4729:
2852:
4246:
3862:
6912:
5143:
6220:
2427:
1932:
5722:
4724:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x){\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt.}
7341:
3598:
6629:
4738:
5949:
4042:
1532:
1173:
5406:
3563:
6458:
2847:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{k}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt}
921:
7153:
7148:
5942:
5321:
3897:
1028:
3330:
4239:
6309:
8011:
6546:
3857:{\displaystyle \int _{\delta \leq |x|\leq \pi }F_{n}(x)\,dx={\frac {2}{n}}\int _{\delta \leq x\leq \pi }{\frac {\sin ^{2}(nx/2)}{\sin ^{2}(x/2)}}\,dx\leq {\frac {2}{n}}\int _{\delta \leq x\leq \pi }{\frac {1}{\sin ^{2}(x/2)}}\,dx}
2238:
2060:
1355:
6907:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }2M\,F_{n}(t)\,dt={\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}
3120:
5138:{\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=|{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|\,F_{n}(t)|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,|F_{n}(t)|\,dt,}
6215:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }\epsilon \,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt}
729:
7790:
1927:{\displaystyle s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,D_{n}(x-t)\,dt.}
5717:{\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)+\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)}
2951:
2379:
488:
7430:
7001:
5811:
7008:
1019:
6279:
740:
593:
6623:
5150:
1483:
74:
5399:
4111:
7499:
5827:
311:
4118:
7336:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \lim _{n\to \infty }\epsilon \,+\lim _{n\to \infty }{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}
7715:
7540:
7628:
7582:
6305:
2421:
2117:
5357:
6465:
2995:
347:
197:
1939:
3591:
3023:
392:
7844:
7670:
1525:
1232:
3319:
3283:
3247:
2283:
1397:
237:
133:
7817:
3208:
3181:
3154:
623:
97:
3884:
370:
161:
7894:
2122:
4037:{\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R} }
1168:{\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R} }
1237:
3558:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((2k+1)x/2)}{\sin(x/2)}}={\frac {1}{n}}{\frac {\sin ^{2}(nx/2)}{\sin ^{2}(x/2)}}\geq 0}
3028:
2289:
410:
6453:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt}
5813:. We can do this by proving that each integral above, integral 1 and integral 2, goes to zero. This is precisely what we'll do in the next step.
631:
8055:
7672:. This is because there exist functions whose Fourier series fails to converge at some point. However, the set of points at which a function in
951:
7734:
2874:
7343:
By Lemma 3c we know that the integral goes to 0 as n goes to infinity, and because epsilon is arbitrary, we can set it equal to 0. Hence
1406:
8195:
7346:
6917:
5727:
916:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt}
6225:
500:
8171:
8124:
6558:
7143:{\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \epsilon \,+{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}
8069:
43:
5937:{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:|x-y|\leq \delta \implies |f(x)-f(y)|\leq \epsilon }
5824:
that every periodic function on that is continuous is also bounded and uniformily continuous. This means that
5362:
4049:
7453:
2381:
As in the case of Lemma 1, we substitute the integral form of the
Fourier coefficients into the formula for
8122:
Rogosinski, W. W.; Rogosinski, H. P. (December 1965). "An elementary companion to a theorem of J. Mercer".
246:
5316:{\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt.}
7675:
7504:
7721:, was proven in 1966 by L. Carleson. We can however prove a corollary relating which goes as follows:
7591:
7545:
6284:
2384:
2080:
5326:
3892:
We are now ready to prove Fejér's
Theorem. First, let us recall the statement we are trying to prove
2958:
316:
166:
5821:
1023:
with uniform convergence. With the convergence written out explicitly, the above statement becomes
3570:
3002:
375:
8190:
7822:
7633:
1488:
1195:
3322:
7850:
A more general form of the theorem applies to functions which are not necessarily continuous (
3288:
3252:
3216:
2252:
1366:
206:
102:
8074:
7718:
8050:
4234:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt.}
8161:
7795:
3186:
3159:
3132:
601:
79:
8:
8079:
8016:
Existence or divergence to infinity of the Cesàro mean is also implied. By a theorem of
7588:
Sadly however, the theorem does not work in a general sense when we replace the sequence
349:
8027:
8006:{\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}
6541:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt=\epsilon }
3869:
2233:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt}
355:
146:
2055:{\displaystyle s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{n}(t)\,dt.}
8167:
8141:
1350:{\displaystyle s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{n}(t)\,dt}
8133:
1400:
240:
27:
8095:
3115:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{\delta \leq |x|\leq \pi }F_{n}(x)\,dx=0}
1485:
We substitute the integral form of the
Fourier coefficients into the formula for
6548:
This gives the desired bound for integral 1 which we can exploit in final step.
2247:
940:
200:
8157:
140:
8184:
8145:
24:
7440:
In fact, Fejér's theorem can be modified to hold for pointwise convergence.
8017:
5323:
We now split the integral into two parts, integrating over the two regions
724:{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt.}
136:
7717:
diverges has to be measure zero. This fact, called Lusins conjecture or
8137:
7785:{\displaystyle s_{n}\in \mathbb {C} ,\,\forall n\in \,\mathbb {Z} _{+}}
7435:
2946:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,dx=1}
21:
8020:, Fejér's theorem holds precisely as stated if the (C, 1) mean σ
2374:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}
483:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{inx}}
8166:(2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988),
7425:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}
6996:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}
5806:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}
3183:, the integral of which is 1, by linearity, the integral of
5724:
The motivation for doing so is that we want to prove that
1014:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}(f,x)=f(x)}
7888:, or if both limits are infinite of the same sign, then
6274:{\displaystyle F_{n}(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} }
588:{\displaystyle s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}
8102:, Cambridge University Press, pp. 1–3, 1988-07-21
8051:« Sur les fonctions intégrables et bornées »
7897:
7825:
7798:
7737:
7678:
7636:
7594:
7548:
7507:
7456:
7349:
7156:
7011:
6920:
6632:
6561:
6468:
6312:
6287:
6228:
5952:
5830:
5730:
5409:
5365:
5329:
5153:
4741:
4249:
4121:
4052:
3900:
3872:
3601:
3573:
3333:
3291:
3255:
3219:
3189:
3162:
3135:
3031:
3005:
2961:
2877:
2430:
2387:
2292:
2255:
2125:
2083:
1942:
1535:
1491:
1409:
1369:
1240:
1198:
1031:
954:
743:
634:
604:
503:
413:
378:
358:
319:
249:
209:
169:
149:
105:
82:
46:
8121:
7436:
6618:{\displaystyle M=\sup _{-\pi \leq t\leq \pi }|f(t)|}
3866:This shows that the integral converges to zero, as
490:where the nth partial sum of the Fourier series of
398:
8005:
7838:
7811:
7784:
7709:
7664:
7622:
7576:
7534:
7493:
7424:
7335:
7142:
6995:
6906:
6617:
6540:
6452:
6299:
6273:
6214:
5936:
5805:
5716:
5393:
5351:
5315:
5137:
4723:
4233:
4105:
4036:
3878:
3856:
3585:
3557:
3313:
3277:
3241:
3202:
3175:
3148:
3114:
3017:
2989:
2945:
2846:
2415:
2373:
2277:
2232:
2111:
2054:
1926:
1519:
1477:
1391:
1349:
1226:
1167:
1013:
915:
723:
617:
587:
482:
386:
364:
341:
305:
231:
191:
155:
127:
91:
68:
5944:. Hence we can rewrite the integral 1 as follows
3249:is a geometric sum, we get an simple formula for
2867:The Fejer Kernel has the following 3 properties:
1478:{\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}.}
8182:
7351:
7250:
7227:
7158:
6922:
6569:
5732:
3033:
956:
403:Explicitly, we can write the Fourier series of
1234:may be written using the Dirichlet Kernel as:
69:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
7819:converges to s as n goes to infinity, then
7584:converges pointwise as n goes to infinity.
1177:
5890:
5886:
3959:
3955:
2119:may be written using the Fejér Kernel as:
1192:The nth partial sum of the Fourier series
1090:
1086:
7772:
7769:
7759:
7752:
7326:
7245:
7133:
7068:
6897:
6826:
6806:
6743:
6723:
6525:
6505:
6443:
6423:
6377:
6357:
6267:
6205:
6185:
6131:
6111:
6057:
6037:
5702:
5682:
5572:
5552:
5303:
5283:
5125:
5095:
5009:
4984:
4892:
4872:
4711:
4691:
4609:
4589:
4534:
4460:
4440:
4364:
4344:
4221:
4201:
4030:
4019:
3932:
3917:
3913:
3847:
3766:
3653:
3099:
2930:
2837:
2817:
2756:
2693:
2632:
2612:
2042:
2022:
1914:
1888:
1833:
1340:
1320:
1161:
1150:
1063:
1048:
1044:
463:
380:
62:
54:
5394:{\displaystyle \delta \leq |t|\leq \pi }
4733:Applying the triangle inequality yields
8156:
8031:
7851:
6555:is bounded, we can write this bound as
4106:{\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|}
8183:
8070:Untersuchungen über Fouriersche Reihen
7862:(-π,π). If the left and right limits
7846:converges to s as n goes to infinity.
7494:{\displaystyle f\in L^{2}(-\pi ,\pi )}
3889:This completes the proof of Lemma 3.
2854:This completes the proof of Lemma 2.
2064:This completes the proof of Lemma 1.
306:{\displaystyle s_{0}(f),...,s_{n}(f)}
76:be a continuous function with period
8117:
8115:
8090:
8088:
1182:We first prove the following lemma:
6551:For integral 2, we note that since
2067:We next prove the following lemma:
1934:Using a change of variables we get
946:Then, Fejér's theorem asserts that
13:
7854:, Theorem III.3.4). Suppose that
7760:
7361:
7260:
7237:
7168:
6932:
6460:By Lemma 3a we then get for all n
6257:
5846:
5831:
5742:
4046:We want to find an expression for
4020:
3914:
3901:
3043:
1151:
1045:
1032:
966:
448:
443:
14:
8207:
8112:
8085:
7710:{\displaystyle L^{2}(-\pi ,\pi )}
7535:{\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}
8196:Theorems in approximation theory
8100:An Introduction to Hilbert Space
7623:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}
7577:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}
6300:{\displaystyle \delta \leq \pi }
5816:We first note that the function
4113:. We begin by invoking Lemma 2:
2416:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}
2112:{\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}
399:Explanation of Fejér's Theorem's
6914:We are now ready to prove that
5352:{\displaystyle |t|\leq \delta }
2246:: Recall the definition of the
598:where the Fourier coefficients
8125:Journal d'Analyse Mathématique
8062:
8059:, 10 décembre 1900, 984-987, .
