4235:
5135:
8165:
5347:
4070:
331:
4145:
6461:
5899:
5818:
4377:
8659:
4990:
5737:
4943:
855:
4587:
2961:
490:
7510:
8205:
is a projective space bundle. Many families of varieties can be constructed as subschemes of these projective bundles, such as the
Weierstrass family of elliptic curves. For more details, see the main article.
3379:
5258:
3567:
3934:
8014:
782:
268:
7208:
707:
5393:
1439:
5616:
7341:
4995:
8523:
7101:
7058:
6688:
6503:
6333:
6235:
7735:
6588:
7438:
5572:
3172:
259:
7693:
8203:
7892:
7790:
7270:
6056:
4104:
168:
7978:
8262:
4443:
8379:
6637:
3832:
2621:
2332:
2260:
1954:
1928:
1290:
1236:
1198:
1099:
419:
377:
4667:
8331:
5823:
5742:
5655:
4647:
8445:
7655:
7624:
3095:
2863:
5917:
and produces, as the result, a scheme which might be thought of as a fibration of Proj's of rings. This construction is often used, for example, to construct projective space
3806:
3746:
3713:
2997:
2771:
2731:
2690:
639:
4826:
The proj construction extends to bigraded and multigraded rings. Geometrically, this corresponds to taking products of projective schemes. For example, given the graded rings
8002:
7828:
7566:
7294:
7133:
3929:
2531:
5504:
4985:
4140:
2595:
2207:
1639:
6278:
4769:
6751:
6165:
2657:
1875:
1834:
1375:
6973:
6940:
2073:
1610:
1475:
7374:
2566:
7593:
7235:
7019:
6891:
6856:
6813:
6786:
6715:
6530:
6113:
6086:
5998:
5970:
5457:
5425:
5253:
5221:
5194:
5162:
4816:
4475:
3859:
3773:
3658:
3064:
2820:
2463:
2234:
1981:
1902:
1505:
1339:
890:
7539:
6360:
4829:
2010:
1577:
1128:
1073:
1044:
1015:
919:
566:
7854:
4259:
3631:
1685:
942:
7932:
7912:
7755:
7394:
7153:
5477:
4963:
4789:
4729:
3879:
3679:
3477:
3452:
3400:
3300:
3278:
3257:
3237:
3217:
3196:
3115:
3037:
3017:
2884:
2792:
2484:
2431:
2411:
2390:
2368:
2306:
2285:
2178:
2157:
2136:
2113:
2093:
2039:
1789:
1769:
1747:
1727:
1706:
1659:
1545:
1525:
1311:
1264:
1168:
1148:
986:
966:
590:
537:
513:
351:
196:
115:
4480:
8528:
4230:{\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}
5660:
3306:
1242:. As in the case of the Spec construction there are many ways to proceed: the most direct one, which is also highly suggestive of the construction of
792:
2893:
8735:
8723:
5130:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} \end{aligned}}}
427:
8760:
7443:
5352:
5349:
which is a product of projective schemes. There is an embedding of such schemes into projective space by taking the total graded algebra
5509:
205:
5901:
are the canonical projections coming from the injections of these algebras from the tensor product diagram of commutative algebras.
5922:
3488:
8675:
8160:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}
6288:; this is a “consistency” assumption on the sections over different open sets that is necessary for the construction to proceed.
