1283:
917:
877:
653:
396:
1615:
1278:{\displaystyle \mu ={\frac {-k_{B}T\ln(Q_{N+1}/Q_{N})}{\Delta N}}{\overset {\Delta N=1}{=}}-k_{B}T\ln \left({\frac {V/\Lambda ^{d}}{N+1}}\right)-k_{B}T\ln {\frac {\int ds^{N+1}\exp}{\int ds^{N}\exp}}=\mu _{id}(\rho )+\mu _{ex}}
135:
756:
1492:
435:
745:
233:
1321:
909:
1358:
1503:
1412:
1385:
421:
220:
196:
172:
69:
1620:
Thus far we converted the excess chemical potential into an ensemble average, and the integral in the above equation can be sampled by the brute force
1627:
The calculating of excess chemical potential is not limited to homogeneous systems, but has also been extended to inhomogeneous systems by the
77:
882:
we get the chemical potential of a sufficiently large system from (and the fact that the smallest allowed change in the particle number is
1632:
872:{\displaystyle \mu _{a}=\left({\frac {\partial F}{\partial N_{a}}}\right)_{VT}=\left({\frac {\partial G}{\partial N_{a}}}\right)_{PT},}
225:
648:{\displaystyle F(N,V,T)=-k_{B}T\ln Q=-k_{B}T\ln \left({\frac {V^{N}}{\Lambda ^{dN}N!}}\right)-k_{B}T\ln {\int ds^{N}\exp}=}
1424:
1694:
1726:
659:
426:
391:{\displaystyle Q(N,V,T)={\frac {V^{N}}{\Lambda ^{dN}N!}}\int _{0}^{1}\ldots \int _{0}^{1}ds^{N}\exp}
1288:
wherein the chemical potential of an ideal gas can be evaluated analytically. Now let's focus on
1721:
1647:
1636:
1293:
885:
1628:
141:
1682:
1610:{\displaystyle \mu _{ex}=-k_{B}T\ln \int ds_{N+1}\langle \exp(-\beta \Delta U)\rangle _{N}.}
1331:
48:
8:
1716:
1621:
1397:
1370:
406:
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157:
54:
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1659:
1690:
32:
1686:
20:
1710:
1674:
1679:
Understanding
Molecular Simulation : from algorithms to applications
130:{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}}}
44:
16:
Difference in chemical potential between a given species and an ideal gas
750:
Combining the above equation with the definition of chemical potential,
1391:
system and the potential of the excess particle interacting with the
36:
1658:
Note: the equations and presentation in this article are drawn from
40:
140:
Chemical potential of a pure fluid can be estimated by the
1364:
system can be separated into the potential energy of an
71:
is therefore given by an ideal part and an excess part.
39:
under the same conditions (in particular, at the same
1506:
1427:
1400:
1373:
1334:
1296:
920:
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759:
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390:
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166:
129:
63:
1708:
51:). The chemical potential of a particle species
1660:Excess Chemical Potential via the Widom Method
147:
1595:
1567:
740:{\displaystyle =F_{id}(N,V,T)+F_{ex}(N,V,T)}
27:is defined as the difference between the
1709:
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1428:
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1325:since the potential energy of an
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1743:
1316:{\displaystyle \mu _{ex},}
904:{\displaystyle \Delta N=1}
224:, the classical canonical
200:, at constant temperature
148:Derivation and Measurement
425:a scaled coordinate, the
152:For a system of diameter
25:excess chemical potential
1727:Chemical thermodynamics
1677:; Smit, Berend (2001).
1648:Apparent molar property
1629:Widom insertion method
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142:Widom insertion method
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