43:
84:
131:
1396:
8197:
8392:
7571:
1171:
7968:
10751:
9207:
8716:
5181:
7286:
3762:
8208:
9696:
6998:
7370:
6633:
3565:
10397:
1391:{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}
8192:{\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}
7960:
11904:
4003:
3310:
2498:
5517:
10533:
3098:
5032:
9417:
6080:
11998:
11334:
10056:
8571:
5280:
5040:
2788:
2406:
716:
8976:
6384:
4644:
11813:
1751:
10921:
8582:
2645:
2301:
4223:
859:
7854:
5732:
11731:
11652:
5606:
4421:
5818:
11459:
10236:
4937:
4879:
4821:
8934:
3412:
478:
7130:
1891:
10138:
8387:{\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}
1176:
8865:
3633:
10268:
8758:
11548:
9573:
7566:{\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}
6817:
5326:
4763:
4724:
4685:
1545:
8469:
6463:
11171:
7691:
3904:
778:
2411:
6732:
1987:
652:
11370:
10808:
6251:
5921:
5425:
5392:
3812:
1473:
922:
552:
11407:
10841:
5981:
5430:
3845:
3600:
1596:
1506:
982:
10971:
6119:
3443:
3134:
3005:
4513:
9898:
9733:
6013:
11220:
7614:
6188:
4130:
11078:
11045:
11004:
9471:
7751:
6287:
5884:
5359:
1140:
389:
284:
507:
11246:
8968:
5186:
4552:
4075:
2196:
587:
12204:
Ding, Chris; Zhou, Ding; He, Xiaofeng; Zha, Hongyuan (June 2006). "R1-PCA: Rotational
Invariant L1-norm Principal Component Analysis for Robust Subspace Factorization".
11136:
10172:
7879:
6214:
6152:
5851:
1802:
11819:
11500:
11107:
9965:
9863:
9792:
9259:
6418:
4302:
4104:
4036:
2856:
2117:
2020:
1166:
1035:
6444:
4328:
2153:
7350:
7122:
7089:
7034:
6809:
3167:
2949:
2057:
9822:
4451:
4253:
2649:
1653:
6314:
6008:
5948:
3899:
3872:
2976:
2084:
1918:
1623:
1416:
1093:
1066:
1009:
949:
422:
2306:
2825:
3157:
11571:
11191:
9753:
9534:
9514:
9491:
9279:
8415:
7874:
7715:
7638:
6772:
6752:
4945:
4569:
4471:
4273:
3624:
3436:
3000:
2912:
2888:
1938:
1440:
352:
332:
312:
243:
9298:
1658:
2503:
105:
11910:
2201:
4135:
11254:
8480:
12540:
5675:
9973:
5529:
4333:
10746:{\displaystyle \|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in ,\ell \in }{(u_{j}\cdot v_{j})A_{\ell ,j}}}}
149:
9202:{\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}
5741:
663:
8711:{\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}
6319:
11737:
10849:
806:
5176:{\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}
7782:
12534:
11658:
11579:
92:
12194:
Carl D. Meyer, Matrix
Analysis and Applied Linear Algebra, §5.2, p.281, Society for Industrial & Applied Mathematics, June 2000.
11412:
10188:
4884:
4826:
4768:
8877:
7281:{\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}
430:
12447:
12386:
12171:
3321:
1813:
10067:
3757:{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}\leq {\sqrt {\|A^{*}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}
2870:
for further discussion. The spectral radius should not be confused with the spectral norm.) The spectral norm of a matrix
9564:
8792:
9551:= ∞ yields the spectral norm, which is the operator norm induced by the vector 2-norm (see above). Finally,
7036:
norm as an error function is more robust, since the error for each data point (a column) is not squared. It is used in
9691:{\displaystyle \|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),}
6993:{\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}
12530:
12503:
12482:
12221:
9908:
185:
167:
70:
8724:
11512:
7771:
Frobenius norm is often easier to compute than induced norms, and has the useful property of being invariant under
6628:{\displaystyle \|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}
5292:
4729:
4690:
4651:
1511:
8420:
7360:, though the latter term is used more frequently in the context of operators on (possibly infinite-dimensional)
12305:
17:
12381:. AMS Colloquium Publications. Vol. 60. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 127â131.
