688:
1709:
279:
1499:
915:
1055:
1341:
1181:
518:
423:
1514:
141:
1349:
771:
938:
763:
1214:
683:{\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}}e^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}}
1070:
1791:
Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent".
1752:
Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent".
331:
1704:{\displaystyle \ln A={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}
274:{\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {n^{2}}{4}}}}}}
1494:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\tfrac {1}{2}}\zeta '(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln A}
120:
910:{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta '(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi \right)}
1875:
1050:{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
1336:{\displaystyle \int _{0}^{\frac {1}{2}}\ln \Gamma (x)\,dx={\tfrac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\tfrac {1}{4}}\ln \pi }
704:
1890:
925:
929:
74:
322:
1176:{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{\frac {1}{p_{k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}},}
1504:
A series representation for this constant follows from a series for the
Riemann zeta function given by
1900:
1895:
1835:
418:{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+{\frac {1}{2}}}\,e^{-n}}}}
695:
67:
36:
8:
1854:
132:
1818:
1800:
1779:
1761:
1851:
1832:
694:
The
Glaisher–Kinkelin constant also appears in evaluations of the derivatives of the
448:
47:
1822:
1783:
1810:
1771:
1736:
78:
509:
310:
63:
1814:
1775:
1740:
1884:
1061:
71:
1505:
1202:
440:
can also be obtained from a similar approximation to the hyperfactorials.
20:
1766:
1727:
Van Gorder, Robert A. (2012). "Glaisher-Type
Products over the Primes".
40:
928:. The latter formula leads directly to the following product found by
1859:
1840:
1805:
433:
55:
1830:
59:
1849:
1208:
The following are some integrals that involve this constant:
115:
1876:
The
Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places
1546:
1531:
1471:
1456:
1421:
1313:
1267:
732:
1517:
1352:
1217:
1073:
941:
774:
707:
521:
334:
144:
1703:
1493:
1335:
1175:
1049:
909:
758:{\displaystyle \zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A}
757:
682:
417:
273:
1652:
1639:
1060:An alternative product formula, defined over the
1882:
529:
349:
152:
1790:
1751:
313:. This formula displays a similarity between
321:which is perhaps best illustrated by noting
1726:
1804:
1765:
1410:
1256:
398:
240:
54:. The constant appears in a number of
1883:
1827:(Provides a variety of relationships.)
1729:International Journal of Number Theory
432:is obtained from approximation of the
1850:
1831:
13:
1836:"Glaisher–Kinkelin Constant"
1643:
1573:
1363:
1244:
1090:
958:
791:
539:
359:
162:
14:
1912:
1869:
127:The Glaisher–Kinkelin constant
1720:
1698:
1686:
1671:
1658:
1627:
1617:
1449:
1440:
1253:
1247:
841:
835:
725:
716:
674:
662:
536:
356:
185:
173:
159:
1:
1714:
443:An equivalent definition for
62:, especially those involving
75:James Whitbread Lee Glaisher
7:
10:
1917:
84:Its approximate value is:
25:Glaisher–Kinkelin constant
1815:10.1007/s11139-007-9102-0
1776:10.1007/s11139-007-9102-0
1741:10.1142/S1793042112500297
926:Euler–Mascheroni constant
428:which shows that just as
1855:"Riemann Zeta Function"
1891:Mathematical constants
1705:
1616:
1577:
1495:
1337:
1177:
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1754:The Ramanujan Journal
1706:
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1052:
942:
912:
775:
760:
696:Riemann zeta function
685:
420:
276:
113:... (sequence
37:mathematical constant
16:Mathematical constant
1515:
1350:
1215:
1071:
939:
772:
705:
519:
332:
142:
131:can be given by the
70:. It is named after
31:, typically denoted
1367:
1237:
1134:
1124:
29:Glaisher's constant
1852:Weisstein, Eric W.
1833:Weisstein, Eric W.
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1555:
1540:
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1480:
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323:Stirling's formula
271:
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1793:Ramanujan Journal
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151:
39:, related to the
1908:
1865:
1864:
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1845:
1826:
1808:
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1906:
1905:
1901:Glaisher family
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