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2211:
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1972:
1962:
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5700:
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5680:
5630:
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5610:
5600:
5550:
5540:
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2701:
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2671:
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2535:
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2352:
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2246:
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2196:
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2093:
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2073:
2063:
2053:
2025:
2015:
2005:
1995:
1977:
1967:
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1688:
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1585:
1575:
1565:
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1509:
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1489:
1479:
1386:
1376:
1366:
1338:
1320:
1310:
1300:
1205:
1195:
1159:
1149:
1054:
1036:
6752:
464:
156:
The vertices of a cross-polytope can be chosen as the unit vectors pointing along each co-ordinate axis – i.e. all the permutations of
6550:
Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1991). "The Cell
Structures of Certain Lattices". In Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (eds.).
7620:
3729:
can be defined that maps all the vertices equally-spaced on a circle, with all pairs of vertices connected, except multiples of
190:
6567:
7642:
7055:
6855:
6805:
6495:
69:
6488:
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5216:
4672:
4230:
3872:
3606:
6527:
6745:
6680:
624:
3473:
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454:
771:
556:
6840:
3659:
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5730:
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4576:
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37:
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7078:
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6684:
4106:
4028:
3988:
3908:
3682:
598:
For each pair of non-opposite vertices, there is an edge joining them. More generally, each set of
76:
7048:
6983:
6978:
6958:
719:
3444:
The vertices of an axis-aligned cross polytope are all at equal distance from each other in the
6968:
6963:
6943:
3453:
790:
7592:
7585:
7578:
6973:
6953:
6948:
6513:
3726:
7117:
7095:
7083:
6699:
p. 296, Table I (iii): Regular
Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
7249:
7196:
615:
405:
3948:
137:. A 2-dimensional cross-polytope is a square, a 3-dimensional cross-polytope is a regular
8:
7604:
7503:
7253:
6850:
6845:
303:
6587:
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3943:
3903:
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7260:
7223:
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7024:
6865:
6820:
6649:
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4173:
785:
700:
447:
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284:
7612:
6860:
6713:
6584:
6563:
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1005:
851:
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7170:
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7148:
7139:
7130:
7069:
7065:
6790:
6716:
6641:
6555:
3655:
3445:
368:
122:
6460:
Cross-polytopes can be combined with their dual cubes to form compound polytopes:
7206:
7191:
6835:
6780:
3829:
3734:
3461:
920:
812:
807:
802:
126:
6559:
6902:
6632:
Guy, Richard K. (1983), "An olla-podrida of open problems, often oddly posed",
3738:
3477:
723:
276:
311:
7631:
7573:
7461:
7454:
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7411:
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7361:
7354:
6907:
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439:
295:
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6359:
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6171:
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5759:
5647:
5567:
5487:
5407:
5327:
5247:
5131:
5033:
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4901:
4835:
4769:
4703:
4521:
4469:
4417:
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4313:
4101:
4063:
4023:
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6892:
6785:
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7522:
7483:
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7228:
7012:
6795:
5788:
5156:
2777:
2464:
2165:
1896:
1657:
1448:
161:
93:
267:(or diamond) with vertices {(±1, 0), (0, ±1)}. In 3 dimensions it is an
7508:
7492:
7442:
7392:
7349:
7319:
7233:
7007:
6887:
6653:
4190:
2448:
2149:
1880:
1641:
1432:
1251:
1116:
1100:
989:
909:
840:
352:
272:
268:
138:
134:
61:
730:-gon or lower order regular polygons. A second projection takes the 2(
7564:
7478:
7428:
7378:
7335:
7305:
7274:
6988:
6897:
6810:
6761:
6721:
6592:
735:
383:
299:
169:
6645:
610:-dimensional components (vertices, edges, faces, ..., facets) in an
7538:
7293:
7289:
7216:
6912:
6875:
6800:
6465:
3449:
747:
738:, projected down the axis, with 2 vertices mapped into the center.
