11039:
Thus a skew lattice may be viewed as a coset atlas of rectangular skew lattices placed on the vertices of a lattice and coset bijections between them, the latter seen as partial isomorphisms between the rectangular algebras with each coset bijection determining a corresponding pair of cosets. This
6342:
3397:. Occurrences of commutation are thus unambiguous for such skew lattices, with subsets of pairwise commuting elements generating commutative subalgebras, i.e., sublattices. (This is not true for skew lattices in general.) Equational bases for this subvariety, first given by Spinks are:
6815:
5605:
A skew lattice is categorical if nonempty composites of coset bijections are coset bijections. Categorical skew lattices form a variety. Skew lattices in rings and normal skew lattices are examples of algebras in this variety. Let
4741:
4547:
6177:
4644:
4856:
9186:
9106:
5224:
7951:
itself is closed under multiplication, then it is a normal band and thus forms a
Boolean skew lattice. In fact, any skew Boolean algebra can be embedded into such an algebra. When A has a multiplicative identity
8574:
3543:
3276:
Skew lattices form a variety. Rectangular skew lattices, left-handed and right-handed skew lattices all form subvarieties that are central to the basic structure theory of skew lattices. Here are several more.
3469:
5006:
4932:
6720:
696:
10104:
255:
185:
6344:. All distributive skew lattices are categorical. Though symmetric skew lattices might not be. In a sense they reveal the independence between the properties of symmetry and distributivity.
11339:
11250:
2960:
4226:
4177:
3735:
2170:
11040:
perspective gives, in essence, the Hasse diagram of the skew lattice, which is easily drawn in cases of relatively small order. (See the diagrams in
Section 3 above.) Given a chain of
3085:
10249:
10196:
6066:
8267:
7654:
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3998:
3940:
11134:
1954:
8713:
8478:
8440:
440:
For over 60 years, noncommutative variations of lattices have been studied with differing motivations. For some the motivation has been an interest in the conceptual boundaries of
7874:
6863:
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3786:
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7160:
6903:
5364:
11189:
8940:
5566:
11535:
Spinks, M, Automated deduction in non-commutative lattice theory, Tech. Report 3/98, Monash
University, Gippsland School of Computing and Information Technology, June 1998
7113:
5011:
On its own, (D3) is equivalent to (D2) when symmetry is added. We thus have six subvarieties of skew lattices determined respectively by (D1), (D2), (D3) and their duals.
11074:
10422:
9945:
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8908:
7078:
5734:
3319:
1067:
1027:
704:. By varying or augmenting these identities, Jordan and others obtained a number of varieties of noncommutative lattices. Beginning with Jonathan Leech's 1989 paper,
10917:
10805:
10719:
10346:
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8816:
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7262:
7183:
6585:
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5404:
5037:
4649:
Unlike lattices, (D1) and (D'1) are not equivalent in general for skew lattices, but they are for symmetric skew lattices. The condition (D1) can be strengthened to
3186:
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2750:
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2070:
1328:
1116:
7703:
7401:
4048:
11604:
Bignall, R J and M Spinks, Propositional skew
Boolean logic, Proc. 26th International Symposium on Multiple-valued Logic, 1996, IEEE Computer Soc. Press, 43-48.
11310:
11290:
10999:
10871:
10851:
10779:
10759:
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1090:
885:
743:
4654:
4460:
11586:
Bignall, R J, A non-commutative multiple-valued logic, Proc. 21st
International Symposium on Multiple-valued Logic, 1991, IEEE Computer Soc. Press, 49-54.
6337:{\displaystyle (A\wedge b\wedge A)\cap (C\vee b\vee C)=(C\vee a\vee C)\wedge b\wedge (C\vee a\vee C)=(A\wedge c\wedge A)\vee b\vee (A\wedge c\wedge A)}
5597:
characterizes the variety of distributive, normal skew lattices, and (D3) characterizes the variety of symmetric, distributive, normal skew lattices.
4858:, if and only if it factors as the product of a distributive lattice and a rectangular skew lattice. In this latter case (D2) can be strengthened to
4554:
11627:
10593:
One constructs left-handed primitive skew lattices in dual fashion. All right handed primitive skew lattices can be constructed in this fashion.
4769:
9111:
7565:
as defined; counterexamples are easily found using multiplicative rectangular bands. These cases are closed, however, under the cubic variant of
4447:. Cancellatice skew lattices are symmetric and can be shown to form a variety. Unlike lattices, they need not be distributive, and conversely.
9019:
5155:
11357:-classes, one has a category of rectangular algebras and coset bijections between them. The simple examples in Section 3 are categorical.
11577:
Bignall, R. J., Quasiprimal
Varieties and Components of Universal Algebras, Dissertation, The Flinders University of South Australia, 1976.
8523:
6955:
of primitive algebras. Skew
Boolean algebras play an important role in the study of discriminator varieties and other generalizations in
3474:
11664:
Leech and Spinks, Skew
Boolean algebras generated from generalized Boolean algebras, Algebra Universalis 58 (2008), 287-302, 307-311.
