8674:
8558:
7843:
7712:
10675:
10032:
9211:
6062:
3191:
11073:
10290:
10159:
9575:
9328:
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10530:
9803:
8649:
8533:
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10822:
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10006:
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5013:
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4700:
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608:
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5919:
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492:
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9891:
9418:
8780:
7571:
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4125:
3573:
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1063:
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3082:
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1121:
2342:
4221:
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427:
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1005:
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773:
5572:
5459:
2045:
5346:
5235:
5124:
1357:
666:
371:
2279:
1701:
1471:
659:
4788:
831:
947:
11308:
The white polygon lines represent the "vertex figure" polygon. The colored faces are included on the vertex figure images help see their relations. Some of the intersecting faces are drawn visually incorrectly because they are not properly intersected visually to show which portions are in
142:. John Skilling discovered an overlooked degenerate example, by relaxing the condition that only two faces may meet at an edge. This is a degenerate uniform polyhedron rather than a uniform polyhedron, because some pairs of edges coincide.
223:
Wenninger, 1974, has 119 figures: 1–5 for the
Platonic solids, 6–18 for the Archimedean solids, 19–66 for stellated forms including the 4 regular nonconvex polyhedra, and ended with 67–119 for the nonconvex uniform
2444:
The forms containing only convex faces are listed first, followed by the forms with star faces. Again infinitely many prisms and antiprisms exist; they are listed here up to the 8-sided ones.
174:
11663:
11224:
has 240 of its 360 edges coinciding in space in 120 pairs. Because of this edge-degeneracy, it is not always considered to be a uniform polyhedron.
11331:
157:
11326:
11550:
11321:
246:
Mathematica, 1993, follows the
Kaleido series with the 5 prismatic forms moved to last, so that the nonprismatic forms become 1–75.
11656:
11611:
8638:
8522:
227:
Kaleido, 1993: The 80 figures were grouped by symmetry: 1–5 as representatives of the infinite families of prismatic forms with
11763:
9175:
7807:
7676:
10609:
9993:
306:
There are infinitely many prisms and antiprisms, one for each regular polygon; the ones up to the 12-gonal cases are listed.
228:
11586:
11256:
3466:
303:
from 3 faces/vertex and up, and in increasing sides per face. This ordering allows topological similarities to be shown.
188:
11982:
11649:
6025:
3155:
11881:
11866:
11851:
11768:
11520:
11498:
11007:
10236:
10108:
9538:
9291:
11896:
11871:
11856:
10495:
9766:
11891:
11886:
181:
11846:
11539:– Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
11344:
10755:
6142:
5004:
11876:
11680:
7430:
5908:
5563:
2635:
have some faces occurring as coplanar pairs. (Coxeter et al. 1954, pp. 423, 425, 426; Skilling 1975, p. 123)
220:
forms as figures 15 through 32; three prismatic forms, figures 33–35; and the nonconvex forms, figures 36–92.
11813:
11803:
11743:
11733:
11703:
11693:
10382:
9880:
9407:
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7560:
6579:
5792:
5676:
4116:
3564:
11818:
11808:
11758:
8947:
7938:
7317:
7043:
4341:
3760:
1290:
150:
11977:
11941:
11931:
11828:
11823:
11410:
Philosophical
Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences
11349:
Philosophical
Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences
6785:
3662:
11591:
11946:
11936:
11469:
Sopov, S. P. (1970). "A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra".
11956:
11951:
11738:
9061:
8231:
3987:
11287:. Uniform tilings on the plane correspond to a torus topology, with Euler characteristic of zero.
8673:
8557:
11753:
11748:
9654:
8408:
7842:
7711:
7203:
6450:
3368:
1230:
41:
11302:(polyhedra with faces passing through their centers), for which the density is not well-defined.
