2803:
2490:
2798:{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}
6062:
5782:
1478:
1279:
4406:
5460:
2235:
4824:
5164:
5075:
4648:
6344:
1284:
6057:{\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.}
1050:
963:
1174:
5519:
4290:
5341:
This proof only applies to matrices and polynomials over complex numbers (or any algebraically closed field). In that case, the characteristic polynomial of any square matrix can be always factorized as
2281:
6214:
5345:
2116:
6440:
2059:
286:
238:
6131:
5705:
3715:
340:
5777:
1136:
4989:
4007:
1797:
130:, an eigenvector is a vector whose direction is not changed by the transformation, and the corresponding eigenvalue is the measure of the resulting change of magnitude of the vector.
5707:
on the diagonal (with each eigenvalue repeated according to its algebraic multiplicity). (The Jordan normal form has stronger properties, but these are sufficient; alternatively the
4130:
4044:
3228:
4682:
714:
449:
6594:
it is the algebraic or numerical expression of the magnitude of the inequalities in a planet's motion that remain after the inequalities of a short period have been allowed for.
2891:
times the identity matrix) yields the zero matrix. Informally speaking, every matrix satisfies its own characteristic equation. This statement is equivalent to saying that the
6500:
3361:
4946:
4901:
6652:
5286:
5215:
4231:
2374:
401:
179:
4258:
5611:
3961:
3934:
807:
501:
3533:
4491:
3907:
3631:
3582:
3484:
3114:
2485:
2091:
1970:
1547:
846:
760:
654:
569:
363:
5328:
4847:
4186:
1650:
1521:
199:
4545:
3746:
1933:
1857:
6244:
6536:
6158:
4435:
4285:
1824:
1728:
6373:
6273:
4876:
4677:
4520:
4156:
4093:
3881:
3835:
5542:
4067:
3789:
3605:
3556:
3300:
3277:
3160:
3137:
2944:
have the same characteristic polynomial. The converse however is not true in general: two matrices with the same characteristic polynomial need not be similar.
2936:
2459:
2421:
2332:
1993:
1904:
1677:
1590:
1159:
615:
592:
154:
6724:
6692:
6672:
6082:
5655:
5631:
5566:
5235:
4921:
4540:
4465:
4206:
3855:
3809:
3766:
3504:
3458:
3423:
3403:
3383:
3250:
3088:
3068:
3036:
3016:
2989:
2965:
2913:
2889:
2869:
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2398:
2305:
2111:
1697:
1610:
1567:
890:
866:
734:
306:
972:
80:
is the characteristic polynomial of the matrix of that endomorphism over any base (that is, the characteristic polynomial does not depend on the choice of a
5080:
21:
This article is about the characteristic polynomial of a matrix or of an endomorphism of vector spaces. For the characteristic polynomial of a matroid, see
4994:
903:
6560:(in some literature the term secular function is still used). The term comes from the fact that the characteristic polynomial was used to calculate
3437:) of the space of all the coefficients. As the non-singular matrices form such an open subset of the space of all matrices, this proves the result.
6278:
1906:(The signs given here correspond to the formal definition given in the previous section; for the alternative definition these would instead be
1998:
243:
204:
6811:
1473:{\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}
5465:
1592:
The most important fact about the characteristic polynomial was already mentioned in the motivational paragraph: the eigenvalues of
6735:
3636:
6603:
calculations relating to the energy of the electron and its wave function it is also used instead of the characteristic equation.
