7348:
6013:
5922:
7343:{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)!}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)!}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left=\gamma \end{aligned}}}
5001:
5917:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}
16192:
14231:
3048:
9956:
2512:
9563:
9526:
2165:
3043:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}
13150:
9951:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}
18892:
9210:
13655:
1837:
10895:
12782:
1820:
3328:
196:
15313:
13383:
8082:
10515:
428:
9521:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}
1558:
7600:
3064:
2160:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}
8361:
13863:
13145:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}
7823:
2392:
12185:
15036:
11947:
14181:
8703:
7832:
245:
4415:
1549:
11084:
11571:
7387:
10486:
11268:
13650:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}
10149:
15446:
Euler initially calculated the constant's value to 6 decimal places. In 1781, he calculated it to 16 decimal places. Mascheroni attempted to calculate the constant to 32 decimal places, but made errors in the 20th–22nd and 31st–32nd decimal places; starting from the 20th digit, he calculated
14395:
8113:
13675:
10890:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}
15027:
7621:
2190:
3649:
3448:
1245:
11971:
1815:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}
11725:
14002:
10328:
8542:
3323:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}
12762:
1401:
12592:
10924:
13315:
11716:
3815:
15308:{\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}
4757:
9197:
9072:
11459:
4979:
12469:
11439:
8528:
15437:
12318:
10344:
4227:
11093:
14544:
9973:
8077:{\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}
4060:
8957:
14261:
17300:
423:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}
14881:
3958:
3502:
3341:
1096:
8838:
14859:
4512:
10166:
7595:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}
6018:
4591:
951:
2502:
9568:
13986:
14773:
8356:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}
17207:
13858:{\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }
4865:
9215:
250:
7818:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}
2387:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}
13193:
12180:{\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }
11578:
3692:
15041:
13388:
12787:
10520:
9089:
8975:
8118:
7837:
7626:
7392:
5006:
4232:
3069:
2517:
2195:
1842:
1563:
1406:
1392:
14622:
11942:{\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}
14176:{\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}
1085:
11297:
8413:
12603:
4215:
16908:
15340:
12217:
8698:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}
14423:
12480:
810:
17482:
17400:
3978:
4179:
8847:
4653:
4873:
14682:
16762:
14867:
12355:
4410:{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}
1023:
987:
1544:{\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}
11079:{\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }
16999:
4628:
8750:
3862:
5971:
4785:
4141:
4087:
2412:
16783:
16733:
11566:{\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }
4805:
2435:
14782:
6003:
17212:
4648:
4112:
10481:{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}
11263:{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}
10144:{\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}
13884:
14691:
14390:{\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}
552:
appears nowhere in the writings of either Euler or
Mascheroni, and was chosen at a later time, perhaps because of the constant's connection to the
4430:
15022:{\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}
1044:
is irrational; Tanguy Rivoal proved in 2012 that at least one of them is transcendental. It is known that the transcendence degree of the field
17097:
3644:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}
3443:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}
1240:{\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}
18609:
Sondow, Jonathan (2002). "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant".
16093:
17:
4528:
877:
2443:
18923:
14557:
18877:
18171:
18064:
17988:
17963:
16372:
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). "Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers". In Buhler, Joe P. (ed.).
16159:
1336:
18742:
17144:
11289:
491:
16789:
See formula 11 on page 3. Note the typographical error in the numerator of Wolf's sum over zeros, which should be 2 rather than 1.
10323:{\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}
4813:
3497:
expression. By taking separately the first few terms of the series above, one obtains an estimate for the classical series limit:
582:
Euler's constant appears, among other places, in the following (where '*' means that this entry contains an explicit equation):
18787:
5936:
18802:
18022:
16081:
12777:
Alabdulmohsin derived closed-form expressions for the sums of errors of these approximations. He showed that (Theorem A.1):
18827:
15582:
3333:
18837:
16800:
12757:{\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }
8961:
Even so, there exist other series expansions which converge more rapidly than this; some of these are discussed below.
17853:
18544:
18389:
17937:
17134:
16389:
16302:
14635:
1295:, which is based on sums of reciprocals of integers not divisible by a fixed list of primes, with the same property.
1047:
765:
18847:
17929:
4184:
16884:
18918:
18872:
18817:
18535:
18112:
Choi, Junesang; Srivastava, H.M. (1 September 2010). "Integral
Representations for the Euler–Mascheroni Constant
16406:
12587:{\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}
17765:
Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in
17021:
Villarino, Mark B. (2007). "Ramanujan's
Harmonic Number Expansion into Negative Powers of a Triangular Number".
