13199:
15817:
applied to coherent sheaves. Broadly speaking, coherent sheaf cohomology can be viewed as a tool for producing functions with specified properties; sections of line bundles or of more general sheaves can be viewed as generalized functions. In complex analytic geometry, coherent sheaf cohomology also
5238:
15003:
6211:
Since this sheaf has non-trivial stalks, but zero global sections, this cannot be a quasi-coherent sheaf. This is because quasi-coherent sheaves on an affine scheme are equivalent to the category of modules over the underlying ring, and the adjunction comes from taking global
2153:
11924:
15128:
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10989:
367:
6205:
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14571:
13887:
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13308:
6042:
9924:
15812:
The fundamental technical tool in algebraic geometry is the cohomology theory of coherent sheaves. Although it was introduced only in the 1950s, many earlier techniques of algebraic geometry are clarified by the language of
11556:
3589:
15173:
When vector bundles and locally free sheaves of finite constant rank are used interchangeably, care must be given to distinguish between bundle homomorphisms and sheaf homomorphisms. Specifically, given vector bundles
859:
9154:
5081:
2819:
13052:
5968:
15497:
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12702:
5014:
12615:
15428:
8862:
8588:
10110:. Note that every closed subscheme of projective space can be defined as the zero set of some collection of homogeneous polynomials, hence as the zero set of some sections of the line bundles
14603:
12519:
6833:
12292:
14855:
9522:. (That is, thinking of projective space as the space of 1-dimensional linear subspaces of affine space, send a nonzero point in affine space to the line that it spans.) Then a section of
9520:
7960:
4290:
1934:
11375:
10888:
10143:. This contrasts with the simpler case of affine space, where a closed subscheme is simply the zero set of some collection of regular functions. The regular functions on projective space
15821:
Among the core results of coherent sheaf cohomology are results on finite-dimensionality of cohomology, results on the vanishing of cohomology in various cases, duality theorems such as
11185:
1974:
1180:
256:
7598:
4063:
3934:
3656:
12244:
7806:
6906:
3857:. The sheaf-theoretic interpretation of vector bundles has the advantage that vector bundles (on a locally Noetherian scheme) are included in the abelian category of coherent sheaves.
2196:
1307:
1067:
6874:
6090:
5663:
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12896:
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6333:
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9553:
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12393:
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10463:
10170:
10108:
9953:
9602:
9289:
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5070:
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15255:
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9741:
1844:
15636:
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3134:
2717:
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12866:
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2003:
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11233:
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13546:
6614:
6423:
6251:
5622:
910:
13611:
8631:
5744:
14197:
13194:{\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}
7553:
2242:
11935:
11805:
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11751:
10361:
8957:
8014:
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12837:
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7302:
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8302:
15792:
15772:
15676:
15656:
15448:
15351:
15331:
15279:
14782:
14762:
14468:
14448:
14424:
14393:
14299:
14045:
13989:
13930:
13910:
13701:
13681:
13510:
13482:
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12141:
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11434:
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10843:
10787:
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10685:
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8808:
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8694:
8671:
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8505:
8485:
8465:
8445:
8422:
8402:
8382:
8362:
8274:
8248:
8161:
8137:
8114:
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8034:
7914:
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7874:
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7112:
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6789:
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6749:
6723:
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6579:
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5546:
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4242:
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3998:
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2617:
2520:
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2441:
2309:
2289:
2216:
2023:
1864:
1808:
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1639:
1534:
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1424:
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1331:
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1200:
973:
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390:
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222:
14505:
13709:
11649:
13228:
5976:
9852:
13225:
subvarieties. Moreover, any isomorphism given on the left corresponds to a locally free sheaf in the middle of the extension on the right. That is, for
16742:
12099:
One useful technique for constructing rank 2 vector bundles is the Serre construction which establishes a correspondence between rank 2 vector bundles
11471:
2416:
On an arbitrary ringed space, quasi-coherent sheaves do not necessarily form an abelian category. On the other hand, the quasi-coherent sheaves on any
16309:
13420:
This vector bundle can then be further studied using cohomological invariants to determine if it is stable or not. This forms the basis for studying
3520:
5233:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}
788:
14403:
by vector bundles in that case. For example, that gives a definition of the Chern classes of a coherent sheaf on a smooth variety over a field.
9065:
2742:
12989:
5921:
15453:
16218:
7517:
On a general scheme, one cannot determine whether a coherent sheaf is a vector bundle just from its fibers (as opposed to its stalks). On a
16512:
15881:
7168:
12709:
11076:. This is a fundamental calculation for algebraic geometry. For example, the fact that the canonical bundle is a negative multiple of the
6991:
15681:
3658:
differ by a linear automorphism. (The analogous equivalence also holds for complex analytic spaces.) For example, given a vector bundle
2316:
649:
15891:
12904:
10251:
gave an algebraic description of all coherent sheaves on projective space, more subtle than what happens for affine space. Namely, let
14998:{\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}
2148:{\displaystyle {\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}}
11919:{\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}
6620:
15123:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}
9370:
46:
closely linked to the geometric properties of the underlying space. The definition of coherent sheaves is made with reference to a
15774:(such as an algebraic variety over a field) is determined up to isomorphism by the abelian category of quasi-coherent sheaves on
12398:
12029:
6506:
10736:
by graded modules that are nonzero in only finitely many degrees. More precisely, the abelian category of coherent sheaves on
5268:
restricted to the vanishing locus of the two polynomials has two-dimensional fibers, and has one-dimensional fibers elsewhere.
16559:
16481:
16438:
16236:
10404:
9749:
4427:
12620:
7352:. Thus a coherent sheaf has constant rank on an open set, while the rank can jump up on a lower-dimensional closed subset.
4967:
12524:
15356:
8817:
8513:
17:
14734:{\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}
16393:
12469:
10984:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}
7521:
locally
Noetherian scheme, however, a coherent sheaf is a vector bundle if and only if its rank is locally constant.
6794:
15750:
showed that, in fact, the quasi-coherent sheaves on any scheme form a particularly well-behaved abelian category, a
12252:
362:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}
15871:
14787:
13613:. These satisfy the same formal properties as Chern classes in topology. For example, for any short exact sequence
9435:
7919:
4247:
1896:
11339:
16223:. Cambridge Mathematical Library (2 ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 123–128, 238–243.
