3910:
3443:
5540:
2753:
3905:{\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}
5127:
2356:
4660:
4141:
5535:{\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}
2748:{\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\0&i\neq 0,n\\\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}}
5740:
4420:
4995:
5960:
1017:
3943:
8840:
in its classical (Euclidean) topology, whereas the groups on the right are cohomology groups of coherent sheaves, which (by GAGA) can be taken either in the
Zariski or in the classical topology. The same conclusion holds for any smooth proper scheme
5551:
7209:
4655:{\displaystyle H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})}
6532:, this is proved by reducing to the case of line bundles on projective space, discussed above. In the general case of a proper scheme over a field, Grothendieck proved the finiteness of cohomology by reducing to the projective case, using
3278:
5116:
4836:
3396:
8782:
7635:
8172:. (The first group here is defined using the Zariski topology, and the second using the classical (Euclidean) topology.) For example, the equivalence between algebraic and analytic coherent sheaves on projective space implies
5778:
853:
9716:
6119:
9151:
8161:
865:
9275:
4136:{\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}}
9568:
44:; such sections can be viewed as generalized functions. Cohomology provides computable tools for producing sections, or explaining why they do not exist. It also provides invariants to distinguish one
4831:
4271:
6325:
646:
9455:
8380:
7925:
5556:
5132:
3948:
3448:
4412:
4371:
9297:
When combined with a vanishing theorem, the
Riemann–Roch theorem can often be used to determine the dimension of the vector space of sections of a line bundle. Knowing that a line bundle on
7794:
4747:
8018:
7064:
6857:
3123:
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2948:
1700:
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6689:
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2064:
1886:
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764:
692:
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7381:
6222:
9641:
5735:{\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}
1075:
219:
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7726:
2101:
1954:
6597:
298:
3172:
8602:
5023:
4990:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)}
2974:
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2018:
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1746:
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318:
266:
246:
107:
3316:
8678:
7503:
1564:.) These results generalize a large body of older work about the construction of complex analytic functions with given singularities or other properties.
9820:
5955:{\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))}
10523:
8173:
9972:
Hochenegger, Andreas (2019). "Introduction to derived categories of coherent sheaves". In
Andreas Hochenegger; Manfred Lehn; Paolo Stellari (eds.).
802:
9669:
5971:
10322:
7800:
theory includes generalizations to any coherent sheaf and any proper morphism of schemes, although the statements become less elementary.
1012:{\displaystyle 0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .}
9042:
10267:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1960–61 – Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques
8082:
9202:
9179:
9009:
9000:
is the complex numbers. Hodge theory has inspired a large body of work on the topological properties of complex algebraic varieties.
7796:
have the same (finite) dimension. (Serre also proved Serre duality for holomorphic vector bundles on any compact complex manifold.)
9175:
10390:
9480:
1414:
9287:
4786:
4179:
10274:
10467:
10369:
10292:
10007:
6286:
608:
9380:
10433:
8345:
7846:
4376:
4335:
36:
with specified properties. Many geometric questions can be formulated as questions about the existence of sections of
10245:
8670:
is a smooth complex projective variety, then there is a canonical direct-sum decomposition of complex vector spaces:
8034:
GAGA theorems relate algebraic varieties over the complex numbers to the corresponding analytic spaces. For a scheme
6714:
The finite-dimensionality of cohomology leads to many numerical invariants for projective varieties. For example, if
3915:
which can be simplified using the previous computations on projective space. For simplicity, assume the base ring is
7731:
6539:
The finite-dimensionality of cohomology also holds in the analogous situation of coherent analytic sheaves on any
4708:
9309:
9305:
to projective space, perhaps a closed immersion. This approach is essential for classifying algebraic varieties.