11141:
7643:
7765:
3313:
727:
3560:{\textstyle \|A\|_{2}=\sigma _{\mathrm {max} }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i}\sigma _{i}(A)^{2}}}}
12556:
9825:
9232:
7694:
7297:
6685:
3415:
1943:
598:
56:
11342:
10780:
10392:{\displaystyle \|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq ,T\subseteq }{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}}
6223:
5893:
5397:
5364:
3784:
1445:
894:
512:
11379:
10813:
5953:
3817:
3570:
1569:
1478:
954:
10937:
6085:
3103:
5735:
4479:
9872:
9704:
11196:
10530:
via scalar multiplication. The
Grothendieck norm is the norm of that extended operator; in symbols:
9901:
9916:
9912:
7583:
6167:
4109:
214:. Matrix norms differ from vector norms in that they must also interact with matrix multiplication.
12477:(1996). Matrix Computations â Third Edition. Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 56â57.
11050:
11017:
10976:
9432:
8940:
7955:{\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)}
7761:
7723:
6259:
5856:
5331:
1112:
361:
256:
11899:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}
486:
12561:
11225:
11081:
10464:
9829:
8946:
8761:
7754:
7303:
4518:
4041:
3998:{\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}.}
3305:{\textstyle \|A\|_{2}=\sup\{x^{*}Ay:x\in K^{m},y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}.}
2169:
560:
97:
11115:
10151:
6193:
6124:
5830:
1771:
12166:. Johnson, Charles R. (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 340â341.
12103:
11472:
11086:
9922:
9835:
9758:
9429:
All
Schatten norms are sub-multiplicative. They are also unitarily invariant, which means that
9238:
6397:
4281:
4083:
4008:
2834:
2493:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},}
2089:
1992:
1145:
1014:
425:
6423:
4307:
2122:
11551:
7322:
7094:
7061:
7006:
6781:
6256:
All induced norms are consistent by definition. Also, any sub-multiplicative matrix norm on
2921:
2029:
793:
12374:
12239:"Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators"
12127:
Malek-Shahmirzadi, Massoud (1983). "A characterization of certain classes of matrix norms".
9797:
5672:. For an arbitrary matrix, we may not have equality for any norm; a counterexample would be
5512:{\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}
4426:
4228:
2022:
measures the longest "radius" of the distorted convex shape. In other words, we must take a
1628:
12250:
11011:
7037:
6292:
5986:
5926:
3877:
3850:
3093:{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).}
2954:
2062:
1896:
1601:
1419:
1401:
1071:
1044:
987:
927:
401:
5027:{\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}
8:
9412:{\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{1/p}.}
6075:{\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}
2979:
2804:
395:
223:
12254:
3139:
210:. Specifically, when the vector space comprises matrices, such norms are referred to as
12453:
12353:
12273:
12238:
11993:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}
11556:
11176:
10249:
Another source of inspiration for matrix norms arises from considering a matrix as the
9738:
9519:
9499:
9476:
9264:
8400:
7859:
7700:
7623:
6757:
6737:
4456:
4258:
3609:
3421:
2985:
2897:
2873:
1923:
1425:
355:
337:
317:
297:
228:
31:
12543:, An Introduction to Numerical Analysis, published by John Wiley & Sons, Inc 1989
12499:
12478:
12443:
12382:
12345:
12301:
12278:
12217:
12177:
12167:
12144:
11329:{\displaystyle k=\sup\{\Vert AB\Vert \,:\,\Vert A\Vert \leq 1,\Vert B\Vert \leq 1\}.}
145:
12525:
Carl D. Meyer, Matrix
Analysis and Applied Linear Algebra, published by SIAM, 2000.
12357:
8566:{\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}
5275:{\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}
12474:
12457:
12435:
12434:. STOC '04. Chicago, IL, USA: Association for Computing Machinery. pp. 72â80.
12337:
12268:
12258:
12209:
12136:
12014:
10772:
10250:
7776:
5734:
which has vanishing spectral radius. In any case, for any matrix norm, we have the
5652:
5648:
62:
12519:
10262:
9866:
7772:
5640:
2867:
12072:
10261:. The so-called "cut norm" measures how close the associated graph is to being
10051:{\displaystyle \left|\operatorname {trace} (A'B)\right|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},}
1560:
12243:
Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
10756:
10258:
10254:
9494:
7617:
7577:
2891:
2828:
2783:{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7;2+6+4;0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}
250:
12140:
12550:
12349:
12181:
12148:
12034:
10179:
9218:
8764:, and Re is the real part of a complex number (irrelevant for real matrices)
7361:
7041:
2408:
which is simply the maximum absolute row sum of the matrix. For example, for
2401:{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,}
1761:
1101:
883:
12439:
12213:
12033:
The condition only applies when the product is defined, such as the case of
711:{\displaystyle \left\|\alpha A\right\|=\left|\alpha \right|\left\|A\right\|}
12432:
Proceedings of the thirty-sixth annual ACM symposium on Theory of computing
12282:
12263:
291:
207:
12427:
12341:
10755:
The
Grothendieck norm depends on choice of basis (usually taken to be the
10409:. Equivalent definitions (up to a constant factor) impose the conditions
6379:{\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}
4639:{\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}
12522:, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, published by SIAM, 1997.
