299:
3834:
269:. In December 2012, this was improved by proving the primality of the two numbers 3110 + 63 (5596 digits) and 8656 + 2929 (30008 digits), the latter of which surpassed the previous record. In February 2023, 104824 + 5 (73269 digits) was proven to be prime, and it was also the largest prime proven using ECPP, until three months later a larger (non-Leyland) prime was proven using ECPP. There are many larger known
277:
writes on his website: "More recently still, it was realized that numbers of this form are ideal test cases for general purpose primality proving programs. They have a simple algebraic description but no obvious
265:
By
November 2012, the largest Leyland number that had been proven to be prime was 5122 + 6753 with 25050 digits. From January 2011 to April 2011, it was the largest prime whose primality was proved by
361:
65:
398:, 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (sequence
420:
7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (sequence
1936:
1423:
655:
1026:
3858:
427:
405:
254:
221:
152:
214:, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (sequence
1929:
1108:
473:
1031:
945:
2736:
1922:
585:
2731:
648:
2746:
2726:
3439:
3019:
1282:
266:
167:
both be greater than 1 is important, since without it every positive integer would be a
Leyland number of the form
2741:
1363:
3525:
641:
3191:
2841:
2510:
2303:
1485:
1143:
1056:
3367:
3226:
3057:
2871:
2861:
2515:
2495:
1510:
3196:
3863:
3316:
2939:
2781:
2696:
2505:
2487:
2381:
2371:
2361:
2197:
1418:
976:
628:
3221:
3444:
2989:
2610:
2396:
2391:
2386:
2376:
2353:
3201:
2866:
2776:
2429:
1447:
3555:
3520:
3306:
3216:
3090:
3065:
2974:
2964:
2686:
2576:
2558:
2478:
1051:
326:
30:
3815:
3085:
2959:
2590:
2366:
2146:
2073:
1568:
697:
3779:
3419:
3070:
2924:
2851:
2006:
1905:
1495:
1148:
286:
3712:
3606:
3570:
3311:
3034:
3014:
2831:
2500:
2288:
1475:
540:
434:
For the probable primes, see Henri
Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records search.
2791:
2260:
416:
is a
Leyland number of the second kind that is also prime. The first few such primes are:
8:
3434:
3298:
3293:
3261:
3024:
2999:
2994:
2969:
2899:
2895:
2826:
2716:
2548:
2344:
2313:
1470:
1128:
1133:
183:
is usually added to avoid double-covering the set of
Leyland numbers (so we have 1 <
3837:
3591:
3586:
3500:
3474:
3372:
3351:
3123:
3004:
2954:
2876:
2846:
2786:
2553:
2533:
2464:
2177:
1578:
1515:
1505:
1490:
1123:
981:
902:
430:) We can also consider 145 in the form of 4 to the power of 3 plus 4 to the power of 4.
304:
2721:
3833:
3731:
3676:
3530:
3505:
3479:
2934:
2929:
2856:
2836:
2821:
2543:
2525:
2444:
2434:
2419:
2182:
1547:
1522:
1500:
1480:
1103:
1075:
768:
477:
298:
3256:
3767:
3560:
3146:
3118:
3108:
3100:
2984:
2949:
2944:
2911:
2605:
2568:
2459:
2454:
2449:
2439:
2411:
2298:
2245:
2202:
2141:
1457:
1442:
1379:
1226:
1093:
996:
451:
289:
2250:
519:
3743:
3632:
3565:
3491:
3414:
3388:
3206:
2919:
2711:
2681:
2671:
2666:
2332:
2240:
2187:
2031:
1971:
1158:
1118:
1001:
966:
930:
885:
738:
726:
273:
such as 314738 + 9, but it is hard to prove primality of large
Leyland numbers.