13310:{\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}
503:
17810:"Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results"
17713:
17624:
9202:
4764:
3854:
736:
16154:"Sequence A001620 (Decimal expansion of Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma)"
11711:{\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}
3810:{\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}
18782:
18677:
18214:
17404:
9081:
4752:{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}
771:
723:
687:
229:
17454:
17372:
9192:{\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}
9067:{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}
18735:
18654:
18428:
17660:
15638:
10154:
4146:
664:
17958:"Sequence A302120 (Absolute value of the numerators of a series converging to Euler's constant)"
14215:
pattern. The continued fraction is known to have at least 475,006 terms, and it has infinitely many terms
18832:
18792:
18772:
18762:
18672:
18602:
Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur
18384:. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 94. Cambridge: Cambridge University Press.
16537:"On the arithmetic nature of the values of the gamma function, Euler's constant, and Gompertz's constant"
9552:
4974:{\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}
4421:
1299:
1036:
758:
753:
638:
437:
18715:
18453:
16231:
12464:{\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }
18797:
11434:{\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}
8523:{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}
4598:
3056:. As a result, the formula is well-suited for efficient computation of the constant to high precision.
650:
16954:
14230:
18777:
15781:
15432:{\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}
12313:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}
7613:
18667:
16738:
16653:
16621:
8405:
992:
956:
18807:
18767:
17771:
15552:
7609:
716:
561:
16471:
Mahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (4 June 1968). "Applications of a theorem by A. B. Shidlovski".
18928:
18896:
18728:
18316:
16764:
are paired together and summed according to increasing absolute values of the imaginary parts of
15318:
13991:
18468:
16326:
Connallon, Tim; Hodgins, Kathryn A. (October 2021). "Allen Orr and the genetics of adaptation".
16275:; Fuchs, Christopher A. (1996). "Quantum information: How much information in a state vector?".
14539:{\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}
18867:
4604:
4055:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}
130:
18689:
18004:
16258:
17814:
17079:
Nouvelles annales de mathématiques: Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale
8952:{\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}
5942:
4770:
4126:
4072:
3966:
3669:
2397:
2182:
832:
608:
211:
16408:
Entwurf und
Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algorithmische Zahlentheorie
18628:
18351:
18245:
18032:
17903:
17722:= 0,577...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche".
17295:{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\zeta (k)}{110_{k}}}=\ln({\sqrt {2\pi }})}
16768:
16718:
16480:
16290:
15567:
13320:
12202:
10500:
4790:
3494:
2420:
2178:
708:
677:
670:
658:
587:
18444:
16850:
Revista de la Real
Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas
712:
8:
18822:
16637:
15761:
14627:
13990:
This infinite product, first discovered by Ser in 1926, was rediscovered by Sondow using
13166:
9961:
5980:
4120:
704:
698:
612:
225:
18632:
18355:
17907:
16484:
16473:
Proceedings of the Royal
Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences
16294:
11088:
Blagouchine (2018) found an interesting generalisation of the
Fontana–Mascheroni series
18842:
18812:
18644:
18618:
18597:
18555:
18518:
18416:
18226:
18143:
18092:
18036:
18009:. Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhäuser/Springer. p. 131.
17893:
17831:
17780:
17582:
17539:
17521:
17486:
17431:
17413:
17324:
Nelsen, R. B. (1991). "Proof without Words: Sum of
Reciprocals of Triangular Numbers".
17022:
16929:
16704:
16657:
16649:
16515:
16496:
16453:
16435:
16351:
16280:
16244:
16120:
16102:
16091:
Lagarias, Jeffrey C. (2013). "Euler's constant: Euler's work and modern developments".
15702:
15536:
14200:
10337:
4633:
4097:
4090:
2415:
846:
571:
531:
184:
18364:
18339:
17983:"Sequence A302121 (Denominators of a series converging to Euler's constant)"
16514:
Aptekarev, A. I. (28 February 2009). "On linear forms containing the Euler constant".
18686:
18540:
18385:
18279:
18147:
18135:
18040:
18018:
17933:
17835:
17809:
17574:
17130:
17051:
16974:
16641:
16602:
16558:
16500:
16385:
16355:
16343:
16308:
16298:
16124:
16077:
13660:
842:
598:
594:
233:
57:
31:
18648:
18522:
17645:
17628:
17033:
It would also be interesting to develop an expansion for n! into powers of m, a new
16703:
Wolf, Marek (2019). "6+infinity new expressions for the Euler-Mascheroni constant".
16661:
16457:
16116:
12766:
4218:
18636:
18570:
18510:
18440:
18408:
18359:
18218:
18127:
18010:
17823:
17790:
17640:
17566:
17543:
17531:
17423:
17337:
17333:
17122:
16966:
16921:
16857:
16816:
16812:
16633:
16592:
16548:
16488:
16445:
16377:
16335:
16272:
16112:
15822:
15666:
13369:
10333:
9538:
4760:
3457:
1314:
828:
644:
619:
48:
This article uses technical mathematical notation for logarithms. All instances of
18708:
17141:
See
Examples 12.21 and 12.50 for exercises on the derivation of the integral form
16536:
16449:
7827:
An interesting comparison by Sondow is the double integral and alternating series
743:
18028:
17849:
17629:"A new analytical expression for the number π and some historical considerations"
17451:
New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog
16376:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1423. Springer. pp. 338–350.