3400:
1754:. Rectangular skew lattices are isomorphic to skew lattices having the following construction (and conversely): given nonempty sets
4937:
4863:
6669:
2112:
a lattice of rectangular subalgebras. This is the
Clifford–McLean theorem for skew lattices, first given for bands separately by
1508:
related is expressed by the dashed segment. The slanted lines reveal the natural partial order between elements of the distinct
630:
192:
122:
40:
can be used to refer to any non-commutative generalization of a lattice, since 1989 it has been used primarily as follows.
11104:, one has three sets of coset bijections: from A to B, from B to C and from A to C. In general, given coset bijections
10036:
300:
are associative and idempotent, these identities are equivalent to validating the following dual pair of statements:
11595:
Bignall, R J and J Leech, Skew
Boolean algebras and discriminator varieties, Algebra Universalis, 33(1995), 387-398.
5512:, and conversely. Thus both normal skew lattices and split skew lattices form varieties. Returning to distribution,
6865:
characterized by identities (D3), (0) and (S B). A primitive skew Boolean algebra consists of 0 and a single non-0
708:, skew lattices as defined above have been the primary objects of study. This was aided by previous results about
11514:
Laslo, G and Leech, J, Green’s relations on noncommutative lattices, Acta Sci. Math. (Szeged), 68 (2002), 501-533.
11315:
11226:
10781:
lies in such a subalgebra. The coset structures on these primitive subalgebras combine to determine the outcomes
2911:
603:. The precise identities chosen depends upon the underlying motivation, with differing choices producing distinct
11614:
4182:
4133:
3700:
2131:
3026:
6039:
8228:
7588:
7380:, especially the ones that are maximal with respect to some constraint. In fact, every multiplicative band in
5283:
3945:
3887:
11107:
10945:
are determined in general by cosets and their bijections, although in a slightly less direct manner than the
1891:
8680:
8445:
8407:
11526:
Spinks, M, Automated deduction in non-commutative lattice theory, Tech. Report 3/98, Monash U, GSCIT, 1998
7827:
6823:
6391:
3740:
2175:
2041:
1823:
778:
11194:
11139:
11029:, interesting connections arise between the two coset decompositions of J (or M) with respect to A and B.
10201:
10148:
8330:
6482:
11640:
8030:
forms a Boolean algebra. Skew lattices in rings continue to be a good source of examples and motivation.
6594:
6071:
4386:
4284:
4228:
are isomorphisms. This leads to a commuting diagram of embedding dualizing the preceding Kimura diagram.
3324:
1643:
1191:
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604:
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7287:
6529:
5251:
1719:
822:
470:
11482:
Cvetko-Vah, K, Internal decompositions of skew lattices, Communications in Algebra, 35 (2007), 243-247
9628:
9585:
2843:
2809:
2775:
11764:
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7118:
6876:
5329:
11171:
8913:
5515:
11441:
Leech, J, Magic squares, finite planes and simple quasilattices, Ars Combinatoria 77(2005), 75-96.
10109:
7083:
2694:. Many examples of skew lattices are either right- or left-handed. In the lattice of congruences,
11759:
11673:
Spinks, M, Contributions to the Theory of Pre-BCK Algebras, Monash University Dissertation, 2002.
11047:
10398:
9918:
8374:
8272:
7708:
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2429:
2397:
2219:
556:
449:
371:
337:
9484:. Thus each coset bijection is, in some sense, a maximal collection of mutually parallel pairs
8581:
5062:
3124:
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10948:
10876:
9226:
9194:
8893:
7051:
5719:
5386:, and conversely. (Thus normal skew lattices have also been called local lattices.) When both
3292:
1052:
1012:
10896:
10784:
10698:
8801:
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3171:
2755:
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566:
560:
546:
508:
283:
72:
11626:
Bignall, R J and M Spinks, On binary discriminator varieties (I): Implicative BCS-algebras,
10644:
10424:
are the coset bijections. This is illustrated in the following partial Hasse diagram where
10008:
9982:
9487:
9284:
9258:
8867:
8841:
8616:
8165:
8139:
8085:
7484:
6810:{\displaystyle (x\wedge y\wedge x)\vee x\setminus y=x=x\setminus y\vee (x\wedge y\wedge x).}
5693:
5667:
5641:
1411:
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to give the dual rectangular band. By replacing the condition of regularity by normality
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10254:
7685:
7383:
4030:
3121:) was first given for regular bands (bands that satisfy the middle absorption identity,
11295:
11275:
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870:
728:
709:
457:
445:
11695:
Cvetko-Vah, K, Skew lattices in matrix rings, Algebra Universalis 53 (2005), 471-479.
