3016:
20:
2700:
3705:
3864:, which states that wave drag due to volume in transonic flow depends primarily on the distribution of total cross-sectional area, and for low wave drag this distribution must be smooth. A common misconception is that the Sears–Haack body has the ideal area distribution according to the area rule, but this is not correct. The
1079:
3011:{\displaystyle \mathrm {p.v.} \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos n\theta _{2}}{\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}}}d\theta _{2}={\frac {\pi \sin n\theta _{1}}{\sin \theta _{1}}},\quad \int _{0}^{\pi }\sin n\theta _{1}\sin m\theta _{1}d\theta _{1}={\frac {\pi }{2}}{\begin{cases}1\,\,(m=n),\\0,\,\,(m\neq n).\end{cases}}}
1271:
2634:
3448:
1868:
1428:
2404:
2146:
1551:
873:
3700:{\displaystyle C_{d}={\frac {128}{\pi }}\left({\frac {V}{l^{3}}}\right)^{2}={\frac {9\pi }{2}}\left({\frac {S_{\mathrm {max} }}{l^{2}}}\right)^{2},\quad R(x)={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi }}\left({\frac {V}{3l^{4}}}\right)^{1/2}^{3/4},}
2445:
796:
320:
1090:
3173:
1677:
35:
in supersonic flow, for a slender solid body or revolution with a given body length and volume. The mathematical derivation assumes small-disturbance (linearized) supersonic flow, which is governed by the
392:
607:
3440:
1954:
is the trailing edge, although the Kármán–Moore theory does not distinguish these ends because the drag coefficieint is independent of the direction of motion in the linear theory. Instead of
1282:
485:
3088:
113:
2181:
3850:
1624:
2668:
2030:
1584:
841:
2257:
2265:
2038:
1074:{\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}
3364:
3338:
3302:
3276:
1436:
3223:
2434:
1650:
3798:
3737:
1981:
1900:
142:
2207:
1952:
1926:
3822:
3767:
The Sears–Haack body shape derivation is correct only in the limit of a slender body. The theory has been generalized to slender but non-axisymmetric shapes by
3757:
3243:
3196:
2692:
3969:
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Fluid mechanics: Landau And
Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. page 473-474.
2629:{\displaystyle F=\mathrm {p.v.} {\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}f(\xi _{1})f'(\xi _{2}){\frac {d\xi _{1}d\xi _{2}}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}
3996:
4001:
1266:{\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}
162:
3096:
618:
1863:{\displaystyle F=-{\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}}
148:. Thus, the Sears–Haack body is pointed at each end and grows smoothly to a maximum and then decreases smoothly toward the second point.
3852:
plane as assumed by Sears and Haack. Hence, Jones's theory makes it applicable to more complex shapes like entire supersonic aircraft.
331:
3868:, which is the starting point in the Sears–Haack body shape derivation, is not valid in transonic flow, which is where the
496:
1423:{\displaystyle D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},}
3881:
3865:
3369:
37:
3997:
https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
3924:
Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Bericht der
Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.
403:
3768:
3024:
3992:
58:
2154:
1668:
864:
52:
3933:
Sears, W. R. (1947). On projectiles of minimum wave drag. Quarterly of
Applied Mathematics, 4(4), 361-366.