12346:
8965:
8833:{\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}
5974:
4594:
4116:
3953:{\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}
3673:
1026:
874:
However, some progress has been made. Kurt Mahler showed in 1968 that the number
856:
749:
683:
654:
17881:
3059:
Other interesting limits equaling Euler's constant are the antisymmetric limit:
18852:
18751:
16820:
15802:
15623:
15495:
14216:
11960:
7353:
4522:
3970:
1829:
1325:
631:
625:
604:
553:
507:
179:
156:
18640:
18514:
18131:
18014:
17827:
17794:
17535:
16970:
16597:
16580:
8717:. However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on
18912:
18862:
18139:
17578:
16978:
16645:
16606:
16562:
16553:
14854:{\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}
8394:
4808:
4518:
1825:
730:
18575:
17557:
DeTemple, Duane W. (May 1993). "A Quicker
Convergence to Euler's Constant".
16312:
1029:). In 2009 Alexander Aptekarev proved that at least one of Euler's constant
18857:
18530:
18198:
17105:(3rd ed.). United Kingdom: American Mathematical Society. p. 460.
16492:
16426:
Sondow, Jonathan (2003). "Criteria for irrationality of Euler's constant".
16347:
15722:
13185:
12209:
9965:
6008:
The third formula in the integral list can be proved in the following way:
4517:
The series of inverse triangular numbers also features in the study of the
4507:{\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}
1291:. In 2013 M. Ram Murty and A. Zaytseva found a different family containing
1088:
865:
revealed by the large number of equations below makes the irrationality of
17355:. Pure and Applied Mathematics, Vol. 58. Academic Press. pp. 67, 159.
17126:
18586:
Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften
18298:
18161:
18054:
17978:
17953:
17882:"Three notes on Ser's and Hasse's representations for the zeta-functions"
16285:
16149:
15681:
18623:
18482:
Karatsuba, E. A. (1991). "Fast evaluation of transcendental functions".
18097:
17769:
and into the formal enveloping series with rational coefficients only".
17526:
17491:
17435:
17418:
16933:
16440:
14876:
are given by summation of inverses of numbers in a common modulo class:
3965:
can also be expressed as follows, which can be proven by expressing the
3052:
The error term in the last equation is a rapidly decreasing function of
18420:
18230:
18202:
17586:
17052:"On the Stirling expansion into negative powers of a triangular number"
16861:
16381:
3460:
brackets. This formula indicates that when taking any positive integer
1321:
480:
18166:"Sequence A002852 (Continued fraction for Euler's constant)"
17926:
Summability Calculus. A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums
17000:"An approximate expression for the value of 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/r"
16339:
18694:
17427:
16925:
16866:γ/2 in (10) reflects the residual (finite part) of ζ(1)/2, of course.
16845:
8733:
exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion
4807:
plus the difference between Boya's expansion and the series of exact
4586:{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}
946:{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }
18703:
18412:
18338:
Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000).
18222:
17570:
17369:
Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals for Euler's constant and
16056:
14191:
is a rational number, then its denominator must be greater than 10.
2497:{\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}
18584:
Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler".
17898:
17785:
16880:
16709:
4993:
443:
The numerical value of Euler's constant, to 50 decimal places, is:
18684:
18495:
Karatsuba, E.A. (2000). "On the computation of the Euler constant
17027:
16520:
16107:
3687:. Expanding some of the terms in the Hurwitz zeta function gives:
1091:
and N. Saradha showed that at most one of the numbers of the form
18720:
557:
18539:(3rd ed.). Addison-Wesley. pp. 75, 107, 114, 619–620.
13981:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}
2414:
can also be expressed in terms of the sum of the reciprocals of
17886:
INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory
14768:{\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}
11573:
Other series with the same polynomials include these examples:
7352:
The integral on the second line of the equation stands for the
18059:"Sequence A073004 (Decimal expansion of exp(gamma))"
17074:
4221:
gives the first two terms of the series, with an error term):
17854:"A fragment on Euler's constant in Ramanujan's lost notebook"
17202:{\displaystyle \textstyle \int _{-1}^{0}\ln \Gamma (z+1)\,dz}
527:
215:
195:
17506:
Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). "Euler's constant,
16277:
The Dilemma of Einstein, Podolsky and Rosen – 60 Years Later
10908:
A similar series with the Cauchy numbers of the second kind
4860:{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}
574:
used it in a textbook published in parts from 1836 to 1842.
488:
Is Euler's constant irrational? If so, is it transcendental?
18165:
18058:
17982:
17957:
16872:
16153:
859:, its denominator must be greater than 10. The ubiquity of
694:
16839:
16837:
12774:
The third formula is also called the Ramanujan expansion.
11447:
this series contains rational terms only. For example, at
9968:
expansion for the logarithm of the gamma function we get:
199:
The area of the blue region converges to Euler's constant.
