4176:
3534:
4171:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}
386:
2642:
2337:
10845:
7317:
with the lexicographic order and by choosing for each factor in the product the term with non-zero coefficient which has maximum exponent according to this ordering: the product of these terms has non-zero coefficient in the expansion and does not get simplified by any other term. This proves Lemma
2244:
9910:
923:
and linear independence is only assured over the rational integers, a result sometimes referred to as
Hermite's theorem. Although that appears to be a special case of the above theorem, the general result can be reduced to this simpler case. Lindemann was the first to allow algebraic numbers into
7926:
4962:
9154:
6176:
2637:{\displaystyle {\begin{aligned}&n_{0}=0,&&\\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{aligned}}}
1539:
10620:
6904:
2879:
8966:
3229:
10049:
5964:
7720:
1765:
5368:
2033:
9711:
8223:
7727:
11311:
10186:
8365:
4605:
4510:
6724:
3539:
4749:
5628:
743:
5151:
8977:
9700:
7449:
6597:
7092:
6412:
6027:
2719:
5470:
3044:
2938:
3468:
11055:
9277:
7236:
7306:
6977:
10551:
8728:
10625:
5816:
2342:
10840:{\displaystyle {\begin{aligned}\beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots +q_{m,k}\alpha (i_{k}),&&q_{m,j}={\frac {c_{m,j}}{d_{m,j}}};\qquad c_{m,j},d_{m,j}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}
7156:
8430:
10487:
10373:
9603:
9207:
8797:
6269:
11456:
8088:
11376:
9392:
4707:
4286:
7994:
6751:
4643:
9448:
9333:
11101:
4229:
2738:
10239:
9553:
8508:
5040:
3523:
10889:
7010:
5533:
5232:
10987:
7454:
We will show that this leads to contradiction and thus prove the theorem. The proof is very similar to that of Lemma B, except that this time the choices are made over the
6491:
2323:
1842:
10612:
10437:
10395:
8819:
1564:
1266:
1178:
840:
774:
665:
629:
8827:
5398:
3330:
10297:
8459:
6632:
5670:
11150:
10268:
1362:
924:
Hermite's work in 1882. Shortly afterwards
Weierstrass obtained the full result, and further simplifications have been made by several mathematicians, most notably by
6019:
5001:
1975:
10949:
4320:
3059:
1801:
10323:
9921:
9503:
6450:
5732:
4346:
2282:
11177:
10916:
6206:
5697:
5497:
5181:
4737:
4378:
4181:
In the last line we assumed that the conclusion of the Lemma is false. In order to complete the proof we need to reach a contradiction. We will do so by estimating
3361:
3292:
3261:
9477:
5827:
4404:
10574:
11396:
11121:
10415:
7311:
So we are in the situation of Lemma A. To reach a contradiction it suffices to see that at least one of the coefficients is non-zero. This is seen by equipping
7582:
1654:
2239:{\displaystyle c(1)\left(e^{\gamma (1)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (1)_{m(1)}}\right)+\cdots +c(r)\left(e^{\gamma (r)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (r)_{m(r)}}\right)=0}
9905:{\displaystyle Q(x_{11},\ldots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right),}
7921:{\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).}
5247:
8096:
548:
11870:
11794:
11185:
10060:
8239:
12007:
4529:
4412:
6637:
11902:
12048:
4957:{\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).}
8539:) are all integers. Therefore, according to Lemma B, the equality cannot hold, and we are led to a contradiction which completes the proof. ∎
17:
5549:
5238:
9149:{\displaystyle P\left(e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)}\right)=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}e^{i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)},}
677:
5048:
6171:{\displaystyle |J_{i}|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\beta _{k}\alpha _{k}\right|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}\left(\left|\alpha _{k}\right|\right)}
11471:
9611:
7360:
6505:
8233:, for which the corresponding factor vanishes according to our assumption above. Thus, the evaluated polynomial is a sum of the form
7015:
6323:
5472:
appearing in the expansion and using the fact that these algebraic numbers are a complete set of conjugates). So the same is true of
2653:
541:
5403:
2950:
2891:
11649:
3377:
3367:
complex (in this case the integral has to be intended as a contour integral, for example along the straight segment from 0 to
12095:
12060:
11990:
11935:
10992:
9212:
7168:
7241:
6912:
11715:
10492:
7308:
form a complete set of conjugates and, if two terms have conjugate exponents, they are multiplied by the same coefficient.
8661:
8370:
where we already grouped the terms with the same exponent. So in the left-hand side we have distinct values β(1), ..., β(
5740:
5630:
is rational (again by the fundamental theorem of symmetric polynomials) and is a non-zero algebraic integer divisible by
12173:
12158:
7097:
534:
366:
8377:
1856:. Notice that Lemma B itself is already sufficient to deduce the original statement of Lindemann–Weierstrass theorem.