11808:{\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}
1746:{\displaystyle \|A\|_{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}.}
889:
870:
can be rescaled to be sub-multiplicative; in some books, the terminology
246:
203:
199:
12325:
10916:{\displaystyle r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }}
2640:{\displaystyle \|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0;5+6+2;7+4+8)=\max(5,13,19)=19,}
12470:
2915:
2296:{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,}
4218:{\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}
1095:
with respect to the standard basis, and one defines the corresponding
854:{\displaystyle \left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|}
12423:
12009:
10241:
The
Frobenius norm and spectral norm are examples of monotone norms.
9422:
These norms again share the notation with the induced and entry-wise
6811:
norm is the sum of the
Euclidean norms of the columns of the matrix:
3781:
We can generalize the above definition. Suppose we have vector norms
12206:
Proceedings of the 23rd
International Conference on Machine Learning
7849:{\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}
792:
The only feature distinguishing matrices from rearranged vectors is
10470:
To define the Grothendieck norm, first note that a linear operator
6446:, and use one of the familiar vector norms. For example, using the
4765:
are operator norms induced by the respective pairs of vector norms
4554:
are the maximum row and column 2-norm of the matrix, respectively.
140:
provides insufficient context for those unfamiliar with the subject
12208:. ICML '06. Pittsburgh, Pennsylvania, USA: ACM. pp. 281â288.
7717:, and the fact that the trace is invariant under circular shifts.
7764:. The sub-multiplicativity of Frobenius norm can be proved using
5727:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}
12526:
11726:{\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}
11647:{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}
7760:
The Frobenius norm is sub-multiplicative and is very useful for
5601:{\displaystyle (\|A^{r}\|_{\alpha ,\alpha })^{1/r}\geq \rho (A)}
5427:. Then, the operator norm is a sub-multiplicative matrix norm:
4416:{\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}
3768:
83:
10480:
is just a scalar, and thus extends to a linear operator on any
1940:
to the ball. It would end up becoming a distorted convex shape
12300:. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 57.
2303:
which is simply the maximum absolute column sum of the matrix.
1768:
for matrices treated below, which are also usually denoted by
7876:. This property follows from the cyclic nature of the trace (
5813:{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}
7720:
The Frobenius norm is an extension of the Euclidean norm to
11454:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }}
10231:{\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}
9547:= 2 yields the Frobenius norm, introduced before. The case
7640:. The second equality is proven by explicit computation of
4932:{\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}
12428:"Approximating the cut-norm via Grothendieck's inequality"
11376:, if there exists no other sub-multiplicative matrix norm
8943:), an alternative definition of max-norm, also called the
4874:{\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}
4816:{\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}
12298:
Introduction to numerical linear algebra and optimisation
10463:, which is itself equivalent to another norm, called the
10061:
In particular, this implies the Schatten norm inequality
8929:{\displaystyle {\sqrt {mn}}\max _{i,j}\vert a_{ij}\vert }
1550:
796:. Matrix norms are particularly useful if they are also
10456:
The cut-norm is equivalent to the induced operator norm
3407:{\textstyle \|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}}
1754:
473:{\displaystyle \|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} }