8043:
7992:
7973:
7964:
7945:
7924:
7921:
7908:
7704:
7689:
7659:
7647:
7617:
7605:
7571:
7559:
7529:
7514:
7488:
7473:
7412:
7408:
7402:
7393:
7381:
7367:
7358:
7323:
7317:
7295:
7287:
7257:
7234:
7219:
7215:
7209:
7200:
7188:
7174:
7165:
7130:
7124:
7102:
7094:
7058:
7054:
7048:
7039:
7027:
7013:
6983:
6979:
6973:
6964:
6952:
6938:
6929:
6894:
6888:
6866:
6858:
6823:
6817:
6788:
6780:
6740:
6734:
6719:
6715:
6709:
6700:
6688:
6681:
6668:
6660:
6611:
6607:
6601:
6594:
6522:
6516:
6440:
6434:
6374:
6368:
6345:
6337:
6245:
6239:
6202:
6196:
6173:
6165:
6128:
6122:
6096:
6088:
6054:
6048:
6033:
6029:
6023:
6014:
6002:
5995:
5982:
5974:
5924:
5920:
5914:
5905:
5899:
5892:
5887:
5876:
5862:
5793:
5789:
5783:
5774:
5762:
5748:
5739:
5699:
5693:
5678:
5674:
5668:
5659:
5647:
5640:
5627:
5619:
5569:
5563:
5548:
5544:
5538:
5529:
5517:
5510:
5497:
5489:
5456:
5452:
5446:
5437:
5425:
5411:
5381:
5373:
5339:
5331:
5300:
5294:
5279:
5275:
5269:
5260:
5248:
5241:
5200:
5196:
5190:
5181:
5169:
5155:
5121:
5117:
5111:
5097:
5091:
5087:
5081:
5072:
5060:
5053:
5005:
5001:
4995:
4981:
4978:
4972:
4963:
4951:
4945:
4941:
4900:
4889:
4883:
4869:
4866:
4860:
4851:
4839:
4833:
4796:
4788:
4784:
4778:
4769:
4757:
4743:
4708:
4702:
4688:
4685:
4679:
4670:
4658:
4652:
4606:
4600:
4586:
4580:
4531:
4525:
4479:
4473:
4457:
4451:
4437:
4425:
4383:
4377:
4361:
4355:
4341:
4329:
4287:
4281:
4272:
4260:
4218:
4212:
4198:
4186:
4144:
4132:
4099:
4095:
4089:
4080:
4068:
4054:
4006:
4002:
3990:
3974:
3968:
3961:
3956:
3841:
3827:
3760:
3746:
3728:
3711:
3650:
3644:
3622:
3614:
3543:
3529:
3511:
3494:
3459:
3445:
3434:
3420:
3405:
3402:
3350:
3344:
3308:
3302:
3272:
3266:
3236:
3230:
3096:
3090:
3068:
3060:
3040:
2990:{\displaystyle F_{n}(x)\geq 0}
2978:
2972:
2927:
2921:
2834:
2828:
2814:
2802:
2753:
2750:
2744:
2694:
2690:
2678:
2629:
2623:
2609:
2597:
2518:
2506:
2453:
2441:
2410:
2398:
2368:
2362:
2309:
2303:
2272:
2266:
2221:
2215:
2202:
2190:
2148:
2136:
2106:
2094:
2039:
2033:
2019:
2007:
1965:
1953:
1911:
1899:
1885:
1879:
1828:
1816:
1778:
1772:
1714:
1686:
1680:
1641:
1558:
1546:
1514:
1502:
1426:
1420:
1386:
1380:
1337:
1331:
1317:
1305:
1263:
1251:
1221:
1209:
1137:
1133:
1121:
1105:
1099:
1092:
1087:
1008:
1002:
993:
981:
963:
904:
898:
885:
873:
831:
819:
766:
754:
690:
684:
526:
514:
423:
417:
342:{\displaystyle \sigma _{n}(f)}
336:
330:
300:
294:
266:
260:
226:
220:
192:{\displaystyle \sigma _{n}(f)}
186:
180:
122:
116:
58:
1:
8037:
7432:, which completes the proof.
5820:is continuous on . We invoke
2857:We next prove the 3rd Lemma:
3586:{\displaystyle \delta >0}
3018:{\displaystyle \delta >0}
387:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
7839:{\displaystyle \sigma _{n}}
1363:: Recall the definition of
10:
8212:
7665:{\displaystyle s_{n}(f,x)}
1520:{\displaystyle s_{n}(f,x)}
1227:{\displaystyle s_{n}(f,x)}
239:, that is the sequence of
4241:By Lemma 3a we know that
7445:Modified Fejér's Theorem
5145:and by Lemma 3b, we get
3314:{\displaystyle F_{n}(x)}
3278:{\displaystyle D_{n}(x)}
3242:{\displaystyle D_{n}(x)}
2278:{\displaystyle F_{n}(x)}
1392:{\displaystyle D_{n}(x)}
1178:Proof of Fejér's Theorem
394:as n tends to infinity.
232:{\displaystyle s_{n}(f)}
128:{\displaystyle s_{n}(f)}
30:, states the following:
8030:of the Fourier series (
8007:
7840:
7813:
7786:
7711:
7666:
7624:
7578:
7536:
7495:
7426:
7337:
7144:
7003:. We begin by writing
6997:
6908:
6619:
6542:
6454:
6301:
6275:
6216:
5938:
5807:
5718:
5395:
5353:
5317:
5139:
4725:
4235:
4107:
4038:
3880:
3858:
3587:
3559:
3392:
3315:
3279:
3243:
3204:
3177:
3150:
3116:
3019:
2991:
2947:
2848:
2733:
2560:
2495:
2417:
2375:
2351:
2279:
2234:
2113:
2056:
1928:
1804:
1640:
1587:
1521:
1479:
1455:
1393:
1351:
1228:
1169:
1015:
917:
808:
725:
619:
589:
555:
484:
452:
388:
366:
343:
307:
233:
193:
157:
129:
93:
70:
8075:Mathematische Annalen
8056:C.R. Acad. Sci. Paris
8008:
7841:
7814:
7812:{\displaystyle s_{n}}
7787:
7712:
7667:
7625:
7579:
7537:
7496:
7427:
7338:
7145:
6998:
6909:
6620:
6543:
6455:
6302:
6276:
6217:
5939:
5808:
5719:
5396:
5354:
5318:
5140:
4726:
4236:
4108:
4039:
3881:
3859:
3588:
3560:
3366:
3316:
3280:
3244:
3205:
3203:{\displaystyle F_{n}}
3178:
3176:{\displaystyle D_{n}}
3151:
3149:{\displaystyle F_{n}}
3117:
3020:
2992:
2948:
2849:
2707:
2534:
2469:
2418:
2376:
2325:
2280:
2235:
2114:
2057:
1929:
1781:
1617:
1564:
1522:
1480:
1432:
1394:
1352:
1229:
1170:
1016:
918:
782:
726:
620:
618:{\displaystyle c_{k}}
590:
532:
485:
429:
389:
367:
344:
308:
234:
194:
158:
130:
94:
92:{\displaystyle 2\pi }
71:
8163:Trigonometric Series
8034:, Theorem III.5.1).
7895:
7823:
7796:
7735:
7676:
7634:
7592:
7546:
7505:
7454:
7347:
7154:
7009:
6918:
6630:
6559:
6466:
6310:
6285:
6226:
5950:
5828:
5728:
5407:
5363:
5327:
5151:
4739:
4247:
4119:
4050:
3898:
3870:
3599:
3571:
3331:
3289:
3253:
3217:
3210:is also equal to 1.
3187:
3160:
3133:
3029:
3003:
2959:
2875:
2428:
2385:
2290:
2253:
2123:
2081:
1940:
1533:
1489:
1407:
1367:
1238:
1196:
1029:
952:
741:
734:Then, we can define
632:
602:
501:
411:
376:
356:
317:
313:. Then the sequence
247:
207:
167:
147:
103:
80:
44:
7729: —
7448: —
6504:
6422:
5239:
5051:
4939:
4832:
4651:
4576:
4514:
4421:
4325:
4182:
3323:De Moivre's formula
2910:
2865: —
2798:
2674:
2593:
2186:
2077:The nth Cesaro sum
2075: —
2003:
1875:
1768:
1676:
1301:
1190: —
869:
680:
350:converges uniformly
199:be the sequence of
38: —
8138:10.1007/bf02806398
8003:
7836:
7809:
7782:
7727:
7719:Carleson's theorem
7707:
7662:
7620:
7574:
7532:
7491:
7446:
7422:
7365:
7333:
7264:
7241:
7172:
7140:
6993:
6936:
6904:
6615:
6592:
6538:
6487:
6450:
6405:
6297:
6271:
6212:
5934:
5803:
5746:
5714:
5391:
5349:
5313:
5222:
5135:
5034:
4922:
4815:
4721:
4634:
4559:
4497:
4404:
4308:
4231:
4165:
4103:
4034:
3886:goes to infinity.