11155:
10766:
1939:
1140:
7558:
4030:
3901:
3621:
16600:
16455:
12215:
7777:
6581:
is locally
Noetherian. An important special case is the pullback of a vector bundle, which is a vector bundle.
16348:
6879:
2169:
1280:
1040:
16647:
16629:
16619:
16551:
16418:
16358:
6838:
6054:
5627:
5554:
3245:
6200:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )=Y}
425:
105:
15851:
14744:
For example, this formula is useful for finding the Chern classes of the sheaf representing a subscheme of
13619:
4927:
4867:
4807:
4673:
1134:
16581:
The Red Book of
Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians
14502:
on a
Noetherian scheme is quasi-isomorphic in the derived category to the complex of vector bundles :
14320:
13410:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}
11037:
10997:
7440:
5418:
5319:
16727:
16642:
16624:
16353:
15177:
12871:
9965:
6674:
6472:
6342:
3209:
2662:
1664:
1072:
15533:
15502:
11383:
7405:
6307:
5460:
3865:
3084:
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2986:
2929:
2895:
2864:
2567:
2529:
2450:
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1563:
1002:
919:
864:
558:
492:
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16747:
15284:
15136:
11564:
11082:
10848:
10557:
10215:
10113:
10051:
9525:
9314:
8307:
8193:
8059:
7737:
3815:
3778:
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1760:
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11617:
11439:
10799:
10739:
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10488:
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10146:
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9929:
9578:
9265:
9013:
5046:
4589:
2957:
is called coherent if it is coherent considered as a sheaf of modules over itself. In particular, the
16546:
16147:
15876:
15807:
15228:
12297:
9689:
1816:
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16637:
15617:
15593:
14576:
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13313:
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12102:
7811:
7655:
7358:
7307:
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7005:
6626:
6428:
6260:
5873:
5849:
5247:
4203:
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3352:
3288:
3115:
2698:
1597:
1539:
1482:
1385:
1225:
978:
530:
468:
148:
15834:
14306:
13421:
7699:
5017:
2564:
A submodule of a coherent sheaf is coherent if it is of finite type. A coherent sheaf is always an
2403:
62:
15567:
12845:
11323:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}
10410:
9627:
4141:
4088:
1982:
1731:
1356:
1108:
742:
16737:
14470:. For example, every quasi-projective scheme over a Noetherian ring has the resolution property.
14027:
is the quotient of the free abelian group on the set of isomorphism classes of vector bundles on
11031:
8962:
8739:
8166:
5624:
is the inclusion. Likewise for a closed analytic subspace of a complex analytic space. The sheaf
3594:
3493:
3441:
1869:
16307:
Antieau, Benjamin (2016), "A reconstruction theorem for abelian categories of twisted sheaves",
5829:{\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}
77:
are a generalization of coherent sheaves and include the locally free sheaves of infinite rank.
16499:
14241:
13551:
9959:
3809:
2522:-modules.) So the kernel, image, and cokernel of any map of coherent sheaves are coherent. The
14205:
14140:
14100:
13994:
13938:
13515:
12013:{\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}
7731:
6587:
6396:
6224:
5595:
895:
16732:
16659:
16198:
15886:
15751:
15738:
is a subsheaf but typically not a subbundle (since any line bundle has only two subbundles).
13590:
8601:
2959:
14176:
7532:
2221:
16680:
16610:
16569:
16533:
16491:
16448:
16403:
16340:
15830:
15561:-module homomorphism that does not arise this way; namely, those not having constant rank.
14400:
11783:
11756:
11729:
10339:
8935:
7992:
7965:
5712:
4780:
4753:
4341:
4295:
4114:
2558:
2417:
2247:
12813:
12332:
7278:
4644:
4540:
8:
14566:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}
13882:{\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}
10274:
7115:
6729:
6302:
6254:
5668:
975:
is a scheme, the general definitions above are equivalent to more explicit ones. A sheaf
66:
43:
14050:
11716:{\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}
8284:
16318:
16156:
15777:
15757:
15661:
15641:
15433:
15336:
15316:
15264:
14767:
14747:
14453:
14433:
14409:
14378:
14284:
14278:
14134:
14030:
13974:
13933:
13915:
13895:
13686:
13666:
13495:
13467:
13447:
13303:{\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}
13208:
12195:
12146:
12126:
11597:
11419:
11210:
11190:
11135:
10828:
10772:
10719:
10670:
10650:
10630:
10610:
10590:
10537:
10517:
10468:
10386:
10366:
10254:
10195:
10175:
10031:
10011:
9832:
9812:
9666:
9607:
9558:
9347:
9294:
9245:
9225:
9205:
9182:
9162:
9042:
8993:
8910:
8890:
8870:
8793:
8773:
8719:
8699:
8679:
8656:
8636:
8490:
8470:
8450:
8430:
8407:
8387:
8367:
8347:
8259:
8233:
8146:
8122:
8099:
8039:
8019:
7899:
7879:
7859:
7835:
7679:
7635:
7611:
7497:
7477:
7382:
7331:
7258:
7238:
7145:
7097:
7053:
6969:
6940:
6911:
6774:
6754:
6734:
6708:
6650:
6564:
6452:
6376:
6284:
5897:
5718:
5694:
5549:
5531:
5511:
5491:
5398:
5378:
5358:
5299:
5279:
5023:
4907:
4847:
4733:
4713:
4569:
4520:
4497:
4407:
4387:
4227:
4183:
4163:
4068:
4007:
3983:
3959:
3939:
3725:
3705:
3661:
3473:
3421:
3401:
3376:
3332:
3312:
3189:
3169:
3139:
3024:
2966:
2844:
2824:
2722:
2642:
2622:
2602:
2505:
2485:
2426:
2294:
2274:
2201:
2008:
1849:
1793:
1644:
1624:
1519:
1429:
1409:
1336:
1316:
1253:
1205:
1185:
958:
768:
719:
629:
609:
589:
395:
375:
230:
207:
84:
31:
16113:
16654:
16596:
16555:
16477:
16434:
16389:
16232:
16174:
16139:
14314:
11077:
10790:
10248:
8865:
8764:
7853:
7601:
4108:
3977:
3019:
225:
16503:
11333:
where the second map is the pullback of differential forms, and the first map sends
6037:{\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}
16668:
16588:
16541:
16521:
16467:
16426:
16381:
16369:
16328:
16224:
16166:
15814:
9919:{\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}
8929:
8252:
7629:
7605:
7400:
2444:
916:
Morphisms between (quasi-)coherent sheaves are the same as morphisms of sheaves of
521:
201:
58:
35:
11117:
6561:, which might not be coherent), but pullbacks of coherent sheaves are coherent if
1506:
Here are several further characterizations of quasi-coherent sheaves on a scheme.