17919:
17917:
8108:
The two constants are also related by the pair of series
18340:"Computational Strategies for the Riemann Zeta Function"
17741:
Kluyver, J.C. (1927). "On certain series of Mr. Hardy".
16367:
16365:
18179:
17605:
16834:
13165:
is important in number theory. It equals the following
764:
Bardeen–Cooper–Schrieffer theory of superconductivity (
18399:
Gerst, I. (1969). "Some series for Euler's constant".
18309:
18160:
18053:
17977:
17952:
17914:
17305:
17216:
17148:
16888:
16574:
16572:
16182:
16180:
16178:
16176:
16174:
16172:
16170:
16148:
12606:
12483:
12358:
11966:
A series related to the Akiyama–Tanigawa algorithm is
10332:
An important expansion for Euler's constant is due to
10016:
9489:
9468:
9453:
9438:
9423:
9395:
9380:
9365:
9350:
9327:
9312:
8105:
may be thought of as an "alternating Euler constant".
4817:
4657:
4532:
4188:
4150:
2531:
17593:
17457:
17375:
17215:
17147:
16887:
16771:
16741:
16721:
16362:
15343:
15039:
14884:
14785:
14694:
14638:
14560:
14426:
14264:
14005:
13887:
13678:
13386:
13196:
12785:
12220:
11974:
11728:
11581:
11462:
11300:
11096:
10927:
10518:
10347:
10169:
9976:
9566:
9213:
9092:
8978:
8850:
8753:
8545:
8416:
8116:
7835:
7624:
7390:
6016:
5983:
5945:
5004:
4876:
4816:
4793:
4773:
4656:
4636:
4607:
4531:
4433:
4230:
4187:
4149:
4129:
4100:
4075:
4069:
Numerous formulations have been derived that express
3981:
3865:
3695:
3505:
3344:
3067:
2515:
2446:
2423:
2400:
2193:
1840:
1561:
1404:
1339:
1099:
1050:
995:
959:
880:
774:
248:
17688:
Hardy, G.H. (1912). "Note on Dr. Vacca's series for
17512:-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper".
4093:. One of the earliest of these is a formula for the
1267:
is algebraic; this family includes the special case
56:
without a subscript base should be interpreted as a
16569:
16319:
16167:
2507:Other series related to the zeta function include:
502:The constant first appeared in a 1734 paper by the
18105:
18085:via hypergeometric formulas for Euler's constant,
18079:Sondow, Jonathan (2003). "An infinite product for
17875:
17873:
17871:
17760:
17758:
17756:
17476:
17394:
17294:
17201:
16902:
16777:
16756:
16727:
16696:
16581:"Euler–Lehmer constants and a conjecture of Erdos"
16371:
15431:
15307:
15021:
14853:
14767:
14676:
14617:{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}
14616:
14538:
14389:
14175:
13980:
13857:
13649:
13309:
13144:
12756:
12586:
12463:
12312:
12179:
11941:
11710:
11565:
11433:
11262:
11078:
10889:
10480:
10322:
10143:
9950:
9520:
9191:
9066:
8951:
8832:
8697:
8522:
8393:are the number of 1s and 0s, respectively, in the
8355:
8076:
7817:
7594:
7342:
5997:
5965:
5916:
4973:
4859:
4799:
4779:
4751:
4642:
4622:
4585:
4506:
4409:
4209:
4173:
4135:
4106:
4081:
4054:
3952:
3809:
3643:
3442:
3332:and the following formula, established in 1898 by
3322:
3042:
2496:
2429:
2406:
2386:
2159:
1814:
1543:
1386:
1239:
1079:
1017:
981:
945:
804:
761:for genetics of adaptation in evolutionary biology
422:
18714:Further formulae which make use of the constant:
17499:
16613:
16411:(Thesis) (in German). Universität des Saarlandes.
13102:
13067:
11239:
11232:
11204:
11165:
4064:
2078:
2065:
18910:
18344:Journal of Computational and Applied Mathematics
17716:(1926). "Nuova serie per la costante di Eulero,
17099:An Introduction to the Theory of Infinite Series
16715:The above sum is real and convergent when zeros
16578:
16428:Proceedings of the American Mathematical Society
16325:
16057:"Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova"
14907:
14793:
14441:
14279:
13211:
12330:equals the following asymptotic formulas (where
12228:
8661:
8553:
3989:
3513:
3352:
3253:
3184:
3083:
2814:
2659:
2169:
1856:
1677:
1567:
1484:
1423:
1331:, when both functions are evaluated at 1. Thus:
1122:
812:in the BCS equation on the critical temperature.
264:
214:, usually denoted by the lowercase Greek letter
18556:"Euler constants for arithmetical progressions"
17868:
17801:
17753:
17116:
16801:"An antisymmetric formula for Euler's constant"
16398:
11292:, which are defined by the generating function
1080:{\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}
482:
18454:"Collection of formulae for Euler's constant,
18431:(1872). "On the history of Euler's constant".
