3989:
3218:
4645:
3984:{\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}
4072:
4640:{\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.}
234:
72:
5075:
5639:
2793:
4890:
1541:
625:
4939:
2961:
229:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.}
579:
5297:
5790:
5383:). Such changes mean that several Jordan blocks (either belonging to different eigenvalues or not) join to a unique Jordan block, or vice versa (that is, one Jordan block splits into two or more different ones). Many aspects of
469:
6133:
5529:
5935:
2231:
4766:
1280:
2384:
5124:
2331:
2662:
2000:(this may be a sufficient condition only for spectrally simple, usually low-dimensional matrices). Indeed, determining the Jordan normal form is generally a computationally challenging task. From the
4757:
5705:
5998:
5524:
2815:
2475:
2123:
5534:
5480:
4944:
2064:
1841:
5854:
1692:
5217:
3059:
1918:
1801:
1757:
2594:
2523:
4707:
3993:
As a consequence of this, the computation of any function of a matrix is straightforward whenever its Jordan normal form and its change-of-basis matrix are known. For example, using
1421:
2648:
2989:
1393:
6030:
5377:
5344:
1979:
5155:
4067:
3209:
1655:
1577:
278:
1625:
3082:
316:
5070:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}}
4034:
1861:
1720:
474:
336:
3115:
2183:
1160:
5225:
3182:
3155:
3135:
5859:
5720:
5410:
388:
1996:
Note that knowing a matrix's spectrum with all of its algebraic/geometric multiplicities and indexes does not always allow for the computation of its
6051:
2244:
5648:
2188:
2407:
5398:
changes and, for example, different orbits gain periodicity, or lose it, or shift from a certain kind of periodicity to another (such as
1195:
2344:
5634:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}}
5082:
2788:{\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }
4712:
4885:{\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}
5485:
2079:
5961:
5439:
2023:
1872:
1814:
6144:
5798:
5387:
for both continuous and discrete dynamical systems can be interpreted with the analysis of functional Jordan matrices.
1664:
5379:
on which the Jordan form abruptly changes its structure whenever the parameter crosses or simply "travels" around it (
5185:
2998:
1890:
1773:
1729:
6314:
6292:
2559:
2488:
4672:
6154:
4913:
1536:{\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}
6306:
2956:{\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}
610:
6357:
4924:
theories play a fundamental role. In the case of finite-dimensional spaces, both theories perfectly match.
2618:
17:
2965:
where the last series need not be computed explicitly via power series of every Jordan block. In fact, if
2968:
2005:
2004:
point of view, the Jordan normal form is equivalent to finding an orthogonal decomposition (that is, via
1360:
6007:
1343:
5353:
5320:
1931:
1921:
5409:
In a sentence, the qualitative behaviour of such a dynamical system may substantially change as the
5136:
4763:, geometric multiplicity and index. However, the algebraic multiplicity may be computed as follows:
4039:
3187:
1634:
1550:
257:
1603:
2009:
574:{\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}
6352:
6179:
5292:{\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}
4760:
3064:
1880:
1628:
295:
3996:
1846:
1705:
321:
6164:
5956:
4906:
3087:
2541:
2478:
2168:
1408:
6328:
6284:
5436:
is a system of linear, constant-coefficient, ordinary differential equations; that is, let
3160:
2992:
2553:
2234:
2162:
35:
8:
6279:
A First Course In Linear
Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields
2402:
1759:, is defined as the dimension of the largest Jordan block associated to that eigenvalue.
1411:
is similar, in fact, to a special case of Jordan matrix: the matrix whose blocks are all
69:
1), where each block along the diagonal, called a Jordan block, has the following form:
6277:
6174:
6159:
6149:
6032:
since its matrix elements are rational functions whose denominator is equal for all to
5785:{\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}
5642:
5384:
5310:
3140:
3120:
2604:
2130:
1997:
1804:
1400:
51:
6332:
6310:
6288:
5793:
5314:
3212:
2611:, which is one of the main achievements of Jordan matrices. Using the facts that the
1350:
6169:
5952:
5433:
4933:
2597:
58:
5394:
dynamics, this means that the orthogonal decomposition of the dynamical system's
5131:
4921:
2608:
2537:
2126:
464:{\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}
2607:
allows the computation of functions of matrices without explicitly computing an
2008:
of eigenspaces represented by Jordan blocks) of the domain which the associated
6128:{\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }
2482:
1192:
block with eigenvalue 7. Its Jordan-block structure is written as either
1182:
43:
6346:
5391:
339:
5403:
4917:
2651:
2334:
2001:
47:
318:
matrix of zeroes everywhere except for the diagonal, which is filled with
6001:
5395:
1407:
and corresponds to a generalization of the diagonalization procedure. A
1395:, which is unique up to a permutation of its diagonal blocks themselves.