2240:
4095:
rows and columns of zeros. The result follows from the case of square matrices, by comparing the characteristic polynomials of
6163:
6990:
6963:
6378:
3425:
and the coefficients of the matrices. Thus, to prove this equality, it suffices to prove that it is verified on a non-empty
3165:
2892:
1653:
1274:{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}
659:
410:
6087:
5664:
4401:{\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}
7163:
7142:
7124:
7060:
7042:
6760:
3309:
315:
1055:
6750:
5717:
5455:{\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)}
2424:
2230:{\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}
465:
6922:
6794:
3966:
1733:
4951:
4098:
4012:
2851:
in the characteristic polynomial (interpreting the resulting powers as matrix powers, and the constant term
6914:
123:
102:
6564:(on a time scale of a century, that is, slow compared to annual motion) of planetary orbits, according to
6755:
2808:
6955:
6938:
5331:
6445:
3018:(the same is true with the minimal polynomial instead of the characteristic polynomial). In this case
4410:
The multiplicities can be shown to agree as well, and this generalizes to any polynomial in place of
6615:
5240:
5169:
4211:
2431:
371:
159:
6812:"An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations"
4236:
2337:
7184:
6908:
5571:
3939:
3912:
2308:
771:
3509:
4926:
4881:
4470:
3886:
3610:
3561:
3463:
3093:
2464:
2284:
2070:
1949:
1526:
812:
739:
620:
548:
345:
81:
65:
5297:
4832:
4171:
1619:
1490:
184:
6886:
6740:
6565:
4819:{\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}
3722:
1909:
1829:
1700:
127:
96:
6219:
7179:
7109:
6509:
6136:
4413:
4263:
1802:
1706:
57:
6349:
6249:
4852:
4653:
4496:
8:
6703:
5708:
5330:
has a factorization into linear factors is not always true, unless the matrix is over an
4135:
4072:
3860:
3814:
3253:
2435:
1164:
6726:
and proves the standard properties of the characteristic polynomial in this generality.
5524:
4049:
3771:
3587:
3538:
3282:
3259:
3142:
3119:
2918:
2441:
2403:
2314:
1975:
1886:
1659:
1572:
1141:
597:
574:
136:
7097:
7079:
6784:
6709:
6702:
defines the characteristic polynomial for elements of an arbitrary finite-dimensional (
6677:
6657:
6067:
5640:
5616:
5551:
5545:
5220:
4906:
4525:
4450:
4191:
3840:
3794:
3751:
3489:
3443:
3408:
3388:
3368:
3235:
3073:
3053:
3039:
3021:
3001:
2974:
2950:
2898:
2874:
2854:
2834:
2814:
2383:
2290:
2096:
1682:
1613:
1595:
1552:
875:
851:
719:
459:
291:
7070:(2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions",
6831:
5159:{\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}
7159:
7138:
7120:
7056:
7038:
6996:
6986:
6959:
6918:
6790:
6600:
6561:
5634:
3430:
2992:
49:
6871:
6854:
7189:
7135:
7089:
6866:
6826:
6745:
6695:
5658:
5291:
5070:{\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}
3434:
3303:
2941:
2461:
each such trace may alternatively be computed as a single determinant, that of the
2064:
1168:
869:
504:
107:
2998:
its characteristic polynomial can be completely factored into linear factors over
7105:
6780:
2377:
848:
so it makes no difference for properties like having as roots the eigenvalues of
762:
404:
309:
4643:{\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}
7148:
7067:
7053:
6584:
6503:
2995:
1880:
119:
33:
92:, is the equation obtained by equating the characteristic polynomial to zero.
7173:
7000:
6339:{\displaystyle f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).}
41:
77:
73:
26:
7014:
6980:
7156:
3426:
3405:
are singular, the desired identity is an equality between polynomials in
3045:
966:
61:
53:
1703:
in the entries of the matrix. In particular its constant coefficient of
1045:{\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}
133:
More precisely, if the transformation is represented by a square matrix
7101:
45:
7084:
6591:
6538:
it has the same eigenvalues, with the same algebraic multiplicities.
2968:
7093:
6612:
The above definition of the characteristic polynomial of a matrix
5711:
can be used, which is less popular but somewhat easier to prove).
5290:
The theorem applies to matrices and polynomials over any field or
958:{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}
22:
5514:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}
2276:{\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}
809:
That polynomial differs from the one defined here by a sign
342:(although the zero vector satisfies this equation for every
6887:"Characteristic Polynomial of a Graph â Wolfram MathWorld"
1699:). All coefficients of the characteristic polynomial are
6587:
it is sometimes used in place of characteristic equation.