11294:
represents the number of windings of a polyhedron around its center. This is left blank for non-
10674:
10031:
11861:
9210:
8054:
6273:
4893:
3858:
3239:
2154:
594:
11612:
https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf
212:
Four numbering schemes for the uniform polyhedra are in common use, distinguished by letters:
6061:
5450:
3190:
1406:
478:
57:
53:
11624:
11072:
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10158:
9574:
9327:
3499:
11478:
11453:
11417:
11392:
11356:
11280:
10958:
10529:
9802:
2654:
1810:
1694:
1578:
1172:
323:
300:
240:
232:
119:
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8532:
8:
11788:
10821:
7817:
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2096:
1868:
1752:
1636:
236:
61:
11634:
11587:
https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
11421:
11360:
10619:
10005:
7465:
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11698:
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11560:
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11441:
11396:
11380:
11291:
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9443:
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7596:
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5827:
5711:
4441:
4149:
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2895:
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2167:
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1056:
131:
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7091:
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3793:
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11921:
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11364:
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104:
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11474:
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10765:
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607:
79:
72:
68:
33:
29:
7440:
5918:
1419:
491:
11780:
11299:
10951:
10392:
9890:
9417:
8779:
7570:
6587:
5802:
5686:
4124:
3572:
2647:
2160:
1823:
1707:
1591:
1296:
1185:
536:
264:
11606:
8955:
7948:
7325:
7051:
4351:
3768:
2830:
1765:
1649:
11971:
11574:
11437:
11376:
11295:
10992:
6962:
6793:
4587:
4475:
3670:
3024:
2926:
2734:
2688:
2038:
160:
83:
11268:
19–66: Special 48 stellations/compounds (Nonregulars not given on this list)
4813:
3106:
2396:
2227:
2102:
1937:
1236:
11641:
11429:
11368:
9069:
8239:
4261:
3995:
1993:
1533:
1350:
953:
837:
721:
433:
280:
76:
9662:
8416:
7211:
6458:
3376:
895:
779:
11596:
8062:
6281:
4899:
4673:
4561:
3866:
3247:
2272:
1930:
1881:
600:
549:
364:
287:
with 4, 6, 8, 12, and 20 sides respectively. The regular hexahedron is a
284:
268:
201:
11542:
11347:; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). "Uniform polyhedra".
2389:
2051:
1986:
1412:
1069:
484:
11619:
11536:
1816:
1584:
1464:
1363:
1178:
1127:
542:
276:
272:
260:
97:
25:
2805:
2285:
1874:
1758:
1642:
377:
11565:
11445:
11384:
6937:
4449:
2999:
2901:
2709:
2328:
1477:
1062:
1011:
139:
108:
52:
mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are
3081:
2341:
2220:
1120:
11592:
http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm
4220:
1526:
714:
426:
256:
197:
49:
17:
2334:
1004:
888:
772:
11253: = 6 to 80) (prisms 1–5, Tetrahedron etc. 6+)
164:
5571:
5458:
5345:
5234:
5123:
2044:
1356:
665:
11408:
Skilling, J. (1975). "The complete set of uniform polyhedra".
2278:
1700:
370:
1470:
658:
11343:
11233:
Uniform indexing: U01–U80 (Tetrahedron first, Prisms at 76+)
4787:
11555:
652:
288:
946:
830:
11625:
http://www.orchidpalms.com/polyhedra/uniform/uniform.html
250:
11635:
http://www.polyedergarten.de/polyhedrix/e_klintro.htm
75:
faces and star forms. Star forms have either regular
11603:Kaleido Indexing: K1-K80 (Pentagonal prism first)
299:The convex forms are listed in order of degree of
11969:
11262:1–18: 5 convex regular and 13 convex semiregular
11547:Uniform indexing: U1-U80, (Tetrahedron first)
103:a few representatives of the infinite sets of
11657:
11332:List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
163:which have overlapping edges (not counted by
11671:
11607:https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido
11327:List of uniform polyhedra by Wythoff symbol
309:
11664:
11650:
11575:http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
11322:List of uniform polyhedra by vertex figure
56:, and the polyhedron has a high degree of
11507:
11485:
2439:
170:The uniform tilings (infinite polyhedra)
67:Uniform polyhedra can be divided between
11407:
182:nonconvex or apeirogonal uniform tilings
11580:All uniform polyhedra by rotation group
11970:
11764:nonconvex great rhombicosidodecahedron
11614:Uniform Solution for Uniform Polyhedra
11597:http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/
11271:67–109: 43 non-convex non-snub uniform
11645:
11556:
11468:
11236:Kaleido software indexing: K01–K80 (K
294:
251:Names of polyhedra by number of sides
127:
11620:http://bulatov.org/polyhedra/uniform
11471:Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik
134:other than the infinite families of
11551:Uniform Polyhedra (80), Paul Bourke
11355:(916). The Royal Society: 401–450.