256:
10442:
10328:
9558:
9162:
8752:
6211:
347:
11398:
is a large enough positive integer, we get a non-trivial algebraic relation with rational coefficients connecting
12178:
11401:
8020:
11319:
8004:
is a polynomial with integer coefficients in elementary symmetric polynomials of the above variables, for every
92:
9338:
6899:{\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})}
4652:
4237:
318:
11486:
11466:
A variant of
Lindemann–Weierstrass theorem in which the algebraic numbers are replaced by the transcendental
8527:
By multiplying the equation with an appropriate integer factor, we get an identical equation except that now
7938:
879:
210:
11832:
2874:{\displaystyle f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha _{1})^{p}\cdots (x-\alpha _{n})^{p}}{(x-\alpha _{i})}},}
108:
4613:
564:
476:
139:
9401:
9286:
129:
11060:
4184:
1207:
820:
This equivalence transforms a linear relation over the algebraic numbers into an algebraic relation over
986:
is a linearly independent set over the rationals, and therefore by the first formulation of the theorem
165:
11982:
11972:
10194:
9508:
8464:
467:
160:
5006:
3476:
965:
950:
642:
376:
11500:; if proven, it would imply both the Gelfond–Schneider theorem and the Lindemann–Weierstrass theorem
10853:
9705:
As seen in the previous section, and with the same notation used there, the value of the polynomial
8961:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}
6982:
5502:
5190:
11850:
11687:
Chalebgwa, Prince Taboka; Morris, Sidney A. (2022). "Sin, Cos, Exp, and Log of
Liouville Numbers".
11497:
10954:
6455:
2287:
1806:
887:
522:
12134:
10579:
10420:
10378:
8802:
1547:
1534:{\displaystyle \left\{J(q_{1}),J'(q_{1}),J''(q_{1}),\ldots ,J(q_{n}),J'(q_{n}),J''(q_{n})\right\}}
1249:
1161:
823:
757:
648:
612:
185:
7481:) is algebraic, so it is a root of an irreducible polynomial with integer coefficients of degree
5376:
3297:
854:
180:
10273:
8435:
6608:
5633:
3224:{\displaystyle I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),}
11949:
11126:
10244:
10044:{\displaystyle \left(a(1)_{1},\ldots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\ldots ,e^{\alpha (n)}\right)}
7238:
accordingly and grouping the terms with the same exponent, we see that the resulting exponents
3264:
200:
12115:
12081:
11637:
5988:
4970:
1944:
134:
12163:
11917:
10921:
4299:
2941:
1773:
1017:
960:
572:
10302:
9482:
6420:
5959:{\displaystyle |I_{i}(\alpha _{k})|\leq |\alpha _{k}|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}(|\alpha _{k}|),}
5702:
4325:
2252:
875:
is transcendental (see below). Weierstrass proved the above more general statement in 1885.
12070:
12000:
11155:
10894:
6184:
5675:
5475:
5159:
4715:
4351:
3339:
3270:
3050:
843:
746:
603:
405:
340:
3237:
27:
On algebraic independence of exponentials of linearly independent algebraic numbers over Q
8:
11866:
11846:
11780:
9456:
7715:{\displaystyle x_{11},\dots ,x_{1d(1)},\dots ,x_{n1},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n}}
4383:
1853:
1098:
1079:
847:
426:
300:
235:
225:
195:
11760:
10556:
10191:
where we have grouped the exponentials having the same exponent. Here, as proved above,
8374:), each of which is still algebraic (being a sum of algebraic numbers) and coefficients
1760:{\displaystyle a_{1}e^{\alpha _{1}}+a_{2}e^{\alpha _{2}}+\cdots +a_{n}e^{\alpha _{n}}=0}
12087:
12052:
12027:
11894:
11824:
11745:
11688:
11491:
11381:
11106:
10400:
1299:
883:
442:
431:
190:
7543:
Let S be the functions σ which choose one element from each of the sequences (1, ...,
12131:
12112:
12091:
12056:
12038:
12031:
11986:
11931:
11898:
11828:
11749:
9209:
are algebraic numbers which are linearly independent over the rationals, the numbers
8749:
Baker's formulation of the theorem clearly implies the first formulation. Indeed, if
8547:
5363:{\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})}
4289:
446:
421:
400:
12019:
11945:
11923:
11886:
11816:
11737:
11467:
8218:{\displaystyle Q(a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})}
7339:
6314:
1278:
920:
858:
599:
82:
11954:
Sitzungsberichte der Königlich
Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin
8017:. Each of the latter symmetric polynomials is a rational number when evaluated in
205:
12077:
12066:
12042:
11996:
11976:
11927:
11855:
Sitzungsberichte der Königlich
Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
11776:
11756:
1288:
was conjectured by Daniel
Bertrand in 1997, and remains an open problem. Writing
907:
672:
607:
333:
310:
279:
262:
240:
11306:{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}
10181:{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}
8360:{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,}
6605:
Let us choose a polynomial with integer coefficients which vanishes on all the
4600:{\displaystyle \delta _{i}=\prod _{k\neq i}(\ell \alpha _{i}-\ell \alpha _{k})}
1150:
505:
220:
12023:
4505:{\displaystyle \ell ^{np}(p-1)!\prod _{k\neq i}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{p}.}