9533:
factors as the fibred product of its maximal left and right- handed primitive images
7021:
6956:
6952:
4736:{\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge w=(x\wedge y\wedge w)\vee (x\wedge z\wedge w)}
4542:{\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge x=(x\wedge y\wedge x)\vee (x\wedge z\wedge x)}
53:
11730:
Cvetko-Vah, K, Skew lattices in rings, Dissertation, University of Ljubljana, 2005.
553:
67:
17:
11349:
is categorical. In this case, by including the identity maps on each rectangular
7423:
and so forms a right-handed skew lattice. In general, every right regular band in
11740:
11718:
11705:
11565:
11548:
11497:
11467:
11454:
11429:
33:
29:
6479:
A Boolean skew lattice is a symmetric, distributive normal skew lattice with 0,
11739:
Cvetko-Vah, K and J Leech, Associativity of the ∇-operation on bands in rings,
11683:
11371:
7481:. Dual remarks also hold for left regular bands (bands satisfying the identity
610:
441:
7403:
that is maximal with respect to being right regular (= ) is also closed under
4639:{\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee x=(x\vee y\vee x)\wedge (x\vee z\vee x).}
11753:
6869:-class. Thus it is the result of adjoining a 0 to a rectangular skew lattice
4851:{\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee w=(x\vee y\vee w)\wedge (x\vee z\vee w)}
1435:
746:
614:
7322:
is a distributive, cancellative skew lattice. To find such skew lattices in
9181:{\displaystyle a\wedge b=\varphi (a)\wedge b,b\wedge a=b\wedge \varphi (a)}
9582:. Right-handed primitive skew lattices are constructed as follows. Let
7206:
60:
11652:
Leech, J, Skew Boolean algebras, Algebra Universalis, 27(1990), 497-506.
8042:-classes are called primitive skew lattices. Given such a skew lattice
11560:
Cvetko-Vah, Karin ; Kinyon, M. ; Leech, J. ; Spinks, M.
11412:
Jordan, P. Uber Nichtkommutative Verbände, Arch. Math. 2 (1949), 56–59.
9101:{\displaystyle a\vee b=a\vee \varphi -1(b),b\vee a=\varphi -1(b)\vee a}
7025:
6664:
In the presence of (D3) and (0), \ is characterized by the identities:
5219:{\displaystyle x\wedge y\wedge z\wedge x=x\wedge z\wedge y\wedge x.(N)}
550:
453:
64:
11403:
Leech, J, Skew lattices in rings, Algebra Universalis, 26(1989), 48-72
11366:
10621:
is covered by its maximal primitive skew lattices: given comparable
3788:
admit a lattice section. Symmetric or not, having a lattice section
3107:
into a fibred product of its maximal right- and left-handed images.
11312:.) This inclusion can be strict. It is always an equality (given
8569:{\displaystyle \varphi :B\vee a\vee B\rightarrow A\wedge b\wedge A}
5150:, are called normal. A skew lattice is normal skew if it satisfies
3538:{\displaystyle x\wedge y\wedge (x\vee y)=(y\vee x)\wedge y\wedge x}
864:
11353:-class and adjoining empty bijections between properly comparable
10586:
1996:, as indicated in the above diagrams, is the unique partition of
712:. This was especially the case for many of the basic properties.
4231:
3110:
11032:
3464:{\displaystyle x\vee y\vee (x\wedge y)=(y\wedge x)\vee y\vee x}
3117:
Like the Clifford–McLean theorem, Kimura factorization (or the
11428:
Leech, J, Recent developments in the theory of skew lattices,
2606:-class. Again the maximal left-handed image of a skew lattice
2124:
Right (left) handed skew lattices and the Kimura factorization
11191:
could be empty. If it is not, then a unique coset bijection
5001:{\displaystyle (y\vee z)\wedge w=(y\wedge w)\vee (z\wedge w)}
4927:{\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}
4455:
Distributive skew lattices are determined by the identities:
3737:
being an isomorphism. All symmetric skew lattices for which
2128:
A skew lattice is right-handed if it satisfies the identity
1441:
11615:
Implicative BCS-algebra subreducts of skew Boolean algebras
6715:{\displaystyle y\wedge x\setminus y=0=x\setminus y\wedge y}
117:, that validate the following dual pair of absorption laws
10965:-comparable case. In particular, given two incomparable
444:; for others it was a search for noncommutative forms of
11617:, Scientiae Mathematicae Japonicae, 58 (2003), 629-638.
