1718:
1418:
6909:
1713:{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}}
39:
3912:
3418:
3048:
5534:
2263:
170:
This article first discusses the finite-dimensional case and its applications before considering compact operators on infinite-dimensional
Hilbert spaces. We will see that for compact operators, the proof of the main theorem uses essentially the same idea from the finite-dimensional argument.
5842:
3669:
6257:
6153:
3107:
2768:
5377:
5122:
2399:
1402:
5281:
2039:
4876:
4469:
5685:
4982:
4655:
3907:{\displaystyle {\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}}
4003:
3559:
4543:
4354:
4232:
2706:
1930:
5296:
is the spectrum without isolated eigenvalues of finite multiplicity. Sometimes we have some eigenvalues below the essential spectrum, and we would like to approximate the eigenvalues and eigenfunctions.
691:
3611:
2497:
5673:
5365:
4770:
3674:
2447:
1423:
843:
555:
1858:
308:
6038:
891:
5907:
5599:
1293:
4131:
1191:
397:
1069:
7027:
6945:
6162:
6058:
5991:
3413:{\displaystyle \beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},}
3043:{\displaystyle \beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.}
610:
5963:
1778:
1124:
5529:{\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}}
1969:
4069:
793:
7862:
5001:
2274:
1217:
996:
5160:
1748:
1298:
922:
1089:
964:
944:
761:
741:
721:
503:
483:
463:
2258:{\displaystyle \sigma _{k}^{\uparrow }=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}
6938:
7964:
6798:
5837:{\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}}
4781:
4365:
3617:
is infinite-dimensional, the above sequence of eigenvalues is necessarily infinite. We now apply the same reasoning as in the matrix case. Letting
327:. Clearly, the Rayleigh quotient of an eigenvector is its associated eigenvalue. Equivalently, the Rayleigh–Ritz quotient can be replaced by
4887:
7597:
4551:
6634:
6931:
6461:
3509:
7619:
4477:
4267:
6624:
4148:
3933:
7602:
7375:
2643:
1879:
7624:
8025:
6751:
6606:
7949:
7612:
7252:
7107:
6582:
618:
2556:
7842:
103:
7695:
7493:
7242:
6430:
3571:
2456:
75:
7690:
6999:
5619:
5311:
7032:
2407:
6474:
800:
508:
82:
4715:
233:
174:
In the case that the operator is non-Hermitian, the theorem provides an equivalent characterization of the associated
7847:
7066:
6563:
6454:
6324:
5996:
3480:
2547:
1786:
160:
122:
7665:
6833:
848:
56:
5854:
5546:
7634:
7301:
7076:
6478:
6420:
89:
7548:
7432:
7296:
7128:
3492:
60:
6344:
Fisk, Steve (2005). "A very short proof of Cauchy's interlace theorem for eigenvalues of
Hermitian matrices".
4085:
2508:
1227:
7857:
7368:
6629:
1132:
333:
71:
7483:
7153:
6912:
6685:
6619:
6447:
6252:{\displaystyle \sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }
6148:{\displaystyle \inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }
156:
7237:
7994:
7914:
7468:
7145:
6649:
1001:
7969:
7867:
7747:
7220:
7149:
6894:
6848:
6772:
6654:
5968:
3565:
7974:
7837:
7670:
7655:
7463:
7427:
7291:
7204:
7133:
6889:
6705:
6268:
8020:
8015:
7566:
7556:
7437:
7361:
7225:
7112:
6958:
6741:
6639:
6542:
6300:
7929:
7904:
7722:
7711:
7422:
7327:
6838:
6614:
5930:
563:
49:
7780:
7770:
7765:
7473:
7230:
7059:
6977:
6869:
6813:
6777:
6273:
1938:
1756:
1097:
7525:
7119:
7049:
6972:
6954:
6576:
4042:
1993:. That is, the maximum value of the Rayleigh quotient is larger than the maximum eigenvalue.