18111:
16622:"Transcendence of Generalized Euler Constants"
16243:
14866:A two-dimensional limit generalization is the
1387:{\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}
849:analysis, Papanikolaou showed in 1997 that if
514:(Eneström Index 43). Euler used the notations
18736:
18273:
18271:
18269:
18267:
18265:
18263:
18261:
18259:
17923:
17633:Bulletin of the American Mathematical Society
17505:
17364:
17362:
16955:"Ramanujan's formula for the harmonic number"
16677:
16675:
16673:
16671:
16619:
16507:
16470:
16420:
16418:
16265:
16237:
16198:
16094:Bulletin of the American Mathematical Society
16054:
13967:
13954:
4759:. This identity appears in a formula used by
4210:{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}
3472:, the average fraction by which the quotient
2643:
2618:
2145:
2120:
1305:
1298:Euler's constant is conjectured not to be an
18154:
18047:
17946:
17653:
17550:
16903:{\displaystyle \textstyle {\frac {4}{\pi }}}
16404:
5960:
5946:
5901:
5887:
393:
387:
17971:
17879:
17807:
17764:
17734:
17611:
17442:
16881:"Double Integrals for Euler's Constant and
16846:"Another relation between π, e, γ and ζ(n)"
16620:Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013).
512:De Progressionibus harmonicis observationes
167:De Progressionibus harmonicis observationes
18743:
18729:
18299:"y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program"
18256:
18072:
18006:Excursions in Multiplicative Number Theory
17996:
17842:
17359:
17085:. Carilian-Goeury et Vor Dalmont: 295–296.
16792:
16668:
16528:
16464:
16415:
16271:
4787:is expressed in terms of the sum of roots
18622:
18574:
18363:
18191:
18172:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
18120:Integral Transforms and Special Functions
18096:
18065:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
17989:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
17964:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
17897:
17784:
17706:
17681:
17644:
17617:
17525:
17490:
17417:
17402:and an analog of Hadjicostas's formula".
17191:
17026:
17020:
16708:
16596:
16552:
16519:
16513:
16439:
16284:
16160:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
16144:
16142:
16106:
14524:
14372:
10977:
8510:
7947:
7940:
7723:
7716:
7544:
7439:
5720:
5675:
5588:
5324:
5279:
5059:
4992:equals the value of a number of definite
4357:
4217:(an earlier, less-generalizable proof by
4181:in a series that considers the powers of
3932:
3875:
3482:falls short of the next integer tends to
3464:and dividing it by each positive integer
3377:
3003:
2597:
1918:
1052:
404:
17858:South East Asian J. Math. & Math. Sc
17659:
17556:
17311:
17095:
16186:
16090:
14229:
12322:
11290:Bernoulli polynomials of the second kind
3672:. The sum in this equation involves the
835:. In fact, it is not even known whether
194:
18536:The Art of Computer Programming, Vol. 1
18237:
17740:
17448:
17350:
17096:Bromwich, Thomas John I'Anson (2005) .
17049:
16910:and an Analog of Hadjicostas's Formula"
14548:for some arbitrary decreasing function
3849:can also be expressed as follows where
805:{\displaystyle 2e^{\gamma }/\pi =1.134}
715:distributions, and, implicitly, of the
492:(more unsolved problems in mathematics)
14:
18911:
18078:
18002:
17848:
17477:{\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}
17395:{\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}
17368:
17323:
17072:
16878:
16798:
16681:
16534:
16425:
16249:The differential and integral calculus
16139:
871:a major open question in mathematics.
18724:
18197:
18185:
17712:
17687:
17623:
17599:
16997:
16692:(in German). University of Göttingen.
16071:
14418:. This can be further generalized to
14194:
4174:{\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}
27:Relates logarithm and harmonic series
18376:as sums over Riemann zeta functions.
16952:
16843:
16702:
16654:10.4169/amer.math.monthly.120.01.048
16638:10.4169/amer.math.monthly.120.01.048
15583:Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai
8532:
41:, the base of the natural logarithm.
18467:Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004).
18452:Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002).
18243:
17663:(1910). "On Dr. Vacca's series for
17449:Sondow, Jonathan (1 August 2005a).
17117:Whittaker, E.; Watson, G. (2021) .
16959:Applied Mathematics and Computation
16579:Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010).
16055:Bretschneider, Carl Anton (1837) .
15869:Alexander J. Yee & Raymond Chan
15845:Patrick Demichel and Xavier Gourdon
15441:
14968:
14961:
4089:in terms of sums and logarithms of
24:
18924:Unsolved problems in number theory
18803:Euler's continued fraction formula
18750:
18709:Fast Algorithms and the FEE Method
18331:
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17121:(5th ed.). p. 271, 275.