11547:
Spinks, M, On middle distributivity for skew lattices,
10596:
8001:
is multiplicatively closed is well known to imply that
1640:. They are characterized by the equivalent identities:
8480:. Cosets are always rectangular subalgebras in their
691:{\displaystyle x\wedge (y\vee x)=x=(x\wedge y)\vee x.}
11318:
11298:
11278:
11258:
11229:
11197:
11174:
11142:
11110:
11082:
11050:
11007:
10987:
10951:
10925:
10899:
10879:
10859:
10839:
10813:
10787:
10767:
10747:
10727:
10701:
10673:
10647:
10627:
10607:
10569:
10549:
10529:
10496:
10430:
10401:
10381:
10354:
10329:
10309:
10282:
10257:
10204:
10151:
10112:
10039:
10011:
9985:
9953:
9921:
9901:
9881:
9854:
9827:
9794:
9768:
9741:
9714:
9694:
9674:
9631:
9588:
9539:
9519:
9490:
9445:
9425:
9405:
9379:
9359:
9339:
9313:
9287:
9261:
9229:
9197:
9114:
9022:
9000:
8968:
8948:
8916:
8896:
8870:
8844:
8824:
8804:
8784:
8764:
8744:
8724:
8683:
8645:
8619:
8584:
8526:
8506:
8486:
8448:
8410:
8377:
8333:
8298:
8275:
8231:
8196:
8168:
8142:
8114:
8088:
8068:
8048:
8007:
7978:
7958:
7928:
7882:
7830:
7810:
7781:
7761:
7711:
7688:
7662:
7591:
7571:
7551:
7522:
7487:
7458:
7429:
7409:
7386:
7357:
7328:
7290:
7270:
7250:
7215:
7191:
7171:
7121:
7086:
7054:
7034:
6997:
6973:
6937:
6911:
6879:
6826:
6728:
6672:
6635:
6629:
where the latter is evaluated in the Boolean lattice
6597:
6564:
6532:
6485:
6438:
6394:
6366:
6180:
6160:
6140:
6120:
6100:
6074:
6042:
6022:
6002:
5982:
5962:
5942:
5922:
5902:
5882:
5862:
5842:
5822:
5802:
5782:
5762:
5742:
5722:
5696:
5670:
5644:
5612:
5574:
5518:
5498:
5478:
5452:
5432:
5412:
5392:
5372:
5332:
5286:
5254:
5234:
5158:
5112:
5065:
5045:
5025:
4940:
4866:
4772:
4752:
4746:
in which case (D'1) is a consequence. A skew lattice
4657:
4557:
4463:
4427:
4389:
4351:
4325:
4287:
4249:
4185:
4136:
4116:
4096:
4076:
4056:
4033:
4006:
3948:
3890:
3862:
3834:
3814:
3794:
3743:
3703:
3675:
3655:
3635:
3615:
3595:
3575:
3555:
3477:
3403:
3365:
3327:
3295:
3254:
3234:
3214:
3194:
3174:
3127:
3093:
3029:
2968:
2914:
2880:
2846:
2812:
2778:
2758:
2732:
2700:
2680:
2660:
2632:
2612:
2592:
2560:
2528:
2496:
2464:
2432:
2400:
2374:
2354:
2326:
2306:
2286:
2254:
2222:
2178:
2134:
2098:
2078:
2050:
2022:
2002:
1982:
1962:
1894:
1826:
1800:
1780:
1760:
1722:
1684:
1646:
1622:
1594:
1574:
1554:
1534:
1514:
1494:
1474:
1454:
1414:
1388:
1362:
1336:
1308:
1270:
1232:
1194:
1156:
1124:
1098:
1078:
1055:
1035:
1015:
995:
957:
919:
893:
873:
825:
781:
755:
731:
633:
589:
569:
531:
511:
473:
406:
374:
340:
308:
286:
266:
250:{\displaystyle x\vee (x\wedge y)=x=(y\wedge x)\vee x}
195:
180:{\displaystyle x\wedge (x\vee y)=x=(y\vee x)\wedge x}
125:
95:
75:
11684:
Axiomatizing the skew Boolean propositional calculus
7545:. Maximal regular bands need not to be closed under
2016:
into its maximal rectangular subalgebras, Moreover,
11333:
11304:
11284:
11264:
11244:
11215:
11183:
11160:
11128:
11096:
11068:
11021:
10993:
10957:
10937:
10911:
10885:
10865:
10845:
10825:
10799:
10773:
10753:
10733:
10713:
10687:
10659:
10633:
10613:
10575:
10555:
10535:
10515:
10482:
10416:
10387:
10367:
10340:
10315:
10295:
10268:
10243:
10190:
10135:
10098:
10023:
9997:
9971:
9939:
9907:
9887:
9867:
9840:
9813:
9780:
9754:
9727:
9700:
9680:
9660:
9617:
9574:
9525:
9502:
9476:
9431:
9411:
9391:
9365:
9345:
9325:
9299:
9273:
9247:
9215:
9180:
9100:
9006:
8986:
8954:
8934:
8902:
8882:
8856:
8830:
8810:
8790:
8770:
8750:
8730:
8707:
8669:
8631:
8605:
8568:
8512:
8492:
8472:
8434:
8386:
8363:
8319:
8284:
8261:
8217:
8180:
8154:
8128:
8100:
8074:
8054:
8022:
7993:
7964:
7943:
7914:
7868:
7816:
7796:
7767:
7747:
7697:
7674:
7648:
7577:
7557:
7537:
7508:
7473:
7444:
7415:
7395:
7372:
7343:
7314:
7276:
7256:
7236:
7197:
7177:
7154:
7107:
7072:
7040:
7012:
6979:
6943:
6923:
6897:
6857:
6809:
6714:
6656:
6621:
6579:
6550:
6518:
6468:
6424:
6381:
6336:
6166:
6146:
6126:
6106:
6086:
6060:
6028:
6008:
5988:
5968:
5948:
5928:
5908:
5888:
5868:
5848:
5828:
5808:
5788:
5768:
5748:
5728:
5708:
5682:
5656:
5630:
5589:
5560:
5504:
5484:
5464:
5438:
5418:
5398:
5378:
5358:
5318:
5272:
5240:
5218:
5142:
5098:
5051:
5031:
5000:
4926:
4850:
4758:
4735:
4638:
4541:
4439:
4413:
4375:
4337:
4311:
4273:
4220:
4171:
4122:
4102:
4082:
4062:
4042:
4019:
3992:
3934:
3876:
3848:
3820:
3800:
3780:
3729:
3689:
3661:
3641:
3621:
3601:
3581:
3561:
3537:
3463:
3389:
3351:
3313:
3260:
3240:
3220:
3200:
3180:
3160:
3099:
3079:
3015:
2954:
2900:
2866:
2832:
2798:
2764:
2744:
2718:
2686:
2666:
2646:
2618:
2598:
2578:
2546:
2514:
2482:
2450:
2418:
2386:
2360:
2340:
2312:
2292:
2272:
2240:
2208:
2164:
2104:
2084:
2064:
2028:
2008:
1988:
1968:
1948:
1880:
1812:
1786:
1766:
1746:
1708:
1670:
1628:
1600:
1580:
1560:
1540:
1520:
1500:
1480:
1460:
1426:
1400:
1374:
1348:
1322:
1294:
1256:
1218:
1180:
1142:
1110:
1084:
1061:
1041:
1021:
1001:
981:
943:
905:
879:
855:
811:
767:
737:
690:
595:
575:
537:
517:
497:
424:
392:
358:
326:
292:
272:
249:
179:
101:
81:
2118:the first decomposition theorem for skew lattices
700:He referred to those algebras satisfying them as
11751:
11628:International Journal of Algebra and Computation
10099:{\displaystyle a\vee b=a,b\vee a=a',a\wedge b=b}
6820:One thus has a variety of skew Boolean algebras
6591:, a difference operator \ is defined by x \ y =
3271:
1069:in the noncommutative case. The induced natural
11496:Cvetko-Vah, K, A new proof of Spinks’ Theorem,
3208:are regular band operations. The above symbols
6036:is categorical if one always has the equality
3268:come, of course, from basic semigroup theory.
3119:second decomposition theorem for skew lattices
2522:). Likewise a skew lattice is left-handed if
1448:E.g., in the diagram on the left above, that
1438:of skew lattices such as the following pair:
452:; and for others it has been the behavior of
11704:Cvetko-Vah, K, Pure skew lattices in rings,
11334:{\displaystyle \psi \varphi \neq \emptyset }
11245:{\displaystyle \psi \varphi \subseteq \chi }
6068:, i.e. , if the composite partial bijection
5228:For each element a in a normal skew lattice
2955:{\displaystyle k:S\rightarrow S/L\times S/R}
721:Natural partial order and natural quasiorder
11272:is a bijection between a pair of cosets in
8500:-classes. What is more, the partial order
7755:, every maximal normal multiplicative band
6951:otherwise. Every skew Boolean algebra is a
4221:{\displaystyle T\subseteq S\rightarrow S/R}
4172:{\displaystyle T\subseteq S\rightarrow S/L}
3730:{\displaystyle T\subseteq S\rightarrow S/D}
2216:. These identities essentially assert that
2165:{\displaystyle x\wedge y\wedge x=y\wedge x}
11686:, J. Automated Reasoning, 37 (2006), 3-20.
