1196:
830:
3518:
3156:
4244:
3884:
1698:
1452:
839:
473:
2630:
3165:
2803:
3893:
3533:
1459:
1213:
2235:
2379:
2797:
For example, there are only 3 partitions of 7, shown in bold below, into parts differing by at least 2 (note: if a number is repeated in a partition, it means a difference of 0 between two parts, hence the partition is not counted):
1191:{\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},\mathbf {4^{1}3^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}1^{1}} ,4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}
825:{\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},\mathbf {5^{1}1^{2}} ,4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},\mathbf {3^{2}1^{1}} ,3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},\mathbf {3^{1}1^{4}} ,2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }
2097:
2426:
3513:{\displaystyle 7,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},\mathbf {4^{1}1^{3}} ,3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }
3151:{\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}
3527:
For an example of the second statement of the Rogers-Ramanujan identities, we consider partitions of 7 with the further restriction of the smallest part at least 2, and there are only 2, shown in bold below:
2764:
If instead of counting the number of partitions with distinct parts we count the number of partitions with parts differing by at least 2, a further generalization is possible. It was first discovered by
4239:{\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},\mathbf {3^{1}2^{2}} ,3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}
3879:{\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}
1693:{\displaystyle \mathbf {6} ,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,\mathbf {3^{2}} ,\mathbf {3^{1}2^{1}1^{1}} ,3^{1}1^{3},2^{3},\mathbf {2^{2}1^{2}} ,2^{1}1^{4},1^{6}}
1447:{\displaystyle 6,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,3^{2},3^{1}2^{1}1^{1},3^{1}1^{3},\mathbf {2^{3}} ,\mathbf {2^{2}1^{2}} ,\mathbf {2^{1}1^{4}} ,\mathbf {1^{6}} }
335:
231:
277:
2788:
2) The number of partitions whose parts differ by at least 2 and with the smallest part at least 2 is equal to the number of partitions involving only numbers congruent to 2 or 3 (mod 5).
1905:
1847:
454:
2112:
2250:
2748:
2712:
2673:
2418:
1977:
1941:
1785:
1745:
364:
123:
404:
384:
175:
155:
93:
73:
53:
1982:
2625:{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}={\frac {1-x^{d}}{1-x}}{\frac {1-x^{2d}}{1-x^{2}}}\dots {\frac {1-x^{kd}}{1-x^{k}}}\dots }
4266:
2785:
1) The number of partitions whose parts differ by at least 2 is equal to the number of partitions involving only numbers congruent to 1 or 4 (mod 5).
4302:
2103:
1200:
The partitions in bold in the first and second case are not the same, and it is not obvious why their number is the same.
282:
184:
4333:
1208:
Among the 11 partitions of the number 6, there are 7, shown in bold below, that contain only parts not divisible by 3:
236:
834:
If we count now the partitions of 7 with distinct parts (i.e. where no number is repeated), we also obtain 5:
2639:
in the denominator. What remains after canceling all the numerator terms is exactly the infinite product for
4262:
32:
4343:
2778:
2759:
1852:
1794:
2230:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1,d\nmid n}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{n}}}}
412:
2374:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}}
4338:
4271:
1456:
And if we count the partitions of 6 with no part that repeats more than 2 times, we also obtain 7:
2717:
2681:
2642:
2387:
1946:
1910:
1754:
1714:
2102:
Each generating function can be rewritten as infinite products (with a method similar to the
464:
Among the 15 partitions of the number 7, there are 5, shown in bold below, that contain only
4293:
2766:
8:
2770:
1708:
366:
this becomes the special case known as Euler's theorem, that the number of partitions of
343:
102:
409:
In the following examples, we use the multiplicity notation of partitions. For example,
1849:. The uniqueness of ordinary generating functions implies that instead of proving that
389:
369:
160:
140:
78:
58:
38:
2092:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}}
134:
28:
16:
On the number of partitions of an integer into parts not divisible by another integer
4315:
4310:
4297:
2635:
we see that each term in the numerator cancels with the corresponding multiple of
96:
4327:
20:
3888:
And there are also only 2 partitions of 7 involving only the parts 2, 3, 7:
3160:
And there are also only 3 partitions of 7 involving only the parts 1, 4, 6:
2774:
181:
or more times, which can be written formally as partitions of the form
177:
is equal to the number of partitions in which no part is repeated
75:
is equal to the number of partitions in which no part is repeated
1907:
for all n, it suffices to prove that the generating functions of
95:
or more times. This generalizes a result established in 1748 by
386:
into distinct parts is equal to the number of partitions of
456:
is a notation for the partition 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3.