16676:
16606:
16584:
16565:
16529:
16507:
16487:
16463:
16444:
16422:
16399:
16377:
16336:
16170:
15856:
15258:
13425:
11551:{\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}
11121:
7349:
6987:
2479:
16410:
15795:
14396:
10879:
8811:
8278:
7518:
6986:-vector space. On the other hand, the direct image of a coherent sheaf under a
6728:
The direct image of a coherent sheaf is often not coherent. For example, for a
5915:
5843:
248:
54:
47:
16472:
16430:
16385:
10271:
be a
Noetherian ring (for example, a field), and consider the polynomial ring
5072:
that is not a vector bundle is given by the cokernel in the following sequence
3584:{\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}
3418:
are equivalent to vector bundles defined in a more geometric way, as a scheme
16721:
16576:
16332:
16228:
16178:
15866:
15822:
8595:
8140:
6617:
3162:
1035:
15638:). But the converse can fail; for example, for an effective Cartier divisor
14137:
provides many tools for studying it, including a sequence of related groups
7348:. A related fact is that the dimension of the fibers of a coherent sheaf is
16709:
16276:
16096:
16032:
15993:
15941:
15925:
15846:
15826:
11113:
2963:
states that the sheaf of holomorphic functions on a complex analytic space
854:{\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}
420:
100:
14399:
separated
Noetherian scheme, using that every coherent sheaf has a finite
9149:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}
2814:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}
15861:
15747:
15746:
The quasi-coherent sheaves on any fixed scheme form an abelian category.
13485:
13047:{\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}
10333:
8987:
8986:. Thus sections of the canonical bundle are algebro-geometric analogs of
7434:
5963:{\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}
5273:
4001:
2420:
form an abelian category, and they are extremely useful in that context.
2402:
is an isomorphism. The homomorphism comes from the universal property of
15492:{\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}
12362:
It is a local complete intersection, meaning if we take an affine chart
16705:
16525:
13429:
12249:
The correspondence in one direction is given as follows: for a section
2892:
is coherent, then, conversely, every sheaf of finite presentation over
2523:
5665:
has fiber (defined below) of dimension zero at points in the open set
13489:
9262:, there is an important example of a line bundle on projective space
7228:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}
5971:
2983:
is a coherent sheaf of rings. The main part of the proof is the case
16672:
12767:{\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}
6158:
5106:
16695:
16592:
13310:
that is an isomorphism there is a corresponding locally free sheaf
11116:. Over the complex numbers, this means that projective space has a
70:
16323:
16161:
15731:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}
2389:{\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\bigg }\to {\mathcal {F}}(U_{f})}
709:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}
16365:
12978:{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}
9010:. For example, a section of the canonical bundle of affine space
6051:
is given by the extension by zero functor. For example, consider
12212:. This is given by a cohomological condition on the line bundle
16193:
7114:, more than would be true for an arbitrary sheaf. For example,
5846:
preserve coherent sheaves. In particular, for coherent sheaves
16508:"Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas"
15168:
13205:
which is functorial with respect to inclusion of codimension
9422:{\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}
3893:-module operations, but these give back locally free sheaves.
15825:, relations between topology and algebraic geometry such as
8487:, then there is a short exact sequence of vector bundles on
14478:
Since the resolution property states that a coherent sheaf
12459:{\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}
11929:
of line bundles, then we see that there is the isomorphism
10793:
of modules that are nonzero in only finitely many degrees.
3398:
Vector bundles in this sheaf-theoretic sense over a scheme
12084:{\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}
6554:{\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}
5395:
is a closed analytic subspace of a complex analytic space
3075:
16415:
Commutative
Algebra with a View toward Algebraic Geometry
15741:
15530:-modules (sheaves of dual sections). But there may be an
3976:
are exactly the sheaves associated to finitely generated
61:, and so they are closed under operations such as taking
15499:
of constant rank between the corresponding locally free
12094:
10212:), and so it is essential to work with the line bundles
2526:
of two coherent sheaves is coherent; more generally, an
83:
is a powerful technique, in particular for studying the
13435:
12842:
In the other direction, for a codimension 2 subvariety
1382:. The inverse equivalence takes a quasi-coherent sheaf
204:
that has a local presentation, that is, every point in
16693:
14473:
10363:
having degree 1. Then every finitely generated graded
9802:{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}
7923:
4487:{\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R_{0}}
16498:
16059:
15968:
15780:
15760:
15684:
15664:
15644:
15620:
15596:
15570:
15536:
15505:
15456:
15436:
15359:
15339:
15319:
15287:
15267:
15231:
15180:
15139:
15017:
14866:
14790:
14770:
14750:
14606:
14579:
14508:
14484:
14456:
14436:
14412:
14381:
14323:
14287:
14244:
14208:
14179:
14143:
14103:
14053:
14033:
13997:
13977:
13941:
13918:
13898:
13892:
It follows that the Chern classes of a vector bundle
13712:
13689:
13669:
13622:
13593:
13554:
13518:
13498:
13470:
13450:
13343:
13316:
13231:
13211:
13066:
12992:
12907:
12874:
12848:
12816:
12780:
12712:
12697:{\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}
12623:
12527:
12472:
12401:
12368:
12335:
12300:
12255:
12218:
12198:
12169:
12149:
12129:
12105:
12032:
11938:
11816:
11786:
11759:
11732:
11652:
11620:
11600:
11567:
11474:
11442:
11422:
11386:
11342:
11236:
11213:
11193:
11158:
11138:
11085:
11040:
11000:
10891:
10851:
10831:
10802:
10775:
10742:
10722:
10693:
10673:
10653:
10633:
10613:
10593:
10560:
10540:
10520:
10491:
10471:
10442:
10413:
10389:
10369:
10342:
10277:
10257:
10218:
10198:
10178:
10149:
10116:
10087:
10054:
10034:
10014:
9968:
9932:
9855:
9835:
9815:
9752:
9692:
9669:
9630:
9610:
9581:
9561:
9528:
9438:
9373:
9350:
9317:
9297:
9268:
9248:
9228:
9208:
9185:
9165:
9068:
9045:
9016:
8996:
8965:
8938:
8913:
8893:
8873:
8820:
8796:
8776:
8742:
8722:
8702:
8682:
8659:
8639:
8604:
8516:
8493:
8473:
8453:
8433:
8410:
8390:
8370:
8350:
8310:
8287:
8262:
8236:
8196:
8169:
8149:
8125:
8102:
8062:
8042:
8022:
7995:
7968:
7922:
7902:
7882:
7862:
7838:
7814:
7780:
7740:
7702:
7682:
7658:
7638:
7614:
7561:
7535:
7500:
7480:
7443:
7408:
7385:
7361:
7334:
7310:
7281:
7261:
7241:
7171:
7148:
7124:
7100:
7076:
7056:
7032:
7008:
6997:
6972:
6943:
6914:
6882:
6841:
6797:
6777:
6757:
6737:
6711:
6677:
6653:
6629:
6590:
6567:
6509:
6475:
6455:
6431:
6399:
6379:
6345:
6310:
6287:
6263:
6227:
6104:
6057:
5979:
5924:
5900:
5876:
5852:
5747:
5721:
5697:
5671:
5630:
5598:
5557:
5534:
5514:
5494:
5463:
5421:
5401:
5381:
5361:
5322:
5302:
5296:
is a closed subscheme of a locally
Noetherian scheme
5282:
5250:
5084:
5049:
5026:
5009:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}
4970:
4930:
4910:
4870:
4850:
4810:
4783:
4756:
4736:
4716:
4676:
4647:
4592:
4572:
4543:
4523:
4500:
4430:
4410:
4390:
4344:
4298:
4250:
4230:
4206:
4186:
4166:
4144:
4117:
4091:
4071:
4033:
4010:
3986:
3962:
3942:
3904:
3868:
3862:
Locally free sheaves come equipped with the standard
3818:
3781:
3748:
3728:
3708:
3684:
3664:
3624:
3597:
3523:
3496:
3476:
3444:
3424:
3404:
3379:
3355:
3335:
3315:
3291:
3248:
3212:
3192:
3172:
3142:
3118:
3087:
3047:
3027:
2989:
2969:
2932:
2898:
2867:
2847:
2827:
2745:
2725:
2701:
2665:
2645:
2625:
2605:
2570:
2532:
2508:
2502:
is a full abelian subcategory of the category of all
2488:
2453:
2429:
2319:
2297:
2277:
2250:
2224:
2204:
2172:
2033:
2011:
1985:
1942:
1899:
1872:
1852:
1819:
1796:
1763:
1734:
1703:
1667:
1647:
1627:
1600:
1566:
1542:
1522:
1485:
1452:
1432:
1412:
1388:
1359:
1339:
1319:
1283:
1256:
1228:
1208:
1188:
1143:
1111:
1075:
1043:
1005:
981:
961:
922:
898:
867:
791:
771:
745:
722:
652:
632:
612:
592:
561:
533:
495:
471:
428:
398:
378:
259:
233:
210:
175:
151:
108:
12610:{\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}
10514:
arises in this way from a finitely generated graded
3618:
such that the two isomorphisms over an intersection
1333:-modules to quasi-coherent sheaves, taking a module
1250:
if and only if it is quasi-coherent and the modules
53:
Coherent sheaves can be seen as a generalization of
15423:{\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}
11127:
8857:{\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}
8583:{\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}
2443:, the coherent sheaves form an abelian category, a
15786:
15766:
15730:
15670:
15650:
15630:
15606:
15582:
15553:
15522:
15491:
15442:
15422:
15345:
15325:
15305:
15273:
15249:
15217:
15157:
15122:
14997:
14849:
14776:
14756:
14733:
14589:
14565:
14494:
14462:
14442:
14418:
14387:
14367:
14293:
14269:
14230:
14191:
14165:
14125:
14089:
14039:
14019:
13983:
13963:
13924:
13904:
13881:
13695:
13675:
13652:
13605:
13579:
13540:
13504:
13476:
13456:
13409:
13326:
13302:
13217:
13193:
13046:
12977:
12890:
12860:
12831:
12802:
12766:
12696:
12609:
12513:
12458:
12387:
12350:
12321:
12286:
12238:
12204:
12184:
12155:
12135:
12115:
12083:
12012:
11918:
11799:
11772:
11745:
11715:
11643:. If we use the fact that given an exact sequence
11635:
11606:
11586:
11550:
11457:
11428:
11408:
11369:
11322:
11219:
11199:
11179:
11144:
11104:
11068:
11022:
10983:
10870:
10837:
10817:
10781:
10757:
10728:
10708:
10679:
10659:
10639:
10619:
10599:
10579:
10546:
10526:
10506:
10477:
10457:
10428:
10395:
10375:
10355:
10324:
10263:
10237:
10204:
10184:
10164:
10135:
10102:
10073:
10040:
10020:
10000:
9947:
9918:
9841:
9821:
9801:
9735:
9675:
9655:
9616:
9596:
9567:
9547:
9514:
9421:
9356:
9336:
9303:
9283:
9254:
9234:
9214:
9191:
9171:
9148:
9051:
9031:
9002:
8978:
8951:
8919:
8899:
8879:
8856:
8802:
8782:
8755:
8728:
8708:
8688:
8665:
8645:
8625:
8582:
8499:
8479:
8459:
8439:
8416:
8396:
8376:
8356:
8336:
8296:
8268:
8242:
8222:
8182:
8155:
8131:
8108:
8088:
8048:
8028:
8008:
7981:
7954:
7908:
7888:
7868:
7844:
7824:
7800:
7766:
7721:
7688:
7668:
7644:
7620:
7592:
7547:
7506:
7486:
7466:
7425:
7391:
7371:
7340:
7320:
7296:
7267:
7247:
7227:
7154:
7134:
7106:
7086:
7062:
7042:
7018:
6978:
6958:
6929:
6900:
6868:
6827:
6783:
6763:
6743:
6717:
6697:
6659:
6639:
6608:
6573:
6553:
6495:
6461:
6441:
6417:
6385:
6365:
6327:
6293:
6273:
6245:
6199:
6084:
6036:
5962:
5906:
5886:
5862:
5828:
5727:
5703:
5683:
5657:
5616:
5584:
5540:
5520:
5500:
5480:
5446:
5407:
5387:
5367:
5347:
5308:
5288:
5260:
5232:
5064:
5032:
5008:
4956:
4916:
4896:
4856:
4836:
4796:
4769:
4742:
4722:
4702:
4662:
4633:
4578:
4558:
4529:
4506:
4486:
4416:
4396:
4376:
4330:
4284:
4236:
4216:
4192:
4172:
4152:
4130:
4099:
4077:
4057:
4016:
3992:
3968:
3948:
3928:
3885:
3849:
3800:
3767:
3734:
3714:
3694:
3670:
3650:
3610:
3583:
3509:
3482:
3462:
3430:
3410:
3385:
3365:
3341:
3321:
3301:
3277:
3242:is isomorphic to a finite direct sum of copies of
3234:
3198:
3178:
3148:
3128:
3104:
3064:
3033:
3010:
2975:
2949:
2915:
2884:
2853:
2833:
2813:
2731:
2711:
2687:
2651:
2631:
2611:
2587:
2549:
2514:
2494:
2470:
2435:
2388:
2303:
2283:
2263:
2236:
2210:
2190:
2147:
2017:
1997:
1968:
1928:
1885:
1858:
1838:
1802:
1782:
1749:
1720:
1689:
1653:
1633:
1610:
1591:-module on it. Then the following are equivalent.