14932:
14917:
14451:
14289:
14225:
14084:
13958:
13576:
13449:
13221:
13041:
12923:
12806:
12238:
12027:
11918:
11851:
11770:
11687:
11631:
11374:
11119:
10956:
10580:
10503:. This series is the special case
10370:
10204:
10064:
10009:
9695:
9612:
9558:In 1926 he found a second series:
9244:
9121:
9001:
8671:
8563:
8477:
8268:
8147:
7980:
7756:
7510:
7405:
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7160:
7064:
7043:
6996:
6933:
6849:
6750:
6681:
6615:
6502:
6487:
6374:
6353:
6255:
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6118:
6034:
5763:
5637:
5538:
5431:
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5152:
5032:
4720:
4674:
4549:
4348:
3999:
3595:
3523:
3362:
3121:
2881:
2824:
2669:
2573:
2314:
2224:
2125:
2069:
2036:
1944:
1900:
1879:
1866:
1743:
1713:
1633:
1603:
1504:
1443:
1369:
1350:
1132:
719:for one or two degrees of freedom.
406:
355:
274:
87:Constant value used in mathematics
25:
18940:
18828:Euler's pump and turbine equation
18660:
18203:"Euler's Constant to 1271 Places"
17880:Blagouchine, Iaroslav V. (2018).
17808:Blagouchine, Iaroslav V. (2014).
17559:The American Mathematical Monthly
16914:The American Mathematical Monthly
16626:The American Mathematical Monthly
16074:Gamma: Exploring Euler's Constant
16013:Jordan Ranous & Kevin O'Brien
9205:found the closely related series
768:), where it appears as prefactor
18891:
18890:
18848:Euler equations (fluid dynamics)
18838:Euler's sum of powers conjecture
16251:. London: Baldwin and Craddoc. "
15467:Published decimal expansions of
8964:Euler showed that the following
2185:evaluated at positive integers:
630:The asymptotic expansion of the
611:*, where it is the first of the
18503:Journal of Numerical Algorithms
18296:
18277:
17646:10.1090/S0002-9904-1910-01919-4
17344:
17317:
17110:
17089:
17066:
17043:
17014:
16991:
16946:
16117:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x
14677:{\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}
13659:These products result from the
11917:
11686:
11411:
11247:
5505:
3493:Closely related to this is the
676:Solution of the second kind to
546:for the constant. The notation
526:for the constant. In 1790, the
483:Unsolved problem in mathematics
18788:Euler–Poisson–Darboux equation
17338:10.1080/0025570X.1991.11977600
17288:
17275:
17250:
17244:
17188:
17176:
16817:10.1080/0025570X.1998.11996638
16757:{\displaystyle {\bar {\rho }}}
16748:
16076:. Princeton University Press.
15989:Seungmin Kim & Ian Cutress
15362:
15350:
15177:
15165:
15142:
15130:
15060:
15048:
14972:
14962:
14914:
14900:
14888:
14822:
14816:
14800:
14742:
14736:
14730:
14718:
14655:
14649:
14599:
14586:
14577:
14571:
14521:
14515:
14491:
14485:
14448:
14286:
13936:
13926:
13922:
13909:
13218:
13154:
13056:
13046:
13000:
12991:
12951:
12939:
12882:
12873:
12736:
12723:
12695:
12683:
12659:
12647:
12235:
12097:
12088:
12070:
12064:
12045:
12035:
11996:
11987:
11927:
11921:
11900:
11894:
11869:
11859:
11816:
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11785:
11773:
11696:
11690:
11674:
11668:
11649:
11639:
11609:
11597:
11421:
11413:
11405:
11399:
11349:
11337:
11320:
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10779:
10758:
10746:
10667:
10649:
10643:
10631:
10622:
10607:
10600:
10588:
10394:
10379:
10299:
10289:
10157:gave a series that approaches
10118:
10103:
10079:
10069:
10027:
10012:
9586:
9580:
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9249:
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8800:
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8763:
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8668:
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8637:
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8325:
8314:
8308:
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8286:
8219:
8204:
8193:
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8171:
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7922:
7907:
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7683:
7480:
7459:
7199:
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7072:
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6941:
6911:
6899:
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6857:
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6797:
6785:
6768:
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6650:
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6623:
6584:
6565:
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6547:
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6456:
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6431:
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6382:
6318:
6306:
6273:
6263:
6233:
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6175:
6156:
4617:
4611:
4488:
4482:
4376:
4364:
4323:
4317:
4065:Relation to triangular numbers
3996:
3947:
3941:
3909:
3900:
3888:
3882:
3721:
3715:
3624:
3606:
3520:
3359:
3307:
3295:
3286:
3274:
3260:
3213:
3207:
3191:
3090:
2914:
2902:
2821:
2777:
2765:
2666:
2632:
2626:
2588:
2578:
2350:
2344:
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2319:
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2254:
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2087:
2033:
1915:
1903:
1863:
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1357:
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1115:
1103:
1074:
1056:
1018:{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
1012:
1006:
982:{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
976:
970:
931:
925:
910:
904:
577:
271:
13:
1:
18429:Glaisher, James Whitbread Lee
18365:10.1016/s0377-0427(00)00336-8
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16450:10.1090/S0002-9939-03-07081-3
16048:
15455:when the correct value is ...
