2270:
3612:
3882:
2761:
4103:
1853:
2609:
1031:
1395:
662:
3095:
1495:
1608:
2190:
1249:
3154:
391:
3400:
2475:
3226:
3001:
2834:
535:
4243:
2132:
2400:
3986:
2366:
285:
110:
2894:
2948:
3279:
2422:
1656:
2053:
139:
1991:
1527:
1314:
3356:
2085:
211:
3911:
1100:
1067:
2305:
2260:
1557:
1451:
417:
4457:
4403:
4368:
4341:
4290:
3435:
1932:
1279:
1189:
1131:
930:
813:
762:
4178:
3731:
2793:
2504:
2624:
1882:
1421:
561:
311:
3678:
3322:
1959:
1905:
1721:
836:
705:
460:
4430:
4314:
4263:
4149:
4126:
3933:
3720:
3698:
3655:
3635:
3299:
3177:
2528:
2329:
2230:
2210:
2011:
1698:
1678:
1159:
903:
880:
860:
786:
728:
682:
581:
437:
331:
179:
159:
73:
3447:
3994:
1729:
938:
2540:
47:
of a system can be expressed in terms of the energetic inner product. An example of this will be given later in the article.
1322:
596:
3013:
1459:
4522:
4501:
1562:
2137:
1196:
4491:
3106:
4541:
1935:
337:
2431:
3185:
2960:
475:
4406:
4186:
3723:
2955:
2090:
2371:
4371:
4343:, a function in a finite-dimensional subspace of the true solution space. For example, one might let
3941:
2333:
229:
81:
2848:
4477:
2902:
2507:
3234:
2405:
1613:
4546:
3364:
2016:
118:
1964:
1500:
1287:
3329:
2804:
2058:
184:
4375:
3890:
3877:{\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}
2796:
1072:
1039:
765:
2756:{\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}
2284:
2235:
1532:
1426:
396:
4435:
4412:
The energetic norm turns out to be the natural norm in which to measure the error between
4381:
4346:
4319:
4268:
3438:
3408:
1910:
1257:
1167:
1109:
908:
791:
740:
4154:
2769:
2480:
8:
4472:
3229:
2840:
1861:
1400:
540:
290:
76:
36:
21:
3660:
3304:
1941:
1887:
1703:
818:
687:
442:
4415:
4299:
4248:
4134:
4111:
3918:
3705:
3683:
3640:
3620:
3284:
3162:
2513:
2314:
2215:
2195:
1996:
1683:
1663:
1144:
888:
865:
845:
771:
713:
667:
566:
422:
316:
217:
164:
144:
113:
58:
4518:
4497:
731:
214:
4460:
3607:{\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}
4098:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}
3004:
2615:
1848:{\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }
4515:
Numerical solution of partial differential equations by the finite element method
3180:
839:
220:
2531:
2307:
on the real line (here viewed as a horizontal line). Let the vertical outer
4535:
3936:
2530:
under the influence of the force. Assuming that the deflection is small, the
2308:
32:
3988:
We see that the elastic energy of the string which motivated this study is
2273:
A string with fixed endpoints under the influence of a force pointing down.