877:
6389:
5690:
3446:
3324:
3170:
2426:
1886:{\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}\leq 1\}}
11913:
11822:
11740:
11661:
11582:
11559:
11515:
11475:
11415:
11382:
11345:
11257:
11228:
11199:
11179:
11144:
11118:
11089:
11053:
11020:
10979:
10940:
10852:
10816:
10783:
10536:
10271:
10191:
10154:
10133:{\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.}
10070:
9976:
9925:
9875:
9838:
9800:
9761:
9741:
9707:
9576:
9522:
9502:
9479:
9435:
9301:
9267:
9241:
8979:
8949:
8880:
8795:
8727:
8585:
8483:
8423:
8403:
8211:
7971:
7882:
7862:
7785:
7726:
7703:
7646:
7626:
7586:
7373:
7325:
7133:
7097:
7064:
7009:
6820:
6784:
6760:
6740:
6688:
6466:
6426:
6400:
6322:
6295:
6262:
6226:
6196:
6170:
6127:
6088:
6016:
5989:
5956:
5929:
5896:
5859:
5833:
5744:
5678:
5532:
5433:
5400:
5367:
5334:
5295:
5189:
5043:
4948:
4887:
4829:
4771:
4732:
4693:
4654:
4572:
4521:
4482:
4459:
4429:
4336:
4310:
4284:
4261:
4231:
4138:
4112:
4086:
4044:
4011:
3907:
3880:
3853:
3820:
3787:
3636:
3612:
3573:
3424:
3142:
3106:
3008:
2988:
2957:
2924:
2900:
2876:
2837:
2807:
2652:
2506:
2414:
2309:
2204:
2172:
2125:
2092:
2065:
2032:
1995:
1946:
1926:
1899:
1816:
1774:
1661:
1631:
1604:
1572:
1514:
1481:
1448:
1428:
1422:. This norm measures how much the mapping induced by
1404:
1174:
1148:
1115:
1074:
1047:
1017:
990:
957:
930:
897:
809:
730:
666:
601:
563:
515:
489:
433:
404:
364:
340:
320:
300:
259:
231:
5328:
is an operator norm on the space of square matrices
4563:
11502:once again refer to the norm induced by the vector
2858:-norm for vectors), the induced matrix norm is the
1442:can stretch vectors. Depending on the vector norms
12326:"Quick Approximation to Matrices and Applications"
11992:
11898:
11807:
11725:
11646:
11565:
11542:
11494:
11453:
11401:
11364:
11328:
11240:
11214:
11185:
11165:
11130:
11101:
11072:
11039:
10998:
10965:
10915:
10835:
10802:
10745:
10391:
10230:
10166:
10132:
10050:
9959:
9892:
9857:
9816:
9786:
9747:
9727:
9690:
9528:
9508:
9485:
9465:
9411:
9273:
9253:
9201:
8962:
8928:
8860:{\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{i,j}|a_{ij}|.}
8859:
8752:
8710:
8565:
8463:
8409:
8386:
8191:
7954:
7868:
7848:
7745:
7709:
7685:
7632:
7608:
7565:
7344:
7280:
7116:
7083:
7028:
6992:
6803:
6766:
6746:
6726:
6627:
6438:
6412:
6378:
6308:
6281:
6245:
6208:
6182:
6146:
6113:
6074:
6002:
5975:
5942:
5915:
5878:
5845:
5822:
5812:
5726:
5600:
5511:
5419:
5386:
5353:
5320:
5274:
5175:
5026:
4931:
4873:
4815:
4757:
4718:
4679:
4638:
4546:
4507:
4465:
4445:
4415:
4322:
4296:
4267:
4247:
4217:
4124:
4098:
4069:
4030:
3997:
3893:
3866:
3839:
3806:
3756:
3618:
3594:
3559:
3430:
3406:
3304:
3151:
3128:
3092:
2994:
2970:
2943:
2906:
2882:
2850:
2819:
2782:
2639:
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2400:
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2190:
2147:
2111:
2078:
2051:
2014:
1981:
1932:
1912:
1885:
1796:
1745:
1647:
1617:
1590:
1539:
1500:
1467:
1434:
1410:
1390:
1160:
1134:
1087:
1060:
1029:
1003:
976:
943:
916:
853:
772:
710:
646:
581:
546:
501:
472:
416:
383:
346:
326:
306:
278:
237:
12126:
6646:-norm (see below), but the notation is the same.
5521:Moreover, any such norm satisfies the inequality
12548:
11800:
11752:
11264:
10563:
10524:, by letting each matrix element on elements of
10292:
9646:
9343:
9126:
9088:
9003:
8892:
8816:
8807:
7514:
5746:
5664:) for the 2-norm, since in this case the 2-norm
5191:
4363:
4165:
3934:
3901:respectively; the corresponding operator norm is
3190:
3136:represents the largest singular value of matrix
3112:
3073:
3035:
2750:
2672:
2604:
2526:
2330:
2225:
2119:, in order for it to be large enough to contain
1682:
1405:
1292:
1208:
11464:
12537:, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
11506:-norm (as above in the Induced norm section).
11222:is a sub-multiplicative matrix norm for every
8753:{\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}
12498:Chapter 5, Cambridge University Press, 1985.