3876:
3854:
3583:
3555:
3311:
3275:
3239:
3200:
3173:
3146:
3112:
3047:
3015:
2987:
2943:
2893:
2863:
2844:
2781:
2657:
2576:
2413:
2371:
2275:
2230:
2169:
2109:
2073:
2052:
1986:
1924:
1858:
1751:
1659:
1517:
1475:
1389:
1347:
1284:
1224:
1188:
1165:
1011:
970:
913:
852:
721:
663:
615:
585:
494:may be written as
480:
384:
362:
339:
303:
229:
189:
153:
125:
89:
66:
36:
8173:978-0-521-35885-9
8026:is replaced with
7935:
7725:
7501:be continuous at
7444:
7350:
7273:
7249:
7226:
7157:
7080:
6921:
6844:
6766:
6646:
6568:
6482:
6400:
6326:
6154:
6080:
5966:
5731:
5605:
5481:
5220:
5032:
4920:
4813:
4632:
4557:
4495:
4402:
4306:
4163:
3879:{\displaystyle n}
3845:
3784:
3764:
3671:
3567:c) For all fixed
3547:
3476:
3463:
3364:
3032:
2999:c) For all fixed
2891:
2861:
2779:
2705:
2655:
2574:
2532:
2467:
2323:
2167:
2071:
1984:
1856:
1749:
1657:
1282:
1186:
955:
850:
780:
661:
365:{\displaystyle f}
156:{\displaystyle f}
34:
8203:
8176:
8150:
8149:
8119:
8110:
8109:
8108:
8107:
8092:
8083:
8066:
8060:
8047:
8028:(C, α) mean
8012:
8010:
8009:
8004:
7999:
7995:
7985:
7984:
7957:
7956:
7936:
7928:
7920:
7919:
7907:
7906:
7845:
7843:
7842:
7837:
7835:
7834:
7818:
7816:
7815:
7810:
7808:
7807:
7791:
7789:
7788:
7783:
7781:
7780:
7775:
7755:
7747:
7746:
7730:
7716:
7714:
7713:
7708:
7688:
7687:
7671:
7669:
7668:
7663:
7646:
7645:
7629:
7627:
7626:
7621:
7604:
7603:
7583:
7581:
7580:
7575:
7558:
7557:
7541:
7539:
7538:
7533:
7500:
7498:
7497:
7492:
7472:
7471:
7449:
7431:
7429:
7428:
7423:
7415:
7380:
7379:
7370:
7364:
7342:
7340:
7339:
7334:
7316:
7315:
7306:
7305:
7298:
7290:
7274:
7266:
7263:
7240:
7222:
7187:
7186:
7177:
7171:
7149:
7147:
7146:
7141:
7123:
7122:
7113:
7112:
7105:
7097:
7081:
7073:
7061:
7026:
7025:
7016:
7002:
7000:
6999:
6994:
6986:
6951:
6950:
6941:
6935:
6913:
6911:
6910:
6905:
6887:
6886:
6877:
6876:
6869:
6861:
6845:
6837:
6816:
6815:
6799:
6798:
6791:
6783:
6767:
6765:
6754:
6733:
6732:
6722:
6684:
6679:
6678:
6671:
6663:
6647:
6645:
6634:
6624:
6622:
6621:
6616:
6614:
6597:
6591:
6547:
6545:
6544:
6539:
6515:
6514:
6503:
6498:
6483:
6481:
6470:
6459:
6457:
6456:
6451:
6433:
6432:
6421:
6416:
6401:
6399:
6388:
6367:
6366:
6356:
6355:
6348:
6340:
6327:
6325:
6314:
6306:
6304:
6303:
6298:
6280:
6278:
6277:
6272:
6270:
6238:
6237:
6221:
6219:
6218:
6213:
6195:
6194:
6184:
6183:
6176:
6168:
6155:
6153:
6142:
6121:
6120:
6107:
6106:
6099:
6091:
6081:
6079:
6068:
6047:
6046:
6036:
5998:
5993:
5992:
5985:
5977:
5967:
5965:
5954:
5943:
5941:
5940:
5935:
5927:
5895:
5879:
5865:
5812:
5810:
5809:
5804:
5796:
5761:
5760:
5751:
5745:
5723:
5721:
5720:
5715:
5713:
5709:
5692:
5691:
5681:
5643:
5638:
5637:
5630:
5622:
5606:
5604:
5593:
5583:
5579:
5562:
5561:
5551:
5513:
5508:
5507:
5500:
5492:
5482:
5480:
5469:
5459:
5424:
5423:
5414:
5400:
5398:
5397:
5392:
5384:
5376:
5358:
5356:
5355:
5350:
5342:
5334:
5322:
5320:
5319:
5314:
5293:
5292:
5282:
5244:
5238:
5233:
5221:
5219:
5208:
5203:
5168:
5167:
5158:
5144:
5142:
5141:
5136:
5124:
5110:
5109:
5100:
5094:
5056:
5050:
5045:
5033:
5031:
5020:
5008:
4994:
4993:
4944:
4938:
4933:
4921:
4919:
4908:
4903:
4882:
4881:
4831:
4826:
4814:
4812:
4801:
4799:
4791:
4756:
4755:
4746:
4730:
4728:
4727:
4722:
4701:
4700:
4650:
4645:
4633:
4631:
4620:
4599:
4598:
4575:
4570:
4558:
4556:
4545:
4524:
4523:
4513:
4508:
4496:
4494:
4483:
4450:
4449:
4420:
4415:
4403:
4401:
4390:
4354:
4353:
4324:
4319:
4307:
4305:
4294:
4259:
4258:
4240:
4238:
4237:
4232:
4211:
4210:
4181:
4176:
4164:
4162:
4151:
4131:
4130:
4112:
4110:
4109:
4104:
4102:
4067:
4066:
4057:
4043:
4041:
4040:
4035:
4033:
4009:
3989:
3988:
3964:
3954:
3953:
3935:
3927:
3926:
3885:
3883:
3882:
3877:
3863:
3861:
3860:
3855:
3846:
3844:
3837:
3823:
3822:
3809:
3807:
3806:
3785:
3777:
3765:
3763:
3756:
3742:
3741:
3731:
3724:
3707:
3706:
3696:
3694:
3693:
3672:
3664:
3643:
3642:
3633:
3632:
3625:
3617:
3592:
3590:
3589:
3584:
3564:
3562:
3561:
3556:
3548:
3546:
3539:
3525:
3524:
3514:
3507:
3490:
3489:
3479:
3477:
3469:
3464:
3462:
3455:
3437:
3430:
3394:
3391:
3380:
3365:
3357:
3343:
3342:
3320:
3318:
3317:
3312:
3301:
3300:
3284:
3282:
3281:
3276:
3265:
3264:
3248:
3246:
3245:
3240:
3229:
3228:
3209:
3207:
3206:
3201:
3199:
3198:
3182:
3180:
3179:
3174:
3172:
3171:
3155:
3153:
3152:
3147:
3145:
3144:
3129:: a) Given that
3121:
3119:
3118:
3113:
3089:
3088:
3079:
3078:
3071:
3063:
3046:
3024:
3022:
3021:
3016:
2996:
2994:
2993:
2988:
2971:
2970:
2952:
2950:
2949:
2944:
2920:
2919:
2909:
2904:
2892:
2890:
2879:
2866:
2853:
2851:
2850:
2845:
2827:
2826:
2797:
2792:
2780:
2778:
2767:
2743:
2742:
2732:
2721:
2706:
2698:
2673:
2668:
2656:
2654:
2643:
2622:
2621:
2592:
2587:
2575:
2573:
2562:
2559:
2548:
2533:
2525:
2505:
2504:
2494:
2483:
2468:
2460:
2440:
2439:
2422:
2420:
2419:
2414:
2397:
2396:
2380:
2378:
2377:
2372:
2361:
2360:
2350:
2339:
2324:
2316:
2302:
2301:
2284:
2282:
2281:
2276:
2265:
2264:
2239:
2237:
2236:
2231:
2214:
2213:
2185:
2180:
2168:
2166:
2155:
2135:
2134:
2118:
2116:
2115:
2110:
2093:
2092:
2076:
2061:
2059:
2058:
2053:
2032:
2031:
2002:
1997:
1985:
1983:
1972:
1952:
1951:
1933:
1931:
1930:
1925:
1898:
1897:
1874:
1869:
1857:
1855:
1844:
1832:
1831:
1803:
1798:
1767:
1762:
1750:
1748:
1737:
1732:
1731:
1707:
1706:
1675:
1670:
1658:
1656:
1645:
1639:
1634:
1613:
1612:
1597:
1596:
1586:
1581:
1545:
1544:
1526:
1524:
1523:
1518:
1501:
1500:
1484:
1482:
1481:
1476:
1471:
1470:
1454:
1449:
1419:
1418:
1401:Dirichlet Kernel
1398:
1396:
1395:
1390:
1379:
1378:
1356:
1354:
1353:
1348:
1330:
1329:
1300:
1295:
1283:
1281:
1270:
1250:
1249:
1233:
1231:
1230:
1225:
1208:
1207:
1191:
1174:
1172:
1171:
1166:
1164:
1140:
1120:
1119:
1095:
1085:
1084:
1066:
1058:
1057:
1020:
1018:
1017:
1012:
980:
979:
969:
922:
920:
919:
914:
897:
896:
868:
863:
851:
849:
838:
818:
817:
807:
796:
781:
773:
753:
752:
730:
728:
727:
722:
711:
710:
679:
674:
662:
660:
649:
644:
643:
624:
622:
621:
616:
614:
613:
594:
592:
591:
586:
581:
580:
565:
564:
554:
549:
513:
512:
489:
487:
486:
481:
479:
478:
462:
461:
451:
446:
393:
391:
390:
385:
383:
371:
369:
368:
363:
348:
346:
345:
340:
329:
328:
312:
310:
309:
304:
293:
292:
259:
258:
241:arithmetic means
238:
236:
235:
230:
219:
218:
203:of the sequence
198:
196:
195:
190:
179:
178:
162:
160:
159:
154:
134:
132:
131:
126:
115:
114:
98:
96:
95:
90:
75:
73:
72:
67:
65:
57:
39:
16:In mathematics,
8211:
8210:
8206:
8205:
8204:
8202:
8201:
8200:
8181:
8180:
8174:
8158:Zygmund, Antoni
8153:
8120:
8113:
8105:
8103:
8094:
8093:
8086:
8068:Leopold Fejér,
8067:
8063:
8048:
8044:
8040:
8025:
7980:
7976:
7952:
7948:
7941:
7937:
7927:
7915:
7911:
7902:
7898:
7896:
7893:
7892:
7887:
7872:
7848:
7830:
7826:
7824:
7821:
7820:
7803:
7799:
7797:
7794:
7793:
7776:
7771:
7770:
7751:
7742:
7738:
7736:
7733:
7732:
7728:
7683:
7679:
7677:
7674:
7673:
7641:
7637:
7635:
7632:
7631:
7599:
7595:
7593:
7590:
7589:
7586:
7553:
7549:
7547:
7544:
7543:
7506:
7503:
7502:
7467:
7463:
7455:
7452:
7451:
7447:
7438:
7411:
7375:
7371:
7366:
7354:
7348:
7345:
7344:
7311:
7307:
7294:
7286:
7279:
7275:
7265:
7253:
7230:
7218:
7182:
7178:
7173:
7161:
7155:
7152:
7151:
7118:
7114:
7101:
7093:
7086:
7082:
7072:
7057:
7021:
7017:
7012:
7010:
7007:
7006:
6982:
6946:
6942:
6937:
6925:
6919:
6916:
6915:
6882:
6878:
6865:
6857:
6850:
6846:
6836:
6811:
6807:
6787:
6779:
6772:
6768:
6758:
6753:
6728:
6724:
6718:
6680:
6667:
6659:
6652:
6648:
6638:
6633:
6631:
6628:
6627:
6610:
6593:
6572:
6560:
6557:
6556:
6510:
6506:
6499:
6491:
6474:
6469:
6467:
6464:
6463:
6428:
6424:
6417:
6409:
6392:
6387:
6362:
6358:
6344:
6336:
6335:
6331:
6318:
6313:
6311:
6308:
6307:
6286:
6283:
6282:
6266:
6233:
6229:
6227:
6224:
6223:
6190:
6186:
6172:
6164:
6163:
6159:
6146:
6141:
6116:
6112:
6095:
6087:
6086:
6082:
6072:
6067:
6042:
6038:
6032:
5994:
5981:
5973:
5972:
5968:
5958:
5953:
5951:
5948:
5947:
5923:
5891:
5875:
5861:
5829:
5826:
5825:
5792:
5756:
5752:
5747:
5735:
5729:
5726:
5725:
5687:
5683:
5677:
5639:
5626:
5618:
5611:
5607:
5597:
5592:
5591:
5587:
5557:
5553:
5547:
5509:
5496:
5488:
5487:
5483:
5473:
5468:
5467:
5463:
5455:
5419:
5415:
5410:
5408:
5405:
5404:
5380:
5372:
5364:
5361:
5360:
5338:
5330:
5328:
5325:
5324:
5288:
5284:
5278:
5240:
5234:
5226:
5212:
5207:
5199:
5163:
5159:
5154:
5152:
5149:
5148:
5120:
5105:
5101:
5096:
5090:
5052:
5046:
5038:
5024:
5019:
5004:
4989:
4985:
4940:
4934:
4926:
4912:
4907:
4899:
4877:
4873:
4827:
4819:
4805:
4800:
4795:
4787:
4751:
4747:
4742:
4740:
4737:
4736:
4696:
4692:
4646:
4638:
4624:
4619:
4594:
4590:
4571:
4563:
4549:
4544:
4519:
4515:
4509:
4501:
4487:
4482:
4445:
4441:
4416:
4408:
4394:
4389:
4349:
4345:
4320:
4312:
4298:
4293:
4254:
4250:
4248:
4245:
4244:
4206:
4202:
4177:
4169:
4155:
4150:
4126:
4122:
4120:
4117:
4116:
4098:
4062:
4058:
4053:
4051:
4048:
4047:
4029:
4005:
3984:
3980:
3960:
3949:
3945:
3931:
3922:
3918:
3899:
3896:
3895:
3871:
3868:
3867:
3833:
3818:
3814:
3813:
3808:
3790:
3786:
3776:
3752:
3737:
3733:
3732:
3720:
3702:
3698:
3697:
3695:
3677:
3673:
3663:
3638:
3634:
3621:
3613:
3606:
3602:
3600:
3597:
3596:
3572:
3569:
3568:
3535:
3520:
3516:
3515:
3503:
3485:
3481:
3480:
3478:
3468:
3451:
3438:
3426:
3395:
3393:
3381:
3370:
3356:
3338:
3334:
3332:
3329:
3328:
3296:
3292:
3290:
3287:
3286:
3260:
3256:
3254:
3251:
3250:
3224:
3220:
3218:
3215:
3214:
3194:
3190:
3188:
3185:
3184:
3167:
3163:
3161:
3158:
3157:
3156:is the mean of
3140:
3136:
3134:
3131:
3130:
3124:
3084:
3080:
3067:
3059:
3052:
3048:
3036:
3030:
3027:
3026:
3004:
3001:
3000:
2966:
2962:
2960:
2957:
2956:
2915:
2911:
2905:
2897:
2883:
2878:
2876:
2873:
2872:
2864:
2822:
2818:
2793:
2785:
2771:
2766:
2738:
2734:
2722:
2711:
2697:
2669:
2661:
2647:
2642:
2617:
2613:
2588:
2580:
2566:
2561:
2549:
2538:
2524:
2500:
2496:
2484:
2473:
2459:
2435:
2431:
2429:
2426:
2425:
2392:
2388:
2386:
2383:
2382:
2356:
2352:
2340:
2329:
2315:
2297:
2293:
2291:
2288:
2287:
2260:
2256:
2254:
2251:
2250:
2241:
2209:
2205:
2181:
2173:
2159:
2154:
2130:
2126:
2124:
2121:
2120:
2088:
2084:
2082:
2079:
2078:
2074:
2027:
2023:
1998:
1990:
1976:
1971:
1947:
1943:
1941:
1938:
1937:
1893:
1889:
1870:
1862:
1848:
1843:
1809:
1805:
1799:
1785:
1763:
1755:
1741:
1736:
1721:
1717:
1693:
1689:
1671:
1663:
1649:
1644:
1635:
1621:
1602:
1598:
1592:
1588:
1582:
1568:
1540:
1536:
1534:
1531:
1530:
1496:
1492:
1490:
1487:
1486:
1460:
1456:
1450:
1436:
1414:
1410:
1408:
1405:
1404:
1374:
1370:
1368:
1365:
1364:
1358:
1325:
1321:
1296:
1288:
1274:
1269:
1245:
1241:
1239:
1236:
1235:
1203:
1199:
1197:
1194:
1193:
1189:
1180:
1160:
1136:
1115:
1111:
1091:
1080:
1076:
1062:
1053:
1049:
1030:
1027:
1026:
975:
971:
959:
953:
950:
949:
934:
892:
888:
864:
856:
842:
837:
813:
809:
797:
786:
772:
748:
744:
742:
739:
738:
697:
693:
675:
667:
653:
648:
639:
635:
633:
630:
629:
609:
605:
603:
600:
599:
570:
566:
560:
556:
550:
536:
508:
504:
502:
499:
498:
468:
464:
457:
453:
447:
433:
412:
409:
408:
401:
396:
379:
377:
374:
373:
357:
354:
353:
324:
320:
318:
315:
314:
288:
284:
254:
250:
248:
245:
244:
214:
210:
208:
205:
204:
174:
170:
168:
165:
164:
148:
145:
144:
110:
106:
104:
101:
100:
81:
78:
77:
61:
53:
45:
42:
41:
37:
35:Fejér's Theorem
18:Fejér's theorem
12:
11:
5:
8209:
8199:
8198:
8193:
8191:Fourier series
8179:
8178:
8172:
8152:
8151:
8132:(1): 311–322.
8111:
8096:"Introduction"
8084:
8082:, 1904, 51-69.
8061:
8041:
8039:
8036:
8021:
8014:
8013:
8002:
7998:
7994:
7991:
7988:
7983:
7979:
7975:
7972:
7969:
7966:
7963:
7960:
7955:
7951:
7947:
7944:
7940:
7934:
7931:
7926:
7923:
7918:
7914:
7910:
7905:
7901:
7885:
7870:
7833:
7829:
7806:
7802:
7779:
7774:
7768:
7765:
7762:
7758:
7754:
7750:
7745:
7741:
7723:
7706:
7703:
7700:
7697:
7694:
7691:
7686:
7682:
7661:
7658:
7655:
7652:
7649:
7644:
7640:
7619:
7616:
7613:
7610:
7607:
7602:
7598:
7573:
7570:
7567:
7564:
7561:
7556:
7552:
7531:
7528:
7525:
7522:
7519:
7516:
7513:
7510:
7490:
7487:
7484:
7481:
7478:
7475:
7470:
7466:
7462:
7459:
7442:
7437:
7434:
7421:
7418:
7414:
7410:
7407:
7404:
7401:
7398:
7395:
7392:
7389:
7386:
7383:
7378:
7374:
7369:
7363:
7360:
7357:
7353:
7332:
7329:
7325:
7322:
7319:
7314:
7310:
7304:
7301:
7297:
7293:
7289:
7285:
7282:
7278:
7272:
7269:
7262:
7259:
7256:
7252:
7248:
7244:
7239:
7236:
7233:
7229:
7225:
7221:
7217:
7214:
7211:
7208:
7205:
7202:
7199:
7196:
7193:
7190:
7185:
7181:
7176:
7170:
7167:
7164:
7160:
7139:
7136:
7132:
7129:
7126:
7121:
7117:
7111:
7108:
7104:
7100:
7096:
7092:
7089:
7085:
7079:
7076:
7071:
7067:
7064:
7060:
7056:
7053:
7050:
7047:
7044:
7041:
7038:
7035:
7032:
7029:
7024:
7020:
7015:
6992:
6989:
6985:
6981:
6978:
6975:
6972:
6969:
6966:
6963:
6960:
6957:
6954:
6949:
6945:
6940:
6934:
6931:
6928:
6924:
6903:
6900:
6896:
6893:
6890:
6885:
6881:
6875:
6872:
6868:
6864:
6860:
6856:
6853:
6849:
6843:
6840:
6835:
6832:
6829:
6825:
6822:
6819:
6814:
6810:
6805:
6802:
6797:
6794:
6790:
6786:
6782:
6778:
6775:
6771:
6764:
6761:
6757:
6752:
6749:
6746:
6742:
6739:
6736:
6731:
6727:
6721:
6717:
6714:
6711:
6708:
6705:
6702:
6699:
6696:
6693:
6690:
6687:
6683:
6677:
6674:
6670:
6666:
6662:
6658:
6655:
6651:
6644:
6641:
6637:
6613:
6609:
6606:
6603:
6600:
6596:
6590:
6587:
6584:
6581:
6578:
6575:
6571:
6567:
6564:
6537:
6534:
6531:
6528:
6524:
6521:
6518:
6513:
6509:
6502:
6497:
6494:
6490:
6486:
6480:
6477:
6473:
6449:
6446:
6442:
6439:
6436:
6431:
6427:
6420:
6415:
6412:
6408:
6404:
6398:
6395:
6391:
6386:
6383:
6380:
6376:
6373:
6370:
6365:
6361:
6354:
6351:
6347:
6343:
6339:
6334:
6330:
6324:
6321:
6317:
6296:
6293:
6290:
6269:
6265:
6262:
6259:
6256:
6253:
6250:
6247:
6244:
6241:
6236:
6232:
6211:
6208:
6204:
6201:
6198:
6193:
6189:
6182:
6179:
6175:
6171:
6167:
6162:
6158:
6152:
6149:
6145:
6140:
6137:
6134:
6130:
6127:
6124:
6119:
6115:
6110:
6105:
6102:
6098:
6094:
6090:
6085:
6078:
6075:
6071:
6066:
6063:
6060:
6056:
6053:
6050:
6045:
6041:
6035:
6031:
6028:
6025:
6022:
6019:
6016:
6013:
6010:
6007:
6004:
6001:
5997:
5991:
5988:
5984:
5980:
5976:
5971:
5964:
5961:
5957:
5933:
5930:
5926:
5922:
5919:
5916:
5913:
5910:
5907:
5904:
5901:
5898:
5894:
5889:
5885:
5882:
5878:
5874:
5871:
5868:
5864:
5860:
5857:
5854:
5851:
5848:
5845:
5842:
5839:
5836:
5833:
5802:
5799:
5795:
5791:
5788:
5785:
5782:
5779:
5776:
5773:
5770:
5767:
5764:
5759:
5755:
5750:
5744:
5741:
5738:
5734:
5712:
5708:
5705:
5701:
5698:
5695:
5690:
5686:
5680:
5676:
5673:
5670:
5667:
5664:
5661:
5658:
5655:
5652:
5649:
5646:
5642:
5636:
5633:
5629:
5625:
5621:
5617:
5614:
5610:
5603:
5600:
5596:
5590:
5586:
5582:
5578:
5575:
5571:
5568:
5565:
5560:
5556:
5550:
5546:
5543:
5540:
5537:
5534:
5531:
5528:
5525:
5522:
5519:
5516:
5512:
5506:
5503:
5499:
5495:
5491:
5486:
5479:
5476:
5472:
5466:
5462:
5458:
5454:
5451:
5448:
5445:
5442:
5439:
5436:
5433:
5430:
5427:
5422:
5418:
5413:
5390:
5387:
5383:
5379:
5375:
5371:
5368:
5348:
5345:
5341:
5337:
5333:
5312:
5309:
5306:
5302:
5299:
5296:
5291:
5287:
5281:
5277:
5274:
5271:
5268:
5265:
5262:
5259:
5256:
5253:
5250:
5247:
5243:
5237:
5232:
5229:
5225:
5218:
5215:
5211:
5206:
5202:
5198:
5195:
5192:
5189:
5186:
5183:
5180:
5177:
5174:
5171:
5166:
5162:
5157:
5134:
5131:
5128:
5123:
5119:
5116:
5113:
5108:
5104:
5099:
5093:
5089:
5086:
5083:
5080:
5077:
5074:
5071:
5068:
5065:
5062:
5059:
5055:
5049:
5044:
5041:
5037:
5030:
5027:
5023:
5018:
5015:
5012:
5007:
5003:
5000:
4997:
4992:
4988:
4983:
4980:
4977:
4974:
4971:
4968:
4965:
4962:
4959:
4956:
4953:
4950:
4947:
4943:
4937:
4932:
4929:
4925:
4918:
4915:
4911:
4906:
4902:
4898:
4895:
4891:
4888:
4885:
4880:
4876:
4871:
4868:
4865:
4862:
4859:
4856:
4853:
4850:
4847:
4844:
4841:
4838:
4835:
4830:
4825:
4822:
4818:
4811:
4808:
4804:
4798:
4794:
4790:
4786:
4783:
4780:
4777:
4774:
4771:
4768:
4765:
4762:
4759:
4754:
4750:
4745:
4720:
4717:
4714:
4710:
4707:
4704:
4699:
4695:
4690:
4687:
4684:
4681:
4678:
4675:
4672:
4669:
4666:
4663:
4660:
4657:
4654:
4649:
4644:
4641:
4637:
4630:
4627:
4623:
4618:
4615:
4612:
4608:
4605:
4602:
4597:
4593:
4588:
4585:
4582:
4579:
4574:
4569:
4566:
4562:
4555:
4552:
4548:
4543:
4540:
4537:
4533:
4530:
4527:
4522:
4518:
4512:
4507:
4504:
4500:
4493:
4490:
4486:
4481:
4478:
4475:
4472:
4469:
4466:
4463:
4459:
4456:
4453:
4448:
4444:
4439:
4436:
4433:
4430:
4427:
4424:
4419:
4414:
4411:
4407:
4400:
4397:
4393:
4388:
4385:
4382:
4379:
4376:
4373:
4370:
4367:
4363:
4360:
4357:
4352:
4348:
4343:
4340:
4337:
4334:
4331:
4328:
4323:
4318:
4315:
4311:
4304:
4301:
4297:
4292:
4289:
4286:
4283:
4280:
4277:
4274:
4271:
4268:
4265:
4262:
4257:
4253:
4230:
4227:
4224:
4220:
4217:
4214:
4209:
4205:
4200:
4197:
4194:
4191:
4188:
4185:
4180:
4175:
4172:
4168:
4161:
4158:
4154:
4149:
4146:
4143:
4140:
4137:
4134:
4129:
4125:
4101:
4097:
4094:
4091:
4088:
4085:
4082:
4079:
4076:
4073:
4070:
4065:
4061:
4056:
4032:
4028:
4025:
4022:
4018:
4015:
4012:
4008:
4004:
4001:
3998:
3995:
3992:
3987:
3983:
3979:
3976:
3973:
3970:
3967:
3963:
3958:
3952:
3948:
3944:
3941:
3938:
3934:
3930:
3925:
3921:
3916:
3912:
3909:
3906:
3903:
3875:
3853:
3850:
3843:
3840:
3836:
3832:
3829:
3826:
3821:
3817:
3812:
3805:
3802:
3799:
3796:
3793:
3789:
3783:
3780:
3775:
3772:
3769:
3762:
3759:
3755:
3751:
3748:
3745:
3740:
3736:
3730:
3727:
3723:
3719:
3716:
3713:
3710:
3705:
3701:
3692:
3689:
3686:
3683:
3680:
3676:
3670:
3667:
3662:
3659:
3656:
3652:
3649:
3646:
3641:
3637:
3631:
3628:
3624:
3620:
3616:
3612:
3609:
3605:
3582:
3579:
3576:
3554:
3551:
3545:
3542:
3538:
3534:
3531:
3528:
3523:
3519:
3513:
3510:
3506:
3502:
3499:
3496:
3493:
3488:
3484:
3475:
3472:
3467:
3461:
3458:
3454:
3450:
3447:
3444:
3441:
3436:
3433:
3429:
3425:
3422:
3419:
3416:
3413:
3410:
3407:
3404:
3401:
3398:
3390:
3387:
3384:
3379:
3376:
3373:
3369:
3363:
3360:
3355:
3352:
3349:
3346:
3341:
3337:
3310:
3307:
3304:
3299:
3295:
3274:
3271:
3268:
3263:
3259:
3238:
3235:
3232:
3227:
3223:
3197:
3193:
3170:
3166:
3143:
3139:
3123:
3122:
3111:
3108:
3105:
3102:
3098:
3095:
3092:
3087:
3083:
3077:
3074:
3070:
3066:
3062:
3058:
3055:
3051:
3045:
3042:
3039:
3035:
3014:
3011:
3008:
2997:
2986:
2983:
2980:
2977:
2974:
2969:
2965:
2953:
2942:
2939:
2936:
2933:
2929:
2926:
2923:
2918:
2914:
2908:
2903:
2900:
2896:
2889:
2886:
2882:
2859:
2843:
2840:
2836:
2833:
2830:
2825:
2821:
2816:
2813:
2810:
2807:
2804:
2801:
2796:
2791:
2788:
2784:
2777:
2774:
2770:
2765:
2762:
2759:
2755:
2752:
2749:
2746:
2741:
2737:
2731:
2728:
2725:
2720:
2717:
2714:
2710:
2704:
2701:
2696:
2692:
2689:
2686:
2683:
2680:
2677:
2672:
2667:
2664:
2660:
2653:
2650:
2646:
2641:
2638:
2635:
2631:
2628:
2625:
2620:
2616:
2611:
2608:
2605:
2602:
2599:
2596:
2591:
2586:
2583:
2579:
2572:
2569:
2565:
2558:
2555:
2552:
2547:
2544:
2541:
2537:
2531:
2528:
2523:
2520:
2517:
2514:
2511:
2508:
2503:
2499:
2493:
2490:
2487:
2482:
2479:
2476:
2472:
2466:
2463:
2458:
2455:
2452:
2449:
2446:
2443:
2438:
2434:
2412:
2409:
2406:
2403:
2400:
2395:
2391:
2370:
2367:
2364:
2359:
2355:
2349:
2346:
2343:
2338:
2335:
2332:
2328:
2322:
2319:
2314:
2311:
2308:
2305:
2300:
2296:
2274:
2271:
2268:
2263:
2259:
2229:
2226:
2223:
2220:
2217:
2212:
2208:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2184:
2179:
2176:
2172:
2165:
2162:
2158:
2153:
2150:
2147:
2144:
2141:
2138:
2133:
2129:
2108:
2105:
2102:
2099:
2096:
2091:
2087:
2069:
2051:
2048:
2045:
2041:
2038:
2035:
2030:
2026:
2021:
2018:
2015:
2012:
2009:
2006:
2001:
1996:
1993:
1989:
1982:
1979:
1975:
1970:
1967:
1964:
1961:
1958:
1955:
1950:
1946:
1923:
1920:
1917:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1896:
1892:
1887:
1884:
1881:
1878:
1873:
1868:
1865:
1861:
1854:
1851:
1847:
1842:
1839:
1836:
1830:
1827:
1824:
1821:
1818:
1815:
1812:
1808:
1802:
1797:
1794:
1791:
1788:
1784:
1780:
1777:
1774:
1771:
1766:
1761:
1758:
1754:
1747:
1744:
1740:
1735:
1730:
1727:
1724:
1720:
1716:
1713:
1710:
1705:
1702:
1699:
1696:
1692:
1688:
1685:
1682:
1679:
1674:
1669:
1666:
1662:
1655:
1652:
1648:
1643:
1638:
1633:
1630:
1627:
1624:
1620:
1616:
1611:
1608:
1605:
1601:
1595:
1591:
1585:
1580:
1577:
1574:
1571:
1567:
1563:
1560:
1557:
1554:
1551:
1548:
1543:
1539:
1516:
1513:
1510:
1507:
1504:
1499:
1495:
1474:
1469:
1466:
1463:
1459:
1453:
1448:
1445:
1442:
1439:
1435:
1431:
1428:
1425:
1422:
1417:
1413:
1388:
1385:
1382:
1377:
1373:
1346:
1343:
1339:
1336:
1333:
1328:
1324:
1319:
1316:
1313:
1310:
1307:
1304:
1299:
1294:
1291:
1287:
1280:
1277:
1273:
1268:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1248:
1244:
1223:
1220:
1217:
1214:
1211:
1206:
1202:
1184:
1179:
1176:
1163:
1159:
1156:
1153:
1149:
1146:
1143:
1139:
1135:
1132:
1129:
1126:
1123:
1118:
1114:
1110:
1107:
1104:
1101:
1098:
1094:
1089:
1083:
1079:
1075:
1072:
1069:
1065:
1061:
1056:
1052:
1047:
1043:
1040:
1037:
1034:
1010:
1007:
1004:
1001:
998:
995:
992:
989:
986:
983:
978:
974:
968:
965:
962:
958:
930:
924:
923:
912:
909:
906:
903:
900:
895:
891:
887:
884:
881:
878:
875:
872:
867:
862:
859:
855:
848:
845:
841:
836:
833:
830:
827:
824:
821:
816:
812:
806:
803:
800:
795:
792:
789:
785:
779:
776:
771:
768:
765:
762:
759:
756:
751:
747:
732:
731:
720:
717:
714:
709:
706:
703:
700:
696:
692:
689:
686:
683:
678:
673:
670:
666:
659:
656:
652:
647:
642:
638:
612:
608:
596:
595:
584:
579:
576:
573:
569:
563:
559:
553:
548:
545:
542:
539:
535:
531:
528:
525:
522:
519:
516:
511:
507:
477:
474:
471:
467:
460:
456:
450:
445:
442:
439:
436:
432:
428:
425:
422:
419:
416:
400:
397:
382:
361:
338:
335:
332:
327:
323:
302:
299:
296:
291:
287:
283:
280:
277:
274:
271:
268:
265:
262:
257:
253:
228:
225:
222:
217:
213:
188:
185:
182:
177:
173:
152:
141:Fourier series
124:
121:
118:
113:
109:
88:
85:
64:
60:
56:
52:
49:
32:
20:, named after
9:
6:
4:
3:
2:
8208:
8197:
8194:
8192:
8189:
8188:
8186:
8175:
8169:
8165:
8164:
8159:
8155:
8154:
8147:
8143:
8139:
8135:
8131:
8127:
8126:
8118:
8116:
8101:
8097:
8091:
8089:
8081:
8077:
8076:
8071:
8065:
8058:
8057:
8052:
8049:Lipót Fejér,
8046:
8042:
8035:
8033:
8029:
8024:
8019:
8000:
7996:
7989:
7986:
7981:
7977:
7970:
7967:
7961:
7958:
7953:
7949:
7942:
7938:
7932:
7929:
7916:
7912:
7903:
7899:
7891:
7890:
7889:
7884:
7880:
7876:
7869:
7865:
7861:
7857:
7853:
7847:
7831:
7827:
7804:
7800:
7777:
7766:
7763:
7756:
7748:
7743:
7739:
7722:
7720:
7701:
7698:
7695:
7692:
7684:
7680:
7656:
7653:
7650:
7642:
7638:
7614:
7611:
7608:
7600:
7596:
7585:
7568:
7565:
7562:
7554:
7550:
7526:
7523:
7520:
7517:
7511:
7508:
7485:
7482:
7479:
7476:
7468:
7464:
7460:
7457:
7441:
7433:
7419:
7416:
7405:
7399:
7396:
7390:
7387:
7384:
7376:
7372:
7355:
7330:
7327:
7320:
7312:
7308:
7302:
7299:
7291:
7283:
7280:
7276:
7270:
7267:
7254:
7246:
7242:
7231:
7223:
7212:
7206:
7203:
7197:
7194:
7191:
7183:
7179:
7162:
7137:
7134:
7127:
7119:
7115:
7109:
7106:
7098:
7090:
7087:
7083:
7077:
7074:
7069:
7065:
7062:
7051:
7045:
7042:
7036:
7033:
7030:
7022:
7018:
7004:
6990:
6987:
6976:
6970:
6967:
6961:
6958:
6955:
6947:
6943:
6926:
6901:
6898:
6891:
6883:
6879:
6873:
6870:
6862:
6854:
6851:
6847:
6841:
6838:
6833:
6830:
6827:
6820:
6812:
6808:
6803:
6800:
6795:
6792:
6784:
6776:
6773:
6769:
6762:
6759:
6755:
6750:
6747:
6744:
6737:
6729:
6725:
6712:
6706:
6703:
6697:
6694:
6691:
6685:
6675:
6672:
6664:
6656:
6653:
6649:
6642:
6639:
6635:
6625:
6604:
6598:
6588:
6585:
6582:
6579:
6576:
6573:
6565:
6562:
6554:
6549:
6535:
6532:
6529:
6526:
6519:
6511:
6507:
6500:
6495:
6492:
6488:
6484:
6478:
6475:
6471:
6461:
6447:
6444:
6437:
6429:
6425:
6418:
6413:
6410:
6406:
6402:
6396:
6393:
6389:
6384:
6381:
6378:
6371:
6363:
6359:
6352:
6349:
6341:
6332:
6328:
6322:
6319:
6315:
6294:
6291:
6288:
6263:
6260:
6254:
6251:
6248:
6242:
6234:
6230:
6209:
6206:
6199:
6191:
6187:
6180:
6177:
6169:
6160:
6156:
6150:
6147:
6143:
6138:
6135:
6132:
6125:
6117:
6113:
6108:
6103:
6100:
6092:
6083:
6076:
6073:
6069:
6064:
6061:
6058:
6051:
6043:
6039:
6026:
6020:
6017:
6011:
6008:
6005:
5999:
5989:
5986:
5978:
5969:
5962:
5959:
5955:
5945:
5931:
5928:
5917:
5911:
5908:
5902:
5896:
5883:
5880:
5872:
5869:
5866:
5858:
5855:
5852:
5849:
5843:
5840:
5837:
5834:
5823:
5819:
5814:
5800:
5797:
5786:
5780:
5777:
5771:
5768:
5765:
5757:
5753:
5736:
5710:
5706:
5703:
5696:
5688:
5684:
5671:
5665:
5662:
5656:
5653:
5650:
5644:
5634:
5631:
5623:
5615:
5612:
5608:
5601:
5598:
5594:
5588:
5584:
5580:
5576:
5573:
5566:
5558:
5554:
5541:
5535:
5532:
5526:
5523:
5520:
5514:
5504:
5501:
5493:
5484:
5477:
5474:
5470:
5464:
5460:
5449:
5443:
5440:
5434:
5431:
5428:
5420:
5416:
5402:
5388:
5385:
5377:
5369:
5366:
5346:
5343:
5335:
5310:
5307:
5304:
5297:
5289:
5285:
5272:
5266:
5263:
5257:
5254:
5251:
5245:
5235:
5230:
5227:
5223:
5216:
5213:
5209:
5204:
5193:
5187:
5184:
5178:
5175:
5172:
5164:
5160:
5146:
5132:
5129:
5126:
5114:
5106:
5102:
5084:
5078:
5075:
5069:
5066:
5063:
5057:
5047:
5042:
5039:
5035:
5028:
5025:
5021:
5016:
5013:
5010:
4998:
4990:
4986:
4975:
4969:
4966:
4960:
4957:
4954:
4948:
4935:
4930:
4927:
4923:
4916:
4913:
4909:
4904:
4896:
4893:
4886:
4878:
4874:
4863:
4857:
4854:
4848:
4845:
4842:
4836:
4828:
4823:
4820:
4816:
4809:
4806:
4802:
4792:
4781:
4775:
4772:
4766:
4763:
4760:
4752:
4748:
4734:
4731:
4718:
4715:
4712:
4705:
4697:
4693:
4682:
4676:
4673:
4667:
4664:
4661:
4655:
4647:
4642:
4639:
4635:
4628:
4625:
4621:
4616:
4613:
4610:
4603:
4595:
4591:
4583:
4577:
4572:
4567:
4564:
4560:
4553:
4550:
4546:
4541:
4538:
4535:
4528:
4520:
4516:
4510:
4505:
4502:
4498:
4491:
4488:
4484:
4476:
4470:
4467:
4464:
4461:
4454:
4446:
4442:
4434:
4431:
4428:
4422:
4417:
4412:
4409:
4405:
4398:
4395:
4391:
4386:
4380:
4374:
4371:
4368:
4365:
4358:
4350:
4346:
4338:
4335:
4332:
4326:
4321:
4316:
4313:
4309:
4302:
4299:
4295:
4290:
4284:
4278:
4275:
4269:
4266:
4263:
4255:
4251:
4242:
4228:
4225:
4222:
4215:
4207:
4203:
4195:
4192:
4189:
4183:
4178:
4173:
4170:
4166:
4159:
4156:
4152:
4147:
4141:
4138:
4135:
4127:
4123:
4114:
4092:
4086:
4083:
4077:
4074:
4071:
4063:
4059:
4044:
4026:
4023:
4016:
4013:
4010:
3999:
3996:
3993:
3985:
3981:
3977:
3971:
3965:
3950:
3946:
3942:
3939:
3936:
3928:
3923:
3919:
3910:
3907:
3904:
3893:
3890:
3887:
3873:
3864:
3851:
3848:
3838:
3834:
3830:
3824:
3819:
3815:
3810:
3803:
3800:
3797:
3794:
3791:
3787:
3781:
3778:
3773:
3770:
3767:
3757:
3753:
3749:
3743:
3738:
3734:
3725:
3721:
3717:
3714:
3708:
3703:
3699:
3690:
3687:
3684:
3681:
3678:
3674:
3668:
3665:
3660:
3657:
3654:
3647:
3639:
3635:
3629:
3626:
3618:
3610:
3607:
3603:
3594:
3580:
3577:
3574:
3565:
3552:
3549:
3540:
3536:
3532:
3526:
3521:
3517:
3508:
3504:
3500:
3497:
3491:
3486:
3482:
3473:
3470:
3465:
3456:
3452:
3448:
3442:
3439:
3431:
3427:
3423:
3417:
3414:
3411:
3408:
3399:
3396:
3388:
3385:
3382:
3377:
3374:
3371:
3367:
3361:
3358:
3353:
3347:
3339:
3335:
3326:
3324:
3305:
3297:
3293:
3285:and then for
3269:
3261:
3257:
3233:
3225:
3221:
3211:
3195:
3191:
3168:
3164:
3141:
3137:
3128:
3109:
3106:
3103:
3100:
3093:
3085:
3081:
3075:
3072:
3064:
3056:
3053:
3049:
3037:
3012:
3009:
3006:
2998:
2984:
2981:
2975:
2967:
2963:
2954:
2940:
2937:
2934:
2931:
2924:
2916:
2912:
2906:
2901:
2898:
2894:
2887:
2884:
2880:
2870:
2869:
2868:
2858:
2855:
2841:
2838:
2831:
2823:
2819:
2811:
2808:
2805:
2799:
2794:
2789:
2786:
2782:
2775:
2772:
2768:
2763:
2760:
2757:
2747:
2739:
2735:
2729:
2726:
2723:
2718:
2715:
2712:
2708:
2702:
2699:
2687:
2684:
2681:
2675:
2670:
2665:
2662:
2658:
2651:
2648:
2644:
2639:
2636:
2633:
2626:
2618:
2614:
2606:
2603:
2600:
2594:
2589:
2584:
2581:
2577:
2570:
2567:
2563:
2556:
2553:
2550:
2545:
2542:
2539:
2535:
2529:
2526:
2521:
2515:
2512:
2509:
2501:
2497:
2491:
2488:
2485:
2480:
2477:
2474:
2470:
2464:
2461:
2456:
2450:
2447:
2444:
2436:
2432:
2423:
2407:
2404:
2401:
2393:
2389:
2365:
2357:
2353:
2347:
2344:
2341:
2336:
2333:
2330:
2326:
2320:
2317:
2312:
2306:
2298:
2294:
2285:
2269:
2261:
2257:
2249:
2245:
2240:
2227:
2224:
2218:
2210:
2206:
2199:
2196:
2193:
2187:
2182:
2177:
2174:
2170:
2163:
2160:
2156:
2151:
2145:
2142:
2139:
2131:
2127:
2103:
2100:
2097:
2089:
2085:
2068:
2065:
2062:
2049:
2046:
2043:
2036:
2028:
2024:
2016:
2013:
2010:
2004:
1999:
1994:
1991:
1987:
1980:
1977:
1973:
1968:
1962:
1959:
1956:
1948:
1944:
1935:
1921:
1918:
1915:
1908:
1905:
1902:
1894:
1890:
1882:
1876:
1871:
1866:
1863:
1859:
1852:
1849:
1845:
1840:
1837:
1834:
1825:
1822:
1819:
1813:
1810:
1806:
1800:
1795:
1792:
1789:
1786:
1782:
1775:
1769:
1764:
1759:
1756:
1752:
1745:
1742:
1738:
1733:
1728:
1725:
1722:
1718:
1711:
1708:
1703:
1700:
1697:
1694:
1690:
1683:
1677:
1672:
1667:
1664:
1660:
1653:
1650:
1646:
1636:
1631:
1628:
1625:
1622:
1618:
1614:
1609:
1606:
1603:
1599:
1593:
1589:
1583:
1578:
1575:
1572:
1569:
1565:
1561:
1555:
1552:
1549:
1541:
1537:
1528:
1511:
1508:
1505:
1497:
1493:
1472:
1467:
1464:
1461:
1457:
1451:
1446:
1443:
1440:
1437:
1433:
1429:
1423:
1415:
1411:
1402:
1383:
1375:
1371:
1362:
1357:
1344:
1341:
1334:
1326:
1322:
1314:
1311:
1308:
1302:
1297:
1292:
1289:
1285:
1278:
1275:
1271:
1266:
1260:
1257:
1254:
1246:
1242:
1218:
1215:
1212:
1204:
1200:
1183:
1175:
1157:
1154:
1147:
1144:
1141:
1130:
1127:
1124:
1116:
1112:
1108:
1102:
1096:
1081:
1077:
1073:
1070:
1067:
1059:
1054:
1050:
1041:
1038:
1035:
1024:
1021:
1005:
999:
996:
990:
987:
984:
976:
972:
960:
947:
944:
942:
938:
933:
929:
910:
907:
901:
893:
889:
882:
879:
876:
870:
865:
860:
857:
853:
846:
843:
839:
834:
828:
825:
822:
814:
810:
804:
801:
798:
793:
790:
787:
783:
777:
774:
769:
763:
760:
757:
749:
745:
737:
736:
735:
718:
715:
712:
707:
704:
701:
698:
694:
687:
681:
676:
671:
668:
664:
657:
654:
650:
645:
640:
636:
628:
627:
626:
610:
606:
582:
577:
574:
571:
567:
561:
557:
551:
546:
543:
540:
537:
533:
529:
523:
520:
517:
509:
505:
497:
496:
495:
493:
475:
472:
469:
465:
458:
454:
440:
437:
434:
430:
426:
420:
414:
406:
395:
359:
351:
333:
325:
321:
297:
289:
285:
281:
278:
275:
272:
269:
263:
255:
251:
242:
223:
215:
211:
202:
183:
175:
171:
150:
142:
138:
119:
111:
107:
86:
83:
50:
47:
31:
29:
26:
25:mathematician
23:
19:
8162:
8129:
8123:
8104:, retrieved
8099:
8073:
8064:
8054:
8045:
8032:Zygmund 1968
8022:
8018:Marcel Riesz
8015:
7882:
7878:
7874:
7867:
7863:
7859:
7855:
7852:Zygmund 1968
7849:
7724:
7587:
7443:
7439:
7005:
6626:
6552:
6550:
6462:
5946:
5817:
5815:
5403:
5147:
4735:
4732:
4243:
4115:
4045:
3894:
3891:
3888:
3865:
3595:
3566:
3327:
3212:
3126:
3125:
2860:
2856:
2424:
2286:
2248:Fejér Kernel
2243:
2242:
2070:
2066:
2063:
1936:
1529:
1360:
1359:
1185:
1181:
1025:
1022:
948:
945:
941:Fejér kernel
936:
931:
927:
925:
733:
597:
491:
404:
402:
201:Cesàro means
33:
17:
15:
7881:) exist at
5822:the theorem
137:partial sum
135:be the nth
28:Lipót Fejér
8185:Categories
8106:2022-11-14
8038:References
935:being the
163:, and let
8146:0021-7670
7987:−
7925:→
7900:σ
7828:σ
7767:∈
7761:∀
7749:∈
7726:Corollary
7702:π
7696:π
7693:−
7597:σ
7551:σ
7527:π
7521:π
7518:−
7512:∈
7486:π
7480:π
7477:−
7461:∈
7397:−
7373:σ
7362:∞
7359:→
7303:π
7300:≤
7284:≤
7281:δ
7277:∫
7271:π
7261:∞
7258:→
7243:ϵ
7238:∞
7235:→
7224:≤
7204:−
7180:σ
7169:∞
7166:→
7110:π
7107:≤
7091:≤
7088:δ
7084:∫
7078:π
7066:ϵ
7063:≤
7043:−
7019:σ
6968:−
6944:σ
6933:∞
6930:→
6874:π
6871:≤
6855:≤
6852:δ
6848:∫
6842:π
6796:π
6793:≤
6777:≤
6774:δ
6770:∫
6763:π
6751:≤
6704:−
6695:−
6676:π
6673:≤
6657:≤
6654:δ
6650:∫
6643:π
6589:π
6586:≤
6580:≤
6577:π
6574:−
6536:ϵ
6501:π
6496:π
6493:−
6489:∫
6485:ϵ
6479:π
6419:π
6414:π
6411:−
6407:∫
6403:ϵ
6397:π
6385:≤
6353:δ
6350:≤
6333:∫
6329:ϵ
6323:π
6295:π
6292:≤
6289:δ
6264:∈
6258:∀
6249:≥
6181:δ
6178:≤
6161:∫
6157:ϵ
6151:π
6109:ϵ
6104:δ
6101:≤
6084:∫
6077:π
6065:≤
6018:−
6009:−
5990:δ
5987:≤
5970:∫
5963:π
5932:ϵ
5929:≤
5909:−
5888:⟹
5884:δ
5881:≤
5870:−
5850:δ
5847:∃
5835:ϵ
5832:∀
5778:−
5754:σ
5743:∞
5740:→
5663:−
5654:−
5635:π
5632:≤
5616:≤
5613:δ
5609:∫
5602:π
5533:−
5524:−
5505:δ
5502:≤
5485:∫
5478:π
5441:−
5417:σ
5389:π
5386:≤
5370:≤
5367:δ
5347:δ
5344:≤
5264:−
5255:−
5236:π
5231:π
5228:−
5224:∫
5217:π
5185:−
5161:σ
5076:−
5067:−
5048:π
5043:π
5040:−
5036:∫
5029:π
4967:−
4958:−
4936:π
4931:π
4928:−
4924:∫
4917:π
4905:≤
4855:−
4846:−
4829:π
4824:π
4821:−
4817:∫
4810:π
4773:−
4749:σ
4674:−
4665:−
4648:π
4643:π
4640:−
4636:∫
4629:π
4573:π
4568:π
4565:−
4561:∫
4554:π
4511:π
4506:π
4503:−
4499:∫
4492:π
4468:−
4432:−
4418:π
4413:π
4410:−
4406:∫
4399:π
4372:−
4336:−
4322:π
4317:π
4314:−
4310:∫
4303:π
4276:−
4252:σ
4193:−
4179:π
4174:π
4171:−
4167:∫
4160:π
4124:σ
4084:−
4060:σ
4027:∈
4021:∀
4014:ϵ
3982:σ
3978:−
3957:⟹
3943:≥
3929:∈
3915:∃
3905:ϵ
3902:∀
3825:
3804:π
3801:≤
3795:≤
3792:δ
3788:∫
3774:≤
3744:
3709:
3691:π
3688:≤
3682:≤
3679:δ
3675:∫
3630:π
3627:≤
3611:≤
3608:δ
3604:∫
3575:δ
3550:≥
3527:
3492:
3443:
3400:
3386:−
3368:∑
3076:π
3073:≤
3057:≤
3054:δ
3050:∫
3044:∞
3041:→
3007:δ
2982:≥
2907:π
2902:π
2899:−
2895:∫
2888:π
2809:−
2795:π
2790:π
2787:−
2783:∫
2776:π
2727:−
2709:∑
2685:−
2671:π
2666:π
2663:−
2659:∫
2652:π
2604:−
2590:π
2585:π
2582:−
2578:∫
2571:π
2554:−
2536:∑
2489:−
2471:∑
2433:σ
2390:σ
2345:−
2327:∑
2197:−
2183:π
2178:π
2175:−
2171:∫
2164:π
2128:σ
2086:σ
2014:−
2000:π
1995:π
1992:−
1988:∫
1981:π
1906:−
1872:π
1867:π
1864:−
1860:∫
1853:π
1823:−
1793:−
1783:∑
1765:π
1760:π
1757:−
1753:∫
1746:π
1695:−
1673:π
1668:π
1665:−
1661:∫
1654:π
1629:−
1619:∑
1576:−
1566:∑
1444:−
1434:∑
1312:−
1298:π
1293:π
1290:−
1286:∫
1279:π
1158:∈
1152:∀
1145:ϵ
1113:σ
1109:−
1088:⟹
1074:≥
1060:∈
1046:∃
1036:ϵ
1033:∀
973:σ
967:∞
964:→
939:th order
880:−
866:π
861:π
858:−
854:∫
847:π
802:−
784:∑
746:σ
699:−
677:π
672:π
669:−
665:∫
658:π
544:−
534:∑
449:∞
444:∞
441:−
431:∑
322:σ
172:σ
87:π
59:→
22:Hungarian
8160:(1968),
6222:Because
3325: :
8080:vol. 58
7873:±0) of
7542:, then
3321:,using
2862:Lemma 3
2072:Lemma 2
1187:Lemma 1
139:of the
8170:
8144:
7858:is in
7792:. If
3213:b) As
1527:above
1399:, the
99:, let
7630:with
7150:Thus,
3127:Proof
2244:Proof
1361:Proof
926:with
40:Let
8168:ISBN
8142:ISSN
7731:Let
7450:Let
6281:and
5853:>
5838:>
5359:and
4011:<
3908:>
3578:>
3010:>
1142:<
1039:>
625:are
8134:doi
7352:lim
7251:lim
7228:lim
7159:lim
6923:lim
6570:sup
5733:lim
3816:sin
3735:sin
3700:sin
3518:sin
3483:sin
3440:sin
3397:sin
3034:lim
2955:b)
2871:a)
957:lim
407:as
372:on
352:to
243:of
143:of
8187::
8140:.
8130:14
8128:.
8114:^
8098:,
8087:^
8078:,
8072:,
8053:,
5401:.
3593:,
3025:,
943:.
8177:.
8148:.
8136::
8023:n
8001:.
7997:)
7993:)
7990:0
7982:0
7978:x
7974:(
7971:f
7968:+
7965:)
7962:0
7959:+
7954:0
7950:x
7946:(
7943:f
7939:(
7933:2
7930:1
7922:)
7917:0
7913:x
7909:(
7904:n
7886:0
7883:x
7879:x
7877:(
7875:f
7871:0
7868:x
7866:(
7864:f
7860:L
7856:f
7832:n
7805:n
7801:s
7778:+
7773:Z
7764:n
7757:,
7753:C
7744:n
7740:s
7705:)
7699:,
7690:(
7685:2
7681:L
7660:)
7657:x
7654:,
7651:f
7648:(
7643:n
7639:s
7618:)
7615:x
7612:,
7609:f
7606:(
7601:n
7572:)
7569:x
7566:,
7563:f
7560:(
7555:n
7530:)
7524:,
7515:(
7509:x
7489:)
7483:,
7474:(
7469:2
7465:L
7458:f
7420:0
7417:=
7413:|
7409:)
7406:x
7403:(
7400:f
7394:)
7391:x
7388:,
7385:f
7382:(
7377:n
7368:|
7356:n
7331:t
7328:d
7324:)
7321:t
7318:(
7313:n
7309:F
7296:|
7292:t
7288:|
7268:M
7255:n
7247:+
7232:n
7220:|
7216:)
7213:x
7210:(
7207:f
7201:)
7198:x
7195:,
7192:f
7189:(
7184:n
7175:|
7163:n
7138:t
7135:d
7131:)
7128:t
7125:(
7120:n
7116:F
7103:|
7099:t
7095:|
7075:M
7070:+
7059:|
7055:)
7052:x
7049:(
7046:f
7040:)
7037:x
7034:,
7031:f
7028:(
7023:n
7014:|
6991:0
6988:=
6984:|
6980:)
6977:x
6974:(
6971:f
6965:)
6962:x
6959:,
6956:f
6953:(
6948:n
6939:|
6927:n
6902:t
6899:d
6895:)
6892:t
6889:(
6884:n
6880:F
6867:|
6863:t
6859:|
6839:M
6834:=
6831:t
6828:d
6824:)
6821:t
6818:(
6813:n
6809:F
6804:M
6801:2
6789:|
6785:t
6781:|
6760:2
6756:1
6748:t
6745:d
6741:)
6738:t
6735:(
6730:n
6726:F
6720:|
6716:)
6713:x
6710:(
6707:f
6701:)
6698:t
6692:x
6689:(
6686:f
6682:|
6669:|
6665:t
6661:|
6640:2
6636:1
6612:|
6608:)
6605:t
6602:(
6599:f
6595:|
6583:t
6566:=
6563:M
6553:f
6533:=
6530:t
6527:d
6523:)
6520:t
6517:(
6512:n
6508:F
6476:2
6472:1
6448:t
6445:d
6441:)
6438:t
6435:(
6430:n
6426:F
6394:2
6390:1
6382:t
6379:d
6375:)
6372:t
6369:(
6364:n
6360:F
6346:|
6342:t
6338:|
6320:2
6316:1
6268:R
6261:x
6255:,
6252:0
6246:)
6243:x
6240:(
6235:n
6231:F
6210:t
6207:d
6203:)
6200:t
6197:(
6192:n
6188:F
6174:|
6170:t
6166:|
6148:2
6144:1
6139:=
6136:t
6133:d
6129:)
6126:t
6123:(
6118:n
6114:F
6097:|
6093:t
6089:|
6074:2
6070:1
6062:t
6059:d
6055:)
6052:t
6049:(
6044:n
6040:F
6034:|
6030:)
6027:x
6024:(
6021:f
6015:)
6012:t
6006:x
6003:(
6000:f
5996:|
5983:|
5979:t
5975:|
5960:2
5956:1
5925:|
5921:)
5918:y
5915:(
5912:f
5906:)
5903:x
5900:(
5897:f
5893:|
5877:|
5873:y
5867:x
5863:|
5859::
5856:0
5844:,
5841:0
5818:f
5801:0
5798:=
5794:|
5790:)
5787:x
5784:(
5781:f
5775:)
5772:x
5769:,
5766:f
5763:(
5758:n
5749:|
5737:n
5711:)
5707:t
5704:d
5700:)
5697:t
5694:(
5689:n
5685:F
5679:|
5675:)
5672:x
5669:(
5666:f
5660:)
5657:t
5651:x
5648:(
5645:f
5641:|
5628:|
5624:t
5620:|
5599:2
5595:1
5589:(
5585:+
5581:)
5577:t
5574:d
5570:)
5567:t
5564:(
5559:n
5555:F
5549:|
5545:)
5542:x
5539:(
5536:f
5530:)
5527:t
5521:x
5518:(
5515:f
5511:|
5498:|
5494:t
5490:|
5475:2
5471:1
5465:(
5461:=
5457:|
5453:)
5450:x
5447:(
5444:f
5438:)
5435:x
5432:,
5429:f
5426:(
5421:n
5412:|
5382:|
5378:t
5374:|
5340:|
5336:t
5332:|
5311:.
