36:
490:
1184:
265:
1332:
945:
779:
2276:
1905:
1962:
1386:
833:
485:{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _{n}}^{k})}
1731:
1050:
1791:
2160:
1264:
2502:
884:
724:
2357:
found a way to deal with the failure of unique factorization. He introduced a replacement for the prime numbers in the cyclotomic integers
2171:
2476:
2466:
2461:
1022:
786:
3138:
On the Ring of
Integers of Real Cyclotomic Fields. Koji Yamagata and Masakazu Yamagishi: Proc, Japan Academy, 92. Ser a (2016)
1850:
1910:
1343:
790:
2431:. Kummer's work on the congruences for the class numbers of cyclotomic fields was generalized in the twentieth century by
3084:
3051:
3015:
2310:
499:
79:
57:
50:
3151:
1432:
523:
1179:{\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}.}
1680:
3131:
3043:
2350:
1 through 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.
2364:
2322:
Several attempts to tackle Fermat's Last
Theorem proceeded along these lines, and both Fermat's proof for
3126:
3064:
2916:
1750:
1518:
625:
586:
1327:{\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}
3156:
2112:
17:
3121:
1571:
105:
2089:
1610:
137:
44:
201:
165:
2412:
to determine which primes are regular, and established Fermat's theorem for all prime exponents
1454:
782:
495:
61:
2319:, then it can be used to rule out the existence of nontrivial solutions to Fermat's equation.
2921:
2409:
1598:
256:
3025:
2440:
1594:
632:
149:
3094:
140:. It was in the process of his deep investigations of the arithmetic of these fields (for
8:
1655:
1597:
made early inroads in the theory of cyclotomic fields, in connection with the problem of
1502:
122:
3002:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2 ed.), New York: Springer-Verlag,
2487:
837:
940:{\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}
3106:
3103:
3080:
3047:
3011:
2290:
1525:
1259:
3090:
3068:
3003:
2968:
2432:
1522:
1475:
989:
706:
153:
133:
3076:
3021:
1602:
1498:
665:
212:
126:
2984:
2972:
2436:
1821:
109:
3007:
3145:
2394:
1613:. His surprising result that had escaped his predecessors was that a regular
112:
93:
2354:
1817:
1745:
1614:
1464:
774:{\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}
719:
161:
157:
141:
101:
2000:. Correspondingly, a regular 3-gon and a regular 6-gon are constructible.
2976:
2428:
2424:
2420:
1813:
878:
3039:
3031:
1809:
1805:
1672:
1423:
1209:
3111:
132:
Cyclotomic fields played a crucial role in the development of modern
2934:
2271:{\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)}
27:
Field extension of the rational numbers by a primitive root of unity
1505:
2946:
962:
2449:
2065:, but it is a quadratic extension of the quadratic extension
2106:
is an odd prime, appearing in one side of Fermat's equation
2480:
2470:
2456:
1617:
could be so constructed. More generally, for any integer
3101:
1900:{\displaystyle \zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}
1557:. Equivalently, the union of all the cyclotomic fields
2363:, measured the failure of unique factorization via the
1957:{\displaystyle \zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}}
148:) – and more precisely, because of the failure of
2083:
1928:
1868:
1381:{\displaystyle (\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }}
828:{\displaystyle (\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }}
2490:
2174:
2115:
1913:
1853:
1753:
1683:
1346:
1267:
1112:
1053:
887:
793:
727:
268:
2336:can be recast in these terms. The complete list of
2496:
2270:
2154:
1956:
1899:
1785:
1725:
1380:
1326:
1178:
939:
827:
773:
484:
2398:) then Fermat's theorem is true for the exponent
1589:
450:
449:
448:
347:
346:
345:
136:and number theory because of their relation with
3143:
2971:, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in
402:
299:
3038:, Combined second edition. With an appendix by
2289:are ordinary integers, whereas the factors are
2439:and by Kubota and Leopoldt in their theory of
1804:is a power of 2. The known Fermat primes are
3063:
1824:, and it is likely that there are no others.)
1635:there is a sequence of fields, starting with
1497:, which was described in the previous item.
836:, which consists of the invertible residues
2997:
2952:
2940:
2450:List of class numbers of cyclotomic fields
1090:
80:Learn how and when to remove this message
3046:, 121. Springer-Verlag, New York, 1990.
1726:{\displaystyle n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}}
43:This article includes a list of general
2039:, and a regular 4-gon is constructible.
14:
3144:
3075:. Springer Monographs in Mathematics.
2994:, first edition, Springer-Verlag, 1977
2079:, so a regular 5-gon is constructible.
3102:
1994:, which is a quadratic extension of
29:
2084:Relation with Fermat's Last Theorem
1793:. (A Fermat prime is an odd prime
1786:{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}
160:first introduced the concept of an
24:
3057:
2987:, 1973. Chap.III, pp. 45–93.