3748:
3616:
3601:
3465:
3429:
3404:
3280:
3251:
3236:
3113:
3009:
2979:
2706:
2661:
2538:
2131:
2126:
2098:
2083:
1996:
1981:
1959:
1946:
1563:
1537:
1434:
1302:
1153:
1113:
1098:
970:
826:
781:
706:
688:
455:
270:
622:
3852:
3671:
3655:
3596:
3550:
3246:
3231:
3141:
2424:
2293:
2255:
2212:
2093:
2078:
2068:
2026:
2016:
1991:
1914:
1573:
1338:
1202:
1175:
1011:
876:
814:
805:
790:
753:
679:
498:
172:
142:
17:
598:
3707:
3696:
3611:
3449:
3424:
3341:
3241:
3211:
3186:
3170:
3075:
3042:
2765:
2676:
2615:
2192:
2088:
2021:
2001:
1976:
1894:
1889:
1884:
1879:
1874:
1869:
1864:
1859:
1854:
1849:
1844:
1839:
1834:
1829:
1824:
1819:
1814:
1809:
1804:
1799:
1794:
1789:
1784:
1779:
1774:
1769:
1764:
1759:
1754:
1749:
1744:
1739:
1734:
1729:
1724:
1527:
1250:
1016:
1006:
991:
986:
950:
664:
395:
274:
211:
138:
134:
130:
126:
122:
118:
114:
110:
83:
3666:
3541:
3346:
2810:
2701:
2656:
2651:
2401:
2308:
2207:
2036:
2011:
1986:
1719:
1714:
1709:
1704:
1699:
1694:
1689:
1684:
1679:
1674:
1669:
1664:
1659:
1654:
1649:
1644:
1639:
1634:
1629:
1624:
1619:
1465:
1138:
1046:
1041:
1021:
935:
838:
714:
391:
387:
207:
106:
102:
98:
94:
3803:
3784:
3080:
2691:
1542:
1358:
1266:
1186:
1036:
940:
633:
561:
279:
90:
3409:
3336:
3328:
3133:
3047:
2165:
1583:
1532:
1413:
203:
is a
Leyland number that is also a prime. The first such primes are:
3510:
450:
3515:
3174:
3168:
1085:
375:
79:
2230:
1080:
1066:
422:
400:
258:
216:
147:
282:
properties which special purpose algorithms can exploit."
82:
greater than 1. They are named after the mathematician
599:"Factorizations of x + y for 1 < y < x < 151"
2894:
1614:
1609:
1604:
1599:
383:
329:
33:
3279:
311:
294:
474:"Primes and Strong Pseudoprimes of the form x + y"
355:
59:
2278:
3850:
1296: = 0, 1, 2, 3, ...
2164:
1958:
1944:
244:values that gives Leyland primes, for example
232:3+2, 9+2, 15+2, 21+2, 33+2, 24+5, 56+3, 32+15.
1930:
649:
3766:
2116:
378:greater than 1. The first such numbers are:
252:= 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... (
2231:Possessing a specific set of other numbers
2054:
1937:
1923:
656:
642:
460:Prime Numbers: A Computational Perspective
3694:
2641:
663:
1174:
3851:
3802:
584:Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz,
466:
3801:
3765:
3729:
3693:
3653:
3278:
3167:
2893:
2808:
2763:
2640:
2330:
2277:
2229:
2163:
2115:
2053:
1957:
1918:
637:
591:
580:
578:
444:
2331:
541:"Leyland prime of the form 104824+5"
175:property of addition, the condition
86:. The first few Leyland numbers are
3730:
491:
285:There is a project called XYYXF to
13:
3654:
575:
14:
3875:
616:
318:Leyland number of the second kind
312:Leyland number of the second kind
194:
3859:Eponymous numbers in mathematics
3832:
3440:Perfect digit-to-digit invariant
2809:
1032:Supersingular (moonshine theory)
562:"Elliptic Curve Primality Proof"
499:"Elliptic Curve Primality Proof"
414:Leyland prime of the second kind
297:
267:elliptic curve primality proving
522:. mersenneforum.org. 2012-12-11
1027:Supersingular (elliptic curve)
554:
533:
512:
476:. Paul Leyland. Archived from
236:One can also fix the value of
1:
2279:Expressible via specific sums
808:2 ± 2 ± 1
624:Leyland Numbers - Numberphile
