5526:
5105:
5521:{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)+{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right).}
929:
4144:
4730:
7314:
6848:
3798:
666:
4506:
235:. Cayley obtains this relation by specialising a more general result on matrices that deviate from skew symmetry only in the first row and the first column. The determinant of such a matrix is the product of the Pfaffians of the two matrices obtained by first setting in the original matrix the upper left entry to zero and then copying, respectively, the negative
5090:
7071:
6605:
5912:
1600:
924:{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.}
643:
2179:
4139:{\displaystyle {\begin{aligned}&BAB^{\mathrm {T} }\rightarrow \sum _{ijkl}B_{ik}B_{jl}A_{kl}e_{i}\wedge e_{j}=\sum _{kl}A_{kl}f_{k}\wedge f_{l}\\&\xrightarrow {\wedge n} {2^{n}n!}Pf(A)f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}={2^{n}n!}Pf(BAB^{\mathrm {T} })e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},\end{aligned}}}
1144:
7487:
4725:{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}}
3758:
7309:{\displaystyle {\begin{pmatrix}M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }&0\\0&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&-QN^{-1}\\0&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\N^{-1}Q^{\mathrm {T} }&I\end{pmatrix}}.}
6843:{\displaystyle {\begin{pmatrix}M&0\\0&N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\Q^{\mathrm {T} }M^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&-M^{-1}Q\\0&I\end{pmatrix}}.}
466:
4943:
2451:
7683:
1754:
6304:
7950:
2715:
5685:
2971:
7060:
6594:
6163:
5658:
4913:
1435:
6935:
343:
477:
6058:
4309:
1999:
977:
3517:
6402:
3397:
3243:
3596:
3176:
1345:
2856:
1828:
7338:
7768:
7846:
1931:
8025:
2568:
3604:
5085:{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial \operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right),}
351:
2273:
8236:), where the underlying graph is planar. It is also used to derive efficient algorithms for some otherwise seemingly intractable problems, including the efficient simulation of certain types of
3803:
3301:
207:
4425:
4368:
1427:
2319:
7574:
1611:
106:/2, and is unique up to multiplication by ±1. The convention on skew-symmetric tridiagonal matrices, given below in the examples, then determines one specific polynomial, called the
6186:
4477:
4207:
5907:{\displaystyle \mathrm {pf} (A)\,\mathrm {pf} (B)={\tfrac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),\qquad \mathrm {where} \qquad s_{l}=-{\tfrac {1}{2}}(l-1)!\,\mathrm {tr} ((AB)^{l})}
7854:
2611:
3025:
8237:
6966:
6500:
6066:
5550:
3793:
1595:{\displaystyle \pi _{\alpha }={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &i_{n}&j_{n}\end{bmatrix}}}
4762:
2861:
2975:
A non-zero generalisation of the
Pfaffian to odd-dimensional matrices is given in the work of de Bruijn on multiple integrals involving determinants. In particular for any
6860:
2221:
7517:
8097:
258:
1964:
8579:
2763:
7548:
4757:
638:{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}
2311:
2174:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),}
3055:
elements −1, and the corner element is zero. The usual properties of
Pfaffians, for example the relation to the determinant, then apply to this extended matrix.
1139:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\,,}
8137:
8117:
6958:
6488:
6465:
6445:
6425:
6327:
4497:
147:
8686:
8060:
5967:
4215:
2768:
3415:
6335:
3324:
3182:
3526:
3102:
1848:
8575:
8370:
1222:
7482:{\displaystyle {\textrm {pf}}(A)=i^{(n^{2})}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)\right),}
1769:
7691:
7784:
8325:
8294:
8213:
7969:
2494:
3753:{\displaystyle A\rightarrow \sum _{ij}A_{ij}e_{i}\wedge e_{j}{\xrightarrow{\wedge n}}{2^{n}n!}Pf(A)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n}.}
3073:
A multiple of a row and corresponding column added to another row and corresponding column does not change the value of the
Pfaffian.
8401:
Bunch, James R. "A note on the stable decomposition of skew-symmetric matrices." Mathematics of
Computation 38.158 (1982): 475-479.
8139:
is very large, rounding errors in computing the resulting sign from the complex phase can lead to a non-zero imaginary component.