12373:
12203:
11543:{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
4566:with the vector norms that induce it, giving
4330:, the induced matrix norms can be computed by
4132:, the induced matrix norms can be computed by
12323:
11978:
11971:
11952:
11945:
11933:
11926:
11887:
11880:
11861:
11854:
11842:
11835:
11796:
11789:
11767:
11760:
11748:
11741:
11714:
11707:
11688:
11681:
11669:
11662:
11635:
11628:
11609:
11602:
11590:
11583:
11483:
11476:
11442:
11435:
11423:
11416:
11390:
11383:
11353:
11346:
11320:
11311:
11305:
11293:
11287:
11279:
11270:
11267:
11209:
11203:
11125:
11119:
10904:
10897:
10882:
10875:
10863:
10856:
10824:
10817:
10791:
10784:
10643:
10630:
10624:
10611:
10544:
10537:
10279:
10272:
10222:
10216:
10210:
10204:
10161:
10155:
10118:
10111:
10102:
10095:
10078:
10071:
10036:
10029:
10020:
10013:
9846:
9839:
9661:
9649:
9584:
9577:
9460:
9448:
9442:
9436:
9358:
9346:
9309:
9302:
9190:
9170:
9161:
9141:
9069:
9062:
9047:
9040:
8923:
8907:
8803:
8796:
8741:
8728:
8691:
8678:
8647:
8640:
8623:
8616:
8599:
8586:
8549:
8542:
8530:
8513:
8501:
8484:
8367:
8360:
8222:
8212:
8172:
8165:
7982:
7972:
7837:
7827:
7815:
7805:
7793:
7786:
7529:
7517:
7381:
7374:
7364:. This norm can be defined in various ways:
7141:
7134:
6881:
6867:
6828:
6821:
6516:
6492:
6474:
6467:
6234:
6227:
6203:
6197:
5964:
5957:
5904:
5897:
5840:
5834:
5775:
5761:
5550:
5536:
5491:
5484:
5469:
5462:
5444:
5434:
5408:
5401:
5375:
5368:
5321:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}
5303:
5296:
5254:
5244:
5232:
5219:
5202:
5195:
5164:
5157:
5142:
5135:
5120:
5113:
5101:
5091:
5076:
5069:
5057:
5044:
5006:
4999:
4984:
4977:
4959:
4949:
4917:
4910:
4898:
4891:
4859:
4852:
4840:
4833:
4801:
4794:
4782:
4775:
4758:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}
4740:
4733:
4701:
4694:
4662:
4655:
4624:
4617:
4602:
4595:
4583:
4573:
4529:
4522:
4490:
4483:
4401:
4384:
4344:
4337:
4203:
4186:
4146:
4139:
4052:
4045:
4019:
4012:
3980:
3973:
3962:
3952:
3915:
3908:
3828:
3821:
3795:
3788:
3743:
3736:
3727:
3720:
3704:
3687:
3644:
3637:
3581:
3574:
3503:
3496:
3454:
3447:
3390:
3383:
3371:
3354:
3342:
3325:
3296:
3281:
3274:
3262:
3255:
3193:
3178:
3171:
3016:
3009:
2866:coincide in infinite dimensions — see
2660:
2653:
2514:
2507:
2317:
2310:
2212:
2205:
2100:
2093:
2003:
1996:
1880:
1865:
1858:
1836:
1782:
1775:
1728:
1721:
1710:
1700:
1669:
1662:
1522:
1515:
1489:
1482:
1456:
1449:
1331:
1324:
1313:
1303:
1279:
1264:
1257:
1224:
1214:
1211:
1186:
1179:
965:
958:
905:
898:
767:
761:
755:
749:
743:
731:
608:
602:
570:
564:
480:that must satisfy the following properties:
440:
434:
411:
405:
11173:there exists a unique positive real number
10490:. Moreover, given any choice of basis for
9235:of a matrix. If the singular values of the
6754:. From the original definition, the matrix
4719:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}
4680:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}
3606:. Equality holds if and only if the matrix
1753:These induced norms are different from the
1540:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}
71:Learn how and when to remove these messages
8464:{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }
6638:This is a different norm from the induced
4038:defined previously is the special case of
1806:Geometrically speaking, one can imagine a
874:is reserved for sub-multiplicative norms.
621:
617:
12324:Frieze, Alan; Kannan, Ravi (1999-02-01).
12272:
12262:
11524:
11286:
11282:
11147:
8970:-norm, refers to the factorization norm:
8397:where we have used the unitary nature of
466:
186:Learn how and when to remove this message
168:Learn how and when to remove this message
12422:
11166:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}
11047:. This is true because the vector space
9915:for Euclidean space yields a version of
8776:is the elementwise norm in the limit as
7686:{\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}
6778:data points in m-dimensional space. The
2792:
1655:then the corresponding operator norm is:
108:of all important aspects of the article.
12369:
12367:
12295:
10766:
10182:. Thus, a matrix norm is increasing if
10178:if it is monotonic with respect to the
9735:denotes a positive semidefinite matrix
8874:; but modifying the right-hand side to
773:{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}
14:
12549:
8939:Note that in some literature (such as
6660:
3626:is a rank-one matrix or a zero matrix.
