Ercan: Let
3330:
4559:
1348:
321:
4223:
3133:
4453:
4081:
3212:(which is also equivalent to the normality of the space) and is widely applicable, since all
2755:
2370:
1864:
365:
4599:
3942:
3857:
3773:
3735:
3436:
2795:
1837:
879:
852:
217:
55:
8:
4618:
Bonan, Edmond (1971), "Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet",
2953:
2819:
1612:
936:
4612:
3680:
3580:
3540:
3519:
3442:
3277:
244:
4563:
4284:
4203:
4183:
4159:
4139:
4002:
3660:
3603:
3465:
3384:
3364:
3344:
3209:
3167:
3113:
3093:
2979:
2933:
2825:
2733:
1897:
1330:
1182:
932:
914:
597:
569:
549:
529:
394:
301:
224:
212:
169:
149:
84:
4595:
4577:
4567:
4370: – Any real function on R admits a continuous restriction on a dense subset of R
70:
4508:
4491:
4503:
4470:
4462:
4367:
3157:
45:
3220:
3189:
2723:
33:
3161:
4475:
4635:
4551:
3217:
908:
144:
63:
41:
4581:
931:. By taking a linear combination of the function obtained from the proof of
4608:
3213:
3193:
3185:
2751:
2727:
102:
67:
73:
can be extended to the entire space, preserving boundedness if necessary.
4130:
187:
4466:
904:
4603:
1827:{\displaystyle c_{n-1}=\sup\{|f(a)-g_{0}(a)-...-g_{n-1}(a)|:a\in A\}}
1172:{\displaystyle -{\frac {c_{0}}{3}}\leq g_{0}\leq {\frac {c_{0}}{3}}}
16:
Continuous maps on a closed subset of a normal space can be extended
28:
4252:
is continuous, then it could be extended to a continuous function
3577:
is Hölder continuous function with constant less than or equal to
3200:
proved the theorem as stated here, for normal topological spaces.
3083:{\displaystyle |F_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }|g_{n}|\leq c_{0}}
4107:
This theorem is also valid with some additional hypothesis if
519:{\displaystyle \sup\{|f(a)|:a\in A\}~=~\sup\{|F(x)|:x\in X\},}
4451:(1925), "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen",
2923:{\displaystyle |f-F_{n}|\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}}
19:
4376: – Theorem on extension of bounded linear functionals
4352:{\displaystyle {\tilde {f}}(X)\subseteq {\text{conv}}f(A)}
1978:. Then we find that there exists a continuous function
4613:
http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
4528:"Extension and Separation of Vector Valued Functions"
4307:
4287:
4258:
4226:
4206:
4186:
4162:
4142:
4113:
4084:
4025:
4005:
3971:
3945:
3886:
3860:
3816:
3782:
3744:
3706:
3683:
3663:
3626:
3606:
3583:
3549:
3522:
3488:
3468:
3445:
3407:
3387:
3367:
3347:
3303:
3280:
3251:
3229:
3170:
3136:
3116:
3096:
3002:
2982:
2956:
2936:
2848:
2828:
2798:
2764:
2758:, it follows that there exists a continuous function
2736:
2677:
2399:
2373:
2305:
2264:
2193:
2025:
1984:
1920:
1900:
1867:
1840:
1699:
1641:
1615:
1408:
1357:
1333:
1205:
1185:
1115:
985:
944:
917:
882:
855:
620:
600:
572:
552:
532:
417:
397:
368:
324:
304:
270:
247:
227:
195:
172:
152:
111:
87:
4301:. Moreover, the extension could be chosen such that
566:
may be chosen to be bounded (with the same bound as
4136:Dugundji (1951) extends the theorem as follows: If
3482:can be extended to a Lipschitz continuous function
4620:Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I
4351:
4293:
4273:
4244:
4212:
4192:
4168:
4148:
4121:
4099:
4070:
4011:
3991:
3957:
3931:
3872:
3846:
3802:
3764:
3726:
3692:
3669:
3646:
3612:
3592:
3569:
3531:
3508:
3474:
3454:
3427:
3393:
3373:
3353:
3321:
3289:
3266:
3237:
3176:
3142:
3122:
3102:
3082:
2988:
2968:
2942:
2922:
2834:
2811:
2784:
2742:
2714:
2663:
2385:
2359:
2291:
2250:
2179:
2011:
1970:
1906:
1886:
1853:
1826:
1685:
1627:
1601:
1394:
1339:
1319:
1191:
1171:
1101:
971:
923:
895:
868:
841:
606:
578:
558:
538:
518:
403:
383:
354:
310:
290:
256:
233:
203:
178:
158:
131:
93:
4393:
3677:be a closed subset of a normal topological space
4633:
3620:can be extended to a Hölder continuous function
1719:
1351:to construct a sequence of continuous functions
642:
470:
418:
3223:are normal. It can be generalized by replacing
614:is constructed iteratively. Firstly, we define
4496:Bulletin of the American Mathematical Society
4382: – Partial converse of Taylor's theorem
2251:{\displaystyle c_{n-1}\leq 2^{n}c_{0}/3^{n}}
1821:
1722:
829:
778:
754:
706:
682:
645:
510:
473:
458:
421:
3164:proved a special case of the theorem, when
4507:
4474:
4115:
3985:
3796:
3758:
3720:
3640:
3563:
3502:
3421:
3306:
3254:
3231:
2778:
2285:
2005:
965:
284:
197:
125:
4521:
4519:
3203:
1834:and repeat the above argument replacing
18:
4550:
4489:
4447:
4178:locally convex topological vector space
4129:is replaced by a general locally solid
3965:, then there is a continuous extension
2715:{\displaystyle (F_{n})_{n=0}^{\infty }}
2292:{\displaystyle F_{n}:X\to \mathbb {R} }
2012:{\displaystyle g_{n}:X\to \mathbb {R} }
1395:{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
972:{\displaystyle g_{0}:X\to \mathbb {R} }
4634:
4071:{\displaystyle f(x)\leq H(x)\leq g(x)}
3932:{\displaystyle f(a)\leq h(a)\leq g(a)}
2360:{\displaystyle F_{n}=g_{0}+...+g_{n}.}
4617:
4525:
4516:
3110:is bounded and has the same bound as
3992:{\displaystyle H:X\to \mathbb {R} }
3803:{\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }
3765:{\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }
3727:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
3647:{\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }
3570:{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
3509:{\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }
3428:{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
2785:{\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }
1971:{\displaystyle f-g_{0}-...-g_{n-1}}
291:{\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }
132:{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
76:
13:
4490:McShane, E. J. (1 December 1934).