461:{\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {pf} (B)=0.}
8340:
2739:
Equivalently, we can consider the bivector (which is more convenient when we do not want to impose the summation constraint
8759:
8186:
2230:
1845:
odd is defined to be zero, as the determinant of an odd skew-symmetric matrix is zero, since for a skew-symmetric matrix,
3249:
2446:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)=\sum _{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname {pf} (A_{{\hat {1}}{\hat {\jmath }}}).}
155:
4376:
4319:
3067:
Multiplication of a row and a column by a constant is equivalent to multiplication of the
Pfaffian by the same constant.
1373:
239:
of the first row to the first column and the negative transpose of the first column to the first row. This is proved by
8155:
There exist programs for the numerical computation of the
Pfaffian on various platforms (Python, Matlab, Mathematica) (
7678:{\displaystyle {\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)\right)}
8589:
1749:{\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\pi _{\alpha })a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}
6299:{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&M\\-M^{\text{T}}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}
8644:
Wimmer, M. (2012). "Efficient numerical computation of the
Pfaffian for dense and banded skew-symmetric matrices".
232:
8392:
Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer
Science & Business Media, 2006.
7945:{\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}}
4441:
4149:
2710:{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{n}=\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n},}
1974:
By convention, the
Pfaffian of the 0 × 0 matrix is equal to one. The Pfaffian of a skew-symmetric 2
110:
polynomial. The value of this polynomial, when applied to the entries of a skew-symmetric matrix, is called the
4427:
is an equation of polynomials, it suffices to prove it for real matrices, and it would automatically apply for
8717:
8457:(1961). "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice".
8062:. Under the summation, for a real valued Pfaffian, the argument of the exponential will be given in the form
4435:
935:
7055:{\displaystyle \operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (N)\operatorname {pf} (M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }),}
6589:{\displaystyle \operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (M)\operatorname {pf} (N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q).}
6158:{\displaystyle \operatorname {pf} (A_{1}\oplus A_{2})=\operatorname {pf} (A_{1})\operatorname {pf} (A_{2}).}
8780:
5653:{\displaystyle {\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)).}
2990:
3070:
Simultaneous interchange of two different rows and corresponding columns changes the sign of the
Pfaffian.
8712:
8437:
4908:{\displaystyle pf(A)^{2}=pf(\Sigma )^{2}\det(Q)^{2}=pf(\Sigma )^{2}=\left(\prod a_{i}\right)^{2}=\det(A)}
2966:{\displaystyle \omega '^{n}=2^{n}n!\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}.}
7849:
3763:
8027:
will generally be complex, and the logarithm of these complex eigenvalues are generally taken to be in
6854:
8551:
6930:{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\mathrm {T} })=\operatorname {det} (B)\operatorname {pf} (A)}
17:
3077:
Using these properties, Pfaffians can be computed quickly, akin to the computation of determinants.
225:
2191:
338:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {pf} (A)=a.}
8646:
7495:
2224:
1168:
8065:
244:
240:
123:
100:
8707:
1940:
8775:
8520:
8502:
8364:
8274:
8241:
8204:. This is surprising given that for general graphs, the problem is very difficult (so called
7774:
61:
8301:
2742:
8563:
8466:
8174:
8163:
7526:
4735:
96:
88:
69:
39:
8730:
8383:
A. C. Aitken. Determinants and matrices. Oliver and Boyd, Edinburgh, fourth edition, 1939.
8:
8221:
8182:
7953:
6053:{\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}},}
4304:{\displaystyle f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}=\det(B)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},}
2290:
8760:
https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants
8607:
8600:
8567:
8470:
8672:
8654:
8632:
8487:
8122:
8102:
6943:
6473:
6450:
6430:
6410:
6312:
4482:
1183:
657:
213:
132:
8030:
8585:
8478:
8352:
8319:
6491:
4500:
3512:{\displaystyle \operatorname {pf} (A^{2m+1})=(-1)^{nm}\operatorname {pf} (A)^{2m+1}.}
3063:
Pfaffians have the following properties, which are similar to those of determinants.
31:
8724:
8676:
8664:
8624:
8474:
8454:
8225:
8205:
8193:
8167:
7966:
However, this algorithm is unstable when the Pfaffian is large. The eigenvalues of
7848:, take the log of all of these and sum them up. This procedure merely exploits the
7559:
5948:
2486:
1205:
6397:{\displaystyle S={\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}\,}
3392:{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A).}
3238:{\displaystyle \operatorname {pf} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {pf} (A).}
8743:
8739:
8170:
7551:
3591:{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A)}
3171:{\displaystyle \operatorname {pf} (A^{\text{T}})=(-1)^{n}\operatorname {pf} (A).}
1160:
229:
35:
7520:
5096:
4428:
2598:
8684:
de Bruijn, N. G. (1955). "On some multiple integrals involving determinants".