2914:(i.e., the square root of the largest
104:Please consider expanding the lead to
12418:
12416:
12414:
12319:
12317:
12070:
6727:{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}
1982:{\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}
647:{\displaystyle \|A\|=0\iff A=0_{m,n}}
150:providing more context for the reader
12364:
12161:
12098:
12096:
12094:
12092:
12066:
12064:
11365:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
10803:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
7580:is the sum of diagonal entries, and
6289:induces a compatible vector norm on
6246:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
5916:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
5523:
5420:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
5387:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
3807:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
1468:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
917:{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
878:Matrix norms induced by vector norms
547:{\displaystyle A,B\in K^{m\times n}}
124:
77:
36:
12236:
11573:, the following inequalities hold:
11402:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
10836:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
6657:= ∞ yields the maximum norm.
6642:-norm (see above) and the Schatten
5976:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
3840:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
3603:
3595:{\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}}
1591:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
1547:can be used for the operator norm.
1501:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
977:{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
24:
12411:
12314:
11891:
11846:
10966:{\displaystyle A\in K^{m\times n}}
9832:is well defined. The nuclear norm
9079:
9057:
7693:. The third equality is proven by
7660:
7657:
7654:
7651:
7648:
6502:
6499:
6496:
6114:{\displaystyle A\in K^{m\times n}}
5756:
5284:
4500:
4156:
4119:
3747:
3708:
3508:
3478:
3475:
3472:
3129:{\displaystyle \sigma _{\max }(A)}
2664:
2321:
2185:
1585:
206:are defined for elements within a
27:Norm on a vector space of matrices
25:
12573:
12533:, Theory of Quantum Information,
12089:
12061:
11339:A sub-multiplicative matrix norm
10143:
9904:to search for low-rank matrices.
9212:
7779:operations in general). That is,
7291:
5668:precisely the spectral radius of
4508:{\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}
334:columns and entries in the field
52:This article has multiple issues.
12494:Roger Horn and Charles Johnson.
11112:Moreover, for every matrix norm
9893:{\displaystyle {\text{rank}}(A)}
9728:{\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}
9426:-norms, but they are different.
8457:
217:
129:
82:
41:
12513:
12488:
12464:
12379:Large Networks and Graph Limits
11215:{\displaystyle \ell \|\cdot \|}
10973:. In other words, all norms on
9227:-norms arise when applying the
8871:
7091:norm can be generalized to the
6653:= 2 is the Frobenius norm, and
5823:Consistent and compatible norms
3769:Matrix norms induced by vector
2086:, then multiply it by at least
1551:Matrix norms induced by vector
1041:induces a linear operator from
424:). Thus, the matrix norm is a
394:Norms are often expressed with
96:may be too short to adequately
60:or discuss these issues on the
12289:
12230:
12197:
12188:
12155:
12129:Linear and Multilinear Algebra
12120:
12027:
10722:
10696:
10690:
10684:
10672:
10666:
10326:
10320:
10308:
10302:
10201:
10002:
9988:
9909:von Neumann's trace inequality
9887:
9881:
9682:
9676:
9384:
9378:
8996:
8990:
8850:
8832:
8260:
8250:
8020:
8010:
7949:
7937:
7925:
7913:
7901:
7889:
7757:on the space of all matrices.
7680:
7664:
7609:{\displaystyle \sigma _{i}(A)}
7603:
7597:
7555:
7549:
7445:
7426:
7233:
7214:
6961:
6942:
6721:
6689:
6596:
6577:
6512:
6506:
6372:
6338:
6330:
6324:
6183:{\displaystyle \alpha =\beta }
6062:
6056:
6050:
6044:
6030:
6019:
5804:
5798:
5753:
5595:
5589:
5566:
5533:
4926:
4888:
4868:
4830:
4810:
4772:
4125:{\displaystyle \beta =\infty }
3677:
3661:
3546:
3539:
3490:
3484:
3161:There are further properties:
3123:
3117:
3084:
3078:
2771:
2753:
2744:
2692:
2679:
2675:
2625:
2607:
2598:
2546:
2533:
2529:
2391:
2373:
2286:
2268:
847:
841:
836:
830:
822:
811:
704:
698:
679:
668:
618:
462:
106:provide an accessible overview
13:
1:
12296:Ciarlet, Philippe G. (1989).