8033:
5106:. Bands satisfying the stronger identity,
3080:{\displaystyle k*:S\sim S/L\times _{T}S/R}
2806:factors through both induced epimorphisms
11453:Leech, J, The geometry of skew lattices,
8910:be the cost bijection between the cosets
7452:generates a right-handed skew lattice in
6962:
6848:
6061:{\displaystyle \psi \circ \varphi =\chi }
11168:, the composition of partial bijections
10721:forms a maximal primitive subalgebra of
9668:be partitions of disjoint nonempty sets
8718:Collectively, coset bijections describe
8262:{\displaystyle u\wedge b\wedge u:u\in A}
8038:Skew lattices consisting of exactly two
7649:{\displaystyle x\nabla y=x+y+yx-xyx-yxy}
6347:
6094:if nonempty is a coset bijection from a
5319:{\displaystyle a\wedge x\wedge a|x\in S}
3993:{\displaystyle T=\bigcup _{t\in T}L_{t}}
3935:{\displaystyle T=\bigcup _{t\in T}R_{t}}
3669:is thus an internal copy of the lattice
2320:has a unique maximal right-handed image
435:
11660:
11658:
11543:
11541:
11522:
11520:
11492:
11490:
11488:
11129:{\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}
8404:. These cosets partition B and A with
1949:{\displaystyle (x,y)\wedge (z,w)=(x,w)}
11752:
11510:
11508:
11506:
11478:
11476:
11449:
11447:
11424:
11422:
11420:
11418:
11399:
11397:
11395:
11393:
11391:
11389:
11387:
8708:{\displaystyle y\in A\wedge b\wedge A}
8473:{\displaystyle a\in B\wedge a\wedge B}
8435:{\displaystyle b\in A\wedge b\wedge A}
3087:. This is the Kimura factorization of
11724:
11711:
11689:
11639:Cornish, W H, Boolean skew algebras,
7922:, forms a Boolean skew lattice. When
7869:{\displaystyle (S;\wedge ,\vee ,/,0)}
6858:{\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,\,0)}
6425:{\displaystyle 0\wedge x=0=x\wedge 0}
5446:splits isomorphically into a product
3781:{\displaystyle |S/D|\leq \aleph _{0}}
2209:{\displaystyle x\vee y\vee x=x\vee y}
1881:{\displaystyle (x,y)\vee (z,w)=(z,y)}
1616:Skew lattices consisting of a single
812:{\displaystyle x\wedge y=y=y\wedge x}
625:, choosing the absorption identities
11733:
11698:
11676:
11667:
11655:
11646:
11633:
11620:
11607:
11598:
11589:
11580:
11571:
11554:
11538:
11517:
11485:
11216:{\displaystyle \chi :A\rightarrow C}
11161:{\displaystyle \psi :B\rightarrow C}
10597:The coset structure of skew lattices
10244:{\displaystyle \varphi _{i,j}(a)=b'}
10191:{\displaystyle \varphi _{i,j}(a')=b}
9762:share a common size. For each pair
8818:for pairs of elements from distinct
8364:{\displaystyle v\vee a\vee v:v\in B}
6519:{\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,0),}
11503:
11473:
11460:
11444:
11435:
11415:
11406:
11384:
6622:{\displaystyle x-x\wedge y\wedge x}
6087:{\displaystyle \psi \circ \varphi }
4414:{\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}
4312:{\displaystyle x\wedge y=x\wedge z}
3352:{\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}
2072:being the maximal lattice image of
1976:-class partition of a skew lattice
1671:{\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}
1219:{\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}
1181:{\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}
1143:{\displaystyle x\preceq y\preceq x}
944:{\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}
715:
13:
11328:
11031:
10585:
8670:{\displaystyle x\in B\vee a\vee B}
8218:{\displaystyle A\wedge b\wedge A=}
7811:
7666:
7595:
6657:{\displaystyle x\wedge S\wedge x.}
6469:{\displaystyle 0\vee x=x=x\vee 0.}
4766:satisfies both (D2) and its dual,
4243:A skew lattice is cancellative if
4230:
3769:
3109:
3016:{\displaystyle k(x)=(L_{x},R_{x})}
2759:
1440:
14:
11776:
10483:{\displaystyle |A_{i}|=|B_{j}|=2}
9575:{\displaystyle S/R\times _{2}S/L}
8987:{\displaystyle A\wedge b\wedge A}
7315:{\displaystyle (S,\wedge ,\vee )}
6883:
6774:
6756:
6700:
6682:
6551:{\displaystyle a\wedge S\wedge a}
6352:A zero element in a skew lattice
5273:{\displaystyle a\wedge S\wedge a}