1484:is the group of roots of unity in
541:are therefore the other primitive
270:
49:it lacks sufficient corresponding
25:
3168:
3073:Cyclotomic Fields and Zeta Values
3000:Introduction to Cyclotomic Fields
2313:holds in the cyclotomic integers
2155:{\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}
1828:
2998:Washington, Lawrence C. (1997),
2059:is not a quadratic extension of
1624:, the following are equivalent:
1433:finitely generated abelian group
1364:
1351:
1317:
1291:
930:
904:
811:
798:
764:
738:
34:
2895:157: 56234327700401832767069245
1391:The group of roots of unity in
1212:above every prime not dividing
2877:151: 2333546653547742584439257
2416:less than 100, except for the
2265:
2237:
2231:
2216:
2213:
2201:
2088:A natural approach to proving
1590:Relation with regular polygons
1369:
1347:
1334:corresponds to the residue of
1321:
1308:
1295:
1287:
1165:
1153:
1145:
1139:
1122:
1107:
1101:
1077:
1071:
1064:
1054:
934:
921:
908:
900:
816:
794:
768:
755:
742:
734:
479:
451:
417:
405:
314:
302:
285:
279:
13:
1:
3044:Graduate Texts in Mathematics
2927:
2871:149: 687887859687174720123201
245:
171:
2384:is not divisible by a prime
2346:has unique factorization is
207:th root of unity. Then the
7:
3127:Encyclopedia of Mathematics
2910:
2841:139: 1753848916484925681747
211:th cyclotomic field is the
10:
3173:
3036:Cyclotomic Fields I and II
2962:
2835:137: 646901570175200968153
2092:is to factor the binomial
1243:is totally ramified above
164:and proved his celebrated
3008:10.1007/978-1-4612-1934-7
2817:131: 28496379729272136525
1572:maximal abelian extension
844:, which are the residues
787:the multiplicative group
2805:127: 2604529186263992195
2293:in the cyclotomic field
1611:compass and straightedge
1501:form an explicit finite-
1254:is a prime not dividing
626:Euler's totient function
3152:Algebraic number theory
2981:Algebraic number theory
2917:Kronecker–Weber theorem
1519:Kronecker–Weber theorem
1415:, according to whether
64:more precise citations.
2498:
2329:and Euler's proof for
2272:
2156:
1958:
1901:
1787:
1727:
1658:of the previous field;
1654:, such that each is a
1632:-gon is constructible;
1455:Dirichlet unit theorem
1382:
1328:
1223:is a power of a prime
1180:
941:
829:
775:
486:
2922:Cyclotomic polynomial
2763:113: 1612072001362952
2499:
2273:
2157:
2090:Fermat's Last Theorem
1959:
1902:
1788:
1728:
1383:
1329:
1181:
942:
830:
776:
487:
257:cyclotomic polynomial
138:Fermat's Last Theorem
2751:109: 161784800122409
2488:
2444:-adic zeta functions
2311:unique factorization
2172:
2113:
1911:
1851:
1751:
1681:
1344:
1265:
1051:
885:
791:
783:naturally isomorphic
725:
266:
150:unique factorization
2889:155: 84473643916800
2853:143: 36027143124175
2787:121: 12188792628211
2745:107: 63434933542623
2375:and proved that if
1656:quadratic extension
545:th roots of unity:
3122:"Cyclotomic field"
3107:"Cyclotomic Field"
3104:Weisstein, Eric W.
2990:Daniel A. Marcus,
2943:, Proposition 2.7.