12054:
11073:{\displaystyle K^{m\times n}}
11040:{\displaystyle K^{m\times n}}
10999:{\displaystyle K^{m\times n}}
10512:extends to a linear operator
9466:{\displaystyle \|A\|=\|UAV\|}
7746:{\displaystyle K^{n\times n}}
6282:{\displaystyle K^{n\times n}}
5879:{\displaystyle K^{m\times n}}
5354:{\displaystyle K^{n\times n}}
4557:
4453:is the j-th column of matrix
1135:{\displaystyle K^{m\times n}}
384:{\displaystyle K^{m\times n}}
279:{\displaystyle K^{m\times n}}
30:For the general concept, see
12426:; Naor, Assaf (2004-06-13).
12377:(2012). "The cut distance".
11465:Examples of norm equivalence
10244:
9826:positive semidefinite matrix
9539:The most familiar cases are
7695:singular value decomposition
3416:singular value decomposition
1920:, then apply the linear map
502:{\displaystyle \alpha \in K}
7:
12003:
11241:{\displaystyle \ell \geq k}
8963:{\displaystyle \gamma _{2}}
8767:
6420:matrix as a vector of size
5660:
5614:
4547:{\displaystyle \|A\|_{1,2}}
4070:{\displaystyle \|A\|_{p,p}}
2191:{\displaystyle p=1,\infty }
2158:
582:{\displaystyle \|A\|\geq 0}
10:
12578:
12393:Note that LovĂĄsz rescales
11131:{\displaystyle \|\cdot \|}
10926:for some positive numbers
10770:
10167:{\displaystyle \|\cdot \|}
9543:= 1, 2, ∞. The case
9216:
7301:
7295:
6209:{\displaystyle \|\cdot \|}
6154:. In the special case of
6147:{\displaystyle x\in K^{n}}
5846:{\displaystyle \|\cdot \|}
5624:for all positive integers
4255:is the i-th row of matrix
2198:, we have simple formulas.
1797:{\displaystyle \|A\|_{p}.}
1598:) is used for both spaces
1508:used, notation other than
881:
29:
12141:10.1080/03081088308817508
11495:{\displaystyle \|A\|_{p}}
11102:{\displaystyle m\times n}
10777:For any two matrix norms
9960:{\displaystyle 1/p+1/q=1}
9902:mathematical optimization
9900:, so it is often used in
9858:{\displaystyle \|A\|_{*}}
9787:{\displaystyle BB=A^{*}A}
9254:{\displaystyle m\times n}
7766:CauchyâSchwarz inequality
6734:be the columns of matrix
6413:{\displaystyle m\times n}
6390:"Entry-wise" matrix norms
4297:{\displaystyle \alpha =1}
4099:{\displaystyle \alpha =2}
4031:{\displaystyle \|A\|_{p}}
3314:CauchyâSchwarz inequality
2851:{\displaystyle \ell _{2}}
2112:{\displaystyle \|A\|_{p}}
2015:{\displaystyle \|A\|_{p}}
1161:{\displaystyle m\times n}
1030:{\displaystyle m\times n}
12020:
9794:. More precisely, since
8941:Communication complexity
7762:numerical linear algebra
7298:HilbertâSchmidt operator
6439:{\displaystyle m\cdot n}
5361:induced by vector norms
4323:{\displaystyle \beta =2}
4278:In the special cases of
4080:In the special cases of
2148:{\displaystyle AV_{p,n}}
12440:10.1145/1007352.1007371
12214:10.1145/1143844.1143880
12162:Horn, Roger A. (2012).