8769:
8433:
8356:
8209:
8201:
2725:
1340:{\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}
217:
115:
8668:
8197:
8754:
sequence A004003 (Number of domino tilings (or dimer coverings))
1823:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}
8259:
8254:
8217:
8178:
1179:
76:
50:
46:
6309:
It is often required to compute the Pfaffian of a skew-symmetric matrix
8734:(a demonstration of the proof of the Pfaffian/determinant relationship)
8636:
7778:
3031:
odd, one can then show that this is equal to the usual Pfaffian of an (
2851:{\displaystyle \omega '=2\omega =\sum _{i,j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},}
1605:
be the corresponding permutation. Given a partition α as above, define
65:
8537:
Jeliss, G. P.; Chapman, Robin J. (1996). "Dominizing the Chessboard".
934:(Note that any skew-symmetric matrix can be reduced to this form; see
8492:
8269:
7763:{\displaystyle {\textrm {pf}}(\sigma _{y}\otimes I_{n})=(-i)^{n^{2}}}
3668:
236:
8628:
8200:
is given by a Pfaffian, hence is polynomial time computable via the
3972:
3672:
8659:
7841:{\displaystyle ((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)}
8750:
8264:
7961:
Pf := Module] / 2}, I^(n^2) Exp, IdentityMatrix]], x] ]]]]]
7777:
is a computationally demanding task, one can instead compute all
1926:{\displaystyle \det A=\det A^{\text{T}}=\det(-A)=(-1)^{n}\det A,}
73:
8020:{\displaystyle (\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A}
2563:{\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},}
27:
Square root of the determinant of a skew-symmetric square matrix
8486:
Propp, James (2004). "Lambda-determinants and domino-tilings".
8417:
3039:+1)-dimensional skew symmetric matrix where we have added an (
2287:-th rows and columns removed. Note how for the special choice
6599:
This can be seen from Aitken block-diagonalization formula,
8753:
8552:"Domino Tilings and Products of Fibonacci and Pell numbers"
8581:
The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers
8615:
Parameswaran, S. (1954). "Skew-Symmetric Determinants".
8527:
8509:
8503:"Approximate inference using planar graph decomposition"
5536:
The product of the Pfaffians of skew-symmetric matrices
7319:
7626:
7396:
7250:
7202:
7150:
7080:
6790:
6742:
6684:
6614:
6350:
6201:
6002:
5841:
5728:
5600:
4521:
1457:
681:
492:
366:
273:
8758:
W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants"
8518:
8450:
Reprinted in Collected mathematical papers, volume 2.
8233:
8125:
8105:
8068:
8033:
7972:
7857:
7787:
7694:
7577:
7529:
7498:
7341:
7074:
6969:
6946:
6863:
6608:
6503:
6476:
6453:
6433:
6413:
6338:
6315:
6189:
6069:
5970:
5688:
5553:
5108:
4946:
4765:
4738:
4509:
4485:
4444:
4379:
4322:
4218:
4152:
3801:
3766:
3607:
3529:
3418:
3327:
3252:
3185:
3105:
2993:
2864:
2771:
2745:
2614:
2497:
2322:
2293:
2233:
2194:
2002:
1943:
1851:
1772:
1614:
1438:
1376:
1225:
980:
669:
480:
354:
261:
158:
135:
8529:
Advances in Neural Information Processing Systems 21
8511:
Advances in Neural Information Processing Systems 19
2268:{\displaystyle A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}}
114:
of that matrix. The term Pfaffian was introduced by
8341:"On some multiple integrals involving determinants"
3296:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A).}
202:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),}
8521:"Efficient exact inference in planar Ising models"
8208:). This result is used to calculate the number of
8131:
8111:
8091:
8054:
8019:
7944:
7840:
7762:
7677:
7542:
7511:
7481:
7308:
7054:
6952:
6929:
6842:
6588:
6482:
6459:
6439:
6419:
6396:
6321:
6298:
6157:
6052:
5906:
5652:
5520:
5084:
4907:
4751:
4724:
4491:
4471:
4420:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)}
4419:
4363:{\displaystyle \operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)}
4362:
4303:
4201:
4138:
3787:
3752:
3590:
3511:
3391:
3295:
3237:
3170:
3019:
2965:
2850:
2757:
2709:
2562:
2445:
2305:
2267:
2215:
2173:
1958:
1925:
1822:
1748:
1594:
1422:{\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}}
1421:
1339:
1138:
923:
637:
460:
337:
201:
141:
8500:
8229:
5544:can be represented in the form of an exponential
8767:
6287:
4893:
4813:
4405:
4348:
4254:
3561:
3359:
3278:
1944:
1914:
1877:
1861:
1852:
1190:} into pairs without regard to order. There are
184:
8519:Schraudolph, Nicol; Kamenetsky, Dmitry (2009).