6706:, but not necessarily commutative) algebra over a field
6542:
6209:{\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}
872:, whereas the alternative definition is monic only when
768:
Some authors define the characteristic polynomial to be
6855:"On the zeros of polynomials with complex coefficients"
6810:
Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952).
6435:{\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}
900:
To compute the characteristic polynomial of the matrix
5986:
5927:
5850:
5801:
5720:
5111:
5025:
3046:
Characteristic polynomial of a product of two matrices
2546:
2504:
2340:
2243:
2208:
2054:{\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}
1189:
996:
918:
281:{\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }
18:
Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix
6712:
6680:
6660:
6618:
6512:
6448:
6381:
6352:
6281:
6252:
6222:
6166:
6139:
6090:
6070:
5785:
5667:
5643:
5619:
5574:
5554:
5527:
5468:
5348:
5300:
5243:
5223:
5172:
5083:
4997:
4954:
4929:
4909:
4884:
4855:
4835:
4685:
4656:
4548:
4528:
4522:
be a polynomial. If the characteristic polynomial of
4499:
4473:
4453:
4416:
4293:
4266:
4239:
4214:
4194:
4174:
4138:
4101:
4075:
4052:
4015:
3969:
3942:
3915:
3889:
3863:
3843:
3817:
3797:
3774:
3754:
3725:
3639:
3613:
3590:
3564:
3541:
3512:
3492:
3466:
3446:
3411:
3391:
3371:
3312:
3285:
3262:
3238:
3168:
3145:
3122:
3096:
3076:
3056:
3024:
3004:
2977:
2953:
2921:
2901:
2877:
2857:
2837:
2817:
2493:
2467:
2444:
2406:
2386:
2317:
2293:
2119:
2099:
2073:
2001:
1978:
1952:
1912:
1889:
1832:
1805:
1736:
1709:
1685:
1662:
1622:
1598:
1575:
1555:
1529:
1493:
1287:
1177:
1144:
1058:
975:
906:
878:
854:
815:
774:
742:
722:
662:
623:
600:
577:
551:
468:
413:
374:
348:
318:
294:
246:
207:
187:
162:
139:
7048:
John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990)
6607:
233:{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}
6718:
6686:
6666:
6646:
6530:
6494:
6434:
6367:
6338:
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6238:
6208:
6152:
6125:
6076:
6056:
5771:
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4459:
4429:
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4200:
4180:
4160:
4150:
4124:
4087:
4061:
4038:
4001:
3955:
3928:
3901:
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3849:
3829:
3803:
3783:
3760:
3740:
3709:
3625:
3599:
3576:
3550:
3527:
3498:
3478:
3452:
3417:
3397:
3377:
3355:
3294:
3271:
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3154:
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2983:
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443:
395:
357:
334:
300:
280:
232:
193:
173:
148:
6674:generalizes without any changes to the case when
6126:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},}
5700:{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
4650:then the characteristic polynomial of the matrix
1124:
7171:
2427:computes these coefficients more efficiently.
2036:
1913:
1774:
1737:
1288:
775:
685:
469:
414:
6809:
1995:the characteristic polynomial is thus given by
4878:equals the sum of algebraic multiplicities of
868:; however the definition above always gives a
6859:Bulletin of the American Mathematical Society
3710:{\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}
2376:This trace may be computed as the sum of all
2357:
2344:
335:{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }
6950:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013).
6906:
5772:{\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}
3116:matrices then characteristic polynomials of
1549:matrix is monic (its leading coefficient is
1131:{\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}
6985:. New York: Springer. p.567, Theorem 3.10.
6949:
68:of the matrix among its coefficients. The
7083:
7066:
6870:
6830:
6779:
6699:
4002:{\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}
3706:
3219:
2971:have the same characteristic polynomial.
2915:divides the characteristic polynomial of
1792:{\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}
1123:
6736:Characteristic equation (disambiguation)
126:play a fundamental role, since, given a
106:is the characteristic polynomial of its
7119:4th edition, pp 120–5, Springer,
7033:T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998)
4829:That is, the algebraic multiplicity of
3256:this result follows from the fact that
365:it is not considered an eigenvector).