11010:; they induce the same
9919:for Schatten norms for
9567:'n'-norm), defined as:
9231:-norm to the vector of
8762:Frobenius inner product
7856:for any unitary matrix
7755:Frobenius inner product
7352:norm, it is called the
7345:{\displaystyle L_{p,q}}
7304:Frobenius inner product
7117:{\displaystyle L_{p,q}}
7084:{\displaystyle L_{2,1}}
7029:{\displaystyle L_{2,1}}
6804:{\displaystyle L_{2,1}}
5736:spectral radius formula
5658:, we have equality in (
2944:{\displaystyle A^{*}A,}
2052:{\displaystyle V_{p,m}}
12535:2.3 Norms of operators
12264:10.1073/pnas.37.11.760
11994:
11900:
11809:
11727:
11648:
11567:
11544:
11496:
11455:
11403:
11366:
11330:
11242:
11216:
11187:
11167:
11132:
11103:
11074:
11041:
11000:
10967:
10917:
10837:
10804:
10747:
10502:, any linear operator
10393:
10232:
10168:
10134:
10052:
9961:
9894:
9859:
9818:
9817:{\displaystyle A^{*}A}
9788:
9749:
9729:
9692:
9665:
9530:
9510:
9487:
9467:
9413:
9362:
9275:
9255:
9203:
8964:
8930:
8861:
8754:
8712:
8567:
8465:
8411:
8388:
8193:
7956:
7870:
7850:
7747:
7711:
7687:
7634:
7610:
7567:
7533:
7424:
7409:
7346:
7282:
7212:
7185:
7118:
7085:
7030:
6994:
6940:
6913:
6866:
6805:
6768:
6748:
6728:
6629:
6575:
6554:
6440:
6414:
6380:
6310:
6283:
6247:
6210:
6184:
6148:
6115:
6076:
6004:
5977:
5944:
5917:
5880:
5847:
5814:
5728:
5602:
5513:
5421:
5388:
5355:
5322:
5276:
5177:
5028:
4933:
4875:
4817:
4759:
4720:
4681:
4640:
4548:
4509:
4467:
4447:
4446:{\displaystyle A_{:j}}
4417:
4324:
4298:
4269:
4249:
4248:{\displaystyle A_{i:}}
4219:
4126:
4100:
4071:
4032:
3999:
3895:
3868:
3841:
3808:
3758:
3620:
3596:
3561:
3432:
3408:
3306:
3153:
3130:
3094:
2996:
2972:
2945:
2908:
2884:
2862:. (The two values do
2852:
2821:
2784:
2641:
2494:
2402:
2371:
2297:
2266:
2192:
2149:
2113:
2080:
2053:
2016:
1983:
1934:
1914:
1887:
1798:
1747:
1649:
1648:{\displaystyle K^{m},}
1619:
1592:
1541:
1502:
1469:
1436:
1412:
1392:
1162:
1136:
1089:
1062:
1031:
1005:
978:
945:
918:
855:
774:
720:absolutely homogeneous
712:
648:
583:
548:
503:
474:
418:
385:
354:. A matrix norm is a
348:
328:
308:
280:
239:
12342:10.1007/s004930050052
12077:mathworld.wolfram.com
11995:
11901:
11810:
11728:
11649:
11568:
11545:
11497:
11456:
11404:
11367:
11331:
11243:
11217:
11188:
11168:
11133:
11104:
11075:
11042:
11001:
10968:
10918:
10838:
10805:
10748:
10394:
10233:
10169:
10135:
10053:
9962:
9895:
9869:of the rank function
9860:
9819:
9789:
9750:
9730:
9693:
9630:
9531:
9511:
9488:
9468:
9414:
9327:
9276:
9256:
9217:Further information:
9204:
8965:
8931:
8862:
8755:
8713:
8568:
8466:
8412:
8389:
8194:
7957:
7871:
7851:
7748:
7712:
7688:
7635:
7611:
7568:
7498:
7410:
7395:
7347:
7283:
7192:
7165:
7119:
7086:
7031:
6995:
6920:
6893:
6846:
6806:
6769:
6749:
6729:
6630:
6555:
6534:
6441:
6415:
6394:These norms treat an
6381:
6311:
6309:{\displaystyle K^{n}}
6284:
6248:
6211:
6185:
6149:
6116:
6077:
6005:
6003:{\displaystyle K^{m}}
5978:
5945:
5943:{\displaystyle K^{n}}
5918:
5881:
5848:
5815:
5729:
5603:
5514:
5422:
5389:
5356:
5323:
5277:
5178:
5029:
4934:
4876:
4818:
4760:
4721:
4682:
4641:
4562:Any operator norm is
4549:
4510:
4468:
4448:
4418:
4325:
4299:
4270:
4250:
4220:
4127:
4101:
4072:
4033:
4000:
3896:
3894:{\displaystyle K^{m}}
3869:
3867:{\displaystyle K^{n}}
3842:
3809:
3759:
3621:
3597:
3562:
3433:
3409:
3307:
3154:
3131:
3095:
2997:
2973:
2971:{\displaystyle A^{*}}
2946:
2909:
2885:
2853:
2822:
2785:
2642:
2495:
2403:
2351:
2298:
2246:
2193:
2150:
2114:
2081:
2079:{\displaystyle K^{m}}
2054:
2017:
1984:
1935:
1915:
1913:{\displaystyle K^{n}}
1888:
1799:
1748:
1650:
1620:
1618:{\displaystyle K^{n}}
1593:
1542:
1503:
1470:
1437:
1413:
1411:{\displaystyle \sup }
1393:
1168:matrices as follows:
1163:
1137:
1090:
1088:{\displaystyle K^{m}}
1063:
1061:{\displaystyle K^{n}}
1032:
1006:
1004:{\displaystyle K^{m}}
979:
946:
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