1787:
the number of partitions with no parts repeated more than
459:
35:, it states that the number of partitions of an integer
3896:
3536:
3168:
2806:
2720:
2684:
2645:
2429:
2390:
2253:
2115:
1985:
1949:
1913:
1855:
1797:
1757:
1717:
1462:
1216:
842:
476:
415:
392:
372:
346:
285:
239:
187:
163:
143:
105:
81:
61:
41:
1747:
the number of partitions with no parts divisible by
330:{\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+d-1}+1}
226:{\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}
4238:
3878:
3512:
3150:
2742:
2706:
2667:
2624:
2412:
2373:
2229:
2091:
1971:
1935:
1899:
1841:
1779:
1739:
1692:
1446:
1190:
824:
448:
398:
378:
358:
329:
271:
225:
169:
149:
117:
87:
67:
47:
4261:
4325:
272:{\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+1}}
2753:
1791:times, then the theorem means that for all n
4292:
1707:A proof of the theorem can be obtained with
2104:infinite product of the partition function
4314:
4298:"Two nonexistence theorems on partitions"
4326:
2777:in 1917, in what are now known as the
2384:If we expand the infinite product for
460:Example for d=2 (Euler's theorem case)
27:is an identity useful to the study of
2769:in 1894, and then independently by
2678:Hence the generating functions for
13:
2446:
2323:
2270:
2197:
2132:
2055:
2002:
1203:
14:
4355:
2237:(i.e. the product of terms where
1900:{\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}
1842:{\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}
4092:
4088:
4082:
4078:
3898:
3584:
3580:
3574:
3570:
3538:
3504:
3500:
3318:
3314:
3308:
3304:
3191:
3187:
3181:
3177:
2856:
2852:
2846:
2842:
2831:
2827:
2821:
2817:
2808:
1648:
1644:
1638:
1634:
1587:
1583:
1577:
1573:
1567:
1563:
1552:
1548:
1537:
1533:
1527:
1523:
1512:
1508:
1502:
1498:
1487:
1483:
1477:
1473:
1464:
1438:
1434:
1423:
1419:
1413:
1409:
1398:
1394:
1388:
1384:
1373:
1369:
1289:
1285:
1279:
1275:
1264:
1260:
1254:
1250:
1239:
1235:
1229:
1225:
975:
971:
965:
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955:
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930:
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812:
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651:
647:
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547:
543:
537:
533:
478:
4316:10.1090/S0002-9904-1946-08605-X
449:{\displaystyle 1^{4}2^{1}3^{2}}
4255:
2737:
2731:
2701:
2695:
2662:
2656:
2407:
2401:
2291:
2285:
2153:
2147:
2076:
2070:
2023:
2017:
1966:
1960:
1930:
1924:
1894:
1888:
1872:
1866:
1836:
1830:
1814:
1808:
1774:
1768:
1734:
1728:
1:
4286:
133:It states that the number of
3522:
2792:
157:into parts not divisible by
128:
55:into parts not divisible by
33:James Whitbread Lee Glaisher
7:
2779:Rogers-Ramanujan identities
2760:Rogers-Ramanujan identities
2754:Rogers-Ramanujan identities
10:
4360:
2757:
4334:Theorems in number theory
4267:"A theorem in partitions"
468:(i.e. only odd numbers):
4248:
2743:{\displaystyle q_{d}(n)}
2707:{\displaystyle p_{d}(n)}
2668:{\displaystyle p_{d}(n)}
2413:{\displaystyle q_{d}(n)}
1972:{\displaystyle q_{d}(n)}
1936:{\displaystyle p_{d}(n)}
1780:{\displaystyle q_{d}(n)}
1740:{\displaystyle p_{d}(n)}
1702:
4303:Bull. Amer. Math. Soc.