179:
96:
27:
7037:
6572:
5292:
The min-max theorem also applies to (possibly unbounded) self-adjoint operators. Recall the
5117:{\displaystyle \inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}
2394:{\displaystyle \sigma _{k}^{\uparrow }=\max _{S:\dim(S)=n-k+1}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}
16:
Variational characterization of eigenvalues of compact
Hermitian operators on Hilbert spaces
7939:
7918:
7832:
7717:
7680:
7247:
7161:
7102:
6994:
6852:
1971:
exactly as above in the
Hermitian case. Then it is easy to see that the only eigenvalue of
6439:
3495:
of such an operator (the set of eigenvalues) is a set of real numbers whose only possible
766:
8:
7742:
7478:
7283:
7273:
7156:
7071:
6818:
6756:
6470:
1397:{\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}
140:
7337:
6923:
5276:{\displaystyle \min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}
1196:
7872:
7801:
7732:
7576:
7538:
7199:
7054:
6843:
6710:
6380:
6345:
5293:
969:
7979:
7954:
7639:
7561:
6823:
6426:
6320:
3568:, as in the matrix case. (To emphasize that the sequence is decreasing, we may write
208:
1730:
904:
7984:
7685:
7533:
7488:
7412:
7342:
7189:
7179:
7081:
7042:
6828:
6746:
6715:
6695:
6680:
6675:
6670:
6405:
6372:
1074:
949:
929:
746:
726:
706:
488:
468:
448:
204:
6507:
7959:
7944:
7852:
7815:
7811:
7775:
7737:
7675:
7629:
7571:
7530:
7517:
7442:
7384:
7353:
7317:
7194:
7184:
7009:
7004:
6690:
6592:
6587:
6558:
175:
20:
6517:
7909:
7888:
7806:
7796:
7607:
7514:
7447:
7407:
7332:
7138:
6879:
6731:
6532:
6319:. GSM. Vol. 14 (2nd ed.). Providence: American Mathematical Society.
4871:{\displaystyle \exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}
4464:{\displaystyle \sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
2007:
164:
136:
6410:
6393:
4660:
This is the first part of min-max theorem for compact self-adjoint operators.
8009:
7321:
7097:
6989:
6984:
6884:
6808:
6537:
6522:
6512:
3496:
2033:). An immediate consequence of the first equality in the min-max theorem is:
4977:{\displaystyle \max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}
167:. It can be viewed as the starting point of many results of similar nature.
7727:
7581:
7522:
7268:
7123:
6874:
6527:
6497:
4650:{\displaystyle \max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}
207:. As with many other variational results on eigenvalues, one considers the
7924:
7509:
6803:
6793:
6700:
6502:
318:
7417:
7019:
6736:
6568:
6384:
6360:
5913:, and the above statement holds after replacing max-min with sup-inf.
5605:, and the above statement holds after replacing min-max with inf-sup.
3554:{\displaystyle \cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},}
7402:
7388:
6350:
3484:
6376:
3499:
is zero. It is thus convenient to list the positive eigenvalues of
38:
7989:
7934:
7171:
5916:
The proofs use the following results about self-adjoint operators:
6361:"Cauchy's Interlace Theorem for Eigenvalues of Hermitian Matrices"
4538:{\displaystyle S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}
4349:{\displaystyle \min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
3423:
where the last inequality is given by the second part of min-max.
437:, respectively. The min-max theorem is a refinement of this fact.
4227:{\displaystyle \inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}
4013:â 1. By the same dimension count argument as in the matrix case,
3998:{\displaystyle S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}}
6422:
Methods of Modern
Mathematical Physics IV: Analysis of Operators
4261:
is weakly compact. This lets us replace the infimum by minimum:
6337:
6301:
https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
2701:{\displaystyle \alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.}
1925:{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}
6299:
G. Teschl, Mathematical
Methods in Quantum Mechanics (GSM 99)
26:"Variational theorem" redirects here. Not to be confused with
6394:"Bordered Hermitian matrices and sums of the Möbius function"
1975:
is zero, while the maximum value of the
Rayleigh quotient is
3919:
A similar pair of equalities hold for negative eigenvalues.
3647:, whose positive eigenvalues are listed in decreasing order
686:{\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}
7028:
Differentiable vectorâvalued functions from
Euclidean space
6469:
3632:
dimensional subspace, we can obtain the following theorem.
1864:
155:, is a result that gives a variational characterization of
5851:
eigenvalues and hence run out of eigenvalues, then we let
5543:
eigenvalues and hence run out of eigenvalues, then we let
612:
be the corresponding unit-length orthogonal eigenvectors.