2859:145: 1467250393088
2733:103: 9069094643165
2727:101: 3547404378125
2494:
2408:. Furthermore, he
2291:algebraic integers
2268:
2152:
1954:
1952:
1897:
1895:
1783:
1733:for some integers
1723:
1521:states that every
1457:. In particular,
1378:
1324:
1176:
1170:
1130:
937:
825:
771:
642:are the powers of
500:minimal polynomial
482:
447:
344:
3157:Cyclotomic fields
2901:159: 223233182255
2823:133: 157577452812
2504:-part (for prime
2497:{\displaystyle h}
1951:
1945:
1894:
1888:
1526:abelian extension
1260:Frobenius element
1171:
1113:
1025:of the extension
444:
394:
341:
291:
154:rings of integers
90:
89:
82:
16:(Redirected from
3164:
3135:
3117:
3116:
3098:
3028:
2956:
2950:
2944:
2938:
2799:125: 57708445601
2715:97: 411322824001
2503:
2501:
2500:
2495:
2483:
2473:
2459:
2418:irregular primes
2415:
2410:gave a criterion
2407:
2391:
2387:
2383:
2374:
2362:
2345:
2339:
2335:
2328:
2318:
2308:
2288:
2284:
2277:
2275:
2274:
2269:
2261:
2260:
2197:
2196:
2184:
2183:
2161:
2159:
2158:
2153:
2151:
2150:
2138:
2137:
2125:
2124:
2105:
2101:
2078:
2076:
2075:
2064:
2058:
2047:
2038:
2019:
2008:
1999:
1993:
1991:
1990:
1963:
1961:
1960:
1955:
1953:
1947:
1946:
1938:
1929:
1923:
1922:
1906:
1904:
1903:
1898:
1896:
1890:
1889:
1881:
1869:
1863:
1862:
1847:: The equations
1846:
1839:
1803:
1796:
1792:
1790:
1789:
1784:
1782:
1781:
1763:
1762:
1743:
1732:
1730:
1729:
1724:
1722:
1721:
1709:
1708:
1699:
1698:
1670:
1653:
1641:and ending with
1640:
1631:
1623:
1606:
1584:
1578:
1569:
1556:
1552:
1540:is contained in
1539:
1533:
1513:
1499:Cyclotomic units
1496:
1483:
1476:torsion subgroup
1473:
1472:∈ {1, 2, 3, 4, 6
1462:
1452:
1445:
1430:
1418:
1414:
1407:
1403:
1387:
1385:
1384:
1379:
1377:
1376:
1367:
1359:
1354:
1339:
1333:
1331:
1330:
1325:
1320:
1315:
1307:
1306:
1294:
1277:
1276:
1257:
1253:
1246:
1242:
1238:) /
1226:
1222:
1215:
1207:
1203:) /
1185:
1183:
1182:
1177:
1172:
1169:
1168:
1152:
1129:
1125:
1111:
1110:
1092:
1089:
1088:
1084:
1040:
1036:) /
1020:
1010:
1004:
990:ring of integers
984:
983:
982:
960:
956:
946:
944:
943:
938:
933:
928:
920:
919:
907:
876:
875:) = 1
864:
853:
843:
834:
832:
831:
826:
824:
823:
814:
806:
801:
780:
778:
777:
772:
767:
762:
754:
753:
741:
714:
707:Galois extension
704:
688:
682:
674:
663:
650:
641:
623:
619:
601:
581:
580:) = 1
569:
558:
557:
556:
544:
540:
534:
516:
510:
491:
489:
488:
483:
478:
477:
472:
471:
470:
446:
445:
443:
426:
400:
390:
386:
385:
384:
380:
343:
342:
340:
323:
297:
278:
277:
254:
241:
232:
226:
210:
206:
199:
182:
147:
127:rational numbers
120:
98:cyclotomic field
85:
78:
74:
71:
65:
60:this article by
51:inline citations
38:
37:
30:
21:
3172:
3171:
3167:
3166:
3165:
3163:
3162:
3161:
3142:
3141:
3120:
3087:
3077:Springer-Verlag
3060:
3058:Further reading
3018:
2965:
2960:
2959:
2955:, Theorem 11.1.
2953:Washington 1997
2951:
2947:
2941:Washington 1997
2939:
2935:
2930:
2913:
2908:
2907:
2883:153: 2416282880
2847:141: 1257700495
2781:119: 1238459625
2691:89: 13379363737
2489:
2486:
2485:
2475:
2465:
2455:
2452:
2413:
2399:
2389:
2385:
2381:
2376:
2372:
2367:
2358:
2341:
2337:
2330:
2323:
2314:
2306:
2294:
2286:
2282:
2250:
2246:
2192:
2188:
2179:
2175:
2173:
2170:
2169:
2146:
2142:
2133:
2129:
2120:
2116:
2114:
2111:
2110:
2103:
2093:
2086:
2073:
2071:
2066:
2060:
2056:
2049:
2042:
2028:
2021:
2014:
2010:
2003:
1995:
1988:
1986:
1980:
1972:
1965:
1937:
1930:
1927:
1918:
1914:
1912:
1909:
1908:
1880:
1870:
1867:
1858:
1854:
1852:
1849:
1848:
1841:
1834:
1831:
1798:
1794:
1777:
1773:
1758:
1754:
1752:
1749:
1748:
1734:
1717:
1713:
1704:
1700:
1694:
1690:
1682:
1679:
1678:
1661:
1651:
1642:
1636:
1629:
1618:
1604:
1592:
1580:
1574:
1567:
1558:
1554:
1550:
1541:
1535:
1529:
1509:
1494:
1485:
1479:
1468:
1458:
1447:
1436:
1426:
1419:is even or odd.