4606:
can be constructed using a polynomial ring whose variables have non-standard degrees. For example, the weighted projective space
3428:
124:
8807:
4390:
716:
7158:
1383:
644:
17:
5577:
5342:{\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}
7299:
8450:
7067:
7024:
6654:
6469:
6299:
6173:
1478:
7698:
6542:
7399:
3123:
7660:
6975:
and also generate the stalk as an algebra over it) then we may make a further construction. Over each open affine
4065:{\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}
2490:
8173:
7862:
7760:
7240:
6012:
4075:
7945:
4387:. In addition to projective hypersurfaces, any projective variety cut out by a system of homogeneous polynomials
3066:, and taken together they contain all the grading information that was lost. Likewise, for any sheaf of graded
326:{\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}
8221:
8799:
8336:
6596:
3811:
2600:
2311:
2239:
1933:
1907:
1269:
1215:
1177:
1078:
398:
356:
4652:
8267:
5621:
4609:
8384:
7629:
7598:
3069:
2837:
4477:-variables can be converted into a projective scheme using the proj construction for the graded algebra
3778:
3718:
3685:
2969:
2743:
2703:
2662:
2160:, and therefore with the appropriate minor modifications the preceding section constructs for any such
6639:, and then showing that these data can be glued together “over” each intersection of two open affines
598:
8794:
4603:
4598:
7983:
7809:
7547:
7275:
7114:
3897:
8756:"Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes"
4380:
1507:
consisting of fractions of homogeneous elements of the same degree) such that for each prime ideal
5482:
4968:
4113:
2571:
2183:
1618:
7801:
6243:
4734:
4384:
3408:
8704:
8833:
8747:
2334:
arise from graded modules by this construction. The corresponding graded module is not unique.
6720:
6134:
2626:
1844:
1796:
1344:
6994:, and the assumption we have just made ensures that these sheaves may be glued just like the
6945:
6912:
6456:{\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}
2045:
1582:
1447:
1246:
on a projective variety in classical algebraic geometry, is the following. For any open set
7353:
5894:{\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}
5813:{\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}
4372:{\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} /(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}
2536:
8817:
8781:
7571:
7213:
6997:
6869:
6834:
6791:
6764:
6693:
6508:
6344:
6091:
6064:
6003:
5976:
5948:
5938:
5918:
5430:
5398:
5226:
5199:
5167:
5140:
4794:
4448:
3837:
3751:
3636:
3480:
3412:
3404:
3042:
2798:
2436:
2212:
1959:
1880:
1483:
1317:
1239:
863:
7515:
1986:
1553:
1104:
1049:
1020:
991:
895:
542:
8:
7833:
6894:
3575:
2343:
2263:
1664:
1209:
945:
924:
7917:
7897:
7740:
7379:
7138:
5462:
4948:
4774:
4672:
3864:
3664:
3462:
3437:
3403:
is a polynomial ring, below. This situation is to be contrasted with the fact that the
3385:
3285:
3263:
3242:
3222:
3202:
3181:
3100:
3022:
3002:
2869:
2777:
2469:
2416:
2396:
2375:
2353:
2291:
2270:
2163:
2142:
2121:
2098:
2078:
2024:
1774:
1754:
1732:
1712:
1691:
1644:
1530:
1510:
1296:
1249:
1153:
1133:
971:
951:
575:
522:
498:
336:
181:
100:
77:
62:
50:
42:
2308:(e.g. a polynomial ring or a homogenous quotient of it), all quasicoherent sheaves on
8803:
8654:{\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} /(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}
7857:
5914:
2697:
1983:) is in fact a scheme (this is accomplished by showing that each of the open subsets
516:
262:
35:
8751:
8789:
8769:
8680:
8670:
8215:
6988:
5973:
2734:
1243:
1200:, just as the analogous fact for the spectrum of a ring is likewise indispensable.
392:
175:
81:
58:
5732:{\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}
8813:
8777:
8755:
4238:
1171:
7237:-modules, generated by elements of degree 1. The resulting scheme is denoted by
6991:
6859:
6285:
4242:
4107:
2693:
8827:
4938:{\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} ,{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} }
2116:
70:
54:
1238:, called the “structure sheaf” as in the affine case, which makes it into a
4254:
850:{\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}
199:
2349:
A special case of the sheaf associated to a graded module is when we take
1046:
are complementary, and hence the same proof as before shows that the sets
6761:) as the elements of degree zero yields the necessary consistency of the
118:
4582:{\displaystyle {\frac {k_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}
2956:{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}
8773:
8700:
7935:
786:
Equivalently, we may take the open sets as a starting point and define
171:
4142:
where the curves degenerate into nodal curves. So there is a fibration
1174:
for this topology, which is an indispensable tool for the analysis of
485:{\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}
7505:{\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}
6909:, which is a graded algebra whose degree-zero elements form the ring
4589:
giving an embedding of projective varieties into projective schemes.