14254:Euler's generalized constants
2170:Relation to the zeta function
1396:This is equal to the limits:
816:
18818:Euler's four-square identity
16132:
15539:, with 20–22 and 31–32 wrong
7378:Definite integrals in which
4984:
2177:can also be expressed as an
7:
18873:Euler–Bernoulli beam theory
18690:"Euler–Mascheroni constant"
18673:Encyclopedia of Mathematics
18317:"Euler-Mascheroni Constant"
18280:"Records Set by y-cruncher"
17119:A Course of Modern Analysis
17050:Mortici, Cristinel (2010).
16279:. Israel Physical Society.
13319:This restates the third of
4597:later used to estimate the
2026:
1553:Further limit results are:
60:, also commonly written as
10:
18945:
18207:Mathematics of Computation
18162:Sloane, N. J. A.
18055:Sloane, N. J. A.
17979:Sloane, N. J. A.
17954:Sloane, N. J. A.
17040:See formula 1.8 on page 3.
16150:Sloane, N. J. A.
9080:is equivalent to a series
5937:fractional harmonic number
4765:roots of the zeta function
4424:follows a similar series:
3855:Glaisher–Kinkelin constant
1306:Relation to gamma function
754:quantum information theory
724:coupon collector's problem
651:dimensional regularization
624:A product formula for the
586:Expressions involving the
497:
29:
18886:
18783:Euler–Mascheroni constant
18758:
18716:Gourdon and Sebah (2004).
18641:10.2478/s12175-009-0127-2
18380:Finch, Steven R. (2003).
18132:10.1080/10652461003593294
18015:10.1007/978-3-030-73169-4
17828:10.1007/s11139-013-9528-5
17795:10.1016/j.jnt.2015.06.012
17536:10.1007/s11139-006-0075-1
17075:"Sur la série harmonique"
16971:10.1016/j.amc.2017.08.053
16879:Sondow, Jonathan (2005).
16799:Sondow, Jonathan (1998).
16598:10.1016/j.jnt.2010.07.004
16405:Papanikolaou, T. (1997).
16374:Algorithmic Number Theory
15597:Christian Fredrik Lindman
15031:The basic properties are
13323:. The numerical value of
4623:{\displaystyle \zeta (2)}
1087:is at least two. In 2010
953:is transcendental (here,
208:Euler–Mascheroni constant
172:
162:
152:
144:
139:
123:
115:
110:
97:
92:
18:Euler–Mascheroni constant
18833:Euler's rotation theorem
18433:Messenger of Mathematics
18003:Ramaré, Olivier (2022).
17004:Messenger of Mathematics
16953:Chen, Chao-Ping (2018).
16684:Die Eulersche Konstante
16585:Journal of Number Theory
13992:hypergeometric functions
7616:with equivalent series:
7608:using a special case of
4422:Stirling's approximation
2181:whose terms involve the
729:In some formulations of
717:chi-squared distribution
665:Meissel–Mertens constant
639:Euler's totient function
562:Carl Anton Bretschneider
30:Not to be confused with
18793:Euler–Rodrigues formula
18773:Euler–Maclaurin formula
18763:Euler–Lagrange equation
18711:, E.A. Karatsuba (2005)
18576:10.4064/aa-27-1-125-142
18515:10.1023/A:1019137125281
17353:Riemann's Zeta Function
17351:Edwards, H. M. (1974).
16682:Krämer, Stefan (2005).
16535:Rivoal, Tanguy (2012).
15801:Richard P. Brent &
15682:John William Wrench Jr.
15319:greatest common divisor
14868:Masser–Gramain constant
5966:{\displaystyle \{1/x\}}
4780:{\displaystyle \gamma }
4136:{\displaystyle \gamma }
4082:{\displaystyle \gamma }
2407:{\displaystyle \gamma }
1828:(expressed in terms of
1824:A limit related to the
1037:Euler–Gompertz constant
663:The calculation of the
643:The growth rate of the
228:difference between the
18919:Mathematical constants
18868:Euler number (physics)
18798:Euler–Tricomi equation
18554:Lehmer, D. H. (1975).
18382:Mathematical Constants
17724:Matematiche e Naturali
17478:
17396:
17296:
17237:
17203:
17037:expansion, as it were.
16904:
16869:See formulas 1 and 10.
16779:
16758:
16735:and complex conjugate
16729:
16554:10.1307/mmj/1339011525
16493:10.1098/rspa.1968.0111
16072:Havil, Julian (2003).