12152:
11790:
6719:{\displaystyle \gamma (1),\ldots ,\gamma (n),\gamma (n+1),\ldots ,\gamma (N)}
925:
305:
87:
4645:
the product of its conjugates (which is still non-zero), we would get that
2729:
1133:
1071:
would be algebraic as well, and then by the
Lindemann–Weierstrass theorem
12168:
11711:
5976:
is the polynomial whose coefficients are the absolute values of those of
1282:
929:
500:
230:
215:
170:
144:
36:
5003:
is obtained by dividing a fixed polynomial with integer coefficients by
11890:
11820:
11741:
1938:
12129:
12139:
12120:
11693:
5623:{\displaystyle J_{1}\cdots J_{n}=G(\alpha _{1})\cdots G(\alpha _{n})}
1346:
1047:
is linearly independent over the algebraic numbers and in particular
436:
175:
6279:, which contradicts the previous inequality. This proves Lemma A. ∎
738:{\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}})}
385:
8578:≠ 0, which is a contradiction. Lemma A also suffices to prove that
5146:{\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},}
12110:
1887:
9695:{\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}
9453:
Now assume that the first formulation of the theorem holds. For
7444:{\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}
6592:{\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0,}
10241:
are rational numbers, not all equal to zero, and each exponent
8737:
is transcendental, since otherwise we would have 1 +
7931:
Since the product is over all the possible choice functions σ,
7087:{\displaystyle x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}}
6407:{\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0}
2714:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.}
284:
5373:
is a fixed polynomial with rational coefficients evaluated in
1023:
Alternatively, by the second formulation of the theorem, if
11916:
Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014). "Baker's
Theorem".
11677:
The rest of the proof of the Lemma is analog to that proof.
5183:
is a polynomial (with integer coefficients) independent of
11950:"Zu Lindemann's Abhandlung. "Über die Ludolph'sche Zahl"."
8461:
is maximal in the lexicographic order, the coefficient of
5539:
is a polynomial with rational coefficients independent of
5465:{\displaystyle \alpha _{n_{t-1}+1},\dots ,\alpha _{n_{t}}}
3039:{\displaystyle I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.}
8971:
is a polynomial with rational coefficients, then we have
8799:
are algebraic numbers that are linearly independent over
2933:{\displaystyle \ell \alpha _{1},\ldots ,\ell \alpha _{n}}
1086:
is not algebraic, which means that it is transcendental.
1060:
is transcendental, we prove that it is not algebraic. If
3463:{\displaystyle -e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)}
11648:
Up to a factor, this is the same integral appearing in
11179:
with integer coefficients. By multiplying the relation
11050:{\displaystyle v_{j}={\tfrac {1}{d_{j}}}\alpha (i_{j})}
9272:{\displaystyle i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)}
7489:). Let us denote the distinct roots of this polynomial
7354:) distinct algebraic numbers. Then let us assume that:
7231:{\displaystyle P(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}
6979:
by assumption. Since the product is symmetric, for any
1031:
is a set of distinct algebraic numbers, and so the set
994:
is an algebraically independent set; or in other words
954:
45:
11010:
9479:
Baker's formulation is trivial, so let us assume that
7301:{\displaystyle h_{1}\gamma (1)+\dots +h_{N}\gamma (N)}
6972:{\displaystyle (e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}
6602:
we will derive a contradiction, thus proving Lemma B.
1612:
Lindemann–Weierstrass
Theorem (Baker's reformulation).
1246:-adic numbers that are algebraically independent over
1082:) would be transcendental, a contradiction. Therefore
867:
is transcendental for every non-zero algebraic number
806:
are distinct algebraic numbers, then the exponentials
11404:
11384:
11322:
11188:
11158:
11129:
11109:
11063:
10995:
10957:
10924:
10897:
10856:
10623:
10582:
10559:
10546:{\displaystyle \alpha (i_{1}),\ldots ,\alpha (i_{k})}
10495:
10445:
10423:
10403:
10381:
10331:
10305:
10276:
10247:
10197:
10063:
9924:
9714:
9614:
9561:
9511:
9485:
9459:
9404:
9341:
9289:
9215:
9165:
8980:
8830:
8805:
8755:
8664:
8467:
8438:
8380:
8242:
8099:
8023:
7941:
7730:
7585:
7363:
7244:
7171:
7100:
7018:
6985:
6915:
6754:
6640:
6611:
6508:
6458:
6423:
6326:
6214:
6187:
6030:
5991:
5830:
5743:
5705:
5678:
5636:
5552:
5505:
5478:
5406:
5379:
5250:
5193:
5162:
5051:
5009:
4973:
4752:
4718:
4655:
4616:
4532:
4415:
4386:
4354:
4328:
4302:
4240:
4187:
3537:
3479:
3380:
3342:
3300:
3273:
3240:
3062:
2953:
2894:
2741:
2656:
2340:
2290:
2255:
2036:
1947:
1809:
1776:
1657:
1550:
1365:
1252:
1164:
1089:
A slight variant on the same proof will show that if
826:
816:
are linearly independent over the algebraic numbers.