8624:. Kodaira vanishing and its generalizations are fundamental to the classification of algebraic varieties and the
7970:
7016:
6809:
3075:
2415:
8515:
2901:
1653:
1420:
6650:
10443:
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3128:
2023:
1845:
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723:
651:
538:
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10508:
2850:
1339:
8039:
2315:
10503:
10438:
9308:
The
Riemann–Roch theorem also holds for holomorphic vector bundles on a compact complex manifold, by the
8054:. The key GAGA theorem (by Grothendieck, generalizing Serre's theorem on the projective case) is that if
7331:
6188:
9767:
isomorphism classes of deformations of the above type are parametrized by the first coherent cohomology
9596:
1049:
193:
158:
115:
10528:
4668:
2319:
1812:
1755:
1572:
1166:
769:
3404:
2268:
1518:
10356:
10318:"Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie"
8890:
For example, the Hodge theorem implies that the definition of the genus of a smooth projective curve
8812:
8413:
6890:
3125:
can be readily computed using a long exact sequence in cohomology. First note that for the embedding
1749:
52:
9826:
9770:
9350:
8241:
7204:{\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).}
6602:
6381:
3003:
2828:
2177:
2106:
1979:
1788:
1629:
1582:
1392:
1345:
1309:
1025:
487:
10178:, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), pp. 273-278.
9171:
3437:
can be used to compute cohomology via the long exact sequence in cohomology. The sequence reads as
461:
8864:
8062:, then this functor is an equivalence of categories. Moreover, for every coherent algebraic sheaf
6230:
6127:
3918:
2875:
10518:
8312:
7689:
3273:{\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}
10309:
10262:
5772:
is the genus of the curve, we can use the KĂĽnneth formula to compute its Betti numbers. This is
5111:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0}
2073:
1926:
1576:
476:
are a generalization of coherent sheaves, including the locally free sheaves of infinite rank.
78:
33:
6570:
1728:. This is related to the fact that the category of quasi-coherent sheaves on an affine scheme
271:
10513:
10056:
8625:
8581:
2953:
1705:
1472:
697:
366:
10425:
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10343:
10302:
10255:
9987:
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9023:
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8388:
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7237:
5748:
4149:
3286:
2130:
144:
86:
10209:
8:
10193:
9593:
to infinitesimal neighborhoods. The simplest case, concerning deformations over the ring
8643:
6884:
6644:
4752:
4289:
3391:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0}
856:
465:
9991:
7228:
10413:
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584:
514:
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343:
323:
303:
251:
231:
187:
92:
21:
8884:
8777:{\displaystyle H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),}
4283:
2067:
10463:
10386:
10365:
10288:
10241:
10017:
10003:
8192:
7630:{\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}
7262:
6547:
and Serre proved finite-dimensionality in this analytic situation using a theorem of
2997:
1568:
1330:
is a coherent or quasi-coherent sheaf, because of the following sequence of results.
509:
45:
10313:
4286:
in coherent sheaf cohomology for products of varieties. Given quasi-compact schemes
456:
Unlike vector bundles, coherent sheaves (in the analytic or algebraic case) form an
10455:
10405:
10351:
10331:
10233:
10221:
10205:
9995:
9976:. Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana. Vol. 26. pp. 267–295.
8504:
7797:
7232:
7067:
6552:
6548:
2758:
In particular, this calculation shows that the cohomology of projective space over
2202:
1901:
532:
457:
152:
148:
37:
25:
10317:
6556:
10421:
10375:
10339:
10298:
10251:
10229:
8235:
7643:
7452:
6970:
6739:
6560:
6533:
602:
10459:
9999:
8385:
Although Serre's vanishing theorem is useful, the inexplicitness of the number
6880:
225:
70:
64:
41:
10237:
8604:. Note that Serre's theorem guarantees the same vanishing for large powers of
8382:
is spanned by its global sections and has no cohomology in positive degrees.
10497:
9726:
9661:
7408:
7222:
6735:
6540:
6336:
1889:
1604:
228:
play a fundamental role in geometry. More generally, for a closed subvariety
10198:
Comptes Rendus
Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris
10031:
848:{\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0}
10073:
9930:
9914:
9711:{\displaystyle X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k}
9644:
8977:
8637:
6564:
6544:
1303:
110:
6114:{\displaystyle {\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1}
1900:
As a consequence of the vanishing of cohomology for affine schemes: for a
1892:
schemes by the vanishing of higher cohomology for quasi-coherent sheaves.
1515:
is Stein if and only if it is isomorphic to a closed analytic subspace of
9465:
9163:
1895:
1367:
17:
10283:
8168:
of (finite-dimensional) complex vector spaces is an isomorphism for all
6918:
of complex points in its classical (Euclidean) topology. (In that case,
6711:
is a point, this theorem gives the finite-dimensionality of cohomology.