7172:
5217:for example, is evaluated on a matrix
4984:{\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}
4125:{\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}
4039:{\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}
3223:{\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}
2067:, the characteristic polynomial of an
6852:
6556:has been used for what is now called
6543:Secular function and secular equation
6978:
4188:is an eigenvalue of a square matrix
540:
7153:Linear Algebra and Its Applications
6571:
6547:
4390:
4364:
4335:
4306:
709:{\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}
454:In other words, the eigenvalues of
444:{\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}
13:
6275:is upper triangular with diagonal
6160:is upper triangular with diagonal
5548:guarantees that any square matrix
5544:possibly repeated. Moreover, the
4117:
4107:
4031:
4021:
3985:
3975:
3948:
3921:
2348:
25:. For that of a graded poset, see
14:
7201:
6832:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0
1281:Its characteristic polynomial is
1138:the characteristic polynomial of
594:The characteristic polynomial of
181:and the corresponding eigenvalue
6913:(2 ed.). Springer. p.
6608:For general associative algebras
6495:{\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}
4216:
1679:but its degree may be less than
328:
320:
274:
266:
223:
212:
164:
6872:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2
6064:For an upper triangular matrix
5294:. However, the assumption that
3883:columns of zeros, one gets two
3719:To prove this, one may suppose
3356:{\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}
1826:is one, and the coefficient of
529:matrix. This polynomial is the
101:characteristic polynomial of a
7007:
6972:
6958:. pp. 108â109, Section 2.4.2.
6943:
6931:
6900:
6879:
6846:
6803:
6773:
6641:
6635:
6522:
6516:
6486:
6480:
6458:
6452:
6426:
6413:
6398:
6385:
6362:
6356:
6346:Therefore, the eigenvalues of
6262:
6256:
6041:
6035:
6010:
5983:
5838:
5815:
5795:
5789:
5730:
5724:
5365:
5359:
5317:
5311:
5253:
5247:
5182:
5176:
5149:
5136:
5105:
5102:
5096:
5090:
5063:
5050:
5019:
5016:
5010:
5004:
4969:
4958:
4865:
4859:
4810:
4807:
4794:
4782:
4776:
4773:
4760:
4748:
4745:
4742:
4729:
4717:
4711:
4705:
4700:
4694:
4666:
4660:
4637:
4618:
4612:
4593:
4590:
4571:
4565:
4559:
4509:
4503:
3700:
3694:
3659:
3653:
3433:, or, more generally, for the
3344:
3335:
3213:
3207:
3188:
3182:
2189:
2179:
2136:
2130:
2045:
2039:
2027:
2021:
1922:
1916:
1783:
1777:
1765:
1755:
1749:
1740:
1639:
1633:
1510:
1504:
1487:The characteristic polynomial
1464:
1442:
1439:
1420:
1408:
1402:
1368:
1362:
1337:
1333:
1327:
1312:
1306:
1291:
1257:
1251:
1240:
1234:
1221:
1215:
1204:
1198:
1092:
1083:
1071:
1059:
969:of the following is computed:
826:
816:
793:
778:
703:
688:
679:
673:
640:
634:
487:
472:
432:
417:
390:
375:
262:
247:
1:
7072:American Mathematical Monthly
6766:
6761:SamuelsonâBerkowitz algorithm
6647:{\displaystyle A\in M_{n}(F)}
5334:such as the complex numbers.
5281:{\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}
5210:{\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}
4226:{\displaystyle \mathbf {v} ,}
4161:Characteristic polynomial of
2369:{\textstyle {\binom {n}{k}}.}
1482:
656:is the polynomial defined by
396:{\displaystyle (\lambda I-A)}
174:{\displaystyle \mathbf {v} ,}
113:
6789:. Wiley. pp. 366, 541.