4240:
3880:
3514:
3152:
2744:
2708:
2669:
2626:
2450:
2414:
2375:
2327:
2274:
2231:
2201:
2136:
2093:
2059:
2006:
1973:
1937:
1901:
1843:
1781:
1741:
1694:
1448:
1192:
826:
450:
400:
380:
360:
331:
273:
227:
171:
151:
119:
89:
69:
49:
4241:
3881:
3515:
3153:
2745:
2709:
2670:
2627:
2430:
2415:
2376:
2307:
2254:
2232:
2169:
2116:
2094:
2039:
1986:
1979:are equal, i.e. that
1974:
1938:
1902:
1844:
1782:
1742:
1695:
1449:
1193:
827:
451:
401:
381:
361:
332:
274:
228:
172:
152:
120:
90:
70:
50:
31:. Proved in 1883 by
3894:
3534:
3166:
2804:
2767:Leonard James Rogers
2718:
2682:
2643:
2427:
2388:
2251:
2241:is not divisible by
2113:
1983:
1947:
1911:
1853:
1795:
1755:
1715:
1709:generating functions
1460:
1214:
840:
474:
413:
390:
370:
344:
283:
237:
185:
161:
141:
103:
79:
59:
39:
359:{\displaystyle d=2}
118:{\displaystyle d=2}
4344:Integer partitions
4272:Messenger of Math.
4236:
3876:
3510:
3148:
2781:. It states that:
2740:
2704:
2665:
2622:
2410:
2371:
2227:
2089:
1969:
1933:
1897:
1839:
1777:
1737:
1690:
1444:
1188:
822:
446:
396:
376:
356:
327:
269:
223:
167:
147:
115:
85:
65:
45:
29:integer partitions
25:Glaisher's theorem
4263:J. W. L. Glaisher
2617:
2571:
2528:
2492:
2369:
2225:
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379:{\displaystyle n}
170:{\displaystyle d}
150:{\displaystyle n}
88:{\displaystyle d}
68:{\displaystyle d}
48:{\displaystyle n}
4351:
4320:
4318:
4280:
4279:
4259:
4245:
4243:
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4235:
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4212:
4211:
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4198:
4189:
4188:
4176:
4175:
4166:
4165:
4153:
4152:
4143:
4142:
4130:
4129:
4120:
4119:
4110:
4109:
4097:
4096:
4095:
4086:
4085:
4072:
4071:
4062:
4061:
4049:
4048:
4039:
4038:
4026:
4025:
4016:
4015:
4006:
4005:
3993:
3992:
3983:
3982:
3970:
3969:
3960:
3959:
3947:
3946:
3937:
3936:
3924:
3923:
3914:
3913:
3901:
3885:
3883:
3882:
3877:
3875:
3874:
3862:
3861:
3852:
3851:
3839:
3838:
3829:
3828:
3816:
3815:
3806:
3805:
3793:
3792:
3783:
3782:
3770:
3769:
3760:
3759:
3750:
3749:
3737:
3736:
3727:
3726:
3714:
3713:
3704:
3703:
3691:
3690:
3681:
3680:
3668:
3667:
3658:
3657:
3648:
3647:
3635:
3634:
3625:
3624:
3612:
3611:
3602:
3601:
3589:
3588:
3587:
3578:
3577:
3564:
3563:
3554:
3553:
3541:
3519:
3517:
3516:
3511:
3509:
3508:
3507:
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3493:
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3437:
3425:
3424:
3415:
3414:
3402:
3401:
3392:
3391:
3382:
3381:
3369:
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