3177:
and expect this “twisted” sheaf to contain grading information about
30:"Proj" redirects here. For the cartographic conversion software, see
539:. As in the case of affine schemes it is quickly verified that the
6942:
then the degree-one elements form a finitely-generated module over
5972:-algebras (the definition of which is similar to the definition of
569:
388:
3374:{\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}
2342:
For related information, and the classical Serre twist sheaf, see
2042:
for the above construction was the ability to form localizations
66:
3259:
we likewise expect it to contain lost grading information about
8525:. This can be described explicitly as the projective morphism
8447:
and construct global proj of this quotient sheaf of algebras
6240:
is a grading of this algebra as a ring. Here we assume that
3748:
are in fact linear homogeneous polynomials, generated by the
1292:(which is by definition a set of homogeneous prime ideals of
5909:
A generalization of the Proj construction replaces the ring
3562:{\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A.}
2822:, we passed to fractions of degree zero. In the case Spec
2393:
itself with a different grading: namely, we let the degree
265:
if it is generated by homogeneous elements. Then, as a set,
31:
6815:
themselves follows from the quasi-coherence assumption on
2015:
4248:
777:{\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}
57:, which produces objects with the typical properties of
4072:
has a canonical projective morphism to the affine line
7203:{\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}
4150:
719:
702:{\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}
647:
8746:
8531:
8453:
8387:
8339:
8270:
8224:
8176:
8017:
7986:
7948:
7920:
7900:
7865:
7836:
7812:
7763:
7743:
7701:
7663:
7632:
7601:
7574:
7550:
7518:
7446:
7402:
7382:
7356:
7302:
7278:
7243:
7216:
7161:
7141:
7117:
7070:
7027:
7000:
6948:
6915:
6872:
6837:
6794:
6767:
6723:
6696:
6657:
6599:
6545:
6511:
6472:
6363:
6302:
6246:
6176:
6137:
6094:
6067:
6015:
5979:
5951:
5826:
5745:
5663:
5624:
5580:
5512:
5485:
5465:
5433:
5401:
5388:{\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}
5355:
5261:
5229:
5202:
5170:
5143:
4993:
4971:
4951:
4832:
4797:
4777:
4737:
4675:
4655:
4612:
4483:
4451:
4393:
4262:
4148:
4116:
4078:
3937:
3900:
3867:
3840:
3814:
3781:
3754:
3721:
3688:
3667:
3639:
3578:
3491:
3465:
3440:
3388:
3309:
3288:
3266:
3245:
3225:
3205:
3184:
3126:
3103:
3072:
3045:
3025:
3005:
2972:
2896:
2872:
2840:
2801:
2780:
2746:
2706:
2665:
2629:
2603:
2574:
2539:
2493:
2472:
2439:
2419:
2399:
2378:
2356:
2314:
2294:
2273:
2242:
2215:
2186:
2166:
2145:
2124:
2101:
2081:
2048:
2027:
1989:
1962:
1936:
1910:
1883:
1847:
1799:
1777:
1757:
1735:
1715:
1694:
1667:
1647:
1621:
1585:
1556:
1533:
1513:
1486:
1450:
1434:{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}
1386:
1347:
1320:
1299:
1272:
1252:
1218:
1180:
1156:
1136:
1107:
1081:
1052:
1023:
994:
974:
954:
927:
898:
866:
795:
601:
578:
545:
525:
501:
430:
401:
359:
339:
271:
208:
184:
127:
103:
6167:-algebra and the resulting direct sum decomposition
6006:): that is, a sheaf with a direct sum decomposition
5611:{\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}
3775:
themselves. This suggests another interpretation of
1841:
It follows immediately from the definition that the
421:
by defining the closed sets to be those of the form
7336:{\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}
3682:, degree zero. Comparing this to the definition of
3303:
can in fact be reconstructed from these sheaves; as
1101:. The advantage of this approach is that the sets
8653:
8517:
8439:
8373:
8325:
8256:
8197:
8159:
7996:
7972:
7926:
7906:
7886:
7848:
7822:
7784:
7757:. In fact, every closed subscheme of a projective
7749:
7729:
7687:
7649:
7618:
7587:
7560:
7533:
7504:
7432:
7388:
7368:
7335:
7288:
7264:
7229:
7202:
7147:
7127:
7103:as the twisting sheaf on the Proj of a ring does.