2092:, thus making every skew lattice
1747:{\displaystyle x\vee y=y\wedge x}
856:{\displaystyle x\vee y=x=y\vee x}
498:{\displaystyle (S;\wedge ,\vee )}
11466:Leech, J, Normal skew lattices,
9661:{\displaystyle B=\cup _{j}B_{j}}
9618:{\displaystyle A=\cup _{i}A_{i}}
2867:{\displaystyle S\rightarrow S/R}
2833:{\displaystyle S\rightarrow S/L}
2799:{\displaystyle S\rightarrow S/D}
2116:and McLean. It is also known as
11529:
7237:{\displaystyle S\subseteq E(A)}
5492:and a rectangular skew lattice
4376:{\displaystyle x\vee z=y\vee z}
4274:{\displaystyle x\vee y=x\vee z}
3390:{\displaystyle x\vee y=y\vee x}
1709:{\displaystyle y\vee x\vee y=y}
1295:{\displaystyle y\vee x\vee y=y}
1257:{\displaystyle x\vee y\vee x=x}
982:{\displaystyle x\vee y\vee x=x}
11207:
11152:
11120:
10601:A nonrectangular skew lattice
10516:{\displaystyle \varphi _{i,j}}
10470:
10455:
10447:
10432:
10227:
10221:
10179:
10168:
9814:{\displaystyle \varphi _{i},j}
9477:{\displaystyle a>b//c>d}
9175:
9169:
9136:
9130:
9089:
9083:
9056:
9050:
8594:
8588:
8548:
8320:{\displaystyle B\vee a\vee B=}
8017:
8011:
7988:
7982:
7938:
7932:
7863:
7831:
7791:
7785:
7742:
7712:
7532:
7526:
7468:
7462:
7439:
7433:
7390:
7387:
7367:
7361:
7338:
7332:
7309:
7291:
7231:
7225:
7155:{\displaystyle x\vee y=x+y-xy}
7007:
7001:
6898:{\displaystyle x\setminus y=x}
6852:
6827:
6801:
6783:
6747:
6729:
6558:is a Boolean lattice for each
6510:
6486:
6331:
6313:
6301:
6283:
6277:
6259:
6247:
6229:
6223:
6205:
6199:
6181:
5584:
5575:
5555:
5549:
5543:
5534:
5528:
5519:
5359:{\displaystyle x\in S|x\leq a}
5343:
5303:
5213:
5207:
4995:
4983:
4977:
4965:
4953:
4941:
4921:
4909:
4903:
4891:
4885:
4873:
4845:
4827:
4821:
4803:
4791:
4779:
4730:
4712:
4706:
4688:
4676:
4664:
4630:
4612:
4606:
4588:
4576:
4564:
4536:
4518:
4512:
4494:
4482:
4470:
4204:
4195:
4189:
4155:
4146:
4140:
3958:
3952:
3900:
3894:
3761:
3745:
3713:
3520:
3508:
3502:
3490:
3446:
3434:
3428:
3416:
3010:
2984:
2978:
2972:
2924:
2850:
2816:
2782:
2674:is defined in dual fashion to
1943:
1931:
1925:
1913:
1907:
1895:
1875:
1863:
1857:
1845:
1839:
1827:
1302:. The blocks of the partition
676:
664:
652:
640:
623:Über Nichtkommutative Verbände
492:
474:
238:
226:
214:
202:
168:
156:
144:
132:
1:
11717:Cvetko-Vah, K, Pure ∇-bands,
11562:Cancellation in skew Lattices
11377:
11184:{\displaystyle \psi \varphi }
9513:Every primitive skew lattice
8935:{\displaystyle B\vee a\vee B}
5561:{\displaystyle (D2)=(D1)+(N)}
3272:Subvarieties of skew lattices
43:
10490:and the arrows indicate the
10136:{\displaystyle b\wedge a=b'}
7108:{\displaystyle x\wedge y=xy}
5936:be the coset bijection from
5836:be the coset bijection from
5736:be the coset bijection from
3828:also has internal copies of
613:, motivated by questions in
464:, generally speaking, is an
7:
11641:Acta Math. Acad. Sci. Hung.
11613:Bignall, R J and M Spinks,
11360:
11069:{\displaystyle A>B>C}
10969:-classes A and B with join
10417:{\displaystyle \varphi i,j}
9940:{\displaystyle x\wedge y=y}
8387:{\displaystyle \subseteq A}
8285:{\displaystyle \subseteq B}
7748:{\displaystyle (xyzw=xzyw)}
5631:{\displaystyle a>b>c}
2752:is the identity congruence
2547:{\displaystyle x\wedge y=x}
2451:{\displaystyle y\wedge x=y}
2419:{\displaystyle x\wedge y=x}
2300:-class. Every skew lattice
2241:{\displaystyle x\wedge y=y}
393:{\displaystyle x\wedge y=x}
359:{\displaystyle x\wedge y=y}
10:
11781:
11341:) on a given skew lattice
8606:{\displaystyle \phi (x)=y}
8520:induces a coset bijection
8396:are called, respectively,
5099:{\displaystyle xyxzx=xyzx}
4451:Distributive skew lattices
4239:Cancellative skew lattices
3161:{\displaystyle xyxzx=xyzx}
2772:. The induced epimorphism
1434:. This permits us to draw
906:{\displaystyle y\preceq x}
10938:{\displaystyle x\wedge y}
10826:{\displaystyle x\wedge y}
9972:{\displaystyle x\vee y=x}
8838:-classes. Indeed, given