5308:t
5305:d
5301:)
5298:t
5295:(
5290:n
5286:F
5280:|
5276:)
5273:x
5270:(
5267:f
5261:)
5258:t
5252:x
5249:(
5246:f
5242:|
5214:2
5210:1
5205:=
5201:|
5197:)
5194:x
5191:(
5188:f
5182:)
5179:x
5176:,
5173:f
5170:(
5165:n
5156:|
5133:,
5130:t
5127:d
5122:|
5118:)
5115:t
5112:(
5107:n
5103:F
5098:|
5092:|
5088:)
5085:x
5082:(
5079:f
5073:)
5070:t
5064:x
5061:(
5058:f
5054:|
5026:2
5022:1
5017:=
5014:t
5011:d
5006:|
5002:)
4999:t
4996:(
4991:n
4987:F
4982:]
4979:)
4976:x
4973:(
4970:f
4964:)
4961:t
4955:x
4952:(
4949:f
4946:[
4942:|
4914:2
4910:1
4901:|
4897:t
4894:d
4890:)
4887:t
4884:(
4879:n
4875:F
4870:]
4867:)
4864:x
4861:(
4858:f
4852:)
4849:t
4843:x
4840:(
4837:f
4834:[
4807:2
4803:1
4797:|
4793:=
4789:|
4785:)
4782:x
4779:(
4776:f
4770:)
4767:x
4764:,
4761:f
4758:(
4753:n
4744:|
4719:.
4716:t
4713:d
4709:)
4706:t
4703:(
4698:n
4694:F
4689:]
4686:)
4683:x
4680:(
4677:f
4671:)
4668:t
4662:x
4659:(
4656:f
4653:[
4626:2
4622:1
4617:=
4614:t
4611:d
4607:)
4604:t
4601:(
4596:n
4592:F
4587:)
4584:x
4581:(
4578:f
4551:2
4547:1
4542:=
4539:t
4536:d
4532:)
4529:t
4526:(
4521:n
4517:F
4489:2
4485:1
4480:)
4477:x
4474:(
4471:f
4465:t
4462:d
4458:)
4455:t
4452:(
4447:n
4443:F
4438:)
4435:t
4429:x
4426:(
4423:f
4396:2
4392:1
4387:=
4384:)
4381:x
4378:(
4375:f
4369:t
4366:d
4362:)
4359:t
4356:(
4351:n
4347:F
4342:)
4339:t
4333:x
4330:(
4327:f
4300:2
4296:1
4291:=
4288:)
4285:x
4282:(
4279:f
4273:)
4270:x
4267:,
4264:f
4261:(
4256:n
4229:.
4226:t
4223:d
4219:)
4216:t
4213:(
4208:n
4204:F
4199:)
4196:t
4190:x
4187:(
4184:f
4157:2
4153:1
4148:=
4145:)
4142:x
4139:,
4136:f
4133:(
4128:n
4100:|
4096:)
4093:x
4090:(
4087:f
4081:)
4078:x
4075:,
4072:f
4069:(
4064:n
4055:|
4031:R
4024:x
4017:,
4007:|
4003:)
4000:x
3997:,
3994:f
3991:(
3986:n
3975:)
3972:x
3969:(
3966:f
3962:|
3951:0
3947:n
3940:n
3937::
3933:N
3924:0
3920:n
3911:0
3874:n
3852:x
3849:d
3842:)
3839:2
3835:/
3831:x
3828:(
3820:2
3811:1
3798:x
3782:n
3779:2
3771:x
3768:d
3761:)
3758:2
3754:/
3750:x
3747:(
3739:2
3729:)
3726:2
3722:/
3718:x
3715:n
3712:(
3704:2
3685:x
3669:n
3666:2
3661:=
3658:x
3655:d
3651:)
3648:x
3645:(
3640:n
3636:F
3623:|
3619:x
3615:|
3581:0
3553:0
3544:)
3541:2
3537:/
3533:x
3530:(
3522:2
3512:)
3509:2
3505:/
3501:x
3498:n
3495:(
3487:2
3474:n
3471:1
3466:=
3460:)
3457:2
3453:/
3449:x
3446:(
3435:)
3432:2
3428:/
3424:x
3421:)
3418:1
3415:+
3412:k
3409:2
3406:(
3403:(
3389:1
3383:n
3378:0
3375:=
3372:k
3362:n
3359:1
3354:=
3351:)
3348:x
3345:(
3340:n
3336:F
3309:)
3306:x
3303:(
3298:n
3294:F
3273:)
3270:x
3267:(
3262:n
3258:D
3237:)
3234:x
3231:(
3226:n
3222:D
3196:n
3192:F
3169:n
3165:D
3142:n
3138:F
3110:0
3107:=
3104:x
3101:d
3097:)
3094:x
3091:(
3086:n
3082:F
3069:|
3065:x
3061:|
3038:n
3013:0
2985:0
2979:)
2976:x
2973:(
2968:n
2964:F
2941:1
2938:=
2935:x
2932:d
2928:)
2925:x
2922:(
2917:n
2913:F
2885:2
2881:1
2842:t
2839:d
2835:)
2832:t
2829:(
2824:n
2820:F
2815:)
2812:t
2806:x
2803:(
2800:f
2773:2
2769:1
2764:=
2761:t
2758:d
2754:]
2751:)
2748:t
2745:(
2740:k
2736:D
2730:1
2724:n
2719:0
2716:=
2713:k
2703:n
2700:1
2695:[
2691:)
2688:t
2682:x
2679:(
2676:f
2649:2
2645:1
2640:=
2637:t
2634:d
2630:)
2627:t
2624:(
2619:k
2615:D
2610:)
2607:t
2601:x
2598:(
2595:f
2568:2
2564:1
2557:1
2551:n
2546:0
2543:=
2540:k
2530:n
2527:1
2522:=
2519:)
2516:x
2513:,
2510:f
2507:(
2502:k
2498:s
2492:1
2486:n
2481:0
2478:=
2475:k
2465:n
2462:1
2457:=
2454:)
2451:x
2448:,
2445:f
2442:(
2437:n
2411:)
2408:x
2405:,
2402:f
2399:(
2394:n
2369:)
2366:x
2363:(
2358:k
2354:D
2348:1
2342:n
2337:0
2334:=
2331:k
2321:n
2318:1
2313:=
2310:)
2307:x
2304:(
2299:n
2295:F
2273:)
2270:x
2267:(
2262:n
2258:F
2228:t
2225:d
2222:)
2219:t
2216:(
2211:n
2207:F
2203:)
2200:t
2194:x
2191:(
2188:f
2161:2
2157:1
2152:=
2149:)
2146:x
2143:,
2140:f
2137:(
2132:n
2107:)
2104:x
2101:,
2098:f
2095:(
2090:n
2050:.
2047:t
2044:d
2040:)
2037:t
2034:(
2029:n
2025:D
2020:)
2017:t
2011:x
2008:(
2005:f
1978:2
1974:1
1969:=
1966:)
1963:x
1960:,
1957:f
1954:(
1949:n
1945:s
1922:.
1919:t
1916:d
1912:)
1909:t
1903:x
1900:(
1895:n
1891:D
1886:)
1883:t
1880:(
1877:f
1850:2
1846:1
1841:=
1838:t
1835:d
1829:)
1826:t
1820:x
1817:(
1814:k
1811:i
1807:e
1801:n
1796:n
1790:=
1787:k
1779:)
1776:t
1773:(
1770:f
1743:2
1739:1
1734:=
1729:x
1726:k
1723:i
1719:e
1715:]
1712:t
1709:d
1704:t
1701:k
1698:i
1691:e
1687:)
1684:t
1681:(
1678:f
1651:2
1647:1
1642:[
1637:n
1632:n
1626:=
1623:k
1615:=
1610:x
1607:k
1604:i
1600:e
1594:k
1590:c
1584:n
1579:n
1573:=
1570:k
1562:=
1559:)
1556:x
1553:,
1550:f
1547:(
1542:n
1538:s
1515:)
1512:x
1509:,
1506:f
1503:(
1498:n
1494:s
1473:.
1468:x
1465:k
1462:i
1458:e
1452:n
1447:n
1441:=
1438:k
1430:=
1427:)
1424:x
1421:(
1416:n
1412:D
1403::
1387:)
1384:x
1381:(
1376:n
1372:D
1345:t
1342:d
1338:)
1335:t
1332:(
1327:n
1323:D
1318:)
1315:t
1309:x
1306:(
1303:f
1276:2
1272:1
1267:=
1264:)
1261:x
1258:,
1255:f
1252:(
1247:n
1243:s
1222:)
1219:x
1216:,
1213:f
1210:(
1205:n
1201:s
1162:R
1155:x
1148:,
1138:|
1134:)
1131:x
1128:,
1125:f
1122:(
1117:n
1106:)
1103:x
1100:(
1097:f
1093:|
1082:0
1078:n
1071:n
1068::
1064:N
1055:0
1051:n
1042:0
1009:)
1006:x
1003:(
1000:f
997:=
994:)
991:x
988:,
985:f
982:(
977:n
961:n
937:n
932:n
928:F
911:t
908:d
905:)
902:t
899:(
894:n
890:F
886:)
883:t
877:x
874:(
871:f
844:2
840:1
835:=
832:)
829:x
826:,
823:f
820:(
815:k
811:s
805:1
799:n
794:0
791:=
788:k
778:n
775:1
770:=
767:)
764:x
761:,
758:f
755:(
750:n
719:.
716:t
713:d
708:t
705:k
702:i
695:e
691:)
688:t
685:(
682:f
655:2
651:1
646:=
641:k
637:c
611:k
607:c
583:,
578:x
575:k
572:i
568:e
562:k
558:c
552:n
547:n
541:=
538:k
530:=
527:)
524:x
521:,
518:f
515:(
510:n
506:s
492:f
476:x
473:n
470:i
466:e
459:n
455:c
438:=
435:n
427:=
424:)
421:x
418:(
415:f
405:f
381:R
360:f
337:)
334:f
331:(
326:n
301:)
298:f
295:(
290:n
286:s
282:,
279:.
276:.
273:.
270:,
267:)
264:f
261:(
256:0
252:s
227:)
224:f
221:(
216:n
212:s
187:)
184:f
181:(
176:n
151:f
123:)
120:f
117:(
112:n
108:s
84:2
63:C
55:R
51::
48:f
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.