7095:
7052:
7013:
6967:
6934:
6885:
6850:
6807:
6780:
6745:
6709:
6682:
6631:
6582:
6524:
6497:
6455:
6327:
6272:
6229:
6159:
6107:
6080:
6050:
5992:
5964:
5893:
5812:
5731:
5649:
5610:
5566:
5498:
5471:
5451:
5419:
5387:
5341:
5247:
5215:
5188:
5156:
5129:
4979:
4965:. Then, the tensor product of these algebras over
4957:
4937:
4810:
4783:
4763:
4723:
4661:
4641:
4581:
4469:
4437:
4371:
4229:
4134:
4098:
4064:
3923:
3873:
3853:
3826:
3800:
3767:
3740:
3707:
3673:
3652:
3625:
3561:
3471:
3446:
3394:
3373:
3294:
3272:
3251:
3231:
3211:
3190:
3166:
3109:
3089:
3058:
3031:
3011:
2991:
2955:
2878:
2857:
2830:, the global sections of the structure sheaf form
2814:
2786:
2765:
2725:
2684:
2651:
2615:
2589:
2560:
2525:
2478:
2457:
2425:
2405:
2384:
2362:
2326:
2300:
2279:
2254:
2228:
2201:
2172:
2151:
2130:
2107:
2087:
2067:
2033:
2004:
1975:
1948:
1922:
1896:
1869:
1828:
1783:
1763:
1741:
1721:
1709:of the same degree such that for each prime ideal
1700:
1679:
1653:
1633:
1604:
1571:
1539:
1519:
1499:
1469:
1433:
1369:
1333:
1305:
1284:
1258:
1230:
1192:
1162:
1142:
1122:
1093:
1067:
1038:
1009:
980:
960:
936:
913:
884:
849:
776:
701:
633:
584:
560:
531:
507:
484:
413:
371:
345:
325:
253:
190:
162:
109:
8518:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}
7106:
7096:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
7053:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6683:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6498:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6328:{\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}
6230:{\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}
2773:is that it recovers the algebraic information of
2288:is generated by finitely many elements of degree
1150:ranges over all homogeneous elements of the ring
174:decomposition associated with the gradation. The
8825:
7730:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}
6717:to be the map corresponding to the inclusion of
6583:{\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}
7433:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}
7296:is of finite type, then its canonical morphism
5567:{\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}
3167:{\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}
254:{\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}
7210:is naturally a quasi-coherent sheaf of graded
2337:
382:
8333:of degree k. We can consider the ideal sheaf
7688:{\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}
6690:. It is not hard to show that defining each
3861:are literally the coordinates for projective
27:Projective analogue of the spectrum of a ring
8198:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
7980:such that when restricted to each of these,
7887:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
7785:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
7265:{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}
5657:which are the tensor product of the sheaves
4592:
4220:
4208:
3889:
841:
811:
476:
446:
317:
284:
8802:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
7795:
7440:associated to the dual of the vector space
6466:This definition suggests that we construct
6051:{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}
4099:{\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}
3808:, namely as the sheaf of “coordinates” for
2865:here form only the degree-zero elements of
2795:that was lost when, in the construction of
163:{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}
8788:
8699:
7973:{\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}
6280:. We make the additional assumption that
3281:. This suggests, though erroneously, that
2115:. This property is also possessed by any
8630:
8542:
8284:
8233:
8209:
8178:
8139:
8119:
8019:
7867:
7765:
7703:
7404:
7310:
7245:
7064:(1) and serves much the same purpose for
5329:
5318:
5294:
5064:
5014:
4973:
4902:
4847:
4614:
4275:
4190:
4081:
3908:
3494:
8257:{\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}
6296:In this setup we may construct a scheme
6115:-module such that for every open subset
87:
8676:Algebraic geometry of projective spaces
7376:, the fiber of the above morphism over
4438:{\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}
3429:Algebraic geometry of projective spaces
3381:however, this is true in the case that
2834:itself, whereas the global sections of
2016:The sheaf associated to a graded module
14:
8826:
8374:{\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}
7135:be a quasi-coherent sheaf on a scheme
6632:{\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}
4249:Projective hypersurfaces and varieties