2439:
To calculate the drag force, first we shall rewrite the drag force formula, by integrating by parts once,
3827:
1595:
4002:
Geschoßformen kleinsten
Wellenwiderstandes by W. Haack, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
3944:
2642:
1562:
808:
is the ratio of the distance from the nose to the whole body length (this is always between 0 and 1),
55:
indicates that the wave drag scales as the square of the second derivative of the area distribution,
2945:
819:
2399:{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}f(x)dx,\quad V=\int _{0}^{l}S(x)dx={\frac {\pi }{16}}l^{3}A_{2}.}
2141:{\displaystyle f=-l\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\sin n\theta ,\quad x={\frac {l}{2}}(1-\cos \theta )}
2212:
4006:
3979:
NACA Report 1284, Theory of Wing-Body Drag at
Supersonic Speeds, by Robert T. Jones, 8 July 1953
3896:
1986:
1546:{\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},}
2671:
4021:
3343:
3310:
3281:
3248:
3201:
2412:
1635:
3774:
3713:
1957:
1876:
118:
8:
2186:
1931:
1905:
3946:
Bodies having
Minimum Pressure Drag in Supersonic Flow – Investigating Nonlinear Effects
3807:
3742:
3228:
3181:
2677:
40:. The derivation and shape were published independently by two separate researchers:
3906:
1627:
45:
3891:
41:
315:{\displaystyle S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}^{3/2},}
4015:
1902:
is the cross-sectional area of the body perpendicular to the body axis; here
3886:
3978:
3168:{\displaystyle C_{d}={\frac {\pi }{4}}\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}.}
145:
115:(see full expression below), so for low wave drag it is necessary that
791:{\displaystyle r''(x)=-3R_{\text{max}}\{^{-5/4}(1-2x)^{2}+2^{-1/4}\},}
3901:
3869:
3861:
3801:
1587:
32:
3952:. 22nd Applied Aerodynamics Conference and Exhibit. Antony Jameson
2409:
Note that the volume of the body depends only on the coefficient
2694:
and integrate the expression using the following two identities
19:
3021:
The final result, expressed in terms of the drag coefficient
387:{\displaystyle V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,}
3004:
3830:
3810:
3777:
3745:
3716:
3451:
3372:
3346:
3313:
3284:
3251:
3231:
3204:
3184:
3099:
3027:
2703:
2680:
2645:
2448:
2415:
2268:
2215:
2189:
2157:
2041:
1989:
1960:
1934:
1908:
1879:
1680:
1638:
1598:
1565:
1439:
1285:
1276:
These formulae may be combined to get the following:
1093:
876:
822:
621:
499:
406:
334:
165:
121:
61:
1630:(normaled by the dynamic pressure and frontal area),
602:{\displaystyle r'(x)=3R_{\text{max}}^{-1/4}(1-2x),}
3844:
3816:
3792:
3751:
3731:
3699:
3434:
3358:
3332:
3296:
3270:
3237:
3217:
3190:
3167:
3082:
3010:
2686:
2662:
2628:
2428:
2398:
2251:
2201:
2175:
2140:
2024:
1975:
1946:
1920:
1894:
1862:
1644:
1618:
1578:
1545:
1422:
1265:
1073:
835:
790:
601:
479:
386:
314:
156:The cross-sectional area of a Sears–Haack body is
136:
107:
16:The most aerodynamic shape for supersonic vehicles
3771:in NACA Report 1284. In this extension, the area
3435:{\displaystyle S=(1/3)l^{3}A_{2}\sin ^{3}\theta }
4013:
3762:
782:
658:
3942:
2674:. Now we can substitute the expansion for
480:{\displaystyle r(x)=R_{\text{max}}^{3/4},}
3083:{\displaystyle C_{d}=F/\rho U^{2}l^{2}/2}
2982:
2981:
2952:
2951:
31:is the shape with the lowest theoretical
843:is the radius at its maximum (occurs at
108:{\displaystyle D_{\text{wave}}\sim ^{2}}
18:
3860:A superficially related concept is the
4014:
2176:{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
3845:{\displaystyle x={\text{constant}}}
1619:{\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}}
13:
3544:
3541:
3538:
3139:
2711:
2705:
2653:
2647:
2462:
2456:
2070:
1671:, the wave drag force is given by
1246:
1171:
1054:
1039:
151:
14:
4033:
3986:
1928:represents the leading edge and
3993:Haack Minimum Drag Rifle Bullet
3739:is the radius as a function of
3575:
2860:
2663:{\displaystyle \mathrm {p.v.} }
2320:
2100:
1579:{\displaystyle D_{\text{wave}}}
3972:
3963:
3936:
3927:
3918:
3882:Prandtl–Glauert transformation
3787:
3781:
3726:
3720:
3677:
3673:
3661:
3655:
3585:
3579:
3393:
3379:
2995:
2983:
2965:
2953:
2566:
2553:
2542:
2529:
2351:
2345:
2308:
2302:
2278:
2272:
2240:
2234:
2225:
2219:
2135:
2117:
2019:
2013:
1999:
1993:
1970:
1964:
1889:
1883:
1830:
1802:
1792:
1779:
1768:
1755:
1242:
1223:
1214:
1201:
1167:
1161:
1034:
1006:
996:
983:
972:
959:
836:{\displaystyle R_{\text{max}}}
762:
758:
746:
737:
722:
706:
686:
682:
670:
661:
636:
630:
593:
578:
558:
554:
542:
533:
514:
508:
457:
453:
441:
432:
416:
410:
292:
288:
276:
267:
229:
225:
213:
204:
175:
169:
131:
125:
96:
92:
86:
75:
1:
3943:Palaniappan, Karthik (2004).
3912:
3763:Generalization by R. T. Jones
1983:, we can define the function
1662:
3855:
1652:is the density of the fluid,
847:= 0.5, center of the shape),
7:
4007:Sears–Haack body calculator
3875:
2252:{\displaystyle S(0)=S(l)=0}
10:
4038:
3804:whose apex is at location
2025:{\displaystyle f(x)=S'(x)}
490:the derivative (slope) is
2209:because of the condition
2183:. The series starts from
612:the second derivative is
3866:Prandtl–Glauert equation
2032:and expand it in series
38:Prandtl–Glauert equation
3359:{\displaystyle n\geq 3}
3333:{\displaystyle A_{n}=0}
3297:{\displaystyle n\geq 3}
3271:{\displaystyle A_{n}=0}
3225:, the minimum value of
3897:Haack series nose cone
3846:
3818:
3794:
3753:
3733:
3701:
3436:
3360:
3334:
3298:
3272:
3239:
3219:
3192:
3169:
3143:
3084:
3012:
2688:
2672:Cauchy principal value
2664:
2630:
2430:
2400:
2253:
2203:
2177:
2142:
2074:
2026:
1977:
1948:
1922:
1896:
1864:
1646:
1620:
1580:
1547:
1424:
1267:
1075:
837:
792:
603:
481:
388:
316:
138:
109:
24:
3847:
3824:, rather than on the
3819:
3795:
3754:
3734:
3702:
3437:
3361:
3335:
3299:
3273:
3240:
3220:
3218:{\displaystyle A_{2}}
3193:
3170:
3123:
3090:, is simply given by
3085:
3013:
2689:
2665:
2631:
2431:
2429:{\displaystyle A_{2}}
2401:
2254:
2204:
2178:
2143:
2054:
2027:
1978:
1949:
1923:
1897:
1865:
1647:
1645:{\displaystyle \rho }
1621:
1581:
1548:
1425:
1268:
1076:
838:
793:
604:
482:
389:
317:
139:
110:
44:in 1941 and later by
22:
3828:
3808:
3793:{\displaystyle S(x)}
3775:
3743:
3732:{\displaystyle R(x)}
3714:
3449:
3370:
3344:
3311:
3282:
3249:
3229:
3202:
3182:
3097:
3025:
2701:
2678:
2643:
2446:
2413:
2266:
2213:
2187:
2155:
2039:
1987:
1976:{\displaystyle S(x)}
1958:
1932:
1906:
1895:{\displaystyle S(x)}
1877:
1678:
1636:
1596:
1563:
1437:
1283:
1091:
874:
820:
814:is the local radius,
619:
497:
404:
332:
163:
137:{\displaystyle S(x)}
119:
59:
3161:
2875:
2732:
2525:
2510:
2341:
2298:
2202:{\displaystyle n=2}
1947:{\displaystyle x=l}
1921:{\displaystyle x=0}
1746:
1731:
1669:Kármán–Moore theory
1521:
1385:
1192:
1152:
950:
935:
867:, it follows that:
865:Kármán–Moore theory
377:
266:
53:Kármán–Moore theory
3862:Whitcomb area rule
3842:
3814:
3800:is defined on the
3790:
3749:
3729:
3697:
3432:
3356:
3330:
3294:
3268:
3235:
3215:
3188:
3165:
3147:
3080:
3008:
3003:
2861:
2718:
2684:
2660:
2626:
2511:
2496:
2426:
2396:
2327:
2284:
2249:
2199:
2173:
2138:
2022:
1973:
1944:
1918:
1892:
1860:
1732:
1717:
1642:
1616:
1576:
1543:
1501:
1420:
1365:
1263:
1178:
1138:
1071:
936:
921:
833:
788:
599:
477:
384:
363:
312:
252:
134:
105:
25:
3840:
3817:{\displaystyle x}
3752:{\displaystyle x}
3635:
3608:
3602:
3560:
3523:
3495:
3473:
3238:{\displaystyle F}
3191:{\displaystyle V}
3121:
2938:
2855:
2793:
2687:{\displaystyle f}
2624:
2494:
2371:
2115:
1715:
1611:
1573:
1538:
1480:
1452:
1402:
1331:
1293:
1123:
1101:
906:
884:
830:
655:
530:
429:
370:
361:
259:
202:
69:
4029:
3981:
3976:
3970:
3967:
3961:
3960:
3958:
3957:
3951:
3940:
3934:
3931:
3925:
3922:
3907:Lemon (geometry)
3851:
3849:
3848:
3843:
3841:
3838:
3823:
3821:
3820:
3815:
3799:
3797:
3796:
3791:
3758:
3756:
3755:
3750:
3738:
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