36:
2076:
1680:
3210:
2071:{\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}
4610:
1518:
861:
604:
2863:
4423:
985:
4888:
5366:
1362:
4339:
1285:
Let Ω be a bounded subset of some
Euclidean space (or more generally, any totally bounded metric space) and let 0 < α < β ≤ 1 two Hölder exponents. Then, there is an obvious inclusion map of the corresponding Hölder spaces:
1675:
4083:
5056:
3458:
2592:
718:
4226:
452:
3952:
1357:
5269:
3205:{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq |f(x_{0})-f(x_{1})|+|f(x_{1})-f(x_{2})|+\ldots +|f(x_{n-1})-f(x_{n})|\leq \sum _{i=1}^{n}C\left({\frac {|x-y|}{n}}\right)^{\alpha }=C|x-y|^{\alpha }n^{1-\alpha }\to 0}
3705:
3645:
2198:
1223:
1164:
1117:
713:
2145:
220:
5147:
3574:
1069:
2858:
870:
4792:
4654:
3839:
3757:
1274:
1028:
5650:
5093:
2797:
2485:
4404:
4242:
3496:
2396:
5186:
3262:
3236:
1581:
3963:
2308:
5603:
2634:
5533:
3306:
5574:
4605:{\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}
5489:
5460:
5277:
3804:
3777:
3522:
2659:
2367:
359:
258:
2714:
2451:
5427:
5398:
4949:
3365:
5206:
2679:
2416:
2347:
2746:
4105:
3847:
3844:
Functions which are locally integrable and whose integrals satisfy an appropriate growth condition are also Hölder continuous. For example, if we let
1513:{\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}
1289:
2490:
4102:
decay at a fixed rate with respect to distance are Hölder continuous with an exponent that is determined by the rate of decay. For instance, if
65:
3583:
4762:
143:
5793:
856:{\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}
4933:
599:{\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|x-y\right\|^{\alpha }}},}
446:
5214:
3656:
2154:
1179:
1122:
1074:
669:
17:
2101:
5102:
5801:
5773:
5750:
87:
58:
3527:
1033:
2802:
4615:
3809:
3727:
1233:
992:
5614:
5063:
4371:
399:
5835:
4714:, not linear subspaces, connected by 1/2–Hölder continuous arcs. An example is the additive subgroup
2751:
2456:
330:
4377:
48:
3707:
and for no larger one. In the former case, the inequality of the definition holds with the constant
980:{\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}
5845:
4883:{\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}
3463:
2372:
52:
44:
5152:
3724:
onto the square can be constructed to be 1/2–Hölder continuous. It can be proved that when
3241:
3215:
1537:
5840:
2281:
304:
We have the following chain of inclusions for functions defined on a closed and bounded interval
5579:
5361:{\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}
2597:
5494:
3267:
69:
5538:
5465:
5436:
3789:
3762:
3501:
2352:
344:
243:
2693:
2430:
5819:
4374:
if the spatial dimension is less than the exponent of the
Sobolev space. To be precise, if
3359:
3352:
2208:
864:
365:
336:
294:
5403:
5374:
394:
Hölder spaces consisting of functions satisfying a Hölder condition are basic in areas of
8:
4334:{\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}
395:
371:
283:
3779:-Hölder continuous function from the unit interval to the square cannot fill the square.
2639:
5719:
See, for example, Han and Lin, Chapter 3, Section 1. This result was originally due to
5702:
5191:
2664:
2401:
2332:
2719:
5807:
5797:
5769:
5746:
5738:
1670:{\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}
272:
4078:{\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}
1558:. Thanks to the Ascoli-Arzelà theorem we can assume without loss of generality that
5720:
5694:
403:
5816:
3783:
3650:
264:
of the Hölder condition. A function on an interval satisfying the condition with
236:. More generally, the condition can be formulated for functions between any two
115:
5761:
298:
5829:
5051:{\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}
4367:
5811:
3453:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}
2587:{\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|\leq C|x-y|^{\alpha -1}}
1226:
237:
5785:
5662:
3717:
629:
101:
4221:{\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}
5706:
1359:
which is continuous since, by definition of the Hölder norms, we have:
422:
4936:
to the whole space, which is Hölder continuous with the same constant
1522:
Moreover, this inclusion is compact, meaning that bounded sets in the
5698:
4691:
A closed additive subgroup of an infinite dimensional
Hilbert space
3947:{\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}
3351:
otherwise is continuous, and therefore uniformly continuous by the
625:
421:≥ 0 an integer, consists of those functions on Ω having continuous
5685:
Hardy, G. H. (1916). "Weierstrass's Non-Differentiable
Function".