2425:
29:
17:
1282:
2013:). Via these identifications, it follows from the above formula that
2951:
4493:
Applied functional analysis: applications to mathematical physics
40:
2269:
1858:
by the definition of the energetic inner product. If one views
1026:{\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}
44:
2278:
2604:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}
815:
can be considered a subset of the original
Hilbert space
3007:. This space is Hilbert in respect to the inner product
862:(this follows from the strong monotonicity property of
1390:{\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}
4438:
4418:
4384:
4349:
4322:
4302:
4271:
4251:
4189:
4157:
4137:
4114:
3997:
3944:
3921:
3893:
3734:
3708:
3686:
3663:
3643:
3623:
3450:
3411:
3367:
3332:
3307:
3287:
3237:
3188:
3165:
3109:
3016:
2963:
2905:
2851:
2807:
2772:
2627:
2543:
2516:
2483:
2434:
2408:
2374:
2336:
2317:
2287:
2238:
2218:
2198:
2140:
2093:
2061:
2019:
1999:
1967:
1944:
1913:
1890:
1864:
1732:
1706:
1686:
1666:
1616:
1565:
1535:
1503:
1462:
1429:
1403:
1325:
1290:
1260:
1199:
1170:
1147:
1112:
1075:
1042:
941:
911:
891:
868:
848:
821:
794:
774:
743:
716:
690:
670:
599:
569:
543:
478:
445:
425:
399:
340:
319:
293:
232:
187:
167:
147:
121:
84:
61:
4180:of the string, one writes this problem in the form
842:
in the energetic norm is also Cauchy in the norm of
657:{\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}
4451:
4424:
4397:
4362:
4335:
4308:
4284:
4257:
4237:
4172:
4143:
4120:
4097:
3980:
3927:
3905:
3876:
3714:
3692:
3672:
3649:
3629:
3606:
3429:
3394:
3350:
3316:
3293:
3273:
3220:
3171:
3148:
3090:{\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}
3089:
2995:
2942:
2888:
2828:
2787:
2755:
2603:
2522:
2498:
2469:
2416:
2394:
2360:
2323:
2299:
2254:
2224:
2204:
2184:
2126:
2079:
2047:
2005:
1985:
1953:
1926:
1899:
1876:
1847:
1715:
1692:
1672:
1650:
1602:
1551:
1521:
1489:
1445:
1415:
1389:
1308:
1273:
1243:
1183:
1153:
1125:
1094:
1061:
1025:
924:
897:
874:
854:
830:
807:
780:
756:
722:
699:
676:
656:
575:
555:
529:
454:
431:
411:
385:
325:
305:
279:
205:
173:
153:
133:
104:
67:
4023:
3492:
3052:
2795:minimizing the potential energy will satisfy the
2718:
2668:
2569:
1490:{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}
4533:
4108:so it is half of the energetic inner product of
970:
3915:The energetic space in respect to the operator
3441:and the boundary conditions, one can see that
730:together with the energetic inner product is a
885:The energetic inner product is extended from
3742:
3735:
3116:
3110:
1842:
1820:
1758:
1733:
1603:{\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}
1591:
1566:
1478:
1463:
1351:
1326:
607:
600:
374:
367:
128:
122:
3181:twice continuously differentiable functions
2899:To study this equation, consider the space
2264:
2055:In different words, the original operator
4234:
4048:
3853:
3840:
3788:
3722:is also strongly monotone, since, by the
3522:
3405:so the deflection satisfies the equation
3391:
3214:
3077:
2989:
2885:
2825:
2743:
2693:
2594:
2460:
653:
526:
276:
223:, that is, a linear operator satisfying
39:. The motivation for the name comes from
4374:in the energetic space, which gives the
2281:whose endpoints are fixed at two points
2268:
2185:{\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}
1993:(by the strong monotonicity property of
1244:{\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}
55:Formally, consider a real Hilbert space
4512:
4489:
28:is, intuitively, a subspace of a given
4534:
4151:minimizing the total potential energy
3149:{\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}
1700:are elements in the original subspace
1136:
386:{\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}
2192:is simply the function extension of
1497:denotes the duality bracket between
2470:{\displaystyle f:\to \mathbb {R} .}
43:, as in many physical problems the
13:
3221:{\displaystyle u:\to \mathbb {R} }
2996:{\displaystyle u:\to \mathbb {R} }
980:
530:{\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}
50:
14:
4558:
4238:{\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}
3700:is a symmetric linear operator.
2127:{\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}
2410:
2395:{\displaystyle f(x)\mathbf {e} }
2388:
35:equipped with a new "energetic"
4296:Next, one usually approximates
3981:{\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}
2361:{\displaystyle (a\leq x\leq b)}
280:{\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}
105:{\displaystyle (\cdot |\cdot )}
4517:. Cambridge University Press.