11274:110–119: 10 non-convex snub uniform
189:uniform tilings in hyperbolic plane
13:
14:
11994:
11882:great stellapentakis dodecahedron
11867:medial pentagonal hexecontahedron
11852:small stellapentakis dodecahedron
11769:great truncated icosidodecahedron
11530:
11222:great disnub dirhombidodecahedron
216:Coxeter et al., 1954, showed the
158:uniform polyhedra with degenerate
115:
11897:great pentagonal hexecontahedron
11872:medial disdyakis triacontahedron
11857:medial deltoidal hexecontahedron
11071:
11014:
10820:
10764:
10673:
10618:
10528:
10502:
10417:
10391:
10288:
10247:
10157:
10117:
10030:
10004:
9915:
9889:
9801:
9775:
9687:
9661:
9573:
9547:
9442:
9416:
9326:
9300:
9209:
9184:
9093:
9068:
8979:
8954:
8818:
8778:
8672:
8647:
8556:
8531:
8440:
8415:
8295:
8238:
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8061:
7973:
7947:
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7569:
7464:
7439:
7349:
7324:
7235:
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7090:
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11345:Coxeter, Harold Scott MacDonald
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10937:
11847:medial rhombic triacontahedron
11515:. Cambridge University Press.
11493:. Cambridge University Press.
11305:Note on Vertex figure images:
1:
11877:great rhombic triacontahedron
11337:
11259:Polyhedron Models: W001-W119
11227:
2447:The uniform polyhedra |
48:, isogonal, i.e. there is an
11814:great dodecahemidodecahedron
11804:small dodecahemidodecahedron
11744:truncated dodecadodecahedron
11734:truncated great dodecahedron
11704:great stellated dodecahedron
11694:small stellated dodecahedron
11537:Stella: Polyhedron Navigator
151:uniform polyhedron compounds
7:
11819:great icosihemidodecahedron
11809:small icosihemidodecahedron
11759:truncated great icosahedron
11315:
1291:Truncated icosidodecahedron
207:
10:
11999:
11942:great dodecahemidodecacron
11932:small dodecahemidodecacron
11829:small dodecahemicosahedron
11824:great dodecahemicosahedron
259:names for the most common
89:This list includes these:
11983:Mathematics-related lists
11947:great icosihemidodecacron
11937:small icosihemidodecacron
11905:
11837:
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11717:
11679:
11957:small dodecahemicosacron
11952:great dodecahemicosacron
11739:rhombidodecadodecahedron
11673:Star-polyhedra navigator
310:Convex uniform polyhedra
11754:great icosidodecahedron
11749:snub dodecadodecahedron
10770:
1231:Truncated cuboctahedron
130:that there are only 75
122:with overlapping edges.
11908:uniform polyhedra with
11862:small rhombidodecacron
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11369:10.1098/rsta.1954.0003
4894:Pentagrammic antiprism
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2155:Rhombicosidodecahedron
1926:Hendecagonal antiprism
595:Truncated dodecahedron
175:convex uniform tilings
1982:Dodecagonal antiprism
1407:Truncated icosahedron
479:Truncated tetrahedron
301:vertex configurations
11910:infinite stellations
11718:Uniform truncations
11561:"Uniform Polyhedron"
11281:Euler characteristic
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1811:Enneagonal antiprism
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241:icosahedral symmetry
233:tetrahedral symmetry
93:all 75 nonprismatic
11838:Duals of nonconvex
11789:tetrahemihexahedron
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11361:1954RSPTA.246..401C
10361:(20+60){3}+(12+12){
4209:20{3}+12{5}+12{10}
3469:rhombicuboctahedron
2800:Tetrahemihexahedron
2097:Rhombicuboctahedron
1869:Decagonal antiprism
1753:Octagonal antiprism
1637:Hexagonal antiprism
237:octahedral symmetry
187:Infinite number of
62:rotational symmetry
11906:Duals of nonconvex
11799:octahemioctahedron
11794:cubohemioctahedron
11778:Nonconvex uniform
11729:dodecadodecahedron
11720:of Kepler-Poinsot
11699:great dodecahedron
11687:regular polyhedra)
11558:Weisstein, Eric W.
11292:Density (polytope)
8234:rhombidodecahedron
4436:20{3}+12{5}+20{6}
3990:rhombidodecahedron
2896:Cubohemioctahedron
2704:Octahemioctahedron
1057:Hendecagonal prism
295:Table of polyhedra
255:There are generic
145:Not included are:
71:forms with convex
22:uniform polyhedron
11978:Uniform polyhedra
11965:
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11917:tetrahemihexacron
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11509:Wenninger, Magnus
11491:Polyhedron Models
11487:Wenninger, Magnus
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6580:Great dodecahemi-
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6030:icosidodecahedron
5566:crossed-antiprism
5341:crossed-antiprism
5007:crossed-antiprism
4117:Small dodecicosi-
3565:Small dodecahemi-
3371:cubicuboctahedron
3160:icosidodecahedron
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2436:
2384:Snub dodecahedron
2215:Icosidodecahedron
1115:Dodecagonal prism
229:dihedral symmetry
132:uniform polyhedra
126:It was proven in
120:Skilling's figure
38:vertex-transitive
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