3317:
There are examples of uniformly continuous functions that are not
3355:. It does not satisfy a Hölder condition of any order, however.
1352:{\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}
4708:, is a linear subspace. There are closed additive subgroups of
3309:
2682:
2661:
exists and is zero everywhere. Mean-value theorem now implies
433:-th partial derivatives are Hölder continuous with exponent
5264:{\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}
5766:
Elliptic
Partial Differential Equations of Second Order
5099:–Hölder function has Hausdorff dimension at most
4681:, after possibly being redefined on a set of measure 0.
2245:
serves as a prototypical example of a function that is
666:
are bounded on the closure of Ω, then the Hölder space
5107:
4632:
4370:
can be embedded into the appropriate Hölder space via
4274:
3820:
3738:
3700:{\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}
3667:
3547:
5617:
5582:
5541:
5497:
5468:
5439:
5406:
5377:
5280:
5217:
5194:
5155:
5105:
5066:
4952:
4795:
4618:
4426:
4380:
4245:
4108:
3966:
3850:
3812:
3792:
3765:
3730:
3659:
3586:
3530:
3504:
3466:
3368:
3270:
3244:
3218:
2866:
2805:
2754:
2722:
2696:
2667:
2642:
2600:
2493:
2459:
2433:
2404:
2375:
2355:
2335:
2284:
2157:
2104:
1683:
1584:
1365:
1292:
1280:
1236:
1182:
1125:
1077:
1036:
995:
873:
721:
672:
455:
347:
246:
146:
3640:{\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}
2193:{\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}
1218:{\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}
1159:{\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}
1112:{\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}
708:{\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}
2140:{\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}
1166:in order to stress the dependence on the domain of
989:These seminorms and norms are often denoted simply
5644:
5597:
5568:
5527:
5483:
5454:
5421:
5392:
5360:
5263:
5200:
5180:
5141:
5087:
5050:
4882:
4648:
4604:
4398:
4333:
4220:
4077:
3946:
3833:
3798:
3771:
3751:
3699:
3639:
3568:
3516:
3490:
3452:
3300:
3256:
3230:
3204:
2852:
2791:
2740:
2708:
2673:
2653:
2628:
2594:, so the difference quotient converges to zero as
2586:
2479:
2445:
2410:
2390:
2361:
2341:
2302:
2192:
2139:
2070:
1669:
1512:
1351:
1268:
1217:
1158:
1111:
1063:
1022:
979:
855:
707:
598:
353:
252:
215:{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }}
214:
5737:
5687:Transactions of the American Mathematical Society
628:. If the Hölder coefficient is merely bounded on
624:In this case, the Hölder coefficient serves as a
5827:
5759:
5624:
5142:{\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}
4976:
4183:
4144:
927:
901:
785:
491:
57:but its sources remain unclear because it lacks
27:Type of continuity of a complex-valued function
417:is an open subset of some Euclidean space and
5745:. American Mathematical Society, Providence.
5639:
5627:
5491:conditions respectively, then the functions
4559:
4552:
4506:
4499:
3569:{\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}
2769:
2755:
2369:–Hölder continuous on an interval and
2017:
2003:
1244:
1237:
1064:{\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}
881:
874:
614:(uniformly) Hölder continuous with exponent
203:
190:
2853:{\displaystyle x_{k}=x+{\frac {k}{n}}(y-x)}
5794:Courant Institute of Mathematical Sciences
4649:{\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}
3834:{\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}
3752:{\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}
1536:norm. This is a direct consequence of the
1269:{\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}
1108:
1023:{\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}
5645:{\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}
5088:{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
5075:
4677:is in fact Hölder continuous of exponent
3937:
2473:
88:Learn how and when to remove this message
3325:. For instance, the function defined on
644:locally Hölder continuous with exponent
293:, the condition implies the function is
5790:Elliptic Partial Differential Equations
4905:–Hölder continuous uniform limit
4901:of Lipschitz functions converges to an
447:locally convex topological vector space
14:
5828:
5783:
3653:is Hölder continuous for any exponent
2200:Hölder continuous. This also includes
5684:
4353:and all sufficiently small values of
3786:are almost surely everywhere locally
4765:by means of a sequence of functions
2211:functions on a bounded set are also
104:, a real or complex-valued function
29:
4701:–Hölder continuous arcs with
4091:is Hölder continuous with exponent
2792:{\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}
2480:{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
1529:norm are relatively compact in the
24:
5328:
5300:
5237:
4824:
4751:–Hölder continuous function
4427:
4399:{\displaystyle n<p\leq \infty }
4393:
3400:
3225:
2294:
2179:
2126:
2021:
1571:uniformly, and we can also assume
1502:
1456:
1449:
1446:
1443:
1440:
1431:
1394:
1366:
1340:
1312:
1281:Compact embedding of Hölder spaces
1204:
1151:
1103:
937:
694:
507:
25:
5857:
4946:. The largest such extension is:
3321:–Hölder continuous for any
2147:Hölder continuous functions on a
4584:
4531:
4482:
4451:
662:and its derivatives up to order
389:
282:, then the function satisfies a
126:, when there are real constants
34:
4498:
1403:
297:. The condition is named after
5743:Partial Differential Equations
5713:
5678:
5592:
5586:
5563:
5557:
5551:
5545:
5522:
5516:
5507:
5501:
5478:
5472:
5449:
5443:
5416:
5410:
5387:
5381:
5331:
5325:
5303:
5297:
5240:
5234:
5188:is the Hausdorff dimension of
5175:
5169:
5129:
5123:
5030:
5015:
5005:
4999:
4969:
4963:
4934:uniformly continuous extension
4890:Conversely, any such sequence
4819:
4798:
4594:
4579:
4541:
4526:
4492:
4477:
4461:
4446:
4210:
4197:
4171:
4158:
4137:
4112:
4008:
4002:
3988:
3982:
3934:
3928:
3920:
3914:
3892:
3877:
3628:
3622:
3611:
3605:
3378:
3372:
3295:
3289:
3280:
3274:
3222:
3196:
3170:
3155:
3128:
3114:
3074:
3070:
3057:
3048:
3029:
3022:
3008:
3004:
2991:
2982:
2969:
2962:
2954:
2950:
2937:
2928:
2915:
2908:
2900:
2896:
2890:
2881:
2875:
2868:
2847:
2835:
2735:
2723:
2620:
2616:
2602:
2568:
2553:
2525:
2519:
2510:
2504:
2297:
2285:
2187:
2174:
2134:
2121:
2062:
2056:
1968:
1952:
1921:
1915:
1899:
1893:
1849:
1834:
1827:
1823:
1817:
1801:
1795:
1781:
1756:
1741:
1734:
1730:
1724:
1708:
1702:
1688:
1658:
1485:
1476:
1460:
1453:
1414:
1405:
1397:
1391:
1343:
1337:
1318:
1315:
1309:
1212:
1199:
1134:
1128:
1045:
1039:
966:
960:
914:
906:
798:
790:
764:
758:
730:
724:
702:
689:
581:
567:
560:
556:
550:
541:
535:
528:
400:partial differential equations
180:
176:
170:
161:
155:
148:
13:
1:
5730:
4685:
4406:then there exists a constant
3491:{\displaystyle 0<a<1,b}
2391:{\displaystyle \alpha >1,}
606:is finite, then the function
5181:{\displaystyle \dim _{H}(U)}
3257:{\displaystyle \alpha >1}
3231:{\displaystyle n\to \infty }
2182:
2129:
1207:
697:
449:. If the Hölder coefficient
7:
5656:
2316:Hölder continuous only for
2303:{\displaystyle [0,\infty )}
2080:
331:Continuously differentiable
10:
5862:
5598:{\displaystyle H(\alpha )}
2629:{\displaystyle |x-y|\to 0}
1176:is open and bounded, then
5528:{\displaystyle f(t)+g(t)}
3301:{\displaystyle f(x)=f(y)}
2272:. Further, if we defined
1551:be a bounded sequence in
1229:with respect to the norm
715:can be assigned the norm
5671:
5569:{\displaystyle f(t)g(t)}
3580:-Hölder continuous with
43:This article includes a
5484:{\displaystyle H(\nu )}
5455:{\displaystyle H(\mu )}
4918:–Hölder function
4763:Lipschitz approximation
3799:{\displaystyle \alpha }
3772:{\displaystyle \alpha }
3517:{\displaystyle b\geq 2}
2362:{\displaystyle \alpha }
354:{\displaystyle \alpha }
253:{\displaystyle \alpha }
72:more precise citations.
5768:. New York: Springer.
5646:
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5570:
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5485:
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5429:satisfy on smooth arc
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275:(see proof below). If
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4412:, depending only on
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863:where β ranges over
719:
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636:, then the function
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398:relevant to solving
366:uniformly continuous
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337:Lipschitz continuous
295:uniformly continuous
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144:
5836:Functional analysis
4372:Morrey's inequality
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1993:
406:. The Hölder space
396:functional analysis
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2427:Consider the case
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2207:and therefore all
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425:up through order
404:dynamical systems
230:in the domain of
124:Hölder continuous
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97:
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18:Hölder continuous
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