6953:
4257:) is weakly continuous. Furthermore, any bounded set in
2001:
425:), is a compact interval of the real line. The maximum
3643:
be a compact, self-adjoint operator on a
Hilbert space
3606:{\displaystyle \lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }}
2492:{\displaystyle \sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \cdots }
2453:
entry in the increasing sequence of σ's, so that
1888:
1789:
1759:
1733:
1643:
1576:
1503:
1448:
1301:
1230:
1199:
1135:
1100:
1077:
1004:
972:
952:
932:
907:
851:
803:
769:
749:
729:
709:
621:
566:
511:
491:
471:
451:
6165:
6061:
5999:
5971:
5933:
5857:
5688:
5668:{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }
5622:
5549:
5380:
5360:{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }
5314:
5163:
5004:
4890:
4784:
4718:
4554:
4480:
4368:
4270:
4151:
4088:
4045:
3936:
3672:
3574:
3512:
3110:
2771:
2646:
2459:
2410:
2277:
2042:
1941:
1882:
1421:
336:
236:
2713:
This can be proven using the min-max principle. Let
2442:{\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{k}^{\uparrow }}
63:. Unsourced material may be challenged and removed.
7965:Spectral theory of ordinary differential equations
7383:
6799:Spectral theory of ordinary differential equations
6251:
6147:
6032:
5985:
5957:
5901:
5836:
5667:
5593:
5528:
5359:
5275:
5116:
4991:was applied. Index the above by the collection of
4976:
4870:
4764:
4649:
4537:
4463:
4348:
4226:
4125:
4063:
3997:
3906:
3605:
3553:
3412:
3042:
2700:
2491:
2441:
2393:
2257:
1963:
1924:
1852:
1772:
1742:
1712:
1396:
1287:
1211:
1185:
1118:
1083:
1063:
990:
958:
938:
916:
885:
838:{\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _{k}}
837:
787:
755:
735:
715:
685:
604:
550:{\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}
549:
497:
477:
457:
391:
302:
153:Courant–Fischer–Weyl min-max principle
7863:SchröderâBernstein theorems for operator algebras
8007:
6185:
6166:
6081:
6062:
5871:
5744:
5703:
5563:
5430:
5395:
5188:
5165:
5029:
5006:
4892:
4765:{\displaystyle S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.}
4681:, whose the orthogonal complement is denoted by
4573:
4556:
4387:
4370:
4272:
4153:
3806:
3783:
3695:
3678:
3286:
3199:
3125:
2940:
2923:
2848:
2786:
2343:
2297:
2207:
2173:
2096:
2062:
1853:{\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}
1639:
1572:
1499:
1444:
966:dimensional subspace, so if we pick any list of
303:{\displaystyle R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}
6033:{\displaystyle \sigma (A)\subseteq [E,\infty )}
886:{\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}
7369:
6939:
6455:
2502:
6338:External links and citations to related work
6246:
6231:
6220:
6214:
6142:
6127:
6116:
6110:
5902:{\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}
5831:
5822:
5816:
5765:
5750:
5747:
5594:{\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}
5523:
5514:
5508:
5451:
5436:
5433:
5228:
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3327:
3321:
3240:
3234:
3166:
3160:
2969:
2963:
2877:
2871:
2815:
2809:
2385:
2376:
2365:
2359:
2249:
2240:
2229:
2223:
2118:
2112:
1698:
1683:
1669:
1663:
1558:
1543:
1529:
1523:
1317:
1302:
867:
852:
819:
804:
505:, with spectrum ordered in descending order
380:
374:
6310:
6308:
5909:(the bottom of the essential spectrum) for
5601:(the bottom of the essential spectrum) for
2021:are the square roots of the eigenvalues of
433:are the largest and smallest eigenvalue of
7376:
7362:
6946:
6932:
6462:
6448:
1727:Part 2 is a corollary of part 1, by using
373:
178:. The min-max theorem can be extended to
6418:
6409:
6349:
5979:
5815:
5507:
5287:
4815:
2574:. The Cauchy interlacing theorem states:
1288:{\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}
123:Learn how and when to remove this message
7243:No infinite-dimensional Lebesgue measure
6752:Group algebra of a locally compact group
6314:
6305:
6295:
6293:
6291:
6289:
4126:{\displaystyle (Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
4024:has positive dimension. So there exists
1865:Counterexample in the non-Hermitian case
1186:{\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}
7253:Structure theorem for Gaussian measures
615:Reverse the spectrum ordering, so that
465:be Hermitian on an inner product space
406:, the range of the continuous function
8008:
392:{\displaystyle f(x)=(Ax,x),\;\|x\|=1.}
7696:Spectral theory of normal C*-algebras
7494:Spectral theory of normal C*-algebras
7357:
7129:infinite-dimensional Gaussian measure
6927:
6443:
6391:
6358:
6286:
2002:Min-max principle for singular values
1780:is an upper bound to the right side.