8422:Journal für die reine und angewandte Mathematik
7065:as can be seen by employing the decomposition
4436:spectral theory of skew-symmetric real matrices
2605:. The Pfaffian is then defined by the equation
8177:. In particular, it can be used to define the
4937:, then the gradient of a Pfaffian is given by
8536:
8173:. As such, it is important in the theory of
2987:, we use the formal definition above but set
228:for introducing these polynomials in work on
8614:
8369:: CS1 maint: multiple names: authors list (
3058:
3014:
3000:
1334:
1232:
247:and employing the recursion formula below.
8584:(revised ed.). Penguin. p. 182.
8345:Journal of the Indian Mathematical Society
8166:of a skew-symmetric matrix under a proper
8142:For other (more) efficient algorithms see
4759:. Now apply the previous theorem, we have
4472:{\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\mathrm {T} }}
4202:{\displaystyle f_{k}=\sum _{i}B_{ik}e_{i}}
2914:
2821:
2658:
2533:
2456:
936:Spectral theory of a skew-symmetric matrix
8683:
8658:
8501:Globerson, Amir; Jaakkola, Tommi (2007).
8491:
8453:
8442:Cambridge and Dublin Mathematical Journal
7594:
6393:
5870:
5706:
5570:
2461:One can associate to any skew-symmetric 2
1174:One can make use of the skew-symmetry of
1132:
64:can always be written as the square of a
8602:A Treatise on the Theory of Determinants
6857:that allow to use the Pfaffian property
4919:
2313:this reduces to the simpler expression:
129:Explicitly, for a skew-symmetric matrix
8549:
1969:
967:skew-symmetric matrix. The Pfaffian of
14:
8768:
8643:
8432:
8415:
8338:
8324:: CS1 maint: archived copy as title (
8156:
8143:
471:(3 is odd, so the Pfaffian of B is 0)
221:
119:
8574:
8485:
7566:
3020:{\displaystyle n=\lfloor m/2\rfloor }
971:is explicitly defined by the formula
8598:
7320:Calculating the Pfaffian numerically
941:
5531:
1178:to avoid summing over all possible
122:), who indirectly named them after
91:, the polynomial is zero, and when
24:
8732:The Pfaffian and the Wedge Product
8005:
7823:
7641:
7638:
7456:
7411:
7408:
7284:
7226:
7111:
7040:
6885:
6766:
6705:
6646:
6558:
6374:
5875:
5872:
5819:
5816:
5813:
5810:
5807:
5711:
5708:
5693:
5690:
5615:
5612:
5494:
5486:
5438:
5430:
5369:
5361:
5329:
5321:
5260:
5247:
5233:
5176:
5163:
5137:
5058:
5050:
4994:
4974:
4844:
4800:
4510:
4463:
4454:
4088:
3819:
3788:{\displaystyle BAB^{\mathrm {T} }}
3779:
2026:
1802:
25:
8792:
8699:
8617:The American Mathematical Monthly
8234:Schraudolph & Kamenetsky 2009
6467:is a general rectangular matrix.