10417:
10335:
10194:"Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes"
3310:
is exact. This means that the short exact sequence of coherent sheaves
1571:
introduced coherent sheaves into algebraic geometry (at first over an
3937:(or any algebraically closed field). Then there are the isomorphisms
10409:
8436:
is a smooth projective variety over a field of characteristic zero,
6563:
were proved by
Grothendieck (for locally Noetherian schemes) and by
10485:
10450:
Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (2004). "The
Finiteness Theorem".
9982:
469:
9186:
is a line bundle on a smooth proper geometrically connected curve
9146:{\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).}
8628:. Kodaira vanishing fails over fields of positive characteristic.
10217:
1579:). The analogs of Cartan's theorems hold in great generality: if
55:
is formulated in terms of coherent sheaves and their cohomology.
10228:, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 265,
8156:{\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})}
10172:
Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p > 0
9301:
has enough sections, in turn, can be used to define a map from
9270:{\displaystyle \chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,}
6969:.) Among many possible higher-dimensional generalizations, the
2778:
with coefficients in any line bundle has finite dimension as a
8050:
to coherent analytic sheaves on the associated analytic space
6567:(for complex analytic spaces). Namely, for a proper morphism
8976:, agrees with the topological definition (as half the first
6599:(in the algebraic or analytic setting) and a coherent sheaf
8029:
2741:
10032:"Section 33.29 (0BEC): Künneth formula—The Stacks project"
9563:{\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})}
6185:
is defined by the vanishing locus of a generic section of
4173:
of the curve is a finite dimensional vector space of rank
2205:
with coefficients in any line bundle. Namely, for a field
2127:
on all finite intersections of the affine open subschemes
9320:
Dimensions of cohomology groups on a scheme of dimension
8809:. The group on the left means the singular cohomology of
4826:{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}
4266:{\displaystyle {d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}
2801:
The vanishing of these cohomology groups above dimension
2201:
Using ÄŚech cohomology, one can compute the cohomology of
460:, and so they are closed under operations such as taking
8046:, there is a functor from coherent algebraic sheaves on
7843:, Serre duality implies that the dimension of the space
1333:
8642:
The Hodge theorem relates coherent sheaf cohomology to
6320:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}
4778:
641:{\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}
1896:ÄŚech cohomology and the cohomology of projective space
1888:. In fact, affine schemes are characterized among all
10308:
10158:
10089:
10057:"FOUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY CLASSES 35 AND 36"
9829:
9773:
9734:
9725:. Coherent sheaf cohomology with coefficients in the
9672:
9599:
9483:
9383:
9353:
9205:
9045:
8986:
8962:
8916:
8896:
8867:
8847:
8815:
8795:
8681:
8656:
8610:
8584:
8518:
8482:
8462:
8442:
8422:
8391:
8348:
8315:
8288:
8268:
8244:
8220:
8200:
8085:
7973:
7953:
7933:
7849:
7829:
7809:
7734:
7692:
7672:
7652:
7506:
7481:
7461:
7437:
7417:
7389:
7334:
7311:
7291:
7271:
7240:
7081:
7070:(according to one convention) is the alternating sum
7019:
6999:
6979:
6924:
6893:
6865:
6812:
6792:
6772:
6748:
6720:
6697:
6653:
6629:
6605:
6573:
6518:
6494:
6474:
6428:
6408:
6384:
6364:
6344:
6289:
6233:
6191:
6171:
6130:
5974:
5781:
5751:
5554:
5130:
5026:
5003:
4839:
4789:
4755:
4711:
4671:
4423:
4379:
4338:
4318:
4292:
4182:
4152:
3946:
3921:
3446:
3407:
3319:
3289:
3175:
3131:
3078:
3058:
3038:
3006:
2982:
2956:
2904:
2878:
2858:
2831:
2807:
2784:
2764:
2359:
2322:
2300:
2271:
2251:
2231:
2211:
2180:
2160:
2133:
2109:
2076:
2026:
2006:
1982:
1962:
1929:
1909:
1848:
1815:
1791:
1758:
1734:
1708:
1656:
1632:
1612:
1585:
1550:
1521:
1501:
1475:
1423:
1395:
1375:
1348:
1312:
1288:
1242:
1222:
1202:
1169:
1149:
1103:
1083:
1052:
1028:
868:
805:
772:
726:
700:
654:
611:
587:
541:
517:
490:
439:
419:
399:
369:
346:
326:
306:
274:
254:
234:
196:
161:
118:
95:
9450:{\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})}
7231:
for coherent sheaf cohomology. In this analogy, the
413:. In this way, many questions about subvarieties of
69:
Coherent sheaves can be seen as a generalization of
10261:
10132:
8375:{\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}}
7920:{\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})}
3027:
1143:(defined using the underlying topological space of
9864:
9808:
9747:
9710:
9635:
9562:
9449:
9363:
9269:
9145:
8992:
8968:
8948:
8902:
8875:
8853:
8832:
8801:
8776:
8662:
8616:
8596:
8565:
8495:
8468:
8448:
8428:
8404:
8374:
8334:
8301:
8274:
8254:
8226:
8206:
8155:
8012:
7959:
7939:
7919:
7835:
7815:
7788:
7720:
7678:
7658:
7629:
7487:
7467:
7443:
7423:
7395:
7375:
7317:
7297:
7277:
7253:
7203:
7058:
7005:
6985:
6957:
6910:
6871:
6851:
6798:
6778:
6754:
6726:
6703:
6683:
6635:
6615:
6591:
6524:
6500:
6480:
6460:
6414:
6394:
6370:
6350:
6319:
6283:hence a curve of any genus can be found inside of
6272:
6216:
6177:
6157:
6113:
5954:
5764:
5734:
5534:
5110:
5009:
4989:
4825:
4767:
4741:
4697:
4654:
4406:
4365:
4324:
4304:
4265:
4165:
4135:
3929:
3904:
3422:
3390:
3302:
3272:
3158:
3117:
3064:
3044:
3016:
2988:
2968:
2942:
2890:
2864:
2841:
2813:
2790:
2770:
2747:
2341:
2306:
2286:
2257:
2237:
2217:
2190:
2166:
2146:
2119:
2095:
2058:
2012:
1992:
1968:
1948:
1915:
1880:
1834:
1801:
1777:
1740:
1720:
1694:
1642:
1618:
1595:
1556:
1536:
1507:
1487:
1461:
1405:
1381:
1358:
1322:
1294:
1274:
1228:
1208:
1188:
1155:
1135:
1089:
1069:
1038:
1011:
847:
791:
758:
712:
686:
640:
593:
573:
523:
500:
445:
425:
405:
385:
352:
332:
312:
292:
260:
240:
213:
178:
135:
101:
6045:
6016:
6007:
5978:
4407:{\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)}
4366:{\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)}
4215:
4186:
433:can be expressed in terms of coherent sheaves on
10495:
9324:can grow up at most like a polynomial of degree
9872:which vanishes if and only if a deformation of
10449:
10216:
10093:
3166:there is the isomorphism of cohomology groups
1785:-modules, with the equivalence taking a sheaf
10454:. Classics in Mathematics. pp. 186–203.
9158:The Euler characteristic of a coherent sheaf
7789:{\displaystyle H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})}
6543:complex space, by a very different argument.
8416:is an important explicit result. Namely, if
4742:{\displaystyle X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}
2090:
2077:
1943:
1930:
10364:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
10191:
10148:, Theorem II.5.17 and Proposition III.5.3.)
9971:
8013:{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}
7803:For example, for a smooth projective curve
7059:{\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}
6852:{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}
3118:{\displaystyle H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}
10350:
10192:Cartan, Henri; Serre, Jean-Pierre (1953).