7691:Spectral theory of compact operators
7000:Infinite-dimensional vector function
6419:Reed, Michael; Simon, Barry (1978).
6343:
3470:
3053:According to first part of min-max,
1064:{\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}
61:adding citations to reliable sources
32:
6398:Linear Algebra and Its Applications
6197:
6093:
4241:is compact, therefore the function
13:
7843:CohenâHewitt factorization theorem
6024:
5679:below the essential spectrum. Then
5371:below the essential spectrum. Then
4785:
4474:Because equality is achieved when
3930:be the closure of the linear span
1792:
1654:
1607:
1581:
1514:
1479:
1453:
440:
14:
8037:
7848:Extensions of symmetric operators
7067:Generalizations of the derivative
7033:Differentiation in Fréchet spaces
6365:The American Mathematical Monthly
5986:{\displaystyle E\in \mathbb {R} }
763:, then there exists unit vectors
7666:Positive operator-valued measure
6908:
6907:
6834:Topological quantum field theory
3564:where entries are repeated with
3070:On the other hand, if we define
37:
8026:Theorems in functional analysis
7950:RayleighâFaberâKrahn inequality
7302:Holomorphic functional calculus
2720:have corresponding eigenvector
1996:
1860:, the upper bound is achieved.
48:needs additional citations for
7297:Continuous functional calculus
6208:
6202:
6178:
6172:
6104:
6098:
6074:
6068:
6027:
6015:
6009:
6003:
5946:
5934:
5896:
5890:
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5582:
5501:
5469:
5254:
5239:
5095:
5080:
4958:
4943:
4849:
4834:
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4613:
4442:
4427:
4327:
4312:
4208:
4193:
4104:
4089:
3892:
3872:
3857:
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3750:
3735:
3598:
3379:
3360:
3344:
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3279:
3251:
3192:
3177:
3021:
3002:
2986:
2980:
2916:
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2826:
2434:
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2313:
2288:
2195:
2189:
2155:
2129:
2084:
2078:
2053:
1958:
1952:
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1812:
1612:
1602:
1484:
1474:
1361:
1345:
1269:
1253:
1058:
1023:
367:
352:
346:
340:
294:
282:
277:
262:
253:
247:
1:
7858:Limiting absorption principle
6630:Uniform boundedness principle
6279:
4995:-dimensional subspaces gives
2562:onto a subspace of dimension
1935:Define the Rayleigh quotient
901:Part 2 is a corollary, using
7484:Singular value decomposition
4663:Analogously, consider now a
4071:. Since it is an element of
3487:operator on a Hilbert space
605:{\textstyle v_{1},...,v_{n}}
209:Rayleigh–Ritz quotient
7:
7915:Hearing the shape of a drum
7598:Decomposition of a spectrum
6262:
5958:{\displaystyle (A-E)\geq 0}
2509:Poincaré separation theorem
1091:on at least a single line.
185:
10:
8042:
7503:Special Elements/Operators
6773:Invariant subspace problem
2506:
2503:Cauchy interlacing theorem
1753:By Poincareâs inequality,
25:
18:
7975:Superstrong approximation
7897:
7881:
7838:Banach algebra cohomology
7825:
7789:
7758:
7704:
7671:Projection-valued measure
7656:Borel functional calculus
7648:
7590:
7547:
7502:
7456:
7428:Projection-valued measure
7395:
7310:
7292:Borel functional calculus
7282:
7261:
7213:
7170:
7090:
7018:
6965:
6959:topological vector spaces
6903:
6862:
6786:
6765:
6724:
6663:
6605:
6551:
6493:
6486:
6411:10.1016/j.laa.2019.12.004
6269:Courant minimax principle
5616:be self-adjoint, and let
5308:be self-adjoint, and let
4987:where the compactness of
1773:{\textstyle \lambda _{k}}
1119:{\textstyle x\in M\cap N}
7567:Spectrum of a C*-algebra
7438:Spectrum of a C*-algebra
7226:Inverse function theorem
7113:Classical Wiener measure
6742:Spectrum of a C*-algebra
6359:Hwang, Suk-Geun (2004).