688:
102:
27:
Regular polytope dual to the hypercube in any number of dimensions
7547:
7517:
7284:
7279:
7270:
7211:
6922:
4622:
3651:
1267:
516:{\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}
435:
394:
372:
343:
173:
146:
142:
86:
1017:
928:
430: − 1)-dimensional components) all of which are (
7487:
7437:
7387:
7344:
7314:
7265:
7201:
3842:
2803:
2474:
2175:
1906:
1667:
1458:
1279:
1128:
168:-dimensional cross-polytope can also be defined as the closed
6879:
6601:
6582:
602: + 1 orthogonal vertices corresponds to a distinct
6730:
6613:
7237:
722:
that can show the cross-polytopes as 2-dimensional graphs.
606:-dimensional component which contains them. The number of
249:{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}
734:−1)-gon petrie polygon of the lower dimension, seen as a
6711:
337:
The 4-dimensional cross-polytope also goes by the name
279:. This can be generalised to higher dimensions with an
153:
is another cross-polytope from the previous dimension.
3737:
perimeter in these orthogonal projections is called a
149:
of the previous dimension, while the cross-polytope's
5861:
5733:
5219:
5105:
4675:
4579:
4233:
4147:
3875:
3803:
3609:
3368:
627:
559:
467:
193:
172:(or, according to some authors, its boundary) in the
5878:
5748:
5236:
5120:
4692:
4594:
4250:
4162:
3892:
3818:
3626:
3417:
676:
614:-dimensional cross-polytope is thus given by (see
587:
515:
248:
6693:pp. 121-122, §7.21. see illustration Fig 7.2
3409:
3388:
668:
647:
7629:
355:were first described by the Swiss mathematician
259:In 1 dimension the cross-polytope is simply the
6536:, pp. 121–122, §7.21. illustration Fig 7-2
7049:
6746:
6549:
6455:
240:
225:
218:
194:
5879:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}
5237:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}
4693:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}
4251:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}
3893:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}
3627:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}
726:projections map the points into a regular 2
446: − 1)-cross-polytopes. The
7056:
7042:
6753:
6739:
6666:Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
6516:, the symmetry group of the cross-polytope
367:The cross-polytope family is one of three
141:, and a 4-dimensional cross-polytope is a
29:
5865:
5736:
5223:
5108:
4679:
4582:
4237:
4150:
3879:
3806:
3613:
450:of the cross-polytope is {3,3,...,3,4}.
205:
3467:
677:{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}
7621:List of regular polytopes and compounds
6679:
6619:
6607:
6533:
14:
7630:
3418:{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}
271:—one of the five convex regular
6734:
6712:
6583:
6554:. Berlin: Springer. pp. 89–90.
588:{\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}
539:= arccos(−3/5) = 126.87°, ... δ
406:infinite tessellations of hypercubes
362:
31:Cross-polytopes of dimension 2 to 5
6631:
310:-dimensional cross-polytope is the
24:
6487:In three dimensions we obtain the
3392:
651:
283:-orthoplex being constructed as a
25:
7654:
6705:
6496:compound of tesseract and 16-cell
6494:In four dimensions we obtain the
6464:In two dimensions, we obtain the
3708:for complete tripartite graphs. β
422:-dimensional cross-polytope has 2
6819:
6689:(3rd ed.). New York: Dover.
