4255:
3762:
4250:{\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}
6870:
4949:
4729:
6313:
5705:
6053:
4592:
1989:
2196:
belonging to a negative eigenvalue occurs an even number of times. If an invertible real matrix does not satisfy the condition with the Jordan blocks, then it has only non-real logarithms. This can already be seen in the scalar case: no branch of the logarithm can be real at -1. The existence of real
601:
793:
6082:
5543:
6554:
5801:
1012:
4721:
4944:{\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}
2322:
2984:
1730:
1613:
1496:
4392:
2509:
4381:
3164:
1115:
1824:
2183:
5789:
366:
6626:
5391:
1322:
150:
5069:
is the set of eigenvalues of its matrix, and so is a finite set. As long as the origin is not in the spectrum (the matrix is invertible), the path condition from the previous paragraph is satisfied, and ln
2085:
3740:
6685:
6308:{\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.}
5700:{\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}}
613:
3412:
6417:
1815:
5474:
5074:
is well-defined. The non-uniqueness of the matrix logarithm follows from the fact that one can choose more than one branch of the logarithm which is defined on the set of eigenvalues of a matrix.
5518:
plane. Only one quarter of this plane is the image of the exponential map, so the logarithm is only defined on that quarter (quadrant). The other three quadrants are images of this one under the
5300:
5160:
6429:
6048:{\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}
2421:
3656:
2775:
3254:
904:
4625:
2682:
2223:
839:
249:
5337:
2826:
1386:
3527:
5231:
251:), numbers can have multiple complex logarithms, and as a consequence of this, some matrices may have more than one logarithm, as explained below. If the matrix logarithm of
5259:
5187:
5115:
1184:
3030:
1230:
884:
340:
3671:
is real then follows from the fact that a matrix with real and positive entries might nevertheless have negative or even complex eigenvalues (this is true for example for
3583:
3288:
1619:
1502:
4587:{\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }
4264:
is a matrix with zeros on and under the main diagonal. (The number λ is nonzero by the assumption that the matrix whose logarithm one attempts to take is invertible.)
2587:
2536:
298:
3228:
1392:
2429:
4276:
3193:
3050:
2818:
2798:
2611:
2560:
1984:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}=A~.}
269:
49:. Not all matrices have a logarithm and those matrices that do have a logarithm may have more than one logarithm. The study of logarithms of matrices leads to
3058:
1027:
2117:
596:{\displaystyle \log(B)=\log(I+(B-I))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(B-I)^{k}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-\cdots }
5717:
6920:
6566:
6062:
A non-singular 2 × 2 matrix does not necessarily have a logarithm, but it is conjugate by the four-group to a matrix that does have a logarithm.
2102:
The question of whether a matrix has a logarithm has the easiest answer when considered in the complex setting. A complex matrix has a logarithm
6959:
5345:
1236:
82:
2034:
5042:
open set in the complex plane not containing the origin, and it is holomorphic on such a domain. This implies that one can define ln
3689:
6873:
6637:
6733:
3306:
5488:, it has no real logarithm. Note first that any 2 × 2 real matrix can be considered one of the three types of the complex number
788:{\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(I-B)^{k}}{k}}=-(I-B)-{\frac {(I-B)^{2}}{2}}-{\frac {(I-B)^{3}}{3}}-\cdots }
6967:
3334:
2192:
The answer is more involved in the real setting. A real matrix has a real logarithm if and only if it is invertible and each
6350:
2005:
has infinitely many logarithms. This corresponds to the fact that the rotation angle is only determined up to multiples of 2
1736:
5406:
6549:{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}
5268:
5126:
3675:). The non-uniqueness of the logarithm of a matrix follows from the non-uniqueness of the logarithm of a complex number.
6909:
2349:
6738:
1007:{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}
4716:{\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}
2710:
4981:
3233:
2317:{\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}
3749:
and, rather than computing the logarithm of diagonal entries as above, one would calculate the logarithm of the
6066:
5050:
does not contain the origin and there is a path going from the origin to infinity not crossing the spectrum of
3302:
3593:
2616:
5233:
is multivalued and coincides with the matrix logarithm discussed here. The logarithm maps from the Lie group
2979:{\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}
802:
196:
6059:
They represent the three other conjugates by the four-group of the matrix above that does have a logarithm.