5546:Jordan decomposition theorem
4253:{\displaystyle \lambda ^{k}}
1171:φ. For the matrix take
124:eigenvalues and eigenvectors
7:
6786:Introductory Circuit Theory
6751:FaddeevâLeVerrier algorithm
6729:
6579:may have several meanings.
6568:'s theory of oscillations.
5606:{\displaystyle A=S^{-1}US,}
3956:{\displaystyle B^{\prime }}
3929:{\displaystyle A^{\prime }}
2425:FaddeevâLeVerrier algorithm
895:
802:{\displaystyle \det(A-tI).}
496:{\displaystyle \det(xI-A),}
368:It follows that the matrix
10:
7206:
6956:Cambridge University Press
6819:Mathematics of Computation
5332:algebraically closed field
3748:by exchanging, if needed,
3528:{\displaystyle n\times m,}
3038:is similar to a matrix in
201:must satisfy the equation
20:
7132:Elementary Linear Algebra
6558:characteristic polynomial
4941:{\displaystyle \lambda '}
4896:{\displaystyle \lambda '}
4486:{\displaystyle n\times n}
3902:{\displaystyle n\times n}
3626:{\displaystyle n\times n}
3577:{\displaystyle m\times m}
3479:{\displaystyle m\times n}
3109:{\displaystyle n\times n}
2480:{\displaystyle k\times k}
2086:{\displaystyle n\times n}
1965:{\displaystyle 2\times 2}
1652:(this also holds for the
1542:{\displaystyle n\times n}
841:{\displaystyle (-1)^{n},}
755:{\displaystyle n\times n}
649:{\displaystyle p_{A}(t),}
564:{\displaystyle n\times n}
531:characteristic polynomial
358:{\displaystyle \lambda ,}
70:characteristic polynomial
48:which is invariant under
38:characteristic polynomial
6654:with entries in a field
5323:{\displaystyle p_{A}(t)}
4842:{\displaystyle \lambda }
4181:{\displaystyle \lambda }
3365:For the case where both
1645:{\displaystyle p_{A}(t)}
1516:{\displaystyle p_{A}(t)}
194:{\displaystyle \lambda }
76:of a finite-dimensional
7130:Paul C. Shields (1980)
6910:Advanced linear algebra
6756:CayleyâHamilton theorem
5521:are the eigenvalues of
3741:{\displaystyle n>m,}
2809:CayleyâHamilton theorem
2438:of the coefficients is
1928:{\displaystyle \det(A)}
1852:{\displaystyle t^{n-1}}
86:characteristic equation
6853:Frank, Evelyn (1946).
6720:
6688:
6668:
6648:
6532:
6496:
6436:
6369:
6340:
6269:
6240:
6239:{\displaystyle U^{i},}
6210:
6154:
6127:
6078:
6058:
5773:
5701:
5651:
5627:
5607:
5562:
5538:
5515:
5456:
5324:
5282:
5231:
5211:
5160:
5132:
5071:
5046:
4985:
4942:
4917:
4897:
4872:
4843:
4820:
4673:
4644:
4536:
4516:
4487:
4461:
4431:
4402:
4281:
4254:
4227:
4202:
4182:
4152:
4126:
4089:
4063:
4040:
4003:
3957:
3930:
3903:
3877:
3851:
3831:
3805:
3785:
3762:
3742:
3711:
3627:
3601:
3578:
3552:
3529:
3500:
3480:
3454:
3419:
3399:
3379:
3357:
3296:
3273:
3246:
3224:
3156:
3133:
3110:
3084:
3064:
3032:
3012:
2985:
2961:
2932:
2909:
2885:
2865:
2845:
2825:
2811:states that replacing
2799:
2481:
2455:
2417:
2394:
2370:
2328:
2301:
2277:
2231:
2162:
2107:
2087:
2063:Using the language of
2055:
1989:
1966:
1929:
1900:
1853:
1820:
1793:
1724:
1701:polynomial expressions
1693:
1673:
1646:
1606:
1586:
1563:
1543:
1517:
1474:
1275:
1155:
1132:
1046:
959:
886:
862:
842:
803:
756:
730:
710:
650:
611:
588:
565:
497:
445:
407:, and its determinant
397:
359:
336:
302:
282:
234:
195:
175:
150:
90:determinantal equation
6907:Steven Roman (1992).