3042:
2707:
1387:
1199:. In particular, it follows that
14:
4658:
4589:
4492:"Extension of range of functions"
3439:function with Lipschitz constant
3322:{\displaystyle \mathbb {R} ^{J},}
1686:{\displaystyle g_{0},...,g_{n-1}}
3810:a continuous function such that
3267:{\displaystyle \mathbb {R} ^{J}}
1609:We've shown that this holds for
4509:10.1090/S0002-9904-1934-05978-0
3539:This theorem is also valid for
4642:Theory of continuous functions
4535:Turkish Journal of Mathematics
4483:
4441:
4417:
4346:
4340:
4326:
4320:
4314:
4265:
4236:
4065:
4059:
4050:
4044:
4035:
4029:
3981:
3926:
3920:
3911:
3905:
3896:
3890:
3841:
3835:
3826:
3820:
3792:
3754:
3716:
3636:
3559:
3498:
3417:
3208:This theorem is equivalent to
3063:
3048:
3019:
3004:
2871:
2850:
2774:
2692:
2678:
2491:
2445:
2433:
2405:
2281:
2131:
2085:
2046:
2031:
2001:
1805:
1801:
1795:
1761:
1755:
1739:
1733:
1726:
1693:have been constructed. Define
1533:
1487:
1429:
1414:
1372:
1358:
1280:
1259:
1226:
1211:
961:
802:
796:
730:
724:
666:
662:
656:
649:
494:
490:
484:
477:
442:
438:
432:
425:
349:
343:
334:
328:
280:
121:
1:
4386:
3847:{\displaystyle f(x)\leq g(x)}
3336:
3184:is a finite-dimensional real
2187:By the inductive hypothesis,
4274:{\displaystyle {\tilde {f}}}
4122:{\displaystyle \mathbb {R} }
3238:{\displaystyle \mathbb {R} }
2996:. Finally, we observe that
264:that is, there exists a map
204:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
4600:Tietze's Extension Theorem.
4430:Encyclopedia of Mathematics
4406:Encyclopedia of Mathematics
4361:
3541:Hölder continuous functions
2730:of continuous functions on
10:
4663:
3152:
4380:Whitney extension theorem
411:may be chosen such that
355:{\displaystyle F(a)=f(a)}
4245:{\displaystyle f:A\to Y}
3654:with the same constant.
3143:{\displaystyle \square }
2671:Therefore, the sequence
589:
4425:"Urysohn-Brouwer lemma"
4401:"Urysohn-Brouwer lemma"
4100:{\displaystyle x\in X.}
2386:{\displaystyle n\geq m}
1887:{\displaystyle c_{n-1}}
384:{\displaystyle a\in A.}
4560:Upper Saddle River, NJ
4353:
4295:
4275:
4246:
4214:
4200:is a closed subset of
4194:
4170:
4150:
4123:
4101:
4072:
4013:
3993:
3959:
3958:{\displaystyle a\in A}
3933:
3874:
3873:{\displaystyle x\in X}
3848:
3804:
3766:
3728:
3694:
3671:
3648:
3614:
3594:
3571:
3533:
3510:
3476:
3456:
3429:
3395:
3381:a non-empty subset of
3375:
3355:
3323:
3291:
3274:for some indexing set
3268:
3239:
3178:
3144:
3124:
3104:
3084:
3046:
2990:
2970:
2944:
2924:
2836:
2813:
2786:
2744:
2716:
2665:
2387:
2361:
2293:
2252:
2181:
2013:
1972:
1908:
1888:
1855:
1828:
1687:
1629:
1603:
1396:
1341:
1321:
1193:
1173:
1103:
973:
925:
897:
870:
843:
608:
580:
560:
540:
520:
405:
385:
356:
312:
292:
258:
235:
215:, then there exists a
205:
180:
160:
133:
95:
24:
4526:Zafer, Ercan (1997).
4454:Mathematische Annalen
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