437:
240:and consider the sequence of
7:
3368:Multiplicative digital root
356:{\displaystyle x^{y}-y^{x}}
60:{\displaystyle x^{y}+y^{x}}
10:
3880:
2764:
171:+ 1. Also, because of the
3828:
3811:
3797:
3775:
3761:
3739:
3725:
3703:
3689:
3662:
3649:
3625:
3579:
3539:
3490:
3464:
3445:Perfect digital invariant
3397:
3381:
3360:
3327:
3292:
3288:
3274:
3182:
3163:
3132:
3099:
3056:
3033:
3020:Superior highly composite
2910:
2906:
2889:
2817:
2804:
2772:
2759:
2647:
2636:
2598:
2589:
2567:
2524:
2486:
2477:
2410:
2352:
2343:
2339:
2326:
2284:
2273:
2236:
2225:
2173:
2159:
2122:
2111:
2064:
2049:
1967:
1953:
1903:
1592:
1556:
1456:
1433:
1407:
1167:
1065:
959:
923:
672:
3058:Euler's totient function
2842:EulerâJacobi pseudoprime
2117:Other polynomial numbers
1414:Mega (1,000,000+ digits)
1283:Arithmetic progression (
320:is a number of the form
24:is a number of the form
2872:SomerâLucas pseudoprime
2862:LucasâCarmichael number
2697:Lazy caterer's sequence
2747:WedderburnâEtherington
2147:Lucky numbers of Euler
1569:Industrial-grade prime
946:NewmanâShanksâWilliams
586:PRP Top Records search
357:
61:
3035:Prime omega functions
2852:Frobenius pseudoprime
2642:Combinatorial numbers
2511:Centered dodecahedral
2304:Primary pseudoperfect
1906:List of prime numbers
1364:Sophie Germain/Safe (
358:
159:The requirement that
62:
3494:-composition related
3294:Arithmetic functions
2896:Arithmetic functions
2832:Elliptic pseudoprime
2516:Centered icosahedral
2496:Centered tetrahedral
1088:(10 â 1)/9
327:
31:
3420:Kaprekar's constant
2940:Colossally abundant
2827:Catalan pseudoprime
2727:SchröderâHipparchus
2506:Centered octahedral
2382:Centered heptagonal
2372:Centered pentagonal
2362:Centered triangular
1962:and related numbers
1397: ± 7, ...
924:By integer sequence
709:(2 + 1)/3
520:"Mihailescu's CIDE"
3838:Mathematics portal
3780:Aronson's sequence
3526:SmarandacheâWellin
3283:-dependent numbers
2990:Primitive abundant
2877:Strong pseudoprime
2867:Perrin pseudoprime
2847:Fermat pseudoprime
2787:Wolstenholme prime
2611:Squared triangular
2397:Centered decagonal
2392:Centered nonagonal
2387:Centered octagonal
2377:Centered hexagonal
1579:Formula for primes
1212: + 2 or
1144:SmarandacheâWellin
353:
305:Mathematics portal
57:
3864:Integer sequences
3846:
3845:
3824:
3823:
3793:
3792:
3757:
3756:
3721:
3720:
3685:
3684:
3645:
3644:
3641:
3640:
3460:
3459:
3270:
3269:
3159:
3158:
3155:
3154:
3101:Aliquot sequences
2912:Divisor functions
2885:
2884:
2857:Lucas pseudoprime
2837:Euler pseudoprime
2822:Carmichael number
2800:
2799:
2755:
2754:
2632:
2631:
2628:
2627:
2624:
2623:
2585:
2584:
2473:
2472:
2430:Square triangular
2322:
2321:
2269:
2268:
2221:
2220:
2155:
2154:
2107:
2106:
2045:
2044:
1912:
1911:
1523:Carmichael number
1458:Composite numbers
1393: ± 3, 8
1389: ± 1, 4
1352: ± 1, âŠ
1348: ± 1, 4
1344: ± 1, 2
1334:
1333:
879:3·2 â 1
784:2·3 + 1
698:Double Mersenne (
394:, 118, 192, 399,
292:Leyland numbers.
248:+ 2 is prime for
228:corresponding to
3871:
3836:
3799:
3798:
3768:Natural language
3763:
3762:
3727:
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3695:Generated via a
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