6741:Invariants of tensors
6721:
6689:
6669:
6649:
6562:secular perturbations
6533:
6531:{\displaystyle f(U),}
6497:
6437:
6370:
6341:
6270:
6241:
6211:
6155:
6153:{\displaystyle U^{i}}
6128:
6079:
6059:
5774:
5702:
5652:
5628:
5608:
5568:can be decomposed as
5563:
5539:
5516:
5457:
5325:
5283:
5232:
5212:
5161:
5112:
5072:
5026:
4986:
4943:
4918:
4898:
4873:
4844:
4821:
4674:
4645:
4537:
4517:
4488:
4462:
4432:
4430:{\displaystyle x^{k}}
4403:
4282:
4280:{\displaystyle A^{k}}
4255:
4228:
4203:
4183:
4153:
4127:
4090:
4064:
4041:
4004:
3958:
3931:
3904:
3878:
3852:
3832:
3806:
3786:
3763:
3743:
3712:
3628:
3602:
3579:
3553:
3530:
3506:is a matrix of order
3501:
3481:
3460:is a matrix of order
3455:
3420:
3400:
3380:
3358:
3297:
3274:
3247:
3225:
3157:
3134:
3111:
3085:
3065:
3033:
3013:
2986:
2962:
2933:
2910:
2886:
2866:
2846:
2826:
2800:
2482:
2456:
2418:
2395:
2371:
2329:
2302:
2278:
2232:
2142:
2113:may be expressed as
2108:
2088:
2056:
1990:
1967:
1930:
1901:
1854:
1821:
1819:{\displaystyle t^{n}}
1794:
1725:
1723:{\displaystyle t^{0}}
1694:
1674:
1647:
1607:
1587:
1564:
1544:
1518:
1475:
1276:
1163:Another example uses
1156:
1133:
1047:
960:
887:
863:
843:
804:
757:
731:
711:
651:
612:
589:
566:
498:
446:
398:
360:
337:
303:
283:
235:
196:
176:
151:
128:linear transformation
97:spectral graph theory
7155:3rd edition, p 246,
7134:3rd edition, p 274,
7115:Werner Greub (1974)
7052:2nd edition, p 246,
7035:Basic Linear Algebra
6979:Lang, Serge (1993).
6710:
6678:
6658:
6616:
6510:
6446:
6379:
6368:{\displaystyle f(U)}
6350:
6279:
6268:{\displaystyle f(U)}
6250:
6220:
6164:
6137:
6088:
6068:
5783:
5718:
5665:
5641:
5617:
5572:
5552:
5525:
5466:
5346:
5298:
5241:
5221:
5170:
5081:
4995:
4952:
4927:
4907:
4882:
4871:{\displaystyle f(A)}
4853:
4833:
4683:
4672:{\displaystyle f(A)}
4654:
4546:
4542:has a factorization
4526:
4515:{\displaystyle f(t)}
4497:
4471:
4451:
4414:
4291:
4264:
4260:is an eigenvalue of
4237:
4212:
4192:
4172:
4136:
4099:
4073:
4050:
4013:
3967:
3940:
3913:
3887:
3861:
3841:
3815:
3795:
3772:
3752:
3723:
3637:
3633:matrix, and one has
3611:
3588:
3562:
3539:
3510:
3490:
3464:
3444:
3409:
3389:
3369:
3310:
3283:
3260:
3236:
3166:
3143:
3120:
3094:
3074:
3054:
3022:
3002:
2975:
2951:
2919:
2899:
2875:
2855:
2835:
2815:
2491:
2465:
2442:
2404:
2384:
2338:
2334:which has dimension
2315:
2291:
2241:
2117:
2097:
2071:
1999:
1976:
1950:
1910:
1887:
1830:
1803:
1734:
1707:
1683:
1660:
1620:
1596:
1573:
1569:) and its degree is
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