1583:
1552:
1528:
1495:
1471:
1438:
1418:
1398:
1374:
1345:
1325:
1301:
1262:
1238:
1214:
1194:
1174:
1126:
1097:
1061:
1022:
991:
967:
939:
904:
884:
853:
777:
757:
728:
708:
638:
618:
598:
578:
543:
512:
481:
457:
404:
384:
361:
239:
216:
192:
161:
137:
16140:"Vector Bundles and Monads On Abelian Threefolds"
16118:Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres
6503:is not coherent in full generality (for example,
3678:in this geometric sense, the corresponding sheaf
2355:
2338:
16719:
14097:for any short exact sequence as above. Although
10716:is not unique; it is only unique up to changing
8447:is a smooth closed subscheme of a smooth scheme
16310:Journal für die reine und angewandte Mathematik
13334:of rank 2 that fits into a short exact sequence
12514:{\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}
10878:. Namely, there is a short exact sequence, the
6828:{\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}
6253:be a morphism of ringed spaces (for example, a
16364:
16216:
12287:{\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}
1936:is isomorphic to the sheaf associated to some
14850:{\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} }
10845:can be described in terms of the line bundle
10769:of the category of finitely generated graded
9515:{\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto }
7955:{\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}
7524:
4285:{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}
1929:{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}}
14450:has a surjection from some vector bundle on
11370:{\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}
4443:
4431:
4277:
4265:
2739:is isomorphic to the cokernel of a morphism
1833:
1820:
16657:(1955), "Faisceaux algébriques cohérents",
16554:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
16137:
11465:. Dualizing this yields the exact sequence
11180:{\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}
9344:. To define this, consider the morphism of
1969:{\displaystyle {\mathcal {O}}(U_{\alpha })}
1175:{\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}
16540:
16217:Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (2010).
16191:
16111:
16083:
16047:
16020:
15980:
15892:Quasi-coherent sheaf on an algebraic stack
15450:. Thus, it induces the sheaf homomorphism
15169:Bundle homomorphism vs. sheaf homomorphism
10945:
9107:
7593:{\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}
4058:{\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}
4000:, or (equivalently) to finitely generated
3956:a Noetherian ring. Then vector bundles on
3929:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}
3651:{\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}
50:that codifies this geometric information.
16743:Topological methods of algebraic geometry
16635:
16617:
16471:
16322:
16160:
15794:, by Rosenberg, generalizing a result of
15754:. A quasi-compact quasi-separated scheme
15199:
15145:
15142:
14816:
12501:
12239:{\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}
11956:
11623:
11511:
11445:
11289:
11167:
11008:
10965:
10909:
10805:
10745:
10696:
10494:
10445:
10152:
10090:
9935:
9755:
9584:
9409:
9382:
9271:
9019:
8593:which can be used as a definition of the
7937:
7801:{\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}
7002:An important feature of coherent sheaves
6175:
6121:
5052:
4982:
4146:
4093:
3558:
2111:
646:such that there is a surjective morphism
524:satisfying the following two properties:
16409:
16220:The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves
16071:
15920:
15918:
15882:Gabriel–Rosenberg reconstruction theorem
14573:we can compute the total Chern class of
11034:of the tangent bundle) is isomorphic to
8404:everywhere, the tangent bundle has rank
6901:{\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}
5691:, and fiber of dimension 1 at points in
5043:A simple example of a coherent sheaf on
2478:-modules. (Analogously, the category of
2191:{\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}
1979:For each pair of open affine subschemes
1302:{\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}
1062:{\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}
16575:
16346:
16306:
16291:
16194:"Stable Vector Bundles of Rank 2 on P3"
15909:
15430:is a linear map of rank independent of
15225:, by definition, a bundle homomorphism
14305:-theory has the formal properties of a
13426:principally polarized abelian varieties
10796:The tangent bundle of projective space
8036:is locally of finite type over a field
7275:(a vector space over the residue field
6869:{\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}
6085:{\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}
5658:{\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}
5585:{\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}
4844:is a line bundle (invertible sheaf) on
3278:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}
3076:Basic constructions of coherent sheaves
14:
16720:
16454:
16269:
16263:
16251:
16089:
16025:
15801:
15742:The category of quasi-coherent sheaves
15313:) such that, for each geometric point
12774:is isomorphic to the canonical bundle
12294:we can associated the vanishing locus
11380:Note that this sequence tells us that
11187:defined by the homogeneous polynomial
10687:that yields a given coherent sheaf on
7399:is a vector bundle if and only if its
5355:of all regular functions vanishing on
2311:is not zero, the natural homomorphism
950:
458:{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
138:{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
57:. Unlike vector bundles, they form an
16653:
16138:Gulbrandsen, Martin G. (2013-05-20).