6439:
6434:
6429:
6424:
6419:
6414:
6409:
6404:
6399:
6394:
6389:
6358:
6345:
6340:
6335:
6330:
6325:
6320:
6315:
6310:
6305:
6300:
6295:
6264:
6251:
6246:
6241:
6236:
6231:
6226:
6221:
6216:
6211:
6206:
6201:
6170:
6157:
6152:
6147:
6142:
6137:
6132:
6127:
6122:
6117:
6112:
6107:
6076:
6063:
6058:
6053:
6048:
6043:
6038:
6033:
6028:
6023:
6018:
6013:
5982:
5969:
5964:
5959:
5954:
5949:
5944:
5939:
5934:
5929:
5924:
5919:
5888:
5843:
5838:
5833:
5828:
5823:
5818:
5813:
5808:
5803:
5798:
5793:
5758:
5749:{\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}
5713:
5708:
5703:
5698:
5693:
5688:
5683:
5678:
5673:
5646:
5633:
5628:
5623:
5618:
5613:
5608:
5603:
5598:
5593:
5566:
5553:
5548:
5543:
5538:
5533:
5528:
5523:
5518:
5513:
5486:
5473:
5468:
5463:
5458:
5453:
5448:
5443:
5438:
5433:
5406:
5393:
5388:
5383:
5378:
5373:
5368:
5363:
5358:
5353:
5326:
5313:
5308:
5303:
5298:
5293:
5288:
5283:
5278:
5273:
5246:
5201:
5196:
5191:
5186:
5181:
5176:
5171:
5166:
5161:
5130:
5121:{\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}
5085:
5080:
5075:
5070:
5065:
5060:
5055:
5032:
5019:
5014:
5009:
5004:
4999:
4994:
4989:
4966:
4953:
4948:
4943:
4938:
4933:
4928:
4923:
4900:
4887:
4882:
4877:
4872:
4867:
4862:
4857:
4834:
4821:
4816:
4811:
4806:
4801:
4796:
4791:
4768:
4755:
4750:
4745:
4740:
4735:
4730:
4725:
4702:
4657:
4652:
4647:
4642:
4637:
4632:
4627:
4604:
4595:{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
4559:
4554:
4549:
4544:
4539:
4520:
4507:
4502:
4497:
4492:
4487:
4468:
4455:
4450:
4445:
4440:
4435:
4416:
4403:
4398:
4393:
4388:
4383:
4364:
4351:
4346:
4341:
4336:
4331:
4312:
4299:
4294:
4289:
4284:
4279:
4260:
4215:
4210:
4205:
4200:
4195:
4172:
4163:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
4127:
4122:
4117:
4100:
4087:
4082:
4077:
4062:
4049:
4044:
4039:
4022:
4009:
4004:
3999:
3982:
3969:
3964:
3959:
3942:
3929:
3924:
3919:
3902:
3857:
3852:
3847:
3828:
3819:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
3556:
3551:
3546:
3541:
3533:
3528:
3523:
3518:
3347:
3342:
3334:
3329:
3324:
3319:
3314:
3309:
3304:
3299:
3291:
3286:
3281:
3276:
3271:
3263:
3258:
3253:
3248:
3240:
3235:
3230:
3225:
3220:
3215:
3207:
3202:
3197:
3192:
3187:
3093:
3088:
3083:
3078:
3073:
3068:
3063:
3058:
3053:
3048:
3043:
3038:
3033:
3028:
3023:
3018:
3013:
3008:
3003:
2995:
2990:
2985:
2980:
2975:
2970:
2965:
2960:
2955:
2950:
2945:
2940:
2935:
2930:
2925:
2920:
2915:
2907:
2902:
2897:
2892:
2887:
2882:
2877:
2872:
2867:
2862:
2857:
2852:
2847:
2842:
2837:
2832:
2827:
2822:
2817:
2802:
2734:
2729:
2724:
2719:
2714:
2709:
2704:
2699:
2694:
2689:
2684:
2679:
2674:
2669:
2664:
2659:
2654:
2646:
2641:
2636:
2631:
2626:
2621:
2616:
2611:
2606:
2601:
2596:
2591:
2586:
2581:
2576:
2568:
2563:
2558:
2553:
2548:
2543:
2538:
2533:
2528:
2523:
2518:
2513:
2508:
2503:
2498:
2493:
2488:
2473:
2405:
2400:
2395:
2390:
2385:
2380:
2375:
2370:
2365:
2360:
2355:
2350:
2345:
2340:
2335:
2327:
2322:
2317:
2312:
2307:
2302:
2297:
2292:
2287:
2282:
2277:
2272:
2267:
2259:
2254:
2249:
2244:
2239:
2234:
2229:
2224:
2219:
2214:
2209:
2204:
2199:
2194:
2189:
2174:
2106:
2101:
2096:
2091:
2086:
2081:
2076:
2071:
2066:
2061:
2056:
2051:
2046:
2038:
2033:
2028:
2023:
2018:
2013:
2008:
2003:
1998:
1993:
1988:
1980:
1975:
1970:
1965:
1960:
1955:
1950:
1945:
1940:
1935:
1930:
1925:
1920:
1905:
1837:
1832:
1827:
1822:
1817:
1812:
1807:
1802:
1797:
1792:
1787:
1779:
1774:
1769:
1764:
1759:
1754:
1749:
1744:
1739:
1731:
1726:
1721:
1716:
1711:
1706:
1701:
1696:
1691:
1686:
1681:
1666:
1598:
1593:
1588:
1583:
1578:
1573:
1568:
1563:
1558:
1550:
1545:
1540:
1535:
1530:
1525:
1520:
1512:
1507:
1502:
1497:
1492:
1487:
1482:
1477:
1472:
1457:
1389:
1384:
1379:
1374:
1369:
1364:
1359:
1351:
1346:
1341:
1336:
1331:
1323:
1318:
1313:
1308:
1303:
1298:
1293:
1278:
1208:
1203:
1198:
1193:
1188:
1180:
1175:
1170:
1162:
1157:
1152:
1147:
1142:
1127:
1057:
1052:
1047:
1039:
1034:
1029:
1016:
946:
938:
927:
865:
550:-dimensional cross-polytope is
531:= arccos(−1/3) = 109.47°, δ
75:
68:
43:
36:
6489:compound of cube and octahedron
3658:. Generalized orthoplexes make
3460:points is the largest possible
695:-orthoplex can be computed by (
461:-dimensional cross-polytope is
332:
6660:
6625:
6576:
6543:
699:,2), like the coefficients of
13:
1:
6760:
6673:
6634:American Mathematical Monthly
535:= arccos(−2/4) = 120°, δ
6520:
5726:
5098:
4572:
4140:
3796:
3660:complete multipartite graphs
3562:. Real solutions exist with
703:. For example a 16-cell is (
160:. The cross-polytope is the
7:
6560:10.1007/978-3-642-76709-8_5
6502:
3130:
3127:
3124:
3121:
3118:
3115:
3112:
3109:
3106:
3103:
3100:
2768:
2765:
2762:
2759:
2756:
2753:
2750:
2747:
2744:
2741:
2436:
2433:
2430:
2427:
2424:
2421:
2418:
2415:
2412:
2134:
2131:
2128:
2125:
2122:
2119:
2116:
2113:
1862:
1859:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1620:
1617:
1614:
1611:
1608:
1605:
1408:
1405:
1402:
1399:
1396:
1224:
1221:
1218:
1215:
1070:
1067:
1064:
956:
953:
873:
527:= arccos(0/2) = 90°, δ
135:dimensional Euclidean space
10:
7659:
7643:Multi-dimensional geometry
7610:
7037:
3354:
3135:
382:, the other two being the
349:convex regular 4-polytopes
294:The cross-polytope is the
263:, in 2 dimensions it is a
7021:
7000:
6936:
6874:
6828:
6817:
6768:
6610:, pp. 120–124, §7.2.
6509:List of regular polytopes
6456:Related polytope families
3456:states that this set of 2
742:Cross-polytope elements
426:vertices, and 2 facets ((
359:in the mid-19th century.
3745:Generalized orthoplexes
3683:complete bipartite graph
720:orthographic projections
718:There are many possible
6622:, p. 121, §7.2.2..
6552:Miscellanea Mathematica
3648:Generalized orthoplexes
3487:(or cross polytopes), β
3485:generalized orthoplexes
546:The hypervolume of the
404:. A fourth family, the
347:. It is one of the six
6588:"Cocktail Party Graph"
5880:
5750:
5238:
5122:
4694:
4596:
4252:
4164:
3894:
3820:
3628:
3603:> 2, they exist in
3419:
678:
589:
517:
434: − 1)-
250:
164:of its vertices. The
6514:Hyperoctahedral group
5881:
5751:
5239:
5123:
4695:
4597:
4253:
4165:
3895:
3821:
3727:orthogonal projection
3629:
3468:Generalized orthoplex
3420:
679:
590:
543:= arccos(−1) = 180°.
518:
371:families, labeled by
251:
6937:Dimensions by number
5859:
5731:
5217:
5103:
4673:
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4231:
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