760:
680:
651:
615:
9335:. So from Baker's formulation of the theorem we get
8744:
8723:{\displaystyle a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.}
8570:
are non-zero integers, but by Lemma A we would have
4610:(which is a non-zero algebraic integer) and calling
571:
is a result that is very useful in establishing the
8524:'s (with possible repetitions), which is non-zero.
5811:{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\geq (p-1)!^{n}.}
886:, and all of these would be further generalized by
11765:Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris
11450:
11390:
11370:
11305:
11171:
11144:
11115:
11095:
11049:
10981:
10943:
10910:
10883:
10839:
10606:
10568:
10545:
10481:
10431:
10409:
10389:
10367:
10317:
10291:
10262:
10233:
10180:
10043:
9904:
9694:
9597:
9547:
9497:
9471:
9442:
9386:
9327:
9271:
9201:
9148:
8960:
8813:
8791:
8722:
8502:
8453:
8424:
8359:
8217:
8082:
7988:
7920:
7714:
7443:
7300:
7230:
7150:
7086:
7004:
6971:
6898:
6718:
6626:
6591:
6485:
6444:
6406:
6263:
6200:
6170:
6013:
5958:
5810:
5726:
5691:
5664:
5622:
5527:
5491:
5464:
5392:
5362:
5226:
5175:
5145:
5034:
4995:
4956:
4731:
4701:
4637:
4599:
4504:
4398:
4372:
4340:
4314:
4280:
4223:
4170:
3517:
3462:
3355:
3324:
3286:
3255:
3223:
3038:
2932:
2873:
2713:
2636:
2317:
2276:
2238:
1969:
1836:
1795:
1759:
1558:
1533:
1260:
1172:
1158:which are algebraic and linearly independent over
834:
768:
737:
659:
623:
11981:, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.),
11534:
11532:
9279:are algebraic and they are distinct for distinct
7151:{\displaystyle x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}}
1053:cannot be algebraic and so it is transcendental.
1010:is transcendental. (A more elementary proof that
12150:
11515:
11513:
11458:, against the first formulation of the theorem.
8425:{\displaystyle b(1),\dots ,b(N)\in \mathbb {Q} }
1605:
1016:is transcendental is outlined in the article on
11686:
8635:Similarly, Lemma B is sufficient to prove that
11529:
8639:is transcendental, since Lemma B says that if
8542:Note that Lemma A is sufficient to prove that
8225:vanishes because one of the choices is just σ(
7158:have the same coefficient in the expansion of
5985:(this follows directly from the definition of
4739:is a non-zero algebraic integer divisible by (
12010:(1997), "Theta functions and transcendence",
11510:
10482:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
10368:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
9598:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
9202:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
8792:{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
8655:are integers not all of which are zero, then
6264:{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\leq C^{p}}
5400:(this is seen by grouping the same powers of
1345:be non-zero algebraic numbers in the complex
783:, Chapter 1, Theorem 1.4), is the following:
542:
341:
12047:, Dover Books on Mathematics, translated by
11103:are algebraic numbers, they form a basis of
8582:is irrational, since otherwise we may write
6734: + 1) = ... =
5239:fundamental theorem of symmetric polynomials
11944:
11538:
11494:; an extension of Gelfond–Schneider theorem
11451:{\displaystyle e^{v_{1}},\cdots ,e^{v_{k}}}
8083:{\displaystyle a(i)_{1},\dots ,a(i)_{d(i)}}
7579:). We form the polynomial in the variables
4523:is large enough because otherwise, putting
935:
910:first proved the simpler theorem where the
898:The theorem is also known variously as the
11865:
11845:
11638:french Proof's Lindemann-Weierstrass (pdf)
11523:
11519:
11371:{\displaystyle e^{N(v_{1}+\cdots +v_{k})}}
549:
535:
348:
334:
11915:
11692:
11551:
10826:
10425:
10383:
9387:{\displaystyle b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}=0}
8807:
8418:
4631:
3026:
1552:
1277:An analogue of the theorem involving the
1254:
1166:
828:
762:
682:
653:
617:
12076:
12006:
11622:
10918:be the least common multiple of all the
4702:{\displaystyle \ell ^{p}(p-1)!d_{i}^{p}}
4281:{\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})}
975:are direct corollaries of this theorem.
850:of one another gives a rational number.
12037:
11789:
11775:
11755:
11598:
11586:
11575:
11563:
10299:with integer coefficients. Then, since
7989:{\displaystyle x_{i1},\dots ,x_{id(i)}}
5699:'s are algebraic integers divisible by
1226:), . . . , exp
1121:-adic Lindemann–Weierstrass Conjecture.