1964:{\displaystyle R_{N}(x)}
1873:be the nilpotent matrix
182:that are bounded below.
19:Not to be confused with
7995:WienerâKhinchin theorem
7930:Kuznetsov trace formula
7905:Almost Mathieu operator
7723:Banach function algebra
7712:Amenable Banach algebra
7469:GelfandâNaimark theorem
7423:Noncommutative topology
7328:Convenient vector space
6839:Noncommutative geometry
6392:Kline, Jeffery (2020).
4064:{\displaystyle \|x\|=1}
1126:. Thatâs what we need.
698:(PoincarĂ©âs inequality)
402:For Hermitian matrices
319:Euclidean inner product
163:Hermitian operators on
7970:SturmâLiouville theory
7868:ShermanâTakeda theorem
7748:TomitaâTakesaki theory
7523:Hermitian/Self-adjoint
7474:Gelfand representation
7221:CameronâMartin theorem
6978:Classical Wiener space
6895:TomitaâTakesaki theory
6870:Approximation property
6814:Calculus of variations
6253:
6149:
6034:
5987:
5959:
5927:be self-adjoint. Then
5903:
5838:
5675:be the eigenvalues of
5669:
5595:
5530:
5367:be the eigenvalues of
5361:
5288:Self-adjoint operators
5277:
5118:
4978:
4872:
4766:
4671:-dimensional subspace
4651:
4539:
4465:
4350:
4228:
4127:
4065:
3999:
3908:
3607:
3555:
3414:
3044:
2702:
2581:If the eigenvalues of
2493:
2443:
2395:
2259:
1965:
1926:
1854:
1774:
1744:
1714:
1398:
1343:
1289:
1251:
1213:
1187:
1162:
1120:
1085:
1065:
992:
960:
940:
918:
887:
839:
789:
757:
737:
717:
687:
606:
551:
499:
479:
459:
393:
304:
180:self-adjoint operators
7464:GelfandâMazur theorem
7238:FeldmanâHĂĄjek theorem
7050:Functional derivative
6973:Abstract Wiener space
6890:BanachâMazur distance
6853:Generalized functions
6254:
6150:
6052:is self-adjoint, then
6035:
5988:
5960:
5904:
5839:
5670:
5596:
5531:
5362:
5278:
5119:
4979:
4873:
4767:
4652:
4540:
4466:
4351:
4229:
4128:
4066:
4000:
3909:
3608:
3556:
3415:
3045:
2738:dimensional subspace
2703:
2557:orthogonal projection
2494:
2444:
2396:
2260:
2017:} of a square matrix
1966:
1927:
1855:
1775:
1745:
1715:
1399:
1323:
1290:
1231:
1214:
1188:
1142:
1121:
1086:
1066:
993:
961:
941:
919:
888:
840:
790:
788:{\textstyle x,y\in M}
758:
738:
718:
688:
607:
552:
500:
480:
460:
394:
305:
28:variational principle
7940:Proto-value function
7919:Dirichlet eigenvalue
7833:Abstract index group
7718:Approximate identity
7681:Rigged Hilbert space
7557:KreinâRutman theorem
7403:Involution/*-algebra
7162:Radonifying function
7103:Cylinder set measure
6995:Cylinder set measure
6635:Kakutani fixed-point
6620:Riesz representation
6163:
6059:
5997:
5969:
5931:
5855:
5686:
5620:
5547:
5378:
5312:
5161:
5002:
4888:
4782:
4716:
4552:
4478:
4366:
4268:
4149:
4086:
4079:necessarily satisfy
4043:
3934:
3670:
3572:
3510:
3108:
2769:
2644:
2457:
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2275:
2040:
1939:
1880:
1787:
1757:
1731:
1419:
1299:
1228:
1197:
1133:
1098:
1075:
1002:
998:vectors, their span
970:
950:
930:
905:
849:
801:
767:
747:
727:
707:
619:
564:
509:
489:
469:
449:
334:
234:
57:improve this article
7743:Von Neumann algebra
7479:Polar decomposition
7284:Functional calculus
7274:Covariance operator
7195:GelfandâPettis/Weak
7157:measurable function
7072:Hadamard derivative
6819:Functional calculus
6778:Mahler's conjecture
6757:Von Neumann algebra
6471:Functional analysis
6315:Lieb; Loss (2001).
