2571:
3168:
2895:
2280:
3889:
4106:
319:
3532:
2716:
2906:
1279:
2023:
1477:
2566:{\displaystyle \phi (x,r)=-{\frac {v_{1}}{2\pi {\sqrt {2\beta r}}}}\int _{0}^{x-\beta r}{\frac {S'(\xi )d\xi }{\sqrt {x-\xi -\beta r}}}=-{\frac {v_{1}}{2\pi {\sqrt {2\beta r}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {S'(x-\beta r-s)ds}{\sqrt {s}}},\quad s=x-\xi -\beta r,\,\,r\gg 1.}
1818:
1502:
when the slender body is a solid of revolution. If this is not the case, the solution is valid at large distances will have correction associated with the non-linear distortion of the shock profile, whose strength is proportional to
180:
3680:
2272:
3900:
2890:{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial r}}=-\beta {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {v_{1}}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\beta }{2r}}}\int _{0}^{x-\beta r}{\frac {S''(\xi )d\xi }{\sqrt {x-\xi -\beta r}}}.}
4414:
Von Karman, T., & Moore, N. B. (1932). Resistance of slender bodies moving with supersonic velocities, with special reference to projectiles. Transactions of the
American Society of Mechanical Engineers, 54(2),
3163:{\displaystyle F={\frac {\rho _{1}v_{1}^{2}}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{X}\int _{0}^{X}{\frac {S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}dX}{\sqrt {(X-\xi _{1})(X-\xi _{2})}}},\quad X=x-\beta r.}
435:
4207:
1916:
62:-axis everywhere since the shock waves formed (one at the leading edge and one at the trailing edge) will be weak; as a consequence, the flow will be potential everywhere, which can be described using the
3302:
1121:
1676:
1325:
4283:
3268:
2648:
2608:
3615:
1576:
4338:
105:
2061:
959:
656:
2680:
3294:
2136:
591:
3665:
1317:
1113:
1078:
1017:
906:
871:
4436:
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Fluid mechanics: Landau And
Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. section 123. pages 123-124
1908:
1878:
1848:
2171:
1043:
556:
812:
786:
760:
4340:, indicating that the drag coefficient is proportional to the square of the cross-sectional area and inversely proportional to the fourth power of the body length.
2101:
2081:
832:
521:
493:
462:
172:
152:
132:
1605:
685:
314:{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-\beta ^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}=0,}
2708:
4381:
4361:
3555:
3211:
3191:
1671:
1651:
1631:
1500:
979:
725:
705:
60:
3884:{\displaystyle F=-{\frac {\rho _{1}v_{1}^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{\xi _{2}}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln(\xi _{2}-\xi _{1})d\xi _{1}d\xi _{2},}
4101:{\displaystyle F=-{\frac {\rho _{1}v_{1}^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}.}
2176:
327:
1653:-component of the momentum per unit time. To calculate this, consider a cylindrical surface with a large radius and with an axis along the
4424:
Ward, G. N. (1949). Supersonic flow past slender pointed bodies. The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97.
4122:
2018:{\displaystyle F=-2\pi r\rho _{1}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx.}
3527:{\displaystyle F=-{\frac {\rho _{1}v_{1}^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{\xi _{2}}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}.}
1274:{\displaystyle \phi (x,r)=-{\frac {v_{1}}{2\pi }}\int _{0}^{x-\beta r}{\frac {S'(\xi )d\xi }{\sqrt {(x-\xi )^{2}-\beta ^{2}r^{2}}}}}
42:
Consider a slender body with pointed edges at the front and back. The supersonic flow past this body will be nearly parallel to the
2682:
appearing in front of the integral need not to be differentiated since this gives rise to the small correction proportional to
1813:{\displaystyle \Pi _{xr}=\rho v_{r}(v_{1}+v_{x})\approx \rho _{1}(\partial \phi /\partial r)(v_{1}+\partial \phi /\partial x)}
1472:{\displaystyle \phi (x,r)=-{\frac {v_{1}}{2\pi }}\int _{0}^{l}{\frac {S'(\xi )d\xi }{\sqrt {(x-\xi )^{2}-\beta ^{2}r^{2}}}}.}
4215:
3216:
30:
and Norton B. Moore, who developed the theory in 1932. The theory, in particular, provides an explicit formula for the
2613:
4454:
Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Bericht der
Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.
2579:
1506:
4288:
68:
4463:
Sears, W. R. (1947). On projectiles of minimum wave drag. Quarterly of
Applied Mathematics, 4(4), 361-366.
984:
The disturbance far away from the body is just like a cylindrical wave propagation. In front of the cone
2031:
911:
599:
3560:
2653:
27:
3273:
2106:
561:
34:, which converts the kinetic energy of the moving body into outgoing sound waves behind the body.
