6329:
136:
6592:
2661:
249:. Unlike finding a zero, where two function evaluations with opposite sign are sufficient to bracket a root, when searching for a minimum, three values are necessary. The golden-section search is an efficient way to progressively reduce the interval locating the minimum. The key is to observe that regardless of how many points have been evaluated, the minimum lies within the interval defined by the two points adjacent to the point with the least value so far evaluated.
20:
229:. These ratios are maintained for each iteration and are maximally efficient. Excepting boundary points, when searching for a minimum, the central point is always less than or equal to the outer points, assuring that a minimum is contained between the outer points. The converse is true when searching for a maximum. The algorithm is the limit of
213:
point. The method operates by successively narrowing the range of values on the specified interval, which makes it relatively slow, but very robust. The technique derives its name from the fact that the algorithm maintains the function values for four points whose three interval widths are in the ratio
212:
with an extremum inside the interval, it will find that extremum, while for an interval containing multiple extrema (possibly including the interval boundaries), it will converge to one of them. If the only extremum on the interval is on a boundary of the interval, it will converge to that boundary
6022:
of values that has a single local minimum or local maximum. In order to approximate the probe positions of golden section search while probing only integer sequence indices, the variant of the algorithm for this case typically maintains a bracketing of the solution in which the length of the
2200:
Because smooth functions are flat (their first derivative is close to zero) near a minimum, attention must be paid not to expect too great an accuracy in locating the minimum. The termination condition provided in the book
6056:
is a similar algorithm for finding a zero of a function. Note that, for bracketing a zero, only two points are needed, rather than three. The interval ratio decreases by 2 in each step, rather than by the golden ratio.
1147:. The golden-section search requires that these intervals be equal. If they are not, a run of "bad luck" could lead to the wider interval being used many times, thus slowing down the rate of convergence. To ensure that
2430:
2116:
2010:
2696:) are then selected, and a third interval and functional value are calculated, and the process is repeated until termination conditions are met. The three interval widths are always in the ratio
1936:
1732:
2586:
1229:
2052:
882:
695:
1419:
1366:
2606:
1771:
1575:
1539:
2860:
1801:
1605:
2453:
2311:
2284:
2257:
2230:
1882:
1855:
1828:
1686:
1659:
1632:
1500:
1473:
1446:
1313:
1286:
1259:
1141:
1114:
1079:
1052:
1017:
990:
963:
936:
909:
830:
803:
776:
749:
722:
643:
616:
589:
562:
528:
501:
474:
447:
420:
393:
366:
339:
2758:
2635:
2556:
312:
279:
2483:
1315:. The golden-section search chooses the spacing between these points in such a way that these points have the same proportion of spacing as the subsequent triple
2527:
2507:
6489:
6360:
6094:
6484:
165:
2822:
Using the triplet, determine if convergence criteria are fulfilled. If they are, estimate the X at the minimum from that triplet and return.
2319:
2067:
7090:
1951:
6210:
6978:
6498:
6157:
1019:. Thus, in either case, we can construct a new narrower search interval that is guaranteed to contain the function's minimum.
6353:
6169:
7059:
6521:
2825:
From the triplet, calculate the other interior point and its functional value. The three intervals will be in the ratio
6573:
6434:
1890:
6541:
187:
2867:
The three points for the next iteration will be the one where F is a minimum, and the two points closest to it in X.
1694:
233:(also described below) for many function evaluations. Fibonacci search and golden-section search were discovered by
158:
6652:
6346:
6591:
2561:
6230:
6929:
1162:
6132:
Avriel, Mordecai; Wilde, Douglass J. (1966), "Optimality proof for the symmetric
Fibonacci search technique",
2021:
7037:
6657:
6280:
6203:
2724:. This choice of interval ratios is the only one that allows the ratios to be maintained during an iteration.