1416:
1409:
1405:
1401:
1392:
1372:
1368:
1363:
1355:
1350:
1345:
1342:
1341:
1335:
1316:
1311:
1302:
1298:
1290:
1272:
1268:
1266:
1263:
1262:
1255:
1251:
1244:
1237:
1228:
1224:
1220:
1213:
1202:
1193:
1192:In particular,
1148:
1135:
1131:
1121:
1117:
1097:
1093:
1091:
1080:
1067:
1063:
1052:
1049:
1048:
1035:
1026:
1015:
1006:
1002:
993:
981:
976:
975:
974:
972:
966:
958:
948:
929:
924:
915:
911:
903:
886:
883:
882:
866:
855:
845:
841:
819:
815:
810:
802:
797:
792:
789:
788:
763:
758:
749:
745:
737:
726:
723:
722:
710:
702:
693:
684:
676:
669:
666:splitting field
661:
652:
649:
643:
636:
621:
609:
603:
599:
590:
571:
560:
555:
550:
549:
548:
546:
542:
536:
533:
527:
512:
509:
503:
498:, so it is the
473:
466:
462:
461:
460:
427:
401:
399:
398:
376:
363:
359:
352:
348:
324:
298:
296:
295:
273:
269:
267:
264:
263:
252:
248:
240:
234:
228:
224:
215:
208:
204:
190:
184:
177:
174:
145:
116:
86:
75:
69:
66:
56:Please help to
55:
39:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3170:
3160:
3159:
3154:
3140:
3139:
3136:
3118:
3099:
3085:
3059:
3056:
3055:
3054:
3029:
3016:
2995:
2988:
2985:Academic Press
2973:J.W.S. Cassels
2964:
2961:
2958:
2957:
2945:
2932:
2931:
2929:
2926:
2925:
2924:
2919:
2912:
2909:
2906:
2905:
2902:
2899:
2898:158: 100146415
2896:
2893:
2890:
2887:
2884:
2881:
2878:
2875:
2872:
2869:
2866:
2863:
2860:
2857:
2854:
2851:
2848:
2845:
2842:
2839:
2836:
2833:
2830:
2827:
2824:
2821:
2818:
2815:
2812:
2809:
2806:
2803:
2800:
2797:
2794:
2791:
2788:
2785:
2782:
2779:
2776:
2773:
2770:
2767:
2764:
2761:
2758:
2755:
2752:
2749:
2746:
2743:
2740:
2737:
2734:
2731:
2728:
2725:
2722:
2719:
2716:
2713:
2710:
2707:
2704:
2701:
2698:
2695:
2692:
2689:
2686:
2683:
2680:
2677:
2674:
2671:
2668:
2665:
2662:
2659:
2656:
2653:
2650:
2647:
2644:
2641:
2638:
2635:
2632:
2629:
2626:
2623:
2620:
2617:
2614:
2611:
2608:
2605:
2602:
2599:
2596:
2593:
2590:
2587:
2584:
2581:
2578:
2575:
2572:
2569:
2566:
2563:
2560:
2557:
2554:
2551:
2548:
2545:
2542:
2539:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2511:
2510:
2493:
2451:
2448:
2437:Iwasawa theory
2395:regular primes
2379:
2370:
2352:
2351:
2302:
2279:
2278:
2267:
2264:
2259:
2256:
2253:
2249:
2245:
2242:
2239:
2236:
2233:
2230:
2227:
2224:
2221:
2218:
2215:
2212:
2209:
2206:
2203:
2200:
2195:
2191:
2187:
2182:
2178:
2163:
2162:
2149:
2145:
2141:
2136:
2132:
2128:
2123:
2119:
2085:
2082:
2081:
2080:
2054:
2040:
2026:
2012:
2001:
1978:
1970:
1950:
1944:
1941:
1936:
1933:
1926:
1921:
1917:
1893:
1887:
1884:
1879:
1876:
1873:
1866:
1861:
1857:
1830:
1829:Small examples
1827:
1826:
1825:
1780:
1776:
1772:
1769:
1766:
1761:
1757:
1720:
1716:
1712:
1707:
1703:
1697:
1693:
1689:
1686:
1676:
1659:
1647:
1633:
1591:
1588:
1587:
1586:
1563:
1546:
1515:
1490:
1420:
1397:
1389:
1375:
1371:
1366:
1362:
1358:
1353:
1349:
1323:
1319:
1314:
1310:
1305:
1301:
1297:
1293:
1289:
1286:
1283:
1280:
1275:
1271:
1248:
1233:
1217:
1198:
1189:
1188:
1187:
1186:
1175:
1167:
1164:
1161:
1158:
1155:
1151:
1147:
1144:
1141:
1138:
1134:
1128:
1124:
1120:
1116:
1109:
1106:
1103:
1100:
1096:
1087:
1083:
1079:
1076:
1073:
1070:
1066:
1062:
1059:
1056:
1043:
1042:
1031:
1012:
998:
986:
977:
968:
936:
932:
927:
923:
918:
914:
910:
906:
902:
899:
896:
893:
890:
822:
818:
813:
809:
805:
800:
796:
770:
766:
761:
757:
752:
748:
744:
740:
736:
733:
730:
716:
698:
690:
657:
645:
629:
605:
595:
583:
551:
529:
519:
518:
505:
492:
481:
476:
469:
465:
459:
456:
453:
442:
439:
436:
433:
430:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
404:
397:
393:
389:
383:
379:
375:
372:
369:
366:
362:
358:
355:
351:
339:
336:
333:
330:
327:
322:
319:
316:
313:
310:
307:
304:
301:
294:
290:
287:
284:
281:
276:
272:
260:
259:
247:
244:
236:
220:
186:
173:
170:
88:
87:
70:September 2012
42:
40:
33:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
3169:
3158:
3155:
3153:
3150:
3149:
3147:
3137:
3133:
3129:
3128:
3123:
3119:
3114:
3113:
3108:
3105:
3100:
3096:
3092:
3088:
3086:3-540-33068-2
3082:
3078:
3074:
3070:
3066:
3062:
3061:
3053:
3052:0-387-96671-4
3049:
3045:
3041:
3037:
3033:
3030:
3027:
3023:
3019:
3017:0-387-94762-0
3013:
3009:
3005:
3001:
2996:
2993:
2992:Number Fields
2989:
2986:
2982:
2978:
2974:
2970:
2967:
2966:
2954:
2949:
2942:
2937:
2933:
2923:
2920:
2918:
2915:
2914:
2903:
2900:
2897:
2894:
2891:
2888:
2885:
2882:
2879:
2876:
2873:
2870:
2867:
2864:
2862:146: 11957417
2861:
2858:
2855:
2852:
2849:
2846:
2843:
2840:
2837:
2834:
2831:
2828:
2825:
2822:
2819:
2816:
2813:
2811:129: 37821539
2810:
2807:
2804:
2801:
2798:
2795:
2792:
2789:
2786:
2783:
2780:
2777:
2774:
2771:
2769:115: 44697909
2768:
2765:
2762:
2759:
2756:
2753:
2750:
2747:
2744:
2741:
2738:
2735:
2732:
2729:
2726:
2723:
2720:
2717:
2714:
2711:
2708:
2705:
2702:
2699:
2696:
2693:
2690:
2687:
2684:
2681:
2678:
2675:
2673:83: 838216959
2672:
2669:
2666:
2663:
2661:79: 100146415
2660:
2657:
2654:
2651:
2648:
2645:
2642:
2639:
2636:
2633:
2630:
2627:
2624:
2621:
2618:
2615:
2612:
2609:
2606:
2603:
2600:
2597:
2594:
2591:
2588:
2585:
2582:
2579:
2576:
2573:
2570:
2567:
2564:
2561:
2558:
2555:
2552:
2549:
2546:
2543:
2540:
2537:
2534:
2531:
2528:
2525:
2522:
2519:
2516:
2513:
2512:
2509:
2507:
2491:
2482:
2478:
2472:
2468:
2463:
2458:
2447:
2445:
2443:
2438:
2434:
2430:
2426:
2422:
2419:
2411:
2406:
2402:
2397:
2396:
2382:
2373:
2366:
2361:
2356:
2349:
2348:
2347:
2344:
2333:
2326:
2320:
2317:
2312:
2305:
2301:
2297:
2292:
2262:
2257:
2254:
2251:
2247:
2243:
2240:
2234:
2228:
2225:
2222:
2219:
2210:
2207:
2204:
2198:
2193:
2189:
2185:
2180:
2176:
2168:
2167:
2166:
2147:
2143:
2139:
2134:
2130:
2126:
2121:
2117:
2109:
2108:
2107:
2100:
2096:
2091:
2069:
2063:
2052:
2045:
2041:
2036:
2032:
2024:
2018:
2009:: Similarly,
2006:
2002:
1998:
1984:
1976:
1968:
1948:
1942:
1939:
1934:
1931:
1924:
1919:
1915:
1891:
1885:
1882:
1877:
1874:
1871:
1864:
1859:
1855:
1844:
1837:
1833:
1832:
1823:
1819:
1815:
1811:
1807:
1801:
1778:
1774:
1770:
1767:
1764:
1759:
1755:
1747:
1746:Fermat primes
1741:
1737:
1718:
1714:
1710:
1705:
1701:
1695:
1691:
1687:
1684:
1677:
1674:
1668:
1664:
1660:
1657:
1650:
1645:
1639:
1634:
1627:
1626:
1625:
1621:
1616:
1612:
1608:
1600:
1596:
1583:
1577:
1573:
1566:
1561:
1549:
1544:
1538:
1532:
1527:
1524:
1520:
1516:
1512:
1507:
1504:
1500:
1493:
1488:
1482:
1477:
1471:
1466:
1461:
1456:
1450:
1443:
1439:
1434:
1429:
1425:
1421:
1413:
1400:
1395:
1390:
1373:
1360:
1356:
1338:
1312:
1303:
1299:
1284:
1281:
1278:
1273:
1269:
1261:
1249:
1241:
1236:
1231:
1218:
1211:
1206:
1201:
1196:
1191:
1190:
1173:
1162:
1159:
1156:
1149:
1142:
1136:
1132:
1126:
1118:
1114:
1104:
1098:
1094:
1085:
1081:
1074:
1068:
1060:
1057:
1047:
1046:
1045:
1044:
1039:
1034:
1029:
1024:
1018:
1013:
1009:
1001:
996:
991:
987:
980:
971:
964:
955:
951:
925:
916:
912:
897:
894:
891:
888:
880:
874:
870:
863:
859:
852:
848:
839:
835:
820:
807:
803:
784:
759:
750:
746:
731:
728:
721:
717:
713:
708:
701:
696:
691:
687:
680:
672:
667:
660:
655:
648:
639:
634:
630:
627:
617:
613:
608:
604:= deg Φ
602:is therefore
598:
593:
588:
584:
579:
575:
568:
564:
554:
539:
532:
525:
521:
520:
515:
508:
501:
497:
493:
474:
467:
463:
457:
454:
440:
437:
434:
431:
428:
423:
420:
414:
411:
408:
395:
391:
387:
381:
377:
373:
370:
367:
364:
360:
356:
353:
349:
337:
334:
331:
328:
325:
320:
317:
311:
308:
305:
292:
288:
282:
274:
262:
261:
258:
250:
249:
243:
239:
233:generated by
231:
223:
218:
214:
203:
198:
194:
189:
180:
169:
167:
163:
159:
156: – that
155:
151:
143:
139:
135:
130:
128:
124:
119:
114:
113:root of unity
111:
107:
103:
99:
95:
94:number theory
84:
81:
73:
63:
59:
53:
52:
46:
41:
32:
31:
19:
3125:
3110:
3072:
3065:Coates, John
3035:
2999:
2991:
2980:
2948:
2936:
2880:152: 1666737
2868:148: 4827501
2865:147: 5874617
2850:142: 3882809
2793:123: 8425472
2643:73: 11957417
2505:
2453:
2441:
2417:
2404:
2400:
2393:
2377:
2368:
2365:class number
2359:
2353:
2342:
2331:
2324:
2321:
2315:
2303:
2299:
2295:
2280:
2165:as follows:
2164:
2098:
2094:
2087:
2067:
2061:
2050:
2048:: The field
2043:
2034:
2030:
2022:
2016:
2004:
1996:
1982:
1974:
1966:
1842:
1835:
1799:
1739:
1735:
1666:
1662:
1648:
1643:
1637:
1619:
1599:constructing
1593:
1581:
1575:
1564:
1559:
1547:
1542:
1536:
1530:
1510:
1491:
1486:
1480:
1469:
1459:
1448:
1441:
1437:
1427:
1411:
1398:
1393:
1336:
1239:
1234:
1229:
1204:
1199:
1194:
1037:
1032:
1027:
1023:discriminant
1016:
1007:
999:
994:
978:
969:
953:
949:
872:
868:
861:
857:
850:
846:
720:Galois group
711:
699:
694:
685:
678:
670:
658:
653:
646:
637:
615:
611:
606:
596:
591:
577:
573:
566:
562:
552:
537:
530:
513:
506:
237:
229:
221:
216:
200:; this is a
196:
192:
187:
178:
175:
162:ideal number
158:Ernst Kummer
131:
117:
104:obtained by
102:number field
97:
91:
76:
67:
48:
3069:Sujatha, R.
2977:A. Frohlich
2969:Bryan Birch
2832:136: 111744
2826:134: 853513
2808:128: 359057
2775:117: 132678
2757:111: 480852
2637:71: 3882809
2392:are called
1258:, then the
881:sends each
879:isomorphism
496:irreducible
166:congruences
62:introducing
3146:Categories
3095:1100.11002
3040:Karl Rubin
3032:Serge Lang
2928:References
2904:160: 31365
2829:135: 75961
2796:124: 45756
2790:122: 76301
2778:118: 41241
2772:116: 10752
2709:95: 107692
2625:67: 853513
2454:(sequence
2340:for which
1964:show that
1797:such that
1673:power of 2
1628:a regular
1446:, for any
1424:unit group
1404:has order
1210:unramified
965:such that
692:Therefore
524:conjugates
246:Properties
172:Definition
45:references
18:Cyclotomic
3132:EMS Press
3112:MathWorld
2886:154: 1280
2742:106: 4889
2697:91: 53872
2607:61: 76301
2601:59: 41241
2255:−
2248:ζ
2235:⋯
2226:ζ
1940:−
1916:ζ
1883:−
1872:−
1856:ζ
1768:…
1711:⋯
1553:for some
1467:only for
1453:, by the
1374:×
1300:ζ
1285:
1279:∈
1160:−
1137:φ
1115:∏
1099:φ
1069:φ
1058:−
913:ζ
898:
892:∈
889:σ
821:×
747:ζ
732:
464:ζ
458:−
438:≤
432:≤
396:∏
368:π
357:−
335:≤
329:≤
293:∏
271:Φ
213:extension
202:primitive
152:in their
106:adjoining
3071:(2006).