4478:
4396:
3620:
1287:
1083:
1048:
987:
876:
841:
1910:
is zero on the cylindrical surface considered. The second term gives the non-zero contribution,
1883:
1853:
1823:
2141:
1022:
526:
791:
765:
730:
4384:
2086:
2066:
817:
506:
471:
440:
157:
137:
110:
1581:
661:
8:
2685:
4445:
Whitham, G. B. (2011). Linear and nonlinear waves. John Wiley & Sons. pages 335-336.
4366:
4346:
3540:
3196:
3176:
1656:
1636:
1616:
1485:
964:
710:
690:
63:
45:
1850:
over the cylindrical surface gives the drag force. Due to symmetry, the first term in
154:
characterising the small deviation from the uniform flow. In the linearized theory,
4113:
1673:-axis. The momentum flux density crossing through this surface is simply given by
2710:. Effecting the differentiation and returning to the original variables, we find
1611:
4472:
4383:
can be obtained from the wave drag force formula. This shape is known as the
2267:{\displaystyle (x-\xi )^{2}-\beta ^{2}r^{2}\approx 2\beta r(x-\xi -\beta r).}
500:
2173:. This means that we can approximate the expression in the denominator as
496:
465:
23:
430:{\displaystyle \beta ^{2}=(v_{1}^{2}-c_{1}^{2})/c_{1}^{2}=M_{1}^{2}-1}
3671:
835:
31:
4202:{\displaystyle C_{d}={\frac {F}{\rho _{1}^{2}v_{1}^{2}l^{2}/2}}.}
658:
be located at the leading end of the pointed body. Further, let
873:, whereas the weak Mach cone for the trailing edge is given by
2063:(the wave region) are the most important in the solution for
3173:
This can be simplified by carrying out the integration over
3193:. When the integration order is changed, the limit for
499:
of the incoming flow. This is just the two-dimensional
838:. The weak Mach cone for the leading-edge is given by
814:. Of course, in supersonic flows, disturbances (i.e.,
4369:
4349:
4343:
The shape with smallest wave drag for a given volume
4291:
4218:
4125:
3903:
3683:
3623:
3563:
3543:
3305:
3276:
3219:
3199:
3179:
2909:
2900:
Substituting this in the drag force formula gives us
2719:
2688:
2656:
2616:
2582:
2283:
2179:
2144:
2109:
2089:
2069:
2034:
1919:
1886:
1856:
1826:
1679:
1659:
1639:
1619:
1584:
1509:
1488:
1328:
1290:
1124:
1086:
1051:
1025:
990:
967:
914:
879:
844:
820:
794:
768:
733:
713:
693:
664:
602:
564:
529:
509:
474:
443:
330:
183:
160:
140:
113:
71:
48:
1880:
upon integration gives zero since the net mass flux
834:) can be propagated only into the region behind the
4278:{\displaystyle F\sim \rho _{1}v_{1}^{2}S^{2}/l^{2}}
4375:
4355:
4332:
4277:
4201:
4100:
3883:
3659:
3609:
3549:
3526:
3288:
3262:
3205:
3185:
3162:
2889:
2702:
2674:
2642:
2602:
2565:
2266:
2165:
2130:
2095:
2075:
2055:
2017:
1902:
1872:
1842:
1812:
1665:
1645:
1625:
1599:
1570:
1494:
1471:
1311:
1273:
1107:
1072:
1037:
1011:
973:
953:
900:
865:
826:
806:
780:
754:
719:
699:
687:be the cross-sectional area (perpendicular to the
679:
650:
585:
550:
523:is a disturbance propagated with an apparent time
515:
487:
456:
429:
313:
166:
146:
126:
99:
54:
3263:{\displaystyle \mathrm {max} (\xi _{1},\xi _{2})}
4470:
2643:{\displaystyle -\beta \partial \phi /\partial x}
1482:The solution described above is exact for all
4285:that follows from the formula derived above,
2103:is a like disturbance propating with a speed
1578:and a factor depending on the shape function
2650:since we are in the wave region. The factor
727:be the length of the slender body, so that
37:
2603:{\displaystyle \partial \phi /\partial r}
2553:
2552:
2083:; this is because, as mentioned earlier,
4432:
4430:
961:is the squared radial distance from the
2576:From this expression, we can calculate
1571:{\displaystyle (M_{1}-1)^{1/8}r^{-3/4}}
26:flows over a slender body, named after
4471:
4427:
4333:{\displaystyle C_{d}\sim S^{2}/l^{4}}
134:is the incoming uniform velocity and
100:{\displaystyle \varphi =xv_{1}+\phi }