252:
The diagram above illustrates a single step in the technique for finding a minimum. The functional values of
6973:
6941:
2121:
The appearance of the golden ratio in the proportional spacing of the evaluation points is how this search
245:
The discussion here is posed in terms of searching for a minimum (searching for a maximum is similar) of a
7022:
6647:
6089:
234:
1421:. By maintaining the same proportion of spacing throughout the algorithm, we avoid a situation in which
835:
648:
533:
The next step in the minimization process is to "probe" the function by evaluating it at a new value of
7095:
7085:
6968:
6924:
6817:
6546:
6526:
6037:
6029:
6009:
2509:. The check is based on the bracket size relative to its central value, because that relative error in
1371:
1318:
6736:
6707:
6369:
148:
6892:
6338:
6754:
6196:
2133:
Any number of termination conditions may be applied, depending upon the application. The interval Î
152:
144:
2591:
6936:
6835:
6551:
7027:
7012:
6902:
6780:
6429:
6406:
6373:
6328:
169:
1740:
1544:
1508:
7080:
6916:
6882:
6785:
6727:
6608:
6394:
2830:
1776:
1580:
1502:
and guarantee that the interval width shrinks by the same constant proportion in each step.
6963:
6790:
6702:
6147:
6125:
2438:
2289:
2262:
2235:
2208:
1860:
1833:
1806:
1664:
1637:
1610:
1478:
1451:
1424:
1291:
1264:
1237:
1119:
1092:
1057:
1030:
995:
968:
941:
914:
887:
808:
781:
754:
727:
700:
621:
594:
567:
540:
506:
479:
452:
425:
398:
371:
344:
317:
2734:
2611:
2532:
288:
255:
8:
7032:
6897:
6850:
6840:
6692:
6680:
6493:
6476:
6381:
6134:
2458:
6767:
6722:
6712:
6503:
6419:
6250:
6113:
2512:
2492:
1027:
From the diagram above, it is seen that the new search interval will be either between
6775:
6453:
6304:
6285:
6245:
6165:
6071:
2664:
Diagram of the golden section search for a minimum. The initial interval enclosed by
2660:
2202:
246:
209:
6855:
6845:
6749:
6626:
6531:
6513:
6466:
6377:
6260:
6175:
6103:
6053:
6024:
2558:
in typical cases. For that same reason, the
Numerical Recipes text recommends that
2167:â 1 for each iteration, so the number of iterations to reach an absolute error of Î
6871:
6255:
6143:
6121:
6027:. For this reason, the sequence variant of golden section search is often called
6859:
6744:
6631:
6565:
6536:
6265:
6066:
2486:
208:(minimum or maximum) of a function inside a specified interval. For a strictly
7074:
7017:
7001:
6275:
6219:
6076:
6955:
6461:
6294:
6240:
6235:
2721:
2058:
226:
2652:
of a function. For maximum, the comparison operators need to be reversed.
7042:
6424:
6299:
6044:
search for the maximum (minimum) of a unimodal function in an interval.