2911:See also
2892:156: 156
2856:144: 507
2760:112: 468
2736:104: 351
2721:99: 2883
2703:93: 6795
2685:87: 1536
2679:85: 6205
2667:81: 2593
2655:77: 1280
2583:53: 4889
2532:32-36: 1
2520:24-28: 1
2484:for the
2102:, where
2077: )
1992: )
1603:regular
1506:subgroup
1474:}. The
1435:of rank
957:, where
871:,
620:, where
576:,
3134:, 2001
3026:1421575
2979:(edd),
2963:Sources
2874:150: 11
2844:140: 39
2838:138: 69
2820:132: 11
2814:130: 64
2754:110: 10
2748:108: 19
2739:105: 13
2724:100: 55
2706:94: 695
2700:92: 201
2682:86: 211
2670:82: 121
2565:47: 695
2553:43: 211
2547:41: 121
2514:1-22: 1
2481:A000927
2479::
2471:A055513
2469::
2460:in the
2457:A061653
2433:Iwasawa
2072:√
1987:√
1609:with a
1570:is the
1444:)/2 – 1
1227:, then
963:integer
877:. The
683:) over
675:(or of
664:is the
134:algebra
110:complex
58:improve
3093:
3083:
3050:
3024:
3014:
2802:126: 7
2784:120: 4
2766:114: 9
2730:102: 5
2718:98: 43
2688:88: 55
2652:76: 19
2649:75: 11
2646:74: 37
2631:69: 69
2619:65: 64
2616:64: 17
2589:55: 10
2571:49: 43
2535:37: 37
2464:), or
2427:, and
2388:(such
2355:Kummer
1615:17-gon
1523:finite
1465:finite
1451:> 2
1021:, the
1019:> 2
961:is an
840:
838:modulo
587:degree
183:, let
144:
121:, the
47:, but
2712:96: 9
2694:90: 1
2676:84: 1
2664:80: 5
2658:78: 2
2640:72: 3
2634:70: 1
2628:68: 8
2622:66: 1
2613:63: 7
2610:62: 9
2604:60: 1
2598:58: 8
2595:57: 9
2592:56: 2
2586:54: 1
2580:52: 3
2577:51: 5
2574:50: 1
2568:48: 1
2562:46: 3
2559:45: 1
2556:44: 1
2550:42: 1
2544:40: 1
2541:39: 2
2538:38: 1
2529:31: 9
2526:30: 1
2523:29: 8
2517:23: 3
2309:. If
2281:Here
2020:, so
1822:65537
1671:is a
1595:Gauss
1503:index
1431:is a
973:) = ζ
854:with
705:is a
651:, so
633:roots
570:with
511:over
142:prime
123:field
100:is a
3081:ISBN
3048:ISBN
3012:ISBN
2975:and
2477:OEIS
2467:OEIS
2462:OEIS
2285:and
2029:) =
1981:) =
1973:) =
1907:and
1840:and
1744:and
1607:-gon
1517:The
1422:The
1270:Frob
1014:For
988:The
952:mod
867:gcd(
865:and
856:1 ≤
849:mod
718:The
631:The
585:The
572:gcd(
561:1 ≤
559:for
522:The
251:The
176:For
96:, a
3091:Zbl
3004:doi
2474:or
2435:in
2334:= 3
2327:= 4
2046:= 5
2007:= 4
1845:= 6
1838:= 3
1818:257
1802:− 1
1742:≥ 0
1622:≥ 3
1579:of
1534:in
1528:of
1508:of
1478:of
1463:is
1408:or
1340:in
1282:Gal
1250:If
1219:If
1208:is
1005:is
992:of
967:σ(ζ
947:to
895:Gal
785:to
781:is
729:Gal
709:of
673:− 1
668:of
640:− 1
635:of
624:is
589:of
535:in
526:of
502:of
494:is
403:gcd
300:gcd
255:th
227:of
181:≥ 1
125:of
115:to
92:In
3148::
3130:,
3124:,
3109:.
3089:.
3079:.
3067:;
3042:.
3034:,
3022:MR
3020:,
3010:,
2983:,
2508:)
2446:.