16:Supersonic flow past a slender body
13:
3283:
3227:
3224:
3221:
2968:
2963:
2760:
2752:
2731:
2723:
2634:
2623:
2594:
2583:
2467:
2056:{\displaystyle x-\xi \sim \beta r}
1997:
1989:
1977:
1969:
1961:
1956:
1858:
1828:
1801:
1790:
1765:
1754:
1681:
1019:, the solution is simply given by
286:
272:
239:
225:
202:
188:
14:
4490:
3537:The integral containing the term
954:{\displaystyle r^{2}=y^{2}+z^{2}}
2274:Then we can write, for example,
3138:
2524:
2028:At large distances, the values
651:{\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}
4457:
4448:
4439:
4418:
4408:
4065:
4037:
4027:
4014:
4003:
3990:
3849:
3823:
3814:
3801:
3790:
3777:
3648:
3642:
3633:
3627:
3598:
3592:
3578:
3572:
3492:
3474:
3448:
3439:
3436:
3423:
3412:
3399:
3280:
3257:
3231:
3129:
3110:
3107:
3088:
3051:
3038:
3027:
3014:
2852:
2846:
2504:
2483:
2384:
2378:
2299:
2287:
2258:
2237:
2193:
2180:
1807:
1774:
1771:
1751:
1735:
1709:
1594:
1588:
1530:
1510:
1431:
1418:
1407:
1401:
1344:
1332:
1236:
1223:
1212:
1206:
1140:
1128:
743:
737:
674:
668:
645:
627:
621:
603:
558:and with an apparent velocity
380:
344:
1:
4402:
3610:{\displaystyle S'(0)=S'(l)=0}
2675:{\displaystyle 1/{\sqrt {r}}}
3296:. Upon integration, we have
3289:{\displaystyle L\to \infty }
2131:{\displaystyle v_{1}/\beta }
1284:whereas the behind the cone
586:{\displaystyle v_{1}/\beta }
7:
4390:
3660:{\displaystyle S(0)=S(l)=0}
3617:(of course, in addition to
1319:, the solution is given by
1312:{\displaystyle x-\beta r=l}
1115:, the solution is given by
1108:{\displaystyle x-\beta r=l}
1073:{\displaystyle x-\beta r=0}
1012:{\displaystyle x-\beta r=0}
901:{\displaystyle x-\beta r=l}
866:{\displaystyle x-\beta r=0}
22:is a linearized theory for
10:
4495:
3670:The final formula for the
1903:{\displaystyle \rho v_{r}}
3674:force may be written as
2610:, which is also equal to
1873:{\displaystyle \Pi _{xr}}
1843:{\displaystyle \Pi _{xr}}
468:in the incoming flow and
38:Mathematical description
2166:{\displaystyle x/v_{1}}
1038:{\displaystyle \phi =0}
551:{\displaystyle x/v_{1}}
4377:
4357:
4334:
4279:
4203:
4102:
3885:
3661:
3611:
3551:
3528:
3290:
3264:
3207:
3187:
3164:
2891:
2704:
2676:
2644:
2604:
2567:
2268:
2167:
2138:with an apparent time
2132:
2097:
2077:
2057:
2019:
1904:
1874:
1844:
1814:
1667:
1647:
1627:
1601:
1572:
1496:
1473:
1313:
1275:
1109:
1074:
1039:
1013:
975:
955:
902:
867:
828:
808:
807:{\displaystyle x>1}
782:
781:{\displaystyle x<0}
756:
755:{\displaystyle S(x)=0}
721:
701:
681:
652:
587:
552:
517:
489:
458:
431:
315:
168:
148:
128:
101:
56:
4378:
4358:
4335:
4280:
4204:
4103:
3886:
3662:
3612:
3552:
3529:
3291:
3265:
3208:
3188:
3165:
2892:
2705:
2677:
2645:
2605:
2568:
2269:
2168:
2133:
2098:
2096:{\displaystyle \phi }
2078:
2076:{\displaystyle \phi }
2058:
2020:
1905:
1875:
1845:
1815:
1668:
1648:
1628:
1602:
1573:
1497:
1474:
1314:
1276:
1110:
1075:
1040:
1014:
976:
956:
903:
868:
829:
827:{\displaystyle \phi }
809:
783:
757:
722:
702:
682:
653:
588:
553:
518:
516:{\displaystyle \phi }
490:
488:{\displaystyle M_{1}}
459:
457:{\displaystyle c_{1}}
432:
316:
169:
167:{\displaystyle \phi }
149:
147:{\displaystyle \phi }
129:
127:{\displaystyle v_{1}}
102:
57:
4367:
4347:
4289:
4216:
4123:
3901:
3681:
3621:
3561:
3541:
3303:
3274:
3217:
3197:
3177:
2907:
2717:
2686:
2654:
2614:
2580:
2281:
2177:
2142:
2107:
2087:
2067:
2032:
1917:
1884:
1854:
1824:
1677:
1657:
1637:
1617:
1600:{\displaystyle S(x)}
1582:
1507:
1486:
1326:
1288:
1122:
1084:
1049:
1045:. Between the cones
1023:
988:
965:
912:
877:
842:
818:
792:
766:
731:
711:
691:
680:{\displaystyle S(x)}
662:
600:
562:
527:
507:
472:
441:
328:
181:
158:
138:
111:
69:
46:
4397:Taylor–Maccoll flow
4249:
4174:
4159:
3981:
3966:
3940:
3768:
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