10145:
10119:
9959:
9946:
9898:
6488:-vector spaces. In the special case where
3000:(for example, a variety over a field) and
2673:
2635:
2499:
2461:
2103:. In other words, knowing the sections of
799:. For any short exact sequence of sheaves
10524:Topological methods of algebraic geometry
10282:
9981:
8566:{\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}
6932:
6901:
6559:. Relative versions of this result for a
6307:
6292:
5917:
5857:
4966:
4898:
4813:
4798:
4094:
4009:
3923:
3868:
3827:
3774:
3719:
3678:
3625:
3570:
3529:
3476:
3410:
3191:
3146:
2943:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}
2375:
2274:
2070:groups with respect to the open covering
1695:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}
1524:
1462:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}
9909:
9907:
9003:
6684:{\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}
6330:
151:, and coherent sheaves are defined as a
10431:
9755:controls this class of deformations of
8949:{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})}
8176:that every closed analytic subspace of
6461:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
3159:{\displaystyle i:C\to \mathbb {P} ^{2}}
2059:{\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}
1881:{\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}
1650:is spanned by its global sections, and
1338:Complex analysis was revolutionized by
1275:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
1136:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
759:{\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}
687:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
574:{\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
10496:
6958:{\displaystyle X(\mathbb {C} )=X^{an}}
6786:is defined to be the dimension of the
5121:Then, the long exact sequence reads as
3032:Given a smooth projective plane curve
1575:, but that restriction was removed by
1196:of regular functions. For example, if
10385:
10106:
10066:
9923:
9904:
9647:, examines whether there is a scheme
8183:
7265:. Namely, for a smooth proper scheme
2265:, the cohomology of projective space
1334:Vanishing theorems in the affine case
10323:Publications Mathématiques de l'IHÉS
9974:Birational Geometry of Hypersurfaces
9335:be a projective scheme of dimension
7455:. Serre duality for a vector bundle
4779:Computing sheaf cohomology of curves
4332:, (e.g. separated schemes), and let
8956:, which makes sense over any field
7823:over an algebraically closed field
7376:{\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k}
6742:over an algebraically closed field
6217:{\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)}
4312:with affine-diagonals over a field
1342:in 1953. These results say that if
1306:. The theory becomes powerful when
605:of the functor of global sections,
479:
58:
13:
9636:{\displaystyle R:=k/\epsilon ^{2}}
9506:
9405:
9356:
8938:
8759:
8351:
8247:
7996:
7870:
7181:
7097:
7042:
6835:
6676:
6608:
6450:
6387:
6194:
6020:
5982:
5932:
5872:
5804:
5699:
5657:
5623:
5581:
5514:
5481:
5428:
5383:
5350:
5297:
5252:
5219:
5166:
5091:
5074:
5036:
4958:
4927:
4890:
4843:
4644:
4605:
4551:
4497:
4484:
4382:
4341:
4277:
4190:
4109:
4058:
4024:
3973:
3884:
3842:
3789:
3735:
3693:
3640:
3586:
3544:
3491:
3371:
3350:
3328:
3256:
3217:
3101:
3009:
2926:
2885:
2834:
2825:: for any sheaf of abelian groups
2390:
2325:
2183:
2112:
2048:
1985:
1870:
1818:
1794:
1761:
1678:
1635:
1588:
1445:
1398:
1366:is a coherent analytic sheaf on a
1351:
1315:
1264:
1172:
1125:
1070:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
1056:
1031:
992:
960:
928:
896:
834:
824:
814:
775:
748:
676:
624:
614:
563:
493:
214:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
200:
179:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
165:
136:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
122:
14:
10540:
10477:
10391:"Faisceaux algébriques cohérents"
10159:Grothendieck & Dieudonné 1961
10090:Grothendieck & Dieudonné 1961
10054:
9180:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
9010:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
4705:are the canonical projections of
4698:{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}
2342:{\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}
1835:{\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}
1778:{\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}
1189:{\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}
792:{\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}
89:. In both cases, the given space
9901:, (III.1.1A) and section III.2.)
9819:there is an element (called the
8869:
8823:
8702:
8023:
7216:
3423:{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}
3028:Sheaf cohomology of plane-curves
2976:. This is especially useful for
2823:Grothendieck's vanishing theorem
2287:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
1603:is a quasi-coherent sheaf on an
1537:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
10164:
10151:
10138:
10133:Grothendieck & Raynaud 2003
10125:
10112:
10099:
10082:
9572:
9176:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
8833:{\displaystyle X(\mathbf {C} )}
8631:
6973:of a smooth projective variety
6911:{\displaystyle X(\mathbb {C} )}
4414:, then there is an isomorphism
340:determines a coherent sheaf on
81:, and an analogous notion of a