16133:
16131:
16008:
15986:
15956:
15934:
15915:
15912:, Ch. III, § 1, Theorem-Definition 3.
13653:{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
12095:Serre construction and vector bundles
10994:It follows that the canonical bundle
10048:can be viewed as a global section of
9179:is a polynomial with coefficients in
7896:, and they can be written locally on
7355:In the same spirit: a coherent sheaf
7328:is zero on some open neighborhood of
7118:says (in geometric language) that if
6049:non-example of a quasi-coherent sheaf
5528:can be viewed as a coherent sheaf on
4957:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}
4897:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}
4837:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}
4703:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}
2561:of two coherent sheaves is coherent.
16513:Publications Mathématiques de l'IHÉS
14406:More generally, a Noetherian scheme
14368:{\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}
12358:is a codimension 2 subvariety, then
11069:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}
11023:{\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}
9604:is defined to be a regular function
7852:. Sections of this sheaf are called
7467:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
5447:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}
5348:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}
4670:determines the quasi-coherent sheaf
16421:, vol. 150, Berlin, New York:
15218:{\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}
14764:. If we take the projective scheme
14474:Applications of resolution property
13424:in many specific cases, such as on
12891:{\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}
11227:. Then, there is an exact sequence
10192:are just the "constants" (the ring
10001:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
9242:a natural number. For each integer
7304:) is zero if and only if the sheaf
6992:results of Grauert and Grothendieck
6698:{\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}
6496:{\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}
6366:{\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}
3235:{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}
2688:{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}
1690:{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}
1098:{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}
24:
16128:
15717:
15688:
15623:
15599:
15554:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
15540:
15523:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
15509:
15484:
15474:
15103:
15092:
15070:
15048:
15026:
14972:
14950:
14920:
14904:
14876:
14694:
14658:
14635:
14615:
14582:
14552:
14535:
14512:
14487:
13396:
13380:
13369:
13353:
13319:
13264:
13177:
13166:
13150:
13093:
13024:
12961:
12929:
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12738:
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12262:
12231:
12108:
12049:
11987:
11905:
11886:
11871:
11852:
11837:
11818:
11696:
11679:
11662:
11570:
11528:
11409:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}
11389:
11305:
11283:
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11088:
11043:
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10119:
10057:
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9877:
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9320:
8967:
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8835:
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8744:
8315:
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7817:
7793:
7782:
7742:
7661:
7562:
7447:
7426:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}
7412:
7364:
7313:
7194:
7175:
7127:
7079:
7035:
7011:
6998:Local behavior of coherent sheaves
6908:associated to the polynomial ring
6855:
6690:
6667:, then the direct image sheaf (or
6632:
6540:
6523:
6488:
6434:
6358:
6328:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
6314:
6266:
6071:
6026:
6016:
5998:
5982:
5955:
5940:
5927:
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5855:
5809:
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5757:
5644:
5571:
5481:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}
5467:
5425:
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5200:
5181:
5087:
4974:
4934:
4874:
4814:
4680:
4253:
4209:
4200:determines a quasi-coherent sheaf
3886:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
3872:
3784:
3751:
3687:
3358:
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3215:
3121:
3105:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
3091:
3065:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
3051:
3011:{\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}
2950:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2936:
2916:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2902:
2885:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2871:
2783:
2749:
2704:
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2588:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2574:
2550:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2536:
2471:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2457:
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2075:
2057:
2036:
1945:
1902:
1766:
1721:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}
1707:
1670:
1603:
1584:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
1570:
1545:
1488:
1455:
1391:
1231:
1164:
1150:
1078:
1023:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
1009:
984:
940:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
926:
885:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
871:
834:
801:
689:
656:
579:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
565:
536:
513:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
499:
474:
441:
372:for some (possibly infinite) sets
336:
300:
263:
193:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
179:
154:
121:
25:
16759:
16704:
16687:
16060:Grothendieck & Dieudonné 1960
15969:Grothendieck & Dieudonné 1960
15306:{\displaystyle p=q\circ \varphi }
15158:{\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}
12466:can be represented as a function
11587:{\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}
11112:means that projective space is a
11105:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
10871:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
10580:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
10238:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
10136:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
10074:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
9548:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
9337:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
8337:{\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}
8304:is defined to be the dual bundle
8223:{\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}
8089:{\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}
7767:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}
3850:{\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}
3801:{\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}
3768:{\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}
1783:{\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}
1472:{\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}
16112:Serre, Jean-Pierre (1960–1961).