3827:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
2616:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
2327:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
2255:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1949:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1923:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1285:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1231:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1193:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
1094:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
414:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
372:{\displaystyle \operatorname {Proj} S}
8214:Global proj can be used to construct
6822:
4662:{\displaystyle \operatorname {Proj} }
3715:, above, we see that the sections of
3660:have degree one and every element of
3418:
1930:, and it may be shown that the pair (
641:are a family of ideals, then we have
8761:Publications Mathématiques de l'IHÉS
7568:is a quasi-coherent sheaf of graded
3219:is the sheaf associated to a graded
333:For brevity we will sometimes write
298: homogeneous prime ideal,
8326:{\displaystyle f,g\in \mathbb {C} }
5650:{\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}
4642:{\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}
3884:
3572:The grading on the polynomial ring
1203:
49:is a construction analogous to the
24:
8510:
8457:
8440:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
8391:
8342:
8187:
8028:
7989:
7876:
7815:
7774:
7713:
7680:
7650:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
7636:
7619:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
7605:
7553:
7468:
7449:
7413:
7319:
7281:
7254:
7192:
7155:. The sheaf of symmetric algebras
7120:
5715:
5681:
5627:
5427:element is considered as a degree
5255:. Then the proj construction gives
4945:with the degree of each generator
3784:
3724:
3691:
3348:
3150:
3090:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
3076:
2975:
2939:
2899:
2858:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2844:
2749:
2709:
2668:
25:
8845:
8706:Foundations of Algebraic Geometry
8264:and take homogeneous polynomials
6831:has the additional property that
4821:
3801:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
3741:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
3708:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
2992:{\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}
2766:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
2726:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
2685:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
7674:
7671:
7668:
7665:
7170:
7167:
7164:
7082:
7079:
7076:
7073:
7039:
7036:
7033:
7030:
6669:
6666:
6663:
6660:
6484:
6481:
6478:
6475:
6378:
6375:
6372:
6369:
6314:
6311:
6308:
6305:
5618:now comes with bigraded sheaves
4241:(which can be checked using the
3455:is a ring, we define projective
860:A common shorthand is to denote
634:{\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}
92:
34:. For the vector operation, see
6788:, while the consistency of the
6291:
1377:to be the set of all functions
8729:
8717:
8693:
8625:
8622:
8619:
8601:
8593:
8561:
8558:
8546:
8538:
8500:
8468:
8434:
8402:
8368:
8350:
8320:
8288:
8192:
8182:
8111:
8079:
8062:
8056:
8038:
8033:
8023:
7997:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7967:
7961:
7881:
7871:
7823:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7779:
7769:
7724:
7707:
7561:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
7528:
7522:
7499:
7493:
7460:
7454:
7427:
7424:
7418:
7408:
7327:
7324:
7314:
7289:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7259:
7249:
7197:
7187:
7128:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
7107:Proj of a quasi-coherent sheaf
7021:above; the resulting sheaf on
6893:(that is, when we pass to the
6740:
6734:
6623:
6574:
6568:
6447:
6444:
6438:
6432:
6418:
6412:
6394:
6389:
6364:
6224:
6218:
6186:
6180:
6154:
6148:
5928:
5904:
5888:
5875:
5867:
5864:
5845:
5807:
5794:
5786:
5783:
5764:
5726:
5720:
5692:
5686:
5644:
5632:
5605:
5586:
5446:
5434:
5414:
5402:
5372:
5322:
5314:
5286:
5267:
5242:
5230:
5183:
5171:
5120:
5068:
4932:
4906:
4877:
4851:
4718:
4679:
4636:
4618:
4567:
4534:
4523:
4490:
4464:
4452:
4361:
4319:
4311:
4279:
4179:
4165:
4046:
4042:
4027:
4024:
4012:
3990:
3979:
3960:
3924:{\displaystyle A=\mathbb {C} }
3918:
3912:
3795:
3789:
3735:
3729:
3702:
3696:
3620:
3588:
3553:
3521:
3368:
3365:
3359:
3336:
3161:
3155:
3136:
3130:
2986:
2980:
2950:
2944:
2910:
2904:
2760:
2754:
2740:One reason for the utility of
2720:
2714:
2679:
2673:
2646:
2640:
2581:
2555:
2549:
2452:
2440:
2193:
2060:
2054:
2012:is in fact an affine scheme).