31:
5930:{\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}
4912:
between vector spaces can be defined in a similar way according to the
2387:
1171:
252:
66:
62:
5380:
2226:{\displaystyle \mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C} }
345:
Any block diagonal matrix whose blocks are Jordan blocks is called a
5710:
1694:, corresponds to the number of Jordan blocks whose eigenvalue is
1275:{\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}
6336:
2379:{\displaystyle z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A}
5119:{\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}
5709:
Another way, provided the solution is restricted to the local
5641:
whose direct closed-form solution involves computation of the
2233:; that is, the spectrum of the matrix is contained inside the
2326:{\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}
1868:
5427:
5178:
complex matrix whose elements are complex functions of a
1993:; that is, its minimal polynomial has only simple roots.
4752:{\displaystyle f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)}
1981:). An equivalent necessary and sufficient condition for
5700:{\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}
5130:-dimensional) curve parametrization of an orbit on the
5964:
4179:
3383:
3334:
81:
6054:
6010:
5862:
5801:
5723:
5651:
5532:
5488:
5442:
5356:
5323:
5228:
5188:
5139:
5085:
4942:
4769:
4715:
4675:
4075:
4042:
3999:
3221:
3190:
3163:
3143:
3123:
3090:
3067:
3001:
2971:
2818:
2665:
2621:
2562:
2491:
2410:
2347:
2247:
2191:
2171:
2082:
2026:
1934:
1893:
1849:
1817:
1776:
1732:
1708:
1667:
1637:
1606:
1553:
1424:
1363:
1198:
613:
477:
391:
324:
298:
260:
75:
5993:{\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}
5519:{\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}
2470:{\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}
2118:{\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
5475:{\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}
2536:converges absolutely for every square matrix whose
2059:{\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}
1989:is that all of its eigenvalues have index equal to
6276:
6275:Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973),
6274:
6234:
6198:
6127:
6048:, whose order equals their index for it; that is,
6024:
5992:
5929:
5848:
5784:
5699:
5633:
5518:
5474:
5371:
5350:everywhere: there is some critical submanifold of
5338:
5291:
5211:
5149:
5118:
5069:
4884:
4751:
4701:
4639:
4061:
4028:
3983:
3203:
3176:
3149:
3129:
3109:
3076:
3053:
2983:
2955:
2787:
2654:is the diagonal block matrix whose blocks are the
2642:
2588:
2517:
2469:
2378:
2325:
2225:
2177:
2117:
2058:
1973:
1912:
1855:
1836:{\displaystyle \lambda \in \operatorname {spec} A}
1835:
1795:
1751:
1714:
1686:
1649:
1619:
1571:
1535:
1387:
1274:
1154:
573:
463:
330:
310:
272:
228:
6044:. Its polar singularities are the eigenvalues of
5849:{\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}(s)}
1687:{\displaystyle \operatorname {gmul} _{J}\lambda }
6344:
5212:{\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}
3054:{\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}
1935:
1913:{\displaystyle \operatorname {mul} _{A}\lambda }
1796:{\displaystyle \operatorname {idx} _{A}\lambda }
1752:{\displaystyle \operatorname {idx} _{J}\lambda }
3211:superdiagonal. Thus it is the following upper
1843:. In this case one can check that the index of
1803:can be defined accordingly with respect to the
385:diagonal blocks, can be compactly indicated as
2589:{\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}
2518:{\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}
6301:Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996),
6300:
6246:
6210:
2658:th powers of the respective blocks; that is,
4702:{\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}
2386:, which will be hereinafter supposed to be
4305:
4304:
4303:
6018:
5762:
5506:
5465:
5451:
5359:
5326:
5270:
5237:
5199:
5096:
5050:
4418:
4417:
4416:
4268:
4217:
4216:
4215:
2630:
2579:
2565:
2508:
2494:
2219:
2108:
2049:
2035:
1366:
2810:, the above matrix power series becomes
2015:
5313:of the matrix is continuously deformed
1920:, is its multiplicity as a root of the
14:
6345:
6322:
6258:
6222:
6004:with respect to the complex parameter
5428:Linear ordinary differential equations
5303:continuously depends on the parameter
1418:More generally, given a Jordan matrix
27:Block diagonal matrix of Jordan blocks