14:
12151:
11710:
11610:
9605:distinct algebraic numbers such that:
7326:We turn now to prove the theorem: Let
2732:and define the following polynomials:
1101:counterparts are also transcendental.
12130:
12111:
11971:
5187:. The same holds for the derivatives
4638:{\displaystyle d_{i}\in \mathbb {Z} }
1859:
1648:are distinct algebraic numbers, then
1272:
1027:is a non-zero algebraic number, then
982:is a non-zero algebraic number; then
904:Hermite–Lindemann–Weierstrass theorem
780:
575:of numbers. It states the following:
12044:Transcendental and Algebraic Numbers
9443:{\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}
9328:{\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}
8733:Lemma B also suffices to prove that
7559:)), so that for every 1 ≤
1852:The proof relies on two preliminary
1104:
1093:is a non-zero algebraic number then
893:
11795:"Ueber die Transcendenz der Zahlen
11096:{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}
9801:
9555:be non-zero algebraic numbers, and
7817:
4224:{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|}
2386:
24:
11965:
6181:and so by the construction of the
1000:is transcendental. In particular,
25:
12190:
12104:
11461:
10234:{\displaystyle b(1),\ldots ,b(M)}
9548:{\displaystyle a(1),\ldots ,a(n)}
8745:Equivalence of the two statements
8503:{\displaystyle e^{|S|\alpha (i)}}
1544:are algebraically dependent over
11761:"Sur la fonction exponentielle."
2888:is a non-zero integer such that
1601:are multiplicatively dependent.
861:. Lindemann proved in 1882 that
384:
12135:"Lindemann-Weierstrass Theorem"
11680:
11642:
11628:
11152:is a linear combination of the
10786:
10489:is not trivial and we can pick
8550:, since otherwise we may write
6726:be all its distinct roots. Let
5035:{\displaystyle (x-\alpha _{i})}
3518:{\displaystyle e^{s-x}f_{i}(x)}
1566:. Then there exist two indices
1317:the conjecture is as follows.
12086:, vol. I (2nd ed.),
11782:Sur la fonction exponentielle.
11616:
11604:
11592:
11580:
11569:
11557:
11544:
11363:
11331:
11289:
11283:
11272:
11266:
11249:
11243:
11232:
11226:
11215:
11209:
11198:
11192:
11139:
11133:
11044:
11031:
10884:{\displaystyle j=1,\ldots ,k,}
10719:
10706:
10675:
10662:
10637:
10631:
10540:
10527:
10512:
10499:
10476:
10470:
10455:
10449:
10362:
10356:
10341:
10335:
10286:
10280:
10257:
10251:
10228:
10222:
10207:
10201:
10164:
10158:
10147:
10141:
10124:
10118:
10107:
10101:
10090:
10084:
10073:
10067:
10054:has an expression of the form
10031:
10025:
10003:
9997:
9981:
9975:
9968:
9961:
9940:
9933:
9879:
9873:
9838:
9832:
9794:
9757:
9751:
9718:
9681:
9675:
9664:
9658:
9641:
9635:
9624:
9618:
9592:
9586:
9571:
9565:
9542:
9536:
9521:
9515:
9437:
9405:
9322:
9290:
9266:
9260:
9235:
9229:
9196:
9190:
9175:
9169:
9138:
9132:
9107:
9101:
9031:
9025:
9003:
8997:
8866:
8834:
8786:
8780:
8765:
8759:
8495:
8489:
8482:
8474:
8448:
8442:
8411:
8405:
8390:
8384:
8343:
8337:
8326:
8320:
8303:
8297:
8286:
8280:
8269:
8263:
8252:
8246:
8212:
8207:
8201:
8179:
8173:
8157:
8151:
8144:
8137:
8116:
8109:
8103:
8075:
8069:
8062:
8055:
8034:
8027:
7981:
7975:
7895:
7889:
7854:
7848:
7810:
7773:
7767:
7734:
7675:
7669:
7622:
7616:
7571:) is an integer between 1 and
7430:
7424:
7413:
7407:
7390:
7384:
7373:
7367:
7295:
7289:
7264:
7258:
7225:
7220:
7214:
7192:
7186:
7175:
7067:
7061:
7033:
7027:
7005:{\displaystyle \tau \in S_{N}}
6966:
6961:
6955:
6933:
6927:
6916:
6893:
6888:
6882:
6871:
6865:
6848:
6842:
6831:
6825:
6819:
6790:
6758:
6713:
6707:
6692:
6680:
6671:
6665:
6650:
6644:
6621:
6615:
6575:
6569:
6558:
6552:
6535:
6529:
6518:
6512:
6433:
6427:
6417:has only the trivial solution
6393:
6387:
6376:
6370:
6353:
6347:
6336:
6330:
6244:
6216:
6126:
6111:
6047:
6032:
6008:
6002:
5950:
5946:
5931:
5927:
5911:
5896:
5886:
5871:
5863:
5859:
5846:
5832:
5792:
5780:
5773:
5745:
5718:
5706:
5649:
5637:
5617:
5604:
5595:
5582:
5528:{\displaystyle G(\alpha _{i})}
5522:
5509:
5357:
5337:
5332:
5326:
5304:
5272:
5267:
5261:
5227:{\displaystyle f_{i}^{(j)}(x)}
5221:
5215:
5210:
5204:
5127:
5114:
5068:
5062:
5029:
5010:
4990:
4984:
4943:
4923:
4918:
4912:
4890:
4858:
4853:
4847:
4829:
4823:
4678:
4666:
4594:
4562:
4490:
4463:
4441:
4429:
4275:
4262:
4257:
4251:
4217:
4189:
4161:
4148:
4143:
4137:
4050:
4037:
4032:
4026:
3886:
3880:
3875:
3869:
3806:
3793:
3788:
3782:
3736:
3730:
3725:
3719:
3613:
3600:
3512:
3506:
3457:
3451:
3446:
3440:
3317:
3311:
3215:
3209:
3204:
3198:
3152:
3146:
3141:
3135:
3079:
3073:
3023:
3017:
2970:
2964:
2862:
2843:
2832:
2812:
2800:
2780:
2758:
2752:
2624:
2618:
2575:
2569:
2518:
2511:
2415:
2409:
2331:To simplify the notation set:
2265:
2259:
2249:has only the trivial solution
2218:
2212:
2205:
2198:
2170:
2163:
2147:
2141:
2117:
2111:
2104:
2097:
2069:
2062:
2046:
2040:
1964:
1958:
1770:has only the trivial solution
1523:
1510:
1496:
1483:
1469:
1456:
1441:
1428:
1414:
1401:
1387:
1374:
732:
686:
13:
1:
11851:"Über die Ludolph'sche Zahl."
11704:
10982:{\displaystyle m=1,\ldots ,M}
7321:
6486:{\displaystyle i=1,\dots ,n.}
2318:{\displaystyle i=1,\dots ,r.}
1837:{\displaystyle i=1,\dots ,n.}
1606:Lindemann–Weierstrass theorem
919:exponents are required to be
580:Lindemann–Weierstrass theorem
569:Lindemann–Weierstrass theorem
485:Lindemann–Weierstrass theorem
11978:Transcendental number theory
11928:10.1007/978-1-4939-0832-5_19
10607:{\displaystyle m=1,\dots ,M}
10432:{\displaystyle \mathbb {C} }
10390:{\displaystyle \mathbb {Q} }
8814:{\displaystyle \mathbb {Q} }
8432:. The sum is nontrivial: if
3528:Consider the following sum:
1559:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1261:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1173:{\displaystyle \mathbb {Q} }
878:The theorem, along with the
835:{\displaystyle \mathbb {Q} }
769:{\displaystyle \mathbb {Q} }
660:{\displaystyle \mathbb {Q} }
624:{\displaystyle \mathbb {Q} }
565:transcendental number theory
7:
12116:"Hermite-Lindemann Theorem"
11480:
10375:are pairwise distinct, the
10270:is a linear combination of
5393:{\displaystyle \alpha _{i}}
3325:{\displaystyle f_{i}^{(j)}}
2647:Then the statement becomes
1937:be the roots of a non-zero
1635:are algebraic numbers, and
779:An equivalent formulation (
10:
12195:
11983:Cambridge University Press
11654:is a transcendental number
10292:{\displaystyle \alpha (i)}
8454:{\displaystyle \alpha (i)}
6627:{\displaystyle \gamma (k)}
5665:{\displaystyle (p-1)!^{n}}
4406:, in which case it equals
1941:with integer coefficients
948:
871:thereby establishing that
12174:Theorems in number theory
12159:E (mathematical constant)
11785:, Paris: Gauthier-Villars
11487:Gelfond–Schneider theorem
11145:{\displaystyle \beta (m)}
10263:{\displaystyle \beta (m)}
8093:The evaluated polynomial
6271:for a sufficiently large
5821:However one clearly has:
4515:This is not divisible by
951:e (mathematical constant)
900:Hermite–Lindemann theorem
880:Gelfond–Schneider theorem
853:The theorem is named for
842:by using the fact that a
788:An equivalent formulation
643:algebraically independent
140:Madhava's correction term
18:Hermite–Lindemann theorem
11504:
8632:≠ 0; but this is false.
8602:are integers) and then ±
6014:{\displaystyle I_{i}(s)}
4996:{\displaystyle f_{i}(x)}
1970:{\displaystyle T_{k}(x)}
1847:
846:whose arguments are all
319:Other topics related to
12024:10.1023/A:1009749608672
10944:{\displaystyle d_{m,j}}
8620:= 0; thus 2 − 1 − 1 = 2
8008:, and in the variables
4315:{\displaystyle j\geq p}
4231:in two different ways.