51:Much of algebraic geometry and
10275:Société Mathématique de France
10048:
10024:
9965:
9952:
9939:
9891:
9865:{\displaystyle H^{2}(X,T_{X})}
9859:
9840:
9809:{\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}
9803:
9784:
9615:
9609:
9557:
9538:
9529:
9526:
9517:
9494:
9444:
9431:
9422:
9419:
9410:
9394:
9364:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
9255:
9249:
9238:
9232:
9221:
9209:
9137:
9134:
9122:
9109:
9087:
9077:
9061:
9049:
8943:
8927:
8827:
8819:
8768:
8749:
8706:
8692:
8554:
8529:
8255:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
8150:
8124:
8111:
8108:
8096:
8007:
7984:
7914:
7895:
7879:
7860:
7783:
7751:
7715:
7703:
7621:
7618:
7599:
7586:
7583:
7551:
7529:
7517:
7367:
7364:
7345:
7227:Serre duality is an analog of
7195:
7192:
7169:
7156:
7134:
7124:
7108:
7085:
7053:
7030:
6936:
6928:
6905:
6897:
6846:
6823:
6616:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
6583:
6455:
6439:
6395:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
6211:
6199:
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1434:
1415:spanned by its global sections
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619:
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552:
501:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
284:
1:
10362:Graduate Texts in Mathematics
10185:
9174:and its generalizations, the
7383:, which is an isomorphism if
2154:determines the cohomology of
1976:, and a quasi-coherent sheaf
1236:, then the cohomology groups
1097:, then the cohomology groups
32:is a technique for producing
10484:The Stacks Project Authors,
10265:; Raynaud, Michèle (2003) ,
9589:studies the deformations of
8876:{\displaystyle \mathbf {C} }
6273:{\displaystyle 2k-2-k+1=k-1}
6158:{\displaystyle -a,-b\leq -2}
4282:There is an analogue of the
3930:{\displaystyle \mathbb {C} }
2891:{\displaystyle n<\infty }
2851:Noetherian topological space
1163:) are modules over the ring
7:
10460:10.1007/978-3-642-18921-0_8
10439:Encyclopedia of Mathematics
10176:C. P. Ramanujam - a tribute
10000:10.1007/978-3-030-18638-8_7
9721:is isomorphic to the given
9464:For a higher cohomology of
9310:Atiyah–Singer index theorem
8456:is an ample line bundle on
8335:{\displaystyle m\geq m_{0}}
7431:to an algebraic closure of
5017:, giving the ideal sequence
224:Vector bundles such as the
10:
10545:
10094:Grauert & Remmert 1984
9007:
8635:
8027:
7721:{\displaystyle H^{i}(X,E)}
7220:
2821:is a very special case of
1923:, an affine open covering
1573:algebraically closed field
62:
10238:10.1007/978-3-642-69582-7
10226:Coherent Analytic Sheaves
9371:is any coherent sheaf on
9315:
9162:can be computed from the
8414:Kodaira vanishing theorem
8238:, and any coherent sheaf
8189:Serre's vanishing theorem
7947:is equal to the genus of
6468:have finite dimension as
2314:with coefficients in the
2096:{\displaystyle \{U_{i}\}}
1949:{\displaystyle \{U_{i}\}}
1340:Cartan's theorems A and B
1216:is a scheme over a field
601:are defined as the right
73:. There is a notion of a
53:complex analytic geometry
30:coherent sheaf cohomology
10161:, (EGA 3) Theorem 2.2.1)
10075:Stacks Project, Tag 02O3
10036:stacks.math.columbia.edu
9932:Stacks Project, Tag 01XE
9916:Stacks Project, Tag 01X8
9884:
6592:{\displaystyle f:X\to Y}
6422:, the cohomology groups
3024:a quasi-coherent sheaf.
2020:, the cohomology groups
393:, which is zero outside
293:{\displaystyle i:Y\to X}
83:coherent algebraic sheaf
10432:Parshin, A.N. (2001) ,
10310:Grothendieck, Alexandre
10263:Grothendieck, Alexandre
7405:geometrically connected
6883:, this agrees with the
6378:and any coherent sheaf
4833:, a generic section of
3072:, the sheaf cohomology
766:can be identified with
508:of abelian groups on a
75:coherent analytic sheaf
10452:Theory of Stein Spaces
10135:, (SGA 1) Exposé XII.)
9866:
9810:
9749:
9712:
9637:
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8597:{\displaystyle j>0}
8567:
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8470:
8450:
8430:
8412:can be a problem. The
8406:
8376:
8336:
8303:
8282:, there is an integer
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7941:
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7722:
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7660:
7631:
7495:says that the product
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7279:
7261:plays the role of the
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2066:are isomorphic to the
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180:
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103:
79:complex analytic space
10434:"Finiteness theorems"
10398:Annals of Mathematics
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8883:, or for any compact
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7666:. In particular, the
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7378:
7325:, there is a natural
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2174:with coefficients in
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190:(that is, sheaves of
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145:holomorphic functions
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9024:Euler characteristic
9014:For a proper scheme
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6165:. In particular, if
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