6844:
5309:
5087:
1329:
7035:
2214:
5200:
5240:
5168:
5096:
4973:
is the dimension of the matrix. Since such a space is finite-dimensional, this operator is actually
1141:
6978:
2992:
1725:{\displaystyle (B_{n})^{3}=(\alpha +2\pi n)^{3}{\begin{pmatrix}0&+1\\-1&0\\\end{pmatrix}},}
1608:{\displaystyle (B_{n})^{2}=(\alpha +2\pi n)^{2}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},}
1189:
844:
303:
3482:
3271:
6723:
5016:
7030:
6918:
Culver, Walter J. (1966), "On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix",
1491:{\displaystyle (B_{n})^{1}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\+1&0\\\end{pmatrix}},}
2565:
2514:
3557:
3430:
2504:{\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}
2025:
274:
4376:{\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
3198:
5515:
4985:
4598:
37:
of the latter matrix equals the original matrix. It is thus a generalization of the scalar
30:
8:
7040:
5397:
3172:
6807:"The Matrix Unwinding Function, with an Application to Computing the Matrix Exponential"
5514:
The case where the determinant is negative only arises in a plane with ε =+1, that is a
3159:{\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}
1110:{\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}
7010:
6728:
6319:
5508:
5194:
3746:
3683:
The algorithm illustrated above does not work for non-diagonalizable matrices, such as
3035:
2803:
2783:
2596:
2545:
254:
70:
46:
34:
6934:
7014:
7002:
6963:
6939:
6905:
3291:
2107:
6994:
6929:
6818:
6806:
5519:
5039:
4974:
4726:
which can be verified by plugging the right-hand side into the matrix exponential:
42:
5261:. Note that the exponential map is a local diffeomorphism between a neighborhood
6951:
6718:
4963:
4959:
4268:
3672:
2693:
2178:{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}
5784:{\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}
3464:
3310:
2114:, then there is a unique logarithm that has eigenvalues all lying in the strip
2103:
190:
6998:
7024:
7006:
6943:
6869:
6621:{\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}
4996:
3750:
3756:
The latter is accomplished by noticing that one can write a Jordan block as
2193:
2017:
358:
57:
and the logarithm is the corresponding element of the vector space of the
6904:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
5485:
5091:
3445:
2197:
matrix logarithms of real 2×2 matrices is considered in a later section.
2091:
58:
22:
6902:
Lie Groups, Lie
Algebras, and Representations An Elementary Introduction
5058:
is a circle with the origin inside of it, it is impossible to define ln
3420:
2590:
2539:
2111:
50:
6823:
3259:
894:
The rotations in the plane give a simple example. A rotation of angle
5386:{\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}
5083:
3540:
will be a diagonal matrix whose diagonal elements are eigenvalues of
1317:{\displaystyle e^{B_{n}}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}~}
186:
54:
38:
2110:. The logarithm is not unique, but if a matrix has no negative real
145:{\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}
4992:
3417:
is the geodesic distance on the 3D manifold of rotation matrices.
353:
is sufficiently close to the identity matrix, then a logarithm of
53:
since when a matrix has a logarithm then it is in an element of a
2080:{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}
3735:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}
3052:
can be obtained using the integral definition of the logarithm
889:
6680:{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}
2024:
are elements of the Lie algebra so(2), which consists of all
5193:
are square matrices and the exponential map is given by the
3317:
has eigenvalues equal to −1 where this is not unique.