4231:
4224:
4217:
4205:
4197:
4190:
4167:
4161:
4083:
4075:
4068:
4039:
4032:
3972:
3960:
3871:
3864:
3854:
3831:
3824:
3785:
3779:
3601:
3591:
3584:
3578:
3572:
3561:
3555:
3519:
3513:
3507:
3501:
3468:
3461:
3451:
3342:
3262:
3256:
3247:
3241:
3210:
3207:
3195:
3138:
3131:
3124:
3100:with the norm being given by
3074:
3068:
3062:
3056:
3031:
3024:
3017:
2985:
2982:
2970:
2934:
2922:
2889:{\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}
2876:
2870:
2861:
2855:
2782:
2776:
2740:
2734:
2728:
2722:
2684:
2677:
2637:
2631:
2585:
2578:
2493:
2487:
2456:
2453:
2441:
2384:
2378:
2355:
2337:
2164:
2103:
2071:
1835:
1827:
1814:
1807:
1797:
1785:
1777:
1770:
1750:
1642:
1636:
1633:
1617:
1583:
1470:
1378:
1370:
1363:
1343:
1316:that is given by the formula
1223:
1089:
1076:
1056:
1043:
1014:
999:
985:
977:
957:
949:
942:
634:
626:
619:
523:
516:
506:
494:
486:
479:
358:
351:
341:
273:
263:
256:
250:
243:
233:
197:
99:
92:
85:
1:
4496:. New York: Springer-Verlag.
4483:
4405:can be computed by solving a
2943:{\displaystyle X=L^{2}(a,b),}
2087:can be viewed as an operator
4131:To calculate the deflection
3274:{\displaystyle u(a)=u(b)=0.}
2417:{\displaystyle \mathbf {e} }
1936:Riesz representation theorem
1651:{\displaystyle (B_{E}u)(v).}
7:
4466:
2956:square-integrable functions
2510:of the string at the point
1106:that converge to points in
10:
4563:
4490:Zeidler, Eberhard (1995).
4407:system of linear equations
3395:{\displaystyle Bu=-u'',\,}
2048:{\displaystyle B_{E}u=Bu.}
1907:as an element in the dual
134:{\displaystyle \|\cdot \|}
4372:piecewise linear function
1986:{\displaystyle X_{E}^{*}}
1961:will also be in the dual
1522:{\displaystyle X_{E}^{*}}
1309:{\displaystyle X_{E}^{*}}
4478:Positive-definite kernel
3351:{\displaystyle B:Y\to X}
3301:is a linear subspace of
2829:{\displaystyle -u''=f\,}
2428:pointing vertically and
2080:{\displaystyle B:Y\to X}
206:{\displaystyle B:Y\to X}
161:be a linear subspace of
4513:Johnson, Claes (1987).
3906:{\displaystyle C>0.}
3724:Friedrichs's inequality
2265:An example from physics
1884:which is an element in
1133:in the energetic norm.
1095:{\displaystyle (v_{n})}
1062:{\displaystyle (u_{n})}
788:in the energetic norm.
467:energetic inner product
4453:
4426:
4399:
4364:
4337:
4310:
4286:
4259:
4239:
4174:
4145:
4122:
4099:
3982:
3929:
3907:
3878:
3716:
3694:
3674:
3651:
3631:
3608:
3431:
3396:
3352:
3326:Consider the operator
3318:
3295:
3275:
3222:
3173:
3150:
3091:
2997:
2944:
2890:
2830:
2789:
2757:
2605:
2524:
2500:
2471:
2418:
2396:
2362:
2325:
2301:
2300:{\displaystyle a<b}
2274:
2256:
2255:{\displaystyle X_{E}.}
2226:
2206:
2186:
2128:
2081:
2049:
2007:
1987:
1955:
1928:
1901:
1878:
1849:
1717:
1694:
1674:
1652:
1604:
1553:
1552:{\displaystyle X_{E},}
1523:
1491:
1447:
1446:{\displaystyle X_{E}.}
1417:
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