5954:
233:systems of differential equations
8187:generalized Gauss–Bonnet theorem
6447:are skew-symmetric matrices and
3080:
243:by expanding the determinant on
99:, it is a nonzero polynomial of
8149:
5823:
5805:
1993:can be computed recursively as
436:
310:
8418:"Sur les déterminants gauches"
8395:
8386:
8377:
8332:
8287:
8238:restricted quantum computation
8049:
8034:
8000:
7973:
7937:
7931:
7909:
7903:
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7835:
7818:
7791:
7788:
7744:
7734:
7728:
7702:
7667:
7651:
7608:
7602:
7591:
7585:
7565:This equality is based on the
7468:
7451:
7424:
7421:
7379:
7366:
7355:
7349:
7332:skew-symmetric matrices, then
7046:
7009:
7000:
6994:
6982:
6976:
6924:
6918:
6909:
6903:
6891:
6870:
6853:This decomposition involves a
6580:
6543:
6534:
6528:
6516:
6510:
6274:
6262:
6255:
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6149:
6136:
6127:
6114:
6102:
6076:
5901:
5892:
5882:
5879:
5864:
5852:
5799:
5754:
5721:
5715:
5703:
5697:
5679:skew-symmetric matrices, then
5644:
5641:
5625:
5596:
5584:
5578:
5567:
5561:
5158:
5152:
5127:
5121:
4989:
4983:
4965:
4959:
4902:
4896:
4848:
4841:
4823:
4816:
4804:
4797:
4779:
4772:
4414:
4408:
4393:
4386:
4357:
4351:
4336:
4329:
4263:
4257:
4094:
4073:
4011:
4005:
3825:
3712:
3706:
3611:
3585:
3579:
3570:
3564:
3555:
3536:
3488:
3481:
3463:
3453:
3447:
3425:
3402:Substituting in this equation
3383:
3377:
3368:
3362:
3353:
3334:
3287:
3281:
3266:
3259:
3229:
3223:
3201:
3192:
3162:
3156:
3141:
3131:
3125:
3112:
2911:
2905:
2655:
2649:
2437:
2429:
2417:
2403:
2375:
2365:
2335:
2329:
2257:
2245:
2210:
2198:
2165:
2157:
2145:
2131:
2107:
2095:
2070:
2060:
2015:
2009:
1905:
1895:
1889:
1880:
1785:
1779:
1647:
1634:
1331:
1305:
1293:
1267:
1261:
1235:
1127:
1118:
1109:
1094:
1062:
1056:
993:
987:
449:
443:
323:
317:
193:
187:
172:
165:
13:
1:
8539:The Games and Puzzles Journal
8438:"On the theory of permutants"
8408:
8230:Globerson & Jaakkola 2007
7952:. This can be implemented in
7558:and we took the trace over a
2188:can be selected arbitrarily,
8556:Journal of Integer Sequences
8479:10.1016/0031-8914(61)90063-5
7688:and on the observation that
5959:For a block-diagonal matrix
2216:{\displaystyle \theta (i-j)}
1209:such partitions. An element
7:
8713:Encyclopedia of Mathematics
8248:
7512:{\displaystyle \sigma _{y}}
3406:, one gets for all integer
3043:+1)th column consisting of
250:
72:entries, a polynomial with
10:
8797:
8725:Pfaffian at PlanetMath.org
8550:Sellers, James A. (2002).
6855:congruence transformations
5099:of a Pfaffian is given by
1841:skew-symmetric matrix for
1182:. Let Π be the set of all
29:
8339:Bruijn, de, N.G. (1955).
8092:{\displaystyle x+k\pi /2}
7956:with a single statement:
6329:with the block structure
4928:depends on some variable
3059:Properties and identities
8280:
3051:+1)th row consisting of
1959:{\displaystyle \det A=0}
30:Not to be confused with
8669:10.1145/2331130.2331138
8647:ACM Trans. Math. Softw.
8416:Cayley, Arthur (1849).
6960:is invertible, one has
4311:the proof is finished.
2457:Alternative definitions
2225:Heaviside step function
8175:characteristic classes
8133:
8113:
8093:
8056:
8021:
7946:
7842:
7773:Since calculating the
7764:
7679:
7544:
7513:
7483:
7310:
7056:
6954:
6931:
6844:
6590:
6484:
6461:
6441:
6421:
6398:
6323:
6300:
6159:
6054:
5908:
5654:
5522:
5086:
4909:
4753:
4726:
4493:
4473:
4421:
4364:
4305:
4203:
4140:
3789:
3754:
3680:
3592:
3513:
3393:
3297:
3239:
3172:
3093:skew-symmetric matrix
3021:
2967:
2852:
2759:
2758:{\displaystyle i<j}
2711:
2564:
2447:
2364:
2307:
2269:
2217:
2175:
2059:
1960:
1927:
1824:
1750:
1596:
1423:
1341:
1140:
1085:
925:
639:
462:
339:
203:
143:
124:Johann Friedrich Pfaff
8599:Muir, Thomas (1882).
8275:Statistical mechanics
8244:for more information.