3678:
5339:. Thus the (matrix) logarithm is well-defined as a map,
3407:{\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}}
3301:
can be readily computed from the antisymmetric part of
6646:
6587:
6571:
6483:
6444:
6412:{\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}
6268:
6101:
5970:
5884:
5810:
5738:
5666:
5603:
5564:
4907:
4842:
4789:
4744:
4679:
4640:
3987:
3777:
3698:
2043:
1887:
1810:{\displaystyle (B_{n})^{4}=(\alpha +2\pi n)^{4}~I_{2}}
1682:
1565:
1448:
1070:
919:
6640:
6569:
6432:
6353:
6085:
5804:
5720:
5546:
5469:{\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}
5409:
5348:
5312:
5271:
5243:
5203:
5171:
5129:
5099:
4732:
4628:
4395:
4279:
3765:
3692:
3596:
3560:
3485:
3337:
3274:
3236:
3201:
3175:
3061:
3038:
2995:
2829:
2806:
2786:
2713:
2619:
2599:
2568:
2548:
2517:
2432:
2352:
2226:
2120:
2037:
2012:
In the language of Lie theory, the rotation matrices
1827:
1739:
1622:
1505:
1395:
1332:
1239:
1192:
1144:
1030:
907:
847:
805:
616:
369:
306:
277:
257:
199:
85:
4953:
3421:
Calculating the logarithm of a diagonalizable matrix
5795:These matrices, however, do not have a logarithm:
5295:{\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}
5155:{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}
3260:
Further example: Logarithm of rotations in 3D space
898:around the origin is represented by the 2×2-matrix
6894:, vol. 1, New York: Chelsea, pp. 239–241
6679:
6620:
6548:
6411:
6307:
6047:
5783:
5699:
5468:
5385:
5331:
5294:
5253:
5225:
5181:
5154:
5109:
4943:
4715:
4586:
4375:
4249:
3734:
3650:
3577:
3521:
3406:
3282:
3248:
3222:
3187:
3158:
3044:
3024:
2978:
2812:
2792:
2769:
2676:
2605:
2581:
2554:
2530:
2503:
2415:
2316:
2177:
2079:
1983:
1809:
1724:
1607:
1490:
1380:
1316:
1224:
1178:
1109:
1006:
878:
833:
787:
595:
334:
292:
263:
243:
144:
5077:
2416:{\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}}
7022:
6921:Proceedings of the American Mathematical Society
6811:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
6804:
6072:is obtainable directly from exponentiating (log
5479:
5419:
6805:APRAHAMIAN, MARY; HIGHAM, NICHOLAS J. (2014).
3554:by its (natural) logarithm in order to obtain
6956:Functions of Matrices. Theory and Computation
4609:is equal to or greater than the dimension of
4441:
4416:
18:Mathematical operation on invertible matrices
3395:
3366:
2770:{\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}
2172:
2138:
2121:
890:Example: Logarithm of rotations in the plane
271:exists and is unique, then it is written as
3320:Further note that, given rotation matrices
3249:{\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }
6889:
841:, then the preceding series converges and
344:
6933:
6822:
3276:
2131:
5507:is a point on a complex subplane of the
3745:For such matrices one needs to find its
3679:Logarithm of a non-diagonalizable matrix
3651:{\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.}
3297:The logarithm of such a rotation matrix
2677:{\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}
185:Because the exponential function is not
5165:For matrix Lie groups, the elements of
834:{\displaystyle \left\|I-B\right\|<1}
244:{\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}
7023:
6950:
6917:
6793:
6781:
6769:
5484:If a 2 × 2 real matrix has a negative
2989:More generally, a series expansion of
5537:= 3/4. For matrices, this means that
5332:{\displaystyle {\underline {1}}\in G}
5065:The spectrum of a linear operator on
3309:. It yields the logarithm of minimal
2155:
6976:
6899:
6856:
6757:
1381:{\displaystyle (B_{n})^{0}=1~I_{2},}
6318:For a richer example, start with a
5375:
5287:
5246:
5174:
5138:
5102:
4613:), and so its sum is well-defined.
13:
6874:Abstract Algebra/2x2 real matrices
5711:So this last matrix has logarithm
5441:
5438:
3667:might be a complex matrix even if
3243:
2892:
1844:
1276:
654:
440:
115:
14:
7052:
6935:10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6
6739:Derivative of the exponential map
5503:, where ε ∈ { −1, 0, +1 }. This
4954:A functional analysis perspective
3547:Replace each diagonal element of
2185:. This logarithm is known as the
6868:
6734:Baker–Campbell–Hausdorff formula
5226:{\displaystyle \log =\exp ^{-1}}
357:may be computed by means of the
6065:It also follows, that, e.g., a
5254:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5182:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5117:to the corresponding Lie group
5110:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4982:holomorphic functional calculus
4619:Using this approach, one finds
2020:. The corresponding logarithms
6862:
6850:
6838:
6798:
6787:
6775:
6763:
6751:
6249:
6238:
6226:
6223:
6212:
6201:
6189:
6186:
6173:
6162:
6150:
6147:
6136:
6125:
6113:
6110:
5457:
5445:
5431:
5428:
5422:
5416:
5364:
5143:
5078:A Lie group theory perspective
4999:and a bounded linear operator
4601:has a finite number of terms (
4506:
4494:
4488:
4476:
4464:
4455:
4436:
4424:
4298:
4286:
4244:
4232:
3629:
3612:
3391:
3375:
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3348:
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3104:
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3084:
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3003:
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2957:
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2852:
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2016:are elements of the Lie group
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415:
403:
394:
382:
376:
1:
6890:Gantmacher, Felix R. (1959),
6883:
5480:Constraints in the 2 × 2 case
4958:A square matrix represents a
3025:{\displaystyle \log {(A+tB)}}
2780:Similarly, for non-commuting
2200:
1225:{\displaystyle ~~e^{B_{n}}=A}
879:{\displaystyle e^{\log(B)}=B}
335:{\displaystyle e^{\log B}=B.}
64:
3522:{\displaystyle A'=V^{-1}AV.}
3283:{\displaystyle \mathbb {R} }
2097:
7:
6712:
5046:as long as the spectrum of
3303:Rodrigues' rotation formula
10:
7057:
6067:square root of this matrix
5396:An important corollary of
5054:(e.g., if the spectrum of
2215:positive-definite matrices
607:which can be rewritten as
6987:BIT Numerical Mathematics
6977:Engø, Kenth (June 2001),
6631:has the logarithm matrix
5529:= log 2 ; then cosh
3425:A method for finding log
6744:
2704:in this equation yields
2582:{\displaystyle \nu _{j}}
2531:{\displaystyle \mu _{j}}
6999:10.1023/A:1021979515229
6979:"On the BCH-formula in
6900:Hall, Brian C. (2015),
6724:Square root of a matrix
5522:generated by ε and −1.
5306:of the identity matrix
3578:{\displaystyle \log A'}
2026:skew-symmetric matrices
345:Power series expression
293:{\displaystyle \log B,}
71:exponential of a matrix
6892:The Theory of Matrices
6681:
6622:
6550:
6413:
6309:
6049:
5785:
5701:
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5333:
5296:
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5227:
5183:
5156:
5111:
5038:can be defined on any
4945:
4717:
4588:
4377:
4251:
3736:
3663:That the logarithm of
3652:
3579:
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3408:
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3223:{\displaystyle X=A+tB}
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2532:
2505:
2417:
2335:commute, meaning that
2318:
2179:
2090:is a generator of the
2081:
1985:
1848:
1811:
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5256:
5237:into the Lie algebra
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3580:
3524:
3456:is an eigenvector of
3431:diagonalizable matrix
3409:
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3225:
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3161:
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2815:
2795:
2772:
2692:commute and are both
2679:
2608:
2589:is the corresponding
2584:
2557:
2533:
2506:
2418:
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2180:
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246:
147:
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41:and in some sense an
27:logarithm of a matrix
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5097:
5003:, one can calculate
4986:holomorphic function
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3747:Jordan decomposition
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2993:
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2820:, one can show that
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255:
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5302:and a neighborhood
5265:of the zero matrix
4980:Using the tools of
3188:{\displaystyle X=A}
3125:
2896:
2187:principal logarithm
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1310:
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5321:
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5280:
5251:
5223:
5197:. The inverse map
5195:matrix exponential
5179:
5152:
5107:
5015:is defined on the
4941:
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3519:
3436:is the following:
3404:
3290:is given by a 3×3
3280:
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241:
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47:matrix exponential
35:matrix exponential
7036:Inverse functions
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6091:
5964:
5878:
5525:For example, let
5462:
5314:
5273:
5082:In the theory of
4835:
4833:
4831:
4576:
4556:
4536:
4365:
4345:
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3673:rotation matrices
3385:
3313:, but fails when
3305:, explicitly in
3292:orthogonal matrix
3151:
3045:{\displaystyle t}
2949:
2925:
2905:
2813:{\displaystyle B}
2793:{\displaystyle A}
2694:positive-definite
2613:. In particular,
2606:{\displaystyle B}
2555:{\displaystyle A}
2162:
2157:
2143:
2137:
2001:Thus, the matrix
1998:
1997:
1977:
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1313:
1294:
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1175:
799:Specifically, if
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743:
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551:
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264:{\displaystyle B}
160:, another matrix
140:
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7017:
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6952:Higham, Nicholas
6946:
6937:
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6914:
6895:
6877:
6872:
6866:
6860:
6854:
6848:
6847:by S Adler (IAS)
6845:Unpublished memo
6842:
6836:
6835:
6833:
6831:
6826:
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6796:
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3452:(each column of
3440:Find the matrix
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3169:applied to both
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