1796:{\displaystyle a_{i}=0}
1095:sin(α), cos(α), tan(α)
1041:} = {1,
855:Ferdinand von Lindemann
12179:Transcendental numbers
11919:Transcendental Numbers
11452:
11392:
11372:
11307:
11173:
11146:
11117:
11097:
11051:
10983:
10945:
10912:
10885:
10841:
10608:
10570:
10547:
10483:
10433:
10411:
10391:
10369:
10319:
10318:{\displaystyle n>1}
10293:
10264:
10235:
10182:
10045:
9906:
9696:
9599:
9549:
9499:
9498:{\displaystyle n>1}
9473:
9444:
9388:
9329:
9273:
9203:
9150:
8962:
8815:
8793:
8724:
8504:
8455:
8426:
8361:
8219:
8084:
7990:
7922:
7716:
7445:
7302:
7232:
7152:
7088:
7006:
6973:
6900:
6720:
6628:
6593:
6487:
6446:
6445:{\displaystyle b(i)=0}
6408:
6265:
6202:
6172:
6074:
6015:
5960:
5812:
5728:
5727:{\displaystyle (p-1)!}
5693:
5666:
5624:
5529:
5493:
5466:
5394:
5364:
5228:
5177:
5147:
5103:
5036:
4997:
4958:
4819:
4798:
4743: − 1)!. Now
4733:
4703:
4639:
4601:
4506:
4400:
4374:
4342:
4341:{\displaystyle j<p}
4316:
4292:which is divisible by
4282:
4225:
4172:
4116:
4086:
4005:
3975:
3919:
3858:
3771:
3708:
3646:
3579:
3519:
3464:
3429:
3363:. This also holds for
3357:
3326:
3288:
3257:
3225:
3187:
3124:
3040:
2934:
2875:
2715:
2677:
2638:
2319:
2278:
2277:{\displaystyle c(i)=0}
2240:
1971:
1838:
1797:
1761:
1560:
1535:
1298:for the square of the
1262:
1174:
1018:transcendental numbers
836:
770:
739:
661:
625:
374:mathematical constant
44:mathematical constant
12012:The Ramanujan Journal
11879:Mathematische Annalen
11809:Mathematische Annalen
11730:Mathematische Annalen
11552:Murty & Rath 2014
11541:, pp. 1067–1086,
11498:Schanuel's conjecture
11453:
11393:
11373:
11308:
11174:
11172:{\displaystyle v_{j}}
11147:
11118:
11098:
11052:
10984:
10946:
10913:
10911:{\displaystyle d_{j}}
10886:
10842:
10609:
10571:
10548:
10484:
10434:
10412:
10392:
10370:
10320:
10294:
10265:
10236:
10183:
10046:
9907:
9697:
9600:
9550:
9500:
9474:
9445:
9389:
9330:
9274:
9204:
9151:
8963:
8816:
8794:
8725:
8510:is just a product of
8505:
8456:
8427:
8362:
8220:
8085:
7991:
7923:
7717:
7446:
7303:
7233:
7153:
7089:
7007:
6974:
6901:
6721:
6629:
6594:
6488:
6447:
6409:
6266:
6203:
6201:{\displaystyle f_{i}}
6173:
6054:
6016:
5961:
5813:
5729:
5694:
5692:{\displaystyle J_{i}}
5667:
5625:
5530:
5494:
5492:{\displaystyle J_{i}}
5467:
5395:
5365:
5229:
5178:
5176:{\displaystyle g_{m}}
5148:
5074:
5037:
4998:
4959:
4799:
4769:
4734:
4732:{\displaystyle J_{i}}
4704:
4640:
4602:
4507:
4401:
4375:
4373:{\displaystyle j=p-1}
4343:
4317:
4283:
4226:
4173:
4087:
4066:
3976:
3955:
3899:
3829:
3742:
3679:
3626:
3559:
3520:
3465:
3400:
3358:
3356:{\displaystyle f_{i}}
3327:
3289:
3287:{\displaystyle f_{i}}
3258:
3226:
3158:
3095:
3041:
2935:
2876:
2716:
2657:
2639:
2320:
2279:
2241:
1972:
1839:
1798:
1762:
1561:
1536:
1263:
1175:
888:Schanuel's conjecture
837:
771:
740:
662:
626:
523:Schanuel's conjecture
93:Use in other formulae
11470:(or in general, the
11402:
11382:
11320:
11186:
11156:
11127:
11107:
11061:
10993:
10955:
10922:
10895:
10854:
10621:
10580:
10557:
10553:to form a basis for
10493:
10443:
10421:
10401:
10379:
10329:
10303:
10274:
10245:
10195:
10061:
9922:
9712:
9612:
9559:
9509:
9483:
9457:
9402:
9339:
9287:
9213:
9163:
8978:
8828:
8803:
8753:
8662:
8465:
8436:
8378:
8240:
8097:
8021:
7939:
7728:
7583:
7551:(2)), ..., (1, ...,
7361:
7242:
7169:
7098:
7016:
6983:
6913:
6752:
6638:
6609:
6506:
6456:
6421:
6324:
6212:
6185:
6028:
5989:
5828:
5741:
5703:
5676:
5634:
5550:
5503:
5476:
5404:
5377:
5248:
5191:
5160:
5049:
5042:, it is of the form
5007:
4971:
4750:
4716:
4653:
4614:
4530:
4413:
4384:
4352:
4326:
4300:
4238:
4185:
3535:
3477:
3378:
3340:
3298:
3271:
3256:{\displaystyle np-1}
3238:
3060:
3051:integration by parts
2951:
2892:
2739:
2654:
2338:
2288:
2253:
2034:
1945:
1807:
1774:
1655:
1548:
1363:
1250:
1162:
844:symmetric polynomial
824:
758:
747:transcendence degree
678:
671:In other words, the
649:
613:
604:linearly independent
406:Exponential function
367:a series of articles
37:a series of articles
11922:. pp. 95–100.