5218:
5059:
4922:
4814:
4750:
4136:Therefore, for all
3896:
3836:
3774:
3602:
2555:if there exists an
2438:
2292:
2057:
1414: —
1212:{\textstyle x\in N}
701: —
149:variational theorem
141:functional analysis
7873:Unbounded operator
7802:Essential spectrum
7781:SchurâHorn theorem
7771:BauerâFike theorem
7766:AlonâBoppana bound
7759:Finite-Dimensional
7733:Nuclear C*-algebra
7577:Spectral asymmetry
7231:NashâMoser theorem
7108:Canonical Gaussian
7055:Gateaux derivative
7038:Fréchet derivative
6844:Riemann hypothesis
6543:Topological vector
6425:. Academic Press.
6274:Maxâmin inequality
6249:
6230:
6145:
6126:
6030:
5983:
5955:
5899:
5834:
5743:
5665:
5610:Theorem (Max-Min).
5591:
5526:
5429:
5357:
5302:Theorem (Min-Max).
5294:essential spectrum
5273:
5238:
5198:
5186:
5114:
5079:
5039:
5027:
4974:
4942:
4902:
4868:
4794:
4762:
4730:
4647:
4612:
4571:
4535:
4461:
4426:
4385:
4346:
4311:
4224:
4192:
4123:
4061:
3995:
3924:
3904:
3902:
3882:
3856:
3816:
3804:
3760:
3734:
3693:
3637:Theorem (Min-Max).
3603:
3588:
3551:
3491:. Recall that the
3410:
3337:
3250:
3176:
3040:
2979:
2938:
2887:
2825:
2698:
2489:
2439:
2424:
2391:
2375:
2341:
2278:
2255:
2239:
2205:
2128:
2094:
2043:
1961:
1922:
1913:
1850:
1770:
1740:
1725:
1710:
1708:
1682:
1680:
1637:
1635:
1542:
1540:
1497:
1495:
1412:
1394:
1285:
1209:
1183:
1116:
1081:
1061:
991:{\textstyle n-k+1}
988:
956:
936:
914:
899:
883:
835:
785:
753:
733:
713:
699:
683:
602:
547:
495:
475:
455:
389:
300:
8003:
8002:
7980:Transfer operator
7955:Spectral geometry
7640:Spectral abscissa
7620:Approximate point
7562:Normal eigenvalue
7351:
7350:
7248:Sazonov's theorem
7134:Projection-valued
6921:
6920:
6824:Integral operator
6601:
6600:
6432:978-0-08-057045-7
6184:
6080:
5702:
5394:
5187:
5164:
5028:
5005:
4891:
4572:
4555:
4386:
4369:
4271:
4152:
3922:
3805:
3782:
3694:
3677:
3471:Compact operators
3463:, hence the name
3285:
3198:
3124:
2939:
2922:
2847:
2785:
2342:
2296:
2206:
2172:
2166:
2095:
2061:
1723:
1704:
1638:
1571:
1498:
1443:
1410:
897:
723:be a subspace of
697:
298:
133:
132:
125:
107:
72:"Min-max theorem"
8033:
7985:Transform theory
7705:Special algebras
7686:Spectral theorem
7649:Spectral Theorem
7489:Spectral theorem
7378:
7371:
7364:
7355:
7354:
7343:Hilbert manifold
7338:Fréchet manifold
7122: like
7082:Quasi-derivative
6948:
6941:
6934:
6925:
6924:
6911:
6910:
6829:Jones polynomial
6747:Operator algebra
6491:
6490:
6464:
6457:
6450:
6441:
6440:
6436:
6415:
6413:
6388:
6355:
6353:
6331:
6330:
6312:
6303:
6297:
6258:
6256:
6255:
6250:
6229:
6201:
6200:
6154:
6152:
6151:
6146:
6125:
6097:
6096:
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