2678:
is divided into three intervals, and f is evaluated at each of the four
6117:
2425:{\displaystyle |x_{3}-x_{1}|<\tau {\big (}|x_{2}|+|x_{4}|{\big )},}
2111:{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988\ldots }
19:
6368:
2122:
6108:
2151:
is a measure of the absolute error in the estimation of the minimum
6444:
6019:
6015:
205:
6764:
6188:
6041:
2005:{\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}=1,}
6155:
3595:
does not reuse function evaluations and assumes the minimum is c
2882:
does not reuse function evaluations and assumes the minimum is c
2648:
The examples here describe an algorithm that is for finding the
6156:
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007),
2529:
is approximately proportional to the squared absolute error in
3592:
Python program for golden section search. This implementation
2879:
Python program for golden section search. This implementation
645:. From the diagram, it is clear that if the function yields
1541:
is proportional to the spacing prior to that evaluation, if
1505:
Mathematically, to ensure that the spacing after evaluating
476:, it is clear that a minimum lies inside the interval from
23:
Diagram of a golden-section search. The initial triplet of
2155:
and may be used to terminate the algorithm. The value of Î
3186:// func(x) returns value of function at x to be minimized
281:
are on the vertical axis, and the horizontal axis is the
2313:, terminating when within the relative accuracy bounds
6164:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
6158:"Section 10.2. Golden Section Search in One Dimension"
6014:
A very similar algorithm can also be used to find the
2787:
Calculate an interior point and its functional value F
3757:>>> print(*gss(f, a=1, b=5, tolerance=1e-5))
2833:
2737:
2614:
2594:
2564:
2535:
2515:
2495:
2461:
2441:
2322:
2292:
2265:
2238:
2211:
2070:
2024:
1954:
1893:
1863:
1836:
1809:
1779:
1743:
1697:
1667:
1640:
1613:
1583:
1547:
1511:
1481:
1454:
1427:
1374:
1321:
1294:
1267:
1240:
1165:
1122:
1095:
1060:
1033:
998:
971:
944:
917:
890:
838:
811:
784:
757:
730:
703:
651:
624:
597:
570:
543:
509:
482:
455:
428:
401:
374:
347:
320:
291:
258:
6881:
591:
somewhere inside the largest interval, i.e. between
6092:(1953), "Sequential minimax search for a maximum",
5489:"""Golden-section search, recursive.
3748:
that contains the minimum with d-c <= tolerance.
1234:However, there still remains the question of where
6162:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
4426:// Returns subinterval of containing minimum of f
2854:
2752:
2629:
2600:
2580:
2550:
2521:
2501:
2477:
2447:
2424:
2305:
2278:
2251:
2224:
2110:
2046:
2004:
1930:
1876:
1849:
1822:
1795:
1765:
1726:
1680:
1653:
1626:
1599:
1569:
1533:
1494:
1467:
1440:
1413:
1360:
1307:
1280:
1253:
1223:
1135:
1108:
1073:
1046:
1011:
984:
957:
930:
903:
876:
824:
797:
770:
743:
716:
689:
637:
610:
583:
556:
522:
495:
468:
441:
414:
387:
360:
333:
306:
273:
5492:Given a function f with a single local minimum in
3742:Given a function f with a single local minimum in
7072:
6095:Proceedings of the American Mathematical Society
1931:{\displaystyle {\frac {c}{b-c}}={\frac {a}{b}}.}
314:has already been evaluated at the three points:
157:but its sources remain unclear because it lacks
2455:is a tolerance parameter of the algorithm, and
16:Technique for finding an extremum of a function
2685:. The two intervals containing the minimum of
1727:{\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}.}
6354:
6204:
5498:that contains the minimum with d-c <= tol.
2414:
2364:
1945:from these two simultaneous equations yields
6915:
5495:the interval , gss returns a subset interval
3745:the interval , gss returns a subset interval
2791:. The two interval lengths are in the ratio
2581:{\displaystyle \tau ={\sqrt {\varepsilon }}}
832:. However, if the function yields the value
6393:
6131:
237:(1953) (see also Avriel and Wilde (1966)).
6361:
6347:
6211:
6197:
5516:>>> (c, d) = gssrec(f, a, b, tol)
3754:>>> def f(x): return (x - 2) ** 2
2996:>>> def f(x): return (x - 2) ** 2
6607:
6107:
1224:{\displaystyle x_{4}=x_{1}+(x_{3}-x_{2})}
188:Learn how and when to remove this message
6595:Optimization computes maxima and minima.