15433:
15309:
15215:
15126:
15023:
14874:Euler–Lehmer constants
14855:
14777:where again the limit
14769:
14678:
14618:
14540:
14481:
14391:
14319:
14250:
14177:
14088:
13982:
13908:
13859:
13651:
13580:
13453:
13311:
13271:
13146:
13045:
12927:
12810:
12758:
12588:
12465:
12314:
12181:
12031:
11943:
11855:
11712:
11635:
11567:
11435:
11378:
11264:
11123:
11080:
10960:
10891:
10584:
10482:
10374:
10324:
10277:
10208:
10145:
10068:
9952:
9912:
9840:
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9616:
9522:
9248:
9193:
9125:
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9005:
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8481:
8357:
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7000:
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6853:
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5999:
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4678:
4644:
4624:
4587:
4553:
4525:. Mengoli proved that
4508:
4475:
4411:
4310:
4211:
4175:
4137:
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3044:
2943:
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2740:
2577:
2498:
2437:of the zeta function:
2431:
2408:
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2318:
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2161:
2061:
1816:
1545:
1388:
1241:
1167:
1081:
1019:
983:
947:
806:
682:In the regularization/
603:The first term of the
424:
319:
206:(sometimes called the
200:
131:Analytic number theory
18808:Euler's critical load
18778:Euler–Maruyama method
18469:"The Euler constant:
17815:The Ramanujan Journal
17743:Q. J. Pure Appl. Math
17696:Q. J. Pure Appl. Math
17671:Q. J. Pure Appl. Math
17514:The Ramanujan Journal
17479:
17397:
17297:
17217:
17204:
17127:10.1017/9781009004091
16905:
16780:
16778:{\displaystyle \rho }
16759:
16730:
16728:{\displaystyle \rho }
15760:William A. Beyer and
15553:Johann G. von Soldner
15434:
15310:
15189:
15100:
15024:
14856:
14770:
14679:
14619:
14541:
14461:
14392:
14299:
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14178:
14068:
13983:
13888:
13860:
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13560:
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13312:
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13147:
13025:
12907:
12790:
12759:
12589:
12466:
12323:Asymptotic expansions
12315:
12205:of the second order.
12182:
12011:
11944:
11835:
11713:
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7610:Hadjicostas's formula
7597:
7345:
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4800:{\displaystyle \rho }
4782:
4754:
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4658:
4645:
4630:, placing it between
4625:
4588:
4533:
4509:
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4290:
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3670:Hurwitz zeta function
3646:
3579:
3533:
3486:(rather than 0.5) as
3445:
3378:
3325:
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3045:
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2432:
2430:{\displaystyle \rho }
2409:
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2183:Riemann zeta function
2162:
2041:
1817:
1546:
1389:
1242:
1147:
1082:
1020:
984:
948:
807:
609:Riemann zeta function
425:
299:
212:mathematical constant
198:
18768:Euler–Lotka equation
18653:with an Appendix by
18246:"Large Computations"
17455:
17373:
17326:Mathematics Magazine
17213:
17145:
16885:
16805:Mathematics Magazine
16769:
16739:
16719:
16690:und verwandte Zahlen
15568:Carl Friedrich Gauss
15341:
15037:
14882:
14783:
14692:
14636:
14558:
14424:
14411:as the special case
14262:
14003:
13885:
13676:
13384:
13194:
12783:
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12218:
12203:Gregory coefficients
11972:
11726:
11579:
11460:
11298:
11094:
10925:
10516:
10501:Gregory coefficients
10345:
10167:
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9564:
9211:
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3503:
3495:rational zeta series
3342:
3334:de la Vallée-Poussin
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1838:
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1402:
1337:
1097:
1048:
993:
957:
878:
827:has not been proved
772:
735:A definition of the
659:quantum field theory
634:for small arguments.
618:Calculations of the
588:exponential integral
246:
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15762:Michael S. Waterman
15701:Helmut Fischer and
15639:James W.L. Glaisher
15471:
14628:Stieltjes constants
14511:
14354:
13997:It also holds that
9539:logarithm to base 2
8437:
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7877:
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4400:
4341:
4121:Srinivasa Ramanujan
3490:tends to infinity.
705:information entropy
699:Gumbel distribution
613:Stieltjes constants
556:. For example, the
534:used the notations
359:
111:General information
18687:Weisstein, Eric W.
18604:. Galeati, Ticini.
18484:Probl. Inf. Transm
18321:Polymath Collector
18297:Yee, Alexander J.
18278:Yee, Alexander J.
18188:, pp. 117–18.
18175:. OEIS Foundation.
18068:. OEIS Foundation.
17992:. OEIS Foundation.
17967:. OEIS Foundation.
17932:. pp. 147–8.
17474:
17392:
17292:
17291:
17199:
17198:
17149:
16998:Lodge, A. (1904).
16900:
16899:
16862:10.1007/BF03191819
16775:
16754:
16725:
16382:10.1007/bfb0054873
16199:Bretschneider 1837
16163:. OEIS Foundation.
15537:Lorenzo Mascheroni
15466:
15429:
15305:
15303:
15019:
14979:
14921:
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14807:
14765:
14674:
14626:gives rise to the
14614:
14536:
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14201:continued fraction
14195:Continued fraction
14173:
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9189:
9064:
8949:
8830:
8745:. This is because
8695:
8675:
8567:
8520:
8423:
8353:
8351:
8074:
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