15872:Essentially finite vector bundle
15833:of coherent sheaves such as the
13057:there is a canonical isomorphism
12388:{\displaystyle U_{i}\subseteq X}
12185:{\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}
11636:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
11458:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
11128:Vector bundles on a hypersurface
10818:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
10758:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
10709:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
10554:. (For example, the line bundle
10507:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
10458:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
10165:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
10103:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
9948:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
9597:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
9284:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
9032:{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}
7142:is a coherent sheaf on a scheme
6937:, which is not coherent because
6216:
5065:{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}
4634:{\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}
3702:is defined by: over an open set
2998:
1222:is a locally Noetherian scheme,
27:Generalization of vector bundles
16285:
16257:
16245:
16210:
16185:
16105:
16077:
16065:
16053:
16041:
15250:{\displaystyle \varphi :E\to F}
14133:is hard to compute in general,
13422:moduli of stable vector bundles
12322:{\displaystyle V(s)\subseteq X}
12143:and codimension 2 subvarieties
12123:on a smooth projective variety
10587:is the sheaf associated to the
9736:{\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}
7774:can be defined as the pullback
5508:of a locally Noetherian scheme
4292:is the sheaf associated to the
2166:For each open affine subscheme
1839:{\displaystyle \{U_{\alpha }\}}
1621:For each open affine subscheme
16014:
16002:
15974:
15962:
15950:
15903:
15708:
15699:
15631:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
15607:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
15479:
15417:
15411:
15395:
15392:
15386:
15241:
15209:
15190:
15114:
15097:
15087:
15084:
15075:
15062:
15053:
15043:
15040:
15031:
15021:
15008:since there is the resolution
14989:
14986:
14977:
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14955:
14945:
14937:
14934:
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14915:
14909:
14899:
14887:
14870:
14844:
14820:
14809:
14791:
14720:
14710:
14706:
14688:
14670:
14652:
14646:
14629:
14620:
14610:
14590:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
14546:
14529:
14523:
14495:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
14362:
14356:
14343:
14340:
14334:
14264:
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14225:
14219:
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14154:
14120:
14114:
14084:
14078:
14072:
14066:
14060:
14054:
14014:
14008:
13971:. By definition, for a scheme
13958:
13952:
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13867:
13851:
13845:
13832:
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13792:
13773:
13767:
13751:
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13632:
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13374:
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13327:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
13297:
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13144:
13126:
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12950:
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12882:
12826:
12820:
12803:{\displaystyle \omega _{V(s)}}
12795:
12789:
12759:
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12745:
12691:
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12339:
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12304:
12281:
12265:
12116:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
12078:
12060:
12007:
11998:
11707:
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11673:
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11575:
11542:
11539:
11533:
11523:
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11257:
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9790:
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9730:
9724:
9705:
9696:
9663:that is homogeneous of degree
9650:
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7019:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
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6600:
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6185:
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6031:
6011:
5887:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
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5211:
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4885:
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4825:
4697:
4691:
4657:
4651:
4603:
4596:
4553:
4547:
4517:For example, for each integer
4475:
4458:
4365:
4348:
4319:
4302:
4260:
4217:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4052:
4046:
3923:
3917:
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3832:
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3789:
3762:
3756:
3695:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3550:
3537:
3454:
3366:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3302:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3265:
3222:
3129:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
3072:is a coherent sheaf of rings.
2801:
2777:
2767:
2712:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
2675:
2383:
2370:
2360:
2333:
2327:
2135:
2121:
2105:
2099:
2089:
2086:
2080:
2068:
2062:
2047:
2041:
1963:
1950:
1909:
1813:There is an open affine cover
1777:
1771:
1741:
1677:
1611:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1553:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1496:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1466:
1460:
1399:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1366:
1239:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1169:
1153:
1118:
1085:
1034:if and only if over each open
992:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
841:
829:
819:
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684:
674:
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482:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
452:
429:
353:
343:
331:
321:
294:
284:
162:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
132:
109:
90:
30:In mathematics, especially in
13:
1:
16552:Graduate Texts in Mathematics
16419:Graduate Texts in Mathematics
16300:
14313:-theory is the corresponding
11726:of vector bundles with ranks
7722:{\displaystyle X\times _{Y}X}
6647:is a quasi-coherent sheaf on
6281:is a quasi-coherent sheaf on
5548:. To be precise, this is the
2411:
16694:The Stacks Project Authors,
16497:Sections 0.5.3 and 0.5.4 of
16171:10.1080/00927872.2011.645977
16114:"Sur les modules projectifs"
15852:Divisor (algebraic geometry)
15583:{\displaystyle E\subseteq F}
14317:.) The natural homomorphism
13912:depend only on the class of
13436:Chern classes and algebraic
12861:{\displaystyle Y\subseteq X}
10627:with its grading lowered by
10429:{\displaystyle {\tilde {M}}}
9656:{\displaystyle \pi ^{-1}(U)}
6966:has infinite dimension as a
6791:, and consider the morphism
6393:. For a morphism of schemes
4404:is a homogeneous element of
4153:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4100:{\displaystyle \mathbb {N} }
1998:{\displaystyle V\subseteq U}
1750:{\displaystyle {\tilde {M}}}
1375:{\displaystyle {\tilde {M}}}
1127:{\displaystyle {\tilde {M}}}
758:{\displaystyle U\subseteq X}
7:
16643:Encyclopedia of Mathematics
16625:Encyclopedia of Mathematics
16354:Encyclopedia of Mathematics
15840:
15818:plays a foundational role.
15564:In particular, a subbundle
14430:if every coherent sheaf on
8979:{\displaystyle \Omega ^{n}}
8756:{\displaystyle \Omega ^{i}}
8183:{\displaystyle \Omega ^{1}}
3611:{\displaystyle U_{\alpha }}
3510:{\displaystyle U_{\alpha }}
3463:{\displaystyle \pi :E\to X}
3158:locally free of finite rank
2025:, the natural homomorphism
1886:{\displaystyle U_{\alpha }}
1105:is isomorphic to the sheaf
87:of a given coherent sheaf.
10:
16764:
16349:"Coherent algebraic sheaf"
16192:Hartshorne, Robin (1978).
