3388:
2976:
1278:
261:
3383:{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}
994:
2911:
3541:
2749:
4403:
1273:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}
4288:
3725:
1387:
1652:
4137:
620:
3889:
3975:
2523:
1461:
4544:. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
2339:
2207:
1739:
2755:
3394:
2592:
4304:
in 1907. Schmidt called singular values "eigenvalues" at that time. The name "singular value" was first quoted by
Smithies in 1937. In 1957, Allahverdiev proved the following characterization of the
2981:
999:
1530:
3591:
2969:
2585:
2074:
4170:
3773:
828:
3595:
1880:
1810:
887:
4315:
694:
4029:
2411:
3782:
771:
654:
th powers of the singular values. Note that each norm is defined only on a special class of operators, hence singular values can be useful in classifying different operators.
966:
745:
525:
448:
371:
75:
4019:
1289:
716:
937:
1843:
1773:
1541:
1936:
4165:
152:
179:
531:
2436:
2431:
2361:
2249:
2229:
2117:
2097:
1903:
986:
486:
419:
391:
203:
118:
98:
3896:
2258:
2126:
1395:
1667:
4414:
4024:
4565:
4488:
2906:{\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}
3536:{\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}
892:
254:
2744:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}}
1468:
3549:
2927:
2543:
2035:
3737:
792:
4398:{\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}
17:
1848:
1778:
833:
4436:
664:
4432:
4446:
2366:
778:
265:
774:
754:
4283:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}
942:
721:
491:
424:
347:
48:
3980:
3720:{\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
1382:{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).}
4560:
1647:{\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}
699:
898:
4132:{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}
1818:
1748:
4441:
1658:
1908:
615:{\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}
4507:
4144:
373:, there is a simple geometric interpretation for the singular values: Consider the image by
127:
3884:{\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
658:
157:
4408:
This formulation made it possible to extend the notion of singular values to operators in
8:
4470:
3970:{\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}
627:
35:
630:
on
Hilbert space operators studied are defined using singular values. For example, the
333:
2416:
2346:
2234:
2214:
2102:
2082:
1888:
971:
471:
404:
376:
303:
188:
103:
83:
1979:
The absolute values of all elements in the inverse matrix (A) are at most the inverse
4484:
4476:
4427:
465:
182:
43:
4510:. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3
311:
296:
4537:
4301:
748:
280:
260:
4554:
4519:
X. Zhan. Matrix
Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28
643:
458:
269:
246:
78:
4480:
2518:{\displaystyle \sigma _{i+k+\ell }(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
1456:{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}
4409:
642:
singular values, the trace norm is the sum of all singular values, and the
4528:
R. Bhatia. Matrix
Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1
2016:) = 0, then the rows of A are linearly dependent and A is not invertible.
2005:) is small, then the rows of A are "almost" linearly dependent. If it is
454:
209:
31:
4541:
4503:
121:
2334:{\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
2202:{\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
1734:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A}
398:
276:
394:
288:
1961:). It has the following properties for a non-singular matrix A:
631:
401:, and the lengths of its semi-axes are the singular values of
1283:
Matrix transpose and conjugate do not alter singular values.
777:
with the singular values lying on the diagonal. This is the
27:
Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator
306:Σ along the rotated coordinate axes and a second rotation
120:, are the square roots of the (necessarily non-negative)
1965:
The 2-norm of the inverse matrix (A) equals the inverse
534:
4318:
4173:
4147:
4032:
3983:
3899:
3785:
3740:
3598:
3552:
3397:
2979:
2930:
2758:
2595:
2546:
2439:
2419:
2369:
2349:
2261:
2237:
2217:
2129:
2105:
2085:
2038:
2019:
1911:
1891:
1851:
1821:
1781:
1751:
1670:
1544:
1471:
1398:
1292:
997:
974:
945:
901:
836:
795:
757:
724:
702:
667:
494:
474:
427:
407:
379:
350:
191:
160:
130:
106:
86:
51:
4418:, which also includes Gelfand and Kolmogorov width.
468:
can be applied to obtain unitary diagonalization of
453:The singular values are the absolute values of the
4475:. Society for Industrial and Applied Mathematics.
4397:
4282:
4159:
4131:
4013:
3969:
3883:
3767:
3729:
3719:
3585:
3535:
3382:
2963:
2905:
2743:
2579:
2517:
2425:
2405:
2355:
2333:
2243:
2223:
2201:
2111:
2091:
2068:
2027:
1930:
1897:
1874:
1837:
1804:
1767:
1733:
1646:
1524:
1455:
1381:
1272:
980:
960:
931:
881:
822:
765:
739:
710:
688:
614:
519:
480:
442:
413:
385:
365:
314:containing in its diagonal the singular values of
197:
173:
146:
112:
92:
69:
4552:
4412:. Note that there is a more general concept of
4341:
2885:
2723:
1917:
1905:is full rank, the product of singular values is
1854:
1845:is full rank, the product of singular values is
1784:
1775:is full rank, the product of singular values is
1525:{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}
1197:
1169:
1069:
1029:
861:
3586:{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
2964:{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
2580:{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
2069:{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}
1941:
4387:
4346:
3768:{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
823:{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
4364:
4352:
2900:
2888:
2738:
2726:
1221:
1214:
1093:
1086:
876:
864:
2528:
4384:
4375: is an operator of finite rank
4351:
3749:
3567:
2945:
2857:
2561:
2047:
1875:{\displaystyle {\sqrt {\det AA^{\top }}}}
1805:{\displaystyle {\sqrt {\det A^{\top }A}}}
1434:
1407:
1335:
948:
882:{\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}
804:
430:
353:
2916:
1946:The smallest singular value of a matrix
689:{\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }
259:
14:
4553:
4468:
212:, usually listed in decreasing order (
2406:{\displaystyle (m-k)\times (n-\ell )}
661:can always be decomposed in the form
295:into three simple transformations: a
208:The singular values are non-negative
4464:
4462:
893:Min-max theorem for singular values
784:
421:(the figure provides an example in
310:. Σ is a (square, in this example)
234:), …). The largest singular value
24:
2020:Inequalities about singular values
1865:
1830:
1792:
1757:
766:{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
657:In the finite-dimensional case, a
595:
570:
561:
504:
25:
4577:
4469:Demmel, James W. (January 1997).