2643:{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
4927:
4759:, but it has, in general, different
2984:{\displaystyle \lambda \in \Omega }
1762:The same goes for all the matrices
1388:{\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}
24:
6112:
6109:
6106:
6063:
6060:
6057:
5974:
5968:
5821:
5746:
5743:
5740:
5734:
5254:
5142:
5111:
4936:is simply defined by the equation
4692:
4689:
4686:
4683:
3915:
3554:
3380:
3356:
2978:
2442:
2401:is then defined via the following
2390:for simplicity's sake. The matrix
2361:
2279:
2212:
2202:
2199:
2196:
2193:
2172:
2094:
2091:
1867:is equal to its multiplicity as a
488:
485:
482:
479:
25:
6369:
6025:{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
5157:of the dynamical system, whereas
3184:has all 0's except 1's along the
3061:has a finite power series around
2364:
1323:
6325:Linear Algebra and Matrix Theory
5914:
5864:
5830:
5803:
5725:
5684:
5653:
5614:
5592:
5571:
5541:
5491:
5372:{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}
5339:{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}
5190:
5087:
5035:
5013:
4992:
4984:
4951:
2596:satisfying this property in the
6235:Beauregard & Fraleigh (1973
6199:Beauregard & Fraleigh (1973
6155:Holomorphic functional calculus
4914:holomorphic functional calculus
1974:{\displaystyle \det(A-xI)\in K}
6307:Johns Hopkins University Press
6252:
6240:
6228:
6216:
6204:
6192:
6084:
6068:
5874:
5868:
5843:
5837:
5834:
5826:
5813:
5807:
5773:
5757:
5663:
5657:
5602:
5596:
5581:
5575:
5557:
5551:
5469:
5461:
5150:{\displaystyle {\mathcal {R}}}
5106:
5023:
5017:
5002:
4996:
4988:
4980:
4967:
4961:
4856:
4853:
4847:
4841:
4800:
4794:
4786:
4780:
4746:
4740:
4725:
4719:
4709:corresponds to the eigenvalue
4482:
4472:
4452:
4442:
4387:
4377:
4357:
4347:
4282:
4272:
4251:
4241:
4143:
4133:
4062:{\displaystyle J_{\lambda ,n}}
4009:
4003:
3967:
3961:
3926:
3920:
3905:
3899:
3831:
3819:
3814:
3808:
3803:
3791:
3772:
3760:
3755:
3749:
3744:
3732:
3714:
3708:
3682:
3670:
3665:
3659:
3654:
3642:
3623:
3611:
3606:
3600:
3595:
3583:
3565:
3559:
3544:
3538:
3517:
3505:
3500:
3494:
3489:
3477:
3458:
3446:
3441:
3435:
3430:
3418:
3394:
3388:
3367:
3361:
3346:
3340:
3302:
3296:
3291:
3285:
3244:
3225:
3048:
3033:
3024:
3005:
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1962:
1953:
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1382:
1376:
247:is specified by its dimension
13:
1:
6268:
5413:of the Jordan normal form of
3204:{\displaystyle k^{\text{th}}}
1879:(whereas, by definition, its
1650:{\displaystyle \lambda \in K}
1627:may not all be distinct, the
1572:{\displaystyle 1\leq k\leq N}
381:square matrix, consisting of
342:, which is composed of ones.
273:{\displaystyle \lambda \in R}
238:
4669:; that is, every eigenvalue
1620:{\displaystyle \lambda _{k}}
1600:and whose diagonal elements
7:
6305:(3rd ed.), Baltimore:
6138:
5717:-dimensional vector fields
1811:for any of its eigenvalues
1181:blocks with eigenvalue the
10:
6374:
6327:(2nd ed.), New York:
6247:Golub & Van Loan (1996
6211:Golub & Van Loan (1996
5432:The simplest example of a
2556:on any compact subsets of
1344:algebraically closed field
3137:is the nilpotent part of
3077:{\displaystyle \lambda I}
2525:. To put it another way,
1922:characteristic polynomial
1342:whose elements are in an
311:{\displaystyle n\times n}
6323:Nering, Evar D. (1970),
6185:
4932:Now suppose a (complex)
4029:{\displaystyle f(z)=1/z}
2010:generalized eigenvectors
1985:to be diagonalizable in
1856:{\displaystyle \lambda }
1715:{\displaystyle \lambda }
607:For example, the matrix
331:{\displaystyle \lambda }
5182:-dimensional parameter
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2178:{\displaystyle \Omega }
1155:{\displaystyle J=\left}
6180:State space (controls)
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2481:with respect to the
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2345:
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2235:domain of holomorphy
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2163:holomorphic function
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2076:complex matrix) and
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280:, and is denoted as
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6237:, pp. 270–274)
6225:, pp. 118–127)
6201:, pp. 310–316)
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4663: (spec
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