2429:67
2425:59
2423:,
2421:37
2403:=
2097:+
2053:(ζ
2025:(ζ
2015:=
1989:−3
1977:(ζ
1969:(ζ
1820:,
1816:,
1814:17
1812:,
1808:,
1738:,
1646:(ζ
1601:a
1562:(ζ
1545:(ζ
1489:(ζ
1396:(ζ
1232:(ζ
1197:(ζ
1041:is
1030:(ζ
997:(ζ
860:≤
697:(ζ
677:Φ(
656:(ζ
610:=
594:(ζ
565:≤
242:.
219:(ζ
195:∈
191:=
168:.
129:.
108:a
3115:.
3097:.
3006::
2506:n
2492:h
2442:p
2414:p
2405:p
2401:n
2390:p
2386:p
2380:p
2378:h
2371:n
2369:h
2360:Z
2343:Z
2338:n
2332:n
2325:n
2316:Z
2307:)
2304:n
2300:ζ
2298:(
2296:Q
2287:y
2283:x
2266:)
2263:y
2258:1
2252:n
2244:+
2241:x
2238:(
2232:)
2229:y
2223:+
2220:x
2217:(
2214:)
2211:y
2208:+
2205:x
2202:(
2199:=
2194:n
2190:y
2186:+
2181:n
2177:x
2148:n
2144:z
2140:=
2135:n
2131:y
2127:+
2122:n
2118:x
2104:n
2099:y
2095:x
2074:5
2070:(
2068:Q
2062:Q
2057:)
2055:5
2051:Q
2044:n
2037:)
2035:i
2033:(
2031:Q
2027:4
2023:Q
2017:i
2013:4
2011:ζ
2005:n
1997:Q
1985:(
1983:Q
1979:6
1975:Q
1971:3
1967:Q
1949:2
1943:3
1935:+
1932:1
1925:=
1920:6
1892:2
1886:3
1878:+
1875:1
1865:=
1860:3
1843:n
1836:n
1810:5
1806:3
1800:p
1795:p
1779:r
1775:p
1771:,
1765:,
1760:1
1756:p
1740:r
1736:a
1719:r
1715:p
1706:1
1702:p
1696:a
1692:2
1688:=
1685:n
1675:;
1669:)
1667:n
1665:(
1663:φ
1652:)
1649:n
1644:Q
1638:Q
1630:n
1620:n
1605:n
1585:.
1582:Q
1576:Q
1568:)
1565:n
1560:Q
1555:n
1551:)
1548:n
1543:Q
1537:C
1531:Q
1514:.
1511:Z
1495:)
1492:n
1487:Q
1481:Z
1470:n
1460:Z
1449:n
1442:n
1440:(
1438:φ
1428:Z
1417:n
1412:n
1410:2
1406:n
1402:)
1399:n
1394:Q
1388:.
1370:)
1365:Z
1361:n
1357:/
1352:Z
1348:(
1337:q
1322:)
1318:Q
1313:/
1309:)
1304:n
1296:(
1292:Q
1288:(
1274:q
1256:n
1252:q
1247:.
1245:p
1240:Q
1235:n
1230:Q
1225:p
1221:n
1216:.
1214:n
1205:Q
1200:n
1195:Q
1174:.
1166:)
1163:1
1157:p
1154:(
1150:/
1146:)
1143:n
1140:(
1133:p
1127:n
1123:|
1119:p
1108:)
1105:n
1102:(
1095:n
1086:2
1082:/
1078:)
1075:n
1072:(
1065:)
1061:1
1055:(
1038:Q
1033:n
1028:Q
1017:n
1011:.
1008:Z
1003:)
1000:n
995:Q
985:.
979:n
970:n
959:a
954:n
950:a
935:)
931:Q
926:/
922:)
917:n
909:(
905:Q
901:(
873:n
869:a
862:n
858:a
851:n
847:a
842:n
817:)
812:Z
808:n
804:/
799:Z
795:(
769:)
765:Q
760:/
756:)
751:n
743:(
739:Q
735:(
715:.
712:Q
703:)
700:n
695:Q
689:.
686:Q
681:)
679:x
671:x
662:)
659:n
654:Q
647:n
644:ζ
638:x
628:.
622:φ
618:)
616:n
614:(
612:φ
607:n
600:)
597:n
592:Q
582:.
578:n
574:k
567:n
563:k
553:n
547:ζ
543:n
538:C
531:n
528:ζ
517:.
514:Q
507:n
504:ζ
480:)
475:k
468:n
455:x
452:(
441:n
435:k
429:1
424:1
421:=
418:)
415:n
412:,
409:k
406:(
392:=
388:)
382:n
378:/
374:k
371:i
365:2
361:e
354:x
350:(
338:n
332:k
326:1
321:1
318:=
315:)
312:n
309:,
306:k
303:(
289:=
286:)
283:x
280:(
275:n
253:n
238:n
235:ζ
230:Q
225:)
222:n
217:Q
209:n
205:n
197:C
193:e
188:n
185:ζ
179:n
146:n
118:Q
83:)
77:(
72:)
68:(
54:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.