15805:
14309:theory for schemes, while
11807:, there is an isomorphism
10485:. Every coherent sheaf on
9849:, there is an isomorphism
9222:be a commutative ring and
8230:) is a vector bundle over
7529:For a morphism of schemes
7525:Examples of vector bundles
7026:is that the properties of
5375:is coherent. Likewise, if
3206:such that the restriction
2659:such that the restriction
2599:, meaning that each point
2271:for the open subscheme of
586:, that is, every point in
16636:Onishchik, A.L. (2001) ,
16620:"Coherent analytic sheaf"
16618:Onishchik, A.L. (2001) ,
16473:10.1007/978-1-4612-1700-8
16431:10.1007/978-1-4612-5350-1
16386:10.1007/978-3-642-69582-7
16374:Coherent Analytic Sheaves
16148:Communications in Algebra
15877:Bundle of principal parts
15808:Coherent sheaf cohomology
14301:. (In topological terms,
14270:{\displaystyle K_{0}'(X)}
13580:{\displaystyle CH^{i}(X)}
11416:is the conormal sheaf of
11132:Consider a smooth degree-
9746:as regular functions on (
8814:of the cotangent bundle,
3349:, then the vector bundle
3309:is free of the same rank
3186:has an open neighborhood
3020:locally Noetherian scheme
2821:for some natural numbers
2639:has an open neighborhood
1311:equivalence of categories
1270:above can be taken to be
606:has an open neighborhood
81:Coherent sheaf cohomology
16347:Danilov, V. I. (2001) ,
16333:10.1515/crelle-2013-0119
16278:Stacks Project, Tag 077K
16254:, §3.2 and Example 8.3.3
16229:10.1017/cbo9780511711985
16098:Stacks Project, Tag 01YR
16034:Stacks Project, Tag 01BG
15995:Stacks Project, Tag 00NV
15943:Stacks Project, Tag 01BU
15927:Stacks Project, Tag 01LA
15897:
14784:associated to the ideal
14231:{\displaystyle G_{0}(X)}
14166:{\displaystyle K_{i}(X)}
14126:{\displaystyle K_{0}(X)}
14020:{\displaystyle K_{0}(X)}
13964:{\displaystyle K_{0}(X)}
13541:{\displaystyle c_{i}(E)}
11594:is the normal bundle of
9432:given in coordinates by
7070:control the behavior of
6835:; then the direct image
6771:be the affine line over
6623:morphism of schemes and
6609:{\displaystyle f:X\to Y}
6418:{\displaystyle f:X\to Y}
6246:{\displaystyle f:X\to Y}
5617:{\displaystyle i:Z\to X}
5018:tautological line bundle
3517:with given isomorphisms
1353:to the associated sheaf
905:{\displaystyle \varphi }
892:-modules, the kernel of
716:for some natural number
16500:Grothendieck, Alexandre
14281:of coherent sheaves on
14202:A variant is the group
13683:, the Chern classes of
13606:{\displaystyle i\geq 0}
11032:determinant line bundle
8626:{\displaystyle N_{Y/X}}
8096:is a coherent sheaf on
5715:of coherent sheaves on
4424:of positive degree and
4111:over a Noetherian ring
3470:and with a covering of
15788:
15768:
15732:
15672:
15652:
15632:
15608:
15584:
15555:
15524:
15493:
15444:
15424:
15347:
15327:
15307:
15275:
15251:
15219:
15159:
15124:
14999:
14851:
14778:
14758:
14735:
14591:
14567:
14496:
14464:
14444:
14420:
14389:
14369:
14295:
14271:
14232:
14193:
14192:{\displaystyle i>0}
14167:
14127:
14091:
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14021:
13985:
13965:
13926:
13906:
13883:
13697:
13677:
13654:
13607:
13581:
13542:
13506:
13478:
13458:
13418:
13411:
13328:
13304:
13219:
13203:
13195:
13048:
12979:
12892:
12862:
12833:
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12611:
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12288:
12240:
12206:
12186:
12157:
12137:
12117:
12085:
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11920:
11801:
11774:
11747:
11717:
11637:
11608:
11588:
11552:
11459:
11430:
11410:
11371:
11324:
11221:
11201:
11181:
11146:
11106:
11070:
11024:
10985:
10872:
10839:
10819:
10783:
10759:
10730:
10710:
10681:
10661:
10641:
10621:
10601:
10581:
10548:
10528:
10508:
10479:
10459:
10430:
10397:
10377:
10357:
10326:
10265:
10239:
10206:
10186:
10166:
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10104:
10075:
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10022:
10002:
9960:homogeneous polynomial
9949:
9920:
9843:
9823:
9803:
9737:
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9150:
9053:
9033:
9004:
8980:
8959:means the line bundle
8953:
8921:
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8757:
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8647:
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8584:
8501:
8481:
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8418:
8398:
8378:
8358:
8338:
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8090:
8050:
8030:
8010:
7983:
7962:for regular functions
7956:
7910:
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7870:
7846:
7826:
7802:
7768:
7723:
7690:
7676:be the ideal sheaf of
7670:
7646:
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7549:
7548:{\displaystyle X\to Y}
7508:
7488:
7468:
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7393:
7373:
7342:
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7298:
7269:
7249:
7229:
7156:
7136:
7108:
7088:
7064:
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7020:
6980:
6960:
6931:
6902:
6870:
6829:
6785:
6765:
6745:
6719:
6699:
6661:
6641:
6610:
6575:
6555:
6497:
6463:
6443:
6419:
6387:
6367:
6329:
6295:
6275:
6247:
6201:
6086:
6038:
5972:sheaf of homomorphisms
5964:
5908:
5888:
5864:
5830:
5729:
5705:
5685:
5659:
5618:
5586:
5542:
5522:
5502:
5488:of a closed subscheme
5482:
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5369:
5349:
5310:
5290:
5262:
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5010:
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4918:
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4771:
4744:
4724:
4704:
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4635:
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4560:
4531:
4508:
4488:
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4378:
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4218:
4194:
4174:
4154:
4132:
4101:
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4059:
4018:
3994:
3970:
3950:
3930:
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3851:
3802:
3769:
3736:
3716:
3696:
3672:
3652:
3612:
3585:
3511:
3484:
3464:
3432:
3412:
3387:
3373:is said to be of rank
3367:
3343:
3323:
3303:
3279:
3236:
3200:
3180:
3150:
3130:
3106:
3066:
3041:, the structure sheaf
3035:
3012:
2977:
2951:
2917:
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2855:
2835:
2815:
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2713:
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2653:
2633:
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2589:
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2516:
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2437:
2390:
2305:
2285:
2265:
2238:
2237:{\displaystyle f\in A}
2212:
2192:
2149:
2019:
1999:
1970:
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1840:
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1635:
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1585:
1554:
1530:
1497:
1479:of global sections of
1473:
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1176:
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1063:
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386:
363:
241:
218:
194:
163:
139:
75:quasi-coherent sheaves
16660:Annals of Mathematics
16199:Mathematische Annalen
15887:Pseudo-coherent sheaf
15831:Euler characteristics
15789:
15769:
15752:Grothendieck category
15733:
15673:
15653:
15633:
15609:
15590:is a subsheaf (i.e.,
15585:
15556:
15525:
15494:
15445:
15425:
15348:
15328:
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15276:
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15000:
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14465:
14445:
14421:
14390:
14375:is an isomorphism if
14370:
14296:
14272:
14233:
14194:
14168:
14128:
14092:
14047:by the relation that
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13678:
13663:of vector bundles on
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12192:-group calculated on
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9958:In particular, every
9950:
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8716:and a natural number
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7230:
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7137:
7109:
7094:in a neighborhood of
7089:
7065:
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6981:
6961:
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