7915:{\displaystyle x/y=x-xyx}
7675:{\displaystyle x\nabla y}
5601:Categorical skew lattices
5465:{\displaystyle T\times D}
5143:{\displaystyle xyzx=xzyx}
3023:, induces an isomorphism
2719:{\displaystyle R\vee L=D}
2579:{\displaystyle x\vee y=y}
2515:{\displaystyle y\vee x=x}
2483:{\displaystyle x\vee y=y}
2273:{\displaystyle x\vee y=x}
1813:{\displaystyle L\times R}
1612:Rectangular Skew Lattices
425:{\displaystyle x\vee y=y}
327:{\displaystyle x\vee y=x}
11682:Spinks, M and R Veroff,
10958:{\displaystyle \preceq }
10886:{\displaystyle \preceq }
9248:{\displaystyle b,d\in B}
9216:{\displaystyle a,c\in A}
8903:{\displaystyle \varphi }
7073:{\displaystyle x,y\in A}
6587:Given such skew lattice
5729:{\displaystyle \varphi }
3314:{\displaystyle x,y\in S}
3289:is symmetric if for any
1062:{\displaystyle \preceq }
1022:{\displaystyle \preceq }
10912:{\displaystyle x\vee y}
10800:{\displaystyle x\vee y}
10714:{\displaystyle A\cup B}
9788:pick a fixed bijection
8811:{\displaystyle \wedge }
8778:. They also determine
8034:Primitive skew lattices
7817:{\displaystyle \nabla }
7257:{\displaystyle \wedge }
7178:{\displaystyle \wedge }
6580:{\displaystyle a\in S.}
6382:{\displaystyle x\in S,}
5399:{\displaystyle \wedge }
5032:{\displaystyle \wedge }
3281:Symmetric skew lattices
3181:{\displaystyle \wedge }
2765:{\displaystyle \Delta }
2745:{\displaystyle R\cap L}
1528:-classes. The elements
1330:are lattice ordered by
768:{\displaystyle y\leq x}
619:noncommutative lattices
617:, initiated a study of
576:{\displaystyle \wedge }
518:{\displaystyle \wedge }
293:{\displaystyle \wedge }
82:{\displaystyle \wedge }
11335:
11306:
11286:
11266:
11246:
11217:
11185:
11162:
11130:
11098:
11070:
11036:
11023:
10995:
10959:
10939:
10913:
10887:
10867:
10847:
10827:
10801:
10775:
10755:
10735:
10715:
10689:
10661:
10660:{\displaystyle A>B}
10635:
10615:
10590:
10577:
10557:
10537:
10517:
10484:
10418:
10389:
10369:
10348:belonging to the cell
10342:
10317:
10297:
10276:belonging to the cell
10270:
10245:
10192:
10137:
10100:
10025:
10024:{\displaystyle b\in B}
9999:
9998:{\displaystyle a\in A}
9973:
9941:
9909:
9889:
9869:
9842:
9815:
9782:
9756:
9729:
9702:
9682:
9662:
9619:
9576:
9527:
9504:
9503:{\displaystyle a>b}
9478:
9433:
9413:
9393:
9367:
9347:
9327:
9301:
9300:{\displaystyle c>d}
9275:
9274:{\displaystyle a>b}
9249:
9217:
9182:
9102:
9008:
8988:
8956:
8936:
8904:
8884:
8883:{\displaystyle b\in B}
8858:
8857:{\displaystyle a\in A}
8832:
8812:
8792:
8772:
8752:
8732:
8709:
8671:
8633:
8632:{\displaystyle x>y}
8607:
8570:
8514:
8494:
8474:
8436:
8388:
8365:
8321:
8286:
8263:
8219:
8182:
8181:{\displaystyle b\in B}
8156:
8155:{\displaystyle a\in A}
8130:
8102:
8101:{\displaystyle A>B}
8076:
8056:
8024:
7995:
7966:
7945:
7916:
7870:
7818:
7798:
7769:
7749:
7699:
7676:
7650:
7579:
7559:
7539:
7510:
7509:{\displaystyle xyx=xy}
7475:
7446:
7417:
7397:
7374:
7351:one looks at bands in
7345:
7316:
7278:
7258:
7238:
7199:
7179:
7156:
7109:
7074:
7042:
7014:
6981:
6963:Skew lattices in rings
6945:
6925:
6899:
6859:
6811:
6716:
6658:
6623:
6581:
6552:
6520:
6470:
6426:
6383:
6338:
6168:
6148:
6128:
6108:
6088:
6062:
6030:
6010:
5990:
5970:
5950:
5930:
5910:
5890:
5870:
5850:
5830:
5810:
5790:
5770:
5750:
5730:
5710:
5709:{\displaystyle c\in C}
5684:
5683:{\displaystyle b\in B}
5658:
5657:{\displaystyle a\in A}
5632:
5591:
5562:
5506:
5486:
5466:
5440:
5420:
5400:
5380:
5360:
5320:
5274:
5242:
5220:
5144:
5100:
5053:
5033:
5002:
4928:
4852:
4760:
4737:
4640:
4543:
4441:
4415:
4377:
4339:
4313:
4275:
4235:
4222:
4173:
4124:
4104:
4090:congruence classes of
4084:
4064:
4044:
4021:
3994:
3936:
3884:given respectively by
3878:
3850:
3822:
3802:
3782:
3731:
3691:
3663:
3643:
3623:
3603:
3583:
3563:
3539:
3465:
3391:
3353:
3315:
3262:
3242:
3222:
3202:
3182:
3162:
3114:
3101:
3081:
3017:
2956:
2902:
2868:
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