11625:, pp. 339–350.
11613:, pp. 222–224.
11601:, pp. 216–219.
9472:{\displaystyle n=1}
8957:
8932:
7147:
7122:
7083:
7049:
6301:) are integers and
6287: —
5336:
5271:
5214:
4922:
4857:
4698:
4399:{\displaystyle k=i}
4261:
4147:
4036:
3879:
3792:
3729:
3450:
3321:
3208:
3145:
2990:
2405:
1869: —
1615: —
1325: —
1124: —
791: —
583: —
477:representations of
301:Squaring the circle
236:Chudnovsky brothers
226:Srinivasa Ramanujan
12132:Weisstein, Eric W.
12113:Weisstein, Eric W.
12088:Dover Publications
12053:Dover Publications
11891:10.1007/bf01446522
11821:10.1007/bf01443645
11742:10.1007/bf01443647
11716:"Transcendenz von
11448:
11388:
11368:
11303:
11169:
11142:
11113:
11093:
11047:
11026:
10979:
10941:
10908:
10881:
10837:
10835:
10604:
10569:{\displaystyle V.}
10566:
10543:
10479:
10429:
10407:
10387:
10365:
10315:
10289:
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10231:
10178:
10041:
9902:
9692:
9595:
9545:
9495:
9469:
9440:
9384:
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9269:
9199:
9146:
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8789:
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7019:
7002:
6969:
6896:
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6716:
6624:
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6261:
6198:
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6011:
5956:
5808:
5724:
5689:
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5462:
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5360:
5316:
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5173:
5143:
5032:
4993:
4954:
4902:
4837:
4729:
4709:, which is false.
4699:
4684:
4635:
4597:
4561:
4502:
4462:
4396:
4370:
4338:
4312:
4278:
4241:
4221:
4168:
4166:
4127:
4016:
3859:
3772:
3709:
3515:
3473:is a primitive of
3460:
3430:
3353:
3336:-th derivative of
3322:
3301:
3284:
3253:
3221:
3188:
3125:
3036:
2976:
2942:algebraic integers
2930:
2871:
2711:
2634:
2632:
2385:
2315:
2274:
2236:
1967:
1867:
1860:Preliminary lemmas
1834:
1793:
1757:
1613:
1556:
1531:
1323:
1322:Modular conjecture
1273:Modular conjecture
1258:
1213:-adic exponentials
1194: < 1/
1170:
1142:, ..., α
1122:
832:
799:, ..., α
789:
766:
735:
657:
621:
591:, ..., α
581:
191:Ludolph van Ceulen
12097:978-0-486-47189-1
12062:978-0-486-49526-2
11992:978-0-521-39791-9
11937:978-1-4939-0831-8
11566:, pp. 18–24.
11477:) is also known.
11468:Liouville numbers
11391:{\displaystyle N}
11116:{\displaystyle V}
11025:
10781:
10410:{\displaystyle V}
10397:-vector subspace
8609:are the roots of
7340:algebraic numbers
6796:
6742:) = 0.
6497:Proof of Lemma B:
6315:algebraic numbers
6283:
5499:, i.e. it equals
4546:
4447:
4322:and vanishes for
4290:algebraic integer
2866:
2553:
2329:Proof of Lemma A.
1865:
1611:
1321:
1115:
936:Transcendence of
921:rational integers
894:Naming convention
882:, is extended by
811:, ...,
787:
636:, ...,
600:algebraic numbers
579:
559:
558:
422:compound interest
401:Natural logarithm
358:
357:
16:(Redirected from
12186:
12145:
12144:
12126:
12125:
12100:
12078:Jacobson, Nathan
12073:
12034:
12003:
11961:
11941:
11912:
11911:
11910:
11901:, archived from
11874:
11862:
11842:
11841:
11840:
11831:, archived from
11815:(2–3): 216–219,
11804:
11800:
11786:
11772:
11752:
11736:(2–3): 222–224,
11725:
11721:
11699:
11698:
11696:
11684:
11678:
11676:
11653:
11646:
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