4459:
4472:Applied Numerical Linear Algebra
961:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
759:
740:{\displaystyle \mathbf {V^{*}} }
731:
727:
704:
680:
676:
672:
669:
520:{\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}
443:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
366:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
287:, which distorts the disc to an
70:{\displaystyle T:X\rightarrow Y}
4300:This concept was introduced by
4014:{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
3850:
3730:Singular values and eigenvalues
3686:
3502:
2843:
2716:
2028:Singular values of sub-matrices
268:(SVD) of a 2-dimensional, real
4531:
4522:
4513:
4497:
4335:
4329:
4274:
4268:
4221:
4215:
4123:
4117:
4075:
4069:
3959:
3953:
3921:
3915:
3844:
3838:
3628:
3612:
3499:
3493:
3480:
3474:
3458:
3449:
3433:
3427:
3414:
3408:
3370:
3364:
3346:
3340:
3294:
3285:
3239:
3233:
3220:
3214:
3173:
3164:
3126:
3117:
3058:
3052:
3039:
3033:
2837:
2831:
2815:
2809:
2793:
2781:
2710:
2707:
2701:
2685:
2679:
2666:
2639:
2627:
2512:
2506:
2490:
2484:
2468:
2462:
2400:
2388:
2382:
2370:
2328:
2322:
2306:
2300:
2284:
2278:
2196:
2190:
2174:
2168:
2152:
2146:
1924:
1913:
1566:
1560:
1516:
1504:
1488:
1482:
1309:
1303:
1253:
1242:
1185:
1179:
1158:
1152:
1125:
1114:
1045:
1039:
1018:
1012:
920:
914:
318:, which represent the lengths
279:in blue together with the two
61:
13:
1:
4452:
124:of the self-adjoint operator
4566:Singular value decomposition
4447:Singular value decomposition
779:singular value decomposition
711:{\displaystyle \mathbf {U} }
283:. We then see the action of
266:singular value decomposition
7:
4437:Poincaré separation theorem
4421:
1942:The smallest singular value
932:{\displaystyle U:\dim(U)=i}
775:rectangular diagonal matrix
10:
4582:
4433:Cauchy interlacing theorem
4295:
1838:{\displaystyle AA^{\top }}
1768:{\displaystyle A^{\top }A}
650:th root of the sum of the
638:-norm is the sum of first
1535:Relation to eigenvalues:
1931:{\displaystyle |\det A|}
344:acts on Euclidean space
4481:10.1137/1.9781611971446
4399:
4284:
4252:
4194:
4161:
4160:{\displaystyle p>0}
4133:
4106:
4053:
4015:
3971:
3885:
3769:
3721:
3587:
3537:
3384:
3324:
3269:
3203:
3153:
3106:
3022:
2965:
2907:
2745:
2665:
2616:
2581:
2519:
2427:
2407:
2357:
2335:
2255:columns deleted. Then
2245:
2225:
2203:
2123:columns deleted. Then
2113:
2093:
2070:
1932:
1899:
1876:
1839:
1806:
1769:
1735:
1691:
1648:
1526:
1457:
1383:
1274:
982:
962:
933:
883:
824:
767:
741:
712:
690:
616:
521:
482:
444:
415:
387:
367:
337:
281:canonical unit vectors
199:
175:
148:
147:{\displaystyle T^{*}T}
114:
94:
71:
4400:
4309:th singular number:
4285:
4232:
4174:
4162:
4134:
4086:
4033:
4016:
3972:
3886:
3770:
3722:
3588:
3538:
3385:
3304:
3249:
3183:
3133:
3068:
2984:
2966:
2908:
2746:
2645:
2596:
2582:
2520:
2428:
2408:
2358:
2336:
2251:with one of its rows
2246:
2226:
2204:
2119:with one of its rows
2114:
2094:
2071:
1933:
1900:
1877:
1840:
1807:
1770:
1736:
1671:
1649:
1527:
1458:
1384:
1275:
983:
963:
934:
884:
825:
768:
742:
713:
691:
617:
522:
483:
445:
416:
388:
368:
291:. The SVD decomposes
263:
200:
176:
174:{\displaystyle T^{*}}
149:
115:
95:
72:
4316:
4171:
4145:
4030:
3981:
3897:
3783:
3738:
3596:
3550:
3395:
2977:
2928:
2756:
2593:
2544:
2437:
2417:
2367:
2347:
2259:
2235:
2215:
2127:
2103:
2083:
2036:
1909:
1889:
1849:
1819:
1779:
1749:
1668:
1542:
1469:
1396:
1290:
995:
972:
943:
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