8242:Holographic algorithm
8134:
8114:
8094:
8057:
8022:
7947:
7843:
7775:logarithm of a matrix
7765:
7680:
7545:
7543:{\displaystyle I_{n}}
7514:
7484:
7311:
7057:
6955:
6932:
6845:
6591:
6485:
6462:
6442:
6422:
6399:
6324:
6301:
6160:
6055:
5909:
5655:
5523:
5087:
4920:Derivative identities
4910:
4754:
4752:{\displaystyle a_{k}}
4727:
4494:
4474:
4422:
4365:
4306:
4204:
4141:
3790:
3755:
3664:
3601:As previously said,
3593:
3514:
3394:
3298:
3240:
3173:
3022:
2968:
2853:
2760:
2712:
2565:
2448:
2341:
2308:
2270:
2218:
2176:
2021:
1961:
1928:
1825:
1751:
1597:
1424:
1342:
1141:
1065:
926:
640:
463:
340:
204:
144:
79:that only depends on
62:skew-symmetric matrix
8745:What is ... a dimer?
8687:J. Indian Math. Soc.
8222:Markov random fields
8212:of a rectangle, the
8185:that is used in the
8164:invariant polynomial
8123:
8103:
8066:
8031:
7970:
7855:
7785:
7692:
7575:
7527:
7496:
7339:
7072:
6967:
6944:
6861:
6606:
6501:
6474:
6451:
6431:
6411:
6336:
6313:
6187:
6067:
5968:
5686:
5551:
5106:
4944:
4763:
4736:
4507:
4483:
4442:
4377:
4320:
4216:
4150:
3799:
3764:
3605:
3527:
3416:
3325:
3250:
3183:
3103:
2991:
2862:
2769:
2743:
2612:
2495:
2320:
2291:
2231:
2192:
2000:
1970:Recursive definition
1941:
1849:
1770:
1612:
1436:
1374:
1223:
978:
667:
478:
352:
259:
156:
133:
40:Pfaffian orientation
8781:Multilinear algebra
8605:. Macmillan and Co.
8568:2002JIntS...5...12S
8471:1961Phy....27.1209K
8183:Riemannian manifold
8162:The Pfaffian is an
4431:matrices as well.
3979:
3679:
3671:
3035:+1) × (
2306:{\displaystyle i=1}
2275:denotes the matrix
648:The Pfaffian of a 2
8220:in physics, or of
8214:partition function
8129:
8109:
8089:
8052:
8017:
7942:
7838:
7760:
7675:
7635:
7540:
7509:
7479:
7405:
7306:
7297:
7239:
7191:
7136:
7052:
6950:
6927:
6840:
6831:
6779:
6731:
6670:
6586:
6480:
6457:
6437:
6417:
6394:
6387:
6319:
6296:
6236:
6155:
6050:
6041:
5904:
5850:
5742:
5650:
5609:
5518:
5082:
4905:
4749:
4722:
4716:
4489:
4469:
4417:
4371:
4360:
4301:
4199:
4175:
4136:
4134:
3924:
3846:
3785:
3750:
3626:
3599:
3588:
3509:
3389:
3306:For an arbitrary 2
3293:
3235:
3168:
3017:
2963:
2848:
2807:
2755:
2707:
2560:
2519:
2443:
2303:
2265:
2213:
2171:
1956:
1937:odd, this implies
1923:
1833:The Pfaffian of a
1820:
1806:
1746:
1592:
1586:
1419:
1337:
1216:can be written as
1167:and sgn(σ) is the
1136:
1049:
921:
876:
658:tridiagonal matrix
635:
599:
458:
427:
335:
301:
199:
139:
8465:(12): 1209–1225.
8194:perfect matchings
8132:{\displaystyle x}
8112:{\displaystyle k}
8099:for some integer
7699:
7661:
7634:
7599:
7582:
7404:
7346:
6953:{\displaystyle N}
6483:{\displaystyle M}
6460:{\displaystyle Q}
6440:{\displaystyle N}
6420:{\displaystyle M}
6322:{\displaystyle S}
6226:
6168:For an arbitrary
5849:
5741:
5635:
5608:
5575:
5558:
5508:
5452:
5401:
5383:
5343:
5292:
5274:
5203:
5190:
5131:
5072:
5021:
5008:
4969:
4732:for real numbers
4492:{\displaystyle Q}
4315:
4166:
4146:where we defined
3980:
3912:
3828:
3614:
3552:
3522:
3350:
3122:
2792:
2628:
2504:
2432:
2420:
2260:
2248:
2160:
2148:
2049:
1871:
1791:
1763:is then given by
1024:
1022:
942:Formal definition
142:{\displaystyle A}
32:Pfaffian function
16:(Redirected from
8788:
8752:
8721:
8694:
8680:
8662:
8640:
8606:
8595:
8571:
8546:
8533:
8525:
8515:
8507:
8497:
8495:
8482:
8455:Kasteleyn, P. W.
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