1999:
1993:
1864:
1858:
1809:
1803:
1597:
1591:
1566:
1560:
1462:
1456:
1426:
1420:
1396:
1364:
1358:
1117:
1111:
1062:
1056:
1033:
1027:
1004:
998:
908:
902:
879:
870:
805:
799:
739:
726:
667:
654:
616:
602:
555:
549:
440:
434:
202:of elements of positive degree
65:. The construction, while not
13:
1:
8800:Graduate Texts in Mathematics
8686:
2526:{\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}
7737:and is then projective over
5499:{\displaystyle S_{\bullet }}
4980:{\displaystyle \mathbb {C} }
4135:{\displaystyle \lambda =0,1}
2597:as a quasicoherent sheaf on
2590:{\displaystyle {\tilde {M}}}
2202:{\displaystyle {\tilde {M}}}
1634:{\displaystyle V\subseteq U}
1615:There exists an open subset
7:
8664:
6273:{\displaystyle S_{0}=O_{X}}
4764:{\displaystyle X_{0},X_{1}}
3894:If we let the base ring be
3633:is defined by letting each
2338:The twisting sheaf of Serre
1477:denotes the subring of the
383:Proj as a topological space
69:, is a fundamental tool in
10:
8850:
7799:
6505:by first defining schemes
4987:gives the bigraded algebra
4604:Weighted projective spaces
4596:
4239:smooth morphism of schemes
3426:
2341:
2020:The essential property of
568:form the closed sets of a
29:
7934:. Indeed, if we take an
7695:is a closed subscheme of
4599:Weighted projective space
4593:Weighted projective space
3890:Proj over the affine line
2700:. It can be checked that
1661:and homogeneous elements
7830:is locally free of rank
7806:As a special case, when
7796:Projective space bundles
7657:is of finite type, then
7396:is the projective space
6746:{\displaystyle O_{X}(U)}
6160:{\displaystyle O_{X}(U)}
5574:In addition, the scheme
5459:element. This means the
4381:Fermat quintic threefold
2652:{\displaystyle O_{X}(1)}
1870:{\displaystyle O_{X}(U)}
1829:{\displaystyle f(q)=s/t}
1370:{\displaystyle O_{X}(U)}
709:and if the indexing set
8748:Grothendieck, Alexandre
7802:Projective space bundle
7595:-modules, generated by
6968:{\displaystyle O_{X,x}}
6935:{\displaystyle O_{X,x}}
6335:and a “projection” map
3409:global sections functor
2068:{\displaystyle S_{(p)}}
1605:{\displaystyle S_{(p)}}
1470:{\displaystyle S_{(p)}}
8655:
8519:
8441:
8375:
8327:
8258:
8210:Example of Global Proj
8199:
8161:
7998:
7974:
7928:
7914:of relative dimension
7908:
7888:
7850:
7824:
7786:
7751:
7731:
7689:
7651:
7620:
7589:
7562:
7535:
7506:
7434:
7390:
7370:
7369:{\displaystyle x\in X}
7337:
7290:
7266:
7231:
7204:
7149:
7129:
7097:
7054:
7015:
6969:
6936:
6887:
6862:and locally generates
6852:
6809:
6782:
6747:
6711:
6684:
6651:which we define to be
6633:
6584:
6526:
6499:
6457:
6329:
6274:
6231:
6161:
6109:
6082:
6052:
5994:
5966:
5895:
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