3002:>>> print(f"{x:.5f}")
2659:
2128:
2047:{\displaystyle {\frac {b}{a}}=\varphi ,}
1022:
938:, and the new triplet of points will be
751:, and the new triplet of points will be
18:
6679:
5504:>>> f = lambda x: (x - 2) ** 2
87:} is chosen for the next iteration. If
7073:
6088:
6036:Fibonacci search was first devised by
4263:
2729:Specify the function to be minimized,
2655:
2608:is the required absolute precision of
6999:
6815:
6791:Principal pivoting algorithm of Lemke
6678:
6606:
6392:
6342:
6192:
5998:
5522:1.9999959837979107 2.0000050911830893
3862:# Required steps to achieve tolerance
3760:1.9999959837979107 2.0000050911830893
2990:* f: a strictly unimodal function on
230:
3143:# f(c) > f(d) to find the maximum
129:
7091:Optimization algorithms and methods
6047:
6003:
2205:is based on testing the gaps among
13:
7000:
6590:
6435:Successive parabolic interpolation
6218:
2762:, the interval to be searched as {
877:{\displaystyle f_{4b}<f(x_{2})}
690:{\displaystyle f_{4a}>f(x_{2})}
14:
7107:
6816:
6755:Projective algorithm of Karmarkar
4900:// fc > fd to find the maximum
3598:or d (not on the edges at a or b)
3183:// a and c define range to search
2885:or d (not on the edges at a or b)
1803:and our new triplet of points is
1607:and our new triplet of points is
1414:{\displaystyle x_{2},x_{4},x_{3}}
1361:{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{4}}
564:. It is most efficient to choose
6750:Ellipsoid algorithm of Khachiyan
6653:Sequential quadratic programming
6490:BroydenâFletcherâGoldfarbâShanno
6327:
5801:# fc > fd to find the maximum
4141:# yc > yd to find the maximum
2776:}, and their functional values F
1261:should be placed in relation to
134:
6708:Reduced gradient (FrankâWolfe)
2747:
2741:
2624:
2618:
2545:
2539:
2471:
2463:
2408:
2393:
2385:
2370:
2352:
2324:
1760:
1747:
1564:
1551:
1528:
1515:
1218:
1192:
1159:, the algorithm should choose
884:, then a minimum lies between
871:
858:
697:, then a minimum lies between
684:
671:
301:
295:
268:
262:
204:is a technique for finding an
1:
7038:Spiral optimization algorithm
6658:Successive linear programming
6082:
2999:>>> x = gss(f, 1, 5)
240:
6776:Simplex algorithm of Dantzig
6648:Augmented Lagrangian methods
2987:to find the minimum of f on
2640:
2601:{\displaystyle \varepsilon }
7:
6060:
10:
7112:
6018:(minimum or maximum) of a
6010:Fibonacci search technique
6007:
2159:is reduced by a factor of
7055:
7008:
6995:
6979:Pushârelabel maximum flow
6954:
6870:
6828:
6824:
6811:
6781:Revised simplex algorithm
6763:
6735:
6721:
6691:
6687:
6674:
6640:
6619:
6615:
6602:
6588:
6564:
6512:
6475:
6452:
6443:
6405:
6401:
6388:
6325:
6226:
5519:>>> print (c, d)
2193:is the initial value of Î
6504:Symmetric rank-one (SR1)
6485:BerndtâHallâHallâHausman
6023:bracketed interval is a
5294:
4267:
3586:
3180:
2873:
1766:{\displaystyle f(x_{4})}
1570:{\displaystyle f(x_{4})}
1534:{\displaystyle f(x_{4})}
285:parameter. The value of
143:This article includes a
7028:Parallel metaheuristics
6836:Approximation algorithm
6547:Powell's dog leg method
6499:DavidonâFletcherâPowell
6395:Unconstrained nonlinear
5513:>>> tol = 1e-5
2819:being the golden ratio.
422:is smaller than either
172:more precise citations.
7013:Evolutionary algorithm
6596:
3739:Golden-section search.
2856:
2855:{\displaystyle c:cr:c}
2754:
2725:
2631:
2602:
2582:
2552:
2523:
2503:
2479:
2449:
2426:
2307:
2280:
2253:
2226:
